Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция №16
Молекулярная физика и термодинамика
Статистический подход. Функция распределения. Барометрическая формула. Распределение Больцмана. Распределение Максвела (по скоростям молекул). Распределение Максвела-Больцмана.
Статистический метод описания состояний макроскопических тел (термодинамических систем) основывается на определении статистических закономерностей случайного (теплового) движения отдельных микрочастиц тела. Несмотря на то, что переменные (координаты и скорости), описывающие движение отдельных, взаимодействующих между собой микрочастиц тела (атомов и молекул), изменяются случайным образом, и предсказать их значения в следующий момент времени не представляется возможным, изменение их средних значений происходит закономерно. Аналогичным закономерным образом изменяются и средние значения любых функций от переменных, использующихся для описания движения, таких, например, как квадрат или модуль скорости поступательного движения молекулы.
Наблюдаемые параметры термодинамической системы (температура, давление и т.д.) определяются как средние значения соответствующих функций от переменных, описывающих движение микрочастиц. Разработкой методов определения свойств макроскопических тел через параметры, описывающие движение и взаимодействие микрочастиц, из которых эти тела состоят, занимается статистическая физика.
16.1. Функция распределения
В качестве основной функции, применяемой при статистическом методе описания, выступает функция распределения, которая определяет статистические характеристики рассматриваемой системы. Знание её изменения с течением времени позволяет описывать поведение системы со временем. Функция распределения дает возможность рассчитывать все наблюдаемые термодинамические параметры системы.
Для введения понятия функции распределения сначала рассмотрим какую-либо макроскопическую систему, состояние которой описывается некоторым параметром , принимающим дискретных значений: , , ,..., . Пусть при проведении над системой измерений были получены следующие результаты: значение наблюдалось при измерениях, значение наблюдалось соответственно при измерениях и т.д. При этом, очевидно, что общее число измерений равняется сумме всех измерений , в которых были получены значения : .
Увеличение числа проведенных экспериментов до бесконечности приводит к стремлению отношения к пределу
|
. |
(16.1) |
Величина называется вероятностью измерения значения .
Вероятность представляет собой величину, которая может принимать значения в интервале . Значение соответствует случаю, когда ни при одном измерении не наблюдается значение и, следовательно, система не может иметь состояние, характеризующееся параметром . Соответственно вероятность возможна только, если при всех измерениях наблюдалось только значение . В этом случае, система находится в детерминированном состоянии с параметром .
Сумма вероятностей нахождения системы во всех состояниях с параметрами равна единице:
|
. |
(16.2) |
Условие (5.2) указывает на достаточно очевидный факт, что если набор возможных дискретных значений , , является полным (то есть включает все возможные значения параметра в соответствии с условиями физической задачи), то при любых измерениях параметра должны наблюдаться значения этого параметра только из указанного набора .
Пусть в результате измерений было установлено, что величина с вероятностью попадает в интервал значений от до . Тогда можно ввести функцию , характеризующую плотность распределения вероятностей:
|
. |
(16.3) |
Эта функция в физике обычно называется функцией распределения.
Функция распределения должна удовлетворять условию: , так как вероятность попадания измеренного значения в интервал от до не может быть отрицательной величиной. Вероятность того, что измеренное значение попадет в интервал равна
|
. |
(16.4) |
Соответственно, вероятность попадания измеренного значения в весь интервал возможных значений равна единице:
|
. |
(16.5) |
Выражение (16.5) называется условием нормировки функции распределения.
Функция распределения позволяет определить среднее значение любой функции :
|
. |
(16.6) |
В частности по формуле (16.6) может быть найдено среднее значение параметра :
|
. |
(16.7) |
Если состояние системы характеризуется двумя параметрами и , то вероятность её нахождения в состоянии со значениями этих параметров в интервалах и соответственно равна
|
, |
(16.8) |
где - двумерная функция распределения. Примером такой функции может служить совместное распределение для координат и скоростей молекул газа.
Соответственно для бесконечно малых интервалов и вероятность можно представить в виде
|
. |
(16.9) |
В случае статистической независимости значений параметров и друг от друга двумерная функция распределений равна произведению функций распределения и :
|
. |
(16.10) |
Это свойство функций распределения будет нами использовано при рассмотрении распределения Максвелла-Больцмана.
16.2. Распределение Больцмана
При статистическом описании распределения микрочастиц в пространстве координат , и обычно используется не функция распределения , а концентрация , которая определяется формулой:
|
, |
(16.11) |
где - полное число микрочастиц в объеме системы.
Формула для нахождения среднего значения какой либо функции при использовании концентрации отличается от выражения (16.6) и имеет вид:
|
, |
(16.12) |
где - объем термодинамической системы.
