Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ
(образован в 1953 году)
Кафедра физики и высшей математики
|
Дистанционное обучение |
Физ.мат.-10.22.2202 очн.плн. Физ.мат.-10.22.2202 очн.скр. Физ.мат.-10.22.2202 зчн.плн. Физ.мат.-10.22.2202 зчн.скр. |
Теория вероятностей,
математическая статистика и случайные процессы
Методические указания
по практическим занятиям
для студентов специальности 2202 (230102)
всех форм обучения
www.msta.ru
Москва – 2006
УДК 519.2
Барсуков В.И. «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы». Методические указания по практическим занятиям.
М., МГУТУ, 2006. – 68с.
Рекомендовано институтом информатизации образования РАО
В учебном пособии рассматриваются «элементы теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов» на примерах решения типовых задач. Пособие также включает контрольные вопросы и задания, приложения с необходимой табличной информацией и список рекомендуемой литературы.
Материалы каждого практического занятия содержат необходимое количество примеров, контрольных вопросов и заданий, что способствует самостоятельному изучению рассматриваемой темы.
Учебное пособие разработано в соответствии с требованиями к подготовке специалистов в области автоматизированных систем обработки информации и управления. Объем изучаемого материала соответствует объему часов практических занятий по дисциплине.
Предназначено для студентов II курса специальности 2202 очной и заочной (полной и сокращенной) форм обучения.
Автор: Барсуков В.И.
Рецензент: д.ф-м.н., проф. Зуев Ю.А.
Редактор: Свешникова Н.И.
Московский Государственный Университет Технологий и Управления 2004.
109004, Москва, Земляной вал, 73.
СОДЕРЖАНИЕ
|
Введение. |
4 |
|
Элементы теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов. |
5 |
|
Тема 1. Основные понятия теории вероятностей. Элементы комбинаторики. Теоремы сложения и умножения вероятностей и их следствия. |
5 |
|
Тема 2. Случайные величины и законы их распределения. Распределение вероятностей и числовые характеристики дискретной случайной величины. Повторение испытаний. |
10 |
|
Тема 3. Функция распределения вероятностей как универсальная характеристика случайной величины (СВ). Плотность распределения вероятностей непрерывной СВ. |
15 |
|
Тема 4. Важнейшие законы распределения непрерывной СВ.
|
20 |
|
Тема 5. Предельные теоремы теории вероятностей. |
24 |
|
Тема 6. Распределение функции случайного аргумента . |
27 |
|
Тема 7. Исследование системы двух случайных величин . |
31 |
|
Тема 8. Основные понятия математической статистики. Определение характеристик случайных величин на основе опытных данных. |
38 |
|
Тема 9. Определение законов распределения на основе опытных данных. Критерии проверки статистических гипотез.
|
43 |
|
Тема 10. Элементы теории случайных процессов. Характеристики случайных функций (СФ). |
49 |
|
Тема 11. Стационарные случайные функции (ССФ).
|
52 |
|
Тема 12. Стационарные случайные функции.
|
57 |
|
ПРИЛОЖЕНИЯ |
|
|
№1. Таблица производных основных функций. |
59 |
|
№2. Таблица основных интегралов. |
60 |
|
№3. Таблица значений функции . |
61 |
|
№4. Таблица значений . |
62 |
|
№5. Таблица значений |
62 |
|
№6. Таблица значений вероятностей для критерия |
63 |
|
Литература |
65 |
Введение
Настоящее пособие является логическим дополнением Учебно-практического пособия [5].
В пособии основные понятия и теоремы курса рассматриваются на примерах решения типовых задач.
Целью практических занятий является углубление и закрепление теоретических знаний, приобретение практических умений и навыков, необходимых в профессиональной деятельности, а также формирование и развитие способности к творческому мышлению.
Данное пособие включает 12 тем, каждая из которых рассчитана на 4-часовое практическое занятие.
Материалы каждого практического занятия содержат необходимое количество примеров, контрольных вопросов и заданий, что способствует самостоятельному изучению рассматриваемой темы.
Настоящее пособие (как и предыдущее) разработано в соответствии с программой по курсу «Теория вероятностей, математическая статистка и случайные процессы» (специальность 2202).
С целью более глубокого усвоения материала рекомендуется данное пособие использовать совместно с Учебно-практическим пособием [5], а также учебниками, приведенными в списке литературы.
Элементы теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов.
Тема 1
Основные понятия теории вероятностей. Элементы комбинаторики. Теоремы сложения и умножения вероятностей и их следствия
Классическое определение вероятности. Основные свойства вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Элементы комбинаторики. Вероятность появления хотя бы одного события. Задачи о выборке. Формула полной вероятности. Формула Байеса (теорема гипотез).
Практическое занятие включает:
- решение задач на использование классического определения вероятности, теорем сложения и умножения вероятностей, общих правил и элементов комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания);
- рассмотрение задач о выборке;
- применение формулы полной вероятности и формулы Байеса.
Вопросы
Примеры
Пример 1. На шести одинаковых карточках написаны буквы слова «талант». Карточки вынимают наудачу одну за другой. Какова вероятность снова получить слово «талант»?
Решение. Мысленно пронумеруем карточки с буквами. Слово «талант» не изменится, если буквы «Т» переставить местами (получаем две комбинации). Если в каждой из этих двух комбинаций то же проделать с буквой «а», то в результате получим 4 различные комбинации. Таким образом, появлению слова «талант» благоприятствует 4 элементарных исхода.
Общее число равновозможных элементарных исходов равно числу перестановок из 6-ти элементов: . Тогда по формуле классического определения вероятности события А (в данном случае состоящего в получении слова «талант»)
, где - число исходов, благоприятствующих этому событию, - число всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу,
.
Замечание 1. Искомую вероятность можно найти с помощью формулы числа перестановок с повторениями:
где - элементы первого вида, - элемент второго вида, …, - элементы -го вида, т.е. .
Тогда => .
Замечание 2. Ту же вероятность можно найти по теореме умножения вероятностей
.
Пример 2. (Задача де Мере).
Сколько раз нужно подбросить два игральных кубика, чтобы вероятность выпадения хотя бы один раз двух шестерок была бы больше 1/2?
Решение. Пусть событие - выпадение двух шестерок при i - м подбрасывании. Вероятность этого события
,
откуда вероятность противоположного события
.
Подбрасывания игральных кубиков – независимые испытания, поэтому вероятность выпадения хотя бы один раз 2-х шестерок определяется по формуле
,
которая в данном случае принимает вид
или .
Логарифмируя, получаем
,
откуда
.
Таким образом, чтобы вероятность выпадения двух шестерок была больше , необходимо подбросить кубик не менее 25 раз.
Пример 3. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.
Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов .
Определяем число исходов, благоприятствующих событию - «среди 6 взятых деталей 4 стандартных». Четыре стандартные детали из семи стандартных можно взять способами, при этом остальные 6-4=2 детали должны быть нестандартными; взять же две нестандартные детали из 10-7=3 нестандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно .
