Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
14
ГЛАВА 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ
3.1 Производная и дифференциал
Пусть функция определена на промежутке и .
Определение. Если существует предел , то он называется производной функции в точке и обозначается или .
Операция нахождения (вычисления) производной называется дифференцированием.
Итак
. (1)
Если обозначить , то называется приращением аргумента, - приращением функции.
Теперь (1) можно записать в виде
.
Пример. Вычислить производную по определению:
1)
.
2)=
не существует, поскольку предел (1) не существует (разные односторонние пределы в точке x=0)
Определение. Функция называется дифференцируемой в точке если она имеет в производную в этой точке.
Функция определенная на и дифференцируемая в каждой точке множества называется дифференцируемой на множестве .
Теорема 1. Всякая дифференцируемая в точке функция, непрерывна в этой точке.
Определение . Выражение , линейное относительно переменной , называется дифференциалом (первым дифференциалом) функции в точке и обозначается или :
, .
Поскольку если , то производную часто обозначают следующим образом:
.
Т.к. при , имеет место приближенная формула , то . Эта формула используется в приближенных вычислениях.
Пример. Вычислить приближенно .
Геометрический смысл производной. Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. .
На графике функции (рис.1) возьмем фиксированную точку и текущую точку
y
M(x,y)
)
A
y=f(x,y)
φ
α
O
x
Рис. 1.
Здесь =- угловой коэффициент секущей .
При точка и .
Тогда
.
Предельное положение секущей называется касательной прямой к графику функции в точке . Угловой коэффициент касательной равен значению производной в этой точке. В этом состоит геометрический смысл производной. Запишем уравнение касательной, воспользовавшись уравнением прямой с угловым коэффициентом:
.
Тогда уравнение касательной прямой будет иметь вид:
Рассмотрим физический смысл производной. Пусть точка движется прямолинейно вдоль оси и - её координата в момент времени . Тогда её путь, пройденный за отрезок. Отношение есть средняя скорость точки за время с момента до момента . Тогда предел (если он существует)
называется мгновенной скоростью точки в момент времени и производная есть мгновенная скорость точки v(t) в момент времени .
3.2. Правила дифференцирования.
Теорема 2 (дифференцирование суммы, произведения и частного). Пусть функции и определены на промежутке X и дифференцируемы в точке . Тогда в этой точке дифференцируемы функции
; ; ; ()
и имеют место формулы:
;
;
;
.
Теорема 3 (дифференцирование сложной функции). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в точке , а функция определена в точке и дифференцируема в точке, причем . Тогда сложная функция дифференцируема в точке , причем справедлива формула:
или
Пример. Найти производную функции .
Обозначим , , тогда и по формуле имеем .
Производные основных элементарных функций можно свести в следующую таблицу, которая называется таблицей производных.
1. где С – постоянное число.
2. ;
3. ; в частности, .
4. в частности
5. .
6. .
7.
8.
9.
10.
11.
12. .
Примеры. Найти производные следующих функций.
1)
2) ;
3) .
Определение. Пусть функция имеет на промежутке производную . Если в точке функция дифференцируема, то ей производную называют второй производной (производной второго порядка) функции в этой точке и обозначают или .
Аналогично определяется производная любого n–го порядка. Пусть имеет на промежутке производные . Тогда если в точке существуют производные от функции , то она называется производной n–го порядка в точке . Итак, если имеет производную n–го порядка, то
Функция, имеющая на некотором промежутке производные до n–го порядка включительно, называется n–раз дифференцируемой на промежутке. Если функция имеет производные любого порядка на промежутке , то она называется бесконечно дифференцируемой на этом промежутке.
Примеры. 1) 2) 3) .
3.3. Правило Лопиталя и формула Тейлора
Наряду с основным приемом нахождения пределов функции - методом выделения главной части, существуют и другие способы отыскания пределов.
Теорема 4. Пусть функции и удовлетворяют условиям:
а) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки за исключением может быть самой точки ;
б) ;
в) в проколотой окрестности точки ;
г) существует ,
тогда существует , причем .
Аналогичные утверждения имеют место, когда x0=+∞(-∞), и когда , т.е. раскрывается неопределенность и справедливо равенство
Замечания. 1) Таким образом, существует общий способ нахождения предела отношения двух функций, основанный на равенстве Этот способ называется правилом Лопиталя.
2) Если для производных и выполняют условия теоремы, то правило Лопиталя можно применить повторно, т.е. .