Если на систему не действуют внешние силы и она находится в состоянии термодинамического равновесия, то концентрация микрочастиц будет одинакова во всех точках системы: . В случае, когда на микрочастицы системы воздействует внешнее силовое поле, например, гравитационное, то их концентрация становится различной в разных точках пространства. При этом состояние термодинамического равновесия должно сохраняться.
Рассмотрим случай нахождения идеального газа во внешнем гравитационном поле.
Пусть гравитационное поле однородно, а ось направлена вертикально вверх. Тогда концентрация молекул газа будет зависеть только от координаты : . На рис. 16.1 схематически изображен бесконечно малый выделенный объем газа , находящийся в равновесии. Снизу на этот выделенный объем газа воздействует давление , а сверху - соответственно давление . Условие механического равновесия для объема газа запишется в виде:
|
(16.13) |
или
|
, |
(16.14) |
где: - плотность газа, - ускорение свободного падения, - масса одной молекулы газа.
|
Рис. 16.1. |
Подстановка в формулу (16.14) выражения для плотности газа
|
, |
(16.15) |
которое является следствием основного уравнения молекулярно-кинетической теории (лекция №12):
|
, |
(16.16) |
дает следующее уравнение для давления газа:
|
. |
(16.17) |
Здесь - постоянная Больцмана.
Интегрирование уравнения (16.17) при условии: позволяет определить зависимость давления от высоты:
|
, |
(16.18) |
где - давление газа на высоте, принятой за начало отсчета.
Учитывая, что для постоянной Больцмана:
|
, |
(16.19) |
где - молярная масса газа, выражение (16.18) можно представить в виде:
|
. |
(16.20) |
Эта зависимость носит название барометрической формулы. Она, в частности, позволяет рассчитывать зависимость давления атмосферы от высоты в случае, если температура атмосферы постоянна, а гравитационное поле - однородно.
Подстановка уравнения состояния (16.16) в выражение (16.18) позволяет получить следующую зависимость концентрации молекул идеального газа от координаты :
|
, |
(16.21) |
где - концентрация газа при .
Формула (16.21) была получена в предположении, что газ находится в однородном гравитационном поле и, следовательно, потенциальную энергию его молекулы в зависимости от координаты можно выразить простой формулой:
|
. |
(16.22) |
Сопоставление формул (16.21) и (16.22) позволяет сделать вывод, что для однородного гравитационного поля распределение концентрации газа зависит от потенциальной энергии его молекул в этом поле. Считая, что данное утверждение справедливо для любого потенциального силового поля, потенциальная энергия молекул газа в котором описывается зависимостью , запишем выражение для определения концентрации молекул газа в виде:
|
, |
(16.23) |
где - концентрация газа в точке, соответствующей началу координат при условии, что .
Формула (16.23) была впервые получена в 1866 году Л. Больцманом и описывает распределение, получившее название распределения Больцмана. Это распределение позволяет рассчитывать концентрацию газа, находящегося в равновесном состоянии во внешнем силовом поле. Причем это поле не должно быть обязательно гравитационным, а может иметь любое происхождение, в частности, быть электростатическим или полем сил инерции.
Анализ распределения Больцмана показывает, что концентрация молекул газа тем выше, чем меньше их потенциальная энергия. Кроме этого, с понижением температуры увеличивается отличие концентраций в точках с различными значениями потенциальной энергии молекул. А при стремлении температуры к абсолютному нулю, молекулы начинают скапливаться в месте, где их потенциальная энергия принимает наименьшее значение. Указанные особенности распределения Больцмана являются следствием теплового движения молекул, так как кинетическая энергия их поступательного движения в среднем равна и уменьшается пропорционально уменьшению температуры. А уменьшение кинетической энергии приводит к уменьшению количества молекул, способных преодолеть потенциальный порог, высота которого характеризуется величиной потенциальной энергии высотой .
16.3. Распределение Максвелла
Вид функции распределения может быть установлен с помощью формальных рассуждений, не связанных с исследованием особенностей взаимодействия молекул газа между собой. Рассмотренный ниже подход был предложен Максвеллом в 1859 году.
Введем пространство скоростей. Скорость любой молекулы газа можно представить через её проекции , и на соответствующие оси системы координат в пространстве скоростей. Если указанные значения отложить по осям , и прямоугольной системы координат, то можно построить пространство скоростей, каждая точка в котором будет соответствовать определенному набору проекций скорости молекулы газа (см. рис. 16.2).
|
Рис. 16.2. |
Далее сделаем предположение, что вероятности попадания значений проекций скорости молекулы , и в соответствующие интервалы , и не зависят друг от друга, то есть значения проекций скорости молекул на ортогональные оси считаются статистически независимыми величинами. Тогда по аналогии с формулой (16.10) функцию распределения можно представить в виде:
|
, |
(16.24) |
где , и - функции распределения значений соответствующих проекций скорости , и , причем вид этих функций должен быть одинаковым, так как все оси системы координат в пространстве скоростей равноправны.
