Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 23
Передмова
Методичні вказівки з обраної теми складені відповідно до діючої програми курсу загальної фізики для вищих навчальних закладів. Вони містять приклади рішення типових задач, а також приклади завдань для самостійного розв’язування.
Рівень складності задач досить різноманітний. Разом з типовими задачами наведені приклади розв’язування і досить складних задач з курсу загальної фізики. На початку посібника наведені теоретичні відомості, на яких базуються запропоновані задачі. Тому вказівки можуть використовуватися викладачами як методичний матеріал при проведенні практичних занять.
При написанні методичних вказівок поряд з оригінальними задачами вміщено задачі з інших збірників, які, на погляд автора, мають науково–методичну цінність.
Мета роботи
Основна мета представленої роботи – допомогти курсантам у вивченні курсу загальної фізики. Робота складається з трьох частин. У теоретичній частині відповідно до сучасних вимог наведені основні поняття, закони і формули обраної теми. Доцільність досить детального теоретичного огляду у роботі, яка має практичну спрямованість обумовлена тим, що теоретичний матеріал в існуючих курсах загальної фізики досить великий, і студенти не завжди можуть виділити головне, необхідне для розв’язання задач з обраної теми. У другому розділі наведені приклади розв’язування задач, які добрані так, щоб якомога повніше охопити фізичні ситуації, характерні для теми. Приклади розв’язків систематизовані. Тому під час роботи з посібником їх варто розглядати у тому порядку, в якому вони наведені: часто наступні прилади ґрунтуються на попередніх.
Структура заняття
При проведенні практичного заняття з курсу загальної фізики слід дотримуватися наступної послідовності: на початку заняття курсантам наводять теоретичні відомості, на яких базуються розв’язки запропонованих в подальшому задач. На другому етапі показують приклада розв’язування задач з обраної теми.
На фізичному етапі розв’язування задачі слід звертати увагу на процес побудови моделі і на її схематичне зображення. Тут важливим є обґрунтування правомірності застосування певного загального закону або формули для конкретного явища, яке розглядається в задачі. Скорочений запис проводиться у систематизованій формі відповідно до позначень схематичного зображення моделі. Фізичний етап розв’язання задачі завершується складанням системи рівнянь, кількість яких не менша кількості невідомих. На математичному етапі розв’язується отримана система рівнянь відносно невідомої величини. Третій етап – інтерпретаційний, на якому аналізується отриманий результат на відповідність запропонованої моделі.
На третьому етапі курсантам пропонуються задачі для самостійного розв’язування. За умови вдумливого та наполегливого опрацювання теоретичного матеріалу та прикладів розв’язків, курсанти з запропонованими задачами можуть впоратись самостійно. Це сприятиме розвитку в них творчих здібностей, вмінь та навичок.
Задачі, які курсанти не встигли розв’язати на занятті, залишаються для домашнього опрацьовування.
Вимоги до оформлення задач
Розв’язування задач повинно супроводжуватися поясненнями. У поясненнях необхідно вказувати ті основні закони і формули, на яких базується розв’язок даної задачі. Розв’язок задачі рекомендується спочатку зробити в загальному вигляді, тобто тільки в літерних позначеннях, пояснюючи застосовувані при написанні формул літерні позначення. Обчислення варто проводити шляхом підстановки заданих числових величин у розрахункову формулу. Перевірити одиниці вимірювання отриманих величин по розрахунковій формулі і тим самим підтвердити її правильність. Точність розрахунку визначається числом значущих цифр вихідних даних. Константи фізичних величин і інших довідкових даних вибираються з таблиць. Отриманий результат наприкінці розв’язування необхідно перевірити на адекватність реальним умовам, що представлені в запропонованій задачі.
Рекомендації щодо розв’язування задач
При вивченні теми «механічні коливання» основну увагу слід приділити основному рівнянню гармонічних коливань. При визначенні періоду коливань розглядають мале відхилення від положення рівноваги і відшукують силу (або момент сили), що прагне повернути тіло в положення рівноваги. Ця сила (або момент) буде прямо пропорціональною відхиленню. Отримав основне рівняння гармонічних коливань, знаходимо циклічну частоту і період.
