Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
РАЗДЕЛ I
Теоретическая механика
Введение
Любое явление в ок ружающем нас макромире связано с движением, следовательно, не может не иметь того или иного отношения к механике.
Механика — это наука о механическом движении и взаимо действии материальных тел. Теоретическая механика — раздел механики, в котором изучаются законы движения тел и общие свойства этих движений.
Механическое движение — это изменение с течением вре мени взаимного положения в пространстве материальных тел или взаимного положения частей данного тела. Покой есть част ный случай механического движения, причем понятия покоя и механического движения являются относительными. Так, чело век, сидящий в вагоне равномерно и прямолинейно движущего ся поезда, может считать себя находящимся в покое по отноше нию к вагону, однако по отношению к Земле он будет находиться в движении.
Механика является одной из самых древних наук. Термин «механика» (в пер. «искусство построения машин») введен вы дающимся философом древности Аристотелем.
Техническая механика — комплексная дисциплина, в которой излагаются основные положения о взаимодействии твердых тел, прочности материалов и методах расчета конструктивных элементов зданий и сооружений на внешние воздействия, так как с древних времен строители и архитекторы старались возводить прочные и надежные здания. Она включа ет три раздела: «Теоретическая механика», «Сопротивление мате риалов», «Детали машин». «Теоретическая механика» — раздел, в котором излагаются основные законы движения твердых тел и их взаимодействия. В разделе «Сопротивление материалов» изучают ся основы прочности материалов и методы расчетов элементов кон струкций на прочность, жесткость и устойчивость под действием внешних сил. В заключительном разделе «Технической механики» «Детали машин» рассматриваются основы конструирования и рас чета деталей и сборочных единиц общего назначения.
Дисциплина «Техническая механика» является общепрофессио нальной, обеспечивающей базовые знания при усвоении специальных дисциплин.
СТАТИКА
Для удобства изучения теоретическую механику подразделяют на статику, кинематику и динамику.
Статикой называется раздел механики, посвященный изучению условий равновесия абсолютно твердых тел под действием сил. Состояние покоя или равномерного прямолинейного поступательного движения тела по отношению к другим материальным телам называется равновесием. Абсолютным механическим равновесием считаться такое состояние, когда тело находиться в покое или движется прямолинейно и равномерно, причем все точки тела движутся одинаково. В статике изучается только абсолютное равновесие тел. Тело, по отношению к которому рассматривается равновесие других тел, называется телом отсчета.
В статике рассматриваются решения двух основных задач:
1) приведение системы сил, действующих на абсолютно твердое тело, к простейшему виду;
2) определение условий равновесия абсолютно твердого тела под действием произвольной системы сил.
Тело называют абсолютно твердыми (или абсолютно жесткими), если расстояние между любыми его точками не меняется при действии на него других тел. Абсолютно твердых тел в природе не существуют, все реальные тела под действием различных внешних факторов изменяют свою форму м размеры, т.е. деформируются. Абсолютно твердое тело представляет собой неизменяемую систему материальных точек. Под материальной точкой в теоретической механике понимают твердое тело, размерами можно пренебречь, но обладающая массой.
Рассматривая какое – нибудь тело, нельзя представить его изолированно, вне влияния на него других тел. Проявлением этого взаимного влияния тел является силы. Сила — это мера механического взаимодействия материальных тел между собой. Взаимодействие характеризуется величиной и направлением, т.е. сила есть величина векторная, характеризующаяся точкой приложения (А), направлением (линией действия), величиной (модулем) (рис. 1.1).
Силу измеряют в ньютонах(Н): Ньютон есть сила, сообщающая телу массой 1 кг ускорение 1 м/с² в направлении действия силы.
мега(М)……… деци(д)…………...
кило(К)………... санти(с)………….,
гекто(г)………...10² мили (м)…………,
дека(да)…………10; микро(мк)………..
Например, килоньютон (кН) = кН.
Рис. 1.1
Силы, действующие на тело (или систему тел), делятся на внешние и внутренние. Внешние силы бывают активные и реактивные. Активные силы вызывают перемещение тела, реактивные стремятся противодействовать перемещению тела под действием внешних сил.
Внутренние силы возникают в теле под действием внешних сил.
Совокупность сил, действующих на какое-либо тело, называют системой сил. Система сил, линии действия которых лежат в разных плоскостях, называют пространственной. Если же линии действия рассматриваемых сил лежат в одной плоскости, система называется плоской. Система сил с пересекающимися в одной точке линиями действия называется сходящейся. Сходящаяся система может быть как пространственной, так и плоской.
