Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Наведена робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни „Теоретичні основи електротехніки”, література, пояснення до виконання індивідуальних завдань.
Призначена для студентів напряму 6.050702 електромеханіка заочної форми навчання.
Тема 1. Лінійні електричні кола постійного струму ............................................................ .6
Тема 2. Електричні кола однофазного синусоїдного струму .............................................. .6.
Тема3.Чотириполюсники............................................................................................................7 Тема 4. Електричні кола трифазного струму ............................................................................8
Тема 5. Електричні кола з періодичними несинусоїдними напругами і струмами ......... ....8
Тема 6. Перехідні процеси в лінійних колах із зосередженими параметрами............... .. ..9
Тема 7. Нелінійні кола постійного струму та магнітні кола при постійних магнітних потоках ...................................................................................................................................... .9
Тема 8. Нелінійні кола змінних струму та напруги.................................................................10
Тема 9. Електростатичне поле. Магнітне поле постійного струму. Змінне магнітне поле..............................................................................................................................................10
4.Теми лабораторних робіт........................................................................................................11
5.Теми практичних занять..........................................................................................................11
Всього |
|
Всього годин за навчальним планом |
504 |
у тому числі:Аудиторні заняття |
72 |
З них:лекції |
48 |
- лабораторні заняття |
16 |
- практичні заняття |
8 |
Самостійна робота |
432 |
у тому числі:- опрацювання лекційного матеріалу |
- |
- підготовка до контрольних робіт |
2к.р. |
- підготовка до практичних занять |
- |
Підсумковий контроль |
Залік, екзамен |
3.Загальні методичні вказівки до вивчення дисципліни
Пропоновані контрольні завдання охоплюють весь основний матеріал курсу „Теоретичні основи електротехніки” та відповідають робочій програмі з ТОЕ, затвердженої навчально-методичною комісією ВНЗ..
Вивчення курсу ТОЕ складається з:
а)самостійної роботи над підручниками й посібниками, відповідей на контрольні питання;
б)самостійного рішення завдань і прикладів, виконання контрольних робіт;
в) прослуховування лекцій і виконання лабораторних робіт на установочних і екзаменаційних сесіях.
При вивченні курсу й виконанні контрольних завдань рекомендується користуватися підручниками й навчальними посібниками самих останніх років видання, тому що в старих виданнях виклад низки нових питань може взагалі отсутствовать.
При вивченні курсу ТОЕ необхідно становити конспект, у який потрібно виписувати основні закони, визначення й формули. Читати без олівця й паперу - заняття малоефективне. Складений конспект надасть більшу допомогу студентам при виконанні контрольних завдань і підготовці до іспитів.
У якості досить повного переліку питань для самоперевірки можуть служити назви параграфів у підручнику Л. А. Бессонова «Теоретичні основи електротехніки». У тому ж підручнику наведені завдання з розробленими розв'язками за всім курсом ТОЕ. Для кращого засвоєння курсу рекомендується переглянути розв'язки цих завдань, а також наявні там окремо виділені питання для самоперевірки.
Для студентів-заочників відвідування лекцій і вправ офіційно не обов'язково, однак якщо є можливість відвідувати лекції, то нею обов'язково слід скористатися. На лекціях розбираються найбільш важливі й складні питання курсу. Крім того, на лекції можна з'ясувати виникаючі питання.
За курсом ТОЕ передбачені лабораторні роботи із усіх трьом частинам курсу.
До виконання лабораторних робіт допускаються тільки підготовлені студенти, тобто відповідні розділи, що проробили, курсу, що підготували необхідну документацію до роботи, що попередньо пройшли співбесіда з викладачем (колоквіум). Після того як лабораторні роботи виконані, вони повинні бути захищені, після чого по них ставиться залік.
Тема 1. Лінійні електричні кола постійного струму
Вступ. Значення курсу ТОЕ для розвязання технічних задач. Предмет курсу ТОЕ, його будова, звязок з сумісними дисциплінами, місце в загальній системі електротехнічної освіти спеціаліста.
Основні визначення та елементи електричних кіл . Електричне коло та його складові. Схема кола. Додатні напрямки струму та напруги
Класифікація та закони електричних кіл. Класифікація елементів електричних кіл, їх параметри. Джерела напруги і струму, їх взаємні перетворювання. Основні закони електричних кіл.
Загальна характеристика методів розрахунку розгалужених кіл Задачі аналізу електричних кіл. Основні властивості та перетворення електричних кіл. Алгебраїчні методи розрахунку усталених процесів у колах :застосування рівнянь Кірхгофа. Методи накладення та контурних струмів. Метод вузлових потенціалів. Метод двох вузлів. Метод еквівалентного генератору .
Баланс потужностей. Потенціальна діаграма.
Методичні вказівки
При вивченні цієї теми варто ознайомитися з матеріалом, викладеним в
[1, с.7-44; 3, с.11-105; 5,ч.I с.107-131, 9, с. 4-50; 7, с. 5-68],
Питання для самоперевірки:
Основні завдання електротехніки.
Дайте визначення електричного кола
Перелічите основні закони електричних кіл
Як ураховуються напрямі струмів у першому законі Кирхгофа
Основни відомості про джерела ЕРС і джерелах струму
Викладіть суть методу розрахунку кіл за законами Кирхгофа
Викладить суть методу розрахунку кіл по методу контурних струмів
Викладить суть методу розрахунку кіл по методу двох вузлів
Тема 2. Електричні кола однофазного синусоїдного струму
Основні поняття та визначення Основні поняття та визначення синусоїдних електричних величин(ЕРС, напруги, струму), амплітуда, частота, період, фаза, початкова фаза, зсув за фазою. Діюче та середнє значення
Елементи кіл синусоїдного струму та методи розрахунку складних кіл
Резистивний, індуктивний та ємнісний елементи в колі синусоїдного струму. Усталені процеси в колі синусоїдного струму з послідовним зєднанням резистивного, індуктивного та ємнісного елементів.
Потужність у колі синусоїдного струму. Активна, реактивна та повна потужності. Коефіцієнт потужності та способи його підвищення.
Методи розрахунку складних кіл. Топографічна діаграма. Баланс потужностей.
..
Зображення синусоїдних величин обертовими векторами та комплексними величинами
Зображення синусоїдних електричних величин обертовими векторами. Векторні діаграми. Зображення синусоїдних електричних величин комплексними величинами. Комплексна амплітуда та комплексне діюче значення.
Резонансні явища в колах синусоїдного струму .Резонанс при послідовному та паралельному зєднані елементів кола. Коливання енергії при резонансі. Добротність контуру. Частотні характеристики та резонансні криві. Смуга пропускання.
Індуктивно звязані електричні кола. Поняття про взаємну індуктивність. Індуктивно звязані електричні кола. Розмітка однойменних затискачів. Згідний та зустрічний напрямок. Послідовне та паралельне зєднання індуктивнозвязаних елементів. Особливості розрахунку розгалужених кіл з індуктивними звязками. Повітряний трансформатор.
Методичні вказівки
При вивченні цієї теми варто ознайомитися з матеріалом, викладеним в
[1, с. 89-161; 3, с.106-201; 5, ч.I с.163-282; 9, с. 50-91;108-121; 7, с. 99-212],
Питання для самоперевірки:
Викладить принцип одержання синусоїдного струму
Дайте визначення миттєвого та максимального значення, фази та начальної фази синусоїдного струму
Викладить основні відомості про параметри електричних кіл при змінному струмі
Чому при розрахунку кіл постійного струму враховується тільки їх опір, а при змінному струмі також їх ємність та індуктивність?
Який зсув по фазі між напругою та струмом в колі з активним, індуктивним та ємнісним навантаженням?
Яку потужність в колі змінного струму вимірює ватметр?
Чи можливо зображати на одної векторної діаграмі струми(напругі) різних частот?
Як перейти від комплексної амплітуди до миттєвого значення струму( напруги)?
У чому полягає явище резонансу напруг
Яка властивість резонансу в послідовному колі відіграє основну роль у радіотехніці?
У чому полягає явище резонансу струмів?
Який опір кола при паралельному з'єднанні резистора, котушки й конденсатора?
У чому полягає явище взаємної індуктивності?
Чи можна розрахувати коло зі взаємною індукцією, якщо на схемі не вказані однойменні затискачі котушок?
Тема 3. Чотириполюсники
Основні поняття та рівняння чотириполюсників
Основні поняття та класифікація чотириполюсників. Основні рівняння в формі ”А”,”Y”,”Z” ”H”,”G”,”B”. Коефіцієнти чотириполюсника та звязок між ними.
Методи розрахунку чотириполюсників
Методи визначення коефіцієнтів. Вхідний опір чотириполюсників. Еквівалентні схеми чотириполюсників. Передатні функції та зворотний зв`язок.
Методичні вказівки
При вивченні цієї теми варто ознайомитися з матеріалом, викладеним в
[1, с.154-170; 3, с.213-228; 5, ч.I с.404-431; 9, с.154-162; 7, с. 425-474],
Питання для самоперевірки:
Скількома незалежними параметрами характеризується пасивний чотириполюсник?
З яких досвідів можна визначити параметри чотириполюсника?
Які схеми заміщення відповідають чотириполюснику?
Яке призначення зворотного зв'язку?
Тема 4. Електричні кола трифазного струму
Електричні кола трифазного струму. Основні поняття та визначення багатофазних кіл. Елементи трифазних кіл.
Схеми зєднання фаз та розрахунки трифазних кіл
Схеми з`єднання фаз зіркою та трикутником. Симетричні та несиметричні режими трифазних кіл з різними схемами з`єднання фаз приймачів. Потужність трифазних кіл.
Вимірювання активної та реактивної потужності в трифазних колах.
Метод симетричних складових
Розкладання несиметричної системи векторів на три симетричні.
Методичні вказівки
При вивченні цієї теми варто ознайомитися з матеріалом, викладеним в
[1, с. 185-218; 3, с.256-296; 5, ч.I с.283-298; 9, с.91-108; 7, с.213-229],
Питання для самоперевірки:
Дайте визначення багатофазних систем
При якій умові система трифазних ЕРС буде симетричною?
Приведіть основне співвідношення в трифазній системі при з'єднанні зіркою з нейтральним проведенням і без нього.
Чи залежить робота фаз навантаження друг від друга при з'єднанні трикутником?
У яких випадках можна виміряти потужність трифазної системи методом двох ватметрів?
Викладить основи методу симетричних складових
Тема 5. Електричні кола з періодичними несинусоїдними напругами і струмами
Визначення несинусоїдних величин
Умови виникнення несинусоїдних електричних величин в електричних колах. Розкладання несинусоїдних електричних величин у ряд Фурє. Особливості розкладання у ряд Фурє симетричних неинусоїдних кривих.
Розрахунок усталених процесів
Максимальне, середнє та діюче значення несинусоїдних електричних величин. Коефіцієнти, що характеризують форму кривих несинусоїдних електричних величин. Потужність кіл несинусоїдних струмів, коефіцієнт потужності. Застосування розкладання на гармоніки при розрахунках усталених процесів.
Частотні електричні фільтри.
Методичні вказівки
При вивченні цієї теми варто ознайомитися з матеріалом, викладеним в
[1, с.235-256; 3, с.297-326; 5, ч.I с. 299-315; 9, с.121-133; 7, с.230-254],
Питання для самоперевірки:
У чому суть розкладання в ряд Фур'є періодичних несинусоїдних напруг і струмів
Яка особливість ряду Фур'є для періодичних кривих, симетричних щодо осі абсцис?
Приведіть визначення діючого, середньому й середнього по модулі значень несинусоїдних напруг і струмів.
Як визначаються активна й реактивна потужності в несинусоїдних колах
У чому особливості вищих гармонік у трифазних колах
Тема 6. Перехідні процеси в лінійних колах із зосередженими параметрами.
Закони комутації Умови виникнення перехідних процесів. Закони комутації.
Початкові умови Незалежні та залежні початкові умови. Нульови та ненульови початкові умови. Перехідний, вільний та вимушений режими роботи електричного
Перехідний процес при увімкненні кіл з R-L, R-C, R-L-C елементами
Перехідний процес при увімкненні кіл з R-L, R-C, R-L-C елементами на постійну та синусоїдну напругу .Постійна часу кола.
Загальний випадок розрахунку перехідних процесів у розгалужених колах
Складання диференційних рівнянь і способи їх розвязання. Розрахунок перехідних процесів у колах з індуктивним та ємнісним елементами.
Застосування перетворень Лапласа при розрахунку перехідних процесів
Перетворення Лапласа .Операторній метод. Перехід від функції-оригіналів до їх зображень за Лапласом. Основні закони кіл в операторній формі. Внутрішні ЕРС. Еквівалентні операторні схеми кіл. Знаходження функції-оригіналів за відомими зображеннями. Теорема розкладання.
Методичні вказівки
При вивченні цієї теми варто ознайомитися з матеріалом, викладеним в
[1, с.354-424; 3, с.327-423; 5 ч.I с.319-382; 9, с. 7, с.268-333],
Питання для самоперевірки:
Дайте визначення перехідного процесу. Чи буде відбуватися перехідний процес у ланцюзі із чисто активним навантаженням?
Сформулюйте закони комутації
У чому суть класичного методу розрахунку перехідних процесів
Що характеризує постійна часу?
Опишіть перехідний процес у ланцюзі з активно-індуктивним навантаженням при підключенні на синусоїдальну напругу
Який характер може мати перехідний процес у ланцюзі з R-L-C навантаженням, залежно від співвідношення параметрів?
Яке рівняння називають перетворенням Лапласа?
Що таке оригінал і зображення
Запишіть закони Ома й Кирхгофа в операторної формі
Як здійснюється перехід від зображення до оригіналу
Тема 7. Нелінійні кола постійного струму та магнітні кола при постійних магнітних потоках
Нелінійні кола постійного струму. Визначення нелінійного кола і нелінійного елемента. Вольт-амперні характеристики. Графічні розрахунки кіл з послідовним, паралельним та змішаним з'єднанням елементів. Метод двох вузлів.
Магнітні кола при постійних магнітних потоках. Характеристики феромагнітних матеріалів. Елементи магнітних кіл. Закони магнітних кіл. Графічні методи розрахунків. Нерозгалужені і розгалужені кола, пряма та зворотна задачі.
Методичні вказівки
При вивченні цієї теми варто ознайомитися з матеріалом, викладеним в
[1, с. 47-89; 3, с.578-618; 5,ч.II с.5-94 ],
Питання для самоперевірки:
Дайте визначення нелінійного елемента
Що розуміють під статичним і диференціальним опорами
У чому суть графічного методу розрахунку нелінійних ланцюгів
Які матеріали називають феромагнітними й неферомагнітними
Сформулюйте закон повного струму
Що називають магнітною напругою
Як побудувати вебер-амперну характеристику магнітного кола
Тема 8. Нелінійні кола змінних струму та напруги
Нелінійни елементи в колах змінного струму. Нелінйіни елементи в колах змінного струму. Втрати від гістерезису та вихрових струмів. Статичні, диференційни, динамічні параметри нелінійних кіл. Методи розрахунку нелінійних кіл
Резонансні явища в нелінійних колах. Ферорезонанси напруг і струмів. Ферорезонансни стабілізатори.
Методичні вказівки
При вивченні цієї теми варто ознайомитися з матеріалом, викладеним в
[1, с. 260-284; 3, с.629-663; 5,ч.II с.95-120 ],
Питання для самоперевірки:
Які нелінійні елементи є інерційними й безінерційними
Перелічите основні методи розрахунку нелінійних кіл
У чому відмінність явища резонансу напруг у нелінійному колі від резонансу напруг у лінійному колі
Викладить принцип пристрою й дії найпростішого феромагнітного стабілізатора напруги
Тема 9. Електростатичне поле. Магнітне поле постійного струму. Змінне магнітне поле
Визначення електростатичного поля. Закон Кулона, напруженість, потенціал
Теорема Гауса. Рівняння Пуассона, граничні умови
Метод дзеркальних зображень. Ємнісні коефіцієнти. Формула Максвела
Закони електричних кіл в диференційній формі
Основні величини, які характеризують магнітне поле. Закон повного струму.
Скалярний потенціал, граничні умови. Розрахунок магнітного поля та магнітного опору.
Характеристика методу розрахунку магнітних полів. Закон Біо-Савара-Лапласа Визначення магнітного потоку в контурі Механічна сила як похідна енергії магнітного поля.
