Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1 ПӘННІҢ ОҚУ БАҒДАРЛАМАСЫ – SYLLABUS
1.1 Оқытушылар туралы мәліметтер:
Сабақ жүргізетін оқытушы _ Исаева Людмила Жандүйсенқызы_,
доцент, геол.-мин. ғылымдары кандидаты._
Байланыс түрі _ - жұмыс. тел.92-78-37__
Кафедрада болатын уақыты _сағ._9–17 Ауд.329__
1.2 Пән туралы мәліметтер:
Пән атауы Өріс теориясы
Кредит саны 4
Өткізу орны БОК, 520, 523 ауд.
1-кесте
Оқу жоспарының көшірмесі
|
Курс |
Семестр |
Кредит тер |
1 аптадағы академиялық сағаттар |
||||||
|
Дәрістер |
Лаб. сабақтар |
Тәжіри белік/ семин. сабақт. |
СӨЖ* |
СОӨЖ* |
Барлығы, 1 аптадағы академ. Сағаттар |
Бақылау түрі |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
3 |
1 |
4 |
2 |
1 |
1 |
4 |
2 |
8 |
РК |
*Ескерту: әрбір кредитке екі сағат СӨЖ бөлінеді.
СОӨЖ 50% СӨЖ-50% (жұмыс оқу жоспарын қараңыз).
1.3 Пререквизиттері: физика, жоғарғы математика, аналитикалық геометрия.
1.4 Постреквизиттері: электробарлау, магниттік барлау, сейсмобарлау, гравибарлау.
1.5 Пәннің қысқаша мазмұны:
«Өрiс теориясы» пәнi - физика және математика тәрізді жалпы теориялық пәндер мен арнайы оқытылатын гравитациялық, магниттiк, электрлiк, сейсмикалық барлау пәндерін байланыстырады.
Пәндi оқыту мақсаты:
- физикалық шама өрiстерi теориясының негiзгi заңдылықтарын игеру;
- зерттелетiн геофизикалық өрiстердiң теориялық негiзiн зерттеу;
- абстракциялық өрiс заңдылықтарын зерттелетiн геофизикалық өрiстерге қолдану мүмкiншiлiктерi.
Пәндi игеру барысында студенттер өрiс теориясының заңдарын бiлуге, тұрақты және айнымалы өрiстердiң есептерiн шешу үшiн математикалық тәсiлдердi игеруге, векторлық алгебраның тәсiлдерiмен өрнектелген абстракциялық өрiстердi геофизикалық тәжiрибеде кездесетiн өрiстермен салыстыра бiлуге мүмкiндiктер алады.
1.6 Тапсырмалардың тізімі мен түрлері және оларды орындау кестесі:
- тапсырмалар тізімі және түрлері (курстық жоба (жұмыс), есептеу-графикалық тапсырмалар, типтік есептеулер т.б.);
- пайдалануға ұсынылатын әдебиеттер тізімі;
- орындау мерзімі;
- бақылау түрі (тестілер, экспресс-сұрақтар, есеп, реферат, баяндама т.б.).
График төмендегі үлгі бойынша тьютор құрастырады (2-кесте)
2-кесте
Тапсырмалардың түрі және оларды орындау мерзімі
|
Бақылау түрі |
Жұмыс түрі |
Жұмыстың тақырыбы (нақты бетін көрсету керек) |
Ұсынылатын әдебиетке сілтеме |
Балдар (рейтингтік шкалаға сәйкес) |
Тапсыру уақыты |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1. Ағымдық бақылау |
Лаб. жұмыс. |
1.Өріс теориясының негізгі түсініктері. Скалярлы өріс және оның туындысы. |
Нег.әдеб. 6[5-7] |
2 |
1 |
|
2 Ағымдық бақылау |
Лаб. жұмыс. |
2.Векторлы өріс және оның көлемдік туындылары. |
Нег.әдеб. 6[7-10] ,[22-25] |
2 |
2 |
|
3.Бақылаудың басқа түрлері |
3.Өріс теориясының негізгі интегралдық өрнектері. |
Нег.әдеб. 6[12-30] |
3 |
||
|
Ағымдық бақылау |
Прак.сабақ |
4. Өріс теңдеулері. Векторлы өріс классификациялары. |
Нег.әдеб 6[25-27] |
3 |
4 |
|
Ағымдық бақылау |
Прак. сабақ. |
5.Тұрақты токтың электр өрісі және оның дифферециалды заңдары. |
Нег.әдеб. 6[139-147] |
1 |
5 |
|
Ағымдық бақылау Аралық бақылау |
Прак. сабақ. |
6.Тұрақты токтың магнит өрісі. Био-Савар заңы. |
Нег.әдеб. 6[181-189] |
1 10 |
6 |
|
Ағымдық бақылау |
Прак. сабақ. |
7.Айнымалы токтың электромагниттік өрісі. Ығысу тогы. Максвелл теңдеулері. |
Нег.әдеб. 6[214-218] |
1 |
7 |
|
8.Кернеуліктердің толқындық теңдеулері. |
Нег.әдеб 6[228-231] |
8 |
|||
|
Ағымдық бақылау |
Лаб. жұмыс. |
9.Электромагниттік өрістің толқындық қасиеттері. |
Нег.әдеб 6[231-239] |
2 |
9 |
|
Ағымдық бақылау |
Прак. сабақ. |
10.Серпінділік теориясы элементтері. Деформацияның негізгі түрлері. |
Нег.әдеб 2[274-282] |
2 |
10 |
|
11.Серпінді кернеулік пен деформация тензоры. |
Нег.әдеб 2[289-300] |
11 |
|||
|
Ағымдық бақылау |
Лаб. жұмыс. Прак. сабақ. |
12.Тартылыс потенциалы түрлері. |
Нег.әдеб 5[3-14] |
2 2 |
12 |
|
Ағымдық бақылау |
Лаб.жұмыс. |
13.Логарифмдік потенциалдар. |
Нег.әдеб 5[14-17] |
2 |
13 |
|
Аралық бақылау |
14.Гриннің фундаменталды өрнегі. |
Нег.әдеб. 5[18-22] |
10 |
14 |
|
|
Курстық жұмыс |
15.Гармоникалық функциялар және олардың негізгі қасиеттері. |
Нег.әдеб. 5[22-25] |
20 |
15 |
|
|
Қорытынды бақылау |
емтихан |
40 |
1.7 Әдебиеттер тізімі
1. Альпин Л.М., Даев Д.С., Каринский « Теория полей, применяемых в разведочной геофизике» М., Недра, 1985.
2. Овчинников И.К. «Теория поля» М., Недра, 1979.
3. Альпин Л.М. «Практические работы по теории поля» М., Недра, 1971.
4. Серкеров С.А. «Теория гравитационного и магнитного потенциалов» Учебник. М., Недра, 1989.
5. Өмірсеріков М.Ш. « Потенциалдар теориясы» - Оқу құралы, Алматы, 2003.
6. Өмірсеріков М.Ш. « Өріс теориясы » - Оқулық, Алматы, 2004.
1.8 Білімді бақылау және бағалау. Қ.И.Сәтбаев атындағы ҚазҰТУ-дың барлық курс пен барлық пәндері бойынша студенттердің білімін тексеруде рейтингтік бақылау қолданылады. Балдық-рейтингтік жүйеде іске асырылатын білімді бағалау туралы мәліметтер бақылаудың барлық түрі көрсетілетін шкала түрінде беріледі.
Қорытынды бақылау кезінде мамандық бойынша жұмыс оқу жоспарымен сәйкес балды бөлудің (3-кесте) үш нұсқасының бірі ғана таңдалынып алынады.
Мамандық бойынша оқу жұмыс жоспарына енгізілген әрбір пәннің рейтингі қорытынды бақылауға тәуелсіз 100 балдық шкаламен бағаланады.
Әрбір пәнге келесі бақылау түрлері белгіленеді: ағымдық бақылау, аралық бақылау, қорытынды бақылау.
Ағымдық бақылау түріне: бақылау жұмысы, реферат, семестрлік тапсырма, коллоквиум, лабораториялық жұмыстарды орындау және басқалар жатады. Қорытынды бақылау түріне байланысты бақылау түрлерінің балдық көрсеткіштері қолданылады (3- кесте)
3-кесте
|
№ |
Қорытынды бақылау түрі |
Бақылау түрлері |
Балы |
|
1. |
Емтихан, курстық жұмыс |
Қорытынды бақылау |
40 |
|
Аралық бақылау |
20 |
||
|
Курстық жұмыс |
20 |
||
|
Ағымдық бақылау |
20 |
Ағымдық бақылаудың қорытындысын өткізу мерзімі пән бойынша оқу процесінің күнтізбелік кестесімен белгіленеді (4-кесте). Ағымдық бақылау саны пәннің оқу-әдістемелік кешенінде көрсетілген пәннің мазмұнымен және оның көлемімен анықталады.
4-кесте
Бақылаудың барлық түрлерін өткізу бойынша күнтізбелік кестесі «Өріс теориясы» пәні бойынша
|
Апта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
Бақылау түрлері |
Л1 |
П1 |
Л2 |
П2 |
Л3 |
П3 |
АБ |
Л4 |
П4 |
Л5 |
П5 |
П6 |
П7 |
АБ |
КЖ |
|
Балл |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
10 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
10 |
20 |
|
Бақылау түрлері: Л – лабораториялық жұмыс; П- практикалық сабақ Б – бақылау; КЖ – курстық жоба (жұмыс) ӨЖ - өздік жұмыс; Кл – коллоквиум АБ – аралық бақылау; Р – рефераттар және т.б. |
Студент жалпы ≥30 рейтинг балы есебімен қорытынды бақылауға жіберіледі. Қорытынды бақылауға ≥ 20 балл жинаған жағдайда ғана өткізілді деп есептелінеді. Пәннің қорытынды бағасы шкала бойынша (5-кесте) анықталады.
5-кесте
Студенттердің білімдерін бағалау
|
Баға |
Әріптік эквивалент |
Рейтингтік балл (пайызбен %) |
Балмен |
|
Өте жақсы |
А А- |
95-100 90-94 |
4 3,67 |
|
Жақсы |
В+ В В- |
85-89 80-84 75-79 |
3,33 3,0 2,67 |
|
Қанағаттанарлық |
С+ С С- D+ D |
70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 |
2,33 2,0 1,67 1,33 1,0 |
|
Қанағаттанарлықсыз |
Ғ |
0-49 |
0 |
Модульдар мен аралық аттестация бойынша бақылау жүргізуге арналған сұрақтар тізімі
1 модуль бойынша бақылау жүргізуге арналған сұрақтар
3. Скалярлы функцияныњ градиенті дегеніміз не?
4. Векторлы µріс аныќтамасы, оны кескіндеу.
5. Векторлыќ функция µзгеріс жылдамдыѓыныњ аныќталуы.
16. Гамильтон операторы не ‰шін пайдаланылады?
17. Потенциалды µріс тењдеуі ќалай жазылады?
18. Потенциалды µріс тењдеуініњ шешімі ќалай аныќталады?
19. Т‰тікшелі µріс дегеніміз не, оныњ тењдеуі, шешімі?
20. Лапластыќ µріс дегеніміз не, оныњ тењдеуі ќалай жазылады?
21. Векторлық µрістіњ жалпы т‰рдегі тењдеуі, оныњ шешімі?
22. Векторлық µрістіњ скалярлы потенциалы дегеніміз не?
23. Векторлық µрістіњ векторлық потенциалы дегеніміз не
24.Көлемдік өткізгіш дегеніміз н? Ток тығыздығы және ток сызығы дегеніміз не?
25.Ом заңының дифференциалды жазылымының мағнасы неде?
26.Кирхгофтың заңдарының дифференциалды жазылымы қандай?
27.Джоуль –Ленц заңының мағнасы неде?
28. Био-Савар заңының көлемдік, сызықтық, жазық өткізгіштер үшін жазылымы қалай?
29..Магнит өрісін векторлық потенциал арқылы қалай зерттеуге болады?
30.Био-Савар заңының дифференциалды және интегралды жазылымы.
2 модуль бойынша бақылау жүргізуге арналған сұрақтар
1) Айнымалы ток, оның электромагниттік өрісі.
2) Ығысу тогы.
3) Ығысу тогы тығыздығы.
4) Айнымалы ток үшін Кирхгофф заңы.
5) Айнымалы ток тығыздығы.
6) Өткізгіштік ток пен ығысу тогы.
7) Максвеллдің бірінші теңдеуі, оның физикалық мағнасы.
8) Максвеллдің екіншіі теңдеуі, оның физикалық мағнасы.
9) Максвеллдің теңдеулер системасы.
10) Электромагниттік өрістің таралуы.
14) Электромагниттік өріс энергиясы.
15) Умов-Пойнтинг векторының мағнасы, алыну жолы.
16) Скин –эффект.
17) Жартылай өткізгіштік кеңістіктегі өрістің жұтылуы.
18) Жазық толқын, оның теңдеуі, шешімі.
19) Диэлектриктік ортада жазық толқынның сынуы, шағылысуы.
20) Гармоникалық өрістің кернеуліктерінің толқындық теңдеулері.
21) Электромагнит өріс потенциалдары.
22) Векторлық және скалярлық потенциалдар арасындағы байланыс.
Аралық аттестацияға арналған сұрақтар
1. Скалярлы өріс, оның дифференциалды сипаттамасы.
2. Векторлы өріс, оның дифференциалды сипаттамалары.
3. Векторлыќ аѓын дегеніміз не, ол ќалай аныќталады?
4. Остроградский - Гаусс өрнегі, оның жазық өріске арналған жазылымы.
5. Стокс µрнегі, оның жазық өріске арналған жазылымы.
6. Өрістің потенциалды болу шарттары.
7. Квазипотенциалды өріске арналған Грин өрнектері.
8. Қарапайым векторлы өріс теңдеулері.
9.Тұрақты токтың біріккен заңын қалай жазуға болады?
10.Шекаралық шарт дегеніміз не?
11. Тұрақты токтың магнит өрісі.
12.Тұрақты токтың магнит өрісі мен электр өрісінің теңдеулері.
13. Тұрақты токтың магнит өрісін векторлық потенциал арқылы кескіндеу.
14. Электромагниттік өріс, оның ерекшеліктері.
15. Айнымалы ток үшін Кирхгоф заңы.
16. Электромагниттік өріс кернеуліктерінің толқындық теңдеулері.
17. Электромагниттік өрістің толқындық қасиеттері.
18. Серпінділік теориясы элементтері.
19. Ығысу деформациясының пайда болуы.
20. Ығысу модулі мен Юнг модульдері арасындағы байланыс.
21.Бұратылу деформациясының пайда болуы.
22.Тартылыс потенциалы түрлері.
24. Диполь мен қос қабаттың тартылыс потенциалы.
25. Логарифмдік өріс, ондағы массалардың тартылыс потенциалдары.
26. Гриннің фундаменталды өрнегі.
27. Гармоникалық функциялар, олардың қасиеті.
28. Гаусс өрнегі.
1.9 Курстың саясаты мен процедурасы оқытушылардың студенттерден міндетті түрде сабаққа қатысуын, барлық бақылау түрі бойынша уақытында есеп беру, сабаққа қатыспаған күндерін қайта тапсыру тәртібін талап етуінен тұрады. Бақылау түрлерін тапсыру барысында оқытылатын пәннің бірізділігін сақтау қажет. Әрбір оқушы бақылау түрлерін бірізділікпен тапсырылуын негіздеуі қажет.
2.1 Курстың тақырыптық жоспары әрбір тақырып үшін қарастырылған тақырыптардың атауы және академиялық сағат саны көрсетілген кесте түрінде құрастырылады.
|
Тақырып атауы |
Академиялық сағат саны |
||||
|
Дәріс |
Тәжірибелік/ Семинар |
Лаборатория-лық |
СОӨЖ |
СӨЖ |
|
|
1. Өріс теориясының негізгі түсініктері. Скалярлы өріс және оның туындысы. |
2 |
2 |
4 |
4 |
|
|
2.Векторлы өріс және оның көлемдік туындылары. |
2 |
2 |
4 |
4 |
|
|
3.Өріс теориясының негізгі интегралдық өрнектері. |
2 |
4 |
4 |
||
|
4. Өріс теңдеулері. Векторлы өріс классификациялары. |
2 |
4 |
4 |
4 |
|
|
5.Тұрақты токтың электр өрісі және оның дифферециалды заңдары. |
2 |
2 |
4 |
4 |
|
|
6.Тұрақты токтың магнит өрісі. Био-Савар заңы. |
2 |
2 |
4 |
4 |
|
|
7.Айнымалы токтың электромагниттік өрісі. Ығысу тогы. Максвелл теңдеулері. |
2 |
2 |
4 |
4 |
|
|
8.Кернеуліктердің толқындық теңдеулері. |
2 |
4 |
4 |
||
|
9.Электромагниттік өрістің толқындық қасиеттері. |
2 |
4 |
4 |
4 |
|
|
10.Серпінділік теориясы элементтері. Деформацияның негізгі түрлері. |
2 |
2 |
4 |
4 |
|
|
11.Серпінді кернелік пен деформация тензоры. |
2 |
4 |
4 |
||
|
12.Тартылыс потенциалы түрлері. |
2 |
3 |
4 |
4 |
4 |
|
13.Логарифмдік потенциалдар. |
2 |
3 |
4 |
4 |
|
|
14.Гриннің фундаменталды өрнегі |
2 |
4 |
4 |
||
|
15.Гармоникалық функциялар және олардың негізгі қасиеттері |
2 |
4 |
4 |
||
|
Барлығы (сағат) |
30 |
15 |
15 |
60 |
60 |
2.2 Дәрістік сабақ конспектілері
Тақырыбы: ¤ріс теориясы туралы жалпы ±ѓым. Скалярлы µріс, оныњ туындысы.
Дәріс конспектісі: Бір ѓана физикалыќ шаманыњ бір дененіњ бойында єрт‰рлі мєнге ие болатындыѓы µріс туралы ±ѓымныњ пайда болуына алып келді.
Олай болса, µріс деп белгілі бір физикалыќ шама сєйкес келетін кењістіктіњ бір бµлігін айтамыз.
Физикалыќ шамалар скалярлы, векторлы жєне тензорлы болып ‰шке бµлінеді, сондыќтан м±ндай шамаларѓа сєйкес келетін µрістер де скалярлы, векторлы жєне тензорлы болып бµлінеді. Физикалыќ шамалардыњ уаќытќа тєуелді жєне тєуелсіз болуына байланысты б±л µрістердіњ єрќайсы айнымалы немесе т±раќты болып екіге бµлінеді. Мысалы т±раќты электр тогы т±раќты электр µрісін тудырады, ал айнымалы ток уаќыт бойынша µзгермелі электромагниттік µріс тудырады. Ќатты денелерде туатын деформация тензорлы µріс ќ±райды. Б±л µрісте деформация шамасы ќатты дененіњ єрбір н‰ктесінде уаќыт бойынша ѓана µзгеріп ќоймайды, баѓыты бойынша да µзгереді. Жердіњ беткі ќабатындаѓы тыѓыздыќтыњ µзгерісі ењ ќарапайым µріс- скалярлы µріс ќ±райды.
Геофизикалыќ барлау - гравибарлау, магниттік барлау, сейсмикалыќ барлау жєне электрлік барлау тєсілдеріне негізделген. Б±л тєсілдер бойынша Жердіњ беткі ќабатында электрлік, магниттік, деформациялыќ µрістер тудырылып, оныњ єртектілігін зерттеуге м‰мкіндік ашылады. Сондыќтан Жердіњ беткі ќабатында туатын µрістер зањдылыѓын зерттеу осы пєнніњ маќсаты болып табылады.
Скалярлы µріс деп єрбір н‰ктесіне белгілі бір скалярлы шама сєйкес келетін кењістіктіњ бір бµлігін айтамыз.
Кењістіктіњ кез келген М н‰ктесі декартты координаталар системасында х,у,z координатасы арќылы немесе радиус векторы арќылы сипатталады. Осыѓан орай, скалярлы µріс тењдеуі координатадан функция ретінде немесе радиус вектордан функция ретінде жазылады.
Б±л µрісте скаляарлы шама бір н‰ктеден екінші н‰ктеге µзгеріп отырады, яѓни скалярлы функция координатаѓа тєуелді. Сондыќтан функцияныњ кез келген н‰ктеніњ мањындаѓы µзгеру жылдамдыѓын сипаттау ‰шін функцияныњ туындысы деген ±ѓым енгіземіз.
Скалярлы функцияныњ туындысы деп оныњ белгілі баѓыттаѓы µсімшесініњ ара ќашыќтыќќа ќатынасыныњ шегін айтамыз:
,
м±ндаѓы - скалярлы функцияныњ н‰ктелеріндегі мєні. Кењістіктегі єрбір н‰ктеден кез келген баѓыт бойынша туынды алуѓа болады, біраќ функцияныњ µзгеру жылдамдыѓын сипаттау ‰шін бір - біріне перпендикуляр ‰ш баѓытта алынѓан туынды жеткілікті. Декартты координаталар системасында бұл туындылар былай жазылады:
Осы µрістегі бірдей скалярлы мєні бар н‰ктелерді ќосатын болсаќ, онда дењгейлік бетті аламыз.
Екі дењгейлік бет арасындаѓы кењістік дењгейлік ќабат деп аталынады.
Дењгейлік беттердіњ нормаль бойынша араќашыќтыѓы дењгейлік ќабаттыњ ќалыњдыѓы деп аталынады.
Скалярлы µрісті сипаттау ‰шін дењгейлік беттіњ кез келген н‰ктесінен нормаль баѓыт бойынша алынѓан туындыныњ мањызы зор. бетіндегі М н‰ктесінен нормаль баѓыты жєне кез –келген баѓыты бойынша туынды аламыз. Олар мына µрнектермен аныќталады:.
, (2) , (3)
егер ±мтылас, онда . Б±л жаѓдайда ‰шб±рышын тікб±рышты деп ќарастырсаќ , онда
демек Мкесіндісініњ ±зындыѓы мына µрнекпен аныќталады:
.
Б±л жаѓдайда 3 µрнек мынандай т‰рде жазылады:
.
Косинус мєні 1 жєне –1 аралыѓында µзгеретінін ескерсек, онда дењгейлік беттіњ кез –келген н‰ктесінен кез келген баѓытта алынѓан туынды - нормаль баѓытта алынѓан туындыдан кем болады. Сондыќтан скалярлы µрістіњ µзгеру жылдамдыѓын µрнектеу ‰шін дењгейлік бетке нормаль баѓыттаѓы туындыны ќарастырамыз. Ол ‰шін градиент деген ±ѓым енгіземіз.
Скалярлы µрістіњ градиенті ретінде дењгейлік бетке нормаль баѓытталѓан векторды аламыз. Вектордыњ сандыќ мєні функцияныњ осы баѓыттаѓы туындысыныњ шамасына тењ, яѓни:
. (4)
Вектордыњ баѓыты функцияныњ µсу баѓытымен сєйкес келеді, сондыќтан дењгейлік беттердіњ ењ биік ќабаттарын кµрсетеді.
Градиент векторлыќ шама болѓандыќтан, оныњ кез келген баѓытта проекциясы болады, декартты координаталар системасында градиенттіњ проекциялары функцияныњ сол баѓыттаѓы туындысы арќылы аныќталады:
.
Градиент векторын проекциялары арќылы былай жазуѓа болады:
, (5)
м±ндаѓы:
- Гамильтон операторы деп аталынады;
- осьтердегі бірлік векторлар.
Градиент векторыныњ ±зындыѓы – вектордыњ модулі арќылы аныќталады:
. (6)
Сонымен скалярлы µрістіњ дењгейлік бетке нормаль бойынша туындысы векторлы µріс тудырады, ол сол µрістіњ дифференциалды сипаттамасы болып есептелінеді.
Баќылау с±раќтары:
Нег.әдеб 6[5-7]
Тақырыбы: Векторлыќ µріс жєне оныњ кµлемдік туындылары:
дивергенция, ротор.
Дәріс конспекті: Векторлыќ µріс деп єрбір н‰ктесіне бір векторлыќ шама сєйкес келетін кењістіктіњ бір бµлігін айтамыз.
Векторлыќ µріс векторлыќ сызыќ арќылы кескінделеді, м±ндай сызыќтыњ єрбір н‰ктесіне ж‰ргізілген жанама µріс векторымен баѓыттас болады.
Векторлыќ сызыќтарѓа перпендикуляр баѓытта ж‰ргізілген жазыќтыќтар нормаль жазыќтыќтар деп аталынып, олар арќылы да векторлыќ µрісті сипаттауѓа болады.
