Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Геометрия Лобачевского и ее модели
|
[1] Введение [2] 1. История создания геометрии Лобачевского [2.1] 1.1. История создания геометрии Лобачевского. Пятый постулат Евклида [2.2] 1.2. Основные понятия геометрии Лобачевского [2.3] 1. 3. Некоторые теоремы геометрии Лобачевского [2.4] 1.3. Приложения геометрии Лобачевского [3] 2. Модели геометрии Лобачевского [3.1] 2.1. Модель (интерпретация) Бельтрами [3.2] 2.2. Модель Кэли-Клейна плоскости Лобачевского [3.3] 2.3. Модели Пуанкаре [3.3.1] 2.3.1. Модель Пуанкаре в круге [3.3.2] 3.2.2. Модели Пуанкаре на полуплоскости и в полупространстве [4] Заключение |
Открытие того, что евклидова геометрия не является единственно возможной, сделанное в начале XIX века Гауссом, Лобачевским и Бойяи, оказало влияние на мировоззрение человечества, сравнимое с влиянием таких великих открытий естественных наук, как гелиоцентрическая система Коперника или эволюционная теория Дарвина. Начиная с конца XIX века неевклидова геометрия, наряду с евклидовой, является одним из рабочих инструментов математики, несмотря на то что "пространство, в котором мы живем", в доступных нашему пониманию пределах является скорее евклидовым, чем неевклидовым.
Если под неевклидовой геометрией понимать любую геометрию, отличную от евклидовой, то имеется необозримое множество таких геометрий. Было бы трудно сказать что-либо обо всех них сразу. В настоящей работе под термином «неевклидова геометрия» подразумевается геометрия Лобачевского или двойственная ей сферическая геометрия. Среди геометрий, в которых имеется понятие расстояния между точками, эти две геометрии вместе с евклидовой геометрией занимают особое положение. Их можно охарактеризовать как геометрии максимальной подвижности или геометрии постоянной кривизны, они являются в известном смысле наиболее совершенными.
В конце XIX века в работах Пуанкаре и Клейна была установлена прямая связь геометрии Лобачевского с теорией функций комплексной переменной и с теорией чисел. С тех пор аппарат геометрии Лобачевского стал неотъемлемым компонентом этих разделов математики.
В работе рассматриваются основные понятия геометрии Лобачевского, приводятся некоторые примеры теорем неевклидовой геометрии и показываются различные приложения геометрии Лобачевского. Особое внимание уделяется моделям (интерпретациям) данной геометрии, подробно рассмотрены модели Бельтрами, Кэли-Клейна, Пуанкаре.
В развитии геометрии можно указать четыре основных периода, переходы между которыми обозначали качественное изменение геометрии.
Первый – период зарождения геометрии как математической науки – протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции примерно до V в. до н.э. Первичные геометрические сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае – зависимостей между геометрическими величинами.
Второй период развития геометрии связан со становлением геометрии в самостоятельную математическую науку: появились систематические её изложения, где её предложения последовательно доказывались. Известны упоминания о систематическом изложении геометрии. Сохранились и появившиеся около 300 г. до н. э. «Начала» Евклида.
Третий период выделяют с 1-й половины XVII в. Р.Декартом, который ввёл в геометрию метод координат. Метод координат позволил связать геометрию с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в геометрии породило аналитическую геометрию, а потом и дифференциальную.
Четвёртый период в развитии геометрии открывается построением Н.И.Лобачевским в 1826 новой, неевклидовой геометрии, называемой теперь геометрией Лобачевского.
23 февраля 1826 года российский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) на заседании физико-математического факультета Казанского университета провозгласил о создании новой геометрии, названной им «воображаемой геометрией». Эта геометрия была основана на тех же традиционных постулатах и аксиомах геометрии, как и у Евклида (330-275г. до н.э.), но с заменой его пятого постулата о параллельных: «на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной прямой, а все остальные прямые, проходящие через эту точку, пересекаются с данной прямой», на новый пятый постулат о параллельных: «на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести две и только две прямые, параллельные данной, а также бесконечное множество прямых, которые не пересекаются с данной прямой и ей не параллельны, и бесконечное множество прямых, которые пересекаются с данной прямой».
