Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE \* MERGEFORMAT 3
Федеральное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
_______________________________________________________
Кафедра “Высшая математика”
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
для студентов заочного факультета
Часть 2
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2011
Студенты всех специальностей во втором семестре выполняют контрольные работы N 4, 5, 6.
Контрольная работа N 4 (функции нескольких переменных) состоит из 5 задач: Д0371-Д0380, 301-310, 311-320, 321-330, 351-360.
Контрольная работа N 5 (комплексные числа и интегральное исчисление) состоит из 5 задач: Д0401-Д0410, Д0381-Д0390, 361-370, 371-380, 381-390.
Контрольная работа N 6 (интегральное исчисление) состоит из 5 задач: Д0391-Д0400, 391-400, 401-410, 411-420, 451-460.
Защита контрольных работ выполняется по задачам с литерой Д.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Функции нескольких переменных
1. Функции двух и трех переменных. Область определения, геометрический смысл, способы задания. Предел функции. Непрерывность. Свойства функций, непрерывных в замкнутой ограниченной области.
2. Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференцирование сложных и неявных функций. Инвариантность формы полного дифференциала. Геометрический смысл полного дифференциала. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
3. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Определение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции в замкнутой ограниченной области. Условный экстремум. Приближение функции методом наименьших квадратов.
4. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению и градиент скалярного поля. Свойства градиента.
5. Векторная функция скалярного аргумента. Производная векторной функции, ее геометрический и механический смыслы. Параметрические уравнения кривой в пространстве. Винтовая линия. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.
Комплексные числа. Многочлены
1. Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формулы Эйлера. Алгебраические действия над комплексными числами.
2. Многочлены в комплексной области. Корни многочлена. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей на простейшие дроби.
Неопределенный интеграл
1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Интегрирование подстановкой и по частям. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование простейших иррациональных выражений. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
Определенный интеграл
1. Задачи, приводящие к понятию интеграла. Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл определенного интеграла. Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона–Лейбница. Вычисления определенного интеграла подстановкой и по частям.
2. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.
3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и интегралы от неограниченных функций.
4. Геометрические приложения определенного интеграла.
Кратные и криволинейные интегралы
1. Задачи, связанные с понятиями двойного, тройного и криволинейного интегралов.
2. Двойной и тройной интегралы и их свойства. Геометрический смысл двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах. Вычисление тройного интеграла путем сведения его к вычислению двойного или определенного интеграла.
3. Криволинейные интегралы первого и второго рода, свойства и вычисление. Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла от формы пути интегрирования.
4. Геометрические и механические приложения кратных и криволинейных интегралов.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Дайте определение частной производной. Приведите примеры.
2. Сформулируйте необходимое условие экстремума функции двух переменных.
3. В чем состоит отличие между задачами нахождения экстремума функции двух переменных и определения наибольшего или наименьшего значения этой функции в замкнутой области?
4. Как преобразовать алгебраическую форму записи комплексного числа в тригонометрическую?
5. Какая функция называется первообразной? Как проверить результат интегрирования?
6. Напишите таблицу первообразных основных элементарных функций.
7. Дайте определение определенного интеграла.
8. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.
9. Приведите пример использования определенного интеграла при вычислении площади фигуры.
10. Дайте определение двойного интеграла.
Список рекомендуемой литературы
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. т. I, 12-е изд. – М: Наука. –2007.
2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. - М.: Физматлит, 2006.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах., т. I, М.: Высшая школа –2008.
4. Письменный Д.Г. Конспект лекций по математике: полный курс. - М: АЙРИС ПРЕСС, 2006.
5. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / [Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н.]; под ред. Н. Ш. Кремера. - 3-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Д0371-Д0380. Найти частные производные первого порядка
для функции .
Д0371. . Д0372. . Д0373. .
Д0374. . Д0375. . Д0376. .
Д0377. . Д0378. . Д0379. .
Д0380. .
Д0401-Д0410. Решить квадратное уравнение на множестве комплексных чисел.
Д0401. . Д0402. . Д0403. .
Д0404. . Д0405. . Д0406. .
Д0407. . Д0408. . Д0409. .
Д0410. .