Две системы сил эквивалентны, если взятые порознь они оказывают одинаковое механическое действие на тело. Из этого следует, что две системы сил, эквивалентные третьей, эквивалентные между собой. Любую сложную систему сил всегда можно заменить более простой эквивалентной ей системой сил. Одну силу, эквивалентную данной системе сил, называют равнодействующей этой системы. Силу, равную по модулю равнодействующей и направленную по той же линии действия, но в противоположную сторону, называют уравновешивающей силой. Если к системе сил добавлена уравновешивающая сила, то полученная новая система находиться в равновесии и соответственно равна нулю.
1.2 Аксиомы статики
Условия, при которых тело может находиться в равновесии, выводиться из нескольких основных положений, применяемых без доказательств, но подтвержденных опытом и называемых аксиомами статики. Основные аксиомы статики сформулированы выдающимся английским ученым Исааком Ньютоном и поэтому названы его именем.
Аксиома I (аксиома инерции, или первый закон Ньютона). Всякое тело сохраняет свое состояние покоя или прямолинейного равномерного движения до тех пор, пока какие – нибудь силы не выведут тело из этого состояния.
Способность материального тела сохранять движение при отсутствии действующих сил или постепенно изменять это движение, когда на тело начинают действовать силы, называется инерцией или инертностью. Инертность есть одно из основных свойств материи.
В соответствии с этой аксиомой состоянием равновесия считается такое состояние, когда тело находиться в покое или движется прямолинейно и равномерно, т.е. по инерции.
Аксиома II (аксиома взаимодействия, или третий закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел всегда равны по модулю ( |F1| = |F2| или ) и направлены по одной прямой и в противоположные стороны.
Рис. 1.2 Из третьего закона Ньютона вытекает, что одностороннего механического действия одного тела на другое не существует, т.е. силы взаимодействия – силы парные. Однако сила действия одного тела на другое и сила противодействия не представляет собой систему сил, т.к. они приложены к разным телам.
Аксиома III (закон равенства действия и противодействия). Для равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием двух сил, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны по модулю и действовали по одной прямой в противоположные стороны.
Закон о равенстве действия и противодей ствия является одним из основных законов механики. Из него следует, что если тело А дей ствует на тело В с силой , то одновременно тело В действует на тело А с такой же по модулю и направленной вдоль той же прямой, но противоположную сторону силой = (рис. 1.3). Однако силы и не образуют урав новешенной системы сил, так как они приложены к разным телам.
рис. 1.3.
Аксиома IV (принцип присоединения и отбрасывания систем сил, эквивалентной нулю). Всякую силу, действующую на абсолютно твердое тело, можно перенести вдоль линии ее действия в любую точку, не нарушив при этом его механического состояния.
Следствие из 2-й и 4-й аксиом. Действие силы на абсо лютно твердое тело не изменится, если перенести точку при ложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.
В самом деле, пусть на твердое тело действует приложенная в точке А сила (рис. 1.4). Возьмем на линии действия этой силы произвольную точку В и приложим к ней две уравновешенные силы и , такие, что = , = . От этого действие силы на тело не изменится.
Но силы и со гласно аксиоме 2 рис. 1.4.
также образуют уравновешенную систему, которая может быть отброшена. В резуль тате на тело будет действовать только одна сила , равная , но приложен ная в точке В.
Таким образом, вектор, изобра жающий силу , можно считать приложенным в любой точке на линии действия силы (такой вектор называется скользящим).
Аксиома V (правило параллелограмма). Равнодействующая двух сил, приложенных к телу в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю и совпадает по направлению с диагональю параллелограмма, построенного на данных силах.
Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах и (рис.12), называется геометрической суммой векторов и : = + .
Величина равнодействующей
Рис. 1.3.
Конечно, Такое равен ство будет соблюдаться только при условии, что эти силы направлены по одной пря мой в одну сторону. Если же векторы сил окажутся перпендикулярными, рис. 1.5
то
Следовательно, аксиому 3 можно еще формулировать так: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействую щую, равную геометрической (векторной) сумме этих сил и прило женную в той же точке.
Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие изме няемого (деформируемого) тела, находящегося под действием дан ной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым).
Высказанное в этой аксиоме утверждение очевидно. Например, ясно, что равновесие цепи не нарушится, если ее звенья считать сва ренными друг с другом и т. д.
