Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
При временном подходе восстановление исходного непрерывного сигнала по последовательности дискретных отсчетов рассматривается как задача интерполяции, экстраполяции или приближения функции. При интерполяции требуется, чтобы восстанавливающая функция проходила через все точки отсчетов; при экстраполяции – по крайней мере, через некоторые; в задаче приближения допускаются отклонения всех точек отсчетов от восстанавливающей функции (эти отклонения могут быть оправданы, если отсчеты содержат случайные погрешности). При этом в реальной аппаратуре восстановление может и не осуществляться, но все равно оно гипотетически рассматривается, поскольку допускаемая погрешность восстановления является критерием для выбора частоты дискретизации.
В качестве восстанавливающих функций часто выбирают полиномы вида u(t) = a0 + a1t + a2t2 + ... Самыми простыми методами являются экстраполяция полиномами нулевого порядка вида u(t) = a0 и интерполяция полиномами первого порядка вида u(t) = a0 + a1t.
При экстраполяции полиномами нулевого порядка – одночленами вида u(t) = a0 – каждый полученный отсчет нужно запомнить и хранить до получения следующего отсчета. Максимальная погрешность восстановления получается в конце интервала дискретизации Тд. Для ее оценивания представляют исходную сигнальную функцию на интервале дискретизации двумя членами разложения в степенной ряд (это оправдано малостью допускаемой погрешности восстановления). Тогда погрешность получится как возможное изменение сигнальной функции в течение этого интервала: ∆д = |du/dt|maxТд.
При интерполяции полиномами первого порядка – двучленами вида u(t) = a0 + a1t – каждые два соседних отсчета соединяют прямыми линиями (как было сделано на рис. 4.14). Для расчета погрешности восстановления представляют исходную сигнальную функцию на интервале дискретизации тремя членами разложения в степенной ряд. Максимум погрешности получается в середине интервала и оценивается как ∆д = 1/8|d2u/dt2|maxTд2. Эту формулу для погрешности линейной интерполяции, давно известную в математике, применил к ЦИТ В.Н. Хлистунов. Именно ей наиболее часто пользуются для оценивания необходимой частоты дискретизации, хотя, конечно, известно множество других способов восстановления – в частности, сплайнами.
Применим формулу Хлистунова, например, к сигналу синусоидальной формы u(t) = Umsinωt = Umsin(2π/Тх)t , где Um – амплитуда, ω = 2π/Тх – угловая частота, а Тх – период сигнала, и найдем относительную погрешность восстановления:
d2u(t)/dt2 = –Um(4π2/Тх2)sin(2π/Тх)t
Поскольку вторая производная находится точно в противофазе с сигналом, максимальная относительная погрешность оказывается отрицательной и одинаковой по модулю на всех интервалах дискретизации: δд = |d2u(t)/dt2/8u(t)|Tд2 = (4π2/8Тх2)Tд2 = π2/2nд2, где nд = Tx/T есть число точек отсчета на периоде сигнала. Если, скажем, задаться δд = 1%, получится nд = 22,2 ≈ 22 точки на периоде.
Полезно сопоставить несколько оценок числа nд для синусоидального сигнала. По теореме Котельникова должно быть nд > 2. При нахождении действующего значения сигнала urms по формуле правильный результат получается уже в случае, когда nд = 3 (но при условии, что nд целое).
Человек способен «узнать» синусоиду, как показали специальные эксперименты, при nд > 5 (не обязательно целом). Наконец, как было показано выше, для восстановления сигнала линейной интерполяцией с допускаемой погрешностью 1% требуется nд > 22,2.
Ясно, что теорема Котельникова для измерительных задач дает слишком грубую оценку частоты дискретизации. Ее можно рассматривать как оценку этой частоты снизу.
Интересно отметить, что рассмотренные выше методы восстановления сигнала во временной области путем простейшей экстраполяции или интерполяции можно трактовать и как фильтрацию (напомним, что фильтр нижних частот фигурировал в объяснении теоремы Котельникова). Очевидно, что фильтр с прямоугольной импульсной реакцией (весовой функцией) длительностью на вход которого поступает последовательность выборок сигнала с тем же интервалом дискретизации выдаст на выходе последовательность примыкающих друг к другу прямоугольных реакций, в точности совпадающую с результатом экстраполяции полиномами нулевого порядка. Можно считать также, что он выполняет ступенчатую интерполяцию с задержкой на Tд/2.
Аналогично фильтр с треугольной весовой функцией длительностью 2Tд реализует линейную интерполяцию с задержкой на Tд (рис. 4.15).
