Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
Ивановский государственный
химико-технологический университет
Численные методы и прикладное программирование
Лабораторная работа №5
Численное интегрирование
Выполнил: студент группы 2-31
Бибаев Я.С.
Проверила преподаватель: Кокурина Г.Н.
Иваново 2013
Краткое теоретическое введение
Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0. (Для формулы средних прямоугольников равен 1).
Если отрезок [ a, b ] является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по
Формуле левых прямоугольников:
Формуле правых прямоугольников:
Формуле прямоугольников (средних):
Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.
Если отрезок [ a, b ] является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле
Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации можно оценить через максимум второй производной
Формула Симпсона (также Ньютона-Симпсона) относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (1710—1761).
Суть метода заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке [a,b] интерполяционным многочленом второй степени
то есть приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет порядок погрешности 4 и алгебраический порядок точности 3.
Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке [a,b]:
где f(a), f((a+b)/2) и f(b) — значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).
Вариант 10:
Задание.
Вычислить приближенное значение заданного определенного интеграла несколькими способами. Оценить погрешность полученных значений.
Расчеты методами прямоугольников, трапеций и методом Симпсона выполнялись в MS Excell:
Таблица расчетов:
Вывод: В лабораторной работе были определены значения определенного интеграла методом прямоугольников 0,399531±0,561958083, методом трапеций 0,423323±0,561958083, методом Симпсона 0,422705±0,11272333.
Наиболее точным оказался метод Симпсона.