Розрахунок магнітного поля методом дзеркальних зображень
Визначення змінного електромагнітного поля. Рівняння Максвела
Теорема Умова-Пойнтинга. Застосування теореми Умова-Пойнтинга для визначення опору проводніка Розрахунок напруженості магнітного поля та вектора Пойнтинга для плоскої електромагнітної хвилі. Приближені методи розрахунку полів
Рівняння Максвела для провідного середовища
Поверхневий ефект в циліндричному дроті. Розрахунок поверхневого ефекту в плоскої шині
Методичні вказівки
При вивченні цієї теми варто ознайомитися з матеріалом, викладеним в
[1, с. 529-663; 5,.ч.II c.190-404].
Питання для самоперевірки:
Дайте визначення електростатичного поля
Властивості електричного поля в діелектричному середовищі
У чому подібність і розходження між електростатичним полем і електричним полем у діелектрику, що оточує провідник зі струмом?
Властивості електричного поля в провідному середовищі
Викладить порядок розрахунку полів, що задовольняють рівнянню Пуассона
Властивості магнітного поля
Які електромагнітні поля задовольняють рівнянню Лапласа?
Який зміст скалярного потенціалу?
Викладить порядок розрахунку полів по рівняннях Максвелла
Приведіть повну систему рівнянь електромагнітного поля в нерухливих середовищах
Викладить суть теореми Умова-Пойнтинга
Які зі членів правої частини рівняння Умова-Пойнтинга завжди позитивніЯкі величини визначають співвідношення між струмами провідності й зсуву
4.Теми лабораторних робіт
Вступна робота
Дослідження розгалуженого лінійного кола постійного струму
Дослідження розгалуженого лінійного кола змінного струму
Дослідження електричного кола з послідовним з`єднанням елементів. Резонанс напруг
Дослідження пасивного лінійного чотириполюсника
Дослідження кола трифазного струму при з`єднанні приймачів енергії зіркою
Дослідження перехідних процесів в послідовному RC - контурі
Дослідження перехідних процесів в послідовному R, L, C - контурі
Дослідження стабілізатору напруги
Дослідження котушки з магнітопроводом у колі змінного струму
Дослідження ферорезонансу в колі з послідовним з`єднанням котушки з магнітопроводом і конденсатора
Моделювання систем формування магнітного поля чисельним методом
5.Теми практичних занять
Розрахунок електричних кіл постійного струму
Розрахунок електричних кіл методом контурних струмів
Розрахунок електричних кіл методом вузлових потенціалів та методом двох вузлів
Розрахунок складних кіл однофазного синусоїдного струму
Розрахунок резонансних режимів електричних кіл синусоїдного струму
Розрахунок електричних кіл з взаємоіндуктивними зв`язками
Розрахунок пасивних чотириполюсників
Розрахунок електричних кіл з несинусоїдними струмами
Розрахунок перехідних процесів класичним методом
Розрахунок перехідних процесів операторним методом
6.МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНИХ ЗАВДАНЬ
Одним з основних видів занять за курсом ТОЕ є виконання контрольних завдань. При вивченні курсу студенти здобувають необхідні знання про основні методи розрахунків і фізичних процесах, з якими доводиться зустрічатися в теорії електричних кіл і електромагнітних полів.
До представлених на рецензію контрольних завдань пред'являються наступні вимоги:
1. Основні положення розв'язку повинні мати досить докладні пояснення
2. Малюнки, графіки, схеми, у тому числі й задані умовою завдання, не слід розміщати серед тексту. Вони повинні бути виконані на окремому аркуші паперу, акуратно й в масштабі, що зручно читається.
3. У зошиті слід залишати поля шириною не менш 4 см для зауважень рецензента.
4. Контрольні завдання повинні бути датовані й підписані студентом.
6. Незараховане контрольне завдання необхідно виправити й надіслати на повторну рецензію разом з первісною роботою із зауваженнями рецензента.
Виправлення помилок у відрецензованому тексті не допускаються. Контрольні завдання зачитуються, якщо розв'язку не містять помилок принципового характеру і якщо виконані перераховані вище вимоги. Робота над контрольним завданням допомагає студентам перевірити ступінь засвоєння ними курсу, виробляє в них навичка чітко й коротко викладати свої думки. Для успішного досягнення цієї мети необхідно керуватися наступними правилами:
1. Починаючи розв'язок завдання, указати, які фізичні закони або розрахункові методи передбачається використовувати при розв'язку, привести математичний запис цих законів і методів.
2. Ретельно продумати, які буквені символи передбачається використовувати в розв'язку. Пояснити значення кожного буквеного символу словами або ж відповідним позначенням на схемі.
3. У ході розв'язку завдання не слід змінювати одного разу прийняті напрямки струмів і найменування вузлів, опорів і т.д. Не слід змінювати позначення, задані умовою. При розв'язку однієї й тієї ж завдання різними методами ту саму величину слід позначати тим самим буквеним символом.
4. Розрахунки кожної вихідної величини слід виконати спочатку в загальному виді, а потім в отриману формулу поставити числові значення й привести остаточний результат із вказівкою одиниці виміру. При розв'язку системи рівнянь доцільно скористатися відомими методами спрощення розрахунків визначників (наприклад, винесення за знак визначника загального множника й ін., а ще простіше методом підстановки).
5. Проміжні й кінцевий результати розрахунків повинні бути ясно виділені із загального тексту.
6. Розв'язок завдань не слід перевантажувати приведенням усіх алгебраїчних перетворень і арифметичних розрахунків.
7. Для позначення елементів електричних схем слід користуватися позначеннями, застосовуваними в підручниках по ТОЕ.
8. Кожному етапу розв'язку завдання потрібно давати пояснення.
9. При побудові кривих вибирати такий масштаб, щоб на 1 см осі координат доводилося або одиниць виміру фізичної величини, де п ціле число. Градировку осей виконати, починаючи з нуля, рівномірно через один або через два сантиметри. Числові значення координат крапок, по яких будуються криві, не приводити. Увесь графік у цілому й окремі криві на ньому повинні мати назви.
Завдання 1
Лінійні кола постійного струму
Для електричної схеми, що відповідає номеру варіанта(табл. 1) і зображеною на мал. 1.1-1.20, виконати наступне:
1. Скласти на підставі законів Кирхгофа систему рівнянь для розрахунку струмів у всіх гілках схеми.
2.Визначити струми у всіх гілках схеми методом контурних струмів.
3.Визначити струми у всіх гілках схеми методом вузлових потенціалів.
4.Результати розрахунку струмів, проведеного двома методами, звести в таблицю й зрівняти між собою.
5.Скласти баланс потужностей у вихідній схемі , обчислити сумарну потужність джерел і сумарну потужність навантажень (опорів).
6.Накреслити потенційну діаграму для будь-якого замкнутого контуру що включає обидві ЕРС
Таблиця1
Варіант |
малю нок |
R1 |
R2 |
R3 |
R4 |
R5 |
R6 |
E1 |
E2 |
E3 |
Jк1 |
Jк2 |
Jк3 |
Ом |
В |
А |
|||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
1-1 |
13 |
5 |
9 |
7 |
10 |
4 |
- |
10 |
21 |
- |
- |
1 |
2 |
1-2 |
13 |
5 |
2 |
8 |
11 |
15 |
- |
12 |
16 |
- |
- |
2 |
3 |
3 |
4 |
8 |
6 |
10 |
13 |
10 |
- |
30 |
9 |
- |
- |
1 |
4 |
4 |
20 |
80 |
100 |
35 |
150 |
40 |
- |
100 |
150 |
- |
- |
1 |
5 |
5 |
10 |
18 |
5 |
10 |
8 |
6 |
- |
20 |
30 |
- |
- |
1 |
6 |
6 |
4 |
13 |
9 |
10 |
5 |
6 |
- |
16 |
8,2 |
0,2 |
||
7 |
7 |
130 |
40 |
60 |
80 |
110 |
45 |
12 |
13 |
- |
0,3 |
- |
- |
8 |
8 |
6 |
5 |
8 |
14 |
7 |
8 |
- |
20 |
14 |
- |
- |
1 |
9 |
9 |
55 |
80 |
100 |
40 |
70 |
120 |
- |
25 |
10 |
- |
0,05 |
- |
10 |
10 |
110 |
60 |
45 |
150 |
80 |
50 |
25 |
8 |
- |
- |
0,1 |
- |
11 |
11 |
7 |
12 |
4 |
9 |
15 |
8 |
- |
20 |
8 |
- |
0,5 |
- |
12 |
12 |
30 |
40 |
22 |
10 |
14 |
50 |
23 |
9,5 |
- |
0,25 |
- |
- |
13 |
13 |
15 |
12 |
10 |
9 |
8 |
7 |
- |
13 |
14 |
- |
0,5 |
- |
14 |
14 |
12 |
35 |
22 |
6 |
10 |
15 |
- |
20 |
7,6 |
- |
- |
0,2 |
15 |
15 |
4 |
7 |
10 |
12 |
20 |
5,5 |
- |
20 |
10 |
- |
- |
1 |
16 |
16 |
4 |
11 |
5 |
12 |
7 |
8 |
- |
25 |
4,5 |
- |
0,5 |
- |
17 |
17 |
9 |
20 |
16 |
40 |
30 |
22 |
- |
30 |
10 |
- |
0,5 |
- |
18 |
18 |
5 |
10 |
12 |
7 |
8 |
15 |
- |
15 |
13 |
- |
- |
1 |
19 |
19 |
5 |
7 |
10 |
4 |
15 |
20 |
- |
15 |
20 |
- |
1 |
- |
20 |
20 |
8 |
10 |
6 |
15 |
21 |
26 |
- |
25 |
14 |
- |
1 |
- |
21 |
1 |
20 |
8 |
12 |
10 |
16 |
6 |
- |
9 |
45 |
- |
0,8 |
- |
22 |
2 |
19 |
7 |
3 |
12 |
16 |
22 |
- |
12 |
30 |
- |
0,8 |
- |
23 |
3 |
6 |
12 |
9 |
15 |
20 |
15 |
21 |
- |
22,5 |
2 |
- |
- |
24 |
4 |
30 |
120 |
150 |
52,5 |
225 |
60 |
- |
90 |
375 |
- |
0,5 |
- |
25 |
5 |
15 |
27 |
7,5 |
15 |
12 |
9 |
- |
16,5 |
52,5 |
- |
0,5 |
- |
26 |
6 |
6 |
20 |
13 |
15 |
7,5 |
9 |
16,2 |
15 |
- |
0,4 |
- |
- |
27 |
7 |
195 |
60 |
90 |
120 |
165 |
67,5 |
- |
10,2 |
37,5 |
- |
- |
0,04 |
28 |
8 |
9 |
7,5 |
12 |
21 |
10,5 |
12 |
15 |
- |
33 |
2 |
- |
- |
29 |
9 |
82,5 |
120 |
150 |
60 |
105 |
180 |
- |
25,5 |
22,5 |
- |
0,1 |
- |
30 |
10 |
165 |
90 |
67,5 |
225 |
120 |
75 |
- |
21 |
21 |
- |
- |
0,1 |
31 |
11 |
10,5 |
18 |
6 |
13,5 |
22,5 |
12 |
12 |
15 |
- |
1 |
- |
- |
32 |
12 |
45 |
60 |
33 |
15 |
21 |
75 |
- |
16,5 |
22,5 |
- |
- |
0,3 |
33 |
13 |
22,5 |
18 |
15 |
13,5 |
12 |
10,5 |
15 |
30 |
- |
- |
0,2 |
- |
34 |
14 |
18 |
52,5 |
33 |
9 |
15 |
22,5 |
- |
9 |
18 |
- |
- |
0,4 |
35 |
15 |
6 |
10,5 |
15 |
18 |
30 |
8,25 |
- |
9 |
30 |
- |
- |
2 |
36 |
16 |
6 |
16,5 |
7,5 |
18 |
10,5 |
12 |
- |
25,5 |
15 |
- |
- |
2 |
37 |
17 |
13,5 |
30 |
24 |
60 |
45 |
33 |
- |
15 |
27 |
- |
- |
1 |
38 |
18 |
7,5 |
15 |
18 |
10,5 |
12 |
22,5 |
15 |
37,5 |
- |
- |
0,5 |
- |
39 |
19 |
7,5 |
10,5 |
15 |
6 |
22,5 |
30 |
- |
15 |
45 |
- |
1 |
- |
40 |
20 |
12 |
15 |
9 |
22,5 |
31,5 |
39 |
- |
25,5 |
30 |
- |
1 |
- |
41 |
1 |
5 |
9 |
13 |
10 |
7 |
4 |
- |
21 |
10 |
- |
- |
2 |
42 |
2 |
13 |
5 |
2 |
8 |
11 |
15 |
- |
12 |
16 |
- |
- |
1 |
43 |
3 |
4 |
8 |
6 |
10 |
13 |
10 |
- |
30 |
9 |
- |
- |
2 |
44 |
4 |
20 |
80 |
100 |
35 |
150 |
40 |
- |
100 |
150 |
- |
- |
1 |
45 |
5 |
15 |
22 |
16 |
20 |
8 |
6 |
- |
30 |
40 |
- |
- |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
46 |
6 |
22,5 |
18 |
15 |
13,5 |
12 |
10,5 |
15 |
30 |
- |
- |
0,2 |
- |
47 |
7 |
18 |
52,5 |
33 |
9 |
15 |
22,5 |
- |
9 |
18 |
- |
- |
0,4 |
48 |
8 |
6 |
10,5 |
15 |
18 |
30 |
8,25 |
- |
9 |
30 |
- |
- |
2 |
49 |
9 |
6 |
16,5 |
7,5 |
18 |
10,5 |
12 |
- |
25,5 |
15 |
- |
- |
2 |
50 |
10 |
13,5 |
30 |
24 |
60 |
45 |
33 |
- |
15 |
27 |
- |
- |
1 |
Метою розрахунку є визначення струмів у гілках схеми, при цьому число невідомих струмів дорівнює числу галузей схеми.
Будь-яка система рівнянь повинна містити стільки рівнянь, скільки невідомих потрібно визначити, отже, число рівнянь, складених за законами Кирхгофа для заданої схеми, буде дорівнює числу галузей схеми. Позначимо це число символом N .
У загальному випадку
N=NI+NII
де NI - число незалежних рівнянь, складених по 1закону Кирхгофа,
NII - число незалежних рівнянь, складених по 2 закону Кирхгофа.
Для того, щоб знайти NI , необхідно із числа вузлів схеми відняти одиницю, тобто
NI =В-1
( В- число вузлів схеми)
Інші рівняння становимо по 2 закону Кирхгофа, тобто
NII = N-N- NI
Перш, ніж становити рівняння, необхідно задатися напрямками струмів у гілках і напрямками обходу контурів. Всі ці напрямки вибираються довільно.
Наприклад, система рівнянь, складених для схеми (мал1-21)за законами Кирхгофа, має вигляд
-I 1-I2+I3=0
I5+I 4-I3=0
I 2-I5-I6=0
E1=I1*R1+I3*R3+I4*R4
E2=I2*R2+I3*R3+I5*R5
0=I4*R 4-I5*R5+I6*R6
Особливість цього методу полягає в тім, що рівняння складаються тільки по другому законі Кирхгофа й число рівнянь у системі дорівнює числу незалежних контурів схеми.
Тут I11, I22, I33 контурні струми.
Рівняння по 2 закону Кирхгофа повинні враховувати спадання напруги на елементах контуру від всіх струмів.
Наприклад, у першому контурі спадання напруги від струму I11
I11 R1+ I11 R3+ I11 R4
крім того, через резистор R3 протікає контурний струм I22 , що створює спадання напруги I22 R3, а через резистор R 4 протікає контурний струм I33, що створює спадання напруги I33 R4.
Таким чином, для першого контуру рівняння по 2 закону Кирхгофа має вигляд:
E1= I11 (R1+R3+R4)+ I22 R3+ I33 R4
Для другого контуру
E2= I11 R3+ I22 (R2+R3+R5)- I33 R5
Перед струмом I33 знак мінус, оскільки струми I22 і I33 у гилці що є загальної для обох контурів, спрямовані зустрічно.
Для третього контуру
0= I11 R 4-4- I22 R5+ I33 (R4+R5+R6)
Ці рівняння записуємо у вигляді системи й вирішуємо щодо струмів I11 I22 , I33 .