Векторлыќ сызыќтарѓа параллель баѓытта ж‰ргізілген сызыќтар жиынтыѓы векторлыќ жазыќтыќты ќ±райды. Егер векторлыќ сызыќ т±йыќ болса, онда векторлыќ жазыќтыќ т±йыќтаѓан кењістік векторлыќ т‰тікше деп аталынады. Оныњ кµлденењ ќимасы болып, т‰тікшеніњ нормаль жазыќтыќпен ќиылысы саналады.
Сонымен, векторлыќ µріс: векторлыќ сызыќ, нормаль жазыќтыќ немесе векторлыќ жазыќтыќтар арќылы кескінделеді.
¤рістегі векторлыќ шаманыњ бір н‰ктеден екінші н‰ктеге µзгеру жылдамдыѓы – сол векторлыќ функцияныњ алынѓан баѓыттаѓы туындысы арќылы µрнектеледі. Сондыќтан оны туынды ережесі бойынша былай жазамыз:
, (1)
м±ндаѓы векторлыќ функцияныњ н‰ктелеріндегі мєні; екі н‰кте арасындаѓы ќашыќтыќ. Б±л туынды векторлыќ шама. Ал µрісті сипаттау ‰шін векторлыќ функциядан бір –біріне перпендикуляр ‰ш баѓытта алынѓан туынды жеткілікті, яѓни:
Осыѓан байланысты векторлық өріс - үш скалярлы өріс қосындысымен анықталады. Ал єрбір скалярлы µріс скалярлы функциядан бір-біріне перпендикуляр баѓытта алынѓан ‰ш туындымен сипатталады. Олай болса, бұл өрістің дифференциалды сипаттамасы – болып тоғыз туындыдан тұратын тензорлы өріс саналады:
(2)
Векторлық өрісті берілген (2) тензор туындының инварианттары арқылы сипаттауға болады, яғни тензорлы шама орнына қарапайым векторлық және скалярлық шамалар қолданамыз.
Бірінші инвариант – тензор туындының диагональ бойымен орналасқан элементтерінің қосындысынан тұратын скалярлық шама, оны векторлық өрістің дивергенциясы деп атаймыз:
= ах/х + ау/у + а z/z . (3)
Сонымен, дивергенция - векторлық өрістің көлемдік туындыларының бірі болып есептелінетін скалярлы шама. Ол өріс көзінің тығыздығын анықтайды. Өрісті кескіндейтін векторлық сызықтар осы көздерден таралып немесе соған жинақталады.
Екінші инвариант - тензор туындының антисимметриялық бөлігінен тұратын векторлық шама, оны – векторлық өрістің роторы деп атаймыз.
Оны ашып жазу ‰шін берілген тензор-туындыны симметриялыќ жєне антисимметриялыќ бµлікке жіктеп, оныњ антисимметриялыќ бµлігін ќарастырамыз:
Б±л матрицадаѓы диагональ бойынша элементтер ќосындысы нольге айналады, ал ќалѓан м‰шелері оњ жєне теріс тањбалы ‰ш скалярлы шама бола алады. Б±л скалярлы ‰ш шаманы бір вектормен алмастыруѓа болады, себебі кез келген вектордыњ декартты координаталар системасында ‰ш проекциясы бар. Б±л векторды µрістіњ роторы немесе ќ±йыны деп атап, оны проекциялары арќылы былай жазамыз:
= . 4)
Сонымен, векторлық өріс роторы - өріс жазықтығына перпендикуляр бағытталған вектор, оның шамасы - өріс көзі құйынының тығыздығын анықтайды. Декартты координаталар системасында оны үшінші дәрежелі анықтауыш ретінде былай өрнектейді:
.
Векторлық өрістің дифференциалды сипаттамалары ретінде скалярлы шама – дивергенцияны, векторлық шама - роторды қолданамыз.
Аѓын – гидродинамика саласынан алынѓан ±ѓым, ол негізінен с±йыќ - газ аѓыны туралы т‰сінік береді. Егер векторлыќ µрісті векторлыќ сызыќтар арќылы кескіндейтін болсаќ, онда аѓын деп векторлыќ сызыќтардыњ аѓыны туралы айтуѓа болады.
Векторлы µріс векторлыќ сызыќтар арќылы берілсін, осы µрісте ауданы S болатын т±йыќ бет аламыз, оѓан т‰сірілген нормаль баѓытын деп белгілейміз. Осы т±йыќ бет арќылы бірлік уаќытта µтетін векторлыќ аѓынды аныќтау ‰шін кішкене элементар dS ауданын кесіп аламыз. Элементар бет арќылы µтетін аѓын мына µрнекпен аныќталады:
, м±ндаѓы - µріс векторыныњ сыртќы нормальѓа т‰сірілген проекциясы. Сонда б‰кіл бет арќылы µтетін аѓынды есептеу – осы соњѓы µрнекті интегралдауѓа алып келеді:
. (5)
Егер нормаль т±йыќ беттіњ ішінен сыртќа ќарай баѓытталса, онда элементар бетке де баѓыт беруге болады, яѓни: . Б±л жаѓдайда соњѓы µрнек былай жазылады:
. (6)
Б±л µрнек векторлы µрістіњ скалярлы аѓыны деп аталынады. Себебі, интеграл астында екі вектордыњ скалярлы кµбейтіндісі т±р.
¤рістегі т±йыќ бет белгілі бір кµлемді шектеп т±р. Егер б‰кіл бет арќылы µтетін аѓынныњ сол бет шектейтін кµлемге ќатынасын алсаќ, ол бірлік кµлемге келетін аѓынды аныќтайды:
,
б±л функцияныњ кµлем нольге ±мтылѓандаѓы шегі векторлыќ µріс кµзініњ тыѓыздыѓын береді. Сол кµздерден векторлыќ сызыќтар таралады немесе оѓан жинаќталады, ол дивергенция деген ±ѓымды т‰сіндіреді.
Демек, векторлы µрістіњ дивергенциясы µріс кµзініњ тыѓыздыѓын аныќтайды, оны былай жазамыз:
.
Баќылау с±раќтары:
1. Векторлы µріс аныќтамасы, оны кескіндеу.
2. Векторлыќ функция µзгеріс жылдамдыѓыныњ аныќталуы.
3. Векторлыќ сызық деп нені айтамыз?
Нег.әдеб. 6[7-10] ,[22-25]
3- Дәріс
Тақырыбы: ¤ріс теориясыныњ негізгі интегралдыќ µрнектері.
Егер дивергенция деп т±йыќ бет арќылы µтетін векторлыќ аѓынныњ, сол бет шектейтін кµлемге ќатынасыныњ, кµлем нольге ±мтылѓандаѓы шегін айтатын болсаќ, ол мына µрнекпен жазылады:
. (1)
Б±л µрнектіњ сол жаѓындаѓы векторлыќ аѓын – функцияныњ µсімшесін немесе туындысын береді, яѓни:
. (2)
1 жєне 2 µрнектерді салыстыра отырып, элементар кµлемнен таралатын векторлыќ аѓынды дивергенция арќылы µрнектейміз:
Егер б±л тењдіктіњ екі жаѓын да интегралдайтын болсаќ, онда б‰кіл кµлемнен таралатын аѓынды аныќтаймыз:
. (3)
Б±л кµлемнен таралѓан векторлыќ аѓын міндетті т‰рде µзін шектеп т±рѓан т±йыќ бетті тесіп µтеді, онда ол мына µрнекпен аныќталады:
. (4)
3 жєне 4 µрнектердіњ оњ жаѓы бір ѓана векторлыќ аѓынды µрнектеп т±рѓандыќтан, оларды тењестіре отырып, мынандай интегралдыќ тењдік аламыз:
. (5)
Б±л µрнекті скалярлы жєне векторлы т‰рде жазуѓа болады.
Остроградский - Гаусс µрнегініњ векторлы жазылымы: Ол үшін соңғы (5) өрнектің оң жағын түрлендіреміз. Егер интеграл астында вектор ағыны тұрғанын ескерсек, онда оны скалярлы ағын ретінде қарастырып, Остроградский - Гаусс µрнегініњ векторлы жазылымын былай бейнелейміз:
.
Остроградский - Гаусс µрнегініњ скалярлы жазылымы: Оны алу ‰шін 5- µрнектіњ екі жаѓындаѓы интеграл астындаѓы м‰шелерді ашып жазамыз:
1)
2)
Онда Остроградский - Гаусс µрнегініњ скалярлы жазылымы былай µрнектеледі:
. (6)
Стокс өрнегі. Векторлы µрісте баѓытталѓан т±йыќ ќисыќты ќарастырамыз. Егер оныњ баѓыты б±ранданыњ оњ айналымымен баѓыттас болса, онда б±ранданыњ ілгері ќозѓалысы – ќисыќ сызыќты шектейтін бетке т‰сірілген нормаль баѓытын аныќтайды. (1-сурет)
Вектордан ќисыќ т±йыќ сызыќ бойынша алынѓан интеграл вектор циркуляциясы деп аталынып, мына т‰рде µрнектеледі:
. (7)
Циркуляцияныњ аддивтивті ќасиеті бар. Оны былай т‰сінуге болады: егер баѓытталѓан ќисыќ сызыќ т±йыќтап т±рѓан бетті екіге бµлетін болсаќ, онда жалпы циркуляция вектордыњ екіі циркуляциясыныњ ќосындысынан т±рады, яѓни . Олай болса, бірлік бетке келетін циркуляция тыѓыздыѓы туралы ±ѓым енгіземіз, ол мына µрнекпен аныќталады: ;
Сонымен ќатар циркуляция тыѓыздыѓы дегеніміз – ќ±йын тыѓыздыѓы, ол векторлы µрістіњ роторы арќылы аныќталады. Ќарастырылып отырѓан бетке нормаль баѓыттаѓы ротор векторыныњ ќ±раушысы былай аныќталады:
. (8)
Б±л тењдіктен жалпы циркуляцияны интегралдау арќылы табамыз:
Г. (9)
7жєне 9 тењдіктерді салыстыра отырып мынандай интегралдыќ тењдеу аламыз:
. (10)
Б±л µрнекті Стокс µрнегі дейміз.
Егер ротордыњ векторлыќ шама екенін ескерсек, онда (10) µрнектіњ оњ жаѓы ротор векторыныњ аѓынын кµрсетіп т±р ады.
Олай болса, вектордыњ т±йыќ ќисыќ бойынша циркуляциясы сол вектордыњ роторының осы ќисыќпен шектелетін беттен аѓынына тењ.
Сонымен Стокс өрнегі қисық сызықты интегралды беттік интегралмен байланыстырады.
Б±л Стокс µрнегі векторлыќ жєне скалярлыќ т‰рде жазуѓа болады.
Стокс µрнегінің векторлыќ жазылын алу: Бағытталған кесінді бөлігін вектор ретінде қарастырамыз, ол проекциялары арқылы былай жазылады: , онда интеграл астындағы шаманы екі вектордың скалярлы көбейтіндісі арқылы жазамыз. =.
Оң жақтағы интеграл астын да түрлендіреміз:
Ротор вектор болғандықтан құраушылары арқылы былай жазылады:
.
Бет элементіне бағыт берсек, ол проекциялары арқылы былай жазылады:
, мұндағы
, , ,
Олай болса :
.
Онда Стокс өрнегінің векторлық жазылымы былай өрнектеледі:
.
Скалярлы т‰рдегі Стокс µрнегініњ жазылымы: Ол үшін(10) өрнек астындағы мүшелерді ашып көрсетеміз:
1. ;
2.
Онда Стокс µрнегініњ скалярлы жазылымы былай µрнектеледі:
=
Сонымен Стокс µрнегі де, Остроградский – Гаусс µрнегі де векторлыќ аѓынды ќарастырады. Остроградский – Гаусс µрнегі жалпы т±йыќ бет арќылы µтетін аѓынды ќарастырса, Стокс µрнегі т±йыќ контурмен шектелген беттіњ бµлігінен µтетін аѓынды ќарастырады.
Грин µрнектері. Грин µрнектері потенциалды жєне квазипотенциалды µрістерге арналѓан. Сондыќтан м±ндай µрістерге аныќтама беріп, олардыњ потенциалды жєне квазипотенциалды болу шарттарын ќарастырамыз.
Векторлы өрісті потенциалды дейміз, егер оныњ векторы скалярлы функцияның градиенті ретінде аныќталатын болса, яѓни : , м±ндаѓы скалярлы функция - векторлы µрістіњ скалярлы потенциалы деп аталынады.
Осыѓан байланысты кез келген скалярлы µріске , оныњ градиентінен туындайтын векторлы µріс сєйкес келеді деп айтуѓа болады. Ал кез келген вектор , керісінше скалярлы µріс градиенті бола алмайды.
Потенциалды µрісте дењгейлік бетті - эквипотенциалды беттер дейміз, яѓни б±л потенциал шамасы бірдей бет деген ±ѓым береді. Б±л беттер бір-біріне параллель, сондыќтан ешќашанда ќиыспайды. Олардыњ кез келген жазыќтыќпен ќиылысуы - эквипотенциалды сызыќтарды береді.
¤рістіњ потенциалды болуыныњ мынандай шарттары бар:
,
яѓни интеграл шамасы ќисыќ т‰ріне байланысты емес.
.
тењдіктіњ сол жаѓындаѓы интеграл нольге айналады, себебі интегралдаудыњ бастапќы жєне соњѓы н‰ктелері бір-біріне сєйкес келіп т±р, сондыќтан оњ жаќтаѓы интеграл да нольге айналады. Олай болса интеграл астындаѓы шама нольге тењ болу керек, яѓни . М±ндай µрістер циркуляциясыз, ќ±йынсыз болады.
Потенциалды µріс векторыныњ ќ±раушылары декартты координаталар системасында
былай µрнектеледі:
.
Демек, б±л вектордыњ кез-келген осьтегі проекциясы – скаляр функцияныњ сол баѓыттаѓы туындысымен аныќталады.
¤рісті квазипотенциалды дейміз, егер оныњ векторы скалярлы функцияны басќа бір скалярлы функцияның градиенті болатын векторға кµбейту арќылы аныќталатын болса, яѓни:
, (1)
ал оныњ ќ±раушылары былай аныќталады:
.
¤рістіњ квазипотенциалды болуының қажетті және жеткілікті шарты болып өріс векторы роторының өріс векторына көбейтіндісі нольге тең болуы жатады, яғни:
Осындай µрістер ‰шін Остроградский-Гаусс µрнегі жазамыз, яѓни:
, (2)
м±ндаѓы векторы орнына (1) µрнекті ќоятын болсаќ, квазипотенциалды µріске арналѓан Остроградский-Гаусс µрнегін аламыз:
. (3)
(3) тењдіктегі интеграл астындаѓы µрнектерді ашып жазамыз:
а/ + + =
+ +
= + +=
;
б/;
Б±л µрнектерді (3) тењдікке ќойсаќ, онда Остроградский-Гаусс тењдеуі былай жазылады:
. (4)
Б±л µрнек Гринніњ бірінші µрнегі деп аталынады.
М±ндай µрнекті векторы мына т‰рде аныќталатын, яѓни болатын, басќа бір квазипотенциалды µріске арнап жазамыз:
. (5)
Егер (5) тењдіктен (4) тењдікті алып тастайтын болсаќ, онда олардыњ айырмасы былай жазылады:
. (6)
Б±л µрнек Гринніњ екінші µрнегі деп аталынады.
Дирихле интегралы. Жеке жаѓдайлар: болѓан кездегі Гринніњ бірінші µрнегін ќарастырамыз (4). Ондаѓы : , осыѓан байланысты Гринніњ бірінші µрнегіндегі сол жаќтаѓы интегралды екіге бµліп жазамыз:
.
Кµлем бойынша алынатын сол жаќтаѓы екінші интегралды I – єріпімен белгілеп , оны Дирихле интегралы дейміз. Ол мына екі интеграл айырымы арќылы аныќталады:
.
Дирихле интегралы функцияныњ квадратынан т±ратын болѓандыќтан, ол єрќашанда оњ шама . Сондыќтан оњ жаќтаѓы интегралдар ‰шін мына тењдік орындалады:
,
яѓни бет бойынша алынѓан вектор аѓыны- кµлемде вектордыњ таралуына тењ немесе одан кµп. Дирихле интегралы ќолайлы т‰рде былай жазылады:
.
Баќылау с±раќтары:
Нег.әдеб. 6[12-30]
4- Дәріс
Тақырыбы: Өріс теңдеулері. Векторлы өріс классификациялары.
Дәріс конспектісі: Векторлық өріс теңдеулерін шешу жолдарын Гамильтон және Лаплас операторлары арқылы ќарастырамыз. Бұл операторлар скалярлы және векторлы функциядан координата бойынша туынды алуды - операторды сол функцияларға көбейту жеткілікті болатындай етіп жеңілдетеді. Олай болса көлемдік туындыларды, градиенті осы операторлар арқылы жазылымын көрсетеміз.
1)
Скалярдың градиенті –Гамильтон операторы мен скаляр функцияның көбейтіндісіне тең.
2) = ах/х + ау/у + а z/z
Вектордың дивергенциясы-Гамильтон операторы мен векторының скалярлы көбейтіндісіне тең.
3)
Вектордың роторы-Гамильтон операторы мен векторының векторлық көбейтіндісіне тең.
Гамильтон операторы ќарапайым вектор ретінде қарастырылса, оған векторлық алгебра ережелерін қолдануға болады.
-векторлық өрісін зерттеу-оның скалярлы проекциялары тудыратын скалярлы өрісті зерттеуге әкеледі. Сондықтан векторлық өріс ерекшелігі- ол , , скалярларының үш градиентімен немесе тоғыз туындыдан т±ратын күрделі математикалық аппарат тензор- туындымен анықталады. Бірақ б±л аппараттың есептеу күрделілігіне байланысты векторлық өрісті зерттеуде тензор - туындының инварианттары - дивергенция мен ротор қарастырылады. Сондықтан олар векторлық функцияның көлемдік туындысы деп саналып, векторлық өріс теңдеулері мына түрде жазылады :
. (1)
М±нда: -векторлық өрістің құйынының көлемдік тығыздығы - векторлық функция , ал В -скалярлық функция, өріс көздерінің көлемдік тығыздығы. ¤рісті толық сипаттау үшін осы теңдеулер системасын шешу қажет.
(1)-Тењдеулер системасыньњ шешімі деп, осы тењдеулерді тепе-тењдікке айналдыратын кез келген векторлъќ өрісті айтамыз.
Векторлық өріс бар кеңістік бөлігінде векторлық функция үздіксіз және оның жеке туындылары да үздіксіз.
Енді қарапайым векторлыќ өрістерге арналған өріс теңдеулерін ќарастырамыз.
Векторлыќ өріс қарапайым деп есептелінеді, егер оның көлемдік туындыларының бірі сол өрісте нольге айналса.
1 . Өріс потенциалды , яғни құйынсыз, онда оның теңдеуі былай жазылады.
(2)
¤рістің роторы нольге тең болады, егер векторды скаляр функцияның градиенті ретінде қарастырсақ, яғни десек, онда:
.
Мүндағы скаляр көбейткіш -ді жақшаның сыртына шығарғанда, жақша ішінде бірдей екі вектордың векторлық көбейтіндісі қалады, ол әрқашанда нольге тең: [] = 0, яғни:
.
Б±л теңдіктің физикалық мағынасы потенциалды өрістің ќ±йынсыз екенін көрсетеді. Сондықтан, -векторлық функциясы (2)-теңдеулер системасының шешімі бола алады. Б±л шешім системадағы екінші теңдікті де ќанағаттандыруы қажет. Онда дивергенция былай жазылады:
Б±лай болған жағдайда өріс теңдеуі мына түрге айналады:
Лаплас операторын ашып жазатын болсақ, б±л теңдеу мынандай түрге ие болады:
Оны Пуассон тењдеуі дейміз. Теңдеу мәні-потенциалды өрістің кµзі бар.
Өріс потенциалды болғанда (2)- теңдеулер системасы Пуассон теңдеуін шешуге алып келеді. Б±л теңдеуді магниттік және гравитациялық өрісті зерттеуде кеңінен қолданады.
Демек, потенциалды өрістің теңдеулерінің шешімі болып скаляр функцияның градиенті арқылы анықталатын векторлық өріс жатады, ал скаляр функция Пуассон теңдеуін қанағаттандыру керек.
2. Енді дивергенциясы нольге тењ болатын векторлық өрісті қарастырамыз: өріс теңдеулері былай жазылады:
(3)
Б±л өріс соленоидтыќ немесе т‰тікшелі өріс деп аталады.
Дивергенция нольге тең, олай болса векторлық өрісті басқа бір векторы өрісінің роторымен анықталады деп, оның векторын былай жазамыз: ,
м±ндағы -векторын векторлық потенциал деп атайды. Б±л теңдік (3) теңдеулер системасының шешімі бола алады, сондықтан бұл шешімді системадағы теңдеулерге қоямыз:
Егер жақша ішіне циклдық орын ауыстырсақ, онда бірдей екі вектордың векторлық көбейтіндісі нольге тең болады. Сонымен .
Б±л теңдіктің физикалық мєні - соленоидалды өрістіњ кµзсіз екендігін кµрсетеді.
Енді б±л шешімді теңдеулер системасындағы (3) бірінші теңдікке қойып, өрістің қ±йынын анықтаймыз:
- екі реттік векторлық көбейтінді.
Векторлық көбейту ережесі бойынша екі реттік векторлық көбейтінді мынаған тең:
.
Егер өрістің көзі жоқ екенін ескерсек, =0, онда:
немесе бұл теңдеулер өрістің құйынын сипаттайтын векторлық потенциал құраушыларының тығыздығын береді.
Сонымен, соленоидалы өріс теңдеулерінің шешімі болып векторы басқа бір векторлық өрістің роторымен анықталатын векторлық өріс саналады.
3. Енді векторлыќ функцияныњ кµлемдік туындыларыныњ екеуі де нольге айналатын µрісті ќарастырамыз. Б±л жаѓдайда өрістіњ не көзі , не қ±йыны болмайды, оны анықтайтын теңдеулер системасы былай жазылады:
. (4)
Бірақ б±л өріс бір мезгілде потенциалды және соленоидалы (немесе құйынды-ќ±йынсыз) , сондыќтан (4) теңдеулер системасының шешімі екі жағдайда қарастырылады.
а) , болғандықтан -функциясы теңдеуге шешім бола алады. Онда ол шешімді (1) тењдеудегі екінші тењдікке ќойсаќ мынандай , оныњ сол жаѓы мына жазылымды береді: , ал есеп шарты бойынша . Лаплас операторын ашып жазатын болсақ, б±л теңдеу мынандай түрге ие болады:
. (5)
Б±л теңдеуді Лаплас тењдеуі дейміз..
Теңдеулер (4) системасының шешімі болып - скаляр функцияның градиенті ретінде анықталатын векторлық өріс алынады, біраќ скалярлы функция Лаплас тењдеуін ќанаѓаттандыруы керек. Сондықтан б±л өріс -Лапластыњ векторлыќ өрісі деп аталынады.
б) (4) теңдеулер системасының шешімі болып, , векторлық функциясы да бола алады, себебі: болған жағдайда векторлық функцияны басқа бір векторлы өрісітің роторы ретінде қарастырамыз. Онда оны системадағы бірінші теңдікке қойсақ:
- екі реттік векторлыќ көбейтінді.
Векторлық көбейту ережесі бойынша екі реттік векторлы көбейтінді мынаған тең:
Егер өрістің көзі жоќ екенін ескерсек, =0 , онда:
Сонымен, өріс теңдеулерінің шешімі болып, векторлары мына тењдіктермен аныќталатын өрістер қарастырылады: , . Біраќ м±ндаѓы cкалярлы функциясы мен векторының проециялары Лаплас теңдеуін қанағаттандыруы қажет, яѓни:
;
,,.
Бұл теңдеулер өрістің көзі жоқ екенін, әрі құйын жоқ екендігін көрсетеді.
4) Кеңістіктің бір бөлігіндегі векторлық өріс жалпы т‰рде мына теңдеулер системасымен өрнектеледі.