Д0381-Д0390. Найти неопределенный интеграл. Результаты проверить
дифференцированием.
Д0381. а) ; б) ; в) .
Д0382. а) ; б) ; в) .
Д0383. а) ; б) ; в) .
Д0384. а) ; б) ; в) .
Д0385. а) ; б) ; в) .
Д0386. а) ; б) ; в) .
Д0387. а) ; б) ; в) .
Д0388. а) ; б) ; в) .
Д0389. а) ; б) ; в) .
Д0390. а) ; б) ; в) .
Д0391-Д0400. Вычислить определенный интеграл.
Д0391. ; Д0392. ; Д0393. ;
Д0394. ; Д0395. ; Д0396. ;
Д0397. ; Д0398. ; Д0399. ;
Д0400. .
301-310. Найти частные производные второго порядка для функции z = f (x, y) и показать, что она удовлетворяет данному уравнению.
|
301. |
z = exy ; |
|
|
302. |
z = sin(x – y)/x; |
|
|
303. |
z = ln(x2 + y2 + 2x + 1); |
|
|
304. |
z = xe y/x ; |
|
|
305. |
z = sin(x + ay); |
. |
|
306. |
z = ln(x + e–y); |
|
|
307. |
z = e–cos(a x+y); |
. |
|
308. |
z = sin2(y – ax); |
. |
|
309. |
z = arctg(x/y); |
|
|
310. |
z = x y ; |
|
311-320. Дана функция z = f(x, y) и точки A(x0; y0) и B(x1; y1). Требуется:
1) вычислить точное значение функции в точке B;
2) вычислить приближенное значение функции в точке B, исходя из значения функции в точке A, и заменив приращение функции при переходе от точки A к точке B дифференциалом;
3) оценить в процентах относительную погрешность;
4) составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = f(x, y) в точке C(x0; y0; z0).
|
№ |
z = f(x,y) |
A(x0;y0) |
B(x1;y1) |
|
311. |
z = 3xy + 2x + y |
A(1;2); |
B(1.05; 1.93). |
|
312. |
z = x2 – y2 + 5x + 4y |
A(3;2); |
B(3.02; 1.98). |
|
313. |
z = 3y2 – 9xy + y |
A(1;3); |
B(1.07; 2.94). |
|
314. |
z = x2 + 2xy + 3y2 |
A(2;1); |
B(1.95; 1.04). |
|
315. |
z = 2xy + 3y2 – 5x |
A(3;4); |
B(3.04; 3.95). |
|
316. |
z = xy + x – y |
A(1.5;2.3); |
B(1.43; 2.35). |
|
317. |
z = x2 – y2 – 2x + y |
A(4;1); |
B(3.98; 1.06). |
|
318. |
z = y2 + 6xy – 3y |
A(3;2); |
B(2.94; 2.05). |
|
319. |
z = 2xy + 3x – 2y |
A(2;2); |
B(1.93; 2.05). |
|
320. |
z = x2 + y2 + 2x + 3y |
A(1;2); |
B(1.05; 1.98). |
321-330. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x,y) в замкнутой области D. Сделать чертеж.
|
№ |
z = f(x, y) |
Область D |
|
321. |
z = x2 – 2y + 4xy – 6x – 1 |
|
|
322. |
z = xy – x – 2y |
|
|
323. |
z = 5x2 – 3xy + y2 + 4 |
|
|
324. |
z = 3x + y – xy |
|
|
325. |
z = x2 + 2xy – y2 – 4y |
|
|
326. |
z = x2 + 2xy – y2 + 4x |
|
|
327. |
z = x2 + 3y2x – y |
|
|
328. |
z = x2 + 2y2 + 1 |
|
|
329. |
z = x2 + y2 – xy + x + y |
|
|
330. |
z = 3 – 2x2 – xy – y2 |
|
331-340. Найти экстремум функции z = f(x,y) при условии (x,y) = 0.