Рис. 4.15
Как показано на рисунке, фильтр с треугольной импульсной реакцией h(x) длительностью 2Тд (рис. 4.15 а), имеющий на входе последовательность выборок сигнала, в ответ на каждую выборку, приходящую в момент tj, выдаст треугольный импульс u(tj)h(t – tj), имеющий максимум, равный амплитуде выборки, в момент tjd = tj + Тд. Суммирование всей последовательности этих перекрывающихся треугольных импульсов с максимумами, равными амплитудам выборок (рис. 4.15 б), как легко убедиться, действительно даст частично видимую на рисунке прерывистую ломаную линию, соответствующую линейной интерполяции исходного сигнала, задержанного на Тд.
Отметим, что эта задержка, различная для разных способов восстановления, неизбежна только при фильтрации в реальном времени. В ряде случаев фильтрации подвергается заранее зарегистрированный массив отсчетов. При такой апостериорной фильтрации, когда суммирование отсчетов, умноженных на значения весовой функции фильтра, выполняется вычислительными средствами, нетрудно совместить точки интерполяции восстановленного сигнала с моментами соответствующих отсчетов и тем самым формально устранить задержку.
Важно, что такое расчетное совмещение можно выполнить и в том случае, если весовая функция фильтра начинается в «минус бесконечности». Таким свойством обладает, в частности, весовая функция идеального фильтра нижних частот, что и объясняет его физическую нереализуемость.
На рис. 4.16 показана эта весовая функция, расположенная на оси времени так, что τ = 0 соответствует ее максимальному значению hd = 1 (индекс d введен для напоминания о том, что весовая функция задержана).
Рис. 4.16
В математическом виде эта функция, для обозначения которой часто используют символ sin c, в обозначениях рисунка 28 выглядит так: hd = sin(πτ/Тд)/(πτ/Тд).
Если совместить точку τ = 0 с моментом появления очередной выборки, нули функции совпадут с моментами появления всех остальных выборок, так что отдельные весовые функции при суммировании «не помешают» друг другу. Это, между прочим, подтверждает независимость выборок сигнала, получаемых с частотой, вдвое большей граничной частоты его спектра: любое множество таких выборок определяет некоторый сигнал с ограниченным спектром.
Таким образом, оказывается возможным расчетное апостериорное восстановление исходной сигнальной функции во временной области «по Котельникову». Отметим, что ряд ∑ujhd(t – tj) обычно непосредственно используется в приводимых в литературе доказательствах теоремы Котельникова.
С функцией sin c, являющейся Фурье-образом прямоугольной функции, еще придется столкнуться в прямо противоположной ситуации: здесь прямоугольная функция была частотной характеристикой, а функция sin c – временной, а далее частотной характеристикой будет функция sin c, поскольку прямоугольная функция будет играть роль весовой функции во временной области.
В домах, где приготовление пищи и отопление осуществляются с использованием природного газа, существует опасность взрыва из-за неконтролируемой утечки газа. Непрерывно работающий датчик природного газа эту опасность может существенно ограничить. Решающим для взрыва газа является нижний предел взрываемости, который для природного газа или для смеси пропана с бутаном равен 2% в смеси с воздухом. В табл. 9.3 приведены пределы взрываемости некоторых практически важных газов. Поскольку чувствительность срабатывания датчиков типа TGS не превышает 0,1%, обеспечивается надежное обнаружение утечки. Принципиальное устройство подобной схемы показано на рис. 9.15. Она состоит в основном из моста Уитстона, питаемого источником постоянного напряжения. В качестве активного элемента в мосте используется датчик, предназначенный для обнаружения взрывоопасных газов. Выходной сигнал моста поступает затем на компаратор, который при превышении некоторого определенного выходного напряжения, устанавливаемого с помощью потенциометра RS, отпирает транзистор (2SD471). Этот сигнал включения можно использовать затем для управления аварийной сиреной или вентилятором подачи воздуха в загазованное помещение. В принципе все датчики типа TGS можно использовать для решения различных задач с использованием схемы, приведенной на рис. 9.15.