E1= I11 (R1+R3+R4)+ I22 R3+ I33 R4
E2= I11 R3+ I22 (R2+R3+R5)- I33 R5
0 = I11 R4- I22 R5+ I33 (R4+R5+R6)
Струми в гілках визначаються як алгебраїчна сума контурних струмів.
Приклад розрахунку.
Задано розгалужене електричне коло(мал.1-23) з наступними параметрами:
E1=40В,Е3=12В, Jк1= 2А.,R1=12Ом ,R2=10 Ом, R3=16 Ом, R4=14 Ом ,
R5=28 Ом,R6=16 Ом
Метод контурних струмів не розрахований на кола із джерелами струму, тому джерело струму необхідно замінити еквівалентним джерелом ЕРС .
Схему заміняємо схемою
де Е1′=Jк1*R1=2*12=24В
Задамося напрямками струмів у гілках і напрямками контурних струмів (мал.1-24) і для прийнятих напрямків напишемо рівняння по II законі Кирхгофа.
I11 (R1+R2+R6)-I22 R2 + I33 R6=E1+E1′
- I11 R2+ I22 (R2+R4+R5)+ I33 R4=0
I11 R6+ I22 R4+ I33 (R3+R4+R6)=E3
Підставляючи числові значення, одержимо систему:
38 I11 -10 I22 +16 I33 =64
-10 I11 +52 I22 +14 I33 =0
16 I11 +14 I22 +46 I33 =12
Вирішивши цю систему будь-яким відомим способом, одержуємо відповідь:
I11 =2,11А I22 =0,581А I33 = - 0,65А
Визначаємо струми в гілках
I1= I11 =2,11A
I2= I11 I22 =2,11- 0,581=1,529A
I3= I33 = - 0,65A
I4= I22 + I33 =0,581 0,65= - 0,069A
I5= I22 =0,581A
I6= -(I11 + I33 )= -(2,11-0,65)= -1,46A
Знаки мінус у відповідях означають, що відповідні струми мають у дійсності протилежний напрямок.
Вертаючись до вихідної схеми, визначимо струм через резистор R1.
I1′ = I1- Jк1=2,11-2=0,11 А
Цей метод заснований на першому законі Кирхгофа. Число рівнянь у системі дорівнює числу вузлів схеми. Для скороченні числа рівнянь один вузол заземлюється, що однак не приводить до зміни розподілу потенціалів у колі.
У цій схемі(мал..1-25) чотири вузли, один з них заземлений, значить можна скласти три незалежних рівняння по 1 закону Кирхгофа.
-I 1-I2+I3=0
I5+I 4-I3=0
I 2-I5-I6=0
Користуючись законом Ома для ділянки кола, виразимо струми через різниці потенціалів між вузлами.
I1===(φ1-φ3+E1)G1
I2=== (φ1-φ4+E2)G2
I3= = =(φ2-φ1)G3
I4== =(φ3-φ2)G4
I5= = =(φ4-φ2)G5
I6===(φ4-φ3)G6
Провідності гілок
G1= G2= G3= G4= G5= G6=.
Виконавши перетворення, будемо в остаточному виді мати систему рівнянь, у якій невідомими є потенціали вузлів
φ1(G1+G2+G3) -φ2G3 φ4G2= -E1G1 - E2G2
-φ1G3 + φ2(G3+G4+G5) φ4G5=0
- φ1G2- φ2G5 + φ4(G2+G5+G6)=E2G2
Вирішивши систему, визначимо потенціали φ1, φ2, φ4. Підставивши отримані значення потенціалів у рівняння, знайдемо шукані струми в гілках.
Приклад розрахунку
Візьмемо те же коло, що й у попередньому прикладі(мал.4):
E1=40В,Е3=12В, Jк1= 2А,R1=12Ом ,R2=10 Ом, R3=16 Ом, R4=14 Ом ,
R5=28 Ом,R6=16 Ом
Задамося напрямками струмів у гілках і заземлимо один з вузлів, наприклад четвертий(мал.1-26):
Складемо систему рівнянь і визначимо провідності гілок
φ1(G3+G4+G5) -φ2G3 φ3G5= E3G3
-φ1G3 + φ2(G1+G3+G6) φ3G1= -(E1+Е1′)G1 E3G3
- φ1G5- φ2G1 + φ3(G1+G2+G5)= (E1+Е1′)G1
G1= ==0,083 Сим
G2== =0,1 Сим
G3= ==0,0625 Сим
G4= ==0,07143 Сим
G5= ==0,0357 Сим
G6===0,0625 Сим
Після підстановки числових значень одержимо
0,1696 φ1 -0,0625 φ2 0,0357 φ3= 0,75
-0,0625 φ1 + 0,208 φ2 0,083 φ3= -6,062
- 0,0357 φ1- 0,083 φ2 + 0,2187 φ3 =5,312
Рішення системи
φ1=-0,9632В, φ2=-23,24В, φ3=15,27В.
Визначаємо струми в гілках
I1===(φ2-φ3+E1+E1′)G1=
(-23,24-15,27+64)0,083=2,115A
I2=== φ3 G2 =15,27*0,1=1,527A
I3= = =(φ2-φ1+E3)G3 = (-23,24+0,9632 + 12 )0,0625
= - 0,6423 A
I4== =φ1G4= -0,9632* 0,07143 = - 0,069 А
I5= = =(φ3-φ1)G5 =( 15,27+0,9632) 0,0357 = 0,58А
I6= ==φ2G6 =-23,24* 0,0625 = - 1,45А
Порівнюючи результати розрахунків обома методами, переконуємося, що відповіді практично збігаються.
Під балансом потужності ми розуміємо рівність енергії, що віддається джерелами й споживаним навантаженням, тобто
Pи =Рн или ∑ЕI=∑I2 R
Приклад розрахунку
Розрахуємо баланс потужності для кола з попередніх прикладів:
E1=40В, Е1′=12В,Е3=12В,
R1=12Ом ,R2=10 Ом, R3=16 Ом, R4=14 Ом ,R5=28 Ом,R6=16 Ом
Розраховані струми
I1=2,115A
I2 =1,527A
I3 = - 0,6423 A
I4 =- 0,069 А
I 5= 0,58А
I6 = - 1,45А
Потужність джерел
Ри=(Е1+ Е1′)*I1+E3*I3=(40+24)2,115+12(-0,6423)=127,65Вт
Потужність навантаження
Рн=I12R1+ I22R2+ I32R3+ I42R4+ I52R5+ I62R6=
=2,1152 *12+ 1,5272*10+ 0,64232*16+ 0,0692*14+ 0,582*28+ 1,452*16=126,7Вт
Можна вважати, що баланс потужності зійшовся, тому що
Ри ≈ Рн
Завдання 2
Електричні кола синусоїдного струму
Для електричної схеми, відповідної номеру варіанту (табл.2) і зображеною на
мал. 2.1-2.20, виконати наступне:
1.На основі законів Кирхгофа скласти в загальному вигляді систему рівнянь для розрахунку струмів в усіх гілках кола, записавши її в двох формах:
а) диференціальною;
б) символічною.
2.Определить комплекси діючих значень струмів в усіх гілках, скориставшись одним з методів розрахунку лінійних електричних ланцюгів.
3.По результатам, отриманим в п. 2, визначити свідчення ватметра двома способами: а) за допомогою вираження для комплексів струму і напруги на ватметрі;
б) по формулі . За допомогою векторної діаграми струму і напруга, на яку реагує ватметр, пояснити визначення кута
4.Построить топографічну діаграму, поєднану з векторною діаграмою струмів.
При цьому потенціал точки , вказаної на схемі, прийняти рівним нулю.
5. Використовуючи дані розрахунків, отриманих в п. 2 , записати вираження для миттєвого значення струму або напруги .Побудувати графік залежності вказаної величини від
Таблиця2
варіант |
Номер схеми |
L1 |
L2 |
L3 |
C1 |
C2 |
C3 |
R1 |
R2 |
R3 |
f |
e |
мГн |
мкФ |
Ом |
Гц |
В |
||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
1 |
1 |
- |
34,7 |
- |
- |
- |
80,3 |
17 |
- |
- |
55 |
e'1 =80sin( ωt + 45º) e''1 =80cos( ωt - 135º) e'3 =56,6cos( ωt - 30º) |
2 |
2 |
- |
- |
1000 |
20 |
- |
8 |
- |
25 |
- |
40 |
e'1 =566cos( ωt + 270º) e'3 =705sin( ωt - 180º) |
3 |
3 |
100,5 |
- |
- |
88,5 |
- |
132,5 |
- |
25 |
- |
60 |
e'1 =70,5sin( ωt -13º) e'2 =68,5sin( ωt - 84º) e''2=56cos( ωt +100º) |
4 |
4 |
20,8 |
- |
52,7 |
15,1 |
- |
64,6 |
- |
65 |
- |
130 |
e'1 =100sin( ωt - 35º) e''1 =100sin( ωt +55º) e''3 =282sin( ωt - 40º) |
5 |
5 |
- |
250 |
- |
31.8 |
- |
66 |
- |
- |
100 |
50 |
e'1 =141cos( ωt + 270º) e'3 =141sin( ωt +90º) |
6 |
6 |
- |
- |
159 |
15,9 |
- |
- |
- |
100 |
- |
10 |
e''1 =169sin ωt e'2 =169cos ωt e'3 =169 sin (ωt+ 180º) |
7 |
7 |
24 |
- |
- |
12,7 |
5,5 |
- |
- |
- |
10 |
500 |
e''1 =282sin ωt e'2 =282sin( ωt - 180º)
|
8 |
8 |
13,6 |
- |
109,2 |
32,5 |
- |
94,6 |
- |
65 |
- |
70 |
e'1 =141cos( ωt - 90º) e''3 =282 sin( ωt-50º) |
9 |
9 |
120 |
- |
- |
16 |
- |
8 |
- |
100 |
- |
200 |
e'1 =169sin( ωt +180º) e''2 =169cos ωt e'3 =169 cos( ωt+ 270º) |
10 |
10 |
12,7 |
47,8 |
- |
- |
31,9 |
- |
- |
25 |
- |
100 |
e'1 =70,5sin (ωt +20º) e'3 =84,6 sin (ωt -10º) |
11 |
11 |
100 |
25 |
- |
- |
8 |
- |
- |
- |
100 |
159 |
e''1 =169sin (ωt +180º) e''2 =169sin ωt e'3 =169 cos ωt |
12 |
12 |
- |
80 |
145 |
- |
- |
44,5 |
60 |
- |
- |
120 |
e'2=689sin (ωt +12º) e''2 =496cos (ωt -150º) e'3 =705 sin( ωt+307º) |
13 |
13 |
- |
- |
132 |
50 |
- |
184 |
- |
65 |
- |
50 |
e'1 =141cos( ωt + 345º) e'3 =200 sin( ωt+45º) e''3 =116 sin (ωt -11º) |
14 |
14 |
- |
83,8 |
- |
- |
15,8 |
29,5 |
17 |
- |
- |
150 |
e'1 =113sin (ωt +338º) e'3 = 56,4 cos(ωt - 147º) |
15 |
15 |
- |
63,8 |
- |
106 |
- |
- |
- |
- |
10 |
50 |
e'1 =99 sin (ωt+20º) e'2 =178cos ( ωt+270º) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
16 |
16 |
- |
477 |
125 |
- |
4 |
33 |
100 |
- |
- |
100 |
e''1 =141sin (ωt -270º) e''3 =141 cos( ωt - 90º) |
17 |
17 |
- |
136 |
- |
- |
18,2 |
9,1 |
100 |
- |
- |
175 |
e''1 =169sin (ωt +90º) e'2 =169sin (ωt +180º) e''3 =169 cos( ωt - 90º) |
18 |
18 |
80 |
90 |
- |
10 |
5 |
- |
- |
- |
70 |
160 |
e'1 =141cos( ωt - 30º) e'2 =62 sin( ωt+326º) e''2 =96,5 cos(ωt +111º) |
19 |
19 |
- |
21,2 |
24,8 |
- |
- |
35,5 |
17 |
- |
- |
90 |
e'1 =80 sin (ωt+40º) e''1 =80 sin (ωt -50º) e'3 =56,4cos ( ωt - 180º) |
20 |
20 |
21,2 |
- |
- |
- |
132,5 |
- |
- |
- |
25 |
60 |
e'1 =70,5sin ωt e'3 = 84,6 sin (ωt - 30º) |
21 |
1 |
- |
17,35 |
- |
- |
- |
40,15 |
17 |
- |
- |
110 |
e'1 =113sin ωt e'3 =46,2sin ωt e'3 = 32,4 sin (ωt - 90º) |
22 |
2 |
- |
49,75 |
500 |
10 |
79,6 |
4 |
- |
25 |
- |
80 |
e'1 =566cos( ωt-90º) e'3 =705 sin( ωt+180º) |
23 |
3 |
402 |
- |
- |
354 |
- |
530 |
- |
25 |
- |
15 |
e'1 =70,5cos( ωt + 257º) e'2 =62 cos(ωt-174º) e''2 =56 sin (ωt - 170º) |
24 |
4 |
10,4 |
- |
26,35 |
7,55 |
- |
32,3 |
- |
65 |
- |
260 |
e''1 =141sin (ωt +10º) e'3 =200sin (ωt +5º) e''3 =200 sin (ωt -85º) |
25 |
5 |
1600 |
250 |
- |
5,3 |
66 |
- |
- |
- |
100 |
50 |
e''1 =141sin ωt e'3 =141 cos ωt |
26 |
6 |
- |
- |
318 |
15,9 |
- |
15,9 |
- |
100 |
- |
100 |
e''1 =169sin ωt e'2 =169sin (ωt +90º) e'3 =169 sin (ωt -180º) |
27 |
7 |
16 |
- |
- |
- |
5,5 |
- |
- |
- |
10 |
500 |
e''1 =282sin ωt e'2 =282sin (ωt +180º)
|
28 |
8 |
13,6 |
- |
54,6 |
32,5 |
- |
- |
- |
65 |
- |
70 |
e''1 =141sin ωt e'3 =282 sin (ωt -50º) |
29 |
9 |
60 |
- |
- |
8 |
- |
4 |
- |
100 |
- |
400 |
e'1 =169sin (ωt +180º) e''2 =169 sin (ωt +90º) e'3 =169 sin ωt |
30 |
10 |
12,7 |
8 |
- |
- |
63,8 |
- |
- |
- |
25 |
100 |
e'1 =70,5sin (ωt +20º) e'3 =84,6sin (ωt -10º) |
31 |
11 |
159 |
39,8 |
- |
- |
12,7 |
- |
- |
- |
100 |
100 |
e''1 =169sin (ωt -180º) e'2 =240sin (ωt +45º) e''2 =169 sin (ωt -90º) e'3 =169 cos ωt |
32 |
12 |
- |
320 |
580 |
- |
- |
178 |
60 |
- |
- |
30 |
e'2 =689 cos(ωt -78º) e''2 =496 sin (ωt - 60º) e'3 =705sin (ωt -53º) |
33 |
13 |
- |
- |
26,3 |
12,5 |
- |
88,4 |
- |
65 |
- |
200 |
e'1 =200cos ωt e''1 =74,2sin (ωt +120º) e'3 =282 cos ( ωt+295º) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
34 |
14 |
- |
41,9 |
19,13 |
- |
7,9 |
7,4 |
17 |
- |
- |
300 |
e'1 =113sin (ωt -22º) e'3 =56,4cos ( ωt-147º) |
35 |
15 |
- |
127,6 |
- |
106 |
159 |
- |
- |
- |
10 |
50 |
e'1 =99sin (ωt-340º) e''2 =179 cos(ωt -90º) |
36 |
16 |
- |
1600 |
250 |
- |
5,3 |
66 |
100 |
- |
- |
50 |
e'1 =282sin (ωt-135º) e''1 =400cos ( ω t-30º) e''3 =141 sin ωt |
37 |
17 |
- |
68 |
- |
- |
9,1 |
4,55 |
100 |
- |
- |
350 |
e'1 =169 cos(ωt -90º) e''1 =240sin (ωt +135º) e'2 =169sin (ωt +180º) e''3 =169 cos(ωt -90º) |
38 |
18 |
320 |
360 |
- |
40 |
20 |
- |
- |
- |
70 |
40 |
e'1 =141sin (ωt -300º) e'2 =62 cos(ωt -124º) e''2 =96,4 sin (ωt +201º) |
39 |
19 |
- |
10,6 |
24,8 |
- |
- |
13,8 |
17 |
- |
- |
180 |
e''1 =112,8 sin (ωt -5º) e'3 =56,4sin (ωt -40º) |
40 |
20 |
12,7 |
31,8 |
- |
- |
39,8 |
- |
- |
- |
25 |
100 |
e'1 =70,5 cos(ωt+270º) e'3 =84,6cos ( ωt+240º) |
41 |
1 |
- |
34,7 |
- |
- |
- |
80,3 |
17 |
- |
- |
55 |
e'1 =113,1sin ωt e'3 =56,6sin (ωt -35º) |
42 |
2 |
- |
- |
500 |
10 |
- |
4 |
- |
25 |
- |
80 |
e'1 =620sin (ωt+54º) e''1 =538cos(ωt -158º) e'3 =705 cos ( ωt+90º) |
43 |
3 |
402 |
- |
228 |
354 |
- |
265 |
- |
25 |
- |
15 |
e'1 =70,5 cos(ωt -103º) e'2 =84,6sin (ωt +317º) |
44 |
4 |
20,8 |
- |
52,7 |
15,1 |
- |
64,6 |
- |
65 |
- |
130 |
e''1 =141sin (ωt+10º) e''3 =282 sin (ωt -40º) |
45 |
5 |
1060 |
413 |
- |
17,6 |
110 |
- |
- |
- |
100 |
30 |
e'1 =141 cos (ωt -90º) e'3 =141sin (ωt -270º) |
46 |
6 |
- |
- |
318 |
31,8 |
- |
- |
- |
100 |
- |
50 |
e'1 =169sin ωt e'2 = 120sin (ωt +135º) e''2=120 cos(ωt -45º) e'3 =169sin (ωt -180º) |
47 |
7 |
48 |
- |
- |
25,4 |
11 |
- |
- |
- |
10 |
250 |
e''1 =282sin ωt e'2 =282 cos(ωt +90º) |
48 |
8 |
6,8 |
- |
54,6 |
16,25 |
- |
47,3 |
- |
65 |
- |
140 |
e'1 =141 cos(ωt +270º) e'3 =282 cos(ωt -140º) |
49 |
9 |
60 |
- |
- |
8 |
- |
14 |
- |
100 |
- |
150 |
e'1 =169sin (ωt +180º) e''2 =169 sin (ωt +90º) e'3 =169 sin ωt |
50 |
10 |
12,7 |
8 |
- |
- |
128 |
- |
- |
- |
12 |
75 |
e'1 =70,5sin (ωt +20º) e'3 =84,6sin (ωt -10º) |
Система рівнянь, складена за законами Кирхгофа, повинна містити стільки рівнянь, скільки невідомих струмів потрібно визначити.