Независимо от Лобачевского к подобным идеям пришёл венгерский математик Янош Бойяи (1802-1860), опубликовавший свою работу на три года позже Лобачевского (1832 год) и выдающийся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), у которого после его смерти были найдены отдельные неопубликованные наброски начальных положений неевклидовой геометрии.
Полное признание и широкое распространение геометрия Лобачевского получила через 12 лет после его смерти, когда стало понятно, что научная теория, построенная на базе некоторой системы аксиом (исходных положений, принимаемых без доказательства) считается только тогда полностью завершённой, когда эта система аксиом удовлетворяет трём условиям: независимости, непротиворечивости и полноты.
Именно этим свойствам и удовлетворяет геометрия Лобачевского.
Окончательно это стало ясно, когда в 1868 году итальянский математик Эудженио Бельтрами (1835-1900) в своём мемуаре «Опыт толкования неевклидовой геометрии» показал, что в евклидовом пространстве R3 на псевдосферических поверхностях имеет место геометрия куска плоскости Лобачевского, если на них за прямые принять геодезические линии.
Далее немецкий математик Феликс Христиан Клейн (1849-1925) опираясь на исследования Эудженио Бельтрами и французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912) строго доказали непротиворечивость неевклидовой геометрии, построив соответствующие модели плоскости Лобачевского. Истолкование геометрии Лобачевского на поверхностях евклидова пространства решающим образом способствовало общему признанию идей Лобачевского.
Итогом такого неевклидового подхода явилось создание Георгом Фридрихом Бернхардом Риманом (1826-1866) римановой геометрии, развившей математическое учение о пространстве, понятие дифференциала расстояния между элементами многообразия и учение о кривизне. Введение обобщённых римановых пространств, частными случаями которых являются пространства Евклида и Лобачевского и так называемой геометрии Римана, открыло новые пути в развитии геометрии и нашли применение в физике (теория относительности) и других разделах естествознания.
Геометрию Лобачевского называют также гиперболической на том основании, что для описания математических соотношений данной геометрии были использованы гиперболические функции
,
введенные в XVIII веке итальянским математиком Винценто Рикатти, где – число, введённое Джоном Непером (1550-1617).
Таким образом, геометрия Лобачевского изучает свойства «плоскости Лобачевского» (в планиметрии) и «пространства Лобачевского» (в стереометрии). Плоскость Лобачевского – это плоскость (множество точек), в которой определены прямые линии, а также движения фигур (вместе с тем – расстояния, углы и пр.), подчиняющиеся всем аксиомам евклидовой геометрии, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется указанной выше аксиомой Лобачевского. Сходным образом определяется пространство Лобачевского. Задача выяснения реального смысла геометрии Лобачевского состояла в нахождении моделей плоскости и пространства Лобачевского, т.е. в нахождении таких объектов, в которых реализовались бы соответствующим образом истолкованные положения планиметрии и стереометрии геометрии Лобачевского.
В евклидовой геометрии согласно пятому постулату на плоскости через точку Р, лежащую вне прямой А'А, проходит только одна прямая В'В, не пересекающая А'А. Прямая В'В называется параллелью к А'А. При этом достаточно потребовать, чтобы таких прямых проходило не более одной, так как существование непересекающей прямой может быть доказано путем последовательного проведения прямых PQA'A и PBPQ. В геометрии Лобачевского аксиома параллельности требует, чтобы через точку Р проходило более одной прямой, не пересекающей А 'А.
Рис. 1.
Непересекающие прямые заполняют часть пучка с вершиной Р, лежащую внутри пары вертикальных углов TPU и U'PT', расположенных симметрично относительно перпендикуляра PQ. Прямые, образующие стороны вертикальных углов, отделяют пересекающие прямые от непересекающих и сами являются тоже непересекающими. Эти граничные прямые называются параллелями в точке Р к прямой А'А соответственно в двух ее направлениях: T'Т параллельно А'А в направлении A'A, a UU' параллельно А'А в направлении АА'. Остальные непересекающие прямые называются расходящимися прямыми с А'А.