1.3 Связи и реакции связей
Все законы и теоремы статики справедливы для свободного твердого тела.
Все тела делятся на свободные и связанные.
Свободным называется тело, которое не испытывает никаких препятствий для перемещения в пространстве в любом направлении. Если же тело связано с другими телами, которые ограничивают его движение в одном или нескольких направлениях, то оно является несвободным. Тела, которые ограничивают движение рассматриваемого тела, называют связями.
При взаимодействии между телом и его связями возникают силы, противодействующие возможным движениям тела. Эти силы действуют на тело со стороны связей и называются реакциями связей.
Реакция связи всегда противоположна тому направлению, по которому связь препятствует движению тела. Существование реакцией основывается аксиомой связей используют принцип освобождения от связей. Не изменяя равновесия тела, каждую связь можно отбросить, заменяя ее реакцией. Определение реакций связей является одной из наиболее важных задач статики.
Все связи можно разделить на несколько типов.
Рис. 1.6
1) Связь – гладкая опора (без трения).
Реакция опоры приложена в точке опоры и всегда направлена перпендикулярно опоре (рис. 1.7).
2) Гибкая связь (нить, веревка, трос, цепь). Груз подвешен на двух нитях (рис. 1.6). Реакция нити направлена вдоль нити от тела, при этом нить может быть только растянута.
3) Жесткий стержень. На схемах стержни изображают толстой сплошной линией (рис. 1.8).
Стержень может быть сжат или растянут. Ре акция стержня направлена вдоль стержня. Стер жень работает на растяжение или сжатие. Точное направление реакции определяют, мысленно убрав стержень и рассмотрев возможные перемещения те ла без этой связи.
Возможным перемещением точки называется такое бесконечно малое мысленное перемещение, которое допуска ется в данный момент наложенными на него связями.
Убираем стержень 1, в этом случае стержень 2 падает вниз. Сле довательно, сила от стержня 1 (реакция) направлена вверх. Убираем стержень 2. В этом случае точка А
рис 1.8 опускается вниз, отодвигаясь от стены. Следовательно, реакция стержня 2 направлена к стене.
4) Сферический шарнир. Этот вид вид связи закрепляет тело таким образом, что оно не может
Рис. 1.9
совершать никаких поступательных перемещений в пространстве, а может только поворачивается относительно трех координатных осей, проходящих через центр шарнира. Для нахождения модуля и направления реакции R ее необходимо заменить тремя составляющими x, y, z с линями действия, параллельными осями координат.
Рис. 1.10
5) Шарнирно – неподвижная опора. (рис. 1.10,а). Эта опо ра препятствует любому поступательному перемещению системы в ее плоскости, но дает ей возможность свобод но поворачиваться вокруг оси шарнира (трением в шар нире пренебрегаем). Схематически такая опора изобра жается двумя стержнями (рис. 1.10, б), шарнирно сое диненными на одном конце. Реакция такой опоры про ходит через ось шарнира, но неизвестна как по модулю, так и по направлению и, следовательно, характеризуется двумя неизвестными величинами. Для их нахождения реакцию Rв необходимо заменить двумя взаимно пер пендикулярными составляющими RВх и RВу,.
6) Шарнирно-подвижная опора (рис. 1.10,в). Эта опора препятствует лишь перемещению, перпендикулярному к опорной плоскости, но не препятствует перемещению оси шарнира параллельно этой плоскости. Реакция шарнирно-подвижной опоры всегда перпендикулярна опорной плоскости. Таким образом, для шарнирно-подвижной опоры неизвестна только величина реакции. Схематиче ски такая опора изображается в виде одного стержня с шарнирами по концам (рис. 1.10, г). Реакция такой опо ры проходит через ось шарнира и направлена вдоль стержня.
Шарнирно – неподвижная и шарнирно – подвижная опоры являются опорами балочных систем.
7) Защемление или «заделка». Любые перемещения точки крепления не возможны.
Под действием внешних сил в опоре возникают реактивная сила и реактив ный момент Mr, препятствующий пово роту (рис. 1.11).
Реактивную силу принято предста влять в виде двух составляющих вдоль осей координат R = Rx + Ry.
рис. 1.11
1.4.1 Определение равнодействующей геометрическим способом
Знать геометрический способ определения равнодействующей системы сил, условия равновесия плоской системы сходящихся сил.
Уметь определять равнодействующую, решать задачи на равновесие в геометрической форме.
