Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ПРОГРАММА
ЭКЗАМЕНА ПО ДИСЦИПЛИНАМ
"ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ",
''МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ''
для студентов 4 курса д/о факультета математики и компьютерных наук ИвГУ
Зимняя сессия 2013/2014 учебный год Лектор - Пухов С.В.
1. Примеры экстремальных задач (ЭЗ), их формализация (§ 1).
2. Общая ЭЗ: постановка, основные определения (абсолютный, локальный и строгий локальный минимум, максимум, экстремум; точка экстремума). Расширенная постановка ЭЗ, нижнее (верхнее) значение ЭЗ, минимизирующая (максимизирующая) последовательность (§ 2). Классы экстремальных задач (§ 2).
2. Теоремы существования решения в ЭЗ (§ 3, теоремы 1, 2, 3). Условие роста функции на бесконечности вдоль ограничения, пример (§ 3).
3. Формула Тейлора (ФТ) для функции n переменных: вид разложения и остатка. Оценка остатка. Свойства формы Qs(x,) (§ 4).
4. Гладкие конечномерные экстремальные задачи без ограничений (ГКБО): постановка, определения. Необходимые условия (НУ) и достаточные условия (ДУ) к-го порядка локального экстремума (ЛЭ) в одномерном случае (§ 4, теорема, 1), следствия.
5. ГКБО: Необходимые условия (НУ) и достаточные условия (ДУ) 1-го и 2-го порядков локального экстремума (ЛЭ) в многомерном случае (§ 4, теоремы 2 и 3). Замечания, стационарные точки, критерий Сильвестра (§ 4). Квадратичные задачи (§ 4, теорема 5).
6. ГКБО: НУ и ДУ к-го порядка ЛЭ в многомерном случае (§ 4 теорема, 1), контрпримеры, замечания, следствия (§ 4, теоремы 1, 2 и 3).
7. Общая задача математического программирования (ОЗМП) с ограничениями в виде равенств, неравенств и включений: постановка, определения. НУ 1-го порядка ЛЭ в общей ЗМП: формулировка и доказательство правила множителей Лагранжа (МЛ) в двумерном случае, геометрический смысл условий правила МЛ (§ 5, теорема 1). Принцип Лагранжа снятия ограничений в экстремальных задачах (§ 5).
8. Многомерная ЗМП с ограничениями в виде равенств (ЗМПР): постановка задачи, определения. Правило МЛ – необходимое условие ЛЭ в ЗМПР: формулировка, замечания, доказательство (§ 5, теорема 2). Стационарные точки (вырожденные и регулярные), метод неопределенных МЛ (§ 5).
9. Разрешимость системы уравнений, неявные функции (постановка задачи, определения, примеры). Теорема о неявной функции (общий многомерный случай, формулировка). Лемма о допустимом векторе (формулировка, доказательство, § 5).
10. Возмущенная (параметрическая) ЗМПР, смысл МЛ (§ 5).
11. НУ и ДУ 2-го порядка ЛЭ в ЗМПР: формулировка правила МЛ, замечания, примеры (§ 5, теоремы 3 и 4, примеры см. на практических занятиях). Условие положительности (отрицательности) квадратичной формы при линейных ограничениях на переменные.
12. Применение правила МЛ для ЗМПР: неравенства для средних (§ 5).
13. Применение правила МЛ для ЗМПР: неравенство Адамара (§ 5).
14. ЗМП с ограничениями в виде равенств и неравенств (ЗМПРН): постановка задачи, определения, правило МЛ (§ 5, теорема 5). Условия дополняющей нежесткости.
15. Общая задача математического программирования (ЗМП, МП) с ограничениями в виде равенств, неравенств и включений: НУ 1-го порядка ЛЭ в общей ЗМП: формулировка правила множителей Лагранжа (МЛ), замечания, следствия (§ 5, теорема 5).
16. Выпуклые множества (ВМ): определения, примеры, свойства (§ 6). Выпуклая оболочка множества.
17. Отделимость множеств. Теоремы об отделимости ВМ (§ 6, теоремы 1,2).
18. Выпуклые функции (ВФ), их свойства (§ 6).
19. Задача выпуклого программирования (ЗВП): постановка, определения. Основное свойство ЗВП (§ 6, предложение 1).
20. Теорема Куна-Таккера – НУ и ДУ абсолютного минимума в ЗВП, условие Слейтера – условие регулярности ЗВП (§ 6, теорема 3).
21. Простейшая задача линейного программирования (ПЗ ЛП): постановка задачи, НУ и ДУ абсолютного экстремума (предложение 2). Теорема Куна-Таккера в форме теоремы о седловой точке (§ 6, теорема 4).