Усі типові задачі на електромагнітні коливання можна розв'язати аналітичним методом, користуючись основними формулами. Але розв'язування задач, особливо на змінні струми, дуже полегшується, якщо застосувати графічний метод, тобто метод векторних діаграм напруг і струмів.
Векторну діаграму напруг для кола змінного струму з послідовно ввімкненими індуктивністю і ємністю будують так. У певному масштабі вздовж довільної осі X відкладають вектор спаду напруги на активному опорі Ua. Напруга на індуктивному опорі випереджає за фазою струм на /2, тому відкладають UL перпендикулярно до Ua в бік збільшення кутів. Вектор спаду напруги Uc на ємнісному опорі відстає від струму на /2. Отже, вектори UL і Uc спрямовані в протилежні сторони. Результуючу напругу U визначають простим геометричним додаванням. З трикутника напруг легко визначити кут – зсув фаз між струмом і напругою.
Для графічного визначення повного опору змінного струму, якщо відомі активний, індуктивний і ємнісний опори, можна побудувати прямокутний трикутник опорів. Катети цього трикутника дорівнюватимуть активному і реактивному опорам, , а гіпотенуза дорівнюватиме повному опору.
Порядок зарахування
Перевірка знань курсантів відбувається під час контрольних заходів в сугубо письмовій формі. Курсантам пропонується п’ять задач з тем, які були опрацьовані за минулий період. Отримана оцінка залежить від якості розв’язування і оформлення запропонованих задач.
Практичне заняття № 15
Тема: Механічні коливання і хвилі
Теоретичні відомості
Коливальним називають рух, у якому матеріальна точка або система точок, багаторазово відхиляючись від свого положення рівноваги, щоразу знову повертається до нього. Коливання називають вільними, якщо вони відбуваються в замкненій системі за рахунок енергії, що передана системі в початковий момент часу. Якщо коливання відбуваються під дією зовнішніх сил, то їх називають вимушеними. Коливання, при яких значення величин, що змінюються, повторюється через однаковий проміжок часу, називають періодичними. Основні характеристики періодичних коливань:
,
де N – кількість коливань за час t. [Т] = [c];
або . []=[c–1]=[Гц];
, [] = [рад/с].
Гармонічними називають коливання, в яких величина, яка нас цікавить, змінюється у часі за законом синуса або косинуса:
, (1)
де 0 – власна циклічна частота коливань, – фаза коливань.
Так як при гармонічних коливаннях за період фаза змінюється на 2, то формула знаходження циклічної частоти приймає вигляд:
.
Знайдемо залежність швидкості і прискорення від часу. Для цього здиференціюємо рівняння (1) за часом:
(2)
(3)
З отриманих виразів видно, що швидкість і прискорення також змінюються по гармонічному закону з амплітудами і відповідно. При цьому швидкість випереджає миттєве значення х по фазі на /2, а прискорення – на , тобто миттєве значення прискорення знаходиться в противофазі з х. Графіки залежностей x(t), і для випадку 0=0 показані на малюнку.
Зіставивши (3) і (1), отримуємо:
(4)
Це диференціальне рівняння називають рівнянням гармонічного осцилятора або рівнянням вільних незатухаючих гармонічних коливань.. Його розв’язок містить дві сталі: А та 0. Для кожного конкретного коливання вони визначаються початковими умовами, тобто значеннями х0 і швидкістю у початковий момент t = 0:
та
.
Звідси знаходимо шукані сталі:
, .
Динаміка гармонічних коливань.
Для визначення характеру руху механічної системи необхідно, використовуючи закони динаміки або збереження енергії, отримати рівняння руху системи, і якщо воно приводиться до вигляду , то можна однозначно твердити, що дана система є гармонічним осцилятором, частота 0 якого дорівнює квадратному кореню з коефіцієнта при х. Розглянемо декілька прикладів і потім узагальнимо отримані результати.