Кількість рівнянь по I і II законах Кирхгофа визначається так само, як і при розрахунку кола постійного струму.
Перш, ніж становити рівняння, необхідно задатися напрямками струмів у гілках і направленими обходу контурів.
Наприклад, задана електричне коло, що складається із трьох гілок, з'єднаних двома вузлами:
Мал..2-21
Отже, система рівнянь, складених за законами Кирхгофа, повинна містити три рівняння, з них одне-I за законом, і два - по II законі.
Для заданої схеми, з урахуванням обраних напрямків струмів у гілках і напрямків обходу контурів, ці рівняння мають вигляд:
i 1-i2-i3=0 - для вузла «а»
i1 R1+L1 +i2R2+L2 =e - для першого контуру
- i2R2 - L2 + + L3 =0 - для другого контуру
Для цієї ж схеми складемо рівняння в символічній формі:
Тут XL1, XL2, XL3, XC3 - комплексні реактивні опори.
Розрахувати струми в гілках можна тими ж способами, які застосовувалися при розрахунках кіл постійного струму.
Якщо застосувати метод контурних струмів, то для заданого кола треба скласти систему із двох рівнянь:
к1 Z11 - к2 Z12=
- к1 Z21+ к2 Z22 =0
де Z11= ( R1 +R2 ) +j(x1 +x2 ) - повний комплексний опір I контуру
Z12 = Z21 = R2+jXL2 - повний комплексний опір гілкі, загальної для
обох контурів
Z22 =(R2+ R3) +j(x2 +x3 - x3 )- повний комплексний опір II контуру
.
Вирішивши систему, знайдемо контурні струми к1 і к2 , після чого визначимо шукані струми в гілках:
1 = к1
2 = к1 - к2
3 = к2
При розрахунку методом двох вузлів спочатку визначається напруга між вузлами «а» і «б», а потім за законом Ома - струми в гілках.
Напруга між вузлами Uаб =
Де y1, y2, y3 - повні комплексні провідності гілок
y1 = = ; y2 = = ; y3 = = ;
Струми в гілках: 1 = ;
2 = ;
3 =
Для заданого електричного кола(мал. 2-22) визначити комплекси діючих значень струмів у всіх гілках, скориставшись одним з методів розрахунку лінійних електричних кіл.
Вихідні дані:
L2 =127,6мГн; С1 =106мкФ; C2 =159мкФ; R3 =10Ом;
f =50Гц ; e1´ =99sin( ωt+340º)В; e2´´=179cos( ωt-90º)В
Мал.2-22
Тому що у завданні потрібно визначити комплекси струмів у гілках, то розрахунок будемо робити в символічній формі.
1.Кутова частота ω=2πf=2*3,14*50=314с-1
2.Комплексні реактивні опори гілок
ХС1 = -j = -j = -j30 = 30 e-j90º Ом
ХС2 = -j = -j = -j20 = 20e -j90º Ом
XL2=j ωL=j314*127* 10-3 =j40=40 e j90º Ом
Повні комплексні опори гілок
Z1 = ХС1 =-j30 = 30e-j90º Ом
Z2 = XL2 + ХС2 = j ωL - j=j(40-20)=j20 = 20e j90º Ом
Z3 =R3 =10 Ом
3.Комплекси діючих значень ЕРС
e1´ =99sin( ωt+340˚) = 99sin(ωt-20˚) В - миттєве значення ЕРС
діюче значення цієї ЕРС = = =70 В
комплексне діюче значення =70ej340º =70 e -j20º =65, 8-j24 В
e2´´=179cos( ωt- 90º) = 179sin(ωt -90º +90º) =179sinωt B- миттєве значення ЕРС
діюче значення цієї ЕРС = = =126,6 В
комплексне діюче значення =126,6e j 0º = 126,6 В
4. Розрахунок струмів у гілках
4.1Метод контурних струмів
Задавшись напрямками струмів у гілках і напрямками обходу контурів, складемо рівняння по II закону Кирхгофа.
Мал.2-23
к1 Z11 - к2 Z12=-
-к1 Z21+к2 Z22 =
где Z11 =XC1+XC2+XL2 =-j30-j20+ j40 = -j10 = 10e -j90º Ом
Z22 =R3 +XC2+XL2 =10-j20+ j40=10+j40 =22,36e j63,4º Ом
Z12=Z21= XC2+XL2 =-j20+ j40=j20=20e j90º
Підставивши числові коефіцієнти, одержимо систему рівнянь:
к1(-j10) - к2( j20)= 65, 8-j24 126,6
- к1 (j20)+ к2 (10+j20) =126,6
У результаті рішення системи отримана відповідь
к1 = - 0,486 + j 1,7 А
к2 = 1,44 - j 3,85 А
Струми в гілках
1 =к1 =- 0,486 + j 1,7 =1,768e j106º А
2 =к2 -к1 =1,44 - j 3,85 (- 0,486 + j 1,7) =1,916-j 5,55=5,87e - j71º А
3 = -к2 = - 1,44 + j 3,85 =4,1 e j111º А
Для перевірки підставимо отримані відповіді в рівняння по I закону Кирхгофа
(- 0,486 + j 1,7)+(1,916-j 5,55)+( - 1,44 + j 3,85)=0
4.2Метод двох вузлів
Напруга між вузлами «а» і «b»
Uаb =
Где y1 = = j 0,033 Сим
y2 == -j 0,05 Сим
y3 == 0,1 Сим
Знаки «-» у чисельнику означають, що ЕРС джерел спрямовані від вузла «а».
аb = = -14,5 + j38,75 В
Струми в гілках
1 =(аb +)y1 =(-14,5 + j38,75 +65,8-j24) j 0,033 =-0,487+j1,7 А
2 = (аb +)y2 =(-14,5 + j38,75 -126,6)(-j0,05)= 1,937-j 5,575 А
3 =аb y3 =(-14,5 + j38,75)0,1= -1,45+j3,876 А
5.Показання ватметра
У заданій схемі ватметр включений у третю гілку його котушка напруги включена на напругу аb , а по струмовій котушці протікає струм 3.
Так як ватметр вимірює активну потужність, то завдання зводиться до визначення активної потужності ділянки.
а)для визначення показань ватметра першим способом, необхідно обчислити повну комплексну потужність ділянки
=(-14,5 + j38,75)*( -1, 45-j3,876)=170 +j0 ВА
де - сполучений комплекс струму .Відрізняється від комплексу знаком перед мнимою частиною.
Дійсна частина повної комплексної потужності - це активна потужність:
P= Re ( ) =170 Вт
б)активна потужність кола визначається також по формулі
P=Uаb I3 cosφ
де Uаb -діюче значення напруги, I3 - діюче значення струму,
φ-кут фазового зсуву між напругою й струмом.
Uаb = =41,4 В ΨU = arctg = - 69,5º
I3 = =4,11 A ΨI = arctg = - 69,5º
φ = ΨU - ΨI = -69,5º- (-69,5˚)=0
Т.ч. показання ватметра
P = Uаb I3 cosφ =41,4*4,11*cos 0 =170 Вт
6.Розрахунок і побудова топографічної діаграми
Для побудови топографічної діаграми вибирається один з контурів електричного кола, одна крапка контуру заземлюється, і розраховуються потенціали інших крапок у порядку їхнього розташування в контурі.
Побудуємо топографічну діаграму для I контуру.
Мал.2-24
Для побудови топографічної діаграми обраного контуру(мал.2-24) необхідно розрахувати потенціали крапок a,c,b,d,e.
Т.к. крапка «а» заземлена, її потенціал дорівнює нулю:
φа =0
φc = φа + = 0 + 65, 8-j 24 = 65, 8-j24 B
φb = φc C1 = φb = 65, 8-8- j24 (-0,487+j1,7)( -j30) = 15 - j 38,6 B
φd = φb = 15 - j 38,6 126,6 = -111 -j 38,6 B
φe = φd + L 2 = φd + = -111 -j 38,6 +(1, 937-j 5,575) j40 = 112 +j 38,9 B
φa = φe + C 2 = φe + =112 +j 38,9 +(1, 937-j 5,575)( -j20) =0,5+j0,16≈0
Завдання 3
Електричні кола трифазного струму
На мал. 3-1-3-20 приведені схеми трифазних кіл. У кожній з них є трифазний генератор (що створює трифазну симетричну синусоїдальну систему ЕРС) і симетричне навантаження. Значення діючого значення ЕРС фази генератора, періоду Т, параметрів наведено в таблиці 3. Початкову фазу ЕРС прийняти нульовою. Потрібно визначити струм в кожної фазі, лінійну напругу генератора, фазну та лінійну напругу навантаження, потужність, яка виробляється генератором та витрачається в навантаженні. Побудувати векторну діаграму
Вказівки:
а) опори обмоток генератора вважати рівними нулю;
б) для варіантів, в яких навантаження зєднане трикутником, рекомендується при розрахунку перетворити її в зірку.
Таблиця3
варіант |
Номер схеми |
EAm,B |
T,c |
L1, мГн |
С1, мкФ |
С2, мкФ |
R1, Ом |
R2, Ом |
1 |
3-1 |
100 |
0,01 |
14,86 |
183,8 |
- |
4,33 |
8,66 |
2 |
3-2 |
80 |
0,01 |
12,19 |
398 |
91,9 |
- |
17,32 |
3 |
3-3 |
60 |
0,01 |
3,18 |
265,2 |
- |
7,66 |
2 |
4 |
3-4 |
40 |
0,01 |
23,8 |
79,6 |
- |
25,98 |
- |
5 |
3-5 |
20 |
0,01 |
11,94 |
53 |
- |
4,33 |
- |
6 |
3-6 |
90 |
0,01 |
71,65 |
79,6 |
- |
8,66 |
- |
7 |
3-7 |
70 |
0,01 |
27,58 |
116,5 |
- |
17,32 |
- |
8 |
3-8 |
50 |
0,01 |
5,82 |
91,8 |
- |
17,32 |
- |
9 |
3-9 |
30 |
0,01 |
15,92 |
318,4 |
- |
17,32 |
- |
10 |
3-10 |
10 |
0,01 |
23,8 |
140,4 |
91,9 |
17,32 |
- |
11 |
3-11 |
200 |
0,01 |
14,86 |
183,8 |
- |
4,33 |
8,66 |
12 |
3-12 |
160 |
0,01 |
12,49 |
398 |
91,9 |
- |
17,32 |
13 |
3-13 |
120 |
0,01 |
3,18 |
265,5 |
- |
7,66 |
2 |
14 |
3-14 |
80 |
0,01 |
23,8 |
26,5 |
- |
26 |
- |
15 |
3-15 |
40 |
0,01 |
11,94 |
637 |
53 |
8,66 |
- |
16 |
3-16 |
180 |
0,01 |
71,65 |
79,6 |
- |
26 |
- |
17 |
3-17 |
140 |
0,01 |
27,58 |
116,5 |
- |
17,32 |
- |
18 |
3-18 |
100 |
0,01 |
5,82 |
91,8 |
- |
17,32 |
- |
19 |
3-19 |
60 |
0,01 |
15,92 |
318,4 |
- |
17,32 |
- |
20 |
3-20 |
20 |
0,01 |
23,8 |
140,4 |
91,9 |
17,32 |
- |
21 |
3-1 |
100 |
0,015 |
22,32 |
276 |
- |
4,33 |
8,66 |
22 |
3-2 |
80 |
0,015 |
18,33 |
598 |
138 |
- |
17,32 |
23 |
3-3 |
60 |
0,015 |
4,78 |
398 |
- |
7,66 |
2 |
24 |
3-4 |
40 |
0,015 |
35,88 |
119,6 |
- |
25,98 |
- |
25 |
3-5 |
20 |
0,015 |
17,94 |
79,7 |
- |
4,33 |
- |
26 |
3-6 |
90 |
0,015 |
107,6 |
119,6 |
- |
8,66 |
- |
27 |
3-7 |
70 |
0,015 |
41,4 |
175,1 |
- |
17,32 |
- |
28 |
3-8 |
50 |
0,015 |
8,75 |
138 |
- |
17,32 |
- |
29 |
3-9 |
30 |
0,015 |
23,92 |
478,5 |
- |
17,32 |
- |
30 |
3-10 |
10 |
0,015 |
35,88 |
210,9 |
138 |
17,32 |
- |
31 |
3-11 |
200 |
0,015 |
22,32 |
276 |
- |
4,33 |
8,66 |
32 |
3-12 |
160 |
0,015 |
18,33 |
598 |
138 |
- |
17,32 |
33 |
3-13 |
120 |
0,015 |
4,78 |
398 |
- |
7,66 |
2 |
34 |
3-14 |
80 |
0,015 |
35,88 |
39,8 |
- |
26 |
- |
35 |
3-15 |
40 |
0,015 |
17,94 |
957 |
79,7 |
8,66 |
- |
36 |
3-16 |
180 |
0,015 |
107,65 |
119,6 |
- |
26 |
- |
37 |
3-17 |
140 |
0,015 |
41,4 |
175,1 |
- |
17,32 |
- |
38 |
3-18 |
100 |
0,015 |
8,75 |
138 |
- |
17,32 |
- |
39 |
3-19 |
60 |
0,015 |
23,92 |
478,5 |
- |
17,32 |
- |
40 |
3-20 |
20 |
0,015 |
35,88 |
210,9 |
138 |
17,32 |
- |
41 |
3-1 |
100 |
0,02 |
29,71 |
367,5 |
- |
4,33 |
8,66 |
42 |
3-2 |
80 |
0,02 |
24,39 |
796,2 |
183,8 |
- |
17,32 |
43 |
3-3 |
60 |
0,02 |
6,36 |
530 |
- |
7,66 |
2 |
44 |
3-4 |
40 |
0,02 |
47,7 |
159,2 |
- |
25,98 |
- |
45 |
3-5 |
20 |
0,02 |
23,88 |
106,1 |
- |
4,33 |
- |
46 |
3-6 |
90 |
0,02 |
143,3 |
159,2 |
- |
8,66 |
- |
47 |
3-7 |
70 |
0,02 |
55,16 |
233,1 |
- |
17,32 |
- |
48 |
3-8 |
50 |
0,02 |
11,65 |
183,8 |
- |
17,32 |
- |
49 |
3-9 |
30 |
0,02 |
31,85 |
636,9 |
- |
17,32 |
- |
50 |
3-10 |
10 |
0,02 |
47,7 |
280,8 |
183,7 |
17,32 |
- |
У трифазному колі із симетричною системою лінійних напруг і нейтральним дротом напруга зсуву нейтрали дорівнює нулю, тому що провідність нейтрального дроту приймається рівної нескінченності, тому фазні напруги на навантаженні також будуть симетричними.
