Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Выделение полного квадрата
Выделением полного квадрата из квадратного трехчлена ax2+bx+c называется процедура, в результате которой трехчлен приводится к виду a(x–x0)2+y0.
Алгоритм выделения полного квадрата таков:
1. выносим из первых двух слагаемых множитель a за скобку:
a⋅(x2+ba⋅x)+c;
2. замечаем, что если к выражению стоящему в скобках добавить число (b2a)2, то получится полный квадрат:
x2+ba⋅x+(b2a)2=x2+2x⋅b2a+(b2a)2=(x+b2a)2;
3. заменяем выражение в скобках на (x+b2a)2–(b2a)2
4. в итоге получаем:
ax2+bx+c=a⋅((x+b2a)2–(b2a)2)+c=a⋅(x+b2a)2+c–b24a.
Например,
3x2–7x+4=3⋅(x2–7x3)+4=3⋅(x2–2x⋅76+4936–4936)+4=
=3⋅(x–76)2–4912+4=3⋅(x–76)2–112.
Формула корней квадратного уравнения
Корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0 (где коэффициент a≠0) находятся по формуле
x1,2=−b±b2–4ac−−−−−−√2a.
Действительно, выделяя полный квадрат из трехчлена ax2+bx+c, получаем, что квадратное уравнение ax2+bx+c=0, при b2–4ac⩾0 равносильно следующему:
a⋅(x+b2a)2+c–b22a=0⇔a⋅(x+b2a)2=b2–4ac4a⇔
⇔(x+b2a)2=b2–4ac4a2=0⇔∣∣∣x+b2a∣∣∣=b2–4ac4a2−−−−−−√⇔
⇔x+b2a=±b2–4ac−−−−−−√2a⇔x=–b2a±b2–4ac−−−−−−√2a.
Величина D=b2–4ac называется дискриминантом и отвечает за количество решений квадратного уравнения. А именно, если D>0, то уравнение имеет два решения; если D=0, то одно; а если D<0, то уравнение не имеет решений.
Формула корней для приведенного квадратного уравнения. Приведенным называется квадратное уравнение с единичным старшим коэффициентом: x2+px+q=0. Его можно получить из уравнения ax2+bx+c=0, поделив на коэффициент a.
Его корни находятся по формуле
x1,2=−p±p2–4q−−−−−√2.
Формула четного коэффициента. В случае, когда второй коэффициент четен (т.е. b=2b1), корни удобнее находить по формуле
x1,2=−b1±b21–ac−−−−−√a.
Неполные квадратные уравнения. Если хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, уравнение проще решать разложением на множители.
Например,
4x2–9=0⇔4(x2–94)=0⇔
⇔4(x–32)(x+32)=0⇔x1,2=±32;
2x2+5x=0⇔2x(x+52)=0⇔x1=0, x2=–52.
Теорема Виета
Разложение на множители квадратных трехчленов. Если x1, x2 корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0, то квадратный трехчлен ax2+bx+c можно разложить на множители
ax2+bx+c=a(x–x1)(x–x2).
Теорема Виета. Если квадратное уравнение ax2+bx+c=0 имеет решения (т.е. D⩾0), то
x1+x2=–ba,x1x2=ca.
При этом, если D=0, т.е. уравнение имеет всего одно решение x, в этих равенствах полагаем x1=x2=x.
Для приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0 соответственно получаем
x1+x2=–p,x1x2=q.
Обратная теорема Виета. Верно и обратное утверждение: если числа x1 и x2 таковы, что
x1+x2=–p,x1x2=q,
то они являются корнями уравнения x2+px+q=0.
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Биквадратные уравнения. Уравнение вида ax4+bx2+c=0 при a≠0 сводится к квадратному заменой x2=t.
Возвратное уравнение. Уравнение вида ax4+bx3+cx2+bx+a=0 при a≠0 может быть также сведено к квадратному. Действительно, заметим, что x≠0, т.к. иначе a=0. Следовательно, можно поделить на x2. Разделив, получим уравнение
a(x2+1x2)+b(x+1x)+c=0,
равносильное исходному. Сделав замену
t=x+1x⇒x2+1x2=(x+1x)2–2=t2−2,
приходим к квадратному уравнению a(t2–2)+bt+c=0.
Заметим, что аналогичным образом, только с заменой t=x–1x, к квадратному сводится уравнение вида ax4+bx3+cx2–bx+a=0