Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Бэкмология – becmology.ru
экмология – becmology.ru
ИНТЕГРАЛЫ
(неопределенный и определенный интегралы)
Учебное пособие
Определение 1. Функция называется первообразной для функции на отрезке , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство:
.
Любые две первообразные и для одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое, т.е.
,
где – произвольная постоянная.
Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции назовем неопределённым интегралом или интегралом от и обозначим
где – знак интеграла; – подынтегральная функция; – подынтегральное выражение; – переменная интегрирования; – произвольная постоянная; – некоторая первообразная для функции .
Пример 1.1. Пусть – подынтегральная функция, тогда интеграл от этой функции запишется в виде:
.
Функция является первообразной для функции , так как условие (1) выполняется, т.е.
.
Из определения неопределённого интеграла вытекают следующие свойства:
т.е. знаки и , когда первый помещен перед вторым, взаимно уничтожаются;
т.е. знаки и , стоящие перед , уничтожаются и тогда, когда стоит после , но только к функции нужно прибавить произвольную постоянную .
Т а б л и ц а 1
Таблица основных интегралов
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
Окончание табл. 1 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
14 |
Справедливость формул, приведённых в табл.1, легко проверяется по равенству (1) с помощью дифференцирования. Действительно, производная от правой части любого равенства в табл.1 равна подынтегральной функции. Например, для случая табличных интегралов под номерами (1) и (13) получим:
,
Таким образом, производная от правых частей равна соответствующим подынтегральным функциям.
На примерах покажем, как пользоваться табл. 1.
Пример 2.1 Найти интеграл .
В табл.1 находим интеграл , который при совпадает с искомым интегралом. Тогда, согласно табл.1, запишем:
.
Пример 2.2. Найти интеграл .
Приведем интеграл к табличному виду , т.е. показатель степени . Тогда искомый интеграл равен:
.
где – произвольное число.
Пример 3.1. Найти интеграл .
Согласно свойству (1), полагая , , получим:
.
Значение интеграла находим в таблице основных интегралов (равенст- во 6):
,
где .
.
Пример 3.2. Найти интеграл .
Согласно свойству (2), полагая , получим:
.
По табл. 1 основных интегралов (равенства 4 и 7, соответственно) находим:
,
.
Тогда
,
где .
Пример 3.3. Найти интеграл .
В этом примере переменной интегрирования является .
Согласно свойству (2), интеграл запишем:
.
Вынося из-под знака интеграла постоянный множитель (свойство 1), получим:
,
,
где .
Тогда , где .
При вычислении неопределённых интегралов бывает полезно знать следующее правило.
Пример 3.4. Найти .
Согласно табл. 1 запишем:
.
Тогда при согласно правилу (3) получим:
.
Пример 3.5. Найти .
По табл.1: и по правилу (3) при получим:
.
Пример 3.6. Найти интеграл .
Известен интеграл . Полагая , находим .
Тогда, согласно правилу (3), получим:
.
Пусть требуется найти интеграл , причем непосредственно по табл.1 подобрать первообразную для не удается. Выполним замену переменной интегрирования, положив , где имеет обратную функцию и непрерывную производную. Тогда подынтегральное выражение запишем в виде:
.
Замена выбрана удачно, если для подынтегральной функции первообразная является табличной, т.е.
.
Найденная первообразная при выполнении обратной замены переменной является первообразной для искомой функции , т.е.
.
Продемонстрируем метод замены переменных на примерах.
Пример 4.1. Найти интеграл .
Выполним замену переменной по формуле . Дифференцируя левую часть равенства по , а правую — по , находим .
Подынтегральное выражение в соответствии с заменой переменной запишем , или
.
Значение интеграла находим по табл.1 основных интегралов, т.е. .
Выполняя обратную замену переменной по формуле , получим , или
.
Пример 4.2. Найти .
Выполним замену переменной по формуле . Дифференцируя обе части равенства , получим , или . Искомый интеграл свёлся к табличному:
, т.е. .
Переходя к «старой» переменной , запишем:
.