. (6)
Векторлық өрістерге арналған Гельмгольц теоремасы бойынша, кез-келген векторлық өрісті потенциалды және қ±йынды өрістердің қосындысы ретінде ќарастыруға болады. Онда б±л (6) тењдеудіњ шешімі болатын векторлық функция екі вектор қосындысы ретінде мына түрде жазылады:
. (7)
Б±л функцияны (1) теңдеулер системасындағы теңдіктерге ќоямыз:
А) Бірінші тењдік б±л жаѓдайда былай жазылады:
,
тењдіктіњ сол жаѓындаѓы векторлар ќосындысынан алынѓан ќ±йынды – векторлардыњ ќ±йыныныњ ќосындысымен алмастырамыз, онда б±л соњѓы тењдігіміз былай жазылады:
. (8)
¤рістіњ потенциалды бµлігініњ ќ±йыны жоќ болѓандыќтан (5)тењдіктіњ сол жаѓындаѓы бірінші м‰ше нольге айналады, яѓни:. Олай болса екінші м‰ше былай жіктеледі:
,
егер болса, онда тењдеу шарты бойынша:. Бұл теңдеу өріс құйынын анықтайтын векторлық потенциалдың тығыздығын анықтайды, яғни өрістің құйынды екенін көрсетеді.
Б/ (7) µрнек т‰рінде берілген шешімді (6) тењдеудегі екінші тењдікке ќоямыз:
,
векторлар ќосындысынан алынѓан дивергенцияны – векторлар дивергенциясыныњ ќосындысымен алмастырамыз:
,
егер іздеп отырѓан µрісті болатындай етіп алсаќ, онда б±л тењдіктіњ сол жаѓындаѓы екінші м‰ше нольге айналады. Олай болса есеп шарты бойынша:
, яѓни .
Демек, векторлық өріс көзін анықтайтын скаляр функция Пуассон тењдеуін ќанаѓаттандыруы ќажет.
Баќылау с±раќтары:
1) Гамильтон операторы не ‰шін пайдаланылады?
2) Потенциальды µріс тењдеуі ќалай жазылады?
3) Потенциалды µріс тењдеуініњ шешімі ќалай аныќталады?
4) Т‰тікшелі µріс дегеніміз не, оныњ тењдеуі, шешімі?
5) Лапластыќ µріс дегеніміз не, оныњ тењдеуі ќалай жазылады?
6) Векторлы µрістіњ жалпы т‰рдегі тењдеуі, оныњ шешімі?
7) Векторлы µрістіњ скалярлы потенциалы дегеніміз не?
8) Векторлы µрістіњ векторлы потенциалы дегеніміз не?
Нег.әдеб.6[25-27]
5 –Дәріс
Тақырыбы: Тұрақты токтың электр өрісі, және оның дифференциалды заңдары
Дәріс конспектісі. Геофизикалық барлау практикасында жер қабатының әрекеттілігін зерттеу үшін тұрақты электр тогы кеңінен қолданылады . Мұнда жер қабаты әртекті көлемдік өткізгіш ретінде қарастырылады. Көлемдік өткізгіштен өтетін электр тогының өрісі жердің беткі қабатында зерттеледі. Ток пен өріс арасындағы байланысты өрнектейтін заңдылықтар көлемдік өткізгіштің нүктелі облыстарына қатысты жазылады, себебі олар туғызатын өрісті және өте кіші өлшемді өткізгішті біртекті деп қарастыруға болады. Бұл заңдылықтарды қарастырып отырған кеңістік бөлігіне кеңейту үшін алынған өрнектерді белгілі бір шекаралық жағдайда интегралдау қажет. Нүктелі облыстарға қатысты жазылған заңдылықтар электр тогы тудыратын өрістің дифферециалды заңдылықтары, ал интегралдау арқылы бүкіл облысқа арналып жазылған заңдылықтар интегралдық заңдылықтар деп аталынады.
Ток сызығы мен тығыздығы
Зарядтардың реттелген қозғалысын электр тогы дейміз, ал олардың траекториясын ток сызықтары деп атаймыз. Ток сызықтарының бағыты-оң зарядтардың қозғалыс бағытын немесе сол нүктедегі ток бағытын анықтайды.
Ток сызықтарымен көлемдік өткізгіштегі ток өрісі сипатталады. Бүл өрісте ұзындығы көлденең қимасы dS, болатын кішкене цилиндр аламыз. Ондағы цилиндрден ағып өтетін токтың көлденең қимаға dS қатынасы ток тығыздығын береді:
. (1)
Ток тығыздығы векторлық шама, ол ток сызығына сол нүктедегі жанама болып есептелінеді.
Егер ток тығыздығы - белгілі болатын болса, онда ток шамасы бүл вектордың өткізгіштің көлденең қимасы арқылы өтетін векторлық ағынына тең, яғни (2), ал бүкіл қима бойынша өтетін ток бұл (2)-өрнекті интегралдау арқылы алынады.
. (3)
Ом заңының дифференциалды түрі
Әртекті өткізгіштен алынған өте кіші өлшемді цилиндрді біртекті өзек ретінде қарастырамыз (сызықты өткізгіш). Оған өзімізге белгілі Ом заңын қолданатын болсақ, ол былай жазылады:
I= , онда dI = - , (4)
Мүндағы : -- потенциалдың өзгерісі, ал теріс таңба (-) потенциалдың азайуын сипаттайды, -өзектің кедергісі, оның шамасы мынаған тең:
R = ,
бұл теңдікті еске алсақ, (4) өрнек былай жазылады :
dI = - dS,
мұндағы = Е - өріс кернеулігі. Олай болса теңдіктің сол жағы (1) теңдік бойынша ток тығыздығын береді , онда мынадай векторлық қатынас аламыз:
= , (5)
немесе сыртқы күштер ток жүруіне әсер еткен жағдайда мынандай векторлық теңдік орындалады:
= +
Сонымен (5) ток тығыздығы мен өріс кернеулігінің байланысын көрсететін заңдыльқты Ом заңының дифференциалды түрі дейміз.
Декартты координаталар системасында бүл заңдылық векторлардың осьтегі проекцияларына байланысты мынадай үш теңдеумен сипатталады.
Бұл теңдеулер і және Е векторлары бағыттас болатын изотропты өткізгіштер үшін орындалады.
Ал табиғи жағдайдағы өткізгіштер - анизатропты, яғни меншікті электрөткізгіштік ү-әр бағытта әртүрлі, ток тығыздығы және кернеулік векторлары бір-бірімен бұрыш құрайды. Бұл жағдайда өткізгіштің әр нүктесінде ү ең үлкен немесе ең кіші , аралық мәнге ие болатын бір-біріне перпендикуляр үш бағыт көрсетуге болады. Оларды электрөткізгіштік осьтер немесе негізгі бағыттар деп атаймыз. Егер ток негізгі бағыттың бірімен өтсе, ток тығыздығы өріс кернеулігінің бағытымен анықталады , онда Ом заңы мыиа түрде жазылады.
;
, , -ең үлкен, кіші, аралық электрөткізгіштік немесе электрөткізгіштік тензордың диагональдық мәндері.
Дифференциалды түрдегі Кирхгофф заңы
Кирхгофтың бірінші заңы.
Ол тізбектегі сызықтық өткізгіштердің кез келген нүктесінде электр зарядтарының жойылмайтындығын көрсетеді. Зарядтардың бұл қасиеті көлемдік өткізгіштер үшін де сақталады. Егер көлемдік өткізгіштегі ток нольге тең болмаса, онда оның мәні ток тығыздығынан векторлық ағын ретінде анықталады немесе бетпен шектелетін көлемдегі зарядтардың уақыт бойынша өзгерісі ретінде де анықталады. Ол мынандай интегралдық түрдегі теңдеуге алып келеді :
(6)
Бұл Крихгофтың бірінші заңының интегралдық түрдегі жазылымы.
Мұндағы р-заряд тығыздығы , (-) таңба оң зарядтардың азаюын көрсетеді. Егер Остроградский - Гаусс өрнегін еске алсақ, сол жақтағы бет бойынша алынған интегралды көлемдік интегралға ауыстырамыз:
(7)
Бұл екі интеграл бір-біріне тең, егер интеграл астындағы шамалар тең болса, яғни :
(8)
Бұл теңдік Кирхгофтың бірінші заңының дифференциалды түрі.
Егер ток уақыт бойынша өзгермейтін тұрақты болса онда бұл заң былай жазылады:
яғни тұрақты ток тығыздығының күш сызықтары тұйық - үзілмейді.
Кирхгофтың екінші заңы.
Тұйықталған контурде электр өрісінің кернеулігінің айналымы нольге тең, себебі тізбектегі потенциалдың өсуі мен кемуінің алгебралық қосындысы нольге тең.
Онда бұл заңдылық былай жазылады:
(9)
Бұл Кирхгофтың екінші заңының интегралдьқ жазылымы.
Егер Стокс теоремасын пайдалансақ, онда тұйық сызық бойынша алынған интегралды беттік интегралмен алмастыруға болады, яғни:
Бұл тепе - теңдік мына жағдайда орындалады, егер rot . (10)
Соңғы өрнек Крихгофтың екінші заңының дифференциалды жазылымы болып есептелінеді, ол тұрақты токтың электрлік өрісі құйынсыз екенін көрсетеді.
Джоуль-Ленц заңының дифференциалды түрі
Сыртқы және электр күштерінің қуаты зарядтардың қозғалысы арқылы сызықтық өткізгішті тізбекте толық жылуға айналады. Бұл заңдылық көлемдік өткізгіштерден гұратын тізбекке де орындалады. Элементар өткізгішті қыздыратын ток қуаты мына өрнекпен аныталады:
. (11)
Мұндағы кедергі : , онда (11) өрнек мына түрде жазылады:
.
Теңдіктің екі жағында өзектің, яғни цилиндрдің көлеміне бөлсек,онда бірлік көлемді қыздыратын ток қуатын аламыз :
. (12)
Ом заңын қолданатын болсақ: . (13)
Онда Джоуль-Ленц заңының дифференциалды түрін аламыз:
;
демек бірлік көлемдегі электрлік және сыртқы күштердің қуаты толығымен оны қыздыруға жұмсалады.
Тұрақты токтың біріккен заңы
(5) жэне (8) өрнекпен анықталатын Ом және Кирхгоф заңын біріктіруге болады, бірақ ток тығыздығын жалпы түрдегі өрнекпен аламыз, мұндағы электр өрісі кернеулігін скалярлы потенциалдың градиенті ретінде теріс таңбамен алсақ, , онда Кирхгофтың 1-заңын былай жазамыз :
, (14)
Ест = 0, онда тұрақты ток үшін бұл теңдік былай жазылады:
,
ал өткізгіш изотропты болса, онда = const, сондықтан теңдеу мына түрге ие болады:
.
Демек, біртекті изотропты өткізгіштегі токтың электр өрісінің потенциалы Лаплас теңдеуін қанағаттандыруы қажет.
Ал анизотропиялық орта үшін біріккен заң былай жазылады:
(15)
Бұл теңдеулер белгілі бір шекаралық шарттарда ғана шешіледі, ол шешім дүрыс және жалғыз ғана болады. Демек, дифференциалды теңдеу шешімі шекаралық шарттармен анықталады. Мынандай шекаралық шарттар бар:
1) бір беттен екіншіге өткенде жапсарда потенциалдың үзілуі э.қ.к.-тең, яғни :
Бақылау сұрақтары:
Нег.әдеб. 6[139-147]
6- дәріс
Тақырыбы: Тұрақты токтың магнит өрісі. Био-Савар заңы.
Дәріс конспектісі:Тұрақты электр тогын тудыратын зарядтардың реттелген қозғалысы уақыт бойынша тұрақты магнит өрісін тудырады. Бұл өрістің кернеулігі Био-Савар заңы бойынша анықталады, ол ток элементіне арналған. Сондықтан өткізгіштің сызықтық, көлемдік, жазықтық болып келуіне байланысты Био-Савар заңының жазылымы да әртүрлі.
а) Сызықтық токтың магнит өрісі
Сызьқтық өткізгіште тұрақты электр тогы болсын. Одан ұзындығы -тең элементар өткізгіш кесіп қарастырамыз. Токтың элементар өткізгіш ұзындығына көбейтіндісін -ток элемент дейміз. Био-Савар заңы бойынша ток элементінің -қашықтықта тудыратын магнит өрісінің кернеулігі мына өрнекпен анықталады:
. (1)
Мұндағы: с-электродинамикалық тұрақтылық, сандық мәні вакуумдегі жарық жылдамдығына тең; -қарастырылған нүктеге дейінгі арақашықтық; -ток элементі мен -радиус вектор арасындағы бұрыш.
Бұл (1) теңдеуді векторлық түрде жазуға болады. Ол үшін -ға ток бағытын береміз, ал -векторын ток элементінен қарастырылатын нүктеге қарай бағыттаймыз. Сонда магнит өрісінің бағыты бұранда ережесімен анықталып, былай жазылады:
; (2)
Кернеулік векторы ток элементі және векторлары құрайтын параллелограмм жазықтығына перпендикуляр. Егер (2) теңдеуді бүкіл өткізгіш ұзындығымен интегралдайтын болсақ, онда сызықтық токтың магнит өрісінің кернеулігін аламыз, яғни:
. (3)
б) Көлемдік электр тогы тудыратын магнит өріс
Оны анықтау үшін электр өрісінен үзындығы -ға, қимасы ауданы -тең болатын цилиндр кесіп аламыз.Егер щилиндрден ағып өтетін ток шамасы, сол цилиндр ұзындығымен бағытталған ток тығыздығымен анықталса, онда ток элементі болып - -көбейтіндісі алынады. Ал бұл ток элементі тудыратын -қашықтықтағы магнит өрісі кернеулігі Био-Савар заңы бойынша былай анықталады:
. (4)
dldS0-көбейтіндісін -цилиндр көлемімен алмастырып, ал ток элементі бағытын ток тығыздығы бағытымен байланыстырамыз. Онда (4) теңдеу векторлық түрде былай жазылады.
; (5)
(5) теңдеуді интегралдау арқылы тогы бар көлемдік өткізгіш тудыратын магнит өрісінің кернеулігін анықтаймыз:
. (6)
в)Жазық токтың магнит өрісі
Егер электр тогы жазьқтық арқылы өтсе, онда ] жазықтықтағы
ток тығыздығы ұғымын енгіземіз. Жазықтықтан ұзындығы , ені болатын аудан кесіп аламыз. -қашықтықтағы нүктеде ток элементі - -магнит өрісін тудырады, оның кернеулігі Био-Савар заңы бойынша былай анықталады:
. (7)
-көбейтіндісін -ауданымен алмастырып , ток элементі бағытын -векторы бойынша анықтап, (7) теңдеудің векторлық жазылымын аламыз:
(8) өрнекті бет бойынша интегралдап жазық ток тудыратын магниттік өрістің кернеуін аламыз:
. (8)
Векторльқ потенциал.
Магнит өрісін Био-Савар заңынан басқа векторлық потенциал арқылы да есептеуге болады. Ол үшін магнит өрісіні кернеулігін потенциал арқылы өрнектейді, яғни :. (9)
Векторлық потенциал өрісті зерттеуін жеңілдететін көмекші векторлық функция. Сонымен қатар соңғы өрнекті векторлық потенциалды өріс кернеулігі арқылы өрнектеу деп те түсінуге болады. Сондықтан магнит өрісі кернеулігі электр тогы арқылы анықталғандықтан, векторлық потенциал да ток арқылы мына өрнектермен анықталады:
; (10) ; (11) ; (12).
Векторлық потенциал да скалярлы потенциал тәрізді Лаплас немесе Пуассон теңдеулерін қанағаттандырады, тек айырмашылығы көздері векторлық шама болады:
немесе декартты координаталар системасында вектор проекцияларына арналған теңдеулер былай жазылады: .
Сонымен қатар (9) өрнектің екі жағынан да құйын аламыз, онда . Өрнектің оң жағы векторлық ереже бойынша жіктеледі:
, егер өрістің түтікшелі екенін еске алсақ div , онда :
немесе . (13)
Бұл Био-Савар заңының дифференциалды жазылымы, ол тұрақты ток тудыратын магнит өрісінің құйынды екенін көрсетеді..
Егер (13) теңдеудің екі жағынан да бет бойынша интеграл алсақ, онда:
.
Бұл интегралдың сол жағы Стокс теоремасы бойынша магнит өрісінің кернеулігінің циркуляциясын береді, ал оң жағы ток шамасын көрсетеді. Олай болса:
. (14)
Бұл Био-Савар заңының интегралды жазылымы.
Тұрақты ток тудыратын магнит өрісі құйынды болғанмен, тогы жоқ нүктелерде ол құйынсыз. Сондықтан оны скалярлы потенциал арқылы да зерттеуге болады. Бұл жағдайда магнит өрісінің кернеулігін былай көрсетеміз: . (15)
Егер бұл теңдіктің екі жағынан да дивергенция алсақ, онда мынандай жазылым аламыз:
немесе U = 0.
Соңғы теңдіктен скалярлы потенциалдың Лаплас теңдеуін қанағаттандыруы қажет екені байқауға болады.
Бақылау сұрақтары:
Нег.әдеб. 6[181-189]
7- Дәріс
Тақырыбы: Айнымалы токтың электромагниттік өрісі. Ығысу тогы.
Максвелл теңдеулері.
Дәріс конспектісі: Айнымалы электр тогы уақыт бойынша өзгермелі магнит және электр өрістерін тудырады. Тұрақты токтың электрлік және магниттік өрістерін бір - бірінен тәуелсіз қарастыруға болады. Ал айнымалы токтың электрлік және магниттік өрістерін теория жүзінде бір бірінен тәуелсіз қарастыра алмаймыз, себебі олар біріккен электромагниттік өріс құрайды. Сондықтан олардың теориялық негізі де ортақ.
Электромагниттік өріс теориясын алғаш жасаған Максвелл, оның негізі Максвелдің екі постулатынан тұрады:
Айнымалы электромагниттік өрістің ерекшелігі болып - оның айнымалы ток контурынан бөлініп, ортаға жарық жылдамдығымен толқын түрінде таралу қасиеті саналады. Өрістің бұл қасиеті токтың жиілігіне байланысты, төменгі жиіліктегі токтарда бұл қасиет байқалмайды. Өріс электромагниттік толқын түрінде таралады. Электррмагниттік толқын өзінің қасиеті бойынша жарық толқындары тәрізді сынады, шағылысады және жұтылады. Мұндай сәйкестік толқындар табиғатының бірдей екендігін көрсетеді. Осыған байланысты жарықтың электромагниттік теориясы пайда болды, яғни жарық туралы ілім – электромагниттік ілімнің бір бөлігі болып қалды.
Ығысу тогы.
Жаңа теория ғылымға жаңа ұғым алып келеді. Максвелл теориясының жаңа үғымы- ыгысу тогы болып саналады. Бұл ұғымға толық түсінік беру үшін конденсатор жалғанған айнымалы ток тізбегін қарастырамыз.
Токты зарядтардың реттелген қозғалысы ретінде қарастыра отырып, контурдағы ток конденсатор жиегіне келгенде үзіліп қалады деп есептеуге болады. Осыған байланысты Кирхгофтың бірінші заңы орындалмайды. Ал Максвелл теориясы бойынша ток үзілмейді, ол зарядтардың реттелген қозғалысы арқылы емес, ыгысу тогы арқылы жалғасады.
Ыгысу тогы деп конденсатордың қабаттар арасындағы электр өрісінің уақыт бойынша өзгерісін айтамыз.
Егер конденсатор қабаттарындағы заряд шамасы өзгерсе, онда қатпарлар арасында электр өрісінің уақыт бойынша өзгерісі пайда болады. Мұндай жағдайда өткізгіштегі жаңа ток шамасын конденсатор қатпарындағы зарядтардың уакыт бойынша өзгерісімен сипаттаймыз.
(1)
Мүндағы : Q-заряд, электростатикалық заңдылық бойынша қатпардағы заряд шамасы мына өрнепен анықталады:
мүндағы: S-қатпар ауданы, D-электр индукциясы. Олай болса (1) теңдеу былай жазылады:
. (2)
Токты анықтауда зарядтан (Q ) электрлік индукцияға (D) көшудің физикалық мэні бар: мұнда ток конденсатор қатпар арасындағы электр өрісінің уақыт бойынша өзгерісімен сипатталып тұр, себебі :; олай болса (2) теңдеу конденсаторға арналған Кирхгофтың I заңын береді.
(2) теңдеудің сол жағын да конденсаторға ағып келген ток( ) тұр, Максвелл теориясы бойынша бұл- өткізгіштік ток, ал оң жағында конденсатор қатпары арасындағы диэлектрик бойынша ағып өтетін ығысу тогы тұр. Мұндағы:-электрлік ығысу векторы деп аталынады, ал оның уақыт бойынша туындысы - ығысу тогының тығыздығын береді;
Демек, ток ұғымы туралы жалпы қортынды, айнымалы ток үшін Био-Савар заңын да дифференциалды түрде жазуға мүмкіндік береді.
Айнымалы ток үшін Кирхгофтың 1 заңының дифференциалды жазылымы .
Егер ығысу тогы деп электр өрісінің уақыт бойынша өзгерісін түсінсек, онда өткізгіште де, диэлектриктерде де электр өрісі уақыт бойынша өзгерсе, онда ығысу тогы пайда болады.
Егер кез келген диэлектриктің де электр өткізгіштігі бар екенін ескерсек, онда ығысу тогы мен қатар, өткізгіштік ток та қатар жүреді. Ал өткізгіштерде бүл токтар әрқашанда қатар болады.
Сондықтан өткізгіштік ток пен ыгысу тогының тығыздьқтарының қосындысын -тольқ ток тығыздығы немесе толық ток деп атаймыз.
Онда Крихгофтың I заңы дифференциалдық түрде толық ток үшін былай жазылады:
div = - ;
заряд тығыздығын статикалық өріс көзін анықтайтын теңдік арқылы былай өрнектейміз: div = 4 , ,
онда жоғарыда көрсетілген Крихгофтың I заңы былай жазылады:
div = - ; (3)
Теңдіктe ығысу векторынан уақыт бойынша туынды толық түрде емес, жеке туынды түрде алынып тұр , себебі бұл вектор (D) координатаға да тәуелді. Соңғы теңдікті өзгертіп, яғни оң жағындағы жазылымдағы дивергенция мен туынды орнын алмастырып, оны теңдіктің сол жағына шығарып, дивергенциялар қосындысын, векторлар қосындысының дивергенциясымен алмастырамыз:
div+ = 0.
div (+ = 0 . (4)
Сонымен, соңғы теңдікте толық ток тығыздығынан алынған дивергенция нольге тең болып тұр, олай болса, айнымалы токтың да, толық токтың да күш сызьқтары тұйықталған, өріс түтікшелі.
а) Максвеллдің I теңдеуі
Ол Био-Савар заңын айнымалы токқа қолданудан шығады. Максвеллдің тұжырымдауы бойынша ығысу тогы да өткізгіштік ток тәрізді магнит өрісін туғызады. Олай болса, магнит өрісінің күш сызықтары тек токты өткізгішті ғана қамтымайды, конденсатор қабаттары арасындағы айнымалы электр өрісін де қамтиды. Бұл тұжырым практикада негізінде дәлелденді.
Ығысу тогы Джоуль-Ленц заңы бойынша жылулық эффект бермейтін болғандықтан, оны магнит өрісі пайда болуымен анықтайды. Осыған байланысты магнит өрісінің кернеулігінің циркуляциясын толық ток арқылы анықтаймыз. Тұрақты ток үшш Био-Савар заңының интегралдық жазылымы мына өрнекпен жазылыда:
; (5)
Бұл өрнектегі I —ток, оны толық токпен, яғни өткізгіштік және ығысу токтарының қосындысымен алмастырамыз. Толық ток мына интеграл арқылы анықталады:
J = .
Онда (5) теңдік мына түрде жазылады:
. (6)
Екінші (6) теңдеудің сол жағындағы интегралды Стокс теңдеуі бойынша беттік интегралға айналдыруға болады, яғни:
ds,
онда (6) теңдік былай жазылады;
ds = . (7)
Бүл теңдік кез-келген контур үшін орындалады, астындағы шамалар өзара тең болса, яғни:
=
Нормальдық кез келген бағыты үшін бүл векторлар өзара тең болса,онда векторлар да өзара тең, яғни:
rot = (+ (8)
(8)-өрнек Био-Савар заңының айнымалы ток үшін дифференциалдық жазылымы, немесе Максвеллдіц бірінші теңдеуі.
Бүл теңдеудің мынандай физикалық мағнасы бар:
магнит өрісін тек ғана қозғалыстағы зарядтар тудырмайды, уақыт бойынша өзгермелі электр өрісі де тудырады.