|
№ |
z = f(x,y) |
(x,y) = 0 |
|
331. |
z = x2 + y2 |
x + y = 1 |
|
332. |
z = x2 + y2 |
x/3 + y/4 = 1 |
|
333. |
z = x2 + y2 |
4x – 3y = 1 |
|
334. |
z = x2 + y2 |
–x/3 + y/4 = 1 |
|
335. |
z = x2 + y2 |
x – y = 1 |
|
336. |
z = x/3 + y/4 |
x2 + y2 = 1 |
|
337. |
z = x – y |
x2 + y2 = 1 |
|
338. |
z = 4x – 3y |
x2 + y2 = 1 |
|
339. |
z = x/4 – y/3 |
x2 + y2 = 25 |
|
340. |
z = –x/5 + y/12 |
x2 + y2 = 1 |
341-350. Дана функция z = f(x, y), точка A(x0, y0) и вектор а = (ax, ay). Найти: 1) grad z в точке A;
2) производную в точке A по направлению вектора а.
|
№ |
z = f(x, y) |
A(x0; y0) |
а = (ax; ay) |
|
341. |
z = ln(cos(x + y)) |
A(4; 3) |
а = (-1; 1) |
|
342. |
z = (x–y)/(x + y) |
A(4; 3) |
а = (2; 2) |
|
343. |
z = arctg(x2/y) |
A(-2; 4) |
а = (3; 4) |
|
344. |
z = e |
A(0; 1) |
а = (8; 6) |
|
345. |
z = ln |
A(1; -1) |
а = (4; 3) |
|
346. |
z = arsin |
A(1; 4) |
а = (-5; 12) |
|
347. |
z = x4 + 5x2y2 – 3 |
A(2; -2) |
а = (-2; 5) |
|
348. |
z = ln(x2 – ) |
A(2; 1) |
а = (1; 4) |
|
349. |
z = 5x2 + 6xy |
A(2; 1) |
а = (1; 2) |
|
350. |
z = ln(3x – 2y)2 |
A(2; 1) |
а = (1; -1) |
351-360. Экспериментально получены пять значений функции y = f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблицу.
|
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
yi |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
y5 |
Методом наименьших квадратов найти функцию вида Y = aX+b, выражающую приближенно функцию y = f(x). Сделать чертеж, на котором в декартовой системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции Y = aX+b.
|
Задачи |
351 |
352 |
353 |
354 |
355 |
356 |
357 |
358 |
359 |
360 |
|
y1 |
5.9 |
5.5 |
3.9 |
4.9 |
4.5 |
5.7 |
5.2 |
5.1 |
4.7 |
4.3 |
|
y2 |
6.9 |
6.5 |
4.9 |
5.9 |
5.5 |
6.7 |
6.2 |
6.1 |
5.7 |
5.3 |
|
y3 |
5.4 |
5.0 |
3.4 |
4.4 |
4.0 |
5.2 |
4.7 |
4.6 |
4.2 |
3.8 |
|
y4 |
3.4 |
3.0 |
1.4 |
2.4 |
2.0 |
3.2 |
2.7 |
2.6 |
2.2 |
1.8 |
|
y5 |
3.9 |
3.5 |
1.9 |
2.9 |
2.5 |
3.7 |
3.2 |
3.1 |
2.7 |
2.3 |
361-370. Дано комплексное число а. Требуется:
a) записать число а в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;
б) изобразить а на комплексной плоскости;
в) вычислить а12;
г) найти все корни уравнения z3–а = 0;
д) вычислить произведение полученных корней;
е) составить квадратное уравнение с действительными
коэффициентами, корнем которого, является а.
361. а = ; 362. а = ; 363. а = ;
364. а = ; 365. а = ; 366. а = ;
367. а = ; 368. а = ; 369. а = ;
370. а = .
371-380. Найти неопределенные интегралы. В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием.
371. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; e) .
372. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
373. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; e) .
374. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; e) .
375. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; e) .
376. a) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; e) .
377. a) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; e) .
378. a) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; e) .
379. a) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; e) .
380. a) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
381-320. Вычислить определённый интеграл.
381. ; 382. ; 383.
384. ; 385. ; 386. ;
387. ; 388. ; 389. ;
390. .
391-400. Проверить сходимость несобственных интегралов.
391.; 392. ; 393. ;
394. ; 395. ; 396.;
397. ; 398. ; 399. ;
400. .
401-410. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями.
401. a) y = x2 ; y = 2/x; y = 16; б) 2 = 9cos2 .