Пример 4.3. Найти .
Обозначая , находим, что , или . Искомый интеграл
свёлся к табличному:
.
Переходя к исходной переменной , получим:
.
Решения примеров 4.2 и 4.3 демонстрируют, что правило (3) § 3 по существу сводится к замене вида :
,
откуда
.
Пример 4.4. Найти интеграл .
Выполним замену переменной по формуле . Находя дифференциал от обеих частей равенства , получим Подынтегральное выражение после замены переменной интегрирования на запишем:
.
Искомый интеграл свёлся к табличному , который равен:
.
Выполняя обратную замену переменной по формуле , получим:
.
Пример 4.5. Найти интеграл .
Выполняя замену , получим , или . Интеграл равен:
.
Переходя к «старой» переменной , получим
.
Пример 4.6. Найти интеграл .
Преобразуем интеграл к виду:
.
Заменяя , находим , или . Интеграл запишем:
.
Тогда .
Пример 4.7. Найти интеграл .
Делая замену переменной , получим , или .
Интеграл запишем в виде:
.
Тогда .
Пример 4.8. Найти интеграл .
Преобразуем интеграл к виду:
.
Выполняя замену , получим .
Тогда .
Пример 4.9. Найти интеграл .
Вычисляемый интеграл сводится к интегралу, записанному в табл.1 под номером (9). Вынося из-под знака интеграла постоянный множитель, получим:
.
Заменяя , находим , или . Интеграл преобразуется к виду: .
Переходя к «старой» переменной , получим:
.
Пример 4.10. Найти интеграл .
Постоянный множитель вынесем из-под знака интеграла:
.
Выполняя замену (см.пример 4.9)
,
замечаем, что последний интеграл записан в табл.1 под номером (11), т.е.
.
Тогда .
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
Пусть даны две произвольные дифференцируемые функции и . Тогда и, следовательно,
.
Проинтегрируем обе части последнего равенства:
,
откуда
.
Поскольку , то получаем:
.
Формула (5) называется формулой интегрирования по частям для неопределённого интеграла.
С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла . Применение формулы (5) целесообразно в тех случаях, когда интеграл — табличный или проще исходного (легко может быть найден).
Пример 5.1. Найти интеграл .
В предлагаемом интеграле выбор переменных и и для интегрирования по формуле (5) определяется самой структурой подынтегрального выражения.
Обозначим . Дифференцируя первое равенство, находим , или ; интегрируя второе, , получим .
Формулу интегрирования по частям запишем:
.
Интеграл более простой, чем исходный, и находится по табл.1. Запишем результат интегрирования:
.
Пример 5.2. Найти интеграл .
Полагая , , находим , .
Согласно формуле (5) запишем интеграл:
.
Пример 5.3. Найти .
Если принять , тогда .
Подставив в формулу (5), получим:
или
.
Перенося одинаковые интегралы в левую часть, обнаруживаем:
, что интеграл сложнее исходного, так как степень множителя при тригонометрической функции увеличилась на единицу. Следовательно, выбранное разложение подынтегрального выражения на множители и ошибочно.
Обозначая , получим .
Результат интегрирования по частям запишем в виде:
.
Пример 5.4. Найти .
Пусть , , тогда , . По формуле интегрирования по частям находим:
или
.
При интегрировании по частям выбор множителей u и dv для часто встречающихся типов интегралов приведён в табл. 2.
Т а б л и ц а 2
|
Тип интеграла |
u |
dv |
|
– многочлен (полином) |
||
Задание 2. Найти неопределённые интегралы:
Интеграл от рациональной функции всегда может быть, и притом стандартным способом, выражен через элементарные функции. Основной трудностью при практическом вычислении интеграла является разложение интеграла на сумму простых интегралов.
Рациональная дробь записывается в виде:
, где и – многочлены (полиномы), и – степени, соответственно.
Если , то дробь называется правильной, а если , то дробь называется неправильной.
Приведем примеры рациональных дробей:
– правильные дроби
, ,
;
– неправильные дроби
, ,
.