Система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости и все пе ресекаются в одной точке, называется плоской системой сходя щейся сил (рис. 1.12).
Необходимо определить равнодействую щую системы сходящихся сил (F1; F2; F3; …; Fn), n — число сил, входящих в систему.
По следствию из аксиом статики, все си лы системы можно переместить вдоль линии действия, и все силы окажутся приложенными в одной точке.
рис. 1.12
Равнодействующая сходящихся сил
Равнодействующую двух пересекающихся сил можно опреде лить с помощью параллелограмма или треугольника сил (4-я ак сиома) (рис. 1.13).
рис.1.12
Используя свойства векторной суммы сил, можно получить равнодействующую любой сходящейся системы сил, складывая последовательно силы, входящие в систему. Образуется многоугольник сил (рис. 1.13). Вектор равнодействующей силы соединит начало первого вектора с концом последнего.
При графическом способе определения равнодействующей век торы сил можно вычерчивать в любом порядке, результат (величина и направление равнодействующей) при этом не изменится.
рис. 1.13
Вектор равнодействующей направлен навстречу векторам сил-слагаемых. Такой способ получения равнодействующей называют геометрическим.
З а м е ч а н и е. При вычерчивании многоугольника обращать внимание на параллельность сторон многоугольника соответствую щим векторам сил.
Порядок построения многоугольника сил
1. Вычертить векторы сил заданной системы в некотором масштабе один за другим так, чтобы конец предыдущего вектора со впадал с началом последующего.
2. Вектор равнодействующей замыкает полученную ломаную линию; он соединяет начало первого вектора с концом последнего и направлен ему навстречу.
3. При изменении порядка вычерчивания векторов в многоугольнике меняется вид фигуры. На результат порядок вычерчивания не влияет.
Условие равновесия плоской системы сходящихся сил
При равновесии системы сил равнодействующая должна быть равна нулю, следовательно, при геометрическом построении конец последнего вектора должен совпасть с началом первого.
Если плоская система сходящихся сил находится в равновесии, многоугольник сил этой системы должен быть замкнут.
Если в системе три силы, образуется треугольник сил.
Сравните два треугольника сил (рис. 2.4) и сделайте вывод количестве сил, входящих в каждую систему.
Р е к о м е н д а ц и я. Обратить внимание на направление векторов.
рис.1.14
Решение задач на равновесие геометрическим способом:
Геометрическим способом удобно пользоваться, если в системе три силы. При решении задач на равновесие тело считать абсолютно твердым (отвердевшим).
Порядок решения задач:
1. Определить возможное направление реакция связей.
2. Вычертить многоугольник сил системы, начиная с известных сил в некотором масштабе. (Многоугольник должен быть замкнут, все векторы – слагаемые направлены в одну сторону по обходу контура.)
3. Измерить полученные векторы сил и определить их величину, учитывая выбранный масштаб.
4. Для уточнения решения рекомендуется определить их величины векторов (сторон многоугольника) с помощью геометрических зависимостей.
1.4.2 Определение равнодействующей аналитическим способом
Знать аналитический способ определения равнодействующей силы, условия плоской сходящихся системы сил в аналитической форме.
Уметь определять проекции силы на две взаимно перпендикулярные оси, решать задачи на равновесие в аналитической форме.
Проекция силы на ось
Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора (рис. 1.15).
рис. 1.15
Величина проекции силы на ось равна произведению модуля си лы на косинус угла между вектором силы и положительным напра влением оси. Таким образом, проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси (рис. 1.16).
рис. 1.16
F1x = F1 cos α1 > 0; F2x = F2 cos α2 = - F2 cos β2;
cos α2 = cos (180° - β2) = - cos β2;
F3x = F3 cos 90° = 0; F4x = F4 cos 180° = - F4
Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси
(рис. 1.17).
Fx = F cos a > 0;
Fy = F cos β = F sin α > 0. рис.1.17
Определение равнодействующей системы сил аналитическим способом
Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определяем равнодействующую геоме трическим способом. Выберем систему координат, определим про екции всех заданных векторов на эти оси (рис. 1.18а). Складываем проекции всех векторов на оси х и у (рис. 1.18б).
рис.1.18
FΣч = Flx + F2x + F3x + F4x; FΣн = Fly + F2y + F3y + F4y;
;.
Модуль (величину) равнодействующей можно найти по известным проекциям:
.
Направление вектора равнодействующей можно определить по величинам и знакам косинусов углов, образуемых равнодействую щей с осями координат (рис. 1.19).