Для розрахунку фазних струмів необхідно в першу чергу визначити фазні напруги.
При зєднанні фаз зіркою при симетричній системі напруг фазна напруга менше лінійної в разів, тому
= ; = ; = .
Потім визначають опори фаз:
Za=Ra±jXa ; Zb=Rb±jXb ; Zc=Rc±jXc .
після чого визначаються фазні струми
İa= / Za İb= / Zb İc= / Zc
Лінійні струми при зєднанні зіркою рівні фазним.
İA= İa ; İB= İb ; İC= İc.
Струм у нейтральному дроті визначається як сума фазних струмів
İN=İA+İB+İC
При нерівномірному навантаженні, з'єднаним зіркою, і відсутності нейтрального дроту між нейтральними крапками генератора й навантаження виникає напруга зсуву, у результаті чого фазні напруги на навантаженні стають несиметричними й визначаються як різниця між фазною напругою генератора й напругою зсуву нейтрали.
Напруга зсуву нейтрали визначається по формулі
NN′ =
Де UA,UB,UC - фазні напруги генератора,
= ; = ; = .
Ya ,Yb ,Yc - провідності фаз навантаження
Ya =1/Za =1/(Ra±jXa ); Yb =1/Zb =1/(Rb±jXb ); Yc =1/Zc=1/(Rc±jXc ).
Напруги на фазах навантаження
a= A- NN′ ; b=B- NN′ ; c= C- NN′ .
Фазні струми
İa=aYa ; İb=bYb ; İc=cYc
.
Тому що нейтральний дріт відсутній, сума фазних струмів повинна бути рівною нулю
İa + İb + İc =0
Лінійні струми при зєднанні зіркою рівні фазним.
İA= İa ; İB= İb ; İC= İc.
Розрахунок кола при зєднанні навантаження трикутником (мал. 3-23)
При зєднанні навантаження трикутником лінійна напруга прикладена безпосередньо до фаз навантаження, тому фазна напруга на навантаженні в цьому випадку дорівнює лінійноi
ab=UЛ ; bc=UЛ e -j120° ; ca=UЛ e j120° .
Опори фаз
Zab=Rab±jXab ; Zbc=Rbc±jXbc ; Zca=Rca±jXca .
Фазні струми
İab= ab / Zab ; İbc= bc / Zbc ; İca=ca / Zca .
Лінійні струми
İA= Iab-Ica ; İB= Ibc-Iab ; İC= Ica-Ibc .
İab= ab / Zab ; İbc= bc / Zbc ; İca=ca / Zca .
Активна потужність кожної фази визначається аналогічно активної потужності однофазного кола, як добуток діючих значень напрузі й струму на косинус кута між ними
Pф=Uф Iф cosφф
Активну потужність фази можна знайти й іншим способом:
Рф=I2фRф
Активна потужність трифазного кола дорівнює сумі активних потужностей фаз
P=PA+PB+PC або P=PAВ+PBС+PCА
Якщо навантаження симетрична, то Р=3Рф
Приклад розрахунку
До симетричного трифазного генератора з фазної ЕРС Е=127В через лінію, опір кожного дроту якої Zпр=(0,5+j1)Ом, підключене симетричне навантаження Z=(10+j6)Ом, з'єднане зіркою(мал.3-25).
Визначити фазні та лінійні напругі генератора ,струм у кожній фазі, фазну й лінійну напругу на навантаженні , потужність, що розвивається генератором і споживану навантаженням. Побудувати векторну діаграму.
Фазні напругі генератора
;
;
.
Лінійні напруги генератора
В
В
В
Через повну симетрію системи, напруга між нульовими крапками генератора й навантаження дорівнює нулю. Тому кожну фазу можна розглядати як замкнутий контур окремо від інших фаз.
Так наприклад, струм у фазі А знайдеться за законом Ома для контуру (мал. 3-26)
==8,4-j5,6=10e-j34˚ А
Струми фаз В і С
== -9-j4,5=10e-j154˚ А
==0,65+j10=10ej86˚ А
Фазні напругі на навантаженні
=(8,4-j5,6) (10+j6)=117,6-j5,6=117,4e-j2,7˚ В
=(-9-j4,5) (10+j6)= -63-j99=117,4e-j122,7˚ В
=(0,65+j10) (10+j6)= -53,8+j104,3=117,4ej117,3˚ В
Лінійні напругі на навантаженні
(117,6-j5,6)-( -63-j99)=180,6+j93,4=203,3 ej27,4˚ В
(-63-j99)-( -53,8+j104,3)= -9,2-j203,3=203,5 e-j92,6˚ В
(-53,8+j104,3)-( 117,6-j5,6)=-171,4+j110=203,6 ej147,4˚ В
Потужність, що розвивається генератором
Рг =3*Е*І*cosφ=3*127*10*cos(-34˚)=3158,6Вт
Потужність, споживана навантаженням
Рн =3*І2 R=3*102 *10=3000 Вт
Мал. 3-27
Векторна діаграма струмів та напруг
Завдання 4
Періодичні несинусоїдні струми в лінійних електричних колах
Для електричної схеми, що відповідає номеру варіанта (табл.4), і зображеною
на мал. 4.1-4.20,виконати наступне:
1.Разложить ЕРС е(t)в ряд Фурє до п'ятої гармоніки включно, використовуючи табличні данні, приведенні в підручниках
2.Розрахувати струми у гілках та записати їх миттєві значення.
Таблиця 4
варіант |
Номер схеми |
Номер графіка |
Максимальне значення ЕРС Еm, В |
частота f,Гц |
R1 |
R2 |
R3 |
L1 |
L2 |
L3 |
C1 |
C2 |
C3 |
Ом |
мГн |
мкФ |
|||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
4-1 |
4-21 |
80 |
25 |
25 |
- |
- |
100 |
63,7 |
- |
- |
- |
80 |
2 |
4-2 |
4-22 |
100 |
50 |
- |
25 |
- |
57,3 |
38,2 |
- |
- |
- |
70,8 |
3 |
4-3 |
4-23 |
90 |
75 |
50 |
30 |
- |
- |
4,7 |
- |
- |
- |
17,7 |
4 |
4-4 |
4-24 |
120 |
100 |
40 |
- |
30 |
58 |
19,1 |
- |
- |
- |
25 |
5 |
4-5 |
4-23 |
75 |
40 |
50 |
- |
25 |
- |
120 |
- |
- |
- |
39,8 |
6 |
4-6 |
4-22 |
120 |
80 |
- |
- |
30 |
125 |
29,8 |
- |
- |
- |
33,2 |
7 |
4-7 |
4-24 |
200 |
35 |
- |
- |
40 |
- |
100 |
- |
80 |
- |
- |
8 |
4-8 |
4-21 |
50 |
50 |
15 |
10 |
5 |
63,7 |
- |
- |
- |
- |
53 |
9 |
4-9 |
4-21 |
150 |
120 |
50 |
- |
35 |
39,8 |
- |
- |
- |
23,7 |
- |
10 |
4-10 |
4-22 |
180 |
150 |
35 |
50 |
50 |
- |
8,5 |
- |
- |
- |
14 |
11 |
4-11 |
4-23 |
100 |
25 |
40 |
- |
35 |
- |
63,7 |
- |
80 |
- |
- |
12 |
4-12 |
4-24 |
120 |
30 |
45 |
- |
60 |
- |
- |
105 |
- |
80 |
- |
13 |
4-13 |
4-23 |
95 |
50 |
50 |
25 |
- |
- |
- |
125 |
- |
106 |
- |
14 |
4-14 |
4-22 |
120 |
25 |
30 |
- |
55 |
175 |
159 |
- |
- |
60 |
- |
15 |
4-15 |
4-24 |
70 |
30 |
- |
45 |
- |
150 |
- |
- |
- |
- |
100 |
16 |
4-16 |
4-21 |
140 |
80 |
- |
- |
40 |
- |
100 |
115 |
22 |
- |
- |
17 |
4-17 |
4-21 |
160 |
65 |
30 |
- |
40 |
- |
120 |
- |
- |
45 |
- |
18 |
4-18 |
4-22 |
80 |
90 |
25 |
50 |
- |
- |
- |
35,4 |
- |
- |
50 |
19 |
4-19 |
4-23 |
100 |
150 |
35 |
40 |
- |
12,7 |
- |
- |
- |
- |
25 |
20 |
4-20 |
4-24 |
110 |
120 |
30 |
45 |
25 |
20 |
15,9 |
- |
- |
- |
29,5 |
21 |
4-1 |
4-23 |
220 |
25 |
20 |
- |
- |
320 |
287 |
- |
- |
- |
177 |
22 |
4-2 |
4-21 |
230 |
50 |
- |
10 |
- |
63,8 |
127,6 |
- |
- |
- |
106 |
23 |
4-3 |
4-24 |
240 |
75 |
65 |
17 |
- |
- |
13,6 |
- |
- |
- |
32,5 |
24 |
4-4 |
4-22 |
110 |
100 |
25 |
- |
30 |
12,8 |
- |
- |
- |
15,9 |
64,7 |
25 |
4-5 |
4-21 |
120 |
40 |
15 |
- |
25 |
- |
100 |
- |
- |
- |
80,4 |
26 |
4-6 |
4-22 |
150 |
80 |
- |
- |
25 |
49,5 |
39,8 |
- |
- |
- |
79,6 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
27 |
4-7 |
4-23 |
120 |
35 |
- |
- |
40 |
- |
320 |
- |
59 |
- |
- |
28 |
4-8 |
4-24 |
110 |
50 |
15 |
30 |
20 |
73,5 |
- |
- |
- |
- |
66,3 |
29 |
4-9 |
4-22 |
125 |
120 |
40 |
- |
18 |
80 |
- |
- |
- |
44,5 |
- |
30 |
4-10 |
4-21 |
150 |
150 |
17 |
35 |
65 |
- |
5,3 |
- |
- |
- |
15,9 |
31 |
4-11 |
4-24 |
175 |
25 |
60 |
- |
18 |
- |
522 |
- |
159 |
- |
- |
32 |
4-12 |
4-23 |
200 |
30 |
40 |
- |
25 |
- |
- |
132,7 |
- |
106 |
- |
33 |
4-13 |
4-21 |
220 |
50 |
70 |
25 |
- |
- |
- |
83 |
- |
66,3 |
- |
34 |
4-14 |
4-22 |
235 |
25 |
20 |
- |
40 |
32 |
287 |
- |
- |
177 |
- |
35 |
4-15 |
4-24 |
250 |
30 |
- |
65 |
- |
150 |
- |
- |
- |
- |
100 |
36 |
4-16 |
4-21 |
80 |
80 |
- |
- |
22 |
- |
49,5 |
39,8 |
79,6 |
- |
- |
37 |
4-17 |
4-23 |
100 |
65 |
40 |
- |
30 |
- |
120 |
- |
- |
108,9 |
- |
38 |
4-18 |
4-24 |
110 |
90 |
25 |
12 |
- |
- |
- |
17,3 |
- |
- |
35,5 |
39 |
4-19 |
4-21 |
115 |
150 |
20 |
35 |
- |
25 |
- |
- |
- |
- |
40 |
40 |
4-20 |
4-22 |
120 |
120 |
22 |
30 |
12 |
23,9 |
20 |
16,2 |
- |
- |
- |
41 |
4-1 |
4-24 |
127 |
30 |
25 |
- |
- |
100 |
63,7 |
- |
- |
- |
80 |
42 |
4-2 |
4-23 |
140 |
45 |
- |
25 |
- |
57,3 |
38,2 |
- |
- |
- |
70,8 |
43 |
4-3 |
4-22 |
160 |
80 |
50 |
30 |
- |
- |
4,7 |
- |
- |
- |
17,7 |
44 |
4-4 |
4-21 |
180 |
90 |
40 |
- |
30 |
58 |
19,1 |
- |
- |
- |
25 |
45 |
4-5 |
4-23 |
200 |
100 |
50 |
- |
25 |
- |
120 |
- |
- |
- |
39,8 |
46 |
4-6 |
4-21 |
200 |
75 |
- |
- |
50 |
125 |
29,8 |
- |
- |
- |
65 |
47 |
4-7 |
4-24 |
220 |
25 |
- |
- |
20 |
- |
100 |
- |
800 |
- |
- |
48 |
4-8 |
4-22 |
235 |
50 |
35 |
50 |
50 |
63,7 |
- |
- |
- |
- |
53 |
49 |
4-9 |
4-23 |
250 |
100 |
50 |
- |
35 |
39,8 |
- |
- |
- |
23,7 |
- |
50 |
4-10 |
4-24 |
110 |
100 |
35 |
50 |
50 |
- |
8,5 |
- |
- |
- |
14 |
Як відомо з математики, усяку періодичну функцію f(x) з періодом 2π можна представить у вигляді суми постійної складової й ряду гармонійних складових, частоти яких утворять арифметичну прогресію:
f(x)=A0 +a1sinx+b1cosx+ a2sin2x+b2cos2x+ a3sin3x+b3cos3x+...+ ansinnx +bncosnx
або
f(x)=A0 +Σ( ansin nx+bncos nx)
де A0 -постійна складова
A0 =
аn і bn -коефіцієнти ряду
an =
bn =
Змінна X зв'язана з часом співвідношенням
х = ωt =
Ряд Фур'є може бути представлений іншою формою запису, у якій гармонійні складові записані як синусоїди з початковою фазою:
f(x)=A0 +А1 sin( x+Ψ1)+ А2 sin( 2x+Ψ2)+ А3 sin( 3x+Ψ3)+...+ Аn sin( nx+Ψn)=
=A0+ Σ Аn sin( nx+Ψn)
де А1 , А2 , ..Аn -амплітуди гармонійних складових
Аn =
Ψ1 , Ψ2 ,…Ψnпочаткові фази відповідних гармонійних складових
Ψn =arctg
Періодичні криві, що зустрічаються в електротехніці, часто мають геометрично правильну форму(трапецеїдальну, трикутну, прямокутну).Розкладання таких кривих у ряд Фур'є виконується за допомогою таблиць, приведених в підручниках [1,c.182].
Ємнісний опір зменшується з ростом частоти, тому ємнісний опір для n-ний гармоніки в n раз менше опору для першої гармоніки XС
XСn = XС =
Приклад розрахунку
Несинусоїдну криву(мал.4-25) розкласти в ряд Фур'є до п'ятої гармоніки включно
та визначити струми у всіх гілках. електричного кола(мал.4-26)
Вихідні дані для розрахунку:
Еm=100В;R1=3 Ом, R2=16 Ом, R3=20 Ом, L1=35мГн, L2=57,3 мГн,C3=53мкФ,f=50Гц.
1.Розкладання в ряд Фур'є заданої функції.
У таблиці[1,c.182] представлений графік функції
Розкладання її в ряд Фур'є має вигляд
Порівняння графіка (мал.4-27) із графіком заданої функції (мал.4-25) показує, що заданий графік зміщений щодо горизонтальної осі на величину Еm у порівнянні з табличною функцією
Для того, щоб привести його до табличного виду варто виділити постійну
складову Е0 .
Е0 = Еm =100В
Також порівняння графіків дає, що am =Em , а α == =30˚
Таким чином, з урахуванням отриманих результатів, розкладання в ряд Фур'є заданої функції має вигляд
==
100+121,7+26,8+4,9 В.
2.Розрахунок струмів у гілках
Розрахунок струмів виконується методом накладення, тобто розраховуються струми від кожної гармоніки ЕРС окремо.
2.1. Розрахунок струмів від постійної складової ЕРС.