б) Максвеллдің екінші теңдеуі
Ол дифференциалды түрде жазылған индукция заңы болып саналады. Заң бойынша контурда пайда болған э.қ.к. магнит индукциясының ағынының бірлік уақыттағы өзгерісіне тең, теріс таңбамен алынған, яғни:
. (9)
Ал Максвелл болса, э.қ.к. пайда болуын уақыт бойынша өзгермелі магнит өрісінде құйынды электр өрісінің тууымен түсіндіреді. Құйынды өрістің күш сызықтары өзімен өзі тұйықталғанда магнит индукциясы векторының өзгермелі ағынын қамтиды. Осыған байланысты индукция э.қ.к. -құйынды өрістің циркуляциясымен алмастырылады, яғни:
Магнит ағыны- магнит индукциясынан бет бойынша интегралмен алмастырылады, яғни:
Ф = .
Осы алмастыруды орындасақ, онда индукция заңын Максвелл түсінігі бойынша аламыз:
. (10)
(10) теңдіктің сол жағын Стокс теоромасы бойынша беттік интегралға айналдырамыз. Онда (10) теңдік былай жазылады:
ds = -
Бұл теңдік кез-келген өлшемдегі бет үшін орындалады, егер интеграл астындағы шамалар өзара тең болса, яғни:
rotn= -;
яғни кез-келген нормаль бағыты үшін де бұл екі вектор өзара тең, яғни:
rot = - ; (11)
(11) өрнек индукция заңының дифференциалдық жазылымы, немесе Максвеллдіц екінші тецдеуі.
Бүл теңдеудің физикалық мағнасы:
электр өрісін тек зарядтар ғана тудырмайды, уақыт бойынша өзгермелі магнит өрісі де тудырады.
- -шамасын магниттік ығысу тогы деп айтуға болады, ол пайда болғанда оның айналасында электр өрісі туады. (-) теріс таңба магниттік ығысу тогы магнит индукциясы уақыт бойынша азайғанда оң болатынын көрсетеді. Бұл ток пайда болған жерде айнымалы электр өрісі пайда болады.
Бұл Максвелдің екі теңдеуіне индукция көзі анықтайтын электростатикалық екі теңдеуді топтастырсақ, онда кез-келген ортадағы электромагниттік өрісті сипаттайтын Максвелл теңдеулер системасын аламыз.
div = 4 , rot =
div = 0 , rot ; (12)
Сонымен Максвелл тецдеулер системасы айнымалы өрістіц құйындарын анықтайды, яғни :
электр индукциясы өзгерген жерде құйынды магнит өрісі пайда болады, ал магнит индукциясы өзгерген жерде құйынды электр өрісі пайда болады.
Егер бұл системадағы өріс индукцияларының уақыт бойынша өзгерісі нольге тең болса, яғни :
=0 , =0,
онда тұрақты токтың электромагниттік өрісін сипаттайтын теңдеулер системасын аламыз, ол мына түрде жазылады:
rot =; rot = 0 . (13)
div = 0 ; div = 0.
Бақылау сұрақтары:
Нег.әдеб. 6[214-218]
8- Дәріс
Тақырыбы: Кернеуліктің толқындық теңдеулері
Дәріс конспектісі: Максвелл теңдеулерінің негізінде электр өрісі айнымалы магнит өрісін, ал ол өріс қайтадан айнымалы электр ерісін тудыратынын байқадық. Олай болса, кеңістікте бұл өрістер өзіндік алмасулар арқылы толқын түрінде таралады. Бұл толқын тогы бар контурмен байланысқан немесе одан бөлінген түрінде кездесуі мүмкін. Сондықтан Максвелл теңдеулерін ерекше түрде жазылған толқындық теңдеулер деп есептеуге болады.
Толқындық теңдеулер - өрістің таралуын сипаттайтын қозғалыс теңдеуі. Ол өріс кернеуліктерінің кеңістікте координата және уақыт бойынша өзгерісін дифференциалды теңдеулер арқылы өрнектейді Бұл дифференциалды теңдеулер шешімі кернеуліктердің кеңістікте өзгеру заңдылықтарын береді. Олай болса, өрісті жеңіл зерттеуге мүмкіндік беретін толқындық теңдеулерді Максвеллдің негізгі екі теңдеуінен шығарамыз. Ол үшін Максвелл теңдеулерін бейтарап ортаға арнап жазамыз, яғни бұл шарт бойынша заряд тығыздығы р=0, өткізгіштік ток тығыздығы:. Егер кернеулік пен индукция арасындағы байланыстарды еске алсақ; . Онда бұл жағдай үшін Максвелл теңдеулер систетемасы;
rot ; div .
rot ; div . (1)
Максвеллдің негізгі екі теңдеуіне rot операциясын қолданамыз, яғни теңдеудің екі жағынан да құйын аламыз:
rot rot ,
rot rot . (2)
rot белгісі функциядан координата бойынша алынған туындыны керсетеді. Олай болса теңдеудің оң жағындағы туынды алу кезегін езгертуге болады, онда бұл теңдеулер былай жазылады:
- ,
- . (3)
Енді теңдеудің оң жағындағы rot rot шамалары (1) теңдеулер системасындағы өрнектермен алмастырылады, яғни :
;
.
Мұндағы -Лаплас операторы. Теңдеудің екі жағындағы теріс таңбаларды қысқартатын болсақэ онда магниттік және электрлік кернеуліктердің таралуын сипаттайтын теңдеулерді аламыз, яғни :
;
. (4)
Мұндай теңдеулер толқындық теңдеулер делінеді, немесе оларды телеграфтық теңдеулер деп те атайды.
- шамасын толқынның фазалық жылдамдығы деп атаймыз. Вакуумде , онда электромагниттік толқынның таралу жылдамдығы жарық жылдамдығына тең.
Егер өріс кернеуліктері уақыттан тәуелсіз болса, онда (4) теңдеулер системасы тұрақты токтың өрістеріне арналған Лаплас теңдеуін береді.
Гармоникалық электромагниттік өріс
Электробарлау жұмыстарында уақыт бойынша гармоникалық заңдылықтармен өзрегетін өрістердің маңызы зор. Мұндай өрістер әрі қарапайым, әрі зерттеуге өте жеңіл. Ондағы кернеуліктердің уақыт бойынша өзгерісі мынандай көбейткіш арқылы жазылады:
е-iwt = cos wt – i sin wt;
Гармоникалық өрістегі кернеуліктерге арналған толқындық теңдеулерді жазу үшін оларды мына түрде өрнектеп:
е- iwt,
е- iwt (5)
уақыт бойынша туындыларын табамыз (электр өрісі кернеулігіне арнап жазамыз):
е – iwt) = е- iwt
=-iwt=-;
(5) теңдеулер системасындагы электр ерісі кернеулігіне арналған толқындық теңдеу былай жазылады:
+ немесе
,
онда электр және магнит өрісінің кернеуліктерінің толқындық теңдеуі былай жазылады:
, . (6)
Мұндағы: к - ортаның толқындық саны, ол мына коэффициенттермен анықталады:
к = = =
— ортаның сыну коэффициенті, — ортада жұтылу коэффициенті, олар комплексті санның түбірі ретінде анықталады:
n = ; ;
Егер ортаның электр өткізгіштігі {ү = 0) нольге тең болса, онда мұндай диэлектриктік ортада электромагниттік толқын сынады. Ал өткізгіштік ортада толқынның сыну да, жұлылуы да байқалады..
Электромагниттік өріс энергиясы
Электромагниттік толқынның таралуы - оның энергия тасымалдай алатынтындығын көрсетеді. Демек, электромагниттік өрістің энергиясы бар.
Оны сипаттау үшін энергия ағынының тығыздығы деген векторлық ұғым енгіземіз. Бұл вектордың бағыты - энергияның тасымалдану бағытымен сәйкес, ал шамасы - энергия тасымалданатын бағытқа перпендикуляр бірлік бет арқылы бірлік уақытта өтетін энергия мөлшеріне тең.
Онда электромагниттік өрістің энергиясының тығыздығы-электрлік және' магниттік өрістердің энергияларының тығыздығының қосындысына тең, яғни:
Егер бұл өрістің кездері біреу ғана болыпэ олардың кернеуліктерінің (Ежәне Н) өзгерулері бірдей фазада болса, онда кез келген уақыт үшін электрлік жэне магниттік өрістің энергиялары тығыздығы бірдей болады. Сондықтан электромагниттік өріс тығыздығын былай жазамыз:
. (7)
Мынандай өзгертулер енгіземіз: . Бұл теңдік орындалуы үшін теңдеудің алымдары тең болу керек ,
немесе :
Олай болса, электромагниттік ерістің энергиясының тығыздығы электрлік және магниттік ©ріс кернеуліктері арқылы былай жазылады :
Бұл энергия тығыздығын электромагниттік толқынның жылдамдығына көбейтсек, онда электромагниттік энергия ағынының тығыздығын аламыз, оны Умов- Пойттшшг векторы деп атаймыз. Ол - энергия қуатының бағытын, шамасын анықтайды.
. (8)
Бақылау сұрақтары:
Нег.әдеб. 6[228-231]
9- Дәріс
Тақырыбы: Электромагниттік өрістің толқындық қасиеттері
Дәріс конспектісі.:Скин-эффект - беттік құбылыс, ол -өткізгіштің көлденең қимасы бойынша айнымалы токтың біркелкі тарала алмайтындығын көрсетеді. Ток тығыздығы өткізгіш бетінен ішкі қабатқа қарай азаяды. Максвелл теориясы бойынша бұл құбылыс - диэлектриктен өткізгішке түскен электромагниттік өрістің өткізгіштік ортада жұтылуымен түсіндіріледі. Яғни электромагниттік өрісті толқын түрінде таралады десек, ол өткізгіштік ортаға түскенде жарық толқыны тәрізді жұтылады. Айнымалы токтың жұтылуы электрлік барлау жүмыстарында өз эсерін тигізеді, оның шамасының азаюы Жердің төменгі қабатының әртектілігін ажыратуға мүмкіндік бермейді.
Скин- эффект қүбылысын қарастыру үшін қалыңдығы h болатын шексіз қабат аламыз.
Координата басын оның бір қырына орналастырамыз. Онда ОХ бағыты бойынша электр өрісі, ал ОУ бағытымен магнит өрісі тербеледі. Олай болса, оларға перпендикуляр Z бағытымен гармоникалық электромагниттік өріс таралады. Мүндай өрістердің кернеуліктері мына заңдылықпен өзгереді:
,
() = . (1)
Мұндағы гармоникалық өрістің кернеуліктері тригонометриялық заңдылықпен өзгереді. Кернеуліктерді анықтау үшін электромагниттік толқынның ОZ бағытымен таралуын еске ала отырып, кернеуліктің толқындық теңдеуінің жалпы түрдегі мына жазылымын пайдаланамыз:
(2)
Мұндағы k = - ортаның толқындық саны, ал n, ортаның сыну және жұтылу коэффициенттері.
(2)-теңдеу- қарапайым дифференциалдық теңдеулер, оның шешімдері мына түрде жазылады:
(3)
Бүл шешім- жалпы түрде жазылып тұр, оны нақты түрде алу үшін А1 , А2 , В1, В2-коэффициенттерін анықтауымыз қажет.Ол үшін мынандай шекаралық шарттар қолданамыз:
1) Электр өрісі өткізгіш қырларында бірдей таралады, яғни Е(0)=Е(Һ).
2)Магнит өрісінің шамасы бірдей болғанымен, бағыттары қарама - қарсы:
Н(0)= - Н(һ).
Бұл шартты (3) теңдікке қойсақ:
Мұнан: В1=А1еikh,, В2 = - А2еikh..
Онда нақты шешімді былай жазуға болады.
(4)
жэне коэффициенттері арасында да байланыс бар. Оны Максвеллдің екінші теңдеуінен аламыз:
Нақты шешімді тригонометриялық функция е –iwt арқылы және жоғарыда көрсетілген өзгерістерді қарастыра отырып, былай жазамыз:
(5)
немесе:
(6)
Бұл соңғы теңдеулер магнит жэне электр өрістерінің кернеуліктері екі толқын арқылы өрнектеліп тұрғандығын көрсетеді.Оның бірі - өткізгіш бетінен таралса, екіншісі - һ тереңдікте таралады.Толқын амплитудасы беттен тереңдеген сайын азая түседі, себебі амплитуда өзгерісі - жұтылу коэффициентіне теуелді экспоненциалды заңдылықпен анықталады.
Сондықтан, электромагниттік толқын өткізгіштік ортаға түскенде жұтылады, электр өрісі екі толқынның косындысымен , ал магнит өрісі -айырмасымен өрнектеледі.
Егер өткізгіш қимасының қалыңдығы шексіз десек, онда жазықтық орнына жартылай кеңістік аламыз. Бұл жағдайда жазықтықтың төменгі қырынан тарайтын толқын жойылады, себебі функцияның шексіз дәрежесі нольге айналады. Онда электр өрісінің кернеулігі былай анықталады:
. (7)
Бұл теңдеуді былай өзгертіп жазуға болады:
E (z,t) = .
Өріс амплитудасы көрсеткіштік заң бойынша кемиді: .
Толқын амплитудасы тереңдеген сайын азайып қана қоймай, белгілі тереңдікте өзінің фазасын өзгертеді, яғни өрістің бағыты өзгереді .Бұл жағдайда фазаны теңестірсек, өрістің бағыты өзгеретін тереңдікті былай анықтаймыз: z=;
Диэлектриктер аралығында жазық толқынның шағылысуы мен сынуы.
Толқынды оның бетінің түрімен сипаттайды. Тербелістің нүктелік көзі біртекті ортада сфералық толқын тудырады. Айнымалы тогы бар тұйық тізбекті кеңістікте тербелістің нүктелік көзі ретінде қарастырсақ, одан тараған толқын сфералық болады. Сфераның ең кіші бөлігін жазықтық деп есептесек, одан таралатын толқынды – жазық толқын дейміз.
Тік бұрышты координаталар системасында жазық электромагниттік толқын ОZ-бағытымен таралсын, яғни толқын таралуы - уақыт жэне Z координатсына тәуелді.
ОХ-өсі бойынша электр өрісі , ОУ- өсі бойынша магнит өрісі бағытталған. Онда электромагниттік өрістің таралу бағытымен сәйкес келетін Умов-Пойнтинг векторы ОZ-өсімен бағытталып, бұл үш векторлар өзара перпендикуляр болады.
Электр өрісі тербелетін ХОZ-жазықтығы тербеліс жазьқтығы деп аталынады, ал магнит өрісі тербелетін ХОY жазықтығы-поляризация жазықтығы делінеді.
Электр жэне магнит өрісінің кернеуліктерінің толқындық теңдеулері мынандай түрде жазылады:
(8)
Бұл теңдеудің шешімдері мына түрде алынады:
; . (9)
Мұндағы ; вакуумде , онда .
Демек, электромагниттік толқынның жылдамдығы жарық жылдамдығына тең.Осыған байланысты Максвелл электромагниттік толқын мен жарық толқынының табиғаты бірдей деген тұжырымға келген.
Вакуум және ортадағы толқынның таралу жылдамдықтарының қатынасы сыну коэффициентін анықтайды. Диэлектриктер үшін бұл қатынас - Максвелл заңы деп аталынады:
Егер қарастырылып отырған толқын гармоникалық болса, онда (9) теңдеу шешімдері мына түрде жазылады:
; . (10)
Егер толқын ОZ'-бағыты бойынша таралса, онда бүл бағыт өстермен бұрышын жасайды. Онда (10) шешімге Z қашықтықтың орнына шамасы мынаған тең Z'қашықтығы қойылады: . Осыған байланысты кернеулік өрнектері былай жазылады.
Жазық толқын бір диэлектриктік ортадан екіншісіне жеткенде шағылысады және сынып екінші диэлектриктік ортаға өтеді. Максвелл теориясы арқылы оптикалық шағылысу жэне сыну заңдарын да анықтауға болады.
Ол үшін екі диэлектрик арасы жазық және олар біртекті деп саналады. ХОУ-координата жазықтығын шекарамен байланыстырамыз. Толқын бірінші диэлектриктен екіншіге координата өсьтерімен мынадай бұрыш жасап түседі: .;
Шағылысқан толқын координата өсьтерімен мынадай бұрыштар жасайды: ; Сынған толқынға тән бұрыштар - .
Онда бұл толқындарға арналған кернеулік өрнектері былай жазылады:
1. Түскен толқын үшін:
2. Шағылысқан толқын үшін:
3. Сынған толқын үшін:
Z=0 жазықтығында, яғни толқынның түсу нүктесінде бұл үш толқынның фазасын кез-келген уақыт үшін бірдей болу керек, демек:
Егер х, у бір-біріне тәуелсіз десек, онда мынандай қатынас аламыз:
Бұл системадан мынандай теңдіктер шығады:
,
Сонымен, түсу бұрышын - , шағылу бұрышын - , ал сыну бұрышын - деп белгілесек, онда:
- толқынның түсу бұрышы мен шағылысу бұрышы өзара тең ;
- түсу және сыну бұрыштарының синустарының қатынасы түрақты шама, ол түскен жэне сынған толқын жылдамдықтарының қатынасына тең, яғни ;
- түскен, сынған жэне шағылысқан толқын бағыттары толқын түскен нүктеге тұрғызылған перпендикулярмен бір жазықтықта жатады.
Бақылау сұрақтары:
Нег.әдеб. 6[231-239]
10- Дәріс
Тақырыбы: Серпінділік теориясы элементтері. Деформацияның қарапайым
түрлері
Дәріс конспектісі: Кез-келген дене сыртқы күш әсерінен деформацияға ұшырайды. Бұл кезде дененің жеке бөліктері бір-бірімен салыстырғанда ығысады. Ығысу шамасы дененің осы бөлігіндегі деформацияны сипаттайды.
Деформация кезінде қатты денелердің пішіні мен көлемі өзгереді, ал сұйықтардың - тек көлем ғана өзгереді, себебі олардың пішіні шектеуші ыдыстың немесе қабырғалардың пішініне тәуелді.
Сыртқы күш әсерін жойған кезде дененің алғашқы өлшемі жартылай немесе толық орнына келеді. Дененің қалпына қайта келуге ұмтылу қабілетін серпінділік қасиеті дейміз. Толық қалпына келген денені серпінді, жартылай қалпына келген денені - жартылай серпінді дейміз .
Табиғатта абсолютті серпінді дене жоқ, себебі деформация күші ұлғайған сайын деформация шегі байқалады, оның шамасы дененің физикалық қасиеттеріне байланысты. Сондықтан деформация шегіне жеткенше денені серпінді деп қарастыруға болады.
Дененің бетінің бірлік ауданына келетін сыртқы күш әсерін кернеулік дейміз. Сондықтан кернеулік - деформацияны сипаттайтын шама.
Сыртқы күштің уақыт бойынша өзгерісі бір мезгілде байқалмайды, себебі сыртқы күш әсері түсірілген нүктеден дененің басқа нүктелерге белгілі бір жылдамдықпен серпінді толқын түрінде келіп жетеді.
Сондықтан серпінділік теориясының негізгі мақсаіы деформацияны, кернеулікті, серпінді толқындарды сыртқы күш әсеріне байланысты анықтау.
Өзектің (стержень) тартылуы.
Тәжірибеде өте жете зерттелген деформация болып - дөңгек қимасы бар өзектің немесе сымның тартылуы саналады.
Өзектің жоғарғы бөлігін бекітіп, оның төменгі бөлігінің бүкіл көлденең қимасына бірқалыпты етіп, тартушы F-күшін түсірейік. Тәжірибеге сәйкес күшітің мәні өскен сайын оған пропорционал - өзектің ұзаруы да өседі, қаттылық шегіне жеткенше бұл процесс жүре береді.
Егер бұл заңдылықты графика түрінде кескіндесек, ол былай кескінделеді:
1) оа-бөлігінде күш пен деформация арасындағы пропорционалдық сақталады;
2) ав- бөлігінде деформация әсерінен өзек созылуы күштің өсуіне қарағанда тезірек жүреді;
3)вс—бөлігінде күш түсірмеген жағдайдың өзінде өзектің созылуы жүреді, яғни деформация ұлғаяды. Бұл құбылыс дененің пластикалық агуы деп аталынады;
4) с- нүктесіне жеткенде дене қатаяды, оны созу үшін тағы да күш жұмсау қажет;
5) d - нүктесінде дене бұзыла бастайды, енді ешқандай күшті көбейтпей -ақ, оны азайтқан жағдайда да дененің жіңішкерген жерлерінен оның үзілуін байқауға болады.
Сонымен өзектің деформациясын тәжірибе жүзінде зерттей отырып, атақты ғалым Гук мынандай заңдылық ашты:
= Р 0 , (1)
яғни өзектің ұзару шамасы түсірілген кернеулікке тура пропорционал деген тұжырымға келді.
Мұндағы: - өзектің алғашқы ұзындығы, - дененің сызықтық созылу коэффициенті; Р - созушы кернеулік, оның мәні сыртқы түсірілген күштің өзектің көлденең қимасының ауданына қатынасымен өлшенеді, яғни: Р=.
Сызықтық созылу коэффициентіне кері шаманы созылу модулі немесе Юнг модулі дейміз, оның мәні мына өрнекпен анықталады: : Е = .
Онда ұзарған өзектің ұзындығы деформациядан кейін мына өрнекпен анықталады:
=0 (1+P) = 0 + ,
Мұндағы: P = - өлшем бірлігі жоқ, бірден кіші шама. Себебі созылу модулін Е- кернеуліктің өлшем бірлігімен алу қалыптасқан.
Созылу өзектің көлденең өлшемінің қысқаруына алып келеді. Тәжірибеге сүйенсек, қысқару созушы кернеулікке пропорционал, яғни
d = -Pd0 немесе d = d (1-p), (2)
мұндағы: d және d -өзектің созылғаннан кейінгі және бастапқы диаметрі; Р- материалдың көлденең қысылу коэффициенті; P - бір шамасымен салыстырғанда өте аз, өлшем бірлігі жоқ.
Материалдың көлденең қысылу коэффициентінің сызықтық созылу коэффициентіне қатынасы Пуассон коэффициенті деп аталады, ол мына түрде жазылады:
Есептеулер жүргізгенде Пуассон коэффициентінің тек тәжірибе жүзінде алынған - мәндері ғана қолданылады.
Ал кернеулік болса барлық жағдайда көлденең қимаға перпендикуляр бағытта емес, сондықтан оның мәні қиманың бағытына тәуелді. Өзектің ұшы көлбеу болсын. Ьұл жағдайда кернеулік:
PI= = cos
Ал бұл кернеуліктің қимаға жанама және нормаль бағыттағы проекциясын қарастырсақ , онда олар былай анықталады:
P, t = PI sin = cossin
P n = PI cos = cos2
Р жанама кернеулік, кейде оны сыну кернеулігі дейді, сұйық пен газдарда бұл кернеулік болмайды, себебі онда қысым барлық бағытта бірдей таралады.
Pn -- нормаль кернеулік, ол қатты денелерде және сұйықтарда таралады.
Ығысу – деформацияның бiр түрi болып есептелiнедi. Онымен танысу үшiн тiк бұрышты параллелепипедтiң төменгi бетiн горизонталь жазықтыққа бекiтемiз. Ал жоғарғы бетiне горизонталь F күшiн бүкiл беттiң ауданы бойынша бiркелкi етiп түсiремiз. F/S – қатынасы арқылы параллелепипедтiң жоғарғы қырына, немесе кез-келген қиындыдағы қырына түсiрiлген жанама кернеулiктi белгiлеймiз:
Pt= .
F- күшiн параллелепипед жақтарына параллель деп есептеп, оның сол жақтар бағытына қисаюын қарастырамыз.
Егер деформацияланатын дененi ойша жұқа горизонталь қабаттарға бөлетiн болсақ, онда қисаюды осы қабаттарды бiр-бiрiне қарағанда ығысуы деп қарастыруға болады.
Параллелепипедтiң жоғарғы бетiнiң ығысуының () оның биiктiгiне қатынасы (h) салыстырмалы ығысу деп аталынады:
. (3)
Немесе бұл (3) өрнек деформацияның ығысу түрiне арналған Гук заңы болады.
Мұндағы - ығысу коэффициентi, ал оған керi пропор ционал шама:
G= – ығысу модулi деп аталынады.
- қатынасының өте аздығынан оны тiк жақтары бұрылатын - бұрышымен алмастыруға болады. Себебi қабырғалары h, болатын тiкбұрышты үшбұрышта = sin. Олай болса (3) өрнек былай жазылады: = . (4)
Сонымен, салыстырмалы ығысу жанама кернеулiкке тура, ал ығысу модулiне керi пропорционал.
