У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

правило разложения определителя по строке или столбцу

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-10

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 20.2.2025

PAGE  7

Занятие 3.  Определители (продолжение). Обратная матрица

 

3.1. Миноры и алгебраические дополнения.

3.2. Разложение определителя по строке (столбцу).

3.3. Обратная матрица, ее нахождение. Невырожденные и вырожденные матрицы.

3.1. Миноры и алгебраические дополнения.

Часто применяемым, а потому важным приемом вычисления определителей является «правило разложения определителя по строке или столбцу». Этот прием позволяет свести вычисление определителя -го порядка к вычислению не более, чем  определителей  -го порядка. Чтобы правильно пользоваться этим правилом требуется уметь находить следующие величины: миноры и алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы. Напомним их определения.

Минором  элемента   квадратной матрицы  называется определитель, полученный из определителя  вычеркиванием -й строки и -го столбца, т.е. строки и столбца на пересечении которых стоит элемент .

Алгебраическим дополнением элемента  квадратной матрицы  называется число  , где  -минор элемента .

Перейдем к примерам.

Пример 1. Найти миноры  и алгебраические дополнения  соответствующих элементов матрицы .

Решение.

1) Согласно определению минора, минор   получается из определителя матрицы  вычеркиванием 2-й строки и 1-го столбца. Следовательно, .

2) Минор   получается из определителя матрицы  вычеркиванием 2-й строки и 1-го столбца.  .

3)  .

4)  .

Пример 2. Найти миноры  и алгебраические дополнения  соответствующих элементов матрицы .

1) .  

2)  .      .

Вычисление определителей и получение окончательного ответа предоставляем читателю.

3.2. Разложение определителя по строке (столбцу).

Разложение определителя  по й строке производится по формуле:

              .                                                                            (1)

Аналогично разлагается определитель по  му столбцу:

             .                                                                           (2)  

Пример 3. Вычислить определитель матрицы  из примера 1  тремя способами: по правилу Саррюса; разложением по 2-й строке; разложением по 3-му столбцу.

Решение.

1) По правилу Саррюса:    .

2) Разложение определителя  по 2-й строке согласно формуле (1) имеет вид:

                               .

Т.к.   и

,

получаем   .

3) Разложение определителя  по 3-му столбцу согласно формуле (3) дает:

                                 .

Следовательно,                   

Во всех трех случаях получен один и тот же результат, что и должно быть.

Пример 4. Вычислить определитель матрицы  из примера 2 двумя способами: разложением по 2-й строке и разложением по 3-му столбцу.

Решение.

1) Разложение определителя по 2-й строке имеет вид:

.

,

,

.

Следовательно,  .

2) Разложение определителя  по 3-му столбцу имеет вид:

.

,

,

.

Следовательно, .

Комбинирование основных свойств определителей с методом разложения определителя по строке (столбцу) является наиболее эффективным средством вычисления определителей 4-го и более высоких порядков.

Пример 5.  Вычислить определитель .

Решение.

.

Здесь над определителем  проведены следующие действия.

1.  Ко 2-му столбцу прибавили 1-й столбец, умноженный на (-1).

2. Полученный определитель (с индексом 2 внизу) разложили по 2-му столбцу.

Пример 6.  Вычислить определитель .

Решение.

Здесь индексами отмечены следующие действия.

1. К  2-й строке определителя  прибавлена 1-я строка,

   к 3-й строке прибавлена 1-я строка, умноженная на ,

   к 4-й строке прибавлена 1-я строка, умноженная на ,

   к 5-й строке прибавлена 1-я строка, умноженная на  4.

2. Полученный определитель (с индексом 2 внизу) разложили по 1-му столбцу.

3. В определителе с индексом 3

   к 2-й строке прибавили 1-ю, умноженную на 11,

   к 3-й строке прибавили1-ю, умноженную на 5,

   к 4-й строке прибавили 1-ю, умноженную на .

4. Определитель с индексом 4 разложили по 1-му столбцу.

5. В определителе с индексом 5 к 1-му столбцу прибавили 3-й столбец, умноженный на 9.

6. Определитель с индексом 6 разложили по 1-й строке.

3.3. Обратная матрица, ее нахождение. Невырожденные и вырожденные матрицы. 

Пусть  - квадратная матрица.  Матрица  называется обратной матрицей для матрицы , если  , где  единичная матрица.  Т.к. , то отсюда выводится, что ,  т.е. обратная матрица  определяется только для матриц , определитель которых не равен нулю. Такие матрицы называются невырожденными (квадратные матрицы, у которых определитель равен нулю называются вырожденными).  Для неквадратных матриц   размером ,  обратная матрица не определяется.

Приведем последовательность действий, позволяющих найти  по заданной матрице .

1. Вычисляем . Если  , то делается вывод: не существует. Если  матрица  существует и для ее нахождения переходим к выполнению следующих пунктов.

2. Находим все алгебраические дополнения  матрицы  и составляет из них матрицу .

3. Находим .

4. Вычисляем   по формуле:   .

Пример 7. Найти обратную матрицу для матрицы    .

Решение.

1.  матрица  не вырождена и матрица  существует.

2. Вычислим все алгебраические дополнения матрицы  и составим из них матрицу .

             .

3. Транспонируем матрицу .      .

4. Находим искомую матрицу .    .

Сделаем проверку.  Должно быть  и  , где - единичная матрица.

1-я проверка.    ,   где

Следовательно,  .

2-я проверка.  ,  где

Следовательно,  .

Ответ. .

Пример 8. Найти обратную матрицу для матрицы    .

Решение.  Ответ.  не существует.

Пример 9. Найти обратную матрицу для матрицы    .

Решение.

1.  существует.

2. Найдем все алгебраические дополнения матрицы  и составим из них матрицу .

.

.

3.  .

4.

Проверка.  

.

Ответ.  .

Домашнее задание.

1. Дана матрица .

Найти миноры   и алгебраические дополнения

Вычислить определитель матрицы  двумя способами:

а) разложением по 3-й строке;  б) разложением по 4-му столбцу.

2. Найти обратные матрицы для матриц ,   .




1. Чим одні фірми відрізняються від інших Фірмою називається економічно самостійна одиниця яка створюється
2. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата юридичних наук
3. Мир Эльф Акитен
4. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата медичних наук
5. . У археологов производящих раскопки в центральной Африке вдали от населенных пунктов закончилась питье
6.  ПОНЯТИЕ Криминология ~ учебная дисциплина изучающая преступления их причины виды их взаимосвязи с разл
7. Определения ассортимента номенклатуры выпускаемой продуктов
8. Контрольная работа- Рахунки бухгалтерського обліку
9. Учебное пособие- Регуляция транскрипции у прокариот и эукариот
10. Курский государственный политехнический колледж Курсовая работа Конструкция назначение БС