Примеры. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
1) . 2) . 3) .
Кроме неопределенностей и встречаются еще неопределенности других типов.
Под раскрытием неопределенности типа понимают нахождение предела , когда и .
Под неопределенностью типа понимают нахождение предела , если и .
Неопределенности типа и сводятся к неопределенностям или путем алгебраических преобразований.
Другие неопределенности ; ; обычно сводятся к неопределенностям или путем логарифмирования выражения .
Примеры. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
1). 2) . 3).
Формула Тейлора. Здесь будет рассмотрена формула, которая является одной из основных в математическом анализе и имеет многочисленные приложения, как в самом анализе, так и в других дисциплинах.
Теорема 5. Пусть функция имеет в некоторой окрестности т. (n+1)-ю производную, x – любое значение аргумента из этой окрестности и p – произвольное положительное число. Тогда между точками и найдется также точка , что будет справедлива формула Тейлора:
,
где .
Выражение называется остаточным членом в формуле Тейлора, записанным в форме Лагранжа.
Замечания. 1) Если , то формула Тейлора называется формулой Маклорена и имеет вид:
.
2) Существуют и другие виды остаточных членов, например
или
называется остаточным членом в форме Пеано, который означает, что он является бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем =
Практическая значимость формулы Тейлора состоит в том, что она позволяет заменить функцию , имеющую на промежутке производные до-го порядка включительно, многочленом -й степени
,
а различные формы остаточного члена позволяют оценить возникающую при этом погрешность. Таким образом, формула Тейлора может быть использована для получения различных формул для приближенного вычисления значений функций.
Запишем представление некоторых элементарных функций с помощью формулы Тейлора по степеням , когда, т.е. по формуле Маклорена.
1) .
2) .
3)
4)
Ясно, что при - целое число, то из последней формулы получим бином Ньютона
.
Формулой Тейлора иногда удобно пользоваться для вычисления пределов.
Примеры. Вычислить пределы, разложив функцию по формуле Тейлора.
1) .
Решение. При имеем , тогда
.
Здесь использовано: .
2) .
; ;
3)
.
3.4. Исследование функций
Монотонность. Одной из важных характеристик функции является её поведение на отдельных промежутках, а именно возрастание или убывание.
Определение. Функция , определенная на промежутке Х называется неубывающей на промежутке Х, если выполняется
;
невозрастающей на этом промежутке, если выполняется
.
Если неравенства и , т. е. строгие, то функция называется монотонно возрастающей или монотонно убывающей.
Невозрастающие или неубывающие функции называются монотонными функциями. Монотонно возрастающая и монотонно убывающая функции называются строго монотонными.
Теорема 6 (необходимый и достаточный признак монотонности). Для того чтобы дифференцируемая на открытом промежутке функция не убывала (не возрастала) на этом промежутке необходимо и достаточно, чтобы:
.
Следствие. Если , то строго возрастает на , если , то строго убывает на .
Отметим, что условия и не являются необходимыми для строгого возрастания и убывания. Например, , а функция строго возрастает всюду.
Теорема остается справедливой для непрерывных функций, не имеющих производных в конечном числе точек. Для проверки достаточно ее последовательно применить ко всем промежуткам, на которые разбивается заданный интервал множеством точек, где производные не существуют.
Экстремумы. Пусть функция определена на открытом промежутке .
Определение 5. Точка называется точкой максимума функции , если существует некоторая окрестность точки , что
.
Точка называется точкой минимума функции , если
.
Если выполняется условие (или ), то называется точкой строгого максимума (строгого минимума).
очки максимума и минимума (строгого max и строгого min) называются точками экстремума функции . На рисунке x1 - точка максимума, а x2 - точка минимума.
y
x
Теорема 7 (необходимый признак экстремума). Если дифференцируемая в окрестности точки и функция имеет в точке экстремум, то
Геометрически теорема выражает тот факт, что, если в точке есть экстремум, то касательная к кривой в этой точке параллельна OX.
x0 x1 x
иии
Точки, в которых называются стационарными. Точки, в которых первая производная равна 0 или не существуют, называются критическими.
Теорема 8 (достаточный признак экстремума). Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности критической точки и дифференцируема в этой окрестности (за исключением, может быть самой точки ). Тогда, если при , а при , то - точка строго локального максимума. Если при , а при , то - точка строгого минимума.
Примеры. Определить интервалы монотонности и найти экстремумы.
1) . Найдем сначала критические точки.
.