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
.
Пример 4. На 30 одинаковых жетонах написаны 30 целых чисел от 1 до 30. Жетоны помещены в пакет и тщательно перемешаны. Какова вероятность вынуть жетон с номером, кратным 2 и 3?
Решение. Обозначим события: - «извлечен жетон с четным номером», - «извлечен жетон с номером, кратным 3», - «извлечен жетон с четным номером, кратным 3». Найдем вероятность события . Поскольку и - совместные события, то
.
(Событию благоприятствует 15 элементарных исходов, событию - 10 исходов, событию - 5 исходов).
Пример 5. Электрическая цепь между точками и имеет схему, изображенную на рис.
|
Элемент |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Вероятность |
0,6 |
0,8 |
0,7 |
0,9 |
Различные элементы цепи работают независимо друг от друга. Вероятности безотказной работы элементов за время приведены в таблице.
Определить вероятность безотказной работы системы за время .
Решение. Участок электрической цепи пропускает ток (событие ) в случае совмещения следующих трех событий: - работает элемент 1, - работает элемент 4 и - работает хотя бы один из двух элементов 2 и 3, т.е. .
Так как события , и независимы, то
.
Для нахождения вычислим вероятность события - заключающегося в том, что элементы 2 и 3 вышли из строя. Поскольку и события и независимы, то
.
Отсюда .
Таким образом, .
Пример 6. На складе находятся детали, изготовленные на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в 4 раза превышает объем продукции второго завода. Вероятность брака на первом заводе , на втором заводе - . Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена первым заводом?
Решение. Обозначим через событие, состоящее в том, что взятая деталь изготовлена на первом заводе, - на втором заводе, тогда
, .
Пусть - событие, состоящее в том, что на удачу взятая деталь оказалась бракованной.
По условию , .
В соответствии с формулой Байеса
,
где- формула полной вероятности; , ,…,- попарно несовместные события (гипотезы),
.
Задачи
1. Из букв слова «ротор», составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются три буквы и складываются в ряд. Найти вероятность того, что получится слово «тор».
2. Из букв разрезной азбуки составлено слово «институт». Затем карточки с буквами перемешивают и вновь собирают в произвольном порядке. Найти вероятность того, что снова получится слово «институт».
3. Из колоды карт (36) наудачу вынимаются три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется: а) один туз; в) хотя бы один туз.
4. Из колоды карт последовательно вынуты две карты.
Найти: а) безусловную вероятность того, что вторая карта окажется тузом; в) условную вероятность того, что 2-я карта будет тузом, если 1-я также была тузом.
5. В технической системе дублированы наименее надежные узлы.
Надежность (вероятность безотказной работы) каждого из узлов дана на схеме.
Определить
надежность
системы.
6. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 0,85, а для второго – 0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен.
7. На предприятии изготавливаются изделия на трех поточных линиях. На первой линии производится 30% изделии, на второй – 25%, на третьей – остальная часть продукции. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности: 97%, 98%, 96%. Наугад взятое изделие оказалось бракованным. Определить вероятность того, что это изделие изготовлено на первой линии.
Тема 2
Случайные величины и законы их распределения.
Закон распределения вероятностей и числовые характеристики дискретной случайной величины. Повторение испытаний
Числовые характеристики дискретной случайной величины (СВ). Свойства математического ожидания (МО) и дисперсии. Ряд распределения как простейшая форма закона распределения дискретной СВ. Математическое ожидание и дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях. Повторение испытаний. Формула Бернулли (биномиальное распределение). Формула Пуассона как асимптотическое приближение формулы Бернулли. Геометрическое распределение.
Практическое занятие включает:
- определение числовых характеристик дискретной СВ, заданной рядом распределения;
- рассмотрение свойств математического ожидания и дисперсии;
- решение примеров на использование формул Бернулли и Пуассона;
- рассмотрение примеров геометрического распределения случайной величины.
Вопросы
Примеры
Пример 1. Монета подбрасывается 4 раза. Случайная величина Х– «число выпадения герба при этих подбрасываниях». Найти числовые характеристики СВ Х: М(Х), D(Х), б(Х).
Решение. Данная дискретная СВ Х может принимать 5 значений: , , , , . Закон распределения СВ Х можно задать таблицей.
|
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Р |
Математическое ожидание
.
Закон распределения СВ имеет вид
|
0 |
1 |
4 |
9 |
16 |
|
|
Р |
Математическое ожидание
.
По формуле для дисперсии получаем
.
Среднее квадратическое отклонение (СКО)
.
Пример 2. Дискретная случайная величина , которая может принимать бесконечную последовательность значений,задана следующим законом распределения
|
… |
… |
|||||
|
Р |
… |
… |
.
Найти МО случайной величины .
Решение. По формуле математического ожидания дискретной случайной величины находим.
.
Пример 3. Производятся независимые опыты, в каждом из которых событие А наступает с вероятностью р. Опыты повторяются до первого появления события А. Случайная величина - число произведенных опытов. Найти математическое ожидание случайной величины .
Решение. Возможные значения этой случайной величины: , . Событие означает, что в первых опытах событие А не наступает, а в -м опыте наступает. Вероятность такого исхода равна
, ().
Следовательно, закон распределения СВ Х можно представить таблицей
|
х |
1 |
2 |
3 |
… |
… |
|
|
р |
… |
… |
Математическое ожидание этой величины
Ряд в скобках получается почленным дифференцированием ряда геометрической прогрессии.
.
Следовательно
.
Пример 4. Установлено, что из каждых 100 деталей не имеют дефектов 75 штук в среднем. Составить закон распределения числа пригодных деталей из взятых на удачу 6 деталей.
Решение. Из условия задачи следует, что , , . В соответствии с формулой Бернулли.
, где , находим
;
;
;
;
.
Закон распределения данной случайной величины - «числа стандартных деталей из 6 взятых наудачу» имеет вид:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
0,000 |
0,004 |
0,033 |
0,132 |
0,297 |
0,356 |
0,178 |
Контроль: .
Полигон полученного биномиального распределения представлен на рис.
Пример 5. Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность отказа одного элемента в течение одного года равна 0,001и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа: двух элементов; не менее двух элементов в год?
Решение. Здесь требуется найти вероятности: и . По условию , , .
Вероятность отказа ровно двух элементов найдем по формуле Пуассона
=> .
Вероятность отказа не менее двух элементов:
.
Пример 6. Доказать, что распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения.
Решение. Из формулы определяем и : , и подставим в формулу Бернулли:
Переходя к пределу при , получим
,
что и требовалось доказать.
Пример 7. Производится подбрасывание игрального кубика до первого выпадения шести очков. Какова вероятность того, что первое выпадение шестерки произойдет при втором подбрасывании игрального кубика?
Решение. Воспользуемся формулой геометрического распределения дискретной случайной величины .
, .
В данном случае (вероятность появления шестерки при подбрасывании кубика) и , то
.
Задачи
1. Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
Найти .
