Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Задача 2
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
|
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
|||
|
А |
Б |
В |
Г |
||
|
I |
2 |
1 |
3 |
2 |
200 |
|
II |
1 |
2 |
4 |
8 |
160 |
|
III |
2 |
4 |
1 |
1 |
170 |
|
Цена изделия |
5 |
7 |
3 |
6 |
Требуется:
Решение
1. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования. Обозначим количество выпускаемых изделий А, Б, В, Г соответственно как х1, х2, х3, х4. Целевой функцией задачи является общая стоимость выпускаемой продукции, которая должна быть наибольшей. Число ограничений задачи равно числу ресурсов, используемых для изготовления изделий — 3. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Зная цены изделий, нормы их расхода и запасы ресурсов, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:
Задачу оптимизации решаем с помощью надстройки «Поиск решения» табличного процессора EXCEL (меню «Сервис»):
Использование надстройки позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий: Х*=(80; 0; 0; 10). Целевая функция имеет наибольшее для данных условий задачи значение f(X*)=460 (прил. 1).
Таким образом, для получения наибольшей выручки от реализации продукции следует производить x1*=80 изделий А, x4*=10 изделий Г, и не производить изделия В (x3*=0) и Б (x2*=0).
2.Обозначим двойственные оценки ресурсов I, II, III, как y1, y2, y3, соответственно. Целевой функцией двойственной задачи является общая стоимость запасов ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи равно числу переменных исходной задачи — 4. Математическая модель двойственной задачи имеет вид:
При решении исходной задачи с помощью EXCEL одновременно определяется и оптимальное решение двойственной задачи. В «Отчете по устойчивости» (прил. 2) приводятся теневые цены ресурсов: y1*0; y2*0,467; y3*=2,267.
Наименьшее значение целевой функции двойственной задачи
совпадает (в пределах погрешности округления) с наибольшим значением целевой функции исходной задачи f(X*).
3. Выпуск изделий Б и В невыгоден для данных условий задачи. Это объясняется тем, что стоимость ресурсов на изготовление единицы продукции в теневых ценах превышает цену реализации:
(для Б)
(для В)
4. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане. Для этого подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального плана Х*=(80; 0; 0; 10) и проверим выполнение неравенств:
Видно, что ресурсы II и III используются в оптимальном плане полностью, т. е. являются дефицитными. На это обстоятельство указывает и то, что теневые цены этих ресурсов больше нуля (y2*>0; y3*>0). Самым дефицитным является ресурс III, так как он имеет наибольшую теневую цену (y3*2,267); наименее дефицитен ресурс II (y2*0,467).
Ограниченные запасы дефицитных ресурсов II и III сдерживают рост объемов выпускаемой продукции и наибольшей выручки от ее реализации. Увеличение объема ресурса II на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту наибольшей выручки на 0,467 руб., увеличение объема ресурса III на единицу — на 2,267 руб.
Ресурс I является недефицитным (y1*=0), т. е. избыточным в оптимальном плане. Увеличение объема этого ресурса не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и не увеличит ее общую стоимость.
Определим, насколько изменится общая стоимость выпускаемой продукции при заданных изменениях запасов сырья. Из «Отчета по устойчивости» видно, что эти изменения происходят в пределах устойчивости (см. «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» правых частей ограничений в прил. 2), что дает возможность сразу рассчитать изменение наибольшей выручки от реализации выпускаемой продукции, не решая новую задачу линейного программирования:
При этом «новая» наибольшая выручка составит
руб.
Для определения целесообразности включения в план выпуска еще и изделия И5 с заданными характеристиками рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации:
Следовательно, продукцию И5 выпускать выгодно, так как затраты на ресурсы при выпуске одного данного изделия вида И5 будут меньше цены изделия вида И5.
ПРИЛОЖЕНИЕ:
1) рабочий лист EXCEL;
2) «Отчет по устойчивости».
ЗАДАЧА 4
Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице:
|
t |
yt |
|
1 |
3 |
|
2 |
7 |
|
3 |
10 |
|
4 |
11 |
|
5 |
15 |
|
6 |
17 |
|
7 |
21 |
|
8 |
25 |
|
9 |
23 |
Требуется:
Решение
1. Для выявления аномальных наблюдений используем метод Ирвина. Для каждого уровня временного ряда рассчитывается статистика
,
где — стандартное отклонение уровней ряда.
Стандартное отклонение определяется с помощью встроенной функции EXCEL «СТАНДОТКЛОН»: Sy7,52 млн. руб. (прил. 1). Расчет значений lt для всех уровней ряда, начиная со второго, приведен в прил. 1. Табличное значение критерия Ирвина для уровня значимости =0,05 и длины временного ряда n=9 составляет =1,5. Видно, что ни одно из значений t не превышает критического значения, что свидетельствует об отсутствии аномальных наблюдений.
2. Линейную трендовую модель строим с помощью надстройки EXCEL «Анализ данных… Регрессия» (меню «Сервис»):
Уравнение линейного тренда имеет вид (см. «Коэффициенты» в прил. 1):
.
Угловой коэффициент показывает, что спрос на кредитные ресурсы финансовой компании за одну неделю возрастает в среднем на 2,7 млн. руб.
Коэффициент детерминации уравнения R20,967 (см. «R-квадрат» в прил. 1) превышает критическое значение для =0,05 и n=9, что свидетельствует о статистической значимости линейной модели и наличии устойчивого линейного тренда во временном ряду. Само значение R2 показывает, что изменение спроса во времени на 96,7 % описывается линейной моделью.
Оценим адекватность линейной модели. Рассчитанные по модели значения спроса , остатки и их график были получены в EXCEL одновременно с построением модели (см. «ВЫВОД ОСТАТКА» в прил. 1).