У цьому випадку розрахунок зводиться до розрахунку кола постійного струму, для якої величина постійної ЕРС Е0=100В, опір котушок індуктивності дорівнює нулю, опір конденсатора дорівнює нескінченності, тому схема приймає вид:
I1(0) = I2(0) =І(0) = =5,26А
I3(0) = 0, тому що ця гілка містить конденсатор.
2.2.Розрахунок струмів у гілках від основної гармоніки ЕРС
Розрахунок струмів від гармонійних складових ЕРС виконується символічним методом.
Реактивні опори для основної частоти
XL1(1)=ωL1=314*35*10-3 =11 Ом
XL2(1)=ωL2=314*57,3*10-3 =18 Ом
XС3 (1)= =60 Ом
Повни опори гілок
Z1(1)=R1+j XL1(1) =3+j11 Ом
Z2(1)=R2+j XL2(1) =16+j18 Ом
Z3(1)=R3-j XС3(1) =20-j60 Ом
Повний опір всього кола
Z(1) = Z1(1)+= 3+j11+= 27,7+j23,16 Ом
Комплексна амплітуда струму першої гілкі
== =2,59-j2,16 =A
миттєве значення цього струму i1(1)(t)=3,37sin( ωt-40º)A
Струм другої гілки
=1,8-j3,4=3,86е j62º A
миттєве значення цього струму i2(1)(t)=3,86sin( ωt-62º)A
Струм третьої гілки
=0,8+j1,24=1,47е j58А
миттєве значення цього струму i3(1)(t)=0,7( ωt+51,5º)A
2.3. Розрахунок струмів у гілках від третьої гармоніки ЕРС.
Реактивні опори для частоти 3ω
XL1(3)=3ωL1=3*11=33 Ом
XL2(3)=3ωL2=3*18=54 Ом
XС3 (3)= =20 Ом
Повни опори гілок
Z1(3)=R1+j XL1(3) =3+j33Ом
Z2(3)=R2+j XL2(3) =16+j54 Ом
Z3(3)=R3-j XС3(3) =20-j20Ом
Повний опір всього кола
Z(3) = Z1(3)+= 3+j33+=3+j33+= 34+j24,7Ом
Струми в гілках
=0,5-j0,37=0,64e-j36ºA
i1(3)(t)=0,64sin( 3ωt-36º)A
= - 0,2- j0,3=
=0,36е j125ºА
i2(3)(t)=0,36sin( 3ωt-125º)A
=0,7- j0,08=
=0,7е -j6ºА
i3(3)(t)=0,7sin( 3ωt-6º)A
2.4. Розрахунок струмів у гілках від п'ятої гармоніки ЕРС.
Реактивні опори для частоти 5ω
XL1(5)=5ωL1=5*11=55 Ом
XL2(5)=5ωL2=5*18=90 Ом
XС3 (5)= =12 Ом
Повні опори гілок
Z1(5)=R1+j XL1(5) =3+j55Ом
Z2(5)=R2+j XL2(5) =16+j90 Ом
Z3(5)=R3-j XС3(5) =20-j12Ом
Повний опір всього кола
Z(5) = Z1(5)+= 3+j55+= 26,8+j48Ом
Струми в гілках
0,043-j0,08=0,09e j61ºA
i1(5)(t)=0,09sin( 5ωt-61º)A
= - 0,023- j0,009=
=0,1е j47ºА
i2(5)(t)=0,025sin( 5ωt-158º)A
= 0,066- j0,07=
=0,1е -j47ºА
i3(5)(t)=0,1sin( 5ωt-47º)A
2.5.Остаточні вираження струмів у гілках:
i1(t)= І1(0)+ I m1 (1) sin(ωt+Ψ1)+I m1 (3) sin(3ωt+Ψ3)+ I m1 (5) sin(5ωt+Ψ5)=
=5,26+3,37sin( ωt-40º)+0,64sin( 3ωt-36º)+0,09sin( 5ωt-61º) А
i2(t)= І2(0) +I m2 (1) sin(ωt+Ψ1)+I m2 (3) sin(3ωt+Ψ3)+ I m2 (5) sin(5ωt+Ψ5)=
=5,26+3,86sin( ωt-62º)+0,36sin( 3ωt-125º)+0,025sin( 5ωt-158º) А
i3(t)= I m3 (1) sin(ωt+Ψ1)+I m3 (3) sin(3ωt+Ψ3)+ I m3 (5) sin(5ωt+Ψ5)=
=0,7( ωt+51,5º)+0,7sin( 3ωt-6º)+0,1sin( 5ωt-47º) А
Для електричної схеми, що відповідає номеру варіанта(табл.5) і зображеною на
мал. 5.1-5.20, виконати наступне:
1. Визначити закон зміни в часі струму в одній з гілок або напруги на якому-небудь елементі відповідно до завдання.
Розрахунок варто виконати двома методами: класичним і операторним;
2.На підставі отриманого аналітичного вираження побудувати графік зміни шуканої величини у функції часу на інтервалі від t=0 до t=3τmax , де τmax - постійна часу, що відповідає меншому по модулю кореню характеристичного рівняння.
Таблиця 5
варіант |
Номер схеми |
Е |
R1 |
R2 |
R3 |
L |
C |
визначити |
В |
Ом |
Гн |
мкФ |
|||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
1 |
50 |
20 |
15 |
10 |
0,1 |
1500 |
i1 |
2 |
2 |
110 |
20 |
70 |
45 |
0,105 |
1400 |
i2 |
3 |
3 |
120 |
75 |
30 |
55 |
0,175 |
1250 |
i3 |
4 |
4 |
150 |
60 |
55 |
25 |
0,1 |
2500 |
uC |
5 |
5 |
160 |
40 |
90 |
35 |
0,1 |
1050 |
uL |
6 |
6 |
170 |
50 |
40 |
25 |
0,12 |
1000 |
iC |
7 |
7 |
190 |
40 |
50 |
30 |
0,11 |
1050 |
i3 |
8 |
8 |
205 |
30 |
70 |
40 |
0,2 |
2050 |
uC |
9 |
9 |
210 |
50 |
25 |
60 |
0,125 |
1200 |
i1 |
10 |
10 |
215 |
40 |
65 |
30 |
0,115 |
1750 |
i2 |
11 |
11 |
225 |
45 |
75 |
30 |
0,150 |
1000 |
iC |
12 |
12 |
230 |
70 |
80 |
40 |
0,1 |
1200 |
uL |
13 |
13 |
235 |
50 |
35 |
50 |
0,225 |
1500 |
i1 |
14 |
14 |
245 |
65 |
30 |
70 |
0,12 |
900 |
i2 |
15 |
15 |
100 |
25 |
35 |
40 |
0,1 |
800 |
i3 |
16 |
16 |
115 |
50 |
35 |
90 |
0,105 |
500 |
uC |
17 |
17 |
125 |
40 |
75 |
35 |
0,15 |
800 |
iC |
18 |
18 |
130 |
75 |
30 |
55 |
0,175 |
1250 |
i2 |
19 |
19 |
150 |
35 |
40 |
75 |
0,2 |
1000 |
i3 |
20 |
20 |
160 |
20 |
20 |
30 |
0,1 |
900 |
uL |
21 |
1 |
170 |
25 |
60 |
20 |
0,15 |
1200 |
i2 |
22 |
2 |
190 |
50 |
45 |
35 |
0,12 |
1500 |
i1 |
23 |
3 |
205 |
30 |
75 |
40 |
0,1 |
800 |
i2 |
24 |
4 |
210 |
55 |
40 |
70 |
0,105 |
1000 |
uC |
25 |
5 |
215 |
40 |
75 |
50 |
0,2 |
2000 |
iC |
26 |
6 |
50 |
6 |
12 |
6 |
0,1 |
1500 |
i2 |
27 |
7 |
110 |
20 |
70 |
45 |
0,105 |
1400 |
i3 |
28 |
8 |
120 |
75 |
30 |
55 |
0,175 |
1250 |
uL |
29 |
9 |
150 |
60 |
55 |
25 |
0,1 |
2500 |
iC |
30 |
10 |
160 |
40 |
90 |
35 |
0,1 |
1050 |
i2 |
31 |
11 |
170 |
50 |
40 |
25 |
0,12 |
1000 |
i3 |
32 |
12 |
190 |
40 |
50 |
30 |
0,11 |
1050 |
uC |
33 |
13 |
205 |
30 |
70 |
40 |
0,2 |
2050 |
i1 |
34 |
14 |
210 |
50 |
25 |
60 |
0,125 |
1200 |
i2 |
35 |
15 |
215 |
40 |
65 |
30 |
0,115 |
17500 |
i3 |
36 |
16 |
225 |
45 |
75 |
30 |
0,150 |
1000 |
uC |
37 |
17 |
230 |
70 |
80 |
40 |
0,1 |
1200 |
i1 |
38 |
18 |
235 |
50 |
35 |
50 |
0,225 |
1500 |
i2 |
39 |
19 |
245 |
65 |
30 |
70 |
0,12 |
900 |
i3 |
40 |
20 |
100 |
25 |
35 |
40 |
0,1 |
800 |
uC |
41 |
1 |
115 |
50 |
25 |
90 |
0,105 |
500 |
i3 |
42 |
2 |
125 |
40 |
75 |
35 |
0,15 |
800 |
uC |
43 |
3 |
130 |
75 |
30 |
55 |
0,175 |
1250 |
i1 |
44 |
4 |
150 |
35 |
40 |
75 |
0,2 |
1000 |
i2 |
45 |
5 |
160 |
20 |
20 |
30 |
0,1 |
900 |
i1 |
46 |
6 |
170 |
25 |
60 |
20 |
0,15 |
1200 |
i1 |
47 |
7 |
190 |
50 |
45 |
35 |
0,12 |
1500 |
i3 |
48 |
8 |
205 |
30 |
75 |
40 |
0,1 |
800 |
i2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
49 |
9 |
210 |
55 |
40 |
70 |
0,105 |
1000 |
i1 |
50 |
10 |
215 |
40 |
75 |
50 |
0,2 |
2000 |
uC |
Класичний метод розрахунку перехідних процесів полягає в тім, що перехідна величина представляється як сума двох доданків: примушеної й вільної:
або
Тут iпр та uпр - складові примушеного режиму
iв та uв - складові вільного режиму
Примушені складові відповідають сталому режиму й можуть бути знайдені звичайними методами розрахунку для кола після комутації. Вид примушених складових струму або напруги залежить як від форми ЕРС діючих у колі джерел, так і від конфігурації самого кола.
Вільна складова обумовлюється енергією, що являє собою різницю запасів між усталеними режимами до й після комутації. Запас енергії кола мають тільки реактивні елементи. Вільни величини змінюються з часом за експоненціальними затухаючими функціями.
Вільний струм схеми n-ного порядку має n незалежних складових
f(t)в =
Вид вільних складових визначається видом коренів pk (k=1,2,...n) характеристичного рівняння схеми. Число коренів характеристичного рівняння дорівнює ступені цього рівняння.
Кожному кореню відповідає власна функція.
Рівняння першого ступеня завжди має один дійсний негативний корінь і в цьому випадку вільний струм виражається так:
Рівняння другого ступеня може мати:
а) два дійсних рівних негативних корені (р1 =р2 =р)
вільний струм визначається рівнянням
б)два дійсних нерівних негативних корені (р1 ≠р2 )
вільний струм визначається рівнянням
в)два комплексних сполучених корені з негативною дійсною частиною
(р1 = -δ +j ω; р2 = -δ -j ω)
вільний струм має вигляд загасаючих синусоїдальних коливань із кутовою частотою ω і початковою фазою ψ. Множник відповідає огибающей коливань
Величини А, А1 ,А2 ,ψ - постійні інтегрування, значення яких визначаються з початкових умов.
Характеристичне рівняння дістають із відповідного диференціального рівняння в якому символи диференціювання заміняють множником р1 =р, символи інтегрування - множником = р-1 і дорівнюють рівняння до нуля.
Наприклад, характеристичне рівняння одержимо з рівняння
E = i+L + ,
у якому замінимо на р,
на ,
i на р0 =1
і дорівняємо отримане рівняння до нуля:
0=R+pL+ .
Більш просто скласти характеристичне рівняння можна, якщо знайти характеристичний вхідний опір кола й дорівняти його до нуля. При цьому опір котушок індуктивності позначають як pL, опір конденсаторів як .
Постійні інтегрування визначаються з початкових умов.
У якості незалежних початкових умов приймають величини струмів, що протікають через кожну котушку й напруг на конденсаторах у момент комутації при t=0. Ці величини визначають за законами комутації: струми котушок і напруги на конденсаторах є безперервними функціями часу, тобто не змінюються стрибками
i( 0-0-) = i(0+)
u ( 0-0-) = u (0+)
Розглянемо приклади розрахунку повних перехідних струмів і напруг для трьох варіантів коренів характеристичного рівняння
1)корені дійсні однакові
2)корені дійсні різні
3)корені комплексні
Задача1.1.Корені характеристичного рівняння однакові
Для заданої схеми(мал.5-21) визначити закон зміни в часі струмів у гілках і напруги на конденсаторі, якщо Е=200В, R1 =30 Ом, R2 =10 Ом, L=0,1Гн, C=1000мкФ, конденсатор був попередньо заряджений до напруги100В.
1.Розрахунок напруги на конденсаторі
Представимо напругу на конденсаторі як суму примушеної й вільної складових
uС=uСпр+uСв
Розрахункова схема(мал.5-22) для визначення примушеної складової:
Після замикання ключа в сталому режимі струм i3 =0,
струми i1 та i2 рівні один одному й напруга на конденсаторі дорівнює напрузі на другому резисторі uСпр =
Для визначення коренів характеристичного рівняння складемо розрахункову схему(мал.5-23), знайдемо її характеристичний вхідний опір Z(p) і дорівняємо його до нуля.
ZZ(p)= = 0
p1 = p2 = р = -200
Вільна складова напруги буде мати вигляд
Постійні інтегрування А1 і А2 знаходять із початкових умов,
для чого складемо два рівняння:
Запишемо ці рівняння для початкового моменту часу t=0 і одержимо систему із двома невідомими - А1 і А2 :
де uc(0) величина напруги на конденсаторі в момент комутації ( при t=0)
Відповідно до другого закону комутації, напруга на конденсаторі не може змінюватися стрибком, тобто напруга відразу після комутації дорівнює напрузі до комутації
uc(-0)=uc(0)
Так як. за умовою завдання конденсатор був попередньо заряджений, то напруга до комутації uc(0) = -100В.
Для рішення системи необхідно знайти - швидкість зміни напруги на конденсаторі в початковий момент часу. Цю швидкість можна визначити з формули струму через конденсатор .
Тоді для заданої схеми
По I законі Кирхгофа i3(0) = i1(0) i2(0)
Так як у першій гілці є котушка, то струм i1(0) у початковий момент комутації дорівнює току через котушку до комутації i1(-0) і цей струм дорівнює
i1(0) = i1(-0) =.
Струм другої гілці в початковий момент часу
i2(0) =.
Звідси i3(0) = 5-5-(-10) =15А
Похідна напруги
.
Підставимо в систему числові значення
вирішивши систему, одержимо значення: А1= -150, А2 = -15*103
Вільна складова напруги
В.
Остаточно закон зміни в часі напруги на конденсаторі
uС=uСпр+uСв = В.
2.Розрахунок струмів у гілках
Струм третьої гілці ==
=А.
Струм другої гілці
= = А.
Струм першої гілці
i1 = i2 + i3 =+=А.
Задача 2.1. Корені характеристичного рівняння різні
Для цієї ж схеми (мал.5-21)визначити струми в гілках і напруги на конденсаторі, якщо Е=200В,R1 =30 Ом, R2 =10 Ом, L=0,1Гн, C=2000мкФ, конденсатор був попередньо заряджений до напруги 100В.
1.Напруга на конденсаторі
uС=uСпр+uСсв
uСпр =
Тому що конфігурація схеми така ж, як і в попередній задачі, то вид її характеристичного рівняння не зміниться, але числові значення коефіцієнтів будуть інші.