Пружній маятник. Нехай кулька маси m підвішена на невагомій пружині жорсткості k, здійснює вертикальні коливання. У положенні рівноваги, в точці О, сила тяжіння зрівноважується силою пружності:
(5)
Якщо кульку вивести з положення рівноваги і вважати додатним напрямом зміщення х від положення рівноваги вниз, то рівняння динаміки для кульки матиме такий вигляд:
, (6)
а враховуючи (5) отримуємо:
,
або, після перетворення
.
Легко перевірити підстановкою, що розв'язок цього рівняння виражає гармонічне коливання
з циклічною частотою
і періодом
.
Отже, кулька, підвішена на пружині й виведена з положення рівноваги, перебуватиме в гармонічному коливанні. Характерно, що її коливання не залежить від сили тяжіння, а лише від повертаючої сили пружності, тому вони будуть однаковими в усіх місцях на Землі і навіть на інших планетах.
Математичний маятник. Математичним маятником називають матеріальну точку, підвішену на невагомій і нерозтяжній нитці, що коливається у вертикальній площині під дією сили тяжіння. Нехай маса маятника m, а довжина нитки підвішування l. З відхиленням маятника від положення рівноваги виникає повертаюча сила :
,
де – кутове відхилення маятника.
Складова зрівноважується реакцією нитки. При малих кутових відхиленнях sin, тому повертаючу силу можна записати у вигляді:
,
де х – зміщення маятника від положення рівноваги, а знак мінус показує, що повертаюча сила протилежна до напряму зміщення.
Враховуючи, що за другим законом Ньютона , отримуємо:
,
звідки
.
Період коливання математичного маятника:
.
З формули періоду коливання випливають такі закономірності коливання математичного маятника:
Фізичний маятник. Фізичним маятником називають тверде тіло довільної форми, яке коливається під дією тяжіння навколо горизонтальної вісі. Якщо маятник вивести з положення рівноваги, то на нього діятиме повертаючий момент М сили тяжіння, знак якого протилежний знаку кута відхилення маятника, а саме:
,
де L – відстань центра маси від точки підвішування.
При малих кутах відхилення (рад) повертаючий момент . Цей момент надає тілу кутового прискорення:
.
Після відповідних підстановок матимемо рівняння фізичного маятника:
,
де I – момент інерції тіла відносно осі коливання.
Це рівняння цілком аналогічне рівнянню динаміки гармонічного осцилятора. І в цьому разі легко перевірити підстановкою, що розв'язок отриманого рівняння задає гармонічне коливання:
з циклічною частотою
і періодом коливання
.
Фізичний маятник можна розглядати і як сукупність багатьох математичних маятників різної довжини. Оскільки вони жорстко зв'язані, то короткі маятники спонукають фізичний маятник до частіших коливань, а довгі – до повільніших. Для кожного фізичного маятника можна підібрати такий математичний маятник, який матиме однаковий період коливання з даним фізичним. Довжина такого математичного маятника, який має однаковий період з даним фізичним, називається зведеною довжиною фізичного маятника. З рівності періодів коливання цих маятників можна знайти вираз для зведеної довжини l0 фізичного маятника:
.
Точка на фізичному маятнику О1 що відповідає зведеній довжині, називається центром коливань. Центр коливань і точка підвішування – спряжеш точки. Якщо їх поміняти ролями, то період фізичного маятника не зміниться.
Енергія коливального руху. Щоб надати матеріальній точці коливального руху, треба вивести її з положення рівноваги. Для цього виконують певну роботу проти повертаючої сили. Ця робота буде мірою потенціальної енергії, наданої точці ззовні:
.
Із отриманого рівняння випливає, що потенціальна енергія точки в коливальному русі пропорційна квадрату її зміщення з положення рівноваги. Після припинення дії зовнішньої сили точка повертатиметься до положення рівноваги під дією квазіпружної сили. У міру зменшення зміщення, відповідно до закону збереження енергії, потенціальна енергія точки перетворюватиметься в кінетичну енергію. Оскільки зміщення точки і коефіцієнт квазіпружної сили , то потенціальну енергію точки в коливальному русі можна визначити за формулою:
.