Угол , 0< </2, параллель к точке Р образует с перпендикуляром PQ, QPT= QPU' =, называется углом параллельности отрезка PQ=a и обозначается через . При а=0 угол =/2; при увеличении а угол уменьшается так, что для каждого заданного , 0<</2, существует определенное значение а. Эта зависимость называется функцией Лобачевского:
П(a)=2arctg (e-a/k),
где k – некоторая константа, определяющая фиксированный по величине отрезок. Она получила название радиуса кривизны пространства Лобачевского. Подобно сферической геометрии существует бесконечное множество пространств Лобачевского, различающихся величиной k.
Две различные прямые по плоскости образуют пару одного из трех типов.
Пересекающиеся прямые. Расстояние от точек одной прямой до другой прямой неограниченно увеличивается при удалении точки от пересечения прямых. Если прямые не перпендикулярны, то каждая проектируется ортогонально на другую в открытый отрезок конечной величины.
Параллельные прямые. На плоскости через данную точку проходит единственная прямая, параллельная данной прямой в заданном на последней направлении. Параллель в точке Р сохраняет в каждой своей точке свойство быть параллелью той же прямой в том же направлении. Параллелизм обладает взаимностью (если а||b в определенном направлении, то и b||а в соответствующем направлении) и транзитивностью (если а||b и с||b в одном направлении, то а||с в соответствующем направлении). В направлении параллельности параллельные неограниченно сближаются, в противоположном направлении – неограниченно удаляются (в смысле расстояния от перемещающейся точки одной прямой до другой прямой). Ортогональная проекция одной прямой на другую является открытой полупрямой.
Расходящиеся прямые. Они имеют один общий перпендикуляр, отрезок которого дает минимальное расстояние. По обе стороны от перпендикуляра прямые неограниченно расходятся. Каждая прямая проектируется на другую в открытый отрезок конечной величины.
Трем типам прямых соответствуют на плоскости три типа пучков прямых, каждый из которых покрывает всю плоскость: пучок 1-го рода – множество всех прямых, проходящих через одну точку (центр пучка); пучок 2-го рода – множество всех прямых, перпендикулярных к одной прямой (базе пучка); пучок 3-го рода – множество всех прямых, параллельных одной прямой в заданном направлении, включающее и эту прямую.
Ортогональные траектории прямых этих пучков образуют аналоги окружности евклидовой плоскости: окружность в собственном смысле; эквидистанта, или линия равных расстояний (если не рассматривать базу), которая вогнута в сторону базы; предельная линия, или орицикл, ее можно рассматривать как окружность с бесконечно удаленным центром. Предельные линии конгруэнтны. Они не замкнуты и вогнуты в сторону параллельности. Две предельные линии, порожденные одним пучком, – концентричны (высекают на прямых пучка равные отрезки). Отношение длин концентрических дуг, заключенных между двумя прямыми пучка, убывает в сторону параллельности как показательная функция расстояния х между дугами:
s'/s=e-x/k.
Каждый из аналогов окружности может скользить по самому себе, что порождает три типа однопараметрических движений плоскости: вращение вокруг собственного центра; вращение вокруг идеального центра (одна траектория – база, остальные – эквидистанты); вращение вокруг бесконечно удаленного центра (все траектории – предельные линии).
Вращение аналогов окружностей вокруг прямой порождающего пучка приводит к аналогам сферы: собственно сфере, поверхности равных расстояний и орисфере, или предельной поверхности.
На сфере геометрия больших окружностей – обычная сферическая геометрия; на поверхности равных расстояний – геометрия эквидистант, являющаяся планиметрией Лобачевского, но с большим значением k; на предельной поверхности – евклидова геометрия предельных линий.
Связь между длинами дуг и хорд предельных линий и евклидовы тригонометрические соотношения на предельной поверхности позволяют вывести тригонометрические соотношения на плоскости, то есть тригонометрические формулы для прямолинейных треугольников.
Теорема 1. Сумма углов всякого треугольника меньше 2d.
Рассмотрим сначала прямоугольный треугольник ABC (рис. 2). Его стороны а, b, с изображены соответственно в виде отрезка евклидова перпендикуляра к прямой и, дуги евклидовой окружности с центром М и дуги евклидовой окружности с центром N. Угол С – прямой. Угол А равен углу между касательными к окружностям b и с в точке А, или, что то же, углу между радиусами NA и МА этих окружностей. Наконец, B = BNМ.