рис.1.19
Условия равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме
Исходя из того, что равнодействующая равна нулю, получим:
FΣ = 0.
Условия равновесия в аналитической форме можно сформулиро вать следующим образом:
Плоская система сходящихся сил находится в равновесии, ес ли алгебраическая сумма проекций всех сил системы на любую ось равна нулю.
Система уравнений равновесия плоской сходящейся системы сил:
В задачах координатные оси выбирают так, чтобы решение было наиболее простым. Желательно, чтобы хотя бы одна неизвестная сила совпадала с осью координат.
Методика решения задач
Решение каждой задачи можно условно разделить на три этапа.
Первый этап: Отбрасываем внешние связи системы тел, равновесие которой рассматривается, и заменяем их действие реакциями. Необходимость этого вызвана тем, что положения статики применимы только к свободным от внешних связей телами или системами тел.
Второй этап: Расчленяем систему тел на отдельные элементы. Это дает нам возможность определить внутренние силы (если это необходимо).
Третий этап: Составляем условия равновесия для каждого отдельного элемента, из которых находим искомые неизвестные величины и направления сил или реакций.
В зависимости от метода решения задач условия равновесия используется в геометрической или аналитической форме.
Знать обозначение, модуль и определение моментов пары сил и силы относительно точки, условия равновесия системы пар сил.
Уметь определять моменты пар сил и момент силы относительно точки, определять момент результирующей пары сил.
Две равные и параллельные силы, направленные в противоположные стороны и не лежащие на одной прямой, называются парой сил. Примером такой системы сил могут служить силы, передаваемы руками шофера на рулевой колесо автомобиля.
Действие пары сил на твердое тело, как показывает опыт, состоит в том, что она стремиться вращать это тело. Рассмотрим гайку, которую затягивают гаечным ключом определенной длины, прикладывая к концу ключа мускульное усилие. Если взять гаечный ключ длиннее, то, прилагая то же усилие, гайку можно затянуть значительно сильнее. Из этого следует, что одна и та же сила может оказывать различное вращательное действие. Вращательное движение характеризуется моментом силы.
Действие пары на твердое тело характеризуется вращательным эффектом, зависящим от:
Моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на кротчайшее расстояние (взятое по перпендикуляру к силам), называемым плечом силы.
Силы, входящие в пару, не уравновешиваются, т.к. они приложены к двум точкам (рис.1.20). Их действие на тело не может быть заменено одной силой (равнодействующей).
Кратчайшее расстояние между линиями действия сил называется плечом пары.
рис.1.20
Момент силы пары сил считается положительным, если пара стремиться повернуть тело по направлению хода часовой стрелки (рис. 1.20 а), и отрицательным, если пара сил стремиться вращать тело против часовой стрелки (рис. 1.20 б).
Единица момента силы: [M] = [F]*[h] =ньютон * метр = Н*м
Момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия проходит через точку, т.к. в этом случае расстояние до силы равно нулю.
Между моментом пары и моментом силы есть одно существенное различие. Численной значение и направление момента пары сил не зависят от положения этой пары в плоскости. Значение и направление (знак) момент силы зависит от положения точки, относительно которой определяется момент.
1.5.1 Эквивалентность пар
Две пары сил считаются эквивалентными в том случае, если после замены одной пары другой парой механическое состояние тела не изменяется, т. е. не изменяется движение тела или не нару шается его равновесие.
Эффект действия пары сил на твердое тело не зависит от ее положения в плоскости. Таким образом, пару сил можно перено сить в плоскости ее действия в любое положение.
Рассмотрим еще одно свойство пары сил, которое является основой для сложения пар.
Не нарушая состояния тела, мож но как угодно изменять модули сил и плечо пары, только бы момент па ры оставался неизменным.
Заменим пару сил с плечом a (рис.1.21а) новой парой плечом b (рис. 1.21,6) так, чтобы момент пары оставался тем же. Момент заданной пары сил М1 = F1a. Момент новой пары сил М2 = F2b. По определению пары сил эквивалентны, т. е. производят одинаковое действие, если их моменты равны.
Если изменив значения сил и плечо новой пары, мы сохраним равенство их моментов Мг = Мг или F1a = F2b, то состояние тела от такой замены не нарушится.
Итак, вместо заданной пары с плечом а мы получили эквивалентную пару с плечом b.
рис.1.21
1.5.2 Опоры и опорные реакции балок
Правило для определения направления реакций связей ( рис.1.22).