Ығысу деформациясы кезiнде дененiң көлемi өзгермейдi. Бiрақ ығысу мен созылу модулдерi арасында байланыс бар. Ол мына өрнекпен анықталады:
G=Е/2(1+)
Мұндағы Е - созылу модулi; - Пуассон коэффициентi. Осы өрнек арқылы Пуассон коффициентiн есептеуге болады, егер созылу және ығысу модулдерiн тәжiрибе жүзiнде анықтай алатын болсақ. Онда: 2G+2G=E, мұнан 2G= E-2G,яғни:
. (5)
M=k . (6)
Мұндағы k- бұратылу модулi, ол өзектiң геометриялық өлшемдерi мен дененiң физикалық қасиеттерiне байланысты. Бұратылу ығысудың бiр түрi болғандықтан, олардың модульдерiнiң арасында байланыс бар. Ол мына өрнекпен анықталады:
.
Бұл өрнек тек бiртұтас өзек үшiн ғана емес, сыртқы және iшкi радиусы бар түтiкшелерге де орынды. Ол жағдайда қима бойынша интеграл мәнi былай анықталады : ,
мұндағы a –сыртқы, b- iшкi радиустер.
Бақылау сұрақтары:
Нег.әдеб. 2[274-282]
11- Дәріс
Тақырыбы: Серпiндiлiк кернеуi мен деформация тензорлары
Дәріс конспекті: Серпiндiлiк кернеуiнiң тензоры . Кернеулік векторы () жалпы жағдайда берілген ауданға перпендикуляр болмауы да мүмкін. Осыған байланысты қарапайым деформация түрлерін қарастырғанда кернеулік векторын нормаль және жанама кернеуліктерге жіктедік. Сондықтан кернеулік векторы түсірілген нүктені қамтитын ауданның бағытына байланысты анықталады. Осы жағдайға қатысты бұл векторға ауданның бағытын көрсететін индекстік көрсеткіш коямыз.
Жалпы алғанда, денедегі кез келген нүктені қамтитын ауданды сансыз көп бағытта алуға болады, яғни берілген нүктеге түсірілген кернеулікті де сансыз бағытта қарастыруға болады. Бірақ, денедегі деформацияны сипаттау үшін бір-біріне перпендикуляр үш бағытта алынған ауданға түсірілген кернеулік векторлары жеткілікті болады. Егер бір-біріне перпендикуляр аудандардың нормалі ОХ, ОУ, ОZ координата осьтерімен сәйкес келетін болса, онда кернеулік векторлары мынандай үш вектор арқылы өрнектеледі: х, у, z. Көрсетілген үш вектордың әрқайсысы декартты координаталар системасында өзінің үш проекцияларымен сипатталады, яғни проекцияларда екі индекстік көрсеткіш жазылады, біріншісі – ауданның бағытын көрсетсе, екіншісі – проекцияның (құраушының) бағытын көрсетеді.
Сонымен тоғыз құраушыдан тұратын кернеулік – серпінді кернеулік тензорын құрайды:
. (1)
Матрицаның горизонталь бiр қатарында бiр вектордың х, у, z осьтерi бойынша проекциялары жинақталған. Матрицаның диагоноль бойымен орналасқан элементтері (Pxx, Pуy, Pzz ) – нормаль кернеулiктер немесе негiзгi кернеулiктер, ал қалған симметриялы элементтері (Рху, Рхz, Руz ) - жанама кернеулiктер болып есептелiнедi.
Негiзгi кернеулiктер созылу мен қысылу деформациясын тудырады, ал жанама кернеулiктер – ығысу деформациясына алып келедi. Сонымен, кернеулiк тензоры матрицаның басқы диагонолына қарағанда симметриялы болып, берiлген нүктедегi кернеулiкті толық сипаттайды.
Деформация тензоры. Элементар бетке түсiрiлген кернеулiктi қарастыра отырып, осы бөлiктегi деформацияны сипаттаймыз. Олардың арасындағы байланыс арқылы Гук заңының жалпы түрдегі жазылымын аламыз.
Қарапайым созылу және ығысу деформациялары салыстырмалы деформацияның бүкiл дене бойынша тұрақтылығымен сипатталады.Ол - дене пiшiнiнiң дұрыстылығына, түсiрiлген күштердiң бiрқалыптылығына және бекiтiлу жағдайларына байланысты.
Жалпы жағдайда деформация дененiң бiр нүктесiнен екiншiсiне өзгерiп отырады, яғни салыстырмалы деформация тұрақты шама бола алмайды. Сондықтан деформацияны белгiлi нүктеге ғана қатысты қарастыру қажет. Осыған байланысты берілген нүкте маңайындағы дененің көлемi мен пiшiнiнiң өзгеруiн қарастырамыз. Бұл жағдайда дененiң деформацияға ұшырау дәрежесiн векторлық шама да, скалярлық шама да өрнектей алмайды. Оны өрнектеу үшiн күрделi шама тензор қажет.
Осыған байланысты декартты координата системасында дененi деформацияға дейiн, және деформациядан кейiн қарастырамыз . Бұл деформацияны математикалық түрде өрнектеу үшiн дененiң әрбiр нүктесiне ығысу векторын сәйкес қоямыз:
, (2)
мұндағы және - нүктенің орын ауыстырғаннан кейінгі және орын ауыстырғанға дейінгі радиус-векторлары.
Демек, деформация ығысу векторының U( r) өрiсiмен сипатталады. Бiрақ жеке нүкте үшiн алынған ығысу векторы деформацияны сипаттай алмайды. Сонымен қатар қарастырылып отырған нүкте мен оған көршi нүктелер ығысу векторына (U) тең шамаға орын ауыстырса, онда да деформация байқалмайды. Әрбiр нүкте маңындағы ығысу векторының салыстырмалы өзгерiсi ғана деформацияны береді. Демек деформация векторлық өрістің өзгеру жылдамдығымен анықталады. Ол векторлық функция болып есептелінетін ығысу векторынан векторлық аргумент бойынша толық туынды алуға алып келеді, оны тензор –туындыны деп атаймыз:
.
Бұл тензор симметриялы емес, сондықтан оны симметриялы және антисимметриялы бөліктерге жіктеуге болады:
= .
Бұл тензордың А- антисимметриялық бөлiгi векторлық өрiстiң роторын сипаттайды. Қарастырылып отырған деформация жағдайы үшiн ротор болып бұратылу векторы алынады, ол мына өрнекпен анықталады:
,
яғни бұл вектор ығысу векторының () құйынды бөлiгiн сипаттап, көлем элементінің кеңістіктегі бұратылуын көрсетеді.
Ығысу векторы өрісінің потенциалды бөлігі тензордың симметриялық түрімен() сипатталады, оны деформация тензоры деп атаймыз:
. (3)
Деформация тензорының диагональ бойынша орналасқан элементтері () оның негізгі шамалары деп аталынып, деформацияға дейін координата осьтеріне параллель бөліктердің салыстырмалы ұзаруын көрсетеді.
Ал бұл тензордың симметриялы компоненталары- - ығысу деформациясын сипаттайды.
Көлемнің салыстырмалы деформациясы (кеңею мен қысылу) ығысу векторының дивергенциясы ретінде анықталады:
.
Бақылау сұрақтары:
8) Гук заңының жалпы жазылымы.
Нег.әдеб. 2[289-300]
12-Дәріс
Тақырыбы: Тартылыс потенциалы түрлері
Дәріс конспектісі: Нүктелiк массаның тартылыс потенциалы
Кеңiстiктiң S бетiмен шектелген V облысын қарастырамыз. Мұндағы координатасы х0, у0, z0 болатын М нүктесiнде масса орналассын, онда бұл нүкте тартылыс орталығы болады. Координатасы х, у, z болатын кез-келген P нүктесiне F тартылыс күшi әсер етедi, бiрақ бұл нүкте облыстың iшiнде, жазықтың бетiнде немесе одан тысқары жатуы мүмкiн. (сурет 1)
Ньютонның бүкіл әлемдік тартылыс заңы бойынша массасы болатын нүктелік массалар бір-біріне массаларына тура , ал арақашықтықтың квадратына кері пропорционал күшпен тартылады:
, мұндағы - гравитация тұрақтысы.
Егер Р (х,у,z) нүктесінде бірлік масса (), ал М (х0,у0,z0) нүктесінде массасы болатын бөлшек орналасқан болса, бірлік массаға әсер ететін тартылыс күші мына өрнекпен анықталады:
. (1)
Тартылыс күшінің М нүктесінен Р нүктесіне түсірілген вектор екенін ескерсек, бұл күштің өрісі - векторлық өріс, оның векторы мына өрнекпен кескінделеді:
,
мұндағы теріс таңба тартылыс күші мен радиус-вектордың бағыттарының қарама-қарсы екендігін көрсетеді, яғни күш М нүктесіне, ал радиус-вектор Р нүктесіне бағытталған. М нүктесінен Р нүктесіне бағытталған радиус-вектор декартты координаталар системасында былай анықталады:
.
Радиус-вектор шамасы мен оның координата өстерімен жасайтын бағыттаушы косинустары мына өрнектермен кескінделеді:
,
Егер тартылыс күші өрісінің потенциалды екенін ескерсек, онда өріс векторы скалярлы функцияның градиенті ретінде анықталады, яғни :
.
Бұл жағдайда векторының проекциялары мен скалярлы V функциясы туындылары арасында мынандай байланыс қалыптасады:
.
Онда өрістің потенциалы болып есептелінетін скалярлы функция мына интегралдық теңдеумен анықталады: . (2)
Егер тартылыс күшiнiң осьтердегi проекциясын анықтасақ, онда нүктелiк масса тартылыс потенциалын есептеу оңай. Сондықтан күш проекцияларын ашып жазамыз:
, ,.
(2) теңдiктi ескере отырып, өрiс потенциалын былай анықтаймыз:
=
Сонымен, нүктелiк массаның тартылыс потенциалы арақашықтыққа керi функция, яғни:
. (3)
Егер бұл функция өрiстің скалярлы потенциалы болса , онда ол М нүктесiнен басқа нүктелерде Лаплас теңдеуiн қанағаттандыруы қажет, демек :
0.
Бұл теңдікті дәлелдеу үшін (3) өрнектен координаталар бойынша екі реттен туынды аламыз:
, , .
Екінші туындылардың қосындысын қарастыратын болсақ, онда , яғни нүктелік масса потенциалы Лаплас теңдеуін қанағаттандырады.
Нүктелiк массалар системасының тартылыс потенциалы
.
Саны шекті бiрнеше нүктелiк масса берiлсін: (сурет 2) M1, … Mk. Олардың P-нүктесiнен арақашықтығы: r… rk. Егер P-нүктесiнде бiрлiк масса болса, онда Ньютон заңы бойынша, оған әрбiр нүктелік масса жеке тартылыс күшiмен әсер етедi: , ........ .
Мұндай жағдайда P-нүктесiндегi толық күш шамасы осы күштердiң қосындысы арқылы есептелiнедi де, күш проекциялары да жеке күштер Сурет 2. проекциялары қосындысы арқылы анықталады:
, , .
Ал тартылыс потенциалын системадағы барлық материалды нүктелердің тартылыс потенциалдарының қосындысы ретінде жазамыз:
. (4)
(4) өрнек өрiстердегi суперпозиция принципiн көрсетедi, яғни қарастырылып отырған нүктедегi өрiс бiр-бiрiне әсер етпейтiн жеке нүктелік көздер тудыратын өрiс қосындысынан тұрады. Бұл принциптің потенциалды өрістерді зерттеуде практикалық маңызы өте зор.
Kөлемдік массаның тартылыс потенциалы.
Тартылыс тудыратын система- үздіксіз материалды дене (сурет 3), яғни облысында массалардың біртұтас таралымы бар болсын дейміз. Егер массалардың көлемдегі таралу тығыздығын - деп белгілесек , онда элементар () көлемдегі массалар таралымы мына өрнекпен анықталады: .
Сурет 3.
Бұл жағдайда әрбір элементар көлемді материалды нүкте ретінде қарастыратын болсақ, онда оның бірлік массамен тартылыс потенциалы былай өрнектеледі: . Бұл өрнектің екі жағынан да интеграл алатын болсақ, онда көлемдік массаның тартылыс потенциалын аламыз:
. (5)
Көлемдік массаның тартылыс потенциалының мынандай қасиеттері бар:
1) Р нүктесі облысының ішінде жатқан жағдайда да көлемдік массаның тартылыс потенциалы ешқашан шексіздікке айналмайды. 2) Бірлік массасы бар Р нүктесі тартылыс тудыратын массадан тысқары орналасқан жағдайда көлемдік массаның тартылыс потенциалы Лаплас теңдеуін қанағаттандырады:
0,
3) Р нүктесі облысының ішінде жатқан жағдайда көлемдік массаның тартылыс потенциалы Пуассон теңдеуін қанағаттандырады:
- 4G.
Көлемдік массаның тартылыс күшін тартылыс потенциалы арқылы өрнектейміз, ол үшін алдымен күш проекциялары жазамыз:
. , , ,
онда тартылыс күшінің векторлық жазылымы мынандай түрге ие болады: .
Жәй қабаттың тартылыс потенциалы
Сурет 4.
Тартылыс тудыратын массалар S жазығының бетінде h қалыңдығы бар қабат ретінде кездеседі. (сурет 4). Егер қабат қалыңдығын жазық беттің басқа екі сызықтық өлшемімен саыстырғанда еске алмауға болатындай болса, онда массаны жазық бет бойынша таралған деп есептеуге болады.
Жазық беттегі массаның таралу тығыздығы - тең десек, онда элементар бетке сәйкес келетін массаның таралымы: , онда жәй қабаттың тартылыс потенциалы мына өрнекпен анықталады:
. (6)
Бұл функция S бетінде жатпайтын кез келген нүкте үшін ақырғы мәнге ие болады, үздіксіз, біржақты координатадан тәуелді функция, оның кез келген дәрежедегі жеке туындылары бар.
Жәй қабаттың тартылыс күші мен оның проекциялары потенциал арқылы былай жазылады:
. , , ,
Бұл өрнек гравибарлауда түрлі жазық денелердің тудыратын ауырлық күшін есептеуге кеңінен қолданылады.
Сызықтық массалардың тартылыс потенциалы
Сурет 5.
Егер екі бағыттағы өлшемін үшінші бағыттағы өлшеміне қарағанда еске алмауға болатын денелерді - сызық бойымен таралған масса ретінде қарастыруға болады (Сурет 5). Сызық бойындағы массаның таралу тығыздығын
десек, онда элементар сызықтық масса мына
өрнекпен анықталады: , ал бүкіл сызық бойымен орналасқан массалардың тудыратын тартылыс потенциалын былай есептейміз:
. (7)
Бұл потенциал арқылы сызықтық массаның тартылыс күшін өрнектеуге болады, алдымен күш проекцияларын қарастырамыз:
, , ,
онда сызықтық масса тартылыс күші векторлық түрде былай жазылады:
Магниттiк масса
Магниттiк масса көзi ретiнде магниттелген дененi қарастырамыз. Бiр-бiрiнен белгілі қашықтықта орналасқан m1, m2 екi магниттiк массаның немесе зарядталған екі дененің өзара әсерi Кулон заңымен анықталады, яғни екi масса арасындағы әсер ету күші мына өрнекпен жазылады:
r- екi нүкте арасының қашықтығы, -ортаның диэлектриктiк өткiзгiштiгi.
Егер m1 = m тең, ал m2= 1 десек, олар М(х0, у0, z0) және P(x,y,z) нүктесiнде орналасқан болса, онда 1 болғанда Кулон заңы былай жазылады:
. (8)
Бiрлiк массаға әсер ететiн бұл күш өрiстiң кернеулiгiн сипаттайды.
Гравитациялық массаға қарағанда магниттiк массалар бiр таңбалы болмайды. Кез-келген оң таңбалы массаға шамасы сондай терiс таңбалы масса сәйкес келедi. Егер магниттiң бiр полюсi шексiздiкте десек, сонда ғана бiр таңбалы магниттiк масса туралы айтуға болады.
Бұл дененiң магнит өрiсiн элементар дипольдiң өрiстерiнiң қосындысы ретiнде анықтаймыз.
Диполь потенциалы
Сурет 6.
Диполь өрісін жеке қарастырамыз (Сурет 6). Шамасы бірдей, бірақ таңбалары қарама-қарсы m және -m массаларды М1 , М2 нүктелеріне орналастырамыз, мұндағы:
- оң полюстегі m -нүктелiк көздiң қуаты;
- екi полюс арақашықтығы d –диполь ұзындығы;
- екі полюсті қосатын түзу сызық - диполь өсі, ол терiс массадан оң массаға бағытталған вектор, оның бойымен алынған бірлік вектор деп белгіленеді ;
- диполь өсін тең бөлетiн М нүктесi - диполь центрi;
- диполь өсіне перпендикуляр, М нүктесі арқылы өтетін жазықтық – экваториалды жазықтық.
Бұл массалардың P нүктесiнде тудыратын потенциалын қарастырамыз. r1, r2 – P нүктесiнен терiс және оң масса орналасқан М2, М1-нүктесiне дейiнгi қашықтық, М нүктесiне дейiнгi арақашықтығы r,
Мұндай екі нүктелік массалар тудыратын Р нүктесіндегі тартылыс потенциалы – нүктелік массалар системасының потенциалы ретінде анықталады :
. (9)
(9)теңдiктiң оң жағын d -көбейтiп, бөлсек мынандай өрнек аламыз;
, (10)
бұл өрнектегi жақша ішіндегі шама функциясының бағыты бойынша ұмтылғандағы туындысы деп қарастыруға болады, яғни:
Егер бұл туындыны былай түрлендiрсек:
,
мұндағы: - r және бағыттары арасындағы бұрыш.
Егер - диполь моментіне тең десек, онда (10) теңдеу былай жазылады:
. (11)
Бұл потенциал ара қашықтық квадратына керi пропорционал, әрi радиус вектордың диполь моментi бағытынан ауытқу бұрышына тәуелдi.
Магниттелген көлемдiк дененiң потенциалы
Бiртұтас магниттелген дененi - магниттiк өстерi реттелiп орналасқан диполь ретiнде қарастырамыз. Элементар көлемге сәйкес магниттiк моменттi мына өрнекпен анықтаймыз: d= jdV, мұндағы j- магниттелу векторы.
Егер әрбiр көлем элементiн, яғни элементар көлемдi диполь деп қарастырсақ, онда оның тудыратын потенциалы былай жазылады:
Егер бұл өрнектi көлем бойынша интегралдайтын болсақ, онда магниттелген көлемдiк массаның P нүктесiнде тудыратын потенциалын анықтаймыз:
. (12)
Қос қабаттың тартылыс потенциалы
Гравитациялық массалар оң және терiс таңбамен қарастырылатын болса, онда қос қабат деген ұғым енгіземіз.
S-қабаты берiлсiн, оның екi жағынан бiрдей қашықтықта бетке нормаль бағыт бойынша S1 және S2 қабатын қарастырамыз. Бұл қабаттардан бiр түзу сызық бойында жататын М1 , М , М2 –нүктелерiн белгiлеймiз (Сурет 7).
М1 М2- нүктелерінің арақашықтығын d деп белгiлеймiз, ол М нүктесi арқылы тең екi бөлiкке бөлiнген. S2, S1 беттерiнде жатқан Сурет 7. бұл нүктелердегi массаның беттiк тығыздығы -. Массалардың беттердегі мұндай таралымы - олардың арасындағы қашықтық нольге ұмтылғанда () қос қабат құрайды.
Демек, бiр түзудiң бойындағы шамасы бiрдей, таңбасы қарама-қарсы беттiк массалар тығыздығы қос қабат делiнедi.
Мұнда беттiк массалар орналасқан нүктелердiң арақашықтығы – d - қос қабаттың қалыңдығы деп аталынады.
Бұл массалардың осы беттерден тысқары жатқан P нүктесiнде тудыратын потенциалын анықтаймыз. Ол үшiн алдымен М1, М2- нүктесiндегi массаларды өрнектеймiз. Бұл нүктелер элементар dS1 , dS2 беттеріне сәйкес келсе, онда нүктедегi элементар массалар мына өрнекпен анықталады:
dm1= dS1 , dm2= -dS2,
Егер dS1 және dS2 беттерін – dS –бетiнiң проекциясы ретінде қарастырсақ, онда бұл өрнек былай жазылады:
dm1= dS , dm2= -dS ,
Бұл жағдайда қос қабаттың элментар диполь ретiнде қарастыруға болады.
Ал диполь моменті бұл жағдайда былай анықталады:
= dS,
Бұл өрнектiң екi жағын интегралдасақ, онда қос қабаттың тартылыс потенциалын аламыз.
. (13)
Бақылау сұрақтары:
Нег.әдеб. 5[3-14]
13- Дәріс
Тапқырыбы: Логарифмдік потенциалдар
Дәріс конспекті: Горизонталь сызық бойымен орналасқан массаның тартылыс потенциалы
Бұл потенциал сызықтық масса потенциалы ретінде мына өрнекпен анықталады:
.
Тығыздығы тұрақты массалар жиынын - L сызығы бойымен Жер бетінен z0 тереңдікте у осіне параллель орналасқан деп есептеп, оның бойындағы М(0,у,z0) нүктесiнен ұзындығы d болатын элементар кесінді аламыз (сурет 1).
М –нүктесiнде алынған кесіндідегі массаның х-осiнде жатқан P(х,0,0) нүктесiндегі бірлік массаға әсер ететін тартылыс потенциалын қарастырамыз.
М нүктесiнен P нүктесiне дейiнгi арақашықтық r –радиус вектор арқылы анықталады, ол мынаған тең:
Сурет 1. .
Масса таралған сызықтың ұзындығы L=2 тең болған жағдайда, оның тудыратын тартылыс потенциалын [-,] шекарасында анықтаймыз. Онда (1) интегралдық өрнек былай жазылады:
(1)
Бұл (1) өрнек арқылы ұзындығы 2 түзу сызық бойындағы массаның P нүктесiнде тудыратын потенциалын анықтауға болады.
Мынандай жағдайды қарастырамыз:
, (2)
яғни масса таралған сызықтың ұзындығы өте үлкен болғанда түбiрдi жуық шамамен алуға болады:
.
Онда (1) өрнек былай жазылады:
.
Егер (2) шартты ескерсек, бөлшектің алымындағы ( ) қосындыны еске алмауға болады, онда бұл потенциал былай жазылады:
.
Мұны екi логарифмге жiктеймiз :
.
Егер сызықтық өлшем шексiз үлкен болса, онда ln (2), және ол тұрақты. Практикада потенциалдың абсолюттiк шамасы емес, оның екі нүкте арасындағы айырмасының және градиентiнiң шамасының практикалық мәнi жоғары. Осыған байланысты тұрақты шамамен анықталатын потенциал бөлігін еске алмауға болады. Сондықтан z тереңдiкте жатқан шексiз бiртектi сызықтық дене тудыратын тартылыс потенциалы мына өрнекпен анықталады:
. (3)
Бұл логарифмдiк потенциал, ол - сызықтық дене таралған бағытқа тәуелсiз.
Логарифмдік потенциал тартылыс потенциалына тән барлық қасиетке ие болады, ал бұл потенциалдың шексіздікте теріс таңбалы шексіздікке айналатыны – оның тартылыс потенциалынан айырмашылығы болып табылады.
Соңғы өрнектен (3) тартылыс күштерінің проекцияларын табамыз:
, ,
ал тартылыс күші векторлық түрде былай жазылады:
Көлемдiк массаның логарифмдiк тартылыс потенциалы
У-осi бағыты бойымен орналасқан, қимасы S болатын екi өлшемдi дене берiлсiн. Көлемдiк масса тығыздығы S-қима бойынша ғана өзгередi. Олай болса, қиманы шексiз көп материалдық сызықтарға бөлуге болады, ол сызықтар бағыты дененiң бағытымен сәйкес. Егер dS-массаның таралу тығыздығы десек, онда көлемдік масса тудыратын тартылыс потенциалын сызықтық массалар потенциалының қосындысы ретінде аламыз. Ал ол қосынды интеграл арқылы табылады, онда (3) теңдеу былай жазылады:
. (4)
Бұл өрнек шексiз екi өлшемдi дененiң логарифмдік тартылыс потенциалын анықтайды.
Жәй қабаттың логарифмдiк потенциалы
Цилиндрлiк бетте тығыздығымен таралған массалардың тартылыс потенциалын анықтау үшiн, беттi енi d болатын жолақтарға бөлемiз. Оларды шексiз сызықтық дене ретiнде қарастырамыз, ондағы масса тығыздығы мына өрнекпен анықталады: =d, онда (3) өрнектiң негiзiнде потенциалды былай анықтаймыз:
. (5)
(5) - өрнек жазық жәй қабаттың логарифмдiк потенциалын анықтайды. Жалпы жағдайда -сызығы тұйық болмауы да мүмкiн. Бұл потенциал контурымен шектелген облыстың iшiнде де және сыртында да Лаплас теңдеуiн қанағаттандырады.