Построим на отрезке BN как на диаметре евклидову окружность q; она имеет с окружностью с одну только общую точку В, так как ее диаметр является радиусом окружности с. Поэтому точка А лежит вне круга, ограниченного окружностью q, следовательно,
А = MAN < MBN.
Отсюда в силу равенства MBN+В = d имеем:
А +В < d; (1)
поэтому A + B + C < 2d, что и требовалось доказать.
Рис. 2.
Заметим, что с помощью надлежащего гиперболического движения любой прямоугольный треугольник можно расположить так, чтобы один из его катетов лежал на евклидовом перпендикуляре к прямой и; следовательно, использованный нами метод вывода неравенства (1) применим к любому прямоугольному треугольнику.
Если дан косоугольный треугольник, то разбиваем его одной из высот на два прямоугольных треугольника. Сумма острых углов этих прямоугольных треугольников равна сумме углов данного косоугольного треугольника. Отсюда, принимая во внимание неравенство (1), заключаем, что теорема справедлива для любого треугольника.
Теорема 2. Сумма углов четырехугольника меньше 4d.
Для доказательства достаточно разбить четырехугольник диагональю на два треугольника.
Теорема 3. Две расходящиеся прямые имеют один и только один общий перпендикуляр.
Пусть одна из данных расходящихся прямых изображается на карте в виде евклидова перпендикуляра р к прямой и в точке М, другая – в виде евклидовой полуокружности q с центром на и, причем р и q не имеют общих точек (рис. 3). Такое расположение двух расходящихся гиперболических прямых на карте всегда может быть достигнуто с помощью надлежащего гиперболического движения.
Рис. 3.
Проведем из М евклидову касательную MN к q и опишем из центра М радиусом MN евклидову полуокружность m. Ясно, что m – гиперболическая прямая, пересекающая и р и q под прямым углом. Следовательно, m изображает на карте искомый общий перпендикуляр данных расходящихся прямых.
Две расходящиеся прямые не могут иметь двух общих перпендикуляров, так кaк в этом случае существовал бы четырехугольник с четырьмя прямыми углами, что противоречит теореме 2.
Теорема 4. Прямоугольная проекция стороны острого угла на другую его сторону есть отрезок (а не полупрямая, как в геометрии Евклида).
Справедливость теоремы очевидна из рис. 4, где отрезок АВ есть прямоугольная проекция стороны АВ острого угла ВАС на его сторону АС.
Рис. 4.
На том же рисунке дуга DE евклидовой окружности с центром М есть перпендикуляр к гиперболической прямой АС. Этот перпендикуляр не пересекается с наклонной АВ. Следовательно, допущение, что перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой всегда пересекаются, противоречит аксиоме параллельности Лобачевского; оно равносильно аксиоме параллельности Евклида.
Теорема 5. Если три угла треугольника ABC равны соответственно трем углам треугольника А'В'С', то эти треугольники равны.
Допустим обратное и отложим соответственно на лучах АВ и АС отрезки АВ = А'В', АС = А'С'. Очевидно, треугольники АВС и А'В'С' равны по двум сторонам и заключенному между ними углу. Точка B не совпадает с В, точка C не совпадает с С, так как в любом из этих случаев имело бы место равенство данных треугольников, что противоречит допущению.
Рассмотрим следующие возможности.
а) Точка В лежит между А и В, точка С – между А и С (рис. 5); на этом и следующем рисунке гиперболические прямые изображены условно в виде евклидовых прямых). Нетрудно убедиться, что сумма углов четырехугольника ВССВ равна 4d, что невозможно в силу теоремы 2.
Рис. 5.
Рис. 6.
6) Точка В лежит между А и В, точка С – между А и С (рис. 6). Обозначим через D точку пересечения отрезков ВС и BC Так как C = C' и C' = С, то C=С, что невозможно, поскольку угол С – внешний относительно треугольника CCD.
Аналогично трактуются и другие возможные случаи.
Теорема доказана, поскольку сделанное допущение привело к противоречию.
