У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тематики и компьютерных наук ИвГУ Зимняя сессия 2013-2014 учебный год

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-05

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 2.2.2025

ПРОГРАММА

ЭКЗАМЕНА ПО ДИСЦИПЛИНАМ

"ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ",

''МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ''

для студентов 4 курса д/о факультета математики и компьютерных наук ИвГУ

Зимняя сессия                               2013/2014 учебный год                             Лектор - Пухов С.В.

    1. Примеры экстремальных задач (ЭЗ), их формализация (§ 1).

    2. Общая ЭЗ: постановка, основные определения (абсолютный, локальный и строгий локальный минимум, максимум, экстремум; точка экстремума). Расширенная постановка ЭЗ, нижнее (верхнее) значение ЭЗ, минимизирующая (максимизирующая) последовательность (§ 2). Классы экстремальных задач (§ 2).

    2. Теоремы существования решения в ЭЗ (§ 3, теоремы 1, 2, 3). Условие роста функции на бесконечности вдоль ограничения, пример (§ 3).

    3. Формула Тейлора (ФТ) для функции n переменных: вид разложения и остатка. Оценка остатка. Свойства формы Qs(x,) (§ 4).

    4. Гладкие конечномерные экстремальные задачи без ограничений (ГКБО): постановка, определения. Необходимые условия (НУ) и достаточные условия (ДУ) к-го порядка локального экстремума (ЛЭ) в одномерном случае (§ 4, теорема, 1),  следствия.  

    5. ГКБО: Необходимые условия (НУ) и достаточные условия (ДУ) 1-го и 2-го порядков локального экстремума (ЛЭ) в многомерном случае (§ 4, теоремы 2 и 3). Замечания, стационарные точки, критерий Сильвестра (§ 4). Квадратичные задачи (§ 4, теорема 5).

    6. ГКБО: НУ и ДУ к-го порядка ЛЭ в многомерном случае (§ 4 теорема, 1), контрпримеры, замечания, следствия (§ 4, теоремы 1, 2 и 3).

    7. Общая задача математического программирования (ОЗМП) с ограничениями в виде равенств, неравенств и включений: постановка, определения.  НУ 1-го порядка ЛЭ в общей ЗМП: формулировка и доказательство правила множителей Лагранжа (МЛ) в двумерном случае, геометрический смысл условий правила МЛ (§ 5, теорема 1). Принцип Лагранжа снятия ограничений в экстремальных задачах  (§ 5).

    8. Многомерная ЗМП с ограничениями в виде равенств (ЗМПР): постановка задачи, определения. Правило МЛ – необходимое условие ЛЭ в ЗМПР: формулировка, замечания, доказательство (§ 5, теорема 2). Стационарные точки (вырожденные и регулярные), метод неопределенных МЛ (§ 5).

    9. Разрешимость системы уравнений, неявные функции (постановка задачи, определения, примеры). Теорема о неявной функции (общий многомерный случай, формулировка). Лемма о допустимом векторе (формулировка, доказательство, § 5).

   10. Возмущенная (параметрическая) ЗМПР, смысл МЛ (§ 5).

   11. НУ и ДУ 2-го порядка ЛЭ в ЗМПР: формулировка правила МЛ, замечания, примеры    (§ 5, теоремы 3 и 4, примеры см. на практических занятиях). Условие положительности (отрицательности) квадратичной формы при линейных ограничениях на переменные.

   12. Применение правила МЛ для ЗМПР: неравенства для средних (§ 5).

   13. Применение правила МЛ для ЗМПР: неравенство Адамара (§ 5).

   14. ЗМП с ограничениями в виде равенств и неравенств (ЗМПРН): постановка задачи, определения, правило МЛ (§ 5, теорема 5). Условия дополняющей нежесткости.  

   15. Общая задача математического программирования (ЗМП, МП) с ограничениями в виде равенств, неравенств и включений: НУ 1-го порядка ЛЭ в общей ЗМП: формулировка правила множителей Лагранжа (МЛ), замечания, следствия (§ 5, теорема 5).