Дипольдiң логарифмдiк потенциалы
Диполь мен қос қабат логарифмдiк потенциалы бар өрiсте - жазық өрiс құрайды. Жазық диполь - бiр-бiрiне жақын орналасқан, параллель екi сызық ретiнде қарастырылады. Олай болса, екi сызықтық массаның P нүктесiнде тудыратын потенциалы (3) теңдiк бойынша былай жазылады:
. (6)
Теңдiктiң (20) екi жағын да d көбейтiп, одан d 0 , шек алатын болсақ,
. (7)
Мұнда – терiс таңбалы сызықтық массадан оң таңбалы сызықтық массаға бағытталған диполь моменті.
(7) –теңдiктi өзгертулер енгiзу арқылы диполь потенциалын былай жазуға болады:
, (8)
Мұндағы cos = cos(r,n) –нормаль мен радиус вектор арасындағы бұрыш.
Қос қабаттың логарифмдiк потенциалы
Жазық қос қабатты - жазық дипольдан тұрады деп есептеуге болады, егер оларды цилиндрлiк бетке бiр жағына оң , екiншi жағына терiс таңбалы масса орналасатындай етiп жайғастыратын болсақ . Онда ені болатын кішкене жолақты элементар диполь деп десек, оның моментi былай анықталады:
dр= d.
Онда элементар қос қабат потенциалын мына өрнекпен жазамыз :
Жазық қос қабат потенциалы элементар диполь потенциалдары қосындысынан тұратын болғандықтан, оны бұл өрнекті интегралдау арқылы аламыз:
. (9)
Бақылау сұрақтары:
1) Горизонталь сызық бойымен орналасқан массаның тартылыс потенциалы
2) Көлемдік массаның логарифмдік тартылыс потенциалы.
3) Жәй қабаттың логарифмдiк тартылыс потенциалы.
4) Дипольдiң логарифмдiк потенциалы.
5) Қос қабаттың логарифмдiк потенциалы
Нег.әдеб 5[14-17]
14 - Дәріс
Дәріс тақырыбы:Гриннiң фундаменталды өрнегi
Дәріс конспекті: Бұл өрнек Гриннiң екiншi өрнегiнен алынады. Ол үшін мынандай екі скалярлы функцияны қарастырамыз:
=U , = V= 1/r ,
мұндағы r - көлем элементi d және беттiк элемент dS-тан қарастырылып отырған P нүктесiне дейiнгi арақашықтық. Бұл жағдайда Гриннiң екiншi өрнегi былай жазылады:
. (1)
Бұл алынған (1) теңдiктi үш түрлi жағдайда қарастырамыз, мұнда облысы S бетiмен шектелген деп есептейміз (Сурет ).
1) P нүктесi S бетiнiң сыртындағы 1 кеңiстiгiнде жатады.
Бұл жағдайда беттiң iшiнде жатқан кез-келген М нүктесi үшiн 1/r- функциясы Лаплас теңдеуiн қанағаттандырады, яғни :
. (2)
Егер функциясынан екі реттен координаталар бойынша туынды алатын болсақ: х координатасы бойынша бірінші туынды - ;
екінші туынды -.
Осылай келесі координаталардан да екі реттен туынды аламыз:
,
.
Сонымен (25) өрнек былай жазылады :
.
Олай болса (1) өрнектің сол жағындағы интеграл ішіндегі мүшенің бірі нольге айналады: = 0. Мұны ескере отырып, кеңістігінде кездесетін жағдай үшін Гриннің екінші өрнегін былай жазамыз:
(3)
2) P нүктесi облысының iшiнде жатсын. Бұл жағдайда Грин өрнегiн бүкiл облыс үшiн қолдануға болмайды. Себебi :
Егер P нүктесi М нүктесiмен сәйкес келетін болса, 1/r –функциясы сол нүктеде үзiледi. Сондықтан P нүктесiн сфералық бет арқылы қоршаймыз. Сол кезде облысының сфералық бет арқылы қоршалған бөлімінен басқа (жер) бөлiктерi үшiн Грин өрнегiн қолдануға болады.
(4)
Мұндағы 2 облысы сферамен қоршалған бөлiктi шығарып тастағандағы облысы болып есептелінеді. (4) өрнектегі интегралдарды жеке қарастырамыз.
А/ Беттiк интеграл S және беттерi арқылы алынады. Егер сфералық беттi шексiз қысатын болсақ, ол P нүктесiне ұмтылады, олай болса 2 –көлемi бойынша алынған интеграл -көлем бойынша алынған интегралға айналады, яғни :
Б/ Енді (4) теңдiктiң оң жағындағы соңғы екi интегралдың мәнiн қарастырамыз. Егер 2 көлемiне қатысты сыртқы нормаль n - сфералық бетi үшiн iшкi нормаль болатын болса, онда ол сфера радиусымен сәйкес келеді, соңғы екі интеграл былай жазылады:
Бұл жағдайда сфералық бет бойынша алынған интегралдар шегi былай есептелiнедi:
Сфера беті нольге ұмтылғанда U функциясының шамасы P нүктесiндегi мәнге U(P) ие болады.
Соңғы теңдіктің оң жағындағы бірінші интеграл шегіде нольге ұмтылады, себебі бет элементі dS сфера үшін г2 тура пропорционал, онда интегралдағы (1/г)dS функциясы r-сфера радиусына тура пропорционал шама болады. Олай болса r , интеграл мәнi де нольге ұмтылады.
Сонымен (4) теңдiктi шектiк жағдайда қайта жазатын болсақ, ол мынандай түрде жазылады:
(5)
3) P нүктесi S –бетiнде жатсын (PS).
Бұл жағдайда жоғарыда көрсетiлгендей етiп талдау жасайтын болсақ , (5) өрнек тәрiздi теңдеу аламыз, ал оның оң жағы 2U(P) шамасына тең болады. Себебi, сфера бетi бойынша алынатын интегралдың бәрi жартылай сферадан есептелiнедi. Олай болса Гриннiң өрнегi былай жазылады:
(6)
Сонымен қарастырылған үш жағдайда қортындылайтын болсақ, Гриннiң екiншi өрнегiн жалпы түрде былай жазамыз:
, (7)
Бұл (7)-өрнек Гриннiң фундаменталды өрнегi деп аталынады.
Сол жақтағы интегралдардың физикалық мәндері бар :
А) бірінші интеграл – көлемдік массаның тартылыс потенциалы, егер - облыс ішіндегі тартылыс тудыратын массаның таралу тығыздығына тең болса, оны қысқаша деп белгілейміз;
Б/ екінші интеграл – жәй қабаттың тартылыс потенциалын анықтайды, егер беттегі ( S) массалардың таралу тығыздығын анықтайтын болса, онда оны қысқаща деп белгілейміз;
В/ үшінші интеграл қос қабаттың тартылыс потенциалы, егер S бетіндегі әрбір нүктедегі момент шамасы U -ға тең болса, оны деп белгілейміз.
Сонымен, Гриннiң фундаменталды өрнегiнiң сол жағы үш түрлi тартылыс потенциалының қосындысынан тұрады екен, ол - көлемдiк масса, жәй қабат, қос қабаттың тартылыс потенциалдары, яғни:
-U1(P) +U2(P) – U3(P) =
Мынадай жеке жағдайларды қарастырамыз:
U2(P) – U3(P) =
=
Интеграл астында 1/r-функциясынан нормаль бойынша алынған туынды тұр, оның геометриялық мағынасы бар, ол P нүктесiнен беттiк элемент dSтің көрiну бұрышын анықтайды. Бұл өрнек - Гаусс өрнегі делінеді.
Бақылау сұрақтары:
Нег.әдеб. 5[18-22]
15- Дәріс
Тақырыбы: Гармоникалық функциялар және олардың негiзгi қасиеттерi
Дәріс конспекті: -облысында үздiксiз және бiрiншi, екiншi туындылары бар, осы облыстың кез келген нүктесiнде Лаплас теңдеуiн қанағаттандыратын U –функциясын осы облыста гармоникалық функция деп атаймыз.
Ондай функциялар шексiз көп, соның бiрi -1/r- функциясы, ол өзi нольге айналатын нүктеден басқа нүктелердiң бәрінде гармоникалық функция бола алады.
Олардың негiзгi қасиеттерi:
2) Егер U(P) функциясы S бетiмен шектелген облысында гармоникалық болатын болса, онда оның мәнi облыстың сыртындағы кез келген нүктеде, бетте, бетпен шектелген облыстында - осы функцияның өзi және бетке нормаль бағытта алынған туындысымен өрнектеледi, яғни:
(1)
Жеке жағдайда, егер бет сфера болатын болса, iшкi облыс үшiн жазылған теңдеу мынандай теоремаға алып келедi:
Егер U функциясы облысында гармоникалық болатын болса, онда оның орташа мәнi кез келген iшкi P нүктесi үшiн радиусы R- ға тең сфераның (центрі Р нүктесінде жататын) S бетi бойынша алынған орташа интегралдық мәнiне тең.
Егер центрі Р нүктесінде болатын сфераны алсақ, онда оның радиусы тұрақты, ішкі облыс үшін (1) өрнек былай жазылады:
. (2)
Мұндағы бiрiншi интеграл гармоникалық функцияның қасиетi бойынша нольге айналады, екiншi интегралда сыртқы нормаль бағыты сфера радиусының бағытымен бағыттас, сондықтан :
.
Сонымен (32) теңдеуден облысындағы потенциалдың орташа мәнiн табамыз:
. (3)
Бұл (3)- теңдеу гармоникалық функцияның орташа мәнi туралы Гаусс тероемасын сипаттайды.
Бұл теңдеу потенциалдар теоремасында кеңiнен қолданылады. Магниттiк және гравитациялық аномалиялардың аналитикалық түрде жалғастырған мәндерiн табу үшiн қолданылады. Мысалы: Сфера бетiнен 6-нүкте алынып, сол нүктелердiң потенциалдары бойынша сфера бетiндегi орташа потенциал анықталынады (сурет 1):
[U(1)+ U(2)+ U(3)+ U(4)+ U(5)+ U(6)]. (4)
Сфераның экваторында жатқан нүктелер потенциалын деп белгiлесек, ол мынаған тең :
[U(1)+ U(2)+ U(3)+ U(4)].
Онда (4) теңдiк бойынша потенциалдың сфера центріндегi мәнi мынаған тең:
6U(0) =4+ U(5)+ U(6).
U(5)-сфераның жоғарғы полюсiндегi потенциал, оны анықтауға болады, олай болса төменгi полюстегi потенциал былай есептелiнедi:
U(6) = 6U(0)- 4 – U(5).
Бұл қасиет жартылай кеңістіктің жоғарғы бөлігінде байқалатын аномалияны, оның төменгі бөлігіне аналитикалық жалғастыруға болады.
Гармоникалық функция мен аналитикалық функцияның байланысы
Гармоникалық және аналитикалық функциялар арасындағы байланыс Коши-Риман шартынан шығады, бұл шартты айнымалы комплекстi функция қанағаттандырады. Сондықтан аналитикалық функцияның не екенін қарастырамыз.
Егер функциясы центрі болатын шеңбердің кез келген нүктесінде дифференциалданатын болса, онда оны нүктесінде аналитикалық дейміз. Егер функция облыстың кез келген нүктесiнде аналитикалық болса, ол сол облыста аналитикалық болып есептелiнедi.
Берілген f(z)= U(x,y) + iV(x,y) комплексті айнымалы функциясы аналитикалық болады, егер оның нақты және жорамал бөлiктерiнің облысында кез келген дәрежедегі үздіксіз туындылары бар болатын болса. Бұл жағдайда оның туындылары Коши-Риман шартын қанағаттандыруы керек, яғни:
.
Коши-Риман шартынан бiрiншi теңдіктен - х , екiншiсiнен - у бойынша туынды алып, оларды қосатын болсақ, онда Лаплас теңдеуiн аламыз, себебі теңдіктің оң жағындағы аралас туындылар қосындысы нольге айналады:
Олай болса, берілген комплексті айнымалы функция аналитикалық болып, олар Коши-Риман шартын қанағаттандыратын болса, онда оның нақты және жорамал бөліктері гармоникалық функция болады. Бұл - гармоникалық және аналитикалық функция арасындағы байланыс, оны гравитациялық және магниттiк аномалияға талдау жасағанда кеңiнен қолданады. Аномалияларды сипаттайтын айнымалыны комплекстi кернеулiк немесе комплекстi потенциалдар деп атайды.
Бақылау сұрақтары:
Нег.әдеб. 5[22-25]
2.3 Тәжірибелік (семинар) сабақтарының жоспары
1 – сабақ. Тақырыбы: Өріс теңдеулері
Тапсырма: Векторлық өріс көзінің тығыздығын анықтау:
а/ =x + у + z ;
б/ = /г3 , =x + у + z , ;
в/ = /г2, =x + у + z , ;
г/ = /г, =x + у , ;
д/ = |г2, =x + у , ;
Әдістемелік ұсыныстар: Қарапайым векторлы өрістердің теңдеулері - өрістің дифференциалды сипаттамалары болып есептелінетін ротор мен дивергенциядан тұрады:
Сондықтан теңдеулер системасының шешімдері өрістің қарапайым түрлеріне арналған. Ал өріс қарапайым, егер оның көлемдік туындыларының бірі нольге айналса. Онда өріс көзінің тығыздығын анықтау арқылы өрістің түріне сипаттама бер.іледі, ал есептеу мына өрнек арқылы жүргізіледі: = ах/х + ау/у + а z/z .
Бақылау сұрақтары:
Нег.әдеб.6[22-27]
2 – сабақ. Тақырыбы: Өріс теңдеулері
Тапсырма: Векторлық өріс көзінің құйынының тығыздығын есептеу:
а/ = (x + 2 z ) / (х2 + z2) 4
б/ = -2у +2х ;
в/ = (x + у ) / (х2 +у2) ;
г/ = /г4, =x + у , ;
д/ ;
Әдістемелік ұсыныстар: Құйынды өріс түтікшелі немесе соленоидты болып келеді. Өрістің роторын есептеу – оның құйынды немесе құйынсыз екенін анықтауға алып келеді. Оны мына өрнекпен есептейміз:
= .
Бақылау сұрақтары:
1) Потенциалды өріс дегеніміз не?
2) Құйынды-құйынсыз өріс теңдеулері қалай жазылады?
2) Гельмгольц теоремасы құалай айтылады?
Нег.әдеб.6[22-27]
3 – сабақ. Тақырыбы: Тұрақты токтың электрлік өрісі
Тапсырмалар:
а) Ортаның электр өткізгіштігі 9*106 СГСЭ өлшемі, өріс кернеулігі 5 мВ/м. Ток тығыздығын анықта.
Жауабы: 5*10-10 А/см2.
б) Радиусы а болатын сфералық тұйықтаудан электр өткізгіштігі болатын шексіз кеңістікке І тогы ағады. Бірлік көлемде және бүкіл ортада бөлінетін жылу мөлшерін анықта.
Жауабы: I2/ (162R4), I2/ (4а).
в) Электр өткізгіштіктері 1 және 2 болатын ортаның жапсарында нүктелік тұйықтау болсын. Егер тұйықтау электр өткізгіштігі 1тең болатын ортада орналасқан болса, онда жапсардан (контакт) ағып өтетін ток шамасы неге тең?
Жауабы: I2/ (1+2).
г) Өріс кернеуліктің мынандай құраушыларымен берілген: ЕХ = х, Еу = 1, Еz =0. Өріс потенциалының өрнегін анықта.
Жауабы: U = -х2/2 - у.
д) Өріс кернеуліктің мынандай құраушыларымен берілген: ЕХ = х /(х2+у2), Еу = у/(х2+у2), Еz =0. Тұрақты ток өрісі екендігін дәлелде.
Жауабы: rot= 0.
Әдістемелік ұсыныстар: Тұрақты ток өрісін зерттейтін Ом, Кирхгоф, Джоуль - Ленц заңдары, олардың дифференциалды және интегралды жазылымдарын білу қажет.
Ом заңы: .
Кирхгоф заң дары: , .
Джоуль – Ленц заңы: (+cт) = 2.
Бақылау сұрақтары:
Нег.әдеб.6 [139-147].
4 – сабақ. Тақырыбы: Тұрақты токтың магниттік өрісі
Тапсырма лар:
а) Өткізгіштегі тұрақты токтың магнит өрісі кернеулігінің құраушылары берілген: НХ = -ау, НУ = ах, НZ = 0. Ток тығыздығын анықта.
Жауабы: i z = ас/2.
б) Радиусы R болатын шеңберлі сызықтық токтың І, шеңбер ортасындағы магнит өрісінің кернеулігін анықта.
Жауабы: Н = 2 I/ сR.
в) Тұрақты тығыздықтағы тогы бар шексіз өткізгіштік пластинканың магнит өрісінің кернеулігін анықта.Жауабы: Н = 2 j / с.
г) Шеңберлі сызықтық ток ортасына түсірілген және ол жатқан жазықтыққа перпендикуляр түзу бойындағы х қашықтықтағы магнит өрісінің кернеулігін анықта.
Жауабы: Н = 2 IR2/ с (R2+х2)3/2.
д) Тұрақты токтың магнит өрісінің скалярлы потенциалын анықта, егер кернеулік векторының құраушылары мына өрнекпен берілген болса: НХ = 2 I у/ с(х2 + у2), Ну = 2 I х/ с(х2 + у2) .
Жауабы: U=.
Әдістемелік ұсыныстар: Көлемдік, сызықтық, жазық өткізгіштер үшін Био-Савар заңы білу қажет, оның дифференцалды және интегралды жазылымдарын пайдалану арқылы есептеулер жүргізу керек:
rot =4 /с және Hcd=4J/с .
Бақылау сұрақтары:
Нег.әдеб.6 [181-189].
5- сабақ. Тақырыбы: Айнымалы токтың электромагниттік өрісі
Тапсырмалар:
а) Өткізгіштік ток пен ығысу тогының қатынасы неге тең, егер ток жиілігі 104 Гц, ортаның электр өткізгіштігі = (Ом*м)-1, ал = = 1 тең болса?
Жауабы: АӨ/АЫ= 2.
б) Өткізгіш шар ортасында бастапқы уақытта зарядтар таралымы бар болсын, оны нүктелік заряд деп қарастырамыз. Шардың ішінде және сыртқы бөлігіндегі электр өрісінің уақыт бойынша өзгерісі неге тең?
Жауабы: Е = Е0 е-4t/ , Е= Е0.
в) Мыс пластинкада таралатын электромагниттік өріс белгілі бір тереңдікте өз бағытын пластинка бетінде таралатын өріске қарама-қарсы бағытта өзгертеді. Бұл тереңдік шамасы неге тең, егер токтың тербеліс жиілігі 1,5*105 Гц, = = 1, = 5,3*1017 СГСЭ өлшемі болса?
Жауабы: z = 0,05 см.
г) Мыс пластинкада таралатын электромагниттік өріс амплитудасының е рет азаятын тереңдігін анықта, егер токтың тербеліс жиілігі 1,5*105 Гц, = = 1, = 5,3*1017 СГСЭ өлшеміне тең болса.
Жауабы: z = 0,017 см.
д) Максвеллдің екінші теңдеуінің көмегімен жазық толқын магнит өрісінің құраушыларын анықта, егер бұл толқынның электр өрісі мына өрнекпен кескінделіп, Оу осьмен бағытталған болса:
Е = Е
Жауабы: НХ= - Е ,
НZ= E.
Әдістемелік ұсыныстар:
1) Максвелл теңдеулерін пайдалана білу қажет:
rot= (1), rot ; (2)
Бақылау сұрақтары:
Нег.әдеб.6 [214-218].
6- сабақ. Тақырыбы: Серпінділік теориясы элементтері.
Қарапайым деформация түрлері.
Тапсырмалар:
а) Көлденең қимасы 10 см2 , ал биіктігі 5 см болатын квадратты призма 109дин. күшпен қысылады. Салыстырмалы және абсолютті ұзару, салыстырмалы көлем өзгерісі неге тең, егер Юнг модулі 1012 дин/см2, Пуассон коэффициенті 0,26 тең болса?
Жауабы: .
б) Жоғарғы көрсетілген есеп үшін нормаль және жанама кернеулік неге тең, егер қимаға түсірілген нормаль призманың биіктігімен 300 бұрыш жасайтын болса?
Жауабы: Рn = 7,5 *107 дин/см2; Рt = 4,3*107дин/см2.
в) Граниттің кейбір сорттары үшін Юнг модулі 4*1011дин/см, Пуассон коэффициенті 0,25, ал ал тығыздық 2,7 г/см3 тең. Тау жынысында таралатын қума және көлденең толқындардың жылдамдығын анықта.
Жауабы:
г) Салыстырмалы ығысу неге тең, егер жанама кернеулік 109 дин/см2, ал ығысу модулі 4*1011 дин/см2 тең болса?
Жауабы: = 2,5*10-3 рад.
д) Орын ауыстыру векторының құйынды бөлігіне қатысты антисимметриялы тензорды ашып жаз.
Әдістемелік ұсыныстар: Созылу, қысылу, ығысу, бұратылу деформациялары және оларға арналған Гук заңын пайдалану. Олар мына өрнектемен беріледі:
.
Сонымен қатар жанама және нормаль кернеуліктерді есептеу үшін оларды анықтайтын өрнектерді пайдалана білу қажет.
Бақылау сұрақтары:
Нег.әдеб.2 [274-282].
7- сабақ. Тақырыбы: Тартылыс потенциалы түрлері
Тапсырмалар:
а) Нүктелік масса потенциалы V кеңістіктің М нүктесінен басқа нүктелерде Лаплас теңдеуін қанағаттандыратынын дәлелде.
б) Радиусы R, тығыздығы біркелкі болатын, материалды дискі ортасында орналасқан Р нүктесінің потенциалын анықта.
Жауабы: .
в) Радиусы R шеңбер бойымен орналасқан, тығыздығы біркелкі болатын сызықтық массаның шеңбер ортасы арқылы өтетін және ол жатқан жазықтыққа перпендикуляр түзу бойындағы Р нүктесінің тартылыс потенциалын анықта.
Жауабы: .
г) Радиусы R, тығыздығы біркелкі болатын материалды дискі ортасына перпендикуляр түсірілген түзу бойында орналасқан Р нүктесінің потенциалын анықта.
Жауабы:
д) Тартылыс күші проекцияларын көлемдік масса потенциалы арқылы жаз.
Әдістемелік ұсыныстар: Тартылыс күшінің өрісі туралы жалпы ұғым болуы керек. Нүктелік массаның, массалар системасының, көлемдік, сызықтық массалардың тартылыс потенциалдарын анықтайтын мына өрнектерді пайдалану:
., , , , .
Бақылау сұрақтары:
Нег.әдеб.5 [3- 14].
2.4. Лабораториялық сабақтардың жоспары
1 – Зертханалық жұмыс
Тақырыбы: . Скалярлы өріс және оның туындысы.
Мақсаты:Студенттерді скалярлы өрістің дифференциалды сипаттамаларымен таныстырып, оны есептеу жолдарын көрсету, скалярлы өріс теңдеулерін шешу.
Теориялық бөлім
Өрiс деп әрбiр нүктесiне белгілі бір физикалық шама сәйкес келетiн кеңiстiктiң бiр бөлiгiн айтамыз.
Физикалық шамалар скалярлы, векторлы және тензорлы болуына байланысты өрістер де скалярлы, векторлы,тензорлы болып келеді. Бұл өрістердің кез келгені тұрақты немесе айнымалы бола алады, егер ондағы физикалық шамалар уақыт бойынша өзгермейтін немесе олардың мәні уақыт бойынша өзгеретін болса.
Скалярлық өріс деп әрбiр нүктесiне белгілі бір скалярлы физикалық шама сәйкес келетiн кеңiстiктiң бiр бөлiгiн айтамыз.
Кењістіктіњ кез келген М н‰ктесі декартты координаталар системасында х,у,z координатасы арќылы немесе радиус векторы арќылы сипатталады: .
Осыѓан орай, скалярлы µріс тењдеуі координатадан функция ретінде немесе радиус вектордан функция ретінде жазылады.
Б±л µрісте скаляарлы шама бір н‰ктеден екінші н‰ктеге µзгеріп отырады, яѓни скалярлы функция координатаѓа тєуелді. Сондыќтан функцияныњ кез келген н‰ктеніњ мањындаѓы µзгеру жылдамдыѓына функцияныњ туындысын қарастырамыз.