Из теоремы 5 вытекает, что в геометрии Лобачевского не существует треугольника, подобного данному треугольнику, но не равного ему.
Н.И.Лобачевский уже в первой работе по своей геометрии показал, опираясь на впервые измеренные астрономами в те годы годичные параллаксы звезд, что если в физическом пространстве реализуется его геометрия, то в пределах Солнечной системы отклонения от евклидовой геометрии будут на несколько порядков меньше возможных ошибок измерений. Таким образом, первым приложением геометрии Лобачевского явилось обоснование практической точности евклидовой геометрии.
Н.И.Лобачевский применял свою геометрию в математическом анализе. Переходя от одной системы координат к другой в своем пространстве, он нашел значения около 200 различных определенных интегралов. Другие математические приложения были найдены А.Пуанкаре, который успешно применял геометрию Лобачевского при разработке теории автоморфных функций.
Значение геометрии Лобачевского для космологии было выявлено А.А.Фридманом. В 1922 он нашел решение уравнения Эйнштейна, из которого следовало, что Вселенная расширяется с течением времени. Это заключение впоследствии было подтверждено наблюдениями Э.Хаббла, обнаружившего разбегание удаленных туманностей. Метрика, найденная А.А.Фридманом, дает при фиксированном времени пространство Лобачевского. Пространство скоростей специальной теории относительности является пространством Лобачевского.
Геометрия Лобачевского с успехом используется при изучении столкновений элементарных частиц и при разработке других вопросов ядерных исследований.
Зрительное (перцептивное) восприятие близких областей пространства человеком порождает эффект обратной перспективы, объясняемый тем, что геометрия этих областей перцептивного пространства близка к геометрии Лобачевского с радиусом кривизны около 15 м.
Создание геометрии Лобачевского явилось важным этапом в развитии учения о возможных свойствах пространства. Особенное значение это имело для оснований математики, т.к. принципы современного аксиоматического метода вырабатывались в значительной степени благодаря появлению геометрии Лобачевского.
Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел». Была установлена тесная связь геометрии Лобачевского с кинематикой специальной (частной) теории относительности. Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света
x2 + y2 + z2 = c2t2
при делении на t2, даёт
vx2 + vy2 + vz2 = c2
– уравнение сферы в пространстве с координатами vx, vy, vz – составляющими скорости по осям х, у, z (в «пространстве скоростей»). Преобразования Лоренца сохраняют эту сферу и, т.к. они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, т.е. для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.
Замечательное приложение геометрия Лобачевского нашла в общей теории относительности. Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается, что при определённых условиях пространство имеет геометрия Лобачевского. Таким образом, предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось [11].
Перечислим наиболее известные классические изометричные (сохраняющие расстояние между точками) модели (интерпретации) плоскости Лобачевского:
Рассмотрим некоторые из них.
Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского проводится с помощью построения интерпретации (модели). Первой такой интерпретацией явилась интерпретация Бельтрами, где установлено, что в евклидовом пространстве внутренняя геометрия поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны локально совпадает с геометрией Лобачевского (роль прямых играют геодезические линии поверхности). Поверхность такого типа называется псевдосферой.
В 1868 году Бельтрами показал, что геометрия Лобачевского реализуется на псевдосфере.
Геометрию Лобачевского часто называют гиперболической, т.к. гипербола обладает на проективной плоскости с фиксированной прямой d0 двумя несобственными точками и двумя асимптотами (касательными к овальной кривой в несобственных точках).
Прямая в плоскости Лобачевского также обладает двумя несобственными точками, в которых она пересекается с абсолютом.
Рис. 7.
Одну из поверхностей, на которой выполняется геометрия Лобачевского, можно получить вращением трактрисы вокруг оси абсцисс. Это так называемая псевдосфера – поверхность отрицательной кривизны в евклидовом пространстве, на которой локально реализуется геометрия плоскости Лобачевского (рис. 8).
Трактриса – это кривая, длина касательной к которой постоянна (т.е. отрезок от точки касания до оси абсцисс есть константа) (рис. 8).
Псевдосфера – поверхность вращения в виде двух сложенных.
Рис. 8.