2. Подбрасываются два игральных кубика. Дискретная случайная величина - сумма очков, выпавших на обоих кубиках. Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины .
3. Задают ли данные таблицы законы распределения дискретной случайной величины?
|
а) |
… |
… |
|||||
|
Р |
… |
… |
|
б) |
… |
… |
|||||
|
Р |
1 |
… |
… |
4. Случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром . Найти МО и дисперсию величины .
5. Вероятность появления события А в испытании равна 0,1. Найти СКО числа появлений события А в одном испытании.
6. Производятся независимые испытания, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью . Найти вероятность того, что при 2000 испытаниях событие А появится 3 раза.
7. Известно, что в принятой для сборки партии из 1000 деталей имеются 4 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 наугад взятых деталей нет дефектных.
8. Завод отправил на базу 5000 качественных изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,0002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено:
а) ровно 3 изделия; б) ровно одно изделие;
в) не более 3 изделий; г) более 3 изделий.
9. Найти вероятность того, что при бросании игрального кубика первое появление шестерки произойдет при втором бросании.
Тема 3
Функция распределения вероятностей как универсальная характеристика случайной величины (СВ). Плотность распределения вероятностей непрерывной СВ
Практическое занятие включает:
- изучение свойств функции распределения и функции плотности распределения вероятностей случайной величины;
- использование свойств этих функций для нахождения числовых характеристик СВ, а также вероятности попадания СВ в заданный интервал.
Вопросы
Примеры
Пример 1. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 2 детали. Найти функцию распределения дискретной случайной величины, равной числу стандартных изделий в выборке.
Решение. Найдем ряд распределения данной случайной величины . Эта величина может принимать три значения: , , . Вычислим вероятности этих значений:
,
,
.
Следовательно, закон распределения данной случайной величины можно задать рядом распределения.
|
0 |
1 |
2 |
|
В соответствии с формулой , где символ означает, что суммируются вероятности тех значений, которые меньше , строим функцию распределения.
1. При .
2. При .
3. При .
4. При .
Пример 2. Случайная величина задана функцией распределения
Найти плотность распределения величины . Вычислить вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала .
Решение. Плотность вероятности и функция распределения случайной величины связаны соотношением .
Следовательно,
По формуле находим искомую вероятность
.
Пример 3. Найти функцию распределения случайной величины , плотность вероятности которой определена формулой
.
Решение. Применяя формулу , получаем
.
Пример 4. Плотность распределения вероятностей СВ задана функцией
Найти математическое ожидание СВ .
Решение. По формуле МО непрерывной случайной величины
.
Пример 5. Найти математическое ожидание случайной величины , если известна функция распределения этой величины
Решение. Найдем сначала плотность распределения вероятностей этой величины.
Следовательно,
.
Пример 6. Случайная величина в интервале задана плотностью распределения ; вне этого интервала . Найти дисперсию СВ .
Решение. Найдем дисперсию по формуле
.
Подставив сюда (кривая распределения симметрична относительно прямой , , получим
.
Дважды интегрируя по частям, найдем
.
Окончательно получим
.
Задачи
1. Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей
|
6 |
8 |
12 |
15 |
|
|
0,1 |
0,5 |
0,25 |
Найти функцию распределения этой случайной величины.
Определить вероятность того, что .
2. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:
Найти функцию распределения и вероятность попадания величины на участок от 0 до .
3. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением
Найти выражение плотности вероятности величины , а также вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний случайная величина ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).
4. График плотности распределения вероятностей случайной величины представлен на рис. Найти функцию распределения и построить ее график.
5. Являются ли функциями распределения некоторой случайной величины следующие функции:
а) b)
с) d)
6. Найти значение функции распределения случайной величины , плотность вероятности которой определяется формулой (Закон Коши)
, если .
7. Найти числовые характеристики , , , если функция распределения случайной величины
8. Непрерывная случайная величина подчинена закону распределения с плотностью (распределение Лапласа).
Определить МО, дисперсию и СКО случайной величины .
Тема 4
Важнейшие законы распределения непрерывной СВ
Практическое занятие включает:
- рассмотрение на примерах свойств равномерного, показательного и нормального законов распределения СВ;
- определение вероятности безотказной работы элемента за заданный промежуток времени;
- определение вероятности попадания СВ, подчиненной нормальному закону, в заданный интервал.
Вопросы
Примеры
Пример 1. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [2, 7]. Записать плотность распределения этой случайной величины.
Решение. Плотность распределения случайной величины , равномерно распределенной на отрезке [a, b], определяется формулой
В данном случае , . Следовательно,
Пример 2. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [-3, 2]. Найти функцию распределения этой СВ.
Решение. Функция распределения случайной величины , равномерно распределенной на отрезке [a, b], определяется формулой
откуда для заданной случайной величины
Пример 3. Найти МО, дисперсию и СКО случайной величины , плотность распределения которой задана функцией .
Решение. Так как для показательного закона
, и
и по условию , то
; ; .
Пример 4. Непрерывная величина распределена по показательному закону: при ; при . Найти вероятность попадания значений СВ в интервал (0,1; 0,7).
Решение. По формуле
.
Пример 5. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение . Найти вероятность того, что за время : 1) элемент откажет; 2) элемент не откажет.
Решение. 1) Вероятность отказа элемента
.
2) Вероятность безотказной работы элемента
.
Пример 6. Найти вероятность того, что нормальная величина с МО, равным 3, и дисперсией, равной 4, примет значения: 1) в интервале (-1; 5); 2) не более 8; 3) не менее 5; 4) в интервале (-3; 9).
Решение. Воспользуемся формулой для определения вероятности попадания значений нормальной случайной величины в интервал (а, b)
, (1)
где - нормированная функция Лапласа, значения которой определяются из таблицы Приложения 3.
Таким образом, принятие случайной величиной значений в интервале (-3, 9) практически достоверно.
Пример 7. Среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно 2см, а математическое ожидание – 16см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 следует ожидать значение случайной величины.
Решение. В соответствии с формулой
имеем => .
По таблице значений нормированной функции Лапласа находим , откуда .
Таким образом, с вероятностью 0,95 можно ожидать, что отклонение случайной величины от математического ожидания не превзойдет по модулю 3,92см, т.е. , откуда .
Задачи
Тема 5
Предельные теоремы теории вероятностей
Теорема «закона больших чисел», Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Лапласа как частный вид центральной предельной теоремы.
Практическое занятие включает рассмотрение примеров на использование теорем Чебышева и Бернулли, а также интегральной теоремы Лапласа.
Вопросы
Примеры
Пример 1. При каком числе называемых испытаний вероятность выполнения неравенства превысит , если вероятность появления события в отдельном испытании ?
Решение. По условию задачи , , поэтому ; требуется определить с помощью неравенства теоремы Бернулли
.
Условие равносильно неравенству , откуда при подстановке значений , и в последнее неравенство находим .
Следовательно, требуемое неравенство выполняется при числе независимых испытаний, начиная с 132.