Бірақ деңгейлік бет деген ұғымды скалярлық функцияның мәні кез келген нүктесінде бірдей мәнге ие болатын бет ретінде енгізетін болсақ, онда дењгейлік беттіњ кез –келген н‰ктесінен кез келген баѓытта алынѓан туынды - деңгейлік бетке нормаль баѓытта алынѓан туындыдан кем болады.
Сондықтан скалярлы µрістіњ µзгеру жылдамдыѓын µрнектеу ‰шін дењгейлік бетке нормаль баѓыттаѓы туындыны ќарастырамыз. Ол ‰шін градиент деген ±ѓым енгіземіз.
Скалярлы µрістіњ градиенті ретінде дењгейлік бетке нормаль баѓытталѓан векторды аламыз. Вектордыњ сандыќ мєні функцияныњ осы баѓыттаѓы туындысыныњ шамасына тењ, яѓни:
(1).
Вектордыњ баѓыты функцияныњ µсу баѓытымен сєйкес келеді, сондыќтан дењгейлік беттердіњ ењ биік ќабаттарын кµрсетеді.
Градиент векторлыќ шама болѓандыќтан, оныњ кез келген баѓытта проекциясы болады, декартты координаталар системасында градиенттіњ проекциялары функцияныњ сол баѓыттаѓы туындысы арќылы аныќталады:
немесе .
Градиент векторын оның проекциялары арќылы былай жазуѓа болады:
, (2)
м±ндаѓы:
- Гамильтон операторы деп аталынады;
- осьтердегі бірлік векторлар.
Градиент векторыныњ ±зындыѓы – вектордыњ модулі арќылы аныќталады:
(3).
Сонымен скалярлы µрістіњ дењгейлік бетке нормаль бойынша туындысы векторлы µріс тудырады, ол сол µрістіњ дифференциалды сипаттамасы болып есептелінеді.
Тапсырма:
Кесте 1
|
Вариант |
Скалярлы функция теңдеуі Бөлім 1 |
Өріс градиенті теңдеуі Бөлім 2 |
|
1 |
= 1/г, ; |
|
|
2 |
= с/ (х2 +у2 + z2) ,c- const, |
, |
|
3 |
= с/г3 , ; |
, |
|
4 |
= сг , с, -const, ; |
, |
|
5 |
= ег , , - const, ; |
,
|
|
6 |
= г , |
|
|
7 |
= 4г2 , |
, |
|
8 |
= 3/г3 , ; |
|
|
9 |
= 1/2г, ; |
|
|
10 |
= е2г , ; |
, |
|
11 |
= 3е4г , ; |
|
|
12 |
= 3/ (х2 +у2 + z2) |
|
|
13 |
= 2/ (х2 +у2 + z2) |
|
|
14 |
= 6/ (х2 +у2 + z2) |
, |
|
15 |
= е2г , ; |
Бақылау сұрақтары:
Нег.әдеб.6 [5- 7].
2 – Зертханалық жұмыс
Тақырыбы: .Векторлы өріс және оның көлемдік туындылары.
Мақсаты:Студенттерді векторлы өрістің дифференциалды сипаттамаларымен таныстырып, оны есептеу жолдарын көрсету, векторлы өріс теңдеулерін шешу.
Теориялық бөлім
Векторлыќ µріс деп єрбір н‰ктесіне бір векторлыќ шама сєйкес келетін кењістіктіњ бір бµлігін айтамыз.
Векторлыќ µріс векторлыќ сызыќ арќылы кескінделеді, м±ндай сызыќтыњ єрбір н‰ктесіне ж‰ргізілген жанама µріс векторымен баѓыттас болады.
Векторлыќ сызыќтарѓа перпендикуляр баѓытта ж‰ргізілген жазыќтыќтар нормаль жазыќтыќтар деп аталынып, олар арќылы да векторлыќ µрісті сипаттауѓа болады.
Векторлыќ сызыќтарѓа параллель баѓытта ж‰ргізілген сызыќтар жиынтыѓы векторлыќ жазыќтыќты ќ±райды.Егер векторлыќ сызыќ т±йыќ болса, онда векторлыќ жазыќтыќ т±йыќтаѓан кењістік векторлыќ т‰тікше деп аталынады. Оныњ кµлденењ ќимасы болып, т‰тікшеніњ нормаль жазыќтыќпен ќиылысы саналады.
Сонымен, векторлыќ µріс: векторлыќ сызыќ, нормаль жазыќтыќ немесе векторлыќ жазыќтыќтар арќылы кескінделеді.
¤рістегі векторлыќ шаманыњ бір н‰ктеден екінші н‰ктеге µзгеру жылдамдыѓы – сол векторлыќ функцияныњ алынѓан баѓыттаѓы туындысы арќылы µрнектеледі
Кез келген вектор декартты координаталар системасында өзінің үш проекциясымен () сипатталынатын болғандықтан, векторлық өріс - үш скалярлы өріс қосындысымен анықталады. Олай болса, бұл өрістің дифференциалды сипаттамасы болып тоғыз туындыдан тұратын тензорлы өріс саналады:
(1)
Векторлық өрісті берілген (1) тензор туындының инварианттары арқылы сипаттауға болады, яғни тензорлы шама орнына қарапайым векторлық және скалярлық шамалар қолданамыз.
Бірінші инвариант – тензор туындының диагноль бойымен орналасқан элементтерінің қосындысынан тұратын скалярлық шама, оны векторлық өрістің дивергенциясы деп атаймыз:
= ах/х + ау/у + а z/z . (2)
Сонымен, дивергенция - векторлық өрістің көлемдік туындыларының бірі болып есептелінетін скалярлы шама. Ол өрістің көзінің тығыздығын анықтайды. Өрісті кескіндейтін векторлық сызықтар осы көздерден таралады немесе оған жинақталады.
Екінші инвариант - тензор туындының антисимметриялық бөлігінен тұратын ( кез келген тензорды симметриялық S және антисимметриялық A бөлікке жіктеуге болады) векторлық шама, оны векторлық өрістің роторы деп атаймыз:
= . (3)
Сонымен, векторлық өріс роторы - өріс жазықтығына перпендикуляр бағытталған вектор, оның шамасы - өріс көзінің құйынының тығыздығын анықтайды. Декартты координаталар системасында оны үшінші дәрежелі анықтауыш ретінде былай өрнектейді:
.
Векторлық өрістің дифференциалды сипаттамалары ретінде скалярлы шама – дивергенцияны, векторлық шама - роторды қолданамыз.
Тапсырма:
Вариантқа сай ( Кесте 1, бөлім 2) векторлы өріс көзінің тығыздығын (2) өрнекті пайдаланып анықта.
Вариантқа сай ( Кесте 1, бөлім 1) векторлы өріс көзінің құйынының тығыздығын (3) өрнекті пайдаланып анықта.
Кесте 1
|
Вариант |
1 – бөлім, өріс векторы |
2 – бөлім, өріс векторы |
|
1 |
=-2у +2х ; |
|
|
2 |
, |
|
|
3 |
=-2у -4х ; |
, |
|
4 |
=-2у +4х ; |
, |
|
5 |
= (x + 2 z ) / (х2 + z2) |
,
|
|
6 |
, |
|
|
7 |
, |
, |
|
8 |
=2у -2х ;
|
|
|
9 |
=-2у +4х ; |
|
|
10 |
= (x -4 z ) / (х2 + z2) |
, |
|
11 |
= (x - 2 z ) / (х2 + z2) |
|
|
12 |
= (x + 2 ) / (х2 + у2) |
|
|
13 |
= (2x - 2 ) / (х2 + у2) |
|
|
14 |
= (2x + 4 ) / (х2 + у2) |
, |
|
15 |
= (2x - 3 ) / (х2 + у2) |
Бақылау сұрақтары:
5. Векторлыќ аѓын дегеніміз не, ол ќалай аныќталады?
Нег.әдеб.6 [7- 10].
3 – Зертханалық жұмыс
Тақырыбы: Электромагниттік өрістің толқындық қасиеттері.
Мақсаты: Студенттерді электромагниттік өрістің өткізгіштік ортада жұтылу қасиеттерімен таныстыру.
Теориялық бөлім
Электромагниттік өріс айнымалы ток контурынан бөлініп, кеңістікте жарық жылдамдығымен толқын түрінде тарала алады. Электромагниттік толқын өзінің қасиеті жағынан жарық толқындары тәрізді, ол өткізгіштік ортаға түскенде жұтылады, диэлектриктер арасында сынады әрі шағылысады.
Электромагниттік өрістің жұтылуы - өткізгіштердің ішкі қабатына қарай ток тығыздығының азаюына алып келеді. Электрлік барлау жұмыстарында оның мәні ерекше, себебі Жердің төменгі қабаттарында айнымалы ток өрісі әлсірейді. Өткізгіштік ортаны жартылай кеңістік деп қарастырсақ, онда гармоникалық өріс кернеуліктері мына өрнектермен анықталады:
E (z,t) = A1 e- z c соs (t -nz c),
Н(z,t) = A1 e- z c соs (t - nz c - ), (1)
мұндағы: n , – сыну және жұтылу коэффициенттері, олар мына өрнектермен анықталады :
n2 = ; 2 =;
- ток тербелісінің жиілігі.
(1) теңдіктен өріс кернеуліктерінің амплитудасы көрсеткіштік заң бойынша кемиді деп есептейміз: .
Толқын амплитудасы тереңдеген сайын азайып қана қоймай, белгілі тереңдікте өзінің фазасын өзгертеді, яғни өрістің бағыты өзгереді.Бұл жағдайда фазаны теңестірсек, өрістің бағыты өзгеретін тереңдікті былай анықтаймыз: z=;
Тапсырма:
Кесте 1
|
Вариант |
- ортаның электрөткізгіштігі, ед.СГСЭ |
- өріс жиілігі, Гц |
- ортаның магниттік өтімділігі |
- ортаның электрлік өтімділігі |
|
1 |
10 |
1.5*10 |
1 |
1 |
|
2 |
10 |
2*10 |
2 |
1 |
|
3 |
10 |
2.5*10 |
3 |
1 |
|
4 |
10 |
3*10 |
1 |
1 |
|
5 |
10 |
3.5*10 |
2 |
1 |
|
6 |
10 |
4*10 |
3 |
1 |
|
7 |
10 |
4.5*10 |
1 |
1 |
|
8 |
10 |
5*10 |
2 |
1 |
|
9 |
10 |
5.5*10 |
3 |
1 |
|
10 |
10 |
6*10 |
1 |
1 |
|
11 |
10 |
6.5*10 |
2 |
1 |
|
12 |
10 |
7*10 |
3 |
1 |
|
13 |
10 |
7.5*10 |
1 |
1 |
|
14 |
10 |
8*10 |
2 |
1 |
|
15 |
10 |
1.5*10 |
1 |
1 |
Бақылау сұрақтары:
Нег.әдеб.6 [231- 239].
4 – Зертханалық жұмыс
Тақырыбы: Тартылыс потенциалы түрлері.
Мақсаты: Потенциалды өрістерді зерттеу. Сызықтық массаның тартылыс потенциалы арқылы тартылыс күшінің вертикаль құраушысын анықтау.
Теориялық бөлім
Векторлық өріс потенциалды, егер оның векторы скалярлы функцияның градиенті ретінде анықталса. Тартылыс күші өрісі де потенциалды, себебі оны элементар массалар тудырады. Потенциалды өріс ерекшелігі болып, өріс векторының проекциялары потенциалдың сол бағыттағы туындысымен анықталатыны жатады, яғни: ;
Екі бағыттағы өлшемін үшінші бағыттағы өлшеміне қарағанда еске алмауға болатын денелерді - сызық бойымен таралған масса ретінде қарастыруға болады (сурет 1). Сызық бойындағы массаның таралу тығыздығын десек, онда элементар сызықтық масса мына
өрнекпен анықталады: , ал бүкіл сызық бойымен орналасқан массалардың тудыратын тартылыс потенциалын нүктелік масса потенциалына сүйене отырып былай есептейміз:
.
Бұл потенциал арқылы сызықтық массаның тартылыс күшін өрнектеуге болады, алдымен күш проекцияларын қарастырамыз:
, , ,
онда сызықтық масса тартылыс күші векторлық түрде былай жазылады:
, немесе
Тапсырма:
Жауабы: : , ,.
3. Тартылыс күші құраушысының z өсіне тәуелділігін график арқылы кескінде.
4. Қорытынды жаса.
Кесте 1.
|
Вариант |
Масса, кг |
Радиус, м |
Координаты (Р),м |
|
1 |
105 |
103 |
0- 103, қадам 100 м. |
|
2 |
105 |
102 |
- |
|
3 |
106 |
103 |
- |
|
4 |
106 |
102 |
- |
|
5 |
104 |
104 |
- |
|
6 |
104 |
103 |
- |
|
7 |
103 |
102 |
- |
|
8 |
103 |
104 |
- |
|
9 |
105 |
105 |
- |
|
10 |
107 |
107 |
- |
|
11 |
107 |
105 |
- |
|
12 |
105 |
103 |
- |
|
13 |
102 |
10 |
- |
|
14 |
104 |
102 |
- |
|
15 |
107 |
104 |
- |
Бақылау сұрақтары:
Нег.әдеб.5 [3- 14].
5- Зертханалық жұмыс
Тақырыбы: Логарифмдік потенциалдар
Мақсаты: потенциалдың логарифмдік өрісін зерттеу.
Қос қабаттың логарифмдік тартылыс потенциалын анықтау.
Теориялық бөлім
Жазық қос қабатты - жазық дипольдан тұрады деп есептеуге болады, егер оларды цилиндрлiк бетке бiр жағына оң , екiншi жағына терiс таңбалы масса орналасатындай етiп жайғастыратын болсақ. Егер оны ені болатын кішкене жолақтарға бөлсек, ол жолақтарды элементар жазық диполь ретінде қарастыруға болады, ал оның моментi былай анықталады: dр= d.
Онда элементар қос қабат потенциалын мына өрнекпен жазамыз :
Жазық қос қабат потенциалы элементар диполь потенциалдары қосындысынан тұратын болғандықтан, оны бұл өрнекті интегралдау арқылы аламыз:
Мұндағы cos = cos(r,n) –нормаль мен r арасындағы бұрыш. - элементар жолақ моменті.
Тапсырма:
1. Жазық қос қабат моменті контуры бойынша горизонталь бағытталған, яғни жазық қос қабат координата басында z1, z2 тереңдікте вертикаль орналасқан. Х өсі бойымен орналасқан Р нүктелері үшін тартылыс потенциалын есептейтін өрнекті қорытып шығар.
Жауабы:
2. 1 кестедегі вариантқа сай жазық қос қабаттың потенциалын есепте.
3. Қос қабаттың логарифмдік потенциалының Р нүктесінің координатасына тәуелділігін график арқылы кескінде
4. Қорытынды жаса..
Кесте 1.
|
Вариант |
Z1 |
Z2 |
Координаты (Р),м |
|
1 |
100 |
400 |
0- 103, қадам 100 м. |
|
2 |
200 |
600 |
- |
|
3 |
300 |
800 |
- |
|
4 |
400 |
1000 |
- |
|
5 |
500 |
1000 |
- |
|
6 |
600 |
1200 |
- |
|
7 |
700 |
1400 |
- |
|
8 |
800 |
1600 |
- |
|
9 |
900 |
1900 |
- |
|
10 |
100 |
1000 |
- |
|
11 |
200 |
800 |
- |
|
12 |
300 |
600 |
- |
|
13 |
400 |
1200 |
- |
|
14 |
500 |
900 |
- |
|
15 |
600 |
1600 |
- |
Бақылау сұрақтары:
Нег.әдеб.5 [14- 17].
2.5 Оқытушының жетекшілігімен орындалатын студенттердің өзіндік жұмыстары бойынша өткізілетін сабақтардың жоспары (СОӨЖ)
|
№ р/р |
Тақырыбы |
Өткізу тәсілі |
Әдістемелік ұсыныстар |
Әдебиеттері |
|
1 |
Скалярлы өріс және оның туындысы. |
тренинг |
Скалярлы өрістің дифференциалды сипаттамасын ( градиент) есептеуді бекіту. |
Негізгі әдебиет 6[5-7] |
|
2 |
Векторлы өріс және оның көлемдік туындылары. |
тренинг |
Векторлық функциядан векторлық аргумент бойынша толық туынды ( тензор туынды) және оның инварианттары дивергенция мен роторды есептеуді бекіту. |
Негізгі әдебиет 6[7-10] |
|
3 |
Өріс теориясының негізгі интегралдық өрнектері. |
тренинг |
Остроградский-Гаусс, Стокс, Грин өрнектерін қолдана білу. |
Негізгі әдебиет 6[12-30] |
|
4 |
Өріс теңдеулері. |
тренинг |
Лаплас және Пуассон теңдеулерінің алу жолдарын білу. |
Негізгі әдебиет 6 [25-27] |
|
5 |
Тұрақты токтың электр өрісі. |
тренинг |
Тұрақты токтың біріккен заңын шығару. |
Негізгі әдебиет 6[139-147] |
|
6 |
Тұрақты токтың магнит өрісі. |
тренинг |
Тұрақты токтың магнит өрісін векторлық потенциал арқылы өрнектеуді үйрену. |
Негізгі әдебиет 6[181-189] |
|
7 |
Максвелл теңдеулері. |
тренинг |
Максвелл теңдеулері, олардың физикалық мағнасын жаттау. |
Негізгі әдебиет 6[214-218] |
|
8 |
.Кернеуліктердің толқындық теңдеулері. |
тренинг |
Электромагниттік өрістің кеңістікте таралуы. |
Негізгі әдебиет 6[228-231] |
|
9 |
Электромагниттік өрістің толқындық қасиеттері. |
тренинг |
Оптика заңдарының электромагниттік теория тұрғысынан түсіну. |
Негізгі әдебиет 6[231-239] |
|
10 |
Деформацияның қарапайым түрлері. |
тренинг |
Созылу, қысылу, ығысу, бұратылу деформациялары және оларға арналған Гук заңын пайдалана білу. |
Негізгі әдебиет 2[274-282] |
|
11 |
Серпінді кернеулік пен деформация тензоры. |
тренинг |
Деформация түрлері, оны орын ауыстыру векторы арқылы өрнектеуді үйрену. |
Негізгі әдебиет 2[289-300] |
|
12 |
Тартылыс потенциалы түрлері. |
тренинг |
Магниттік масса, диполь және көлемдік магниттелген дененің тартылыс потенциалдарын ажырата білу. |
Негізгі әдебиет 5[3-14] |
|
13 |
Логарифмдік потенциалдар. |
тренинг |
Қос қабаттардың, дипольдың логарифмдік тартылыс потенциалдары қорытып шығара білу.. |
Негізгі әдебиет 5[14-17] |
|
14 |
Гриннің фундаменталды өрнегі |
тренинг |
Гриннің екінші өрнегін екі гармоникалық функцияларға пайдалану жолдарын қарастыруды үйрену. |
Негізгі әдебиет 5[18-22] |
|
15 |
Гармоникалық функциялар және олардың негізгі қасиеттері |
тренинг |
Гармоникалық функцияның аналитикалық функциялармен байланысын қарастыру. |
Негізгі әдебиет 5[22-25] |
1-Тақырып. Өріс теориясының негізгі түсініктері. Скалярлы өріс және оның туындысы.
Мына сұрақтарға жазбаша жауап беріңдер:
Әдістемелік ұсыныс: жауапты жазбаша есепнама түрінде беру.
Ұсынылатын әдебиет. Негізгі әдебиет 6[5-7]
2-Тақырып: Векторлы өріс және оның көлемдік туындылары
Мына сұрақтарға жазбаша жауап беріңдер:
Әдістемелік ұсыныс: жауапты жазбаша есепнама түрінде беру.
Ұсынылатын әдебиет: Негізгі әдебиет 6[7-10]
3-Тақырып Өріс теориясының негізгі интегралдық өрнектері.
Мына сұрақтарға жазбаша жауап беріңдер:
1) Остроградский өрнегінің жазылымдары;
2) Стокс өрнегінің жазылымдары;
3) Грин өрнектері.
Әдістемелік ұсыныс: жауапты жазбаша есепнама түрінде беру.
Ұсынылатын әдебиет: Негізгі әдебиет 6[12-30]
4-Тақырып Өріс теңдеулері. Векторлы өріс классификациялары.
Мына сұрақтарға жазбаша жауап беріңдер:
1) потенциалды өріс теңдеуінің жазылымы;
2) түтікшелі өріс теңдеуінің жазылымы ;
3) құйынды – құйынсыз өріс теңдеуінің жазылымы.
Әдістемелік ұсыныс: жауапты жазбаша есепнама түрінде беру.
Ұсынылатын әдебиет: Негізгі әдебиет 6[25-27]
5-Тақырып Тұрақты токтың электр өрісі және оның дифферециалды заңдары.
Мына сұрақтарға жазбаша жауап беріңдер:
1) тұрақты ток сызығы;
2) тұрақты токтың электр өрісінің теңдеуі ;
3) тұрақты токтың заңдары.
Әдістемелік ұсыныс: жауапты жазбаша есепнама түрінде беру.
Ұсынылатын әдебиет: Негізгі әдебиет 6[139-147].
6-Тақырып Тұрақты токтың магнит өрісі. Био-Савар заңы.
Мына сұрақтарға жазбаша жауап беріңдер:
1) ток элементі;
2) Био-Савар заңы түрлі өткізгіштер үшін;
3) тұрақты токтың магнит өрісінің теңдеуі.
Әдістемелік ұсыныс: жауапты жазбаша есепнама түрінде беру.
Ұсынылатын әдебиет: Негізгі әдебиет 6[181-189].
7-Тақырып Айнымалы токтың электромагниттік өрісі. Ығысу тогы. Максвелл теңдеулері.
Мына сұрақтарға жазбаша жауап беріңдер:
1) айнымалы ток өрісі;
2) ығысу тогы;
3) айнымалы ток өрісінің кеңістікте таралымы;
4) айнымалы токқа арналған заңдар.
Әдістемелік ұсыныс: жауапты жазбаша есепнама түрінде беру.
Ұсынылатын әдебиет: Негізгі әдебиет 6[214-218].
8-Тақырып Кернеуліктердің толқындық теңдеулері.
Мына сұрақтарға жазбаша жауап беріңдер:
1) қозғалыс теңдеуін алу жолы;
2) кернеуліктің уақыт бойынша бірінші туындысының мәні;
3) кернеуліктің уақыт бойынша екіншітуындысының мәні ;
4) өріс энергиясы.
Әдістемелік ұсыныс: жауапты жазбаша есепнама түрінде беру.
Ұсынылатын әдебиет: Негізгі әдебиет 6[228-231].
9-Тақырып Электромагниттік өрістің толқындық қасиеттері
Мына сұрақтарға жазбаша жауап беріңдер:
1) гармоникалық өрістің кернеулігінің толқындық теңдеулері;
2) электромагниттік өрістің өткізгіштік ортада жұтылу себебі;
3) электромагниттік өрістің диэлектриктер арасындашағылысуы, сынуы ;
4) жазық өріс теңдеуі, шешімі.
Әдістемелік ұсыныс: жауапты жазбаша есепнама түрінде беру.
Ұсынылатын әдебиет: Негізгі әдебиет 6[231-239].
10-Тақырып Серпінділік теориясы элементтері. Деформацияның қарапайым түрлері.
Мына сұрақтарға жазбаша жауап беріңдер:
1) деформация туралы жалпы ұғым;
2) өзектің созылуы;
3) ығысу деформациясы ;
4) бұратылу.
Әдістемелік ұсыныс: жауапты жазбаша есепнама түрінде беру.
Ұсынылатын әдебиет: Негізгі әдебиет 6[274-282].
11-Тақырып Серпінді кернеулік пен деформация тензоры
Мына сұрақтарға жазбаша жауап беріңдер:
1) нормаль кернеулік;
2) жанама кернеулік;
3) ығысу векторы;
4) бұратылу векторы.
Әдістемелік ұсыныс: жауапты жазбаша есепнама түрінде беру.
Ұсынылатын әдебиет: Негізгі әдебиет 6[289-300].
12-Тақырып Тартылыс потенциалы түрлері.
Мына сұрақтарға жазбаша жауап беріңдер:
1) бүкіләлемдік тартылыс заңы;
2) потенциалды өрістің ерекшелігі;
3) суперпозиция принципі;
4) дипольдің құрылымы.
Әдістемелік ұсыныс: жауапты жазбаша есепнама түрінде беру.
Ұсынылатын әдебиет: Негізгі әдебиет 5[3-14].
13-Тақырып Логарифмдік потенциалдар.