Максвел получил, что , функция распределения значений проекции скорости определяется выражением:
|
, |
(16.25) |
а функция распределения молекул газа по скоростям соответственно имеет вид
|
(16.26) |
или
|
. |
(16.27) |
Функции (16.25) и (16.26) (или (16.27)) называются функциями распределения Максвелла. Качественно вид функции (16.25), изображенной на рис. 16.3, совпадает с нормальным законом распределения Гаусса, описывающим распределение ошибок измерений случайной величины.
|
Рис. 16.3. |
Кроме полученного выше распределения Максвелла часто при проведении расчетов используется распределение по абсолютным значениям скоростей молекул газа.
|
(16.28) |
называется функцией распределения Максвелла по абсолютным значениям скоростей, и она показывает вероятность того, что величина скорости имеет значения от до .
На рис. 16.4 изображен график функции распределения . Максимум этой функции соответствует наиболее вероятному значению скорости молекул газа , которую можно определить, приравняв к нулю производную от функции :
|
. |
(16.29) |
Отсюда следует, что кроме случаев когда и , соответствующих минимуму функции , имеется решение
|
, |
(16.30) |
дающее выражение для наиболее вероятной скорости молекул газа.
|
Рис. 16.4. |
Кроме наиболее вероятной скорости, функция позволяет найти среднюю скорость
|
(16.31) |
и среднее значение квадрата скорости
|
. |
(16.32) |
Вычисление интегралов окончательно дает выражения для средней скорости
|
(16.33) |
и для средней квадратичной скорости молекул
|
. |
(16.34) |
Формула (16.34) для средней квадратичной скорости может быть также получена на основании формулы, описывающей среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа (см. лекцию №12).
Полученные значения скоростей численно отличаются друг от друга на величину, меньшую, чем их значения, причем , что проиллюстрировано на рис. 16.4.
Кроме функции распределения по абсолютным значениям скорости применяется функция распределения по значениям кинетической энергии поступательного движения молекул , характеризующая вероятность попадания значений кинетической энергии в интервал :
|
. |
(16.35) |
Эти распределения справедливы только для равновесного состояния термодинамической системы. Вследствие достаточно общего метода их получения, они применимы не только для газов, но и для любых систем, движение микрочастиц которых описывается уравнениями классической механики.
5.5. Экспериментальная проверка распределения Максвелла
Прямые измерения скорости атомов ртути в пучке были выполнены в 1929 году Ламмертом. Упрощенная схема этого эксперимента показана на рис. 16.5.
|
Рис. 16.5. |
Два диска 1, насаженные на общую ось, имели радиальные прорези 2, сдвинутые друг относительно друга на угол . Напротив щелей находилась печь 3, в которой нагревался до высокой температуры легкоплавкий металл. Разогретые атомы металла, в данном случае ртути, вылетали из печи и с помощью коллиматора 4 направлялись в необходимом направлении. Наличие двух щелей в коллиматоре обеспечивало движение частиц между дисками по прямолинейной траектории 5, параллельной их оси. В установке Ламмерта в дисках было сделано множество щелей (они на рисунке не изображены) с целью увеличения интенсивности прошедшего пучка. Далее атомы, прошедшие прорези в дисках, регистрировались с помощью детектора 6. Вся описанная установка помещалась в глубокий вакуум.
При вращении дисков с постоянной угловой скоростью , через их прорези беспрепятственно проходили только атомы, имевшие скорость :
|
, |
(16.36) |
где - расстояние между вращающимися дисками.
Изменяя угловую скорость вращения дисков можно было отбирать из пучка молекулы, имеющие определенную скорость , и по регистрируемой детектором интенсивности судить об относительном содержании их в пучке.
Таким способом удалось экспериментально проверить статистический закон распределения молекул по скоростям.
16.4. Распределение Максвелла-Больцмана
Полученные в предыдущих параграфах распределения Больцмана (16.23) и Максвелла (16.27) позволяют определить соответственно зависимость концентрации молекул от координат и функцию распределения по скоростям . При этом распределение Больцмана описывается в пространстве координат , и , а распределение Максвелла в пространстве скоростей , и .
Если ввести 6-мерное пространство, координатами молекулы в котором являются величины , , , , и , то функция распределения в таком пространстве будет зависеть от этих шести переменных: . Считая пространственные переменные , , и компоненты скорости , , статистически независимыми друг от друга, на основании формулы (16.10) можно записать:
|
|
(16.37) |
или
|
, |
(16.38) |
где выражение для кинетической энергии имеет вид:
|
. |
(16.39) |
Формула (5.77) описывает распределение, называющееся распределением Максвелла-Больцмана. Она может быть использована в случае, когда полная энергия молекулы равна сумме её потенциальной энергий во внешнем силовом поле и кинетической энергии её поступательного движения: .