402. a) y = x3 ; y = x ; y = 4x; б) = 2(1 + cos) .
403. a) y = x ; y = x/2; y = 12 – x; б) = 2cos3 .
404. a) y = x2 + 1 ; y = 3x + 1; б) = 4cos.
405. a) y = 2/x; y = x/2 ; y = 2; б) = 4sin2.
406. a) y = x2 ; y = 2/x; x = 6; б) = cos2.
407. a) y = 2x; y = x ; y = 6 – x; б) = 3 – cos2.
408. a) y = 3x2 + 1; y = 3x + 7; б) = 2(1 + sin).
409. a) y = 2x – x2 ; x + y = 0; б) = 4(1 + sin2).
410. a) y = x2 + 4x ; y = x + 4; б) = 3(1 – cos).
411-420. Изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах, предварительно изобразив на чертеже области интегрирования.
411. ; 412. ;
413. ; 414. ;
415. ; 416. ;
417. ; 418. ;
419. ; 420. .
421-430. Вычислить массу однородного тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость XOY.
421. z = 4 – x2 ; y = 5 ; y = 0 ; z = 0 .
422. z = 9 – x2 ; x + y = 3 ; y = 2x ; z = 0 ; y = 0.
423. x + y + z = 6 ; x = 3 ; y = 3 ; x = 0 ; y = 0 ; z = 0 .
424. z = 0 ; 4z = y2 ; 2x–y = 0 ; x + y = 9 .
425. z = 1 – x2 ; z = 0 ; y = 0 ; y = 3–x .
426. z = 4y1/2; z = 0 ; x = 0 ; x + y = 4 .
427. z = x2 + y2 ; x = 0 ; y = 0 ; z = 0 ; x = 3; y = 4 .
428. 2z = 2 – x – y ; z = 0 ; x = y2 ; y = x .
429. z = 1 – y2 ; z = 0 ; x = y2 ; x = 2y2 + 1 .
430. z = x2 + y2 ; y = x2 ; y = 1 ; z = 0 .
431-440. Вычислить криволинейные интегралы 1-го рода по отрезку прямой между точками А и В.
431. ; A(0,0,0); B(1,2,2) .
432. ; A(8,9,3) ; B(6,9,5) .
433. ; A (1,4,5) ; B (2,6,7) .
434. ; A (2,1,3) ; B (4,3,4) .
435. ; A (1,2,3) ; B (3,4,4) .
436. ; A (3,-1,2) ; B (5,0,4) .
437. ; A (4,1,3) ; B (6,2,5) .
438. ; A (2,3,1) ; B (3,5,3) .
439. ; A (1,2,5) ; B (3,4,6) .
440. ; A (6,1,2) ; B (7,3,4) .
441-450. Найти работу, производимую силой , вдоль указанного пути L . Сделать чертеж кривой L .
441. ;
L–ломаная ОАВ; где () O (0;0) ; () A (2;0) ; () B (4;5).
442. ;
L–дуга окружности, задаваемой уравнениями x = 5cost; y = 5sint , от () A (5; 0) до () B (0;5) .
443. ;
L– дуга кривой xy = 1 (1 x 4).
444. ;
L– дуга параболы y = x2 от () A (-1; 1) до () B (1; 1) .
445. ;
L–верхняя половина эллипса, задаваемого уравнениями x = 3cost, y = 2sint, (0 t ).
446. ;
L–дуга кривой y = e–x от () A (0;1) до () B(-1;e) .
447. ;
L–ломаная ABC, где () A (1;2) , () B (1;5) , () C (3;5) .
448. ;
L– дуга астроиды x = cos3t, y = sin3t, (0 t /2).
449. ;
L– дуга параболы y = 2x2 от () O(0;0) до () A (1;2) .
450. ;
L– дуга кривой y = ln x от () A(1;0) до () B(e;1) .
451-460. Вычислить значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
451.. 452.. 453. .
454.. 455. . 456.. .457.. 458.. 459.. .460..
СОСТАВИЛИ: профессор Гарбарук В.В.,
доцент Канунников В.Н.,
ст. преп. Луценко Ю.Г.,
доцент Соловьева И.М.