Неправильную дробь в результате деления числителя на знаменатель можно представить в виде:
,
где – многочлен, – правильная дробь, .
Пример 6.1. Неправильную дробь представить в виде многочлена и правильной дроби.
Выполняя деление
получим ,
где – многочлен, а – правильная дробь.
Известно, что любой многочлен m-степени имеет ровно -корней и его можно представить в виде:
где – кратность действительных корней;
– кратность комплексно сопряжённых корней.
Сумма всех показателей степеней разложения по корням
равна степени полинома.
Пример 6.2. Разложить многочлены на множители:
а) Решая квадратное уравнение , находим, что его корни.
Тогда или , где и – два действительных различных корня многочлена второй степени;
b) , где и – три действительных различных корня многочлена третьей степени;
c) ,
где и – три действительных корня, из которых два корня и – кратные;
d) , где – один простой действительный корень и два комплексно сопряжённых корня.
Последние находим из решения уравнения
,
.
Учитывая, что , получим – два комплексно сопряжённых корня.
Доказано, что правильную дробь можно разложить на сумму простейших дробей. Под простейшими дробями понимают дроби вида:
; ; и .
Разложение правильной дроби в виде суммы простейших дробей записывается:
где каждому простому корню соответствует простейшая дробь вида .
Пример 6.3. Разложить правильную дробь на простейшие дроби.
Согласно формуле (7) разложение запишем в виде:
.
где каждому корню кратности – соответствуют простейших дробей вида .
Пример 6.4. Разложить правильную дробь на простейшие дроби.
По формуле (8) разложение запишем в виде:
.
,
где каждой паре комплексных корней или множителю второй степени в знаменателе соответствует простейшая дробь вида .
Пример 6.5. Разложить правильную дробь на простейшие дроби.
Согласно формуле (9) разложение запишем в виде:
.
Пример 6.6. Разложить правильную дробь на простейшие дроби.
По формуле (10) разложение запишем в виде:
.
Подводя итог вышесказанному, разложение правильной дроби запишем:
где – коэффициенты, которые необходимо вычислить.
Нахождение неизвестных коэффициентов в разложении правильной дроби на простейшие дроби покажем на примерах.
Пример 6.7. Разложить правильную дробь на простейшие дроби.
Разлагая многочлен на множители
,
обнаруживаем, что многочлен имеет три действительных корня: и , один из которых — простой и два – кратные.
Согласно формуле (11) разложение правильной дроби на простейшие дроби запишем в виде:
.
Приведя правую часть равенства к общему знаменателю
,
отметим, что дроби с равными знаменателями равны, когда равны их числители. Знаменатели дробей равны, значит должны быть равны и числители, т.е.
.
Приравнивая в тождестве коэффициенты при одинаковых степенях :
,
получим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными 
вида:
Решая её, находим и . Подставляя в (12) найденные значения , получим:
.
Задача интегрирования выражения вида свелась к отысканию интегралов от простейших дробей.
.
.
.
.
Интегралы первых двух дробей найдены. Вычисление интеграла под номером IV выходит за рамки излагаемого материала. Покажем способ вычисления интеграла III.
.
Выполняя тождественные преобразования, получим:
Учитывая, что знаменатель имеет только комплексные корни, дискриминант , тогда . Обозначая и , находим .
Продолжая вычисления, получим:
Интеграл равен:
.
Пример 6.8. Найти интеграл .
Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью . Методом неопределённых коэффициентов разложим её на сумму простейших дробей. Согласно формуле (7) разложение запишем в виде:
,
откуда
или .
Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых степенях
,
получим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными и :
Таким образом,
,
следовательно,
Ответ: .
Пример 6.9. Найти интеграл .
Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью .
Разложим знаменатель этой дроби на линейные множители:
,
Тогда и, следовательно,
.
Методом неопределённых коэффициентов разложим последнюю дробь на сумму простейших дробей. Согласно формуле (7) имеем:
,
откуда
,
Итак,
Пример 6.10. Найти интеграл .