Кінетичну енергію точки з масою m і швидкістю v запишемо так:
.
У положеннях крайнього зміщення потенціальна енергія максимальна, а кінетична дорівнює нулю. З рухом до положення рівноваги потенціальна енергія зменшується, а кінетична збільшується; у момент рівноваги потенціальна енергія дорівнює нулю, а кінетична набуває максимального значення. Повна енергія точки в коливальному русі складається із суми потенціальної і кінетичної енергії:
,
або після спрощення:
.
Отже, енергія точки в коливальному русі пропорційна квадрату амплітуди і квадрату частоти. Якщо система ізольована від інших зовнішніх впливів і точка коливається без тертя, то згідно з законом збереження енергія Е коливального руху точки залишається сталою.
Практично всяке коливання матеріальної точки, якщо воно не підтримується ззовні, затухає, його амплітуда з часом зменшується. Причинами затухання коливань є сила тертя в точці, де підвішене тіло, сила опору середовища, передавання коливань іншим тілам, теплові ефекти в деформаціях пружин.
Найістотніше впливає на коливання тіла опір середовища. Коли швидкість руху тіла мала, сила опору середовища пропорційна швидкості:
,
де r – коефіцієнт опору.
Знак мінус показує, що сила опору завжди напрямлена проти руху.
Визначимо зміщення як функцію від часу у випадку затухаючих коливань. На точку в коливальному русі діють квазіпружна сила і сила опору, тому основне рівняння динаміки має такий вигляд:
. (1)
Масу m, коефіцієнт пружності k і коефіцієнт опору г називають параметрами коливальної системи. Поділивши рівняння (1) на масу m і ввівши заміну
і ,
дістанемо однорідне диференціальне рівняння другого порядку:
. (2)
Слід відзначити, що частота 0 являє собою частоту власних коливань без тертя, її називають власною частотою осцилятора. Коефіцієнт – коефіцієнт затухання. За умовою < 0 рівняння (2) описує затухаючи коливання. Його розв’язок має вигляд:
,
де А0 – амплітуда коливань у момент початку спостережень, а – рівняння залежності амплітуди коливань від часу. – частота затухаючих коливань, яка визначається за формулою:
.
З останнього виразу визначаємо умовний період затухаючого коливання:
.
Період називається умовним тому, що затухаючі коливання лише умовно можна вважати періодичними – внаслідок зменшення амплітуди коливання повторюються не абсолютно точно. Період коливання тіла у в'язкому середовищі більший, ніж період його власного коливання. Коли опір середовища значний, коливання не виникає, зміщене тіло повільно без коливання повертається в положення рівноваги. Графік затухаючих коливань зображено на рисунку.
Характеристики затухання:
і ,
то
;
.
Якщо замість підставити його значення, то дістанемо:
;
Щоб коливання не затухали, до системи треба підводити енергію ззовні. Енергію можна поповнювати додатковими зовнішніми поштовхами в такт коливанням. Практично використовуються такі пристрої, за допомогою яких сама коливальна система в потрібний момент зумовлює зовнішній поштовх. Таку систему називають автоколивальною, а її коливання – автоколиваннями. Прикладом автоколивальної системи є годинник.
Незатухаючі коливання, що виникають під дією зовнішньої періодично змінної сили, називають вимушеними. Нехай зовнішня сила змінюється за гармонічним законом:
.
