Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Федеральное агентство по образованию
Воронежская государственная технологическая академия
Кафедра информационных и управляющих систем
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6
по курсу: Вычислительная математика. Численные методы.
наименование дисциплины
на тему: « Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка численными методами»
Автор работы В.Ю. Белашов группа А – 053
подпись, дата инициалы, фамилия
Специальность 220201 « Управление и информатика в технических системах »
наименование
Обозначение проекта (работы): ЛР – 02068108 – 220201 – 1– 2007
Руководитель Е.А.Хромых
подпись, дата инициалы, фамилия
Работа защищена
дата оценка
Воронеж 2007
Цель работы: освоение численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка – метода Эйлера, модифицированного метода Эйлера, метода Эйлера-Коши, метода Рунге-Кутта 4-го порядка с последующей реализацией на ЭВМ.
,
где N – число точек решения; и – решение, полученное по выбранному методу и по методу Рунге-Кутта 4-го прядка на i-м шаге итераций; и – максимальные и минимальные значения, полученные по методу Рунге-Кутта 4-го прядка.
|
I |
|||||
|
0 |
|||||
|
N |
|||||
2. Создание математической модели
Исходные данные
|
№ вар |
Дифференциальное уравнение |
Интервал решения |
Нач. условие x0 |
Время дискретизации dt |
|
1 |
4 |
0.1 |
Пусть имеется дифференциальное уравнение вида:
.
Необходимо решить данное уравнение на интервале [a, b]. Начальные условия: x(0)=x0.
Численный метод позволяет осуществить расчет последовательности значений функции f(x,t) путем организации итерационного процесса, где последующее значение функции будет рассчитываться через предыдущее.
Количество повторений определяется по формуле:
n=(tk-tн)/dt
1)Метод Эйлера:
2)Модифицированный метод Эйлера:
3)Метод Эйлера-Коши:
4)Метод Рунге-Кутта 4-го порядка:
Сначала задаются параметры, которые будут передаваться в указанную функцию:
x – вектор начальных условий, в данном случае вектор из одного элемента;
a, b – границы интервала для поиска решения;
n – количество точек на интервале;
D(t,x) – вектор-функция первых производных, в данном случае вектор из одного элемента.
Вызов функции осуществляется так:
rkfixed(x,a,b,n,D).
4. Выбор метода решения:
В качестве метода решения необходимо использовать циклический вычислительный процесс.
5. Создание алгоритма решения:
1)Метод Эйлера:
2) Модифицированный метод Эйлера:
3) Эйлера-Коши
4) Метод Рунге-Кутта:
6.Решение в MathCad
2)
3) Метод Эйлера-Коши:
4)
5) Проверка с помощью функции rkfixed:
6) Построение всех графиков в координатной плоскости
7)Расчёт погрешностей относительно метода Рунге-Кутта:
Результаты вычислений представим в таблице:
|
i |
|||||
|
0 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
|
1 |
0,1 |
2,243 |
3,04 |
2,652 |
2,856 |
|
2 |
0,2 |
2,066 |
2,606 |
2,282 |
2,424 |
|
3 |
0,3 |
2,026 |
2,381 |
2,165 |
2,252 |
|
4 |
0,4 |
2,044 |
2,276 |
2,141 |
2,191 |
|
5 |
0,5 |
2,094 |
2,242 |
2,162 |
2,188 |
|
6 |
0,6 |
2,16 |
2,251 |
2,208 |
2,216 |
|
7 |
0,7 |
2,232 |
2,283 |
2,265 |
2,262 |
|
8 |
0,8 |
2,301 |
2,328 |
2,326 |
2,315 |
|
9 |
0,9 |
2,366 |
2,378 |
2,386 |
2,371 |
|
10 |
1 |
2,426 |
2,431 |
2,443 |
2,427 |
|
% |
8,53 |
3,91 |
3,02 |
- |
Вывод: наиболее сложным метод является метод Рунге-Кутта 4-го порядка, так как в нём необходимо вычислять четыре промежуточных коэффициента. Самым простым методом по реализации является метод Эйлера. Наиболее точный метод - Рунге-Кутта. Самым неточным методом является метод Эйлера.
EMBED Mathcad
i = 0
i = i +1
i<n
4
Начало
dx/dt=f(t);x0;t0;tk
n=(tk-tн)/dt
EMBED Mathcad
i
xi
ti
Конец
5
2
1
3
7
8
6
5
6
8
7
3
1
2
Конец
xi
ti
i
i = 0
i = i +1
i<n
4
n=(tk-tн)/dt
dx/dt=f(t);x0;t0;tk
Начало
8
7
3
5
Конец
1
i
i = 0
i = i +1
i<n
6
Начало
dx/dt=f(t);x0;t0;tk
n=(tk-tн)/dt
xi
ti
4
2
EMBED Mathcad
EMBED Mathcad
EMBED Mathcad
i = 0
i = i +1
i<n
EMBED Mathcad
i
2
4
1
Конец
xi
ti
n=(tk-tн)/dt
dx/dt=f(t);x0;t0;tk
Начало
8
7
6
5
3
EMBED Mathcad
EMBED Mathcad
EMBED Mathcad
EMBED Mathcad
EMBED Mathcad
EMBED Mathcad