Выполняя замену , найдём . Преобразуем подынтегральную функцию:
.
Интеграл запишем:
выделяя полный квадрат
и обозначая , получим:
Пример 6.11. Найти .
Подынтегральная функция является неправильной дробью. Выполняя деление
находим:
.
Разложение на простейшие дроби запишем:
.
Неопределённые коэффициенты, полученные из решения системы уравнений, равны . Подставим их в выражение (14) и запишем интеграл:
Найдем интеграл:
Решение запишем в виде:
Задание 3. Найти неопределённые интегралы:
Рассмотрим интеграл .
Для его вычисления преобразуем квадратный трехчлен к виду:
.
Знак «плюс» или «минус», стоящий перед k2, берется в соответствии со знаком выражения .
Интеграл запишем в виде:
.
Выполняя замену переменной , получим dx=dt. Тогда:
.
Последний интеграл табличный (табл.1).
Пример 7.1. Найти интеграл .
Преобразуем знаменатель:
Запишем интеграл в виде:
.
Делаем замену переменной , . Подставляя в интеграл, получим:
.
Тогда
.
Пример 7.2. Найти интеграл .
Выполним преобразования:
Интеграл запишем в виде:
.
Заменяя , получим dx=dt. Подставляя, интеграл запишем в виде:
.
Тогда
.
Рассмотрим интеграл
Последний интеграл есть интеграл I1, вычисленный выше.
Выполняя замену переменной , получим . Следовательно,
.
Окончательно получим:
.
Пример 7.3. Найти интеграл .
Выполняя тождественные преобразования подынтегральной функции, получим:
.
Второй интеграл вычислен (см. пример 7.1)
В первом интеграле, заменяя , получим . Интеграл запишем в виде:
.
Тогда
.
Рассмотрим интеграл
, при а > 0 и при а < 0.
Если а > 0, то интеграл преобразуем к виду:
где , , а знак перед k2 (см. пример I1).
Выполняя замену , интеграл сведем к табличному (табл.1):
.
Тогда
В случае а < 0, так что , радикал преобразуем к виду:
обозначив , получим
.
Вычисляемый интеграл преобразуется к табличному (табл.1):
,
при условии, что знак перед положительный.
Тогда, выполняя замену , получим:
.
Интеграл вида
вычисляется с помощью преобразований, аналогичных тем, которые ранее рассмотрены в вычислении интеграла I2:
Выполняя в первом из полученных интегралов подстановку , получим .
Тогда
.
Второй интеграл был рассмотрен (см. I3).
Пример 7.4. Найти интеграл .
Вычисляя производную подкоренного выражения , находим, что . Подставляя найденное значение в интеграл, последний запишем в виде:
Пример 7.5. Найти интеграл .
В вычисляемом интеграле а < 0. Выполняя тождественные преобразования подынтегральной функции, получим:
Производя замену в первом и втором интеграле, запишем:
.
Тогда
.
Задание 4. Найти неопределенные интегралы:
4.01. ; .
4.02. ; .
4.03. ; .
4.04. ; .
Рассмотрим интеграл
,
где R – рациональная функция своих аргумен тов, т.е. – рациональное число.
Пусть k – наименьшее общее кратное (НОК) чисел . Выполняя подстановку , получим , и каждая дробная степень х выразится через целую степень t. Подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию аргумента t.
В интеграле вида
,
выполняя подстановку
, где ,
подынтегральную функцию преобразуем в рациональную функцию от t. Приемы интегрирования рациональных функций описаны в § 6.
Пример 8.1. Найти интеграл .
В рассматриваемом интеграле , поэтому k = 6. Выполняем подстановку , тогда и, следовательно,
Переходя к «старой» переменной, получим:
.
Пример 8.2. Найти интеграл .
В подынтегральной функции , поэтому , т.е. k =6. Заменяя 1-2х = t6, получим .
Интеграл запишется в виде:
.
Тогда
=
.
Задание 5. Найти неопределенные интегралы:
5.01. ; .