Таблица 9.3
|
Вещество |
Химическая формула |
Относительная плотность по сравнению с воздухом |
Пределы взрываемости, % содержания в воздухе |
|
Метан |
СН4 |
0,6 |
5…15 |
|
Этан |
С2Н6 |
1,0 |
3...12,4 |
|
Пропан |
С3Н8 |
1,6 |
2,1...9,5 |
|
Бутан |
С4Н10 |
2,0 |
1,8...8,4 |
|
Пентан |
С5Н12 |
2,5 |
1,4...7,8 |
|
Гексан |
С6Н14 |
3,0 |
1,2...7,4 |
|
Гептан |
С7Н16 |
3,5 |
1,0...6,7 |
|
Октан |
C8H18 |
3,9 |
0,9...6,5 |
|
Декан |
С10Н22 |
4,9 |
0,7...5,6 |
|
Бензол |
C6H6 |
2,8 |
1.2...8,0 |
|
Толуол |
С7Н8 |
3,1 |
1,2...7,1 |
|
Ксилол |
С8Н10 |
3,7 |
1,0...7,2 |
|
Метиленхлорид |
СН2Сl2 |
2,9 |
13...22 |
|
Метанол |
СН3ОH |
1,1 |
5,5...37 |
|
Этанол |
С2Н5ОH |
1,6 |
3,3...19 |
|
Пропанол |
С3Н8О |
2,1 |
2...14 |
|
Бутанол |
С4Н10О |
2,6 |
1,4...12 |
|
Метиловый эфир |
С2Н6О |
1,6 |
3.4...18 |
|
Ацетон |
С3Н6О |
2,0 |
2,1...13 |
|
Этилацетат |
С4Н8О2 |
3,0 |
2,1...11,5 |
|
Оксид углерода |
СО |
1,0 |
12,5...74 |
|
Водород |
Н2 |
0,07 |
4...75 |
Рис. 9.15. Измерительная схема детектора природного газа (взрывозащита).
IC — компаратор на интегральной микросхеме.
Полупроводниковые газовые датчики серии TGS можно применять также для анализа на содержание паров алкоголя, так как в принципе эти датчики реагируют на все горючие (окисляющиеся) газы. С помощью соответствующей схемы такого рода датчик можно использовать, например, для обнаружения содержания алкоголя в крови. Его принцип работы довольно прост. После употребления алкоголя определенная часть его, содержащаяся в крови, обнаруживается также и в выдыхаемом воздухе. Чем выше содержание алкоголя в крови, тем больше доля его паров в выдыхаемом воздухе. Если датчик TGS обдувается воздухом с некоторым содержанием алкоголя, то в соответствии с концентрацией последнего в воздухе изменится сопротивление датчика.
Это изменение сопротивления можно определить затем с помощью измерительной схемы. Посредством соответствующей калибровки можно измерить также содержание алкоголя в крови и тем самым оценить возможность допуска к управлению автомобилем. Такая измерительная схема показана на рис. 9.16. Она состоит из питаемого постоянным напряжением (LM 7S05) измерительного моста. В качестве активного элемента установлен газовый датчик TGS 812. Собственно измерительное напряжение подается к указанной на рис. 9.16 точке MP. В зависимости от концентрации алкоголя оно изменяется в диапазоне 0,4...5 В. Выходное напряжение подается на инвертирующие входы шести операционных усилителей, включенных как компараторы.
Резисторы R8...R12 составляют делитель опорных напряжений. Верхнее значение этих напряжений устанавливается потенциометром Р1, а нижнее — потенциометром Р2. При включении питания светоизлучающего диода LED 1 («Готов») и нажатии клавиши «Исх. пол.» (Исходное положение) запоминающие триггеры устанавливаются на 1. В этом случае светится LED 2 (0‰ – 0 промилле). Если же на датчик попадают пары алкоголя, то измерительное напряжение (в точке MP рис. 9.16) постепенно возрастает. Вследствие этого последовательно срабатывают отдельные компараторы, переключаются соответствующие триггеры и начинают светиться подключенные к ним светодиоды. Если пары алкоголя перестают воздействовать на датчик, то измерительное напряжение снова медленно спадает. Однако самый верхний СИД (соответствующий наивысшей концентрации алкоголя) продолжает светиться, так как все переключившиеся триггеры сохраняют свое состояние. Лишь после нажатия клавиши «Исх. пол.» снова устанавливается первоначальное состояние. Перед повторным замером следует выждать несколько минут, чтобы датчик мог немного «отдохнуть».
Рис. 9.16. Измерительная схема детектора следов алкоголя:
МР — точка подключения измерительного прибора;
ZPD — диод Зенера;
LED — светоизлучающий диод.
Перед калибровкой газовый датчик в течение нескольких дней следует подвергнуть старению для получения надежных результатов измерений.
