Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
29 вопрос
Пусть в точках некоторой поверхности (S), гладкой или кусочно-гладкой определена ограниченная функция f(M)=f(x;y;z). Разобьем поверхность (S) на n произвольных частей с площадями S1, S2, …, Sn и диаметрами λi. Обозначим -диаметр разбиения. Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку , составим сумму:
.
Данная сумма называется интегральной суммой для функции f(M) по поверхности (S).
Определение. Если существует конечный предел I при 0 интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения поверхности (S), ни от выбора промежуточных точек Mi, то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x;y;z) по поверхности (S).
Обозначается или .
Таким образом, .
Если f(x;y;z)1 на поверхности (S), то . То есть поверхностный интеграл первого рода по поверхности (S) выражает площадь этой поверхности.
Вычисление поверхностного интеграла первого рода производится сведением поверхностного интеграла к двойному.
Теорема. Пусть поверхность (S) задана уравнением z=z(x;y), где функция f(x;y) вместе с производными и непрерывна в замкнутой области (G) – проекции (S) на плоскость Оху. Пусть функция f(x;y;z) непрерывна на поверхности (S). Тогда существует поверхностный интеграл первого рода по этой поверхности и он сводится к двойному интегралу следующим образом:
.
Доказательство.
Разобьем поверхность (S) произвольно на n частей и спроецируем это разбиение на плоскость Оху. Получим соответственно разбиение области (G) на части (G1), (G2), …, (Gn). Пусть - диаметр разбиения. В каждой части (Gi) выберем произвольно точку . На поверхности (S) ей соответствует точка , где . Составим интегральную сумму для поверхностного интеграла первого рода: .
Как было показано при выводе формулы площади поверхности
.
Тогда
. (1)
В правой части равенства (1) стоит интегральная сумма для интеграла
.
Функция в силу условий теоремы непрерывна на области (G), а следовательно, интегрируема на ней.
Переходя в равенстве (1) к пределу при 0 получаем искомую формулу.
Свойства двойных интегралов и условия их существования без особых изменений переносятся на поверхностные интегралы.
Физический смысл поверхностного интеграла первого рода. Если на поверхности (S) распределена масса, плотность которой в каждой точке М(x;y;z)(S), равна f(x;y;z) то интеграл , т. е. представляет собой всю массу, распределенную по поверхности.