Случайность остаточной компоненты проверим по критерию поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда остатков сравниваем с двумя соседними — предыдущим и последующим. Если этот уровень одновременно больше или одновременно меньше обоих соседних уровней, то точка считается поворотной (на графике остатков такие уровни выглядят как «пики» и «впадины»). В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков составляет p=5.
Критическое число поворотных точек для =0,05 и n=9 определяется по формуле
Так как , остатки признаются случайными.
Проверим независимость остатков с помощью критерия Дарбина–Уотсона. Для расчета d статистики используется выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:
=СУММКВРАЗН(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n»)
d статистика имеет значение (см. прил. 1):
.
Критические значения d статистики для =0,05 и n=9 составляют: d1=0,82; d2=1,32. Так как выполняется условие
,
остатки признаются независимыми (автокорреляция остатков не выявлена).
Проверим независимость остатков также и по коэффициенту автокорреляции первого порядка, который равен (см. прил. 1):
.
Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:
=СУММПРОИЗВ(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n»)
Критическое значение коэффициента автокорреляции для =0,05 и n=9 составляет 0,666. Так как коэффициент автокорреляции не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это еще раз указывает на отсутствие автокорреляции в остатках.
Проверим равенство нулю математического ожидания уровней ряда остатков. Среднее значение остатков равно нулю: (определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ»; см. прил. 1). Поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю не отклоняется.
Нормальный закон распределения остатков проверяем с помощью R/S-критерия, определяемого по формуле
,
где emax=2,23; emin=(–2,47) — наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью встроенных функций «МАКС» и «МИН»); стандартное отклонение ряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН»;см. прил.1).
Критические границы R/S-критерия для =0,05 и n=9 имеют значения: (R/S)1=2,59 и (R/S)2=3,55. Так как R/S-критерий попадает в интервал между критическими границами, то ряд остатков признается соответствующим нормальному закону распределения вероятностей.
Таким образом, выполняются все пункты проверки адекватности модели: модель признается адекватной исследуемому процессу.
Оценим точность линейной модели. Стандартная ошибка модели Sмод была определена одновременно с ее построением (см. «Стандартная ошибка» в прил. 1):
млн. руб.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по приближенной формуле:
%,
где млн. руб. — средний уровень временного ряда (определен с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ»; см. прил. 1).
Значение Eотн показывает, что предсказанные моделью значения спроса на кредитные ресурсы отличаются от фактических значений в среднем на 7,85%. Модель имеет хорошую точность.
Строим точечный и интервальный прогнозы спроса на 1 и 2 недели вперед.
Прогноз на 1 неделю вперед (период упреждения k=1):
1) Точечный прогноз :
млн. руб.
Среднее прогнозируемое значение спроса равно 28,167 млн. руб.
2) Интервальный прогноз с надежностью (доверительной вероятностью) =0,7:
млн. руб.,
где tтаб=1,12 — табличное значение t-критерия Стьюдента для доверительной вероятности =0,7 и числа степеней свободы ; Kпр=1,24 — коэффициент интервального прогноза для n=9 и k=1.
С вероятностью 70 % фактическое значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 24,41 до 31,92 млн. руб.
Прогноз на 2 недели вперед (период упреждения k=2):
1) Точечный прогноз:
млн. руб.
Среднее прогнозируемое значение спроса равно млн. руб.
2) Интервальный прогноз с надежностью =0,7:
млн. руб.,
где Kпр=1,31 — коэффициент интервального прогноза для n=9 и k=2.
С вероятностью 70 % фактическое значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 26,91 до 34,83 млн. руб.
График временного ряда спроса строим с помощью надстройки «Диаграмма» EXCEL. Предварительно выделяется блок ячеек «t» и «yt» вместе с заголовками, а затем выбирается пункт меню «Вставка» «Диаграмма…»:
Далее строим линию линейного тренда (меню «Диаграмма» «Добавить линию тренда…» «Линейная»), и устанавливаем «Прогноз» вперед на 2 единицы и назад на 1 единицу, а также вывод на диаграмме уравнения тренда и коэффициента детерминации R2:
Точки точечного и интервального прогнозов наносим на график вручную (см. прил. 2).
Модель Брауна строится за несколько этапов.
1. По первым пяти точкам временного ряда методом наименьших квадратов оцениваем параметры а0 и а1 линейной модели
.
Получаем начальные значения параметров модели Брауна и , которые соответствуют моменту времени t=0 (определены с помощью функций EXCEL «ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН» соответственно; прил. 3).
2. Находим прогноз на первый шаг (t=1):
.
3. Определяем величину отклонения расчетного значения от фактического:
.
4. Корректируем параметры модели по формулам:
;
,
где — коэффициент дисконтирования данных, отражающий степень доверия к более поздним наблюдениям; — отклонение (остаточная компонента).
Оптимальное значение находится по формуле
.
Получим:
;
,
5. По модели со скорректированными параметрами a0(t) и a1(t) находим прогноз на следующий момент времени:
.
Для t=2:
.
6. Возвращаемся к пункту 3 и повторяем вычисления до конца временного ряда (см. прил. 3).
7. Параметры модели, полученные для последнего уровня временного ряда (т. е. для t=n=9), используются для построения прогноза спроса по формуле:
.
Прогноз на 1 неделю вперед (период упреждения k=1):
млн. руб.
Прогноз на 2 недели вперед (период упреждения k=2):
млн. руб.
Оценим точность модели Брауна. Средняя относительная ошибка аппроксимации имеет значение
% (см. прил. 3)
Модель Брауна также имеет хорошую точность, однако она несколько ниже, чем у линейной трендовой модели.
ПРИЛОЖЕНИЕ:
1) рабочий лист с исходными данными и моделью;
2) график временного ряда и линии тренда.