Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
СТАВРОПОЛЬСКИЙ ВОЕННЫЙ ИНСТИУТ СВЯЗИ
РАКЕТНЫХ ВОЙСК
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
УТВЕРЖДАЮ
Зам. начальника по УНР
полковник О.Малофей
по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для курсантов
специальности: «Сети связи и системы коммутации»
специальности: «Многоканальные телекоммуникационные системы»
специальности «Радиосвязь, радиовещание и телевидение»
Тема №2 Случайные величины
Лекция № 10 Нормальный закон распределения непрерывной
случайной величины
протокол № 23 от 11.04.2007
Ставрополь
Учебные и воспитательные цели: знать нормальный закон распределения непрерывной случайной величины и его приложения
Время - 90 мин.
Учебно-материальное обеспечение: плакат «Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой»
Вступительная часть - 7 мин.
Учебные вопросы занятия:
|
Нормальный закон распределения. Функция Лапласа. – 38 мин. Числовые характеристики. Вероятность заданного отклонения. Правило трех сигм. – 40 мин. 3.Распределение и Стьюдента (самостоятельно) Заключение - 2 мин. |
Задание курсантам для самостоятельной работы - 3 мин.
Содержание
Вступление
Нормальное распределение было найдено впервые Муавром в 1733 году в связи с его исследованием предела биномиального распределения.
Открытие Муавра прошло незамеченным и только некоторое время спустя нормальное распределение было снова открыто Гауссом в 1809 году и Лапласом в 1812 году. Последний затрагивал эту тему уже в некоторых работах, написанных около 1780 года. Гаусс и Лаплас пришли к нормальной функции в связи со своей работой по теории ошибок наблюдений. Лаплас дал первую (несовершенную) формулировку центральной предельной теоремы и дал большое число важных приложений нормального распределения к различным вопросам теории вероятностей.
Для наглядного пояснения тех условий, при которых возникает нормальное распределение был предложен прибор Гамильтона. Дробинки, которые он насыпал через отверстие, принимали форму холмика.
стоять задача, связанная с отделением. Считают, что по нормальному закону распределены: ошибки измерений, координаты точки попадания снаряда, величина помехи на входе радиоприемного устройства в данный момент, линейные размеры деталей в массовом производстве, многие параметры радиодеталей (емкость, сопротивление, индуктивность). В дисциплине «Теория электрической связи» широко используется этот закон. Например, на приемное устройство поступает аддитивная смесь сигнала и помехи, и перед вами будет сигнала от помехи. Сигнал- неслучайная функция, а помеха – случайная, имеющая нормальный закон распределения. Используя приложении я нормального закона распределения, а именно, нахождение вероятности заданного отклонения случайной величины, вы будете находить вероятность попадания значений в приемник , т.е. , где закон помехи известен (нормальный), а - граница раздела областей принятия решения. Если - решение в пользу сигнала ;. Если - решение в пользу сигнала . ().
1. Нормальный закон распределения. Функция Лапласа
О.1.1. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается дифференциальной функцией
Нормальное распределение определяется двумя параметрами: и , т.е. . Достаточно задать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение.
График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой {кривой Гаусса). Исследуем функцию
методами дифференциального исчисления.
1. Функция определена на всей оси х.
2. При всех значениях х функция принимает положительные значения, т. е. нормальная кривая расположена над осью х.
3. Предел функции при неограниченном возрастании х
(по абсолютной величине) равен нулю: , , т. е.
ось служит горизонтальной асимптотой графика.
4. Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную:
Легко видеть, что при , при , при .
Следовательно, при функция имеет максимум, равный
5. Разность содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, т. е. график функции симметричен относительно прямой .
6. Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную
Легко видеть, что при , вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки она меняет знак (в обеих этих точках значение функции равно ). Таким образом, точки графика являются точками перегиба.
Таким образом, нормальная кривая имеет колоколообразную форму
Выясним теперь влияние параметров и на форму нормальной кривой. Если изменить центр рассеивания (при ), то нормальная кривая будет смещаться вдоль оси , вправо – при увеличении и влево – при уменьшении , не изменяя своей формы
Таким образом, центр рассеивания характеризует положение распределения на оси .
Размерность центра рассеивания та же, что и размерность случайной величины .
Пусть теперь и изменяется . Так как наибольшая ордината кривой , обратно пропорциональна , то чем меньше , тем более островершинной является кривая Гаусса, тем более сконцентрирована площадь под кривой около оси симметрии , тем менее, следовательно, рассеяние случайной величины (
Таким образом параметр характеризует не положение, а форму кривой распределения .