Прямой линией считаем гидезическую линию – т.е. линию кратчайшего расстояния между точками. Бельтрами показал, что на псевдосфере реализуется часть площади Лобачевского. Псевдосфера – поверхность постоянной отрицательной кривизны (т.е. гиперболическая форма), т.к. сумма углов треугольника на ней меньше 2d. Сфера – поверхность положительной постоянной кривизны (сумма углов треугольника больше 2d). Эллиптическое пространство – положительная кривизна. Евклидово пространство имеет нулевую кривизну [7].
Модель Кэли-Клейна – первая модель всей плоскости Лобачевского. С помощью неё удалось доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского в предположении непротиворечивости Евклидовой геометрии.
Чтобы перейти к построению одной из моделей геометрии Лобачевского покажем, как с помощью двойного отношения можно определить «расстояние» между точками а и b интервала (x, у). Положим
.
Легко проверить, что такое определение имеет смысл, т.е.
В самом деле, х – а < 0, х – b < 0, у – а > 0, у – b > 0. Ясно также, что р(а, а) = 0 и р(а, b) при и при . Кроме того. р(а, b) = р(b, а). так как
.
Отметим, что ln[a,b,x,y] = - ln[a,b,x,y], поэтому нет необходимости различать точки х и у, т.е. задавать ориентацию интервала (х, у). Из тождества
следует, что ± р(а,b) ± р(b,с) ± р(с,а) = 0. Более тщательная проверка показывает, что если точка с лежит между а и b, то р(а, с) + р(с,b) = р(а,b).
Расстояние р(а,b) не изменяется при проективных преобразованиях прямой, сохраняющих интервал (х, у).
Определим модель Клейна плоскости Лобачевского. Точками модели Клейна являются внутренние точки некоторого круга. Расстояние между точками а и b определяется как р(а,b) для интервала (х,у), где х и у точки пересечения прямой ab с граничной окружностью данного круга. Если точки расположены в таком порядке, как на рис. 9, то ln[a,b,x,y] > 0. т. е. р(а,b) = ln[a,b,x,y] .
Рис. 9.
Теорема 1. В модели Клейна прямыми являются хорды круга.
Доказательство. Нужно доказать, что р(а,c) + р(c,b) > р(а,b), причем если точка с не лежит на отрезке (a,b), то р(а, с) + р(c,b) > р(а,b). Пусть лучи ab и ba пересекают окружность в точках х и у соответственно, лучи ас и cа в точках х и y, лучи cb и bc в точках х и у (рис. 10). Тогда точка x' пересечения хорд хх и ху лежит на отрезке xb, а точка у пересечения хорд yу и ху лежит на отрезке ау. Пусть р – точка пересечения прямых ххи yу, c' – точка пересечения прямых рc и ху. Точка c' лежит на отрезке ab.
Рис. 10.
Двойное отношение сохраняется при проекции одной прямой на другую. Поэтому
[а, c, х, y] = [а, c', х', у']
[с, b, х, y] = [c', b, х', у']
(мы рассматриваем проекции из точки р на прямую ху).
Покажем, что [а, c', х', у'] > [а, c', .х, у] и [c', b, х', у'] > [c', b, х, у]. Иными словами, нужно доказать, что если точки а, b, х, у расположены в таком порядке, как на рис. 10. то увеличение отрезка ху приводит к уменьшению двойного отношения [а, b, х, у ]. Будем считать положительным направление луча ух. Тогда для увеличения отрезка ху к координате точки х нужно добавить положительное число. Второй конец отрезка оставим пока па месте. Двойное отношение при этом уменьшится, так как
Для второго конца отрезка доказательство аналогично.
В результате получаем неравенства
[а, c, х, y] = [а, c,'.х, у],
[с, b, х, y] = [c', b, х, у].
Следовательно,
[а, c, х, y][с, b, х, y] > [а, c', .х, у] [c', b, х, у] = [a, b, x, y],
т.е.
p(a,c) + p(c,b) > p(a,b).