 

   16. Выпуклые множества (ВМ): определения, примеры, свойства (§ 6). Выпуклая оболочка множества.

   17. Отделимость множеств. Теоремы об отделимости ВМ (§ 6, теоремы 1,2).

   18. Выпуклые функции (ВФ), их свойства (§ 6).

   19. Задача выпуклого программирования (ЗВП): постановка, определения. Основное свойство ЗВП (§ 6, предложение 1).

   20. Теорема Куна-Таккера – НУ и ДУ абсолютного минимума в ЗВП, условие Слейтера – условие регулярности ЗВП (§ 6, теорема 3).

   21. Простейшая задача линейного программирования (ПЗ ЛП): постановка задачи, НУ и ДУ абсолютного экстремума (предложение 2). Теорема Куна-Таккера в форме теоремы о седловой точке (§ 6, теорема 4).

   22. Простейшая задача классического вариационного исчисления (ПЗ КВИ): постановка, определения абсолютного, сильного и слабого ЛЭ, связь между ними. Пример, показывающий различие понятий сильного и слабого ЛЭ в ПЗ КВИ (§ 7, пример 1). Уравнение Эйлера-Лагранжа (УЭЛ), экстремали (§ 7, теорема 1, замечания).
   23. Вывод УЭЛ методом вариаций: лемма о производной интеграла по параметру, первая и вторая вариации функционала, равенство первой вариации нулю и знакоопределенность второй вариации в точке слабого ЛЭ (§ 7, теорема 1).

   24. Основная лемма КВИ: доказательства по Лагранжу (§ 7, предложение 1) и по Дюбуа-Раймону (§ 7 предложение 2, 3, 4).

   25. Первые интегралы УЭЛ (§7). Задача о брахистохроне: постановка, формализация (§ 1, постановка, формализация), решение, циклоида (§7, пример 2).

   26. Задача о гармоническом осцилляторе (§ 7, пример 4), неравенство Виртингера (§ 7).

   27. Квадратичные ПЗ КВИ: формула приращения квадратичного функционала, ДУ абсолютного экстремума (§ 7, теорема 2).

   28. Задача Больца (ЗБ): постановка, определения абсолютного, сильного и слабого (локальных) экстремумов, связь между ними, УЭЛ и условия трансверсальности – НУ слабого (локального) экстремума в ЗБ (§ 7, теорема 3), пример ЗБ.

   29. Многомерные задачи (МЗ) КВИ: постановка задачи, предложение о связи слабого (сильного) локального экстремума в МЗ КВИ и одномерной задаче КВИ. Системы НУ слабого (локального) экстремума в многомерной простейшая задача – МПЗ и многомерная задача Больца – МЗБ (§7, теоремы 4 и 5). Примеры МПЗ и МЗБ.

   30. Функция Вейерштрасса. Условие Вейерштрасса – необходимое условие сильного ЛЭ в ПЗ КВИ.

   Знакопостоянство второй вариации функционала для слабого ЛЭ в ПЗ КВИ. Условие Лежандра.

   Уравнение Якоби как УЭЛ для второй вариации функционала ПЗ КВИ. Сопряженные точки, условие Якоби как НУ слабого ЛЭ в ПЗ КВИ.

   Полная система НУ и ДУ слабого и сильного ЛЭ в ПЗ КВИ.

   31* (самостоятельно по рекомендованной литературе). Задачи со старшими производными и изопериметрические задачи. Примеры.

   32* (самостоятельно по рекомендованной литературе). Расширение ПЗ КВИ. Пространство кусочно непрерывно-дифференцируемых функций. Лемма о скруглении углов. Связь сильных ЛЭ в исходной и расширенной задачах.

Примечания.

0. Необходимым элементом получения на экзамене высокой («отлично») или средней («хорошо») положительной оценки является выполнение всех задач из двух последних контрольных работ. На экзамене перед ответом студента (на вопросы билета и дополнительные вопросы) состоится совместный (студента с преподавателем) разбор решений задач из контрольных работ (если задачи не были ранее зачтены). Варианты у каждого студента те же, что были на контрольных работах.