Складемо рівняння динаміки вимушених коливань. При цьому врахуємо, що крім змушувальної сили на систему діють також квазіпружна сила і сила опору середовища, яка пропорційна швидкості руху. Основне рівняння динаміки буде мати такий вигляд:
(3)
Поділивши це рівняння на масу і ввівши позначення:
, , ,
дістанемо неоднорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку:
(4)
Досвід показує, що через деякий час у системі встановляться гармонічні коливання з частотою змушувальної сили, які відстають по фазі від останньої на :
(5)
Задача полягає в знаходженні А і . Для цього продиференціюємо рівняння (5) два рази:
(6)
(7)
Підставивши рівняння (5), (6) і (7) у (4), одержуємо:
(8)
Записавши рівняння (8) для моментів часу, коли і , отримуємо систему з двох рівнянь, розв’язуючи які одержуємо:
(9)
(10)
Отже, вирази (5), (9) і.(10) цілком визначають зміщення вимушених коливань. З отриманих рівнянь свідчить:
амплітуда вимушених коливань залежить не тільки від амплітудного значення змушувальної сили, а й від її частоти коливання. При певній частоті змушувальної сили рез амплітуда вимушених коливань різко зростає, досягаючи максимального значення. Це явище називається резонансом. Резонансну частоту можна визначити з умови максимуму амплітуди або мінімуму підкореневого виразу в знаменнику рівняння (10):
.
Підставивши це значення частоти в (0), знайдемо резонансне значення амплітуди:
.
З отриманих виразів свідчить, що коли опір середовища малий , резонансна частота збігається з частотою власних коливань:
.
У цьому випадку амплітуда вимушених коливань стає дуже великою. Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти і коефіцієнта затухання зображено на рисунку. Із зростанням коефіцієнта затухання максимум резонансної кривої швидко опускається і крива згладжується. Явище резонансу стає малопомітним.
Приклади розв’язування задач
Задача 1. Два однаково напрямлені коливання з періодами 0,3 с і 0,4 с додаються, утворюючи нове коливання. Знайти його період.
Розв'язання. Насамперед зрозуміло, що результуюче коливання не буде гармонічним. Справді, гармонічне коливання описується рівнянням вільних гармонічних коливань і відбувається за законом синуса або косинуса. Але сума двох синусів від різних аргументів, загалом кажучи, не може бути зведена до1 одного синуса (або косинуса).
Разом з тим коливання, хоча воно й не є гармонічним, може бути періодичним, тобто таким, що періодично повторюється з часом. Легко зрозуміти, що це можливо тоді, коли існує таке число Т, яке буде цілим кратним від обох періодів Т1 і Т2. Справді, перше з складових коливань повторюється протягом часу nT1, де n — довільне додатне ціле число, а друге – протягом часу mТ2, де m – також довільне ціле додатне число. Отже, за час Т обидва коливання повторюватимуться, а значить, повторюватиметься і їх сума.
Найменше з чисел Т, яке відповідає цій умові, очевидно, й буде періодом сумарного коливання. За умовою Т1 – 0,3 сек, Т2 = 0,4 сек. Легко визначити, що Т = 1,2 сек.
Задача 2. Тягарець, підвішений до пружинки, видовжує її на x = 4 см. Потім тягарець відхиляють у вертикальному напрямі і він починає коливатись. Визначити період цих коливань.
Розв'язання. Сила, яка розтягує пружину, є вагою тягарця mg. Положення рівноваги відповідає такому видовженню пружинки, при якому вага тягарця зрівноважується пружною силою, що протидіє деформації пружинки. її можна записати у вигляді кх, де к – коефіцієнт пружності, а х – величина видовження (мається на увазі абсолютна величина сили). Статичне видовження, що відповідає положенню рівноваги, відоме й дорівнює x. Тоді
kx=mg,
звідки знаходимо:
Далі за формулою визначаємо період коливань:
.
Питання для перевірки знань
Задачі для розв’язування на практичному занятті
Задачі для самостійного розв’язування
Практичне заняття № 16
Тема: Електромагнітні коливання і хвилі
Теоретичні відомості
Електричними називають коливання, при яких електричні величини (заряди, струми, напруга, тощо) періодично змінюються і які супроводжуються взаємними перетвореннями електричного і магнітного полів. Якщо миттєве значення струму однаково на всіх ділянках електричного кола, то струм називають квазістаціонарним. Нехай – довжина електричного кола, с – швидкість передачі електромагнітного збурення. Тоді час, за який передається це збурення, можно знайти як . Для періодично змінюваних струмів умова квазістаціонарності буде мати вигляд:
.
