Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
9. Задача численного интегрирования. Формула Симпсона.
Пусть на [a,b] задана ф-ия С помощью точек разобьем его на элементарных отрезков причем на каждом из этих отрезков выберем произвольную точку и найдем произведение значения ф-ии в этой точке на длину элементарного отрезка
Составим сумму всех этих произведений:
Сумма называется интегральной суммой. Определенным интегралом от ф-ии на [a,b] наз-ся предел:
Если ф-ия на [a,b] непрерывна, то предел интегральной суммы существет и не зависит ни от выбора точек ни от способа разбиения отрезка [a,b] на элементарные отрезки.
Обычно интеграл считают по ф-ле Ньютона-Лейбница:
На практике этой ф-лой часто не пользуются из-за:
В этих случаях используют методы численного интегрирования. Они основаны на аппроксимации подынтегральной ф-ии некоторыми более простыми выражениями, например многочленами.
Один из способов – представление подынтегральной ф-ии в виде степенного ряда (ряда Тейлора). Это позволяет свести вычисление интеграла от сложной ф-ии к интегрированию многочлена, представляющего первые несколько членов ряда. Но более универсальными методами, пригодными для обоих случаев, являются методы численного интегрирования, основанные на аппроксимации подынтегральной ф-ии с помощью интерполяционных многочленов. Это позволит приближенно заменить определенный интеграл интегральной суммой (24). В зависимости от способа ее вычисления получаются разные методы численного интегрирования (прямоугольников, трапеций, парабол, и др.).
Разобьем отрезок интегрирования на четное число равных частей с шагом . На каждом отрезке подынтегральную ф-ию заменим интерполяционным многочленом второй степени:
Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий равенства многочлена в точках соответствующим табличным данным . В качестве можно принять интерполяционный многочлен лагранжа 2й степени, проходящий ч/з точки :
Элементарная площадь может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая
Равенства получаем
Проведя такие вычисления для каждого элементарного отрезка [], просуммируем полученные выражения:
Данное выражение для принимается в качестве значения определенного интеграла:
(34) называется формулой Симпсона. Метод Симпсона обладает более высокой точностью чем метод прямоугольников и трапеций. Главный член погрешности метода Симпсона имеет вид:
Отличие ф-лы Симпсона от методов прямоуг. и трапеции, в том что для метода симпсона нужно почти вдвое меньше табличных значений ф-ии, поскольку для метода прямоугольников нужны дополнительные данные в полуцелых точках.