Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
8. Задача численного интегрирования. Формула трапеции.
Пусть на [a,b] задана ф-ия С помощью точек разобьем его на элементарных отрезков причем на каждом из этих отрезков выберем произвольную точку и найдем произведение значения ф-ии в этой точке на длину элементарного отрезка
Составим сумму всех этих произведений:
Сумма называется интегральной суммой. Определенным интегралом от ф-ии на [a,b] наз-ся предел:
Если ф-ия на [a,b] непрерывна, то предел интегральной суммы существет и не зависит ни от выбора точек ни от способа разбиения отрезка [a,b] на элементарные отрезки.
Обычно интеграл считают по ф-ле Ньютона-Лейбница:
На практике этой ф-лой часто не пользуются из-за:
В этих случаях используют методы численного интегрирования. Они основаны на аппроксимации подынтегральной ф-ии некоторыми более простыми выражениями, например многочленами.
Один из способов – представление подынтегральной ф-ии в виде степенного ряда (ряда Тейлора). Это позволяет свести вычисление интеграла от сложной ф-ии к интегрированию многочлена, представляющего первые несколько членов ряда. Но более универсальными методами, пригодными для обоих случаев, являются методы численного интегрирования, основанные на аппроксимации подынтегральной ф-ии с помощью интерполяционных многочленов. Это позволит приближенно заменить определенный интеграл интегральной суммой (24). В зависимости от способа ее вычисления получаются разные методы численного интегрирования (прямоугольников, трапеций, парабол, и др.).
Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график представляется в виде ломанной, соединяющей точки . В этом случае площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеций.
Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
Складывая все эти равенства, получаем формулу трапеций для численного интегрирования:
Важным частным случаем рассмотренных формул является их применение при численном интегрировании с постоянным шагом . Формула трапеций примет вид:
В общем случае погрешность
Главный член погрешности формулы трапеций:
Поскольку погрешность численного интегрирования определяется шагом разбиения, то уменьшая его можно добиться большей точности.
[метод прямоугольников использует непосрудственно замену определенного интеграла интегральной суммой (24). В качестве могут выбираться левые или правые границы элементарных отрезков. Обозначая ; получаем формулы метода прямоугольников:
Вид формулы в полуцелых узлах:
Главный член погрешности формулы прямоугольников:
]