22. Простейшая задача классического вариационного исчисления (ПЗ КВИ): постановка, определения абсолютного, сильного и слабого ЛЭ, связь между ними. Пример, показывающий различие понятий сильного и слабого ЛЭ в ПЗ КВИ (§ 7, пример 1). Уравнение Эйлера-Лагранжа (УЭЛ), экстремали (§ 7, теорема 1, замечания).
23. Вывод УЭЛ методом вариаций: лемма о производной интеграла по параметру, первая и вторая вариации функционала, равенство первой вариации нулю и знакоопределенность второй вариации в точке слабого ЛЭ (§ 7, теорема 1).
24. Основная лемма КВИ: доказательства по Лагранжу (§ 7, предложение 1) и по Дюбуа-Раймону (§ 7 предложение 2, 3, 4).
25. Первые интегралы УЭЛ (§7). Задача о брахистохроне: постановка, формализация (§ 1, постановка, формализация), решение, циклоида (§7, пример 2).
26. Задача о гармоническом осцилляторе (§ 7, пример 4), неравенство Виртингера (§ 7).
27. Квадратичные ПЗ КВИ: формула приращения квадратичного функционала, ДУ абсолютного экстремума (§ 7, теорема 2).
28. Задача Больца (ЗБ): постановка, определения абсолютного, сильного и слабого (локальных) экстремумов, связь между ними, УЭЛ и условия трансверсальности – НУ слабого (локального) экстремума в ЗБ (§ 7, теорема 3), пример ЗБ.
29. Многомерные задачи (МЗ) КВИ: постановка задачи, предложение о связи слабого (сильного) локального экстремума в МЗ КВИ и одномерной задаче КВИ. Системы НУ слабого (локального) экстремума в многомерной простейшая задача – МПЗ и многомерная задача Больца – МЗБ (§7, теоремы 4 и 5). Примеры МПЗ и МЗБ.
30. Функция Вейерштрасса. Условие Вейерштрасса – необходимое условие сильного ЛЭ в ПЗ КВИ.
Знакопостоянство второй вариации функционала для слабого ЛЭ в ПЗ КВИ. Условие Лежандра.
Уравнение Якоби как УЭЛ для второй вариации функционала ПЗ КВИ. Сопряженные точки, условие Якоби как НУ слабого ЛЭ в ПЗ КВИ.
Полная система НУ и ДУ слабого и сильного ЛЭ в ПЗ КВИ.
31* (самостоятельно по рекомендованной литературе). Задачи со старшими производными и изопериметрические задачи. Примеры.
32* (самостоятельно по рекомендованной литературе). Расширение ПЗ КВИ. Пространство кусочно непрерывно-дифференцируемых функций. Лемма о скруглении углов. Связь сильных ЛЭ в исходной и расширенной задачах.
Примечания.
0. Необходимым элементом получения на экзамене высокой («отлично») или средней («хорошо») положительной оценки является выполнение всех задач из двух последних контрольных работ. На экзамене перед ответом студента (на вопросы билета и дополнительные вопросы) состоится совместный (студента с преподавателем) разбор решений задач из контрольных работ (если задачи не были ранее зачтены). Варианты у каждого студента те же, что были на контрольных работах.
1. Вопросы программы, помеченные выше знаком (*), предлагаются тем студентам, которые желают расширить свои представления о КВИ и получить некоторую завершенную картину по ПЗ КВИ. Знание этих тем способствует повышению оценки на экзамене.
2. Список принятых сокращений:
ВМ – выпуклое(ые) множество(а)
ВФ – выпуклая(ые) функция(и)
ДУ – достаточное(ые) условие(я)
ЗБ – задача Больца
ЗВП – задача выпуклого программирования
ЗМП – задача математического программирования
ЗМПР – ЗМП с ограничениями в виде равенств
ЗМПРН – ЗМПР и неравенств
КВИ – классическое вариационное исчисление
ЛП – линейное программирование
ЛЭ – локальный экстремум
МЗ – многомерная(ые) задача(и)
МЗБ – многомерная ЗБ
МЛ – множитель(и) Лагранжа
МПЗ – многомерная простейшая задача
МП – математическое программирование
НУ – необходимое(ые) условие(я)
ПЗ – простейшая задача
УЭЛ – уравнение Эйлера-Лагранжа
ФТ – формула Тейлора
ЭЗ – экстремальная(ые) задача(и)
Рекомендуемая литература (основная):
Рекомендуемая литература (дополнительная):