Пример 2. Известно, что дисперсия каждой из последовательности независимых случайных величин не превышает 4. Определить число таких величин, при котором вероятность отклонения средней арифметической случайной величины от средней арифметической их математических ожиданий не более чем на превысит .
Решение. Неравенство теоремы Чебышева
где - независимые случайные величины, имеющие конечные математические ожидания и дисперсии , ограниченные одним и тем же числом ; - любое положительное число, при и принимает вид
.
Из условия следует, что , откуда , или .
Итак, .
Пример 3. Дана последовательность независимых случайных величин каждая из которых может принимать значения: ,0, соответственно с вероятностями , , . Можно ли к этим величинам применить теорему Чебышева?
Решение. Чтобы дать ответ на поставленный вопрос, необходимо проверить ограниченность дисперсий данных случайных величин одной и той же постоянной С (остальные условия теоремы Чебышева выполняются: независимость случайных величин и достаточно большое их число).
Для этого сначала найдем их математические ожидания:
.
Математические ожидания их квадратов:
.
Так как , то дисперсии всех случайных величин одинаковы, они ограничены одним числом . Следовательно, к данным случайным величинам можно применить теорему Чебышева.
Пример 4. Вероятность появления положительного результата в каждом из опытов равна . Сколько опытов нужно провести, чтобы с вероятностью можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?
Решение. Воспользуемся формулой интегральной теоремы Лапласа
.
В соответствии с условием задачи , , , (значение нужно определить) данная формула принимает вид , или
Очевидно, что , поэтому . Поскольку функция Лапласа – возрастающая и , то можно положить .
Следовательно, , .
По таблице значений приведенной функции Лапласа находим . Тогда, учитывая нечетность функции Лапласа, получаем .
Решая это уравнение, как квадратное относительно , находим , .
Задачи
1. Вероятность положительного исхода отдельного испытания . Оценить вероятность того, что при 1000 независимых испытаний отклонение частоты положительных исходов от вероятности при отдельном испытании по модулю будет меньше 0,05.
2. Сколько следует провести независимых испытаний, чтобы вероятность выполнения неравенства превысила 0,78, если вероятность появления данного события в отдельном испытании ?
3. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно провести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие А появится не менее 75 раз?
4. Производство дает 1% брака . Найти вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий бракованных будет не более 17.
Тема 6
Распределение функции случайного аргумента.
Закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента
Практическое занятие включает:
- определение закона распределения функции случайного аргумента;
- определение плотности распределения монотонной функции одного случайного аргумента.
Вопросы
Примеры
Пример 1. Дискретная случайная величина задана законом распределения :
|
1 |
3 |
5 |
|
|
0,4 |
0,1 |
0,5 |
Найти закон распределения случайной величины .
Решение. Найдем возможные значения величины . Имеем: ; ; . Для того, чтобы достаточно, чтобы величина приняла значения . Но вероятность события по условию равна 0,4; следовательно и вероятность события также равна 0,4.
Аналогично получим вероятности остальных возможных значений :
;
.
Тогда искомый закон распределения :
|
3 |
9 |
15 |
|
|
0,4 |
0,1 |
0,5 |
Пример 2. Дискретная случайная величина задана законом распределения
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
0,1 |
0,2 |
0,15 |
0,25 |
0,3 |
Найти закон распределения и МО случайной величины .
Решение. - новая СВ, которая с теми же вероятностями, что и СВ , принимает значения, равные квадратам ее значений.
Квадраты СВ равны: 4, 1, 0, 1, 4, т.е. величина принимает значения , , .
Закон распределения СВ можно записать в виде:
|
0 |
1 |
4 |
|
|
0,15 |
0,45 |
0,4 |
Вероятность 0,45 для значения получена по теореме сложения вероятностей, с которыми СВ принимает значения , . Аналогично получена вероятность 0,4 для значения .
Согласно формуле находим МО функции :
.
Пример 3. Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения:
|
5 |
6 |
7 |
8 |
|||
|
0,4 |
0,6 |
0,8 |
0,2 |
Составить закон распределения случайной величины .
Решение. Возможные значения величины есть суммы каждого возможного значения со всеми возможными значениями :
, , , .
Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы , достаточно, чтобы величина приняла значение и величина - значение . Вероятности этих возможных значений соответственно равны 0,4 и 0,8. Величины и независимы; следовательно, вероятность их совместного появления (т.е. вероятность события ) по теореме умножения равна .
Аналогично находим:
,
,
.
Величина принимает три разных значения 12, 13, 14. Поскольку события () и () несовместны, то
.
Таким образом величина имеет закон распределения
|
12 |
13 |
14 |
|
|
0,32 |
0,56 |
0,12 |
Отметим, что 0,32+0,56+0,12=1, как и должно быть.
Пример 4. Дискретная случайная величина имеет закон распределения.
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
0,1 |
0,3 |
0,4 |
0,2 |
Найти закон распределения СВ .
Решение. Найдем значение функции .
При получаем соответственно числа . Следовательно, возможными значениями случайной величины являются числа , , .
Вероятности этих значений:
; ;
.
Таким образом, закон распределения СВ имеет вид:
|
0 |
1 |
2 |
|
|
0,2 |
0,5 |
0,3 |
Пример 5. Случайная величина задана плотностью распределения
Найти плотность распределения функции .
Решение. На отрезке возможных значений случайной величины функция - монотонно возрастающая. Обратная ей функция также монотонно возрастает на отрезке [1; 4] – области возможных значений случайной величины . Находим производную обратной функции
.
Применяя формулу , находим
Пример 6. Случайная величина задана плотностью распределения
Найти плотность распределения .
Решение. Поскольку функция является дифференцируемой и строго монотонной, то можно применить формулу для , использованную в предыдущем примере.
Найдем функцию , обратную функции : .
Тогда (1)
Производная обратной функции из :
(2)
Подставляя выражения (1) и (2) в формулу для определения , получим искомую плотность распределения функции :
.
Пример 7. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения в интервале (0; ), вне этого интервала . Найти математическое ожидание функции .
Решение. Воспользуемся формулой
.
Тогда
Задачи
1. Дискретная случайная величина задана законом распределения.
|
-1 |
-2 |
1 |
2 |
|
|
0,3 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
Найти , если .
2. Дискретная СВ задана законом распределения
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
Записать закон распределения СВ .
3. Дискретные независимые случайные величины и заданы законами распределения
|
-1 |
-2 |
5 |
7 |
|||
|
0,3 |
0,7 |
0,6 |
0,4 |
Составить закон распределения случайной величины .
4. Дискретная СВ задана законом распределения
|
0,2 |
0,7 |
0,1 |
Найти закон распределения СВ
5. Случайная величина распределена равномерно в интервале (0; ). Найти плотность распределения случайной величины .
6. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения в интервале (0; 2); вне этого интервала . Найти МО функции .
Тема 7
Исследование системы двух
случайных величин
Функция распределения вероятностей системы двух случайных величин. Вероятность попадания значений двумерной случайной величины (,) в прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям.
Плотность вероятности. Условная плотность распределения. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. Уравнение линейной регрессии.