Коливальним контуром називається електричне коло, складене з конденсатора і котушки індуктивності. У такому контурі можуть виникати електричні коливання.
Нехай активний опір кола дуже малий. Якщо зарядити конденсатор до напруги
,
де – заряд конденсатора, то цим самим між його обкладками буде наведене електричне поле з енергією
.
Якщо замкнути електричне коло, то конденсатор почне розряджатись через котушку індуктивності. Цей розряд не буде миттєвий, бо з виникненням струму в котушці збуджуватиметься ЕРС самоіндукції, яка, за законом Ленца, протидіятиме наростанню струму. Через час конденсатор повністю розрядиться і розрядний струм досягне найбільшого значення . В котушці індуктивності буде наведене магнітне поле. При цьому, очевидно, енергія електричного поля повністю перетвориться в енергію магнітного поля
.
У наступний момент часу струм у котушці спадатиме до нуля, але поступово, оскільки його підтримуватиме ЕРС самоіндукції. Завдяки цьому струму конденсатор перезарядиться. У момент часу між обкладками конденсатора знову існуватиме електричне поле, але протилежного напряму. Наступне розряджання конденсатора проходитиме аналогічно початковому. Так у контурі відбувається періодичний рух електронів від однієї обкладки конденсатора до іншої, і, навпаки, з частотою, яка залежить від параметрів контура L, С, R. Одночасно з рухами електронів у контурі періодично змінюються всі електричні й магнітні величини, тобто відбуваються електромагнітні коливання.
Електромагнітні коливання можна порівняти з коливаннями маятника. При цьому електричній енергії відповідає потенціальна енергія маятника, а магнітній енергії – кінетична. Коливання, які відбуваються під дією процесів у самому коливальному контурі без зовнішніх впливів і втрат енергії на тепло та електромагнітне випромінювання, називаються власними електромагнітними коливаннями.
Нехай у момент часу і напруга на обкладках конденсатора , і ЕРС самоіндукції
.
Тоді миттєва сила розрядного струму за законом Ома
або
. (*)
Оскільки і , то формулу (*) запишемо так:
.
Отримане лінійне диференційне рівняння другого порядку називають рівнянням коливального контуру.
Для власних коливань R = 0, тоді
.
Як відомо, розв'язком отриманого рівняння є гармонічна функція
,
де – власна циклічна частота контура і – період власних коливань в контурі.
Остання формула називається формулою Томсона.
Відповідно до зміни величини заряду на обкладках конденсатора змінюється напруга на конденсаторі і сила розрядного струму в контурі:
;
.
У реальному контурі і частина енергії розрядного струму витрачається на нагрівання провідників, тому електричні коливання затухають. Електричні коливання в реальному контурі описуються диференціальним рівнянням :
.
Перепишемо отримане рівняння у вигляді:
,
де – коефіцієнт затухання.
Розв’язком цього рівняння за умовою ; ; є функція
,
де – циклічна частота власних коливань.
Затухання коливань оцінюють декрементом затухання, що дорівнює відношенню двох послідовних амплітуд через проміжок часу один період, тобто
.
Логарифмічний декремент затухання дорівнює
.
Добротність коливального контуру визначається за формулою:
.
При малому затуханні
.
Змінним електричним струмом називають такий струм, сила і напруга якого змінюються за величиною і напрямом. Нехай рамка з провідника рівномірно обертається в однорідному магнітному полі відносно осі, перпендикулярної до напряму ліній магнітної індукції. Магнітний потік, який пронизує контур рамки, виражається так:
,
де – фаза, або кут між напрямом нормалі до площини рамки і напрямом вектора ; – циклічна частота; S – площа рамки; Фо – максимальне значення магнітного потоку.
За законом електромагнітної індукції
.
Якщо рамка складається не з одного, а з n витків, то ЕРС індукції
,
де – амплітудне значення ЕРС.