Подчеркнем, что при любых значениях параметров и площадь, ограниченная нормальной кривой и осью , остается равной единице.
Чертеж наглядно иллюстрирует как изменение параметра сказыватся на форме нормальной кривой.
Найдем интегральную функцию нормального распределения по определению
, но этот интеграл не выражается через элементарные функции (вспомним курсовую работу по приближенному вычислению определенного интеграла).
В этом случае используют функцию Лапласа . Значения функции Лапласа табулированы и могут быть найдены во многих источниках
Свойства функции Лапласа:
1) ;
2) нечетная ;
3)
( использован интеграл Пуассона ),
4) .
Поэтому с помощью замены переменной
;
при . при ;
получим, что функция примет вид
,
Эти интегралы не выражаются через элементарные функции. Для их вычисления воспользуемся функцией Лапласа, получим
График функции показан на рисунке
О.1.2. Нормальное распределение с параметрами , т.е. , называется нормированным, т.е..
В этом случае кривую называют нормированной.
Если - нормальная величина с , следовательно величина - нормированная, т.е. .
Интегральная функция нормированного нормального распределения имеет вид . Она широко используется в инженерных приложениях, причем .
Выясним вероятностный смысл параметров нормального распределения.
2. Числовые характеристики. Вероятность заданного отклонения. Правило трех сигм
2.1. Числовые характеристики нормального распределения
Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: есть математическое ожидание, — среднее квадратическое отклонение нормального распределения.
По определению математического ожидания непрерывной случайной величины
Введем новую переменную . Отсюда
первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция ; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат), второе слагаемое содержит интеграл Пуассона :).
Найдем дисперсию нормального распределения:
С учетом подстановки , затем интегрирования по частям дважды
, получим .
Итак, нормальное распределение определяется двумя параметрами и , вероятностей смысл которых определяется равенствами
2.2. Вероятность заданного отклонения. Правила трех сигм
2.2.1. Вероятность попадания случайной величины
в заданный интервал
Мы уже знаем, что если случайная величина Х задана дифференциальной функцией , то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу , такова;
Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу , равна
Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую переменную Отсюда.Найдем новые пределы интегрирования. Если , то если то .
Таким образом, имеем
Пользуясь функцией Лапласа, окончательно получим,
(1)
2.2.2. Вероятность заданного отклонения
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства .
Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством
или
Пользуясь формулой (*) , получим
Приняв во внимание равенство
(функция Лапласа — нечетная), окончательно имеем
В частности, при получим (2)
Наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и , то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (), больше у той величины, которая имеет меньшее значение . Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу параметра (есть среднее квадратическое отклонение; оно характеризует рассеяние случайной величины вокруг ее математического ожидания).
Замечание. Очевидно, события, состоящие в осуществлении неравенств -противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенства равна то вероятность неравенстваравна .
2.2.3. Правило трех сигм
Преобразуем формулу положив . В итоге получим
Если и, следовательно, то
,
т. е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.
Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий, можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
На практике правило трех сигм применяется так: если распределение случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то имеются основания предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.
3. Распределение и распределение Стьюдента (самостоятельно, Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика – М.: Высшая школа, 1972, 1977 гг. стр. 142-143)
Эти распределения играют большую роль в математической статистике.
(Английский математик 1876-1937гг писал под псевдонимом Стьюдент).
О.3.1. Пусть нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение – единице. Тогда случайной величиной «хи-квадрат» с степенями свободы называется сумма их квадратов
Если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например, , то число степеней свободы .
Замечание 1. Из определения следует, что случайная величина принимает только положительные значения, следовательно не подчиняется нормальному закону распределения.
Замечание 2. Из формулы следует, что «хи - квадрат» определяется одним параметром – числом степенной свободы .
Замечание 3. центрированные и нормированные случайные величины.
Дифференциальная функция этого распределения
где - возможное значение , - гамма – функция, в частности .
С увеличением числа степенной свободы распределение медленно приближается к нормальному.
Пусть - нормальная случайная величина, причем
а - не зависимая от величина, которая распределена по закону с
- степенями свободы.
Тогда величина
имеет распределение, которое называют - распределением, или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета) с - степенями свободы.