Практическое занятие включает:
- определение вероятности попадания значений двумерной случайной величины (,) в прямоугольную область со сторонами, параллельными координатным осям;
- определение законов распределения составляющих и по заданному распределению вероятностей дискретной двумерной СВ;
- нахождение функции распределения, двумерной и условной плотностей распределения системы двух СВ;
- определение МО и дисперсии составляющих, а также корреляционного момента системы двух СВ.
Вопросы
Примеры
Пример 1. Двумерная дискретная случайная величина (,) задана законом распределения
|
2 |
3 |
4 |
|
|
2 |
0,3 |
0,15 |
0,05 |
|
3 |
0,15 |
0,10 |
0,05 |
|
4 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
|
5 |
0,05 |
0 |
0 |
Найти законы распределения составляющих и .
По теореме сложения
,
.
; ;
; .
События (, ) образуют полную группу событий, поэтому сумма всех вероятностей (; ), указанных в таблице, равна 1.
Аналогично,
Следовательно, законы распределения и имеют вид:
|
2 |
3 |
4 |
5 |
2 |
3 |
4 |
|||
|
0,50 |
0,30 |
0,15 |
0,05 |
0,55 |
0,30 |
0,15 |
Пример 2. Закон распределения дискретной двумерной СВ задан таблицей.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
0 |
0,04 |
0,08 |
0,06 |
0,02 |
|
1 |
0,15 |
0,20 |
0,12 |
0,03 |
|
2 |
0,01 |
0,22 |
0,02 |
0,05 |
Найти условный закон распределения величина при . Являются ли и независимыми величинами?
Решение. Вероятности значений величины при найдем с помощью формулы.
Так как ,
; ;
; .
Итак, при условии, что , величина имеет следующий условный закон распределения
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
0,3 |
0,4 |
0,24 |
0,06 |
Безусловный закон распределения имеет вид
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
0,2 |
0,5 |
0,2 |
0,1 |
Так как условный и безусловный законы распределения не совпадают, то величины и зависимы. Действительно условие
не выполняется, например
; ; ;
.
Пример 3. Независимые случайные величины и имеют соответственно плотности:
;
Найти: 1) функции распределения и ;
2) функцию распределения системы (,);
3) плотность распределения системы (,).
Решение. Функции распределения и найдем с помощью формулы .
Если , то .
Если , то .
При .
Следовательно
Аналогично находим
Так как и независимы, то должно выполняться равенство , а также равенство .
Тогда
Плотность распределения случайной величины (;)
Пример 4. Двумерная случайная величина (,) имеет плотность распределения и функцию распределения , полученные в предыдущем примере.
Найти вероятность события (, ) двумя способами:
а) с помощью функции ;
б) с помощью функции .
Решение. Эту вероятность можно найти с помощью формул:
,
.
Поскольку для указанных значений и функция
при , , то
или
.
Пример 5. Найти плотность совместного распределения системы случайных величин (,) по известной функции распределения
(, ).
Решение. По определению плотности совместного распределения
(, ).
Пример 6. Дана плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины (,)
(, ),
вне квадрата .
Найти функцию распределения этой величины. Вычислить вероятность того, что и примут значения , .
Решение. По формуле получаем
Итак . В соответствии с формулой находим
.
Пример 7. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (,):
Найти: 1) математические ожидания;
2) дисперсии составляющих и .
Решение. 1) Найдем плотность распределения составляющей :
().
Аналогично
().
Математическое ожидание составляющей :
.
Интегрируя по частям и учитывая, что интеграл Пуассона , получим .
2) Найдем дисперсию :
.
Аналогично .
Пример 8. Заданы: плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (,) , а также плотности распределения составляющих и .
Найти условные плотности распределения составляющих.
Решение. Найдем условные плотности распределения составляющих:
,
.
Задачи
1. Двумерная случайная величина (,) задана законом распределения
|
3 |
4 |
5 |
|
|
3 |
0,02 |
0,12 |
0,06 |
|
1 |
0,03 |
0,18 |
0,09 |
|
2 |
0,05 |
0,30 |
0,15 |
Найти законы распределения составляющих и .
Найти условный закон распределения величины при .
2. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины задан таблицей
|
-1 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0,15 |
0,3 |
0,35 |
|
2 |
0,05 |
0,05 |
0,1 |
Найти законы распределения составляющих и . Вычислить вероятности , . Установить, зависимы ли составляющие и .
3. Найти вероятность попадания случайной точки (,) в прямоугольник с вершинами , , , , если известна функция распределения
(;).
4. Задана плотность совместного распределения двумерной случайной величины (,).
Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.
5. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (,)
.
Найти: 1) плотности распределения составляющих; 2) условные плотности распределения составляющих.
Тема 8
Основные понятия математической статистики.
Определение характеристик случайных
величин на основе опытных данных
Задачи математической статистики. Статистическая оценка параметров распределения. Точечные и интервальные оценки. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
Практическое занятие включает:
- определение выборочной средней, выборочной и исправленной выборочной дисперсии по данным выборки;
- определение доверительного интервала.
Вопросы
Примеры
Пример 1. Построить полигон распределения по результатам выборки
|
4 |
5 |
7 |
10 |
|
|
0,35 |
0,1 |
0,1 |
0,45 |
Здесь - относительная частота значения .
Пример 2. В результате испытания СВ Х последовательно приняла следующие значения: 9, 3, 11, 7, 7, 6, 8, 12, 4, 6, 14, 1.
Составить таблицу статистического распределения, разбив промежуток [0, 15] на три участка (); построить гистограмму относительных частот.
Ниже представлены таблица статистического распределения и гистограмма относительных частот.
|
(0, 5) |
(5, 10) |
(10, 15) |
|
|
3 |
6 |
3 |
|
|
0,25 |
0,5 |
0,25 |
Заштрихованная площадь равна 1.
Пример 3. Найти статистическую функцию по данному статистическому распределению:
|
=> |
|||||
|
1 |
4 |
6 |
|||
|
0,2 |
0,3 |
0,5 |
|||
График функции представлен на рис.
Точки , , являются точками разрыва I рода.
Пример 4. В итоге пяти измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 92, 94, 103, 105, 106.
Найти: а) выборочную среднюю результатов измерений;
б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.
Решение. а) Выборочная средняя определятся по формуле
(1)
где - варианта выборки, - частота варианты , - объем выборки.
Для определения перейдем к условным вариантам .
Тогда .
б) Значение выборочной дисперсии определяется по формуле
(2)
.
Исправленная выборочная дисперсия
.
Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью покрывает заданный параметр. Вероятность называется доверительной вероятностью.
1. Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенного количественного признака по выборочной средней при известном СКО генеральной совокупности служит доверительный интервал
(1а)
где - точность оценки, - объем выборки, - значение аргумента функции Лапласа (Приложение 3), при котором ; при неизвестном (и объеме выборки )
, (1b)
где - исправленное выборочное СКО, находят по таблице (Приложение 4) по данным и .