Проверим признак в каждой критической точке, одновременно исследуя монотонность.
+ – + + +
x
1
-0,2
min
2) поэтому экстремумов нет и функция всюду возрастает.
3) ; . Производная в точке не существует, но при переходе через неё изменяет знак с плюса на минус, поэтому есть точка max.
4) ; . Функция всюду возрастает, экстремумов нет.
Выпуклость и точки перегиба функции. Пусть функция дифференцируема в окрестности точки .Тогда уравнение
( )
есть уравнение касательной к графику в точке .
Определение. Функция называется выпуклой (выпуклой вверх) в окрестности точки , если выполняется условие:
,
т.е. график расположен ниже касательной в точке .
Функция наз. вогнутой (выпуклой вниз) в ) в окрестности точки , если
,
т.е. график расположен выше касательной в точке .
y
y
x0
x0
x
x
Определение. Функция называется выпуклой на открытом промежутке , если она выпуклая в окрестности любой точки .
Определение. Точка называется точкой перегиба непрерывно дифференцируемой в проколотой окрестности точки функции , если в этой точке изменяется характер выпуклости (рис.5).
Теорема 9. Пусть имеет на открытом промежутке производные до 2-ого порядка включительно, причем непрерывна в точке тогда:
а) если , то при функция выпуклая в окрестности точки , при функция выпуклая вниз, т.е. вогнутая.
б) если изменяет знак при переходе через точку , то -точка перегиба функции . Кроме того, если существует, то .
Примеры. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба следующих функций.
1) ;
Решение.; . Следовательно, точка перегиба, т.к. изменяется знак второй производной при переходе через эту точку.
2) .
Решение. , в т. неопределенна. Т.к. , то x=0 – точка возврата.
0
Асимптоты. Часто оказывается, что график функции неограниченно близко приближается к некоторой прямой, т.е. расстояние от графика до этой прямой при удалении по графику становится как угодно малым. Такие прямые называются асимтотами.
Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой функции , если хотя бы один из пределов или равен или .
Примеры. 1) Функция имеет вертикальную асимптоту , т.к.
; .
3
0
Рис.7
Рис.8
2);. Прямая x=0-вертикальная асимптота.
Определение. Прямая называется наклонной асимптотой функции при ,если
Теорема 10. Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой функции при необходимо и достаточной, чтобы существовали пределы:
Пример. Найти асимптоты функции .
Асимптотами являются прямые x=-1 и y=x+2.
Схема полного исследования функции. Для построения графика функции необходимо исследовать функцию по следующей схеме:
1. Область определения. Точки разрыва.
2. Четность, нечетность, периодичность.
3. Асимптоты.
4. Точки пересечения с осями координат.
5. Интервалы монотонности и экстремумы.
6. Интервалы выпуклости и точки перегиба.
7. Построение графика.
Пример. Исследовать функцию и построить график.
Используя определение производной, найти производные следующих функций в точке .
1. . 2.
3. 4
5. . 6..
Найти производные функций:
7.. 8..
9. . 10 ;
11. . 12. .
13. . 14..
15. . 16. .
17. . 18..
19. . 20..
21. 22.
23. . 24.
25. . 26. .
27. . 28. .
29. . 30. .
31. . 32. .
33. . 34. .
35. . 36. .
37. . 38. .
39. . 40. .
41. . 42. .
43. . 44. .
45. . 46. .
47. Написать уравнение касательной в точке к графику функции
48. Составить уравнение касательной к параболе в точке пересечения ее с осью Ox при x>1. Построить параболу и касательную.
50. Написать уравнение касательной в точке к графику функции .
51. Найти приближенно а), б), г), д), е).
Найти производные второго порядка от следующих функций:
52. 53. .
54. 55.
56. 57.
58. 59.
60. 61.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя
62. . 63. .
64. . 65.
66. . 67. .
68. . 69. .
70. . 71. .
72. . 73. .
74. . 75. .
76. . 77. .
78. . 79..
80. . 81. .
Определить промежутки, на которых возрастают и убывают следующие функции:
82. 83.
84. 85.
86. 87.
Исследовать на экстремумы.
88. 89.
90. 91.
92. 93.
Найти интервалы выпуклости и точки перегиба.
94. 95.
Найти асимптоты:
96. 97.
Построить графики следующих функций.
98. . 99. .
100. . 101..
102. . 103. .
104. . 105. .
106..
Разложить по формуле Маклорена функции до члена с x3 включительно.
107. 108.