Итак, отношение нормированной нормальной величины к квадратному корню из независимой случайной величины, распределенной по закону «хи квадрат» с - степенями свободы, деленной на , распределено по закону Стьюдента с - степенями свободы.
С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.
Числом степеней свободы системы следует называть степень ее изменяемости при отсутствии предположения об абсолютной жесткости элементов и связей.
Заключение. Сегодня на лекции мы завершили изучение законов распределения дискретных и непрерывных случайных величин. На следующей лекции мы перейдем к изучению систем случайных величин.
Задание курсантам на самоподготовку:
Учить: лекцию №10 «Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины»
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика -М.: Высшая школа, 2001. стр. 121-132
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: ACADEMA, 2003, стр. 111-126
3. Сподынюк С.В., Васильженко Л.Б., Орехова Т.И., Гулянская О.П. Теория вероятностей и элементы математической статистики. – Ставрополь: СВИС РВ, 2004, стр.119-129
Использованная для подготовки лекции литература:
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа , 2001.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: ACADEMA, 2003
3. Вентцель Е.С. , Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь, 1983.
4. Максимов Ю.Д. Лекции и практические занятия по высшей математике. Теория вероятностей – Ленинград, 1970.
5. Сподынюк С.В., Васильженко Л.Б., Орехова Т.И., Гулянская О.П. Теория вероятностей и элементы математической статистики. – Ставрополь: СВИС РВ, 2004, стр.119-129
Лекция переработана
Сподынюк С.В.
«Утверждаю»
Зам.начальника по УНР
полковник О.Малофей
План проведение лекции по дисциплине 0903
в 221, 222, 121-124 учебных группах 15 и 23 апреля 2004 года
Тема: Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины
Цель: знать дифференциальную и интегральную функции распределения, формулы нахождения вероятности попадания в заданный интервал, вероятности заданного отклонения, правило трех сигм.
Вступление – 7 мин
1. Нормальный закон распределения.
Функция Лапласа. – 30 мин.
2.Числовые характеристики нормального распределения. Вероятность заданного отклонения. Правило трех сигм. – 30 мин.
3.Распределения и Стьюдента – 18 мин.
Заключение – 2 мин.
Задание на самоподготовку – 3 мин.
Содержание
Во вступлении дать мотивацию темы, прикладную направленность, краткую историю вопроса.
1. При изложении первого вопроса дать определение дифференциальной функции нормального распределения, исследовать с помощью производной и построить график. Обратить внимание на влияние параметров распределения на вид кривой распределения. Рассмотреть свойства. Дать определение интегральной функции распределения и обратить внимание на то, что чаще используется нормированное распределение. В этом случае функция табулирована ( см.. приложения)
2. Показать, что параметрами нормального распределения являются математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайное величины. Использовать при интегрировании метод подстановки, изученный в теме 10 «Неопределенный интеграл». В этом же вопросе получить формулы для нахождения вероятности попадания случайной величины в заданный интервал, вероятности заданного отклонения, правило трех сигм.
3. Дать понятие о распределениях и Стьюдента, которые не зависят от числовых характеристик случайной величины и поэтому широко используются в математической статистики при оценке параметров распределения.
Материальное обеспечение: плакат «Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой».
Форма контроля: фронтальный опрос
Задание и методические рекомендации курсантам по самостоятельной работе: учить лекцию «Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины», коллоквиум по законам распределения случайных величин.
Литература
Гмурман В.Е Теория вероятностей и математическая статистика –М.: Высшая школа, 2001, стр.281-292.
Зав. кафедрой высшей математики С.Сподынюк
Изменения, внесенные в список литературы:
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: ACADEMA, 2003, стр. 111-126
Сподынюк С.В., Васильженко Л.Б., Орехова Т.И., Гулянская О.П. Теория вероятностей и элементы математической статистики. – Ставрополь: СВИС РВ, 2004, стр.119-129
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1972, 1977, стр. 121-132, 142-143
Использованная для подготовки лекции литература:
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа , 2001.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: ACADEMA, 2003
3. Боровков А.А. Курс теории вероятностей – М.: Наука, 1972.
4. Вентцель Е.С. , Овчаров Л.А. Теория вероятностей / Задачи и упражнения/. - М.: Наука, 1969.
5. Вентцель Е.С. , Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь, 1983.
6. Максимов Ю.Д. Лекции и практические занятия по высшей математике. Теория вероятностей – Ленинград, 1970.
Заведующая кафедрой «Высшей математики» С.Сподынюк
10 декабря 2004 г.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3