5.02. ; .
В параграфе 9 рассматриваются способы интегрирования рациональных функций sin x и cos x, т.е. интегралы вида:
.
Подстановка , которую называют универсальной, рационализирует рассматриваемый интеграл, т.е. сводит его к интегралу от рациональной функции аргумента t.
Из тригонометрии известно, что
и .
Тогда в соответствии с подстановкой получим:
, .
Выражая из подстановки , х как функцию от t, получим: или , , тогда .
Пример 9.1. Найти интеграл .
В соответствии с подстановкой интеграл запишем в виде
.
Тогда
Пример 9.2. Найти интеграл .
Выполним тождественные преобразования:
.
Обозначая , получим .
Первообразная последнего интеграла найдена в примере 9.1. Запишем её:
.
Искомый интеграл равен:
.
Пример 9.3. Найти интеграл .
Выполняя универсальную подстановку, получим:
.
Нахождение последнего интеграла описано в § 7 (см. I1).
Интеграл запишем в виде:
Тогда
.
Основные случаи применения частных подстановок
а. В интеграле
, где m или n – нечетное положительное целое число. Допустим, что , тогда
Выполняя замену , получим -,
Интеграл запишем
, а это есть интеграл от рациональной функции.
Пример 9.4. Найти интеграл .
Показатель степени косинуса – нечетное число. Выполняя подстановку , получим:
Тогда
.
б. В интеграле
, где m и n – четные неотрицательные числа.
Применение тригонометрических формул , позволяет понизить степень синуса и косинуса, в конечном счете свести рассматриваемый интеграл к сумме интегралов от констант и нечетных степеней синуса и косинуса.
Пример 9.5. Найти интеграл .
Применяя тождественные преобразования, получим:
Выполняя замену , в последнем интеграле, получим:
.
Тогда
.
Пример 9.6. Найти интеграл .
Преобразуем интеграл к виду:
.
Тогда
.
в. В интегралах вида:
; ; применя ются следующие формулы (m ≠ n):
,
, (15)
.
Например, подставляя в интеграл и интегрируя, получим:
Два других интеграла находятся аналогично.
Пример 9.7. Найти интеграл .
Выполняя тождественное преобразование по формуле (15), получим:
Задание 6. Найти неопределенные интегралы:
6.01. ; .
6.02. ; .
6.03. ; .
6.04. ; .
6.05. ; .
6.06. ; .
Рассмотрим интегралы вида:
,
и .
Для приведения интегралов от иррациональной функции к рациональной функции используются подстановки:
для первого интеграла или ,
для второго ,
для третьего или соответственно.
Пример 10.1. Найти интеграл .
Рассматриваемый интеграл относится к интегралу первого вида. Выполняя подстановку , получим .
Интеграл запишем в виде:
Вычисление интеграла (см. пример 9.1)
.
Учитывая, что , , получим:
.
Пример 10.2. Найти интеграл .
Выполняя подстановку , получим . Тогда интеграл запишем
Возвращаясь к исходным переменным, учитывая, что и, следовательно, , а ,
получим:
.
Рассмотрим интегралы от дифференциального бинома, где m, n и p – рациональные числа.
Интегралы от дифференциальных биномов выражаются через элементарные функции только в трех случаях.
Пример 10.3. Найти интеграл .
Запишем подынтегральную функцию в виде .
Из записи следует, что , , .
Так как - целое число, то, выполняя подстановку , получим , .
Преобразуем интеграл
и, учитывая, что , получим:
.
Пример 10.4. Найти интеграл .
Запишем интеграл в виде:
.
Здесь т = - 2, п=2, и – целое число.
Полагая , получим , , .
Интеграл находится так:
Учитывая, что , , получим:
.
Задание 7. Найти неопределенные интегралы:
7.01. ; .
7.02. ; .
7.03. ; .
7.04. ; .
7.05. ; .
