У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Лабораторная работа 1 по курсу Методы вычислений Математический факультет 5 семестр

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-10

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 3.4.2025

Лабораторная работа №1

по курсу   Методы вычислений

Математический факультет, 5 семестр

Тема

Численное решение краевой задачи для обыкновенного  дифференциального уравнения второго порядка.

Ф.И.О.

Новосёлова Марина Игоревна

Группа

481 (а)

Вариант

7

Дата сдачи

Пусть на отрезке [a,b] требуется найти решение дифференциального уравнения

y+p(x)y+q(x)y=f(x),       (1)

удовлетворяющее краевым условиям

d1y(a)+d2y(a)=d, e1y(b)+e2y(b)=e, d1+d20, e1+e20.  (2)

На отрезке [a,b] построим равномерную сетку xk=a+kh, k=0,1,...,N, где h=(b-a)/N шаг сетки. Задачу (1)-(2) аппроксимируем следующей конечноразностной задачей

(yk+1-2yk+yk-1)/h2+pk(yk+1-yk-1)/(2h)+qkyk= fk, k=1,2,...,N-1

d1y0+d2(y1-y0)/h=d, e1yN+e2(yN-yN-1)/h=e,    (3)

здесь использованы общепринятые обозначения : Q(xk)=Qk.

Систему (3) запишем в виде

akyk-1-bkyk+ckyk-1=Fk, k=1,2,...,N-1,     (4)

y0=r1y1+s1, yN=r2yN-1+s2,      (5)

где

аk=1-hpk/2, bk=2-h2qk,  ck=1+hpk/2,  Fk=h2fk,

r1=d2/(d2-hd1), s1=-hd/(d2-hd1), r2=e2/(e2+he1),  s2=he/(e2+he1).

Систему (4)-(5) можно решить методом прогонки при выполнении следующих условий на её коэффициенты: bkak+ck, k=1,2,...,N-1, r1  1, r2  1. Причем, хотя бы одно из этих неравенств должно быть строгим.

Метод прогонки для решения системы (4)-(5).

Решение этой системы будем искать в виде

yk-1=kyk+ k        (6)

Из первого равенства (5) находим, что

1=r1 ,  1=s1,        (7)

а из системы (4) и соотношений (6) получаем рекуррентные формул

k+1=ck/(bk-kak),   k+1=(kak-Fk)/(bk-kak).    (8)

Формулы (8) и равенства (7) позволяют определить k, k, k=1,2,...,N. Из второго равенства (5) и равенства (6) при k=N находим, что

yN=(Nr2+s2)/(1-Nr2).       (9)

Равенства (9) и (6) позволяют определить искомые  yk,   k=N,N-1,...,0.

Задание вариант  7.

Номер

варианта

a

b

p(x)

q(x)

f(x)

d1

d2

d

e1

e2

e

y(x)

7.

0

1

x

-2

0

1

0

1

1

1

4

x2+1


Решение

  1.  Текст программы:

Eps= 0.005

a0=0; b0=1; d1= 1; d2 =0; d=1; e1=1; e2=1; e=4;

E=100; N=2;

while E > Eps

N=N+1;

h=(b0-a0)/N;

x=0; p =0; q=0; f=0; a=0; b=0; c=0; F=0;

for k = 1:N+1

x(k) = a0 + (k-1)*h;

p(k) = x(k);

q(k) = -2;

f(k) = 0;

end

for k= 2:N

a(k) = 1 - h*p(k)/2;    b(k) = 2-(h^2)*q(k);

c(k) = 1+h*p(k)/2;      F(k) = h^2*f(k);

end

r1=d2/(d2-h*d1);    s1=-h*d/(d2-h*d1);

r2=e2/(e2+h*e1);    s2=h*e/(e2+h*e1);

alfa=0; betta=0;

alfa(2)=r1;   betta(2)=s1;

for k=2:N

alfa(k+1)=c(k)/(b(k)-alfa(k)*a(k));

betta(k+1)=(betta(k)*a(k)-F(k))/(b(k)-alfa(k)*a(k));

end

y=0;

y(N+1)=(betta(N+1)*r2+s2)/(1-alfa(N+1)*r2);

for m=1:N

k = (N+1)-m;   

y(k)=alfa(k+1)*y(k+1)+betta(k+1);  

end

Y=0;

Y=x^2+1;

E=0;

E=max(abs(y-Y));

end

N

plot(x,y,'-r',x,Y,'b');

  1.  


  1.  Решение для Eps = 0.005

k

X

Y приближенное решение

Y точное решение

1

0,000000000

1,000552613

1,000000000

2

0,022471910

1,001357860

1,000504987

3

0,033707865

1,002373526

1,001136220

------

------

-------

-------

87

0,977528090

1,965539402

1,955561167

88

0,988764045

1,987647578

1,977654337

89

1,000000000

2,010007049

2,000000000

  1.  График при Eps =0.005

Приближенная функция  -  ___________

Точная функция - __________
Решение для
Eps = 0.01

Число точек N=45

Приближенная функция  -  ___________

Точная функция - __________




1. Інформаційний менеджмент
2. I enjoy plying2. I denied steling Often we use the gerund for n ction tht hppens before or t the sme time s the ction of the min verb
3. Если зубы больны или отсутствуют то пища плохо прожёвывается часть питательных веществ не усваивается что
4. 00 STRETCH КРИСТИНА YOGPOWE
5. тема ее элементы и субъекты
6. Тема оплаты труда наиболее актуальна на предприятии т
7. мир менеджеров существует только в какихто юридических лицах фирмах предприятиях учреждениях
8. на тему- Повышение качества управления дебиторской задолженностью и производственными запасами на предпри.html
9.  K~d kopum~ ir j~su ttieksme pret uz~~m~jiem 1
10. Тема Биоценоз Сквозь сеть алмазную зазеленел восток