2. Интервальной оценкой (с надежностью ) СКО нормально распределенного количественного признака по исправленному выборочному СКО служит доверительный интервал
(при ) (2а),
(при ) (2b),
где находят по таблице (Приложение 5) по заданным и .
Пример 1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного МО а нормально распределенного признака генеральной совокупности, если генеральное СКО , , .
Решение. Все величины, входящие в формулу (1а), кроме , известны. Найдем из соотношения . По таблице (Приложение 3) находим . Наконец, по формуле (1а) получим доверительный интервал .
Пример 2. Проведено 12 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, при этом исправленное СКО случайных ошибок измерений оказалось равным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.
Решение. Точность прибора характеризуется средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений. Поэтому задача сводится к отысканию доверительного интервала, покрывающего с заданной надежностью . Воспользуемся формулой (2а), для чего по данным и по таблице (Приложение 5) найдем . Подставляя значения и в указанную формулу, получим .
Задачи
1. Построить полигон частот по данному распределению выборки
|
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
|
|
10 |
15 |
30 |
20 |
25 |
2. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:
|
Номер интервала |
Частичный интервал |
Сумма частот вариант частичного интервала |
|
1 |
0-2 |
20 |
|
2 |
2-4 |
30 |
|
3 |
4-6 |
50 |
3. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема :
|
1250 |
1275 |
1280 |
1300 |
|
|
20 |
25 |
50 |
5 |
Указание. Перейти к условным вариантам .
4. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака генеральной совокупности, если известны генеральное СКО , выборочная средняя и объем выборки :
a);
b) .
5. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна , если известно СКО генеральной совокупности .
Тема 9
Определение законов распределения на основе опытных данных. Критерии проверки статистических гипотез.
Линейная корреляция. Выборочное уравнение
прямой линии регрессии от
Практическое занятие включает:
- применение критериев Пирсона и Романовского для установления правдоподобности гипотезы о нормальном распределении СВ, заданной статистическим распределением;
- нахождение выборочного уравнения прямой линии регрессии от по данным корреляционной таблицы.
Вопросы
1. Критерий Пирсона.
Вводится величина ,
где - относительные частоты, заданные статистической таблицей, - вероятности, полученные по некоторому теоретическому закону распределения.
Затем рассматривают разность , где - число разрядов статистической таблицы, - число условий, налагаемых на частоты , , …, ; число называется числом степеней свободы. Для нормального распределения .
Используя таблицу (Приложение 1), по значениям и определяют величину , характеризующую вероятность согласованности теоретического и статистического распределений.
Если , то можно сделать вывод, что теория плохо воспроизводит эксперимент.
Если , то гипотеза о принятом теоретическом распределении не противоречит опытным данным.
2. Критерий Романовского
Если величина больше или равна 3, то расхождение теоретических и опытных частот надо считать неслучайным; если же она меньше 3, то это расхождение можно считать случайным.
Примеры
Пример 1. Дано статистическое распределение СВ Х:
|
(0,3) |
(3,6) |
(6,9) |
(9,12) |
(12,15) |
(15,18) |
(18,21) |
(21,24) |
(24,27) |
(27,30) |
|
|
1 |
3 |
4 |
6 |
11 |
10 |
7 |
5 |
2 |
1 |
Применить критерии Пирсона и Романовского для установления правдоподобности гипотезы о нормальном распределении случайной величины.
Решение. Здесь . Составим таблицу
|
1,5 |
4,5 |
7,5 |
10,5 |
13,5 |
16,5 |
19,5 |
22,5 |
25,5 |
28,5 |
|
|
0,02 |
0,06 |
0,08 |
0,12 |
0,22 |
0,20 |
0,14 |
0,10 |
0,04 |
0,02 |
Далее по формулам (1) и (2) (Тема 8)
; ; .
По формуле (1, Тема 4) определяем вероятность попадания СВ Х (подчиненной нормальному закону) на последовательные участки (), например:
В результате получим таблицу
|
(0,3) |
(3,6) |
(6,9) |
(9,12) |
(12,15) |
(15,18) |
(18,21) |
(21,24) |
(24,27) |
(27,30) |
|
|
0,02 |
0,04 |
0,09 |
0,15 |
0,19 |
0,19 |
0,15 |
0,09 |
0,04 |
0,02 |
Сравнивая значения и , убеждаемся, что заданное статистическое распределение можно считать подчиненным закону, близкому к нормальному.
Графическим подтверждением этого является гистограмма относительных частот.
Для удобства заключительных расчетов составим таблицу
|
0,02 |
0,02 |
0,00 |
0,0000 |
0,0000 |
|
0,06 |
0,04 |
0,02 |
0,0004 |
0,0100 |
|
0,08 |
0,09 |
-0,01 |
0,0001 |
0,0010 |
|
0,12 |
0,15 |
-0,03 |
0,0009 |
0,0060 |
|
0,22 |
0,20 |
0,02 |
0,0004 |
0,0200 |
|
0,20 |
0,20 |
0,00 |
0,0000 |
0,0000 |
|
0,14 |
0,15 |
-0,01 |
0,0001 |
0,0007 |
|
0,10 |
0,09 |
0,01 |
0,0001 |
0,0010 |
|
0,04 |
0,04 |
0,00 |
0,0000 |
0,0000 |
|
0,02 |
0,02 |
0,00 |
0,0000 |
0,0000 |
|
0,0387 |
Тогда ;
, , .
Из таблицы (Приложение 6) для полученных значений и с помощью интерполяции находим значение вероятности . Полученная вероятность больше, чем 0,1. Согласно критерию Пирсона, это дает основание считать, что нормальный закон достаточно хорошо воспроизводит заданное статистическое распределение.
Согласно критерию Романовского, имеем
.
Таким образом, расхождение между данным статистическим распределением и выравнивающим его теоретическим распределением можно считать случайным.
Выборочное уравнение прямой линии регрессии от имеет вид
. (1)
где - условная средняя; и выборочные средние признаков и ; и - выборочные средние квадратические отклонения;-выборочный коэффициент корреляции (иногда обозначается ).
Пример 2. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии от по данным корреляционной таблицы.
|
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
||
|
16 |
4 |
6 |
- |
- |
- |
10 |
|
26 |
- |
8 |
10 |
- |
- |
18 |
|
36 |
- |
- |
32 |
3 |
9 |
44 |
|
46 |
- |
- |
4 |
12 |
6 |
22 |
|
56 |
- |
- |
- |
1 |
5 |
6 |
|
4 |
14 |
46 |
16 |
20 |
где - частота (кратность) значения признака .
- частота значения признака .
- объем выборки (сумма всех частот).
Решение. Так как отношение кратности точки () ко всему количеству точек можно считать равным вероятности появления этой точки (теорема Бернулли, Тема 5), то от заданной таблицы можно перейти к следующей таблице
Таблица 1
|
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
|
|
16 |
0,04 |
0,06 |
- |
- |
- |
|
26 |
- |
0,08 |
0,10 |
- |
- |
|
36 |
- |
- |
0,32 |
0,03 |
0,09 |
|
46 |
- |
- |
0,04 |
0,12 |
0,06 |
|
56 |
- |
- |
- |
0,01 |
0,05 |
Для удобства дальнейших расчетов 12 клеток таблицы пронумерованы (1, 2, …, 12).