р1 =-72 р2 = -278
Вільна складова напруги на конденсаторі буде мати вигляд
Постійні інтегрування визначимо з початкових умов, для чого складемо два рівняння
запишемо ці рівняння для початкового часу(t=0)
(значення i3(0) =15А було розраховано в попередньому прикладі)
підставивши числові значення, одержимо
У результаті рішення системи одержимо відповідь
А1 = -166 А2 = 16
Т.ч. вільна складова напруги на конденсаторі
В
повна перехідна напруга на конденсаторі
В
2. Струми в гілках
Струм третьої гілці =
i3(0) = =
Струм другої гілці
= = А
Струм першої гілці
i1 = i2 + i3 = + = А
Задача3.1. Корені характеристичного рівняння комплексні
Для цієї ж схеми (мал.5-21)визначити струми в гілках і напруги на конденсаторі, якщо Е=200В,R1 =30 Ом, R2 =10 Ом, L=0,5Гн, C=1000мкФ, конденсатор був попередньо заряджений до напруги 100В.
1.Напруга на конденсаторі
uc=ucпр+ucв
ucпр =
Характеристичне рівняння має вигляд( див. приклад1.1.)
підставимо числові значення
р1 =-80+j40 p2 =- 80-j40
У результаті рішення рівняння отримані коріння комплексні сполучені, виду
р1,2 = -δ ±j ω ,
отже, вільна складова напруги має вигляд
=
Система рівнянь для визначення постійних А и ψ
Цю систему запишемо для часу t=0
З попередніх прикладів
В/с
Вирішивши систему, одержимо
ψ=-63,4˚ А= 168
Т.ч. вільна складова напруги
uCв =
повна перехідна напруга на конденсаторі
2. Струми в гілках
Струм третьої гілці
= =
= =
=
=
=
= A
Струм другої гілці
= =
Струм першої гілці
i1 = i2 + i3 = + A
Зміст операторного методу розрахунку полягає в тім, що функція f(t) [струм i(t) або напруга u(t)] речовинного змінного t (часу), називана оригіналом, заміняється відповідної їй функцією F(p) комплексного змінного р, називаного зображенням.
Ці функції зв'язані співвідношенням, що називається прямим перетворенням Лапласа
Цей запис скорочено записується у вигляді
Рівняння для зображень струму й напруги можуть бути отримані за законами Ома й Кирхгофа, записаним для операторних схем заміщення.
Операторні опори кіл записуються так само, як і опори цих же кіл у комплексній формі, у яких jω замінено на р.
Наприклад, операторній опір кола(мал.5-24)
має вигляд Z(p)=R+pL+
При складанні операторної схеми всі змінні величини заміняються їх операторними зображеннями [i(t) на I(p), u(t) на U(p), e(t) на E(p)]; котушки індуктивності заміняються послідовними схемами, що складаються з операторного опору p і джерела напруги з ЕРС Li( 0-), де i( 0-) - початкове значення струму в індуктивності;
конденсатори заміняються послідовними схемами, що складаються з операторного опору й джерела напруги з ЕРС , де - початкове значення напруги на ємності.
ЕРС Li( 0-) має напрямок, що збігається зі струмом i(t), а ЕРС спрямована проти напруги на ємності.
Наприклад, задана довільна гілка електричного кола
Їй відповідає операторна схема заміщення
У цій схемі операторні напруги на котушці індуктивності й конденсаторі при ненульових початкових умовах визначаються по формулах:
;
Методика рішення задач операторним методом зводиться до :
а) складанню операторної схеми заміщення,
б)складанню рівнянь за законами Кирхгофа або відповідних рівнянь по іншому методі розрахунку в операторної форма з урахуванням початкових умов,
в)їхнє рішення відносно зображенні шуканої величини,
г)знаходження оригіналу по знайденому зображенню за допомогою теореми розкладанні або таблиць відповідності.
Задача1.2.Корені характеристичного рівняння однакові
Вихідні дані : дивись задачу1.1.
1.Операторна схема заміщення для режиму після замикання ключа
2.Складання рівнянь.
Вид рівнянь залежить від методу розрахунку кола. До операторної схеми заміщення застосовні ті ж методи розрахунку, що й для кола постійного струму, а саме: метод контурних струмів, метод вузлових потенціалів і ін.
Розрахунок методом контурних струмів
Задамося напрямками обходу контурів і складемо для них рівняння по II законі Кирхгофа
Тут i1(0) -- величина струму через котушку в початковий момент комутації
i1(0) = i1(-0) =
u(0) = -100 В - напруга на конденсаторі в початковий момент комутації
3.Рішення системи рівнянь
Підставимо числові значення й вирішимо систему щодо струмів I k 1 (p) та I k 2 (p) будь-яким відомим способом .
Із другого рівняння виразимо струм I k 1через I k 2 :
=
потім підставимо це вираження в перше рівняння
( )
після розкриття дужок одержимо
після приведення до загального знаменника одержимо зображення другого контурного струму, що збігається зі струмом третьої гілці I3 (p)
I3 (p)= Iк2 (p)
Тепер знайдемо зображення першого контурного струму I k 1 (p).
Як було визначено раніше,
I k 1 (p)=
Підставимо сюди значення I2k (p)
=
=
Струм I k 1 (p) збігається зі струмом першої гілці I 1 (p)
I 1 (p) = I k 1 (p)
Зображення напруги на конденсаторі
4. Знаходження оригіналів по зображенню
Щоб перейти від зображення I3 (p) до оригіналу за допомогою таблиці, виконаємо перетворення
Знаходимо в таблиці відповідності, що зображенню виду відповідає
оригінал , а зображенню - оригінал .
Т.ч. одержимо оригінал струму третьої гілці
А
Зображення струму першої гілці
I 1 (p)=
Оригінал цього струму знайдемо по таблиці
i1 (t)= А
Струм другої гілці i2 (t) знайдемо по першому законі Кирхгофа
i1 (t)- i2 (t)- i3 (t)=0
i2(t)= i1 (t)- i3 (t)= - = А
Зображення напруги на конденсаторі
UC(p)=
Відповідно до таблиці відповідності, зображенню виду відповідає оригінал виду .
З обліком цієї й раніше розглянутих формул знайдемо оригінал напруги на конденсаторі
Задача 2.2.Коріні характеристичного рівняння різні
Вихідні дані : дивись задачу 2.1.
1.Операторная схема заміщення (мал.5-25)
2.Система рівнянь по методу контурних струмів
3.Рішення системи рівнянь(див. приклад 1.2).
=
( )
=
Струм I3 (р) збігається з Ik2 (р), а струм I1 (р) збігається з Ik1 (р).
Зображення напруги на конденсаторі
4.Знаходження оригіналів по зображенню.
Зображення струму I3 (р)
Перехід від зображення до оригіналу зробимо за допомогою теореми розкладання, тобто
i3(t) =
де F1(p)=1200+3p
F2(p)=
F '2(p) =2*0,2p+70=0,4p+70
р - корінь рівняння F2(p)=0
=0
р1 = -72 р2 = -278
тоді F1(р1)=1200+3(-72)= 984
F '2(р1)=0,4p+70=0,4(-72)+70=41,2
F1(р2)=1200+3(-278)= 366
F '2(р1)=0,4p+70=0,4(-670)+70 = -41,2
Оригінал струму третьої гілці
i3(t) = А
зображення струму I1 (р) = A
оригінал знайдемо по теоремі розкладання для випадку, коли одне з корінь дорівнює нулю:
i1(t) =
де F1(p)=p2+650p+2*104
F3(p)=0,2p2+70p+4000
F '3(p)= 2*0,2p+70=0,4p+70
При р=0 F1(0)= 2*104
F3(0)=4*103
При р=-72 F1(p1)=722+650(-72)+ 2*104 =-21616
F '3(p1)= =0,4(-72)+70=41,2
При р=-278 F1(p2)=2782+650(-278)+ 2*104 =-83416
F'3(p2)= =0,4(-278)+70=-41,2
Оригінал струму першої гілці
i1(t) = А
струм i2(t) знайдемо по першому законі Кирхгофа
i2(t)= i1(t)- i3(t)= - = А
Зображення напруги на конденсаторі
UC(p)
оригінал знайдемо по формулі: u(t) =
тут F1(p)= 6*105+1500p
F3(p)=0,2p2+70p+4000
F '3(p)= 2*0,2p+70=0,4p+70
При р=0 F1(0)= 6*105
F3(0)=4*103
При р= -72 F1(p1)= 6*105 +1500(-72) =492000
F '3(p1)= =0,4(-72)+70=41,2
При р= -278 F1(p2)=6*105 +1500(-278)+ =183000
F'3(p2)= =0,4(-278)+70=-41,2
Оригінал напруги на конденсаторі
u(t)= = =
= В
Задача3.2. Корінь характеристичного рівняння комплексні
Вихідні дані : дивись задачу 3.1.
1.Операторная схема заміщення (мал. 5-26)
2.Система рівнянь по методу контурних струмів
3.Рішення системи рівнянь(див.приклад 1.2).
=
( )
I k 1 (p)= = =
=
Струм I3 (р) збігається з Ik2 (р), а струм I1 (р) збігається з Ik1 (р).
I3 (р) = Ik2 (р), I1 (р) = Ik1 (р).
Зображення напруги на конденсаторі
4.Знаходження оригіналів по зображенню.
Зображення струму I3(p)
По теоремі розкладання
i3(t) =
де F1(p)=1200+15p
F2(p)=
F '2(p) =2p+160
р - корінь рівняння F2(p)=0
=0
р1 = -80+j40 р2 = - 80-j40
тоді F1(р1)=1200+15(-80+j40)= j600
F '2(р1)=2p+160=2(-80+j40)+160=j80
F1(р2)=1200+15(- 80-j40)= -j600
F '2(р1)=2p+160=2(- 80-j40)+160 = -j80
Оригінал струму третьої гілці
i3(t) = А
Отримана відповідь являє собою суму комплексних сполучених чисел. При підсумовуванні таких доданків їхні мнимі частини взаємно знищуються, а дійсні частини складаються. Тому оригінал шуканої величини перебуває як подвоєна дійсна частина одного з доданків.
А
зображення струму I1 (р) = A
оригінал знайдемо по теоремі розкладання для випадку, коли одне з корінь дорівнює нулю:
i1(t) =
де F1(p)=15p2+2700p+12*104
F3(p)=p2+160p+8000
F '3(p)= 2p+160
При р=0 F1(0)= 12*104
F3(0)=8*103
При р1= -80+j40 F1(p1)= 15(-80+j40)2 +2700(-80+j40) +12*104=
=103 (- 24-j12) =103 *26,8e j153º
F '3(p1) =2(-80+j40)+160 = j80 =80e j90º
При р2= - 80-j40 F1(p2)= 15(- 80-j40)2 +2700(- 80-j40) +12*104=
=103 (- 24-j12) =103 *26,8e -j153º
F '3(p2) =2(-80+j40)+160 =-j80 =80e -j90º
Оригінал струму першої гілці
i1(t) = =
= = =
= А
струм i2(t) знайдемо по першому закону Кирхгофа
i2(t)= i1(t)- i3(t)=
= = = А
оригінал напруги на конденсаторі можна знайти по кожній із двох формул:
по теоремі розкладання u(t) = ,
або за законом Ома u(t)=i2(t)*R2 ,
Очевидно, що втора формула простіше, тому
u(t)= [ ]*10= В
Розрахунок розгалуженого магнітного кола постійного струму
Для магнітного кола відповідно номеру варіанту (табл. 6-2) і зображеного на
мал. 6.1-6.10, виконати наступне:
1.Накреслити еквівалентну схему, указавши на ній напрямки магнітних потоків і магніторушійних сил.
2.Скласти систему рівнянь за законами Кирхгофа.
3.Визначити магнітні потоки в стрижнях і значення магнітної індукції в повітряному зазорі.
Розміри магнітного кола зазначені в мм. Крива намагнічування задана у вигляді таблиці
(табл. 6-1)
Таблица 6-1
В, Тл |
0 |
0,4 |
0,8 |
1,2 |
1,6 |
2,0 |
Н, А/м |
0 |
200 |
400 |
950 |
3900 |
15000 |
Таблица 6-2
Передостання цифра шифру |
Остання цифра шифру |
||||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
І1,А |
20 |
30 |
25 |
20 |
30 |
25 |
20 |
26 |
30 |
25 |
|
Число витків W1 |
0,5 |
220 |
200 |
250 |
200 |
220 |
250 |
250 |
200 |
180 |
220 |
1,6 |
200 |
180 |
220 |
250 |
250 |
220 |
200 |
250 |
200 |
220 |
|
2,7 |
200 |
220 |
250 |
220 |
200 |
250 |
250 |
200 |
180 |
220 |
|
3,8 |
250 |
200 |
180 |
220 |
220 |
200 |
250 |
200 |
200 |
220 |
|
4,9 |
200 |
180 |
220 |
220 |
200 |
250 |
200 |
220 |
250 |
250 |
|
I2,А |
5 |
10 |
15 |
5 |
10 |
15 |
5 |
10 |
5 |
10 |
|
Число витків W2 |
0,1 |
220 |
100 |
250 |
180 |
100 |
400 |
250 |
350 |
200 |
300 |
2,6 |
100 |
400 |
250 |
350 |
200 |
300 |
220 |
100 |
250 |
180 |
|
3,7 |
250 |
180 |
100 |
400 |
220 |
100 |
250 |
180 |
250 |
350 |
|
4,8 |
400 |
250 |
350 |
200 |
300 |
220 |
100 |
250 |
180 |
100 |
|
5,9 |
350 |
200 |
300 |
220 |
100 |
250 |
180 |
100 |
400 |
250 |
|
Номер малюнку |
6-1 |
6-2 |
6-3 |
6-4 |
6-5 |
6-6 |
6-7 |
6-8 |
6-9 |
6-10 |
Для визначення магнітних потоків магнітне коло розбивають на однорідні ділянки, кожна з яких виконана з певного матеріалу й має однаковий перетин уздовж всієї своєї довжини.
Треба визначити довжину lk та перетин Sk в м2 .
Задаючись різними значеннями магнітної індукції в межах(0 2)Тл, визначають потоки в стрижнях сердечника. За значеннями магнітної індукції знаходять напруженість магнітного поля ділянок. Для феромагнітних ділянок напруженість поля визначають по кривій намагнічування.
Застосовуючи рівняння, складені по другому законі Кирхгофа, знаходять магнітну напругу Uм між двома вузлами для кожного значення магнітного потоку. Результати обчислень заносять у таблицю. На підставі результатів обчислень будують графіки залежностей
Ф1 =f1 (Uм);
Ф2 =f2 (Uм);
Ф3 =f3 (Uм).
По графіках визначають те значення магнітної напруги Uм , при якому виконується перший закон Кирхгофа для магнітного кола (∑Ф=0). Потоки, що відповідають цій магнітній напрузі, є шуканими величинами.
Приклад розрахунку
Для магнітного кола (мал. 6.11)накреслити еквівалентну схему, указавши на ній напрямки магнітних потоків і магніторушійних сил;скласти систему рівнянь за законами Кирхгофа та
визначити магнітні потоки в стрижнях і значення магнітної індукції в повітряному зазорі.
Вихідні дані для розрахунку:І1=15A; w1= 200; I2= 10А, w2= 150
1.Еквівалентна схема заміщення магнітного кола
I1w1 =F1 магниторушийна сила(МДС)першої котушки
I2w2 =F2 магниторушийна сила(МДС)другої котушки
2. Система рівнянь за законами Кірхгофа для магнітного кола
-Ф1 + Ф2 + Ф3 =0 -для вузла „а”
I1w1 = H1l1 + H3l3 - для першого контуру
I2w2 = H2l2 + H02l02 -H3l3 - для другого контуру
3.Визначення геометричних розмірів ділянок кола
Довжина середньої магнітної лінії першої ділянки
l1=(25+80+25+25+150+25+25+80+25)* 10-3=0,46м.
Довжина середньої магнітної лінії другої ділянки
l2= l′2 + l′′2 = (25+50+25+25+140+25+25+50+25)* 10-3=0,39м.
Довжина середньої магнітної лінії третьої ділянки.
l3=(25+150+25)*10-3=0,2м.
Перетин першої ділянки S1 =50*10-3 60*10 -3 =3*10-4 м²;
перетин другої ділянки S2 =50*10-3 60*10 -3 =3*10-4 м²;
перетин третьої ділянки S3 =50*10-3 60*10 -3 =3*10-4 м².
4.Визначення магнітної напруги Umab
У даному магнітному колі два вузли(a і b) і три гілки. Отже, вузлова магнітна напруга
Umab = - H3l3 .