Задание 8. Найти неопределенные интегралы:
8.01. ; 8.02. ;
8.03. ; 8.04. ;
8.05. ; 8.06. ;
8.07. ; 8.08. ;
8.09. ; 8.10. ;
Задание 9. Найти неопределенные интегралы
9.01. ; 9.02. ;
9.03. ; 9.04. ;
9.05. ; 9.06. ;
9.07. ; 9.08. ;
9.09. ; 9.10. ;
Задание 10. Найти неопределенные интегралы:
10.01. ; 10.02. ;
10.03. ; 10.04. ;
10.05. ; 10.06. ;
10.07. ; 10.08. ;
Задание 11. Найти неопределенные интегралы:
11.01. ; 11.02. ;
11.03. ; 11.04. ;
11.05. ; 11.06. ;
11.07. ; 11.08. ;
11.09. ; 11.10. ;
Задание 12. Найти неопределенные интегралы:
12.01. ; 12.02. ;
12.03. ; 12.04. ;
Задание 13. Найти неопределенные интегралы:
13.01. ; 13.02. ;
13.03. ; 13.04. ;
Движение точки не предполагается равномерным, поэтому S – путь не есть произведение скорости v на время t движения материальной точки. Для подсчёта пути разобьём весь интервал времени на достаточно малые промежутки времени . Считая на каждом из этих временных интервалов движение равномерным , пройденный путь приближённо может быть вычислен по формуле:
. (16)
Пройденный путь, вычисляемый по формуле (16) тем точнее, чем меньше временные промежутки .
Для получения точного результата, выполним предельный переход в формуле (16) вида:
, где .
Считая на каждом промежутке высоту постоянной и равной , причём , площадь фигуры (криволинейной трапеции) приближённо вычисляется как сумма площадей прямоугольников , то есть по формуле:
.
Точное значение площади получим с помощью предельного перехода вида:
, где .
11.3. Требуется вычислить объём V тела Q, изображённого на рис. 2.
Для нахождения объёма разобьём тело Q плоскостями, перпендикулярными оси Ох. На каждой плоскости Rk получим площадь S(xk) сечения тела Q. В каждом промежутке выберем , и будем считать площадь S(τk) постоянной на этом интервале . Тогда объём одного элементарного цилиндра с площадью основания и высотой равен .
Приближённо объём V тела Q можно вычислить по формуле:
.
Предел этой суммы при называется объёмом данного тела:
, где .
В приведённых примерах и при решении многих других задач получаются одинаковые виды записи, приводящие к её решению. Всё это привело к пониманию, что кажущееся разнообразие задач на самом деле сводится к решению одной общей задачи.
Определение. Если при любых разбиениях отрезка [a; b] таких, что , и при любом выборе точек на отрезках сумма
стремится к одному и тому же пределу S, то этот предел называется определённым интегралом от функции f (x) на отрезке [a; b] и обозначают
.
Таким образом, по определению:
где . (17)
Число а называют нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования. Отрезок [a; b] называют отрезком интегрирования, х – переменной интегрирования.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:
, где A – const.
.
,
где с – некоторая точка, находящаяся как внутри интервала , так и вне его.
. (18)
Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
, (19)
где F (x) – первообразная для функции f (x).
Пример 13.1. Вычислить .
Вычисление определённого интеграла состоит в нахождении F (x) – первообразной (с = 0) для подынтегральной функции . Эта задача решена и её решение описано выше (см.§1-§4). Мы же воспользуемся известными способами нахождения неопределённого интеграла и запишем:
, где .
Тогда, согласно формуле Ньютона-Лейбница, определённый интеграл равен:
.
Пример 13.2. Вычислить .
Согласно таблице первообразная для неопределенного интеграла
равна .
Тогда по формуле Ньютона-Лейбница значение определённого интеграла равно:
.
Пример 13.3. Вычислить .
Известно, что .
Тогда .
Пусть дан неопределённый интеграл .
Известно, что для нахождения первообразной с помощью замены переменной справедлива формула:
. (20)
Для определённого интеграла формула (20) запишется в виде:
,
где c и d, отличные от a, b, – пределы интегрирования.