Математические ожидания дискретных случайных величин и , входящих в систему, определяются по формулам
, . (2)
Точка (, ) называется центром рассеивания случайных величин (,).
Дисперсии дискретных случайных величин и определяются по формулам
, , (3)
или , ,
а СКО , .
Для дискретных случайных величин корреляционный момент находится по формуле
, (4)
или ,
где .
Найдем и , используя формулу (2) и данные таблицы 1:
Для вычисления , , составим таблицу 2, предварительно определив значения центрированных случайных величин и по формулам:
, .
Таблица 2
|
1 |
-11,7 |
-19,6 |
136,89 |
384,16 |
229,32 |
0,04 |
|
2 |
-6,7 |
-19,6 |
44,89 |
384,16 |
131,32 |
0,06 |
|
3 |
-6,7 |
-9,6 |
44,89 |
92,16 |
64,32 |
0,08 |
|
4 |
-1,7 |
-9,6 |
2,89 |
92,16 |
16,32 |
0,10 |
|
5 |
-1,7 |
0,4 |
2,89 |
0,16 |
-0,68 |
0,32 |
|
6 |
-1,7 |
10,4 |
2,89 |
108,16 |
-17,68 |
0,04 |
|
7 |
3,3 |
0,4 |
10,89 |
0,16 |
1,32 |
0,03 |
|
8 |
3,3 |
10,4 |
10,89 |
108,16 |
34,32 |
0,12 |
|
9 |
3,3 |
20,4 |
10,89 |
416,16 |
67,32 |
0,01 |
|
10 |
8,3 |
0,4 |
68,89 |
0,16 |
3,32 |
0,09 |
|
11 |
8,3 |
10,4 |
68,89 |
108,16 |
86,32 |
0,06 |
|
12 |
8,3 |
20,4 |
68,89 |
416,16 |
169,32 |
0,05 |
Используя формулу (3), данные таблицы 2 и суммируя произведения соответствующих чисел столбцов и (), получаем
Откуда .
Аналогично поступая с числами столбцов и таблицы 2, находим , откуда .
Используя формулу (4) и суммируя произведения соответствующих значений и таблицы 2, получаем .
Тогда коэффициент корреляции
.
Подставив найденные величины в соотношение (1), получим искомое уравнение прямой линии регрессии от :
,
или окончательно .
Задачи
1. Вычислить выборочный коэффициент корреляции по данным корреляционной таблицы
|
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
||
|
15 |
5 |
7 |
- |
- |
- |
- |
12 |
|
25 |
- |
20 |
23 |
- |
- |
- |
43 |
|
35 |
- |
- |
30 |
47 |
2 |
- |
79 |
|
45 |
- |
- |
10 |
11 |
20 |
6 |
47 |
|
55 |
- |
- |
- |
9 |
7 |
3 |
19 |
|
5 |
27 |
63 |
67 |
29 |
9 |
2. Дано статистическое распределение СВ Х:
|
(-4,-3) |
(-3,-2) |
(-2,-1) |
(-1,0) |
(0,1) |
(1,2) |
(2,3) |
(3,4) |
|
|
6 |
25 |
72 |
133 |
120 |
88 |
46 |
10 |
Применить критерии Пирсона и Романовского для установления правдоподобности гипотезы о нормальном распределении случайной величины.
Тема 10
Элементы теории случайных процессов.
Характеристики случайных функций (СФ)
Свойства МО, дисперсии, корреляционной функции (КФ). Характеристики суммы случайных функций, производной СФ, интеграла от СФ.
Практическое занятие включает:
- решение задач на определение МО, КФ и дисперсии случайной функции;
- определение характеристик СФ на выходе типовых динамических звеньев.
Вопросы
Примеры
Пример 1. Задана случайная функция , где U – случайная величина (М (U)=5, D (U)=6).
Найти МО, КФ и дисперсию случайной функции Х(t).
Решение. С учётом свойства математического ожидания, состоящего в том, что неслучайный множитель можно выносить за знак МО, имеем
.
.
По формуле для корреляционной функции (КФ) случайной функции Х(t) получаем
Учитывая, что
, .
Для определения дисперсии нужно положить :
.
Пример 2. Найти взаимную КФ случайных функций и , где U – случайная величина .
Решение. Математические ожидания
, .
Центрирование функции
,
.
Тогда по формуле для взаимной КФ получаем
.
Пример 3. На вход дифференцирующего звена поступает случайная функция Х(t) с математическим ожиданием и корреляционной функцией , где Dх – постоянная дисперсия. Определить математическое ожидание и дисперсию на выходе системы.
Решение. Случайная функция на выходе системы (реакция) связана с воздействием оператором дифференцирования:
.
Применяя формулы математического ожидания и корреляционной функции производной от случайной функции Х(t), получаем
,
,
Полагая , имеем
или ,
т.е. дисперсия на выходе дифференцирующего устройства зависит не только от дисперсии на входе, но и от коэффициента , характеризующего быстроту затухания корреляционной связи между сечениями случайной функции Х(t) при возрастании промежутка между ними.
Если коэффициент мал, корреляционная связь затухает медленно, случайная функция изменяется во времени сравнительно плавно, и поэтому дифференцирование такой функции приводит к сравнительно малым ошибкам.
Если коэффициент велик, корреляционная функция убывает быстро, а, следовательно, в составе случайной функции преобладают высокочастотные колебания; дифференцирование такой функции приводит к большим случайным ошибкам.
Пример 4. Задана случайная функция , где U – случайная величина (М(U) = 1, D(U) =1). Найти: МО, КФ и дисперсию случайной функции
Решение. По формулам для МО и КФ интеграла от случайной функции
,
получаем
;
,
откуда .
Задачи
Тема 11
Стационарные случайные функции (ССФ)
Понятие стационарного случайного процесса. Характеристики стационарной случайной функции. Спектральная плотность ССФ. Эргодическое свойство ССФ.
Практическое занятие включает:
- рассмотрение на примерах свойств ССФ;
- определение КФ и спектральной плотности ССФ;
- рассмотрение свойств стационарного белого шума.
Вопросы
Примеры
Пояснение. Стационарно связанными называются две случайные функции X(t) и Y(t), взаимная корреляционная функция которых зависит только от разности аргументов : .
Не всякие две стационарные функции стационарно связаны; две нестационарные функции могут быть стационарно связанными.
Пример 1. Задана случайная функция , где - случайная величина, распределенная равномерно в интервале .
Доказать, что - стационарная функция.
Решение.
.
По формуле МО непрерывной случайной величины имеем:
,
т.е. .
По формуле КФ случайной функции (см. Тему 10), учитывая, что
,
имеем
или
МО второго слагаемого равно нулю, поэтому окончательно
.
