Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 7
Занятие 3. Определители (продолжение). Обратная матрица
3.1. Миноры и алгебраические дополнения.
3.2. Разложение определителя по строке (столбцу).
3.3. Обратная матрица, ее нахождение. Невырожденные и вырожденные матрицы.
3.1. Миноры и алгебраические дополнения.
Часто применяемым, а потому важным приемом вычисления определителей является «правило разложения определителя по строке или столбцу». Этот прием позволяет свести вычисление определителя -го порядка к вычислению не более, чем определителей -го порядка. Чтобы правильно пользоваться этим правилом требуется уметь находить следующие величины: миноры и алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы. Напомним их определения.
Минором элемента квадратной матрицы называется определитель, полученный из определителя вычеркиванием -й строки и -го столбца, т.е. строки и столбца на пересечении которых стоит элемент .
Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называется число , где -минор элемента .
Перейдем к примерам.
Пример 1. Найти миноры и алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы .
Решение.
1) Согласно определению минора, минор получается из определителя матрицы вычеркиванием 2-й строки и 1-го столбца. Следовательно, .
2) Минор получается из определителя матрицы вычеркиванием 2-й строки и 1-го столбца. .
3) .
4) .
Пример 2. Найти миноры и алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы .
1) .
2) . .
Вычисление определителей и получение окончательного ответа предоставляем читателю.
3.2. Разложение определителя по строке (столбцу).
Разложение определителя по й строке производится по формуле:
. (1)
Аналогично разлагается определитель по му столбцу:
. (2)
Пример 3. Вычислить определитель матрицы из примера 1 тремя способами: по правилу Саррюса; разложением по 2-й строке; разложением по 3-му столбцу.
Решение.
1) По правилу Саррюса: .
2) Разложение определителя по 2-й строке согласно формуле (1) имеет вид:
.
Т.к. и
,
получаем .
3) Разложение определителя по 3-му столбцу согласно формуле (3) дает:
.
Следовательно,
Во всех трех случаях получен один и тот же результат, что и должно быть.
Пример 4. Вычислить определитель матрицы из примера 2 двумя способами: разложением по 2-й строке и разложением по 3-му столбцу.
Решение.
1) Разложение определителя по 2-й строке имеет вид:
.
,
,
.
Следовательно, .
2) Разложение определителя по 3-му столбцу имеет вид:
.
,
,
.
Следовательно, .
Комбинирование основных свойств определителей с методом разложения определителя по строке (столбцу) является наиболее эффективным средством вычисления определителей 4-го и более высоких порядков.
Пример 5. Вычислить определитель .
Решение.
.
Здесь над определителем проведены следующие действия.
1. Ко 2-му столбцу прибавили 1-й столбец, умноженный на (-1).
2. Полученный определитель (с индексом 2 внизу) разложили по 2-му столбцу.
Пример 6. Вычислить определитель .
Решение.
Здесь индексами отмечены следующие действия.
1. К 2-й строке определителя прибавлена 1-я строка,
к 3-й строке прибавлена 1-я строка, умноженная на ,
к 4-й строке прибавлена 1-я строка, умноженная на ,
к 5-й строке прибавлена 1-я строка, умноженная на 4.
2. Полученный определитель (с индексом 2 внизу) разложили по 1-му столбцу.
3. В определителе с индексом 3
к 2-й строке прибавили 1-ю, умноженную на 11,
к 3-й строке прибавили1-ю, умноженную на 5,
к 4-й строке прибавили 1-ю, умноженную на .
4. Определитель с индексом 4 разложили по 1-му столбцу.
5. В определителе с индексом 5 к 1-му столбцу прибавили 3-й столбец, умноженный на 9.
6. Определитель с индексом 6 разложили по 1-й строке.
3.3. Обратная матрица, ее нахождение. Невырожденные и вырожденные матрицы.
Пусть - квадратная матрица. Матрица называется обратной матрицей для матрицы , если , где единичная матрица. Т.к. , то отсюда выводится, что , т.е. обратная матрица определяется только для матриц , определитель которых не равен нулю. Такие матрицы называются невырожденными (квадратные матрицы, у которых определитель равен нулю называются вырожденными). Для неквадратных матриц размером , обратная матрица не определяется.
Приведем последовательность действий, позволяющих найти по заданной матрице .
1. Вычисляем . Если , то делается вывод: не существует. Если матрица существует и для ее нахождения переходим к выполнению следующих пунктов.
2. Находим все алгебраические дополнения матрицы и составляет из них матрицу .
3. Находим .
4. Вычисляем по формуле: .
Пример 7. Найти обратную матрицу для матрицы .
Решение.
1. матрица не вырождена и матрица существует.
2. Вычислим все алгебраические дополнения матрицы и составим из них матрицу .
.
3. Транспонируем матрицу . .
4. Находим искомую матрицу . .
Сделаем проверку. Должно быть и , где - единичная матрица.
1-я проверка. , где
Следовательно, .
2-я проверка. , где
Следовательно, .
Ответ. .
Пример 8. Найти обратную матрицу для матрицы .
Решение. Ответ. не существует.
Пример 9. Найти обратную матрицу для матрицы .
Решение.
1. существует.
2. Найдем все алгебраические дополнения матрицы и составим из них матрицу .
.
.
3. .
4.
Проверка.
.
Ответ. .
Домашнее задание.
1. Дана матрица .
Найти миноры и алгебраические дополнения
Вычислить определитель матрицы двумя способами:
а) разложением по 3-й строке; б) разложением по 4-му столбцу.
2. Найти обратные матрицы для матриц , .