Під’єднавши до рамки навантаження, отримуємо струм, який змінюється за модулем та напрямком, тобто змінний струм. Амперметр і вольтметр у колі змінного струму показують не миттєві й не максимальні значення струму і напруги, а ефективні або діючі. Поняття діючого значення сили струму водять так: пропускають через опір R спочатку постійний, а потім змінний струм і регулюючи силу струму досягають, щоб за однаковий час в обох випадках на опорі виділилося однакова кількість тепла. Діюче, або ефективне, значення сили змінного струму дорівнює силі такого постійного струму, який за той самий проміжок часу виділяє в деякому опорі таку саму кількість тепла, як і даний змінний струм. Знайдемо співвідношення між ефективними і амплітудними значеннями сили і напруги змінного струму. Для цього обчислимо кількість теплоти, яку виділяють названі струми за час Т, що дорівнює періоду змінного струму. Кількість теплоти, яка виділяється при проходженні постійного струму:
. (1)
Кількість теплоти, яка виділяється при проходженні змінного струму:
, (2)
де інтеграл від другого члена суми дорівнює нулю. З рівності значень (1) і (2) дістаємо
.
Відповідно до останньої рівності
.
Розглянемо загальний випадок кола змінного струму з послідовно увімкненими резистором, котушкою індуктивності і конденсатором. Вважатимемо, що на цих складових кола зосереджені відповідно весь активний опір R, вся індуктивність L і ємність С. До розглядуваного кола застосуємо другий закон Кірхгофа. Враховуючи спади напруги на резисторі і конденсаторі та збудження ЕРС самоіндукції на котушці індуктивності, запишемо:
(3)
Враховуючи, що , а , перепишемо рівняння (1) у вигляді:
(4)
Розв’язок отриманого рівняння має вигляд: , де – амплітуда заряду на конденсаторі, – різниця фаз між миттєвими значеннями заряду і зовнішньої ЕРС. Визначимо залежність сили струму в колі від часу. Так як , одержуємо:
.
Враховуючи, що , отримуємо:
,
де – зсув фаз між струмом і зовнішньою ЕРС, а – амплітуда сили струму у колі.
Для знаходження і представимо рівняння (4) у вигляді:
, (5)
де – напруга на активному опорі, – напруга на конденсаторі, – напруга на індуктивності.
Із отриманих рівнянь свідчить, що на активному опорі сила струму за фазою збігається з напругою, на індуктивності сила струму відстає за фазою на від напруги, на конденсаторі сила струму за фазою випереджає напругу на . Представимо суму амплітуд напруг лівої частини рівняння (5) за допомогою векторної діаграми. З трикутника векторної діаграми, що включає , знаходимо:
, (6)
, (7)
. (8)
Рівняння (6) або виражає закон Ома для змінного струму, в якому всі елементи з’єднані послідовно, – індуктивний опір, – ємнісний опір, – повний опір кола змінного струму.
Розглянемо випадок, коли індуктивний опір кола дорівнює ємнісному опору:
.
Тоді
,
або
тобто спад напруги на кінцях котушки індуктивності дорівнює спаду напруги на обкладках конденсатора. Ці напруги перебувають у протифазах і взаємно зрівноважуються. Такі умови називаються резонансом напруг.
Характерні особливості резонансу напруг такі:
потужність джерела струму передається тільки активному опору, корисна потужність змінного струму максимальна.
Розглянемо випадок паралельного вмикання котушки індуктивності і конденсатора в коло змінного струму за умови, що активний опір ділянок малий і ним можна знехтувати. Напруга на клемах . Оскільки напруга на обох ділянках паралельного з'єднання однакова, то зсув фаз позначатиметься тільки на формулах сили струму на різних ділянках, а саме:
і .
Щоб знайти сили струму в головному провіднику, побудуємо векторну діаграму сил струмів, узявши за опорну лінію вектор напруги. Але до цього способом введення в у котушку залізного осердя підберемо такі умови, щоб індуктивний опір дорівнював ємнісному:
.