Тоді рівняння, складені за законами Кирхгофа, запишуться так:
I1w1 = H1l1 - Umab - для першого контуру
I2w2 = H2l2 + H02l02 + Umab - для другого контуру
Загальним для всіх гілок є вузлова магнітна напруга Umab , тому ії приймають за аргумент при побудові залежностей Ф1 =f1 (Umab);Ф2 =f2 (Umab);Ф3 =f3 (Umab):
Umab = H1l1 - I1w1
Umab = I2w2 -H2l2 - H02l02
Задаючись значеннями індукції Вk, по кривій намагнічування визначаємо відповідні значення напруженості поля Нk і магнітної напруги Umab k.
Результати обчислень заносимо в таблицю.
Наприклад, для значення індукції В=0,4Тл напруженість поля Н=200 А/м, тоді магнітна напруга першої гілки
Umab = H1l1 - I1w1 =200*0,46 -2400= -2308 А .
Магнітна напруга другої гілки
Umab = I2w2 -H2l2 - H02l02 ,
де H02 - напруженість поля у повітряному зазорі, що знаходиться по формулі
==32*104 А/м,
μ0 =4π*10-7 Гн/м магнітна проникність вакууму,
μ =1 відносна магнітна проникність повітря.
Тоді
Umab = 1500-200*0,39 - 32*104* 10*10-3 = -1778А.
Магнітна напруга третьої гілки
Umab = - 200*0,2= -40А .
5.Магнітні потоки гілок
Ф1 =В1*S1 ; Ф2 =В2*S2 ; Ф3 =В3*S3 .
Для значення В=0,4Тл
Ф1 = 0,4*3*10-4 = 1,2*10-4 Вб ,
Ф2 = 0,4*3*10-4 = 1,2*10-4 Вб ,
Ф3 = 0,4*3*10-4 = 1,2*10-4 Вб .
6.Таким же чином розраховуються магнітні напруги та магнітні потоки гілок для інших значень індукції В
Таблиця 6-3
В,Тл |
Н,А/м |
Перша гілка |
Друга гілка |
Третя гілка |
|||
Umab ,А |
Ф1*10-4 , Вб |
Umab |
Ф2 *10-4 , Вб |
Umab |
Ф3 *10-4 , Вб |
||
0 |
0 |
-2400 |
0 |
1500 |
0 |
0 |
0 |
0,4 |
200 |
-2308 |
1,2 |
-1778 |
1,2 |
-40 |
1,2 |
0,8 |
400 |
-2216 |
2,4 |
-5025 |
2,4 |
-80 |
2,4 |
1,2 |
950 |
-1963 |
3,6 |
-8425 |
3,6 |
-190 |
3,6 |
1,6 |
3900 |
-606 |
4,8 |
-12760 |
4,8 |
-780 |
4,8 |
2,0 |
15000 |
4500 |
6,0 |
-20274 |
6,0 |
-3000 |
6,0 |
7. По даним таблиці 6-3 строяться графіки залежностей (мал. 6-14)
Ф1 =f1 (Umab);Ф2 =f2 (Umab);Ф3 =f3 (Umab):
Із графічних побудов випливає, що рівність Ф2 + Ф3 = Ф1 виконується
при Umab ≈ - 400А . Значення магнітних потоків , що відповідають цій магнітній напрузі також визначаються за графіком : Ф1 =4,8* 10-4 Вб; Ф2 =0,8* 10-4 Вб; Ф3 =4* 10-4 Вб.
Завдання 7
Розрахунок кола, що містить котушку з феромагнітним сердечником
Електричне коло містить котушку з феромагнітним сердечником. Індукція магнітного поля в сердечнику змінюється за синусоїдальним законом. Крива намагнічування сердечника задана табл. 7.1.
Параметри елементів схеми, максимальна величина магнітної індукції Bm , довжина середньої магнітної лінії l, поперечний переріз сердечника S наведені в табл.7.2. Апроксимуюче вираження кривої намагнічування
.
Потрібно:
Н1 =250 А/м, В1 =1Тл; Н2 =1000 А/м, В1 =1,4 Тл.
Побудувати криву намагнічування по отриманому апроксимуючому вираженню й зрівняти її з дійсної.
Таблиця 7.1
В,Тл |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
16 |
1,7 |
1,75 |
Н,А/м |
100 |
120 |
140 |
160 |
200 |
250 |
350 |
500 |
700 |
1000 |
1800 |
2500 |
3000 |
Таблиця7.2
Передостання цифра шифру |
Остання цифра шифру |
||||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
R,Ом |
0,1 |
40 |
15 |
10 |
15 |
12 |
20 |
25 |
30 |
28 |
35 |
6,2 |
20 |
24 |
30 |
36 |
40 |
32 |
18 |
12 |
10 |
16 |
|
7,3 |
20 |
25 |
30 |
28 |
35 |
40 |
15 |
10 |
15 |
12 |
|
8,4 |
32 |
18 |
12 |
10 |
16 |
20 |
24 |
30 |
36 |
40 |
|
9,5 |
30 |
28 |
35 |
40 |
15 |
10 |
15 |
12 |
20 |
25 |
|
XL,Ом |
60 |
25 |
40 |
35 |
25 |
50 |
60 |
100 |
80 |
50 |
|
XC,Ом |
100 |
30 |
50 |
50 |
60 |
100 |
60 |
50 |
70 |
80 |
|
число витків w |
0,5 |
900 |
1000 |
1100 |
1200 |
1300 |
1400 |
500 |
600 |
700 |
800 |
1,6 |
1400 |
500 |
600 |
700 |
800 |
900 |
1000 |
1100 |
1200 |
1300 |
|
2,7 |
1200 |
600 |
800 |
1000 |
900 |
1100 |
1300 |
1400 |
1000 |
500 |
|
3,8 |
1100 |
1300 |
1400 |
1000 |
500 |
1200 |
600 |
800 |
1000 |
900 |
|
4,9 |
700 |
800 |
500 |
600 |
1300 |
1400 |
1100 |
1200 |
900 |
1000 |
|
l,см |
100 |
55 |
60 |
65 |
70 |
75 |
80 |
85 |
90 |
95 |
|
S,см2 |
2 |
6,5 |
6 |
5,5 |
5 |
4,5 |
4 |
3,5 |
3 |
2,5 |
|
f,Гц |
100 |
50 |
80 |
100 |
150 |
90 |
100 |
50 |
60 |
80 |
|
Bm , Тл |
1,45 |
1,4 |
1,6 |
1,5 |
1,45 |
1,55 |
1,5 |
1,65 |
1,6 |
1,55 |
|
Номер малюнку |
7-1 |
7-2 |
7-3 |
7-4 |
7-5 |
7-6 |
7-7 |
7-8 |
7-9 |
7-10 |
Для розрахунку нелінійних кіл змінного струму використовують наступні основні методи:
графічні - при яких необхідні побудови виробляються на основі заданої характеристики;
аналітичні - у цьому випадку характеристика нелінійного елемента з тим або іншим ступенем наближення виражається аналітично.
Приклад розрахунку кола, що містить котушку з феромагнітним сердечником аналітичним методом, а також методика визначення коефіцієнтів апроксимуючого вираження.
Вихідні дані для розрахунку: R=55 Ом; XL =20 Ом; XC =40 Ом;число витків w=1100; l=70см;
S= 5,0см2 ; f= 60Гц; Bm =1,48, Тл.
1.Визначення коефіцієнтів a і b апроксимуючого вираження .
Вибираємо на кривій намагнічуванні дві крапки
Н1 =250 А/м, В1 =1Тл;
Н2 =1000 А/м, В1 =1,4 Тл.
Становимо систему рівнянь
.
Підставивши числові значення, одержимо
,
.
Рішення системи дає результат
а= -234 і b=484.
Шукана залежність має вигляд
.
2.Визначення закону зміни напруги й токи джерела.
Магнітна індукція
B=Bm sin ωt=1,48 sinωt.
Напруга на котушці
uk=Ukm sin( ωt+π/2),
де Ukm = Uk = *4,44wfSBm = *4,44*1100*60*5* 10-4 *1,48=306В
тоді uk=306 sin( ωt+π/2).
Миттєве значення струму котушки
-0,149*1,48sinωt+0,308*1,483 sin3 ωt= -0,22 sinωt+0,998 =
= -0,22 sinωt+0,749sinωt-0,25sin3ωt=0,53sinωt-0,25sin3ωt.
Комплексні опори ділянки ab для першої й третьої гармонік
Комплексні опори ділянки ad для першої й третьої гармонік
Ом
Ом..
Напруга на ділянці ab
uab =ik(1) *Zab(1)+ ik(3) *Zab(3) =0,53*48,2 sin(ωt-16˚)-0,25*47 sin(3ωt+1˚)=
=25,5 sin(ωt-16˚) -11,75 sin(3ωt+1˚),В
Напруга джерела
u= uad = uab + uk =25,5 sin(ωt-16 ) -11,75 sin(3ωt+1˚)+306 sin( ωt+π/2).
Комплексна амплітуда першої гармоніки
25,5 +306 =24, 5-j7+j306=300.
миттєве значення напруги джерела
u=300 sin(ωt+85,3˚ )-11,75 sin(3ωt+1˚),В.
Струм на ділянці ad
А;
А.
Миттєве значення струму iad
iad =8,82 sin(ωt+121,3˚)+0,415 sin (3ωt+14,6˚).
Струм джерела
i=ik+iad =0,53sinωt-0,25sin3ωt+8,82 sin(ωt+121,3˚)+0,415 sin (3ωt+14,6˚).
Комплексні амплітуди струму джерела
А;
А.
Миттєве значення струму джерела
i=8,56 sin(ωt+118,3˚)+0,658 sin(3ωt+8,75˚).
3.Визначення показань приладів.
Прилади електродинамічної системи показують діюче значення вимірюваної величини.
Діюче значення напруги джерела
В.
Діюче значення струму джерела
А.
Активна потужність джерела
Р=Р1 + Р3 =U1 I1 cosφ1 + U3 I3 cosφ3 = =
Завдання 8
Розрахунок електричного поля постійного струму у провідному середовищі
На мал. 8.1 показаний напівкульовий електрод, радіус якого дорівнює r=а. Електрод призначений для заземлення металевої опори лінії електропередачі постійного струму. Струм короткого замикання лінії стікає через заземлитель у землю й розтікається по товщі землі. Земля виконує роль зворотного дроту для лінії електропередачі.
Питома провідність землі γ= 10-2 Сим/м.
Визначити:
1. Щільність струму на відстані а від центра напівкульового електрода.
2.Напруженістьполя Е на поверхні півсфери радіуса а.
3.Опір заземлення напівкульового електрода R.
4.Значення потенціалів у крапках на поверхні землі на відстанях а1 а2, а3, а4 від центра напівкульового електрода.
5.Крокову напругу на тих же відстанях а1 а2, а3, а4 від центра напівкульового електрода, приймаючи середню довжину кроку lк =0,8 м.
6.Небезпечну зону, тобто радіус кола на поверхні землі із центром напівкульового електрода. Радіус небезпечної зони визначити з умови техніки безпеки, приймаючи, що крокова напруга на границі цієї зони не перевищує 150 В.
Чисельні значення величин, зазначених в умові завдання, наведені в табл. 8.
Номер варіанта вибирається:
по останній цифрі шифру студента приймаються значення а , а по передостанній цифрі шифру студента-значення а1, а2, а3, а4.
Таблиця 8
Номер варіанту |
Остання цифра шифру |
Передостання цифра шифру |
||||
а, см |
І, А |
а1, см |
а2, см |
а3, см |
а4, см |
|
1 |
20 |
1000 |
25 |
120 |
500 |
1000 |
2 |
25 |
800 |
30 |
120 |
400 |
800 |
3 |
30 |
750 |
35 |
130 |
500 |
1000 |
4 |
25 |
900 |
30 |
120 |
400 |
800 |
5 |
30 |
1100 |
35 |
130 |
500 |
1000 |
6 |
35 |
1200 |
40 |
130 |
400 |
800 |
7 |
30 |
900 |
35 |
200 |
400 |
1100 |
8 |
25 |
1000 |
30 |
110 |
300 |
800 |
9 |
20 |
800 |
35 |
120 |
400 |
1000 |
0 |
30 |
1000 |
40 |
130 |
400 |
800 |
Методичні вказівки до виконання завдання
У даному завданні пропонується визначити характеристики розподілу потенціалів електричного поля на поверхні землі навколо заземлюючого пристрою. Така задача має практичне значення в схемах електропостачання наприклад, у випадку короткого замикання проводів високої напруги з опорою.
Струм короткого замикання, протікаючи по землі, як по зворотньому дроту, утворить на поверхні землі електричне поле. У завданні пропонується визначити основні характеристики цього електричного поля.
Приймається, що підстава опори щогли представляе собою напівкульовий електрод, радіус якого r=a. Поверхня зіткнення напівкульового електрода із землею дорівнює S = 2πа2.
При можливому короткому замиканні струм короткого замикання, що проходить через опору, буде відводитися в землю через заземлитель.
Щільність струму при цьому буде дорівнювати відношенню величини струму до поверхні напівкульового електрода, через яку проходить цей струм, тобто
Застосовуючи закон Ома в диференціальній формі δ=γЕ, можна записане вище рівняння представити в іншому виді:
Із цього вираження знаходиться напруженість електричного поля Е на поверхні землі на відстані а від центра напівкульового електрода
Значення потенціалів у крапках на поверхні землі на відстані від центра напівкульового електрода знаходиться з умови
Підставляючи в це вираження значення напруженості електричного поля Е, після відповідних перетворень одержимо розрахункову формулу для визначення потенціалу в розглянутих крапках
•
Крокова напруга на відстані ак від центра напівкульового електрода може бути обчислене по формулі
або
Радіус зони небезпеки а0 можна знайти з умови, що крокова напруга на границях цієї зони не перевищує 150 В, тобто
.
Підставляючи в цю нерівність значення крокової напруги Ukк, одержимо
.
Це вираження після перетворення можна переписати в іншому виді:
Звідси визначається радіус небезпечної зони а0.
Опір заземлення напівкульового електрода можна знайти по формулі
Приклад розрахунку
Для напівкульового електроду, призначеного для заземлення металевої опори лінії електропередачі постійного струму, радіус якого дорівнює а треба визначити:
щільність струму на відстані а від центра напівкульового електрода;
напруженість поля Е на поверхні півсфери радіуса а; опір заземлення напівкульового електрода R;значення потенціалів у крапках на поверхні землі на відстанях а1 а2, а3, а4 від центра напівкульового електрода; крокову напругу на тих же відстанях а1 а2, а3, а4 від центра напівкульового електрода, приймаючи середню довжину кроку lk =0,8 м;небезпечну зону, тобто радіус кола на поверхні землі із центром напівкульового електрода.
Вихідні дані: а=20см, а1 =30см, а2 =120см, а3 =500см, а4 =1000см;І=850А.
1.Щільність струму на відстані а =20см від центра напівкульового електрода
2. Напруженість поля Е на поверхні півсфери радіуса а=20см
33,84 *104 В/м
3. Опір заземлення напівкульового електрода
79,6 Ом
4.Значення потенціалів у крапках на поверхні землі на відстанях а1 а2, а3, а4 від центра напівкульового електрода.
45117 В
11280 В
2707 В
1353,5В
5.Крокова напруга на відстанях а1 а2, а3, а4 від центра напівкульового електрода
=32812 В
=9023 В
=373,4 В
=100,26 В
6.Небезпечна зона, тобто радіус кола на поверхні землі із центром напівкульового електрода визначається із нерівняння
Вирішуємо квадратне рівняння
корені квадратного рівняння: а01 =8,1; а02 = -8,9
Т.ч. радіус кола небезпечної зони а0 ≥8,1 м
Література
1.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники : Электрические цепи - М.: Высш.шк., 1984.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники : Электромагнитноеполе.- М.:Высш.шк.,1984.
3. Основы теории цепей / Г.В. Звеке и др. - М.: Энергоатомиздат, 1989.
4. Перхач В.С. Теоретична електротехніка : Лінійні кола. - К.: Висш.шк.,1992.
5. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники.ТI,II
- М.:Энергия,1975
6. Бессонов Л.А.Сборник задач по теоретическим основам электротехники :
- М.: Высш.шк., 1975
7. Шебес М.Р. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах.-М.,.
Высш.шк., 1984.
8.Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники.ТI,II,III
- М.:Энергия,1978
9.І.А. Борисенко.Електротехніка.Лінійні електричні кола-К.:УМК ВО, 1991
93