Лучше всего проводить калибровку с использованием водки крепостью 40º. Для этого в восемь рюмок наливают точно по 20 мл. Затем одну из этих рюмок выпивают и выжидают примерно 1/4 ч, чтобы алкоголь мог перейти в кровь, и в полости рта не оставалось бы следов алкоголя. После этого нужно подуть на датчик и убедиться, что показания все еще составляют 0‰, как и должно быть. В противном случае следует осуществить регулировку настроечным потенциометром Р2. После второй рюмки также следует сделать паузу 1/4 ч. Показания должны составлять 0,2‰. Эта процедура продолжается далее, пока после восьмой дозы показания не достигнут 1,0‰. Конечное значение можно установить потенциометром P1. Калибровка рассчитана на вес тела 75 кг и на проведение процедуры натощак. Жирная пища и больший вес соответственно снижают показания.
Преимущества и недостатки ИС параллельного действия присущи и корреляционным ИС параллельного действия.
Структурные схемы аналоговой и аналого-цифровой корреляционных систем параллельного действия представлены на рис. 14.20 и 14.21. Схема аналоговой системы не требует пояснений. Аналого-цифровая корреляционная ИС позволяет произвести одновременное измерение 100 коэффициентов корреляции. Частота работы генератора импульсов от 100 Гц до 1 МГц, максимальное время задержки создающейся регистрами сдвига, при этом изменяется от 1 с до 100 мкс. Кодоимпульсный сигнал от АЦП поступает сначала на триггерные регистры сдвига, затем на умножающие устройства и на интегрирующие цепочки. Измерение уровней напряжений на конденсаторах производится после выполнения цикла анализа.
Рис. 14.20. Многоканальная аналоговая корреляционная ИС
Рис. 14.21. Многоканальная аналого-цифровая корреляционная ИС
В цифровых коррелометрах параллельно-последовательного действия возможно несколько вариантов структур. В большинстве случаев общими элементами информационного канала являются устройства умножения, суммирующее и ЗУ.
Корреляционная функция в цифровом корреляторе при сильно коррелированной выборке определяется по формуле при k = 0, 1, ... (m – 1). Здесь kΔτ — интервал сдвига, а mΔτ — интервал корреляции. При некоррелированной выборке и Δt >> Δτ
.
Рис. 14.22. Схема цифрового коррелометра
После аналого-цифрового преобразования (рис. 14.22) результаты измерений заносятся в регистры RGX и RGY. В запоминающем устройстве RAMX хранятся результаты измерений мгновенных значений ox(iΔt), взятых через интервал времени Δt = Δτ. Количество в RAMX результатов измерения определяет количество измеряемых коэффициентов корреляции. В течение интервала Δt производится последовательное умножение всех запомненных значений ox(iΔt) (i = 0, 1, 2, ..., m) на реализовавшееся значение oy(jΔt). Полученные произведения [ox(iΔt)oy(jΔt) при i = var и j = const] суммируются и хранятся в ЗУ. После выполнения этих операций, продолжающихся в течение Δt, производится измерение следующих дискретных значений: ox(m + l, Δt) и oy(m + l, Δt). В запоминающее устройство RAMX заносится значение ox(m + l, Δt) и убирается избыточное. В системе имеется возможность следить за текущими значениями коэффициентов корреляции, хранящимися в ЗУ. Обычно аналого-цифровое преобразование производится с невысокой точностью, результат измерения представляется тремя-четырьмя двоичными разрядами. Количество интервалов квантования корреляционной функции m ≤ 100. Устройство умножения должно обладать быстродействием, обеспечивающим выполнение m операций за интервал времени Δt. Если на выполнение операций умножения отвести 50 мкс и принять m = 64, то Δtmin = 3,2*10-3с. Отсюда видно, что подобный режим коррелометра позволяет анализировать относительно низкочастотные случайные процессы.
Для повышения быстродействия используются режимы работы коррелометра, при которых Δt/τ0 > 1. Тогда количество интервалов квантования m уменьшается, упрощается запоминающее устройство RAMX, облегчаются требования (по быстродействию) к устройствам умножения. Однако для обеспечения заданной погрешности оценки корреляционных функций необходимо увеличивать длительность реализаций случайного процесса.
До сих пор рассматривались коррелометры, предназначенные для работы со случайными процессами, реализации которых представлены в виде электрических сигналов. Однако большое количество реализаций может быть дано в виде графических материалов. Известны коррелометры параллельного и параллельно-последовательного действия, выполненные с применением оптических средств восприятия и обработки таких графических материалов. Оптические устройства для статистической обработки графиков позволяют обеспечить высокое быстродействие при относительно невысокой сложности. Для корреляционного и вообще статистического анализа с помощью оптических устройств целесообразно использовать специальные формы представления анализируемого графического материала (теневые графики, кодовая регистрация и т.д.). Для статистической обработки графических материалов весьма широко используются сканирующие ИС.