Тоді струми в обох вітках будуть однакові, протифазні і взаємно зрівноважені. Отже, струм у головному провіднику дорівнюватиме нулю, а опір кола буде нескінченно великий. Насправді позбавитися від активного опору неможливо і струм у головному провіднику буде мінімальний, а опір кола максимальний. Такі умови називаються резонансом струмів. Хоч загальний струм і малий, але струми через конденсатор і котушку можуть бути досить великими.
Потужність у колі змінного струму.
У колі змінного струму крім активного опору завжди діють увімкнені послідовно індуктивність і ємність, які утворюють реактивний опір і зумовлюють зсув фаз між струмом і напругою. Але енергія виділяється тільки на активному опорі, тому формула активної потужності має вигляд:
(9)
Нехай сила струму змінюється за законом: . Підставивши останню формулу у рівняння (9), одержуємо:
.
Практичний інтерес представляє середнє за період значення потужності змінного струму. Враховуючи що інтеграл від за період дорівнює нулю, остаточно отримуємо:
.
Із векторної діаграми свідчить, що . Після відповідної заміни формула середньої за період потужності має вигляд:
,
де – коефіцієнт потужності, значення якого істотно впливає на втрати енергії в технічних мережах змінного струму. При малому для добуванні в колі потрібної корисної потужності треба попускати струм великої сили, що, в свою чергу, веде до збільшення втрат енергії в підвідних провідниках і вимагає використання товстіших провідників. Найменше допустиме значення при використанні змінного струму на підприємствах дорівнює 0,85.
Приклади розв’язування задач
Задача 1. Визначити повний опір котушки і зсув фаз між струмом і напругою в колі змінного струму, якщо активний її опір R = 1,5 Oм, а індуктивний ХL =2 Oм.
Розв'язання. Розв'яжемо цю задачу графічно, побудувавши трикутник опорів. Виберемо, наприклад, масштаб 1 см – 0,5 Oм. У цьому масштабі катет, який відповідає активному опору R, дорівнюватиме 1,5 : 0,5 = 3 см, а катет, що відповідає індуктивному опору ХL, дорівнюватиме 2 : 0,5 = 4 см.
З довільної точки 0 (див. малюнок) відкладаємо відрізок ОА = 3 см, який відповідає активному опору R=1,5 Oм. Через точку А проведемо пряму, перпендикуляр ну до відрізка ОА, і відкладемо на ній відрізок АВ = 4 см, який відповідає індуктивному опору ХL=2 Oм. Точки О і В сполучимо прямою, яка відповідає повному опору Z. Вимірявши масштабною лінійкою відрізок OB, знайдемо, що він дорівнює 5 см; отже, Z=2,5 Oм. Вимірявши транспортиром кут АОВ, знайдемо, що зсув фаз між струмом і напругою на затискачах котушки =53°.
Задача 2. У колі змінного струму напруга на затискачах котушки U = 120 B, зсув фаз між струмом і напругою = 37°. Визначити активний і індуктивний спади напруги.
Розв'язання. Побудуємо трикутник напруг, вибравши масштаб 1 см – 20 B.
У цьому масштабі гіпотенуза трикутника напруг дорівнює 120 : 20 = 6 см.
З довільної точки О (див. малюнок) проведемо пряму ОС. Під кутом = 37° відкладемо відрізок ОВ = 6 см. Цей відрізок відповідає вектору напруги U на затискачах котушки. З точки В опустимо на пряму ОС перпендикуляр СВ, який відповідає вектору індуктивного спаду напруги UL, а відрізок ОС – вектору активного спаду напруги U0. Вимірявши довжини відрізків ОС і ВС, знайдемо, що ОС = 4,8 см, ВС = 3,6 см. Отже, U0==20*4,8 = 96B, UL = 20*3,6 = 72B.
Питання для перевірки знань
Задачі для розв’язування на практичному занятті
Задачі для самостійного розв’язування
Список рекомендованої літератури