Геометрия Лобачевского, как и сферическая геометрия и геометрия плоскости, имеет достаточно большую группу изометрий, а именно, любую точку А можно перевести в любую другую точку В и при этом перевести любую прямую, проходящую через точку А, в любую прямую, проходящую через точку В. Чтобы доказать это, достаточно проверить, что существует преобразование плоскости, которое сохраняет двойное отношение, переводит данный круг в себя и переводит внутреннюю точку А в любую другую внутреннюю точку В. В самом деле, такое пре образование является изометрией. А для того, чтобы перевести любую прямую в любую другую прямую, можно точку А перевести в центр О круга, а затем точку О перевести в точку В. При этом любую пря мую, проходящую через точку О, можно поворотом перевести в любую другую прямую, проходящую через точку О.
Теорема 2. Существует преобразование плоскости, которое сохраняет двойное отношение, переводит данный круг в себя и переводит его центр в произвольную внутреннюю точку.
Доказательство. Рассмотрим прямой круговой конус с вершиной S. Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси, является окружностью с диаметром PQ и центром О. Рассмотрим также сечение конуса плоскостью, проходящей через точку О и перпендикулярной плоскости SPQ (конус мы считаем бесконечным в одну сторону). Если точка Q принадлежит интервалу QR (рис. 11), то рассматриваемое сечение является эллипсом.
Рис. 11.
На плоскости П', содержащей этот эллипс, и на плоскости П, содержащей окружность с диаметром PQ, можно ввести координаты так, что окружность и эллипс совпадут при отождествлении точек с одинаковы ми координатами. При этом в качестве начала координат мы выберем соответственно центр эллипса и центр окружности, а в качестве оси Ох выберем прямые P'Q' и PQ. Тогда точка О, лежащая внутри эллипса, отождествляется с такой точкой O круга, что Р'О : OQ' = PO : OQ.
При перемещении точки Q' по отрезку QR отношение Р'О:OQ изменяется от 1 до . Поэтому точка O может быть любой точкой, лежащей внутри отрезка OQ.
Искомым преобразованием является композиция отображений f:ПП и g:ПП где f – проекция из точки S, а g – отождествление точек с одинаковыми координатами .
Конформно-евклидова модель Пуанкаре – модель пространства Лобачевского, предложенная Анри Пуанкаре в 1882 году в связи с задачами теории функций комплексного переменного. Существуют разновидности модели – в круге и на полуплоскости для планиметрии Лобачевского, а также в шаре и в полупространстве – для стереометрии Лобачевского, соответственно.
Модель Пуанкаре примечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами (т. е. модель Пуанкаре конформна) в отличие от модели Клейна, в которой определение углов производится гораздо сложнее.
В модели Пуанкаре в круге за плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (рис.12) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей (a,b,b'), перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.
Рис. 12.
Выясним, как устроены прямые в модели Пуанкаре. Хорде АВ соответствует сечение южной полусферы плоскостью, перпендикулярной экватору. Это сечение представляет собой полуокружность, перпендикулярную экваториальной окружности (рис. 13). При проекции из полюса на экваториальную плоскость эта полуокружность переходит в дугу окружности, перпендикулярной экваториальной окружности. Таким образом, для модели Пуанкаре в круге прямыми являются дуги окружностей перпендикулярных граничной окружности данного круга.
Рис. 13.
Для модели Пуанкаре данный круг удобно считать единичным кру гом на комплексной плоскости.
Для точек комплексной плоскости, как и для точек вещественной пря мой, можно рассмотреть двойное отношение
[z1, z2, z3, z4]=
В этом случае двойное отношение является, вообще говоря, комплексным числом.
Нетрудно убедиться, что если точки Z и W лежат на хорде АB, a Z и W – соответствующие точки модели Пуанкаре, то
|[А, В, Z, W]| =|[А,В, Z, W]|2.
В самом деле, стереографическая проекция является ограничением пространственной инверсии, поэтому она сохраняет двойное отношение. Кроме того,
AZ : ZB = = AC : BC
Таким образом, |ln |[ А, В, Z,W ]| = 2| ln |[ А, В, Z',W' ]||.
p(Z,W) =| ln |[ А, В, Z,W ]|.
Поэтому
p(Z', W') = 2| ln |[ А, В, Z', W ]||.