1. Вопросы программы, помеченные выше знаком (*), предлагаются тем студентам, которые желают расширить свои представления о КВИ и получить некоторую завершенную картину по ПЗ КВИ. Знание этих тем способствует повышению оценки на экзамене.

2. Список принятых сокращений:

ВМ – выпуклое(ые) множество(а)

ВФ – выпуклая(ые) функция(и)

ДУ – достаточное(ые) условие(я)

ЗБ – задача Больца

ЗВП – задача выпуклого программирования

ЗМП – задача математического программирования

ЗМПР – ЗМП с ограничениями в виде равенств

ЗМПРН – ЗМПР и неравенств

КВИ – классическое вариационное исчисление

ЛП – линейное программирование

ЛЭ – локальный экстремум

МЗ – многомерная(ые) задача(и)

МЗБ – многомерная ЗБ

МЛ – множитель(и) Лагранжа

МПЗ – многомерная простейшая задача

МП – математическое программирование

НУ – необходимое(ые) условие(я)

ПЗ – простейшая задача

УЭЛ – уравнение Эйлера-Лагранжа

ФТ – формула Тейлора

ЭЗ – экстремальная(ые) задача(и)

Рекомендуемая  литература (основная):

  1.  Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. – М.: Наука, 1979.
  2.  Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. – М.: Наука, 1984.
  3.  Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. – М.: МГУ, 1989.
  4.  Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. – М.: Гостехиздат, 1955.
  5.  Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. – М.: Наука, 1961.

Рекомендуемая  литература (дополнительная):

  1.  Абрамов Л.М., Капустин В.Ф. Математическое программирование. – Ленинград: изд-во Ленинградского университета, 1981.
  2.  Беллман Р. Динамическое программирование. – М.: ИЛ, 1960.
  3.  Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. – М.: Наука, 1969.
  4.  Буслаев В.С. Вариационное исчисление. – Л.: изд-во Ленинградского университета, 1980.
  5.  Буслаев В.С. Вариационное исчисление. – Л.: изд-во Ленинградского университета, 1980.
  6.  Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. – Минск: изд-во БГУ, 1981.
  7.  Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. – М.: Наука, 1976.
  8.  Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. – М.: Наука, 1974.
  9.  Коша А. Вариационное исчисление. – М.: Высшая школа, 1983.
  10.  Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. – М.: Высшая школа, 1980.
  11.  Краснов М.Л., Макаренко Г.П., Киселев А.И. Вариационное исчисление: Задачи и упражнения. – М.: Наука, 1973.
  12.  Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. – М.: ГОНТИ, 1938.
  13.  Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Основы  вариационного исчисления, т. 1,2. – М.: ОНТИ, 1935.
  14.  Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. – М.: Наука, 1972.
  15.  Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. – М.: Наука, 1978.
  16.  Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. – М.: Наука, 1983.
  17.  Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. – М.: Наука, 1982.
  18.  Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. – М.: Наука, 1980.
  19.  Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. – М.: Наука, 1975.
  20.  Рокафеллар Т. Выпуклый анализ. – М.: Мир, 1973.
  21.  Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. – М.: Мир, 1973.
  22.  Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. – М.: Наука, 1986.
  23.  Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования, Т. 1,2. – М.: Мир, 1991.
  24.  Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. – М.: Наука, 1978.
  25.  Эльсгольц Л.В. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969.




1. Организация баз данных освоение методики проектирования концептуальной информационной модели предметно
2. Поняття й види стадій вчинення злочину за чинним законодавством
3. Ревизия товарно-материальных ценностей
4. Тема- Обработка массивов Выполнил- студент гр.html
5. Отмывание денег в международном уголовном праве.html
6. тематическое программирование
7. ТЕМА ПОДТЕМА ГРУППА ПРЕПАРАТЫ.html
8. визвольний рух та нетривале існування української державності були причиною того що навіть після їх поразк
9. ~лтты~ а~патты~ технологиялар Орында~ан- Д~йсенов Думан Группа- П101гб Тексерген- Тусупов Е
10. Теоретические проблемы исследования больших социальных групп Введение Психология больших социальных

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе