Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 4. Свойства определителей
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причём каждую строку заменить столбцом с тем же номером, т. е.
= .
Свойство 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определи теля равносильна умножению его на — 1. Например,
= —.
Свойство 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.
Свойство 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определи теля на это число k. Например,
= k.
Свойство 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случай предыдущего (при k = 0).
Свойство 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
Свойство 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки опре делителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце, или соответственно в n-й строке, имеет первые из упомянутых cлагаемых, а другой — вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трёх определителей одни и те же. Например,
= .+
Свойство 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,
= .
Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определи тель, получаемый из данного путём вычёркивания строки и столбца, на пере сечении которых расположен этот элемент.
Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число чётное, и с обратным знаком, если это число нечётное.
Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, которой обозначен сам элемент.
Свойство 9. Определитель
=
равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.
Иначе говоря, имеют место следующие равенства:
= a1A1 + a2A2 + a3A3, = a1A1 + b1B1 + c1C1,
= b1B1 + b2B2 + b2B2, = a2A2 + b2B2 + c2C2,
= c1C1 + c2C2 + c3C3, = a3A3 + b2B2 + c3C3.
В задачах 1217—1222 требуется, не раскрывая определителей, доказать справедливость равенств.
1217. =.
Указание, Воспользоваться свойством 8.
1218.
=.
У к а з а н и е. Воспользоваться свойством 8.
1219. =0
Указание. Воспользоваться свойствами 7, 3, 6.
1220. =0
У к а з а н и е. Воспользоваться свойствами 7 и 6.
1221. =0 1222. =0
В задачах 1223—1227 требуется вычислить определители, поль зуясь одним свойством 9.
1223. . 1224. .
1225. . 1226. .
1227. .
1228. Определители, данные в задачах 1223—1227, пользуясь свойством 8, преобразовать так, чтобы в каком-либо столбце (или строке) определителя два элемента стали равными нулю, а затем вычислить каждый из них, воспользовавшись свойством 9.
В задачах 1229—1232 требуется вычислить определители.
1229. . 1230.
1231. . 1232. .
1233. Доказать справедливость равенств:
1) = (sin α — sin β) (sin β — sin γ)(sin γ — sin α);
2) =
1234. Решить уравнения:
1) = 0 2) = 0
1235. Решить неравенства:
1) < 1 2) > 0