Таким образом, МО функции постоянно при всех значениях аргумента, а КФ зависит только от разности аргументов.
Следовательно, - стационарная случайная функция.
Пример 2. Заданы две ССФ: и , где - случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2).
Доказать, что заданные функции стационарно связаны.
Решение. В соответствии с решением предыдущего примера .
По формуле взаимной КФ двух СФ и . (см. пример 2, Тема 10) имеем .
МО второго слагаемого равно нулю, поэтому окончательно .
Так как взаимная КФ зависит только от разности аргументов, то функции X(t) и Y(t) являются стационарно связанными.
Пример 3. Нормированная спектральная плотность норм случайной функции X(t) постоянна в интервале частот , и равна нулю вне этого интервала.
Определить нормированную корреляционную функцию случайной функции X(t).
Решение. Значение норм при определяется из условия, что площадь, ограниченная кривой норм при определяется из условия, что площадь, ограниченная кривой норм , рана единице.
норм
Далее по формуле Винера – Хинчиа (в действительной форме) определяем нормированную КФ случайной функции X(t):
.
Общие виды функций и представлены на рис.1 и рис. 2. Конкретные виды графиков зависят от значений , .
В пределе при т.е. при спектр случайной функции обращается в дискретный с одной единственной линией, соответствующей частоте ; при этом корреляционная функция обращается в обычную косинусоиду: .
Замечание. При дискретном спектре с одной линией спектральное разложение ССФ имеет вид: , где и - некоррелированные случайные величины с МО, равными нулю, и равными дисперсиями: .
Пример 4. Найти спектральную плотность, ССФ , если задана её корреляционная функция .
Решение. По формуле спектральной плоскости ССФ
имеем
.
Общие виды функций и представлены на рис. 3 и 4.
При уменьшении корреляционная функция будет убывать медленнее; характер изменения случайной функции становится более плавным, в спектре больший «удельной вес» приобретают малые частоты: кривая спектральной плотности вытягивается вверх, сжимаясь с боков; в пределе при случайная функция выродится в обычную случайную величину с дискретным спектром, состоящим из единственной линии с частотой .
При увеличении корреляционная функция убывает быстрее, колебания случайной функции становятся более резкими и беспорядочными; в спектре преобладание малых частот становится все менее выраженным; в пределе при спектр случайной функции приближается к равномерному, так называемому белому спектру, в котором нет преобладания каких – либо частот.
Пример 5. Найти корреляционную функцию стационарного белого шума – стационарной случайной функции с постоянной спектральной плотностью .
Решение. По формуле Винера – Хинчина
.
Учитывая, что , где - дельта функция,
имеем .
Тогда окончательно .
Пояснение. Формально дельта – функцией называется такая функция, которая равна бесконечности, когда её аргумент равен нулю, и равна нулю при остальных значениях аргумента, причем интеграл от дельта – функции, распространенный на сколь угодно малый отрезок, включающий особую точку , равен единице.
Задачи
1. Найти дисперсию ССФ , зная её спектральную плотность .
2. Найти спектральную плотность ССФ , зная её КФ при ; КФ равна нулю при .
Тема 12
Стационарные случайные функции(ССФ)
Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной системой.
Практическое занятие включает:
- определение МО, спектральной плотности и дисперсии ССФ на выходе стационарной линейной системы в установившемся режиме.
Вопросы
1. Дайте определение линейного однородного оператора динамической системы. Перечислите его свойства.
2. Приведите примеры линейных однородных операторов.
3. Дайте характеристику стационарной линейной динамической системы.
4. Что называется передаточной функцией и частотной характеристикой линейной динамической системы?
5. Напишите соотношение, связывающее входную и выходную функции спектральной плотности линейной динамической системы.
Примеры
Пример 1. На вход линейной стационарной динамической системы описываемой уравнением , подается ССФ с . Найти МО на выходе системы в установившемся режиме (после затухания переходного процесса).
Решение. , или
.
Так как X(t) и Y(t) – стационарные функции, а МО производной стационарной функции равно нулю, то 2 , откуда .
Пример 2. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением , подается ССФ с . Найти дисперсию случайной функции на выходе системы в установившемся режиме.
Решение. 1). Используя решение примера 4 предыдущего занятия при и , получим .
2). Для нахождения передаточной функции запишем заданное дифференциальное уравнение в операторной форме: , или ,
Следовательно, передаточная функция .
3). Частотная характеристика системы получается из передаточной функции при : .
4). Спектральная плотность на выходе системы определяется по формуле
.
5). Искомая дисперсия находится по формуле
.
Представив подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, имеем
.
Задачи
1. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением , подается ССФ с математическим ожиданием . Найти МО случайной функции на выходе системы в установившемся режиме.
2. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением , поступает ССФ с постоянной спектральной плотностью (белый шум).
Найти дисперсию случайной функции на выходе системы в установившемся режиме.
3. На вход линейной стационарной динамической системы с передаточной функцией поступает ССФ Х со спектральной плотностью . Найти дисперсию случайной функции на выходе системы в установившемся режиме.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ
|
1. . |
8. . |
|
2. , . |
9. . |
|
3. . |
10. |
|
4. . |
11. . |
|
5. . |
12. . |
|
6. . |
13. . |
|
7. . |
14. . |
Основные правила дифференцирования
1. ;
2. ;
3. , .
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ интегралов
|
1. , . |
2. . |
|
3. , . |
4. . |
|
5. . |
6. . |
|
7. . |
8. . |
|
9. . |
10. . |
11. .
12. .
13. , .
14. , , .
15. , .
16. , .
17. .
18. .
Приложение 3
Значения функции
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Значения
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Значения
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
Значения вероятностей
для критерия
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
Значения вероятностей
для критерия
Литература
|
1. Гмурман В.Е. |
Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. М., «Высшая школа», 2000. |
|
2. Гмурман В.Е. |
Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учебное пособие для вузов. М., «Высшая школа», 2000. |
|
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. |
|
|
Высшая математика в упражнениях и задачах. В двух частях. Часть 2. Учебное пособие для втузов. М., «Высшая школа», 1997. |
|
|
4. Гусак А.А., Бричикова Е.А. |
|
|
Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач. Минск, «ТетраСистемс», 2002. |
|
|
5. Барсуков В.И. |
Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. Учебно-практическое пособие в двух частях. М., МГУТУ, 2004. |
Барсуков Владимир Иванович
«Теория вероятностей,
математическая статистика
и случайные процессы»
Методические указания
по практическим занятиям.
Подписано к печати:
Тираж:
Заказ №
4
3
2
1
N
М
0,4
0,3
0,2
0,1
6
5
4
3
2
1
0
0,2
0,4
0
4
6
8
10
Полигон распределения
1
15
10
5
0
0,1
0,05
5
4
3
2
1
0
0,5
0,2
6
0
-1
1
1
1
12
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
0,20
0,15
0,10
0,05
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0
0
0
Рис. 1
0
1
Рис. 2
0
D
Рис. 3
0
D/
Рис. 4