Мына сұрақтарға жазбаша жауап беріңдер:
1) сызықтық массаның логарифмдік тартылыс потенциалы;
2) көлемдік массаның логарифмдік тартылыс потенциалы;
3) жай қабаттың логарифмдік тартылыс потенциалы ;
4) жазық дипольдің құрылымы.
Әдістемелік ұсыныс: жауапты жазбаша есепнама түрінде беру.
Ұсынылатын әдебиет: Негізгі әдебиет 5[14-17].
14-Тақырып Гриннің фундаменталды өрнегі.
Мына сұрақтарға жазбаша жауап беріңдер:
1) Гриннің бірінші өрнегі;
2) Гриннің екінші өрнегі;
3) Гриннің фундаментальды өрнегі;
Әдістемелік ұсыныс: жауапты жазбаша есепнама түрінде беру.
Ұсынылатын әдебиет: Негізгі әдебиет 5[18-22].
15-Тақырып Гармоникалық функциялар және олардың негізгі қасиеттері
Мына сұрақтарға жазбаша жауап беріңдер:
1) гармоникалық функция анықтамасы;
2) гармоникалық функциялардың қасиеттеріі;
3) Гаусс өрнегі;
Әдістемелік ұсыныс: жауапты жазбаша есепнама түрінде беру.
Ұсынылатын әдебиет: Негізгі әдебиет 5[22-25].
Пән бойынша берілетін курстық жұмыс толығымен стандартқа сәйкес дайындалады. Ол негізінен кіріспе, негізгі және қортынды бөлімнен тұрады. Кіріспе бөлімде курстық жұмыстың мақсаты, өзектілігі ашылып жазылады. Негізгі бөлім берілген тапсырмаға байланысты істелінген жұмыстарға шолу жасалынып, алға қойған мақсаттардың шешу жолдары мен олардың шешіімдерін қамтиды. Қортынды бөлімде курстық жұмыстың жүргізілу барысында алынған деректерге қортынды жасалынады. Сонымен қатар курыстық жұмыс соңында пайдаланған әдебиеттер тізімі көрсетіледі.
Курстық жұмыс тақырыптары:
а. Вектор дивергенциясын қисық сызықты координаталарда өрнектеу.
б. Верторлы өріс құйынын қисық сызықты координаталарда өрнектеу.
2) Әртекті ортадағы электростатикалық және магниттік өріс:
а. Диполь өрісі.
б.Поляризацияланған дене потенциалы.
в. Қос қабат.
3) Тұрақты токтың электр және магнит өрісі:
а. Тұйықтау.
б.Нүктелік тұйықтау облысындағы өткізгіштік шар.
в. Өткізгіш жапсарындағы қос қабат өрісі.
г. Токтың магнит өрісіндегі магнетиктер.
4) Электромагниттік өріс:
а. Электромагниттік өріс потенциалдары және олардың толқындық теңдеулері.
б. Электромагниттік өрістегі энергияның сақталу заңы.
в. Біртекті өткізгіштік ортадағы Герц векторы.
5) Серпінділік теориясының элементтері:
а.Изотропты ортадағы серпінді толқындар.
б.Газ бен сұйықтарда серпінді толқындардың таралу жылдамдығы.
6) Потенциалдар теориясы:
а.Ауырлық күші потенциалы және оның туындылары.
б. Сфера мен жазықтыққа арналған Дирихле есебі және олардың шешімі.
в. Сфера мен жазықтыққа арналған Нейман есебі және олардың шешімі.
г. Сфералық функциялар және Лаплас теңдеуі.
д.Ауырлық күші потенциалын сфералық функциялар қатарына жіктеу .
Ұсынылатын әдебиеттер: Негізгі әдебиет 6,5,4,2.
2.8 Өздік бақылау үшін тест тапсырмалары
а) жылдамдық; б) қысым; в) кернеулік; г) күш; д) серпінділік кернеуі.
4. Деңгейлік бет
а) нормаль жазықтық; б) тұйық бет; в) тұрақты скалярлы шама жазықтығы; г) скалярлы шама түрақсыз жазықтық; д) аудан.
5.Ом заңының дифференциалды жазылымы қандай шамалар арасындағы байланысты береді?
а) күш пен жүмыс; б) кернеулік пен кысым; в) кернеулік пен ток тығыздығы; г) ток пен кедергі; д) аудан мен көлем.
6. Био-Савар занымен кай өрісіті анықтаймыз?
а) тұрақты токтың магнит өрісін; б) тұрақты токтың электр өрісін ; в) ток тығыздығы өрісін; г)кедергі өрісін; д) скалярлы өрісті .
а) электрлік; б) магниттік; в) серпінділік; г) тензорлық; д) электромагниттік.
10. Ығысу тогы дегеніміз не?
а) магнит өрісінің координата бойынша өзгерісі; б) магнит өрісінің уақыт бойынша өзгерісі; в) электр өрісінің координата бойынша өзгерісі; г) электр өрісінін уақыт бойынша өзгерісі; д) электромагниттік өріс өзгерісі.
11. Тұрақты токтың электр өрісі кандай?
а) құйынды; б) түтікшелі; в) соленоидты; г) айналымды; д) кұйынсыз.
12. Тұрақты токтың магнит өрісі қандай?
а) кұйынды; б) айналымсыз; в) потенциалды; г) тензорлы; д) құйынсыз.
13. Кернеуліктің толқындық теңдеуі нені сипаттайды?
а) жиілікті; б) айналымды; в) потенциалды; г) тензорды; д) қозгалысты.
14. Максвелдің бірінші теңдеуі айнымалы токқа арналған қай заңның дифференциалды жазылымы?
а) Ом занының; б) Кирхгофф занының; в) Джоуль-Ленц заңының; г) Фарадей заңының; д) Био-Савар заңының .
15. Максвелдің екінші теңдеуі қай заңнын дифференциалды жазылымы?
а) Ом заңының; б) Кирхгофф заңының; в) Джоуль-Ленц заңының; г) индукция заңының; д) Био-Савар заңының.
16. Кернеулік дегеніміз не?
а) күш шамасының көлемге катынасы; б)күш шамасының ауданға қатынасы; в) бірлік көлемге келетін күш; г) ауданның күш шамасына қатынасы; д) көлемннің күш шамасына қатынасы.
17. Деформация тензоры қай вектордың өрісі арқылы анықталады?
а) жылдамдық векторы; б) ығысу векторы; в) күш векторы; г) кернеулік векторы; д) деформация векторы.
18. Бұратылу векторы тензор -туындынын қай бөлігімен сипатталады?
а) антисимметриялық; б) симметриялық в) негізгі; г) жалпы; д) ширек.
19. Гук заңының жалпы жазылымы қандай физикалық шамалар арасындағы байланысты береді?
а) күш пен кысым; б) масса мен көлем; в) кернеулік пен салыстырмалы ығысу; г) кернеулік пен қысым; д) деформация мен қысым.
20. Потенциалдар теориясы кандай өрісті зерттейді?
а) скалярлы; б) кұйынды; в) түтікшелі; г) кұйынсыз; д) соленоидты.
21. Тартылыс потенциалы аркылы тартылыс күші құраушыларын калай аныктауға болады?
а) тартылыс потенциалынан бағыт бойьшша туынды алу арқылы; б) тартылыс потенциалын интегралдау арқылы ; в) тартылыс потенциалын еселеу аркылы; г) тартылыс потенциалын бөлшектеу аркылы; д) тартылыс потенциалын көбейту арқылы.
а) массадан; б) оң таңбалы массадан; в) теріс таңбалы массадан; г) оң және теріс таңбалы массадан; д) көлемдік массадан.
24. Дипольдің тартылыс потенциалы қай бағытта ең үлкен мәнге ие болады?
а) диполь осіне перпедикуляр бағытта; б) диполь осіне сүйір бұрыш бағытында; в) диполь осі бойында; г) диполь осіне доғал бұрыш бағытында; д)) диполь осіне тік бұрыш бағытында .
25. Дипольдің тартылыс потенциалы кай бағытта ең кішІ мәнге ие болады?
а) диполь осіне перпедикуляр бағытта; б) диполь осіне сүйір бұрыш бағытында; в) диполь осі бойында; г) диполь осіне доғал бұрыш бағытында; д)) диполь осіне параллель бағытта.
26. Көлемдік массаның, жәй және қос қабаттың тартылыс панециалдары қай өрнек аркылы анықталады?
а) Гриннің бірінші өрнегі; б) Гриннің фундаментальды өрнегі ; в) Гриннің екінші өрнегі; г) Гриннің өрнектері; д)Дирихле интегралы.
Жауабы: 1.б., 2.в.,3.д.,4.в.,5.в.,6.а.,7.д.,8.а.9д.,10.г.,11.д.,12.а.,1З.д.,14.д.,15.г.,16.б., 17.б., 18.а., 19. в, 20.г., 21. а., 22. д., 23.г., 24.в., 25.а., 26.б.
2.9 Курс бойынша емтихан сұрақтары
1. Скалярлык өріс, оның туындысы.
2. Тұраќты токтың электр өрісі, Ом заңы.
3. Векторлық ағын. Остроградский-Гаусс өрнегі.
4. Дифференцналды түрдегі Кирхгоф заңы.
5 . Гриннің бірінші өрнегі.
6. Дифферециалды түрдегі Джоуль-Ленц заңы.
7. ¤ріс теңдеулері, Векторлық өрістердің классификациясы.
8. Тұрақты токтың біріккен заңы.
9. Өрістің потенциалды және квазипотенциалды болу шарттары.
10. Тұрақты токтың магниттік өрісі, сызықтық ток үшін Био-Савар зањы.
11. Пуассон және Лаплас теңдеулері.
12. Кµлемдік тұраќты токтың магнит өрісінің кернеулігі.
13. Гринніњ фундаментальды өрнегі.
14. Айнымалы токтың злектромагнитгік өрісі
15. Тартылыс потенциалыныњ негізгі түрлері.
16. Ыѓысу тогы.
17. Көлемдік массаның тартылыс потенциалы.
18. Айнымалы ток үшін Кирхгофтың I -заңы, өткізпштік ток.
19. Дипольдыњ және кµлемдік магниттелген дененің потенциалы.
20. Максвеллдің 1-теңдеуі.
21. Сызыќтыќ массаның логарифмдік тартылыс потенциалы.
22 Максвеллдің 2-теңдеуі.
23. Жай ќабаттың және көлемдік массаның логарифмдік тартылыс потенциалы.
24. Максвелл теңдеулерінің жүйесі.
25. Диполь логарифмдік потенциалы.
26. Электромагнитгік өрістің кернеулігі,толкындық теңдеулері.
27. Гармоникалық функциялар жєне оның қасиеттері.
28. Электромагнитгік өрістің энергиясы.
29. Гармоникалық функцияның орта мєні туралы Гаусс теоремасы.
30. Электромагниттік толқынның ж±тылуы.
31. Серпінділік теориясының элементтері.
32. Жазық электромагнитгік толқын, оның кернеуліктерінің толқындыќ теңдеулері.
33. Өзектің созылуы, Гук заңы.
34. Жазық толқыныньщ диэлектриктер арасындаѓы шаѓылуы, сынуы.
35. Өзектің көлденең өлшемдерінің қысқаруы..
36. Электромагннттік өрістің векторлыќ потенциалы , толќындыќ теңдеулері.
37. Ығысу және ығысу модулі.
38. Электромагнитгік өрістің скалярлы потенциалы ,толќындыќ теңдеуі.
39. Бұратылу.
40. Электромагниттік өрістің потенциалының толќындыќ теңдеулері, шешімі.
41. Стокс өрнегі, оның векторлы және скалярлы жазылымы.
42.Тұрақты токқа арналған Ом заңы.
43.Потенциалды өріс теңдеуі.
44. Құйынды өріс теңдеуі.
45. Лаплас өрісі теңдеуінің шешімі.
46. Айнымалы токқа арналған Кирхгоф заңы.
46. Био-Савар зањының дифференциалды жазылымын алу.
47. Био-Савар зањының интегралды жазылымын алу.
48. Нүктелік массаның тартылыс потенциалын анықтау жолы.
49. Жай қабаттың тартылыс потенциалын анықтау.
50. Қос қабаттың тартылыс потенциалын қорыту.
51. Сызықтық массаның тартылыс потенциалы.
52. Қатты денелердегі деформацияның жүруін графика түрінде кескіндеу.
53. Скин эффект құбылысы.
54. Дирихле интегралы.
55. Гриннің екінші өрнегі.
56. Векторлы өріс, оның дифференциалды сипаттамалары.
57. Векторлық өрістің дивергенциясы.
58. Векторлық өрістің роторы.
59. Скалярлық өріс градиенті.
60. Векторлық өрістің тензор -туындысы.
61. Пуассон коэффиценті.
62. Серпінді кернеуліктің тензоры.
63. Деформация тензоры.
64. Нормаль және жанама кернеуліктер.
65. Жазық қос қабаттың логарифмдік потенциалы.
66. Дипольдің құрылымын сипаттау.
67. Жазық дипольдың құрылымын сипаттау.
68. Қос қабаттың құрылымын сипаттау.
69. Жазық қос қабаттың құрылымын сипаттау.
70. Жай қабаттың құрылымы.
71. Векторлық түтікше.
72. Векторлық жазықтық.
73. Векторлық сызық.
75. Ток сызығы.
76. Пластикалық ағу.
77. Салыстырмалы көлем өзгерісін өрнектеу.
78. Дивергенцияның физикалық мағнасы.
79. Ротордың физикалық мағнасы.
80. Ығысу векторымен деформацияны сипаттау.
Глоссарий
Өріс - әрбір нүктесіне белгілі бір физикалық шама сәйкес келетін кеңістіктің бір бөлігі.
Скалярлы µріс деп єрбір н‰ктесіне белгілі бір скалярлы шама сєйкес келетін кењістіктіњ бір бµлігін айтамыз.
Деңгейлік бет дегеніміз скалярлық функцияның бірдей мәніне ие болатын нүктелердің геометриялық орны.
Екі дењгейлік бет арасындаѓы кењістік дењгейлік ќабат деп аталынады. Дењгейлік беттердіњ нормаль бойынша араќашыќтыѓы дењгейлік ќабаттыњ ќалыњдыѓы деп аталынады.
Градиент- дењгейлік бетке нормаль баѓытталѓан вектор, оның сандыќ мєні функцияныњ осы баѓыттаѓы туындысыныњ шамасына тењ.
Векторлыќ µріс деп єрбір н‰ктесіне бір векторлыќ шама сєйкес келетін кењістіктіњ бір бµлігін айтамыз.
Векторлыќ µріс векторлыќ сызыќ арќылы кескінделеді, м±ндай сызыќтыњ єрбір н‰ктесіне ж‰ргізілген жанама µріс векторымен баѓыттас болады.
Векторлыќ сызыќтарѓа перпендикуляр баѓытта ж‰ргізілген жазыќтыќтар нормаль жазыќтыќтар деп аталынып, олар арќылы да векторлыќ µрісті сипаттауѓа болады.
Векторлыќ сызыќтарѓа параллель баѓытта ж‰ргізілген сызыќтар жиынтыѓы векторлыќ жазыќтыќты ќ±райды.
Дивергенция - векторлық өрістің көлемдік туындыларының бірі болып есептелінетін скалярлы шама. Ол өріс көзінің тығыздығын анықтайды.
Векторлық өріс роторы - өріс жазықтығына перпендикуляр бағытталған вектор, оның шамасы - өріс көзі құйынының тығыздығын анықтайды, ол векторлық функциядан көлемдік туынды болып есептелінеді.
Векторлық ағын – тұйық беттен өтетін векторлық сызықтар ағыны.
Потенциалды өріс – векторлы өріс, оның векторы скалярлы функцияның градиенті ретінде анықталады, яғни: , скалярлы функция - векторлы өрістің скалярлы потенциалы деп аталынады.
Векторлы өрістің векторлық потенциалы – векторлы өрісті оңай зерттейтін көмекші функция, мұнда өріс векторы басқа бір векторлы өрістің роторы ретінде анықталады, яғни , - векторлық потенциал.
Квазипотенциалды өріс – векторлы өріс, оның векторы скалярлы функция градиентін скалярлы функцияға көбейтумен анықталады, яғни .
Электр тогы- зарядтардың реттелген қозғалысы.
Ток сызығы - зарядтардың реттелген қозғалысының траекториясы.Сызық бағыты ток бағытын, яғни оң зарядтардың қозғалыс бағытын анықтайды.
Ток тығыздығы – ток сызығына жанама бойынша бағытталған вектор.
Тұрақты токтың дифференциалды заңдары - өткізгіштің нүктелі областарына арналған тұрақты ток заңдары.
Тұрақты токтың интеграллды заңдары - өткізгіштің бүкіл облысына арналған тұрақты ток заңдары.
Ток элементі – ұзындық элементі мен ток шамасының көбейтіндісі, яғни Jdl.
Токты көлемдік өткізгіш - ток көлемдік өткізгіш бойымен ағады, яғни жер қабатында.
Токты жазық өткізгіш - ток жазық өткізгіш бойымен ағады, яғни бетпен.
Электромагнитті өріс - айнымалы токтың электрлік және магниттік өрісі ортақ теориясы бар бір өріске біріктірілген.
Ығысу тогы - электр өрісінің уақыт бойынша өзгерісі.
Өткізгіштік ток - өткізгіштік орта арқылы өтетін ток.
Толық ток - өткізгіштік ток ( ) пен ығысу ток () тығыздықтарының қосындысы.
Кенеуліктің толқындық теңдеулері - электромагниттік толқынның қозғалыс теңдеулері.
Гармоникалық электромагниттік өріс - гармоникалық заңдылықпен өзгеретін айнымалы ток өрісі.
Энергия тығыздығы - өрістің қозғалысына перпендикуляр бірлік ауданнан бірлік уақытта тасымалданатын энергия мөлшері.
Скин – эффект - өткізгіштің көлденең қимасы бойынша айнымалы токтың біркелкі таралмауы. Ток тығыздығы өткізгіш бетінен , оның ішкі бөліктеріне қарай азаяды. Максвелл теориясы бойынша бұл құбылыс электромагниттік өрістің диэлектриктен өткізгіштік ортаға түскенде жұтылу деп түсіндіріледі.
Деформация – сыртқы күш әсерінен қатты денелерде пішін мен көлемнің, сұйықтар мен газдардың көлемінің өзгерісін айтамыз.
Сыртқы күш әсері жойылған кезде дененің алғашқы өлшемі толық немесе жартылай қалпына келеді.
Серпінділік – дененің қалпына келуге ұмтылу қасиеті. Дене алғашқы қалпына толық келсе, онда серпінді дене, ал - жартылай келсе, жартылай серпінді дене.
Деформация шегі – сыртқы күш әсері жойылғаннан кейін де деформацияның сақталуы. Бұл шек дененің физикалық қасиетіне байланысты, оған жеткенше денені серпінді деп қарастыруға болады.
Кернеулік – дененің кез келген қимасындағы сыртқы бірлік бетке түсірілген күш. Сыртқы күш әсерінің уақыт бойынша өзгерісі деформация мен кернеуліктің өзгерісіне алып келеді. Ол бір уақытта жүрмейді, себебі сыртқы күш түскен нүктеден олар белгілі бір жылдамдықпен серпінді толқын түрінде таралады.
Кернеулік жалпы жағдайда түсірілген бетке перпендикуляр болмауы да мүмкін. Сондықтан оның мәні беттің бағытына тәуелді. Егер өзектің күш түсірілетін төменгі ұшы қиғаш болса, онда оның жоғарғы бөлікке әсері созушы F күшімен бағыттас кернеулікпен алмастырылады, онда ол бетке перпендикуляр өзімен тең кернеулік тудырады. Сондықтан бұл кернеулікті бетке перпендикуляр және жанама бағытқа проекциялап, жанама және нормаль кернеулікті анықтаймыз.
Дененің пластикалық ағуы - өзектің сыртқы күш әсері жойылғаннан кейін де ұзаруы.
Созылу және қысқару – нормаль кернеулік тудыратын деформацияның негізгі түрлері, дененің көлемі де, пішіні де өзгереді.
Ығысу – жанама кернеулік тудыратын деформация түрі, тек қатты денелерде жүред, дененің пішіні ғана өзгереді.
Бұратылу – ығысу деформациясына жататын деформация түрі.
Серпінді кернеулік тензоры - бір-біріне перпендикуляр үш бетке түсірілген үш кернеулік векторларыныңх, у, z тоғыз проекциясынан тұратын тензор:
.
Деформация тензоры – дене бөлігіндегі деформацияны сипаттау үшін тензорлық шама енгізіледі. Деформацияны математикалық түрде сипаттау үшін орын ауыстыру векторын енгіземіз: : , мұндағы , нүктенің орын ауыстырғаннан кейінгі және дейінгі радиус векторлары. Сондықтан денедегі деформацияны қарастырғанда, дененің алғашқы өлшемімен сәйкес келетін векторлық өрісін қарастырамыз. Сондықтан орын ауыстыру векторының өрісі деформацияны толық сипаттай алады. Бұл өрістің дифференциалдық сипаттамасы ретінде векторлық функцияның векторлық аргумент бойынша толық туындысы қаралады, ол тензор – туындыны береді. Бұл тензор туынды симметриялы емес, сондықтан оны симметриялы және антисимметриялы бөлікке бөлуге болады. Симметриялы бөлігі деформация тензорын береді.
Бұратылу векторы – дене бөлігінің кеңістікте бұрылуы, ол орын ауыстыру векторының туынды-тензорының антисимметриялық бөлігімен сипатталады.
Тартылыс потенциалы – тартылыс орталығы массасына тәуелді скалярлы функция, оның градиенті арқылы потенциалды өрістің векторы, яғни тартылыс күші анықталады.
Бағыттаушы косинустар – координата осьтері мен тартылыс күші бағыты арасындағы бұрыштардың косинусы.
Өрістердің суперпозиция принципі – бір-біріне әсер еғтпейтін массалар тудыратын өрістердің қосындысы.
Көлемдік массаның тартылыс потенциалы – шексіз көп материальды нүктелер тудыратын тартылыс потенциалы.
Жай қабаттың тартылыс потенциалы - S бетінде h қалыңдықпен орналасқан массалар жиынының тартылыс потенциалы.
Сызықтық массаның тартылыс потенциалы – екі өлшемін үшінші өлшеміне қарағанда еске алмауға болатын массалар жинынының тартылыс потенциалы.
Магниттік масса – магниттелген денелер қарастырылады.
Диполь потенциалы – шамалары бірдей, таңбалары қарама-қарсы, бір-біріне жақын орналасқан массалардың тартылыс потенциалы.
Диполь өсі - шамалары бірдей, таңбалары қарама-қарсы, бір-біріне жақын орналасқан массалар орналасқан нүктелерді қосатын түзу , оны арқылы белгілейміз, түзу бағыты теріс таңбалы массадан оң таңбалы массаға бағытталған.
Диполь ұзындығы - массалар орналасқан нүктелердің арақашықтығы - d, оны қақ бөлетін нүктені диполь ортасы дейміз. Теріс және оң масса диполь полюсі деп аталынады. Диполь өсіне перпендикуляр , диполь ортасы арқылы өтетін жазықтықты экваториальды жазықтық дейміз.
Қос қабаттың тартылыс потенциалы - беттің екі жағынан орналасқан, шамалары бірдей, теріс және оң таңбалы массалар жиынының тартылыс потенциалы.
Гамоникалық функция – берілген V обласы ішінде үздіксіз, бірінші және екінші туындылары бар, Лаплас теңдеуін қанағаттандыратын функциялар (Δ U =0).
Егер y=f(z) функциясы центрі z0 болатын шеңбер ішінде дифференциалданатын болса, онда функция аналитикалық болып есептелінеді.
Шығу туралы мәліметтер
СП ОӘК Геофизика кафедрасының
мәжілісінде талқылынған
2006 ж. 14» ақпан № 6 аттамасы
СП ОӘК Геологиялық барлау институтының
Ғылыми-әдістемелік кеңесінде талқыланып,
мақұлданған
2006ж. «__15» ақпан №6 хаттамасы
050706 – Пайдалы қазбалар геологиясы және оларды
барлау мамандығына арналған
ӨРІС ТЕОРИЯСЫ пәні бойынша
оқу-Әдістемелік кешен
Құрастырушы Исаева Людмила Жандүйсенқызы.
|
Басуға __.__.200__ж. қол қойылды. Пішімі 60х84 1/16. Кітап-журнал қағазы. Көлемі __,__ес.-б.т. Таралымы __ дана. Тапсырыс №___. |
Қ.И.Сәтбаев атындағы баспа типографиясында басылған
Алматы қаласы, Ладыгин көшесі, 32
PAGE 31