Новые пределы интегрирования с и d вычисляются при подстановке старых пределов интегрирования a, b в формулу:
или , , где .
Пример 14.1. Вычислить .
Выполняя замену переменной , находим .
Неопределённый интеграл привели к табличному виду:
.
Пределы интегрирования в интеграле по переменной t вычисляются согласно формуле:
.
Так нижний предел t при х = 1 равен , а верхний предел t при x = 5 равен .
Тогда интеграл запишется в виде:
.
Пример 14.2. Вычислить .
Заменяя , находим , .
Вычисляемый интеграл свёлся к табличному.
Найдём новые пределы интегрирования по формуле:
.
Нижний предел у при х = 1 равен , а верхний предел у при х = 7 равен .
Тогда вычисление интеграла запишется:
.
Пример 14.3. Вычислить .
Вводим новую переменную интегрирования, полагая , получим 2xdx = dt, .
Искомый интеграл запишется:
.
Вычислим новые пределы интегрирования: при х = 1, , а при х = 3, .
Выполняя замену и подставляя новые пределы интегрирования, получим:
.
Пример 14.4. Вычислить .
Заменяя , находим 2xdx = dr, .
Искомый интеграл привели к табличному виду:
.
Найдём пределы интегрирования табличного интеграла по переменной r. Согласно формуле получим, что при изменении новая переменная r меняется в пределах .
Вычисляемый интеграл равен:
.
Формула интегрирования по частям для определённого интеграла запишется в виде:
,
где u(x) и v(x) – функции от х.
Пример 15.1. Вычислить .
Обозначая , получим .
Тогда:
.
Пример 15.2. Вычислить .
Полагая u = arctg x, получим
dv = dx v = x.
Согласно формуле интегрирования по частям, находим:
Пример 15.3. Вычислить .
Обозначая , получим .
Тогда:
Задание 14. Вычислить определённые интегралы:
14.01. ; .
14.02. ; ; .
14.03. ; ; .
14.04. ; ; .
14.05. ; ; .
14.06. ; ; .
14.07. ; ; .
14.08. ; ; .
14.09. ; ; .
14.10. ; ; .
В примере 11.2 описана общая процедура нахождения площади криволинейной трапеции (рис.1). Предполагая, что фигура ограничена функцией , , заданной на отрезке [a; b], и осью Ох, её площадь вычисляется по формуле:
(21)
Пример 16.1. Найти площадь S, ограниченную функцией и осью Ох на отрезке .
Функция на отрезке положительна (sin x ≥ 0 при ) (рис. 3).
Искомая площадь, согласно формуле (21), равна:
.
S – положительна и равна 2.
Пример 16.2. Найти площадь S, ограниченную осью Ох и прямой на отрезке [1; 3].
Рассматриваемая функция на отрезке [1; 3] отрицательна при ) (рис.4). Тогда площадь, вычисляемая по формуле (21), равна:
– отрицательному значению.
Абсолютное значение величины интеграла соответствует значению площади криволинейной трапеции, изображённой на рис.4.
Для получения положительного знака интеграла при условии, что на отрезке интегрирования [a; b], необходимо воспользоваться формулой:
(22)
Величина площади, согласно формуле (22), всегда и не зависит от знака функции на отрезке [a; b].
Действительно:
.
Пример 16.3. Найти площадь S, ограниченную осью Ох и функцией на отрезке .
На отрезке функция положительна и площадь вычисляется по формуле (21), а на отрезке функция отрицательна (рис. 5) и площадь находится по формуле (22).
Искомую площадь найдём по формуле:
.
Выполняя расчёт, получим:
В случае если кривая, ограничивающая фигуру, задана параметрическими уравнениями
,
площадь вычисляется по формуле:
(23)
Пример 16.4. Найти площадь S, ограниченную кривой, заданной параметрическими уравнениями
при .
Параметрическим уравнениям соответствует кривая (рис. 6) второго порядка – эллипс.
Используя симметричность эллипса, вычислим площадь S1, равную одной четверти S. Тогда площадь эллипса равна:
.
