У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

I Обозначим диаметр разбиения

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-10

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 27.4.2025

                                  29 вопрос

Пусть в точках некоторой поверхности (S), гладкой или кусочно-гладкой определена ограниченная функция f(M)=f(x;y;z). Разобьем поверхность (S) на n произвольных частей с площадями S1, S2, …, Sn и диаметрами λi. Обозначим -диаметр разбиения. Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку , составим сумму:

.

Данная сумма называется интегральной суммой для функции f(M) по поверхности (S).

Определение. Если существует конечный предел I при 0 интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения поверхности (S), ни от выбора промежуточных точек Mi, то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x;y;z) по поверхности (S).

Обозначается или .

Таким образом, .

Если f(x;y;z)1 на поверхности (S), то . То есть поверхностный интеграл первого рода по поверхности (S) выражает площадь этой поверхности.

Вычисление поверхностного интеграла первого рода производится сведением поверхностного интеграла к двойному.

Теорема. Пусть поверхность (S) задана уравнением z=z(x;y), где функция f(x;y) вместе с производными и непрерывна в замкнутой области (G) – проекции (S) на плоскость Оху. Пусть функция f(x;y;z) непрерывна на поверхности (S). Тогда существует поверхностный интеграл первого рода по этой поверхности и он сводится к двойному интегралу следующим образом:

.

Доказательство.

Разобьем поверхность (S) произвольно на n частей и спроецируем это разбиение на плоскость Оху. Получим соответственно разбиение области (G) на части (G1), (G2), …, (Gn). Пусть  - диаметр разбиения. В каждой части (Gi) выберем произвольно точку . На поверхности (S) ей соответствует точка , где . Составим интегральную сумму для поверхностного интеграла первого рода: .

Как было показано при выводе формулы площади поверхности

.

Тогда 

. (1)

В правой части равенства (1) стоит интегральная сумма для интеграла

.

Функция в силу условий теоремы непрерывна на области (G), а следовательно, интегрируема на ней.

Переходя в равенстве (1) к пределу при 0 получаем искомую формулу.

Свойства двойных интегралов и условия их существования без особых изменений переносятся на поверхностные интегралы.

Физический смысл поверхностного интеграла первого рода. Если на поверхности (S) распределена масса, плотность которой в каждой точке М(x;y;z)(S), равна f(x;y;z) то интеграл , т. е. представляет собой всю массу, распределенную по поверхности.




1. Техносферада~ы тіршілік ~ауіптері
2. Определить размеры искусственного заземлителя подстанции напряжение 10-04 кВ в виде замкнутого контура с
3. Золотой ключик или Ключ от счастья
4. Я понимаю это сложно вразумить поэтому я расскажу обо всем по порядку
5. по теме- Организация и технология продажи методом самообслуживания Выполнила работу Русинова А
6. ИРКУТСКИЕ ЕДИНОБОРЦЫ Детско Юношеский Клуб Спортивно Боевых Еноборств по месту жительства ЕРМАКЪ п.1
7. на тему- Изучение магнитного поля Закон биоСавараЛапласа Выполнил- студент гр
8. Общие сведения Грамматические категории имени существительного.
9. Анализ в системе управления заемным капиталом
10. Личинки стрекоз