По аналогии с бесконечным семейством различных сферических геометрии (для разных радиусов R мы получаем разные геометрии) можно получить бесконечное семейство геометрий Лобачевского, положив
p(Z, W)=|ln[A, В, Z, W]|.
Роль параметра с в геометрии Лобачевско го во многом аналогична роли радиуса R в сферической геометрии.
Метрикой ds плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в единичном круге является: , где x и y – оси абсцисс и ординат, соответственно.
Аналогично, в модели Пуанкаре в шаре роль абсолюта выполняет граничная сфера в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является внутренность шара.
В модели Пуанкаре на полуплоскости за плоскость Лобачевского принимается верхняя полуплоскость. Прямая, ограничивающая полуплоскость (т.е. ось абсцисс), называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этой полуплоскости полуокружности с центрами на абсолюте и начинающиеся на абсолюте перпендикулярные ему лучи (т.е. вертикальные лучи). Роль движений – преобразования, получаемые композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту.
Эта модель геометрии Лобачевского получается, отображением единичного круга на верхнюю полуплоскость Н = {х + iу |у > 0} с помощью дробно линейного отображения. Для этой цели годится, например, отображение .
В самом деле, , поэтому
Дробно линейные преобразования переводят прямые и окружности в прямые и окружности. Кроме того, они сохраняют углы. Поэтому в верхней полуплоскости Н гиперболическими прямыми являются вертикальные лучи и полуокружности, центры которых лежат на действительной оси.
Дробно линейные отображения сохраняют двойное отношение, поэтому расстояние между точками в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости определяется следующим образом. Пусть гиперболическая прямая АВ подходит к вещественной оси в точках X и Y (рис. 14). Тогда
р(А,В) =с|ln[A, B, X, Y]|.
В том случае, когда гиперболическая прямая является евклидовым лучом, положим Y = т. е. . Для положительного луча мнимой оси формула для вычисления гиперболического расстояния принимает осо бенно простой вид: p(ia, ib) = c|ln(a/b)|.
Рис. 14.
Выясним теперь, как устроены движения плоскости Лобачевского. Любое дробно-линейное преобразование, сохраняющее верхнюю полуплоскость Н, является движением плоскости Лобачевского. Пусть а, b, c, d. Легко проверить, что отображения , где ad – bc > 0, и , где ad – bc < 0, сохраняют верхнюю полуплоскость. В самом деле,
Метрика ds плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости имеет вид: .
Соответственно, в модели Пуанкаре в полупространстве роль абсолюта выполняет плоскость в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является лежащее на этой плоскости полупространство
Введение тех или иных координат позволяет получать различные аналитические модели плоскости Лобачевского. А.Пуанкаре была предложена (1887 г) модель геометрии Лобачевского как геометрии плоских диаметральных сечений на одной из полостей двуполостного гиперболоида, которую можно трактовать и как геометрию сферы чисто мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве. Указанные модели обобщаются на случай n-мерного пространства.
Геометрия Лобачевского представляет теорию, богатую содержанием и имеющую применение как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики.
Источником геометрии Лобачевского послужил вопрос об аксиоме о параллельных, которая известна также как V постулат Евклида. Этот постулат, ввиду его сложности в сравнении с другими, вызвал попытки дать его доказательство на основании остальных постулатов.
Главная особенность нового периода в истории геометрии, начатого Лобачевским, состоит в развитии новых геометрических теорий – новых «геометрий» и в соответствующем обобщении предмета геометрия; возникает понятие о разного рода «пространствах». При этом одни теории складывались внутри евклидовой геометрии в виде её особых глав и лишь потом получали самостоятельное значение. Так складывались проективная, аффинная, конформная геометрии и другие, предметом которых служат свойства фигур, сохраняющиеся при соответствующих (проективных, аффинных, конформных и др.) преобразованиях. Возникло понятие проективного, аффинного и конформного пространств; сама евклидова геометрия стала рассматриваться в известном смысле как глава проективной геометрии. Геометрия Лобачевского продолжает разрабатываться многими геометрами. В ней изучаются: решение задач на построение, многогранники, правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т.п. Ряд геометров развивали также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным геометрическим идеям. В целом геометрия Лобачевского является обширной областью исследования, подобно геометрии Евклида.
Литература