Площадь S1 вычислим по формуле:
(24)
Пределы интегрирования по параметру t найдём из решения систем уравнений вида:
для точки β и для точки α.
Решая системы
и
получим, что точке β соответствует значение, а точке α – значение . Подставляя найденные пределы интегрирования в формулу (24), найдём:
.
Площадь эллипса равна:
.
Отметим, что формула нахождения площади круга получается как частный случай из формулы нахождения площади эллипса.
Действительно, полагая a = b = R в S = π ab, приходим к известной формуле площади круга:
.
Задание 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в декартовых координатах:
15.01. , .
15.02. , .
15.03. , .
15.04. , .
15.05. , , , у = 0.
15.06. , .
15.07. , .
15.08. ху = 4, х = 1, х = 4, у = 0.
15.09. , , у = 0.
15.10. .
Задание 16. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
3.1.
3.2. (х ≥ 1).
3.3.
3.4. (0 ≤ t ≤ 2π).
3.5. (у ≥ 3).
Из примера 11.3 следует, что объём тела определяется по формуле:
, (25)
где S(x) - площадь поперечного сечения.
При вычислении объёма тела, вращающегося вокруг оси Ох, фигура поперечного сечения есть круг (рис.7).
Известно, что площадь круга равна , где R – радиус круга. При вращении тела вокруг оси Ох (рис.7) радиус круга в точке х равен R = f (x). тогда площадь поперечного сечения, проведённого в точке х, равна . Подставляя значение S(x) в формулу (25), получим, что объём тела, вращающегося вокруг оси Ох, равен:
.
При вращении тела вокруг оси Оу объём тела вращения вычисляется по формуле:
,
где F(y) – радиус в точке у.
Пример 17.1. Найти объём тела, образованного вращением прямой у =3х вокруг оси Ох на отрезке (рис.8).
Прямая у =3х, вращаясь вокруг оси Ох, образует конус. Объём полученного тела равен:
.
Пример 17.2. Определить объём тела, образованного вращением кривой вокруг оси Оу на отрезке (рис.9).
Объём тела вращения вокруг оси Оу равен:
.
Задание 17. Определить объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:
17.01. ху = 4, х = 1, х = 4, у = 0 вокруг оси Ох.
17.02. вокруг оси Оу.
17.03. и вокруг оси Оу.
17.04. вокруг оси Ох при .
17.05. и x = h вокруг оси Ох.
17.06. , х = 0, у = 8 вокруг оси Оу.
17.07. , у = 4, вокруг оси Ох.
17.08. , у = 0, вокруг оси Ох.
17.09. , х = 0, у = 0 (при х>0) вокруг оси Ох.
17.10. , вокруг оси Оу.
СОДЕРЖАНИЕ
|
[1] ПОНЯТИЯ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И [2] ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ [3] СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА [4] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПУТЁМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ [5] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ [6] ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ [7] §7. ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ИНТЕГРАЛОВ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН [8] § 8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ВИДА
[9] § 9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ
[10] § 10. ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ
[11] §11. ПРИМЕРЫ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ [12] §12. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА [13] §13. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
[14] §14. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЁННОМ [15] §15. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ [16] §16. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ФИГУРЫ [17] §17. ОБЪЁМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
[18] |
0
y
f(τk)
x
Δх1
Δх2
Δхk
a=х0
х1
2
хk-1
хk
b=хn
•
y = f(x)
Рис. 1
Рис. 2
+S
1
y
0
π
x
y = sinx
Рис. 3
х
у
3
0
-1
-1
-4
-S
у = -(х+1)
Рис. 4
-
у
х
0
1
-S
+S
Рис. 5
у
х
b
•
•
-b
-a
a
β (a;0)
0
S1
S
α(0;b)
Рис. 6
z
Рис. 7
a
R
b
0
R
x
x
R = f(x)
y = f(x)
у
Рис. 8
x
y
z
•
y =3 x
R
3
S(x)
Рис. 9
х
у
z
0