Шарнирно-подвижная опора допускает поворот вокруг оси шарнира и линейное перемещение параллельно опорной плос кости. Если пренебречь трением на опоре и в шарнире, то реак ция такой связи будет направлена перпендикулярно опорной плоскости и неизвестна только по модулю (одно неизвестное).
Шарнирно-неподвижная опора допускает только поворот вокруг оси шарнира и не допускает никаких линейных переме щений. Реакция такой опоры будет направлена перпендикуляр но оси шарнира; модуль и направление ее заранее неизвестны (два неизвестных). Обычно при решении задач такую реакцию раскладывают на две взаимно перпендикулярные составляющие, неизвестные по модулю, но известные по направлению.
Жесткая заделка (защемление) не допускает ни линейных перемещений, ни поворотов защемленного конца балки. Жест кую заделку заменяют реактивной силой, неизвестной по моду лю и направлению, и реактивным моментом (три неизвестных). Реактивную силу, неизвестную по направлению, раскладывают на две взаимно перпендикулярные составляющие.
Если при решении задачи реактивная сила или реактивный момент получатся отрицательными, то их действительное на правление противоположно принятому на рисунке.
Кроме перечисленных выше трех основных типов опор ба лок, в конструкциях нередко балка свободно опирается на плос кость (поверхность) или на ребро призмы. В этих случаях направление реакций определяют по правилам, изложенных заранее. рис.1.22
Тема 1.6 Плоская система произвольно расположенных сил
Иметь представление о главном векторе, главном моменте, равнодействующей плоской системы произвольно расположенных сил.
Знать теорему Пуансо о проведении силы к точке, приведение произвольной плоской системы сил к точке, три формы уравнений равновесия.
Уметь заменять произвольную плоскую систему сил одной силой и одной парой.
Приведение силы к точке.
Произвольная плоская система сил представляет собой систему сил, линии действия которых расположены в плоскости каким угодно образом (рис. 1.23).
Возьмем силу , приложенную в точке С. Требуется пере нести эту силу параллельно самой себе в некоторую точку О.
Приложим в точке О две силы и , противоположно направленные, равные по значению и параллельные заданной силе, т. е. F' = F" = F. От приложения в точке О этих сил состояние тела не изменяется, так как они взаимно уравновешиваются. Полученную систему трех сил можно рассматривать как состоящую из силы , приложенной в точке О, и пары сил с моментом М = Fa. Эту пару сил называют присоединенной, а ее плечо а равно плечу силы относительно точки О (рис. 1.23, а).
Таким образом, при приведении силы к точке, не лежащей на линии действия силы, получается эквивалентная система, состоящая из силы, такой же по модулю и направлению, как и сила , и присоединенной па ры сил, момент которой равен моменту данной силы относи тельно точки приведения (Теорема Пуансо):
М0 () = Fa. Рис.1.23
Приведение плоской системы сил к данной точке
Метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, что в некото рых точках тела (рис. 1.24) приложены силы F1 F2, F3 и F4. Тре буется привести эти силы к точке О плоскости. Приведем сначала силу приложенную в точ ке А. Приложим (см. § 16) в точке О две силы рав ные порознь по значению заданной силе параллель ные ей и направленные в про тивоположные стороны. В ре зультате приведения силы получим силу , приложен ную в точке О, и пару силс плечом . Поступив таким же образом с силой , приложенной в точке В, получим силу , приложенную в точке О, и пару сил с плечом и т. д. Плоскую систему сил, приложенных в точках А, В, С и D, мы заменили сходящимися силами , приложенными в точке О, и парами сил с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки О:
рис.1.24
.
Сходящиеся в точке силы можно заменить одной силой равной геометрической сумме составляющих,
Эту силу, равную геометрической сумме заданных сил, называют главным вектором системы сил и обозначают .
По величине проекций главного вектора на оси координат находим модуль главного вектора:
На основании правила сложения пар сил их можно заменить результирующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О и называется главным моментом относительно точки приведения
Таким образом, произвольная плоская система сил приводиться к одной силе (главному вектору системы сил) и одному моменту (главному моменту системы сил).
Необходимо усвоить, сто главный вектор не является равнодействующей данной системы сил, так как эта система не эквивалентна одной силе . Так как главный вектор равен геометрической сумме сил заданной системе, то ни модуль, ни направление его не зависит от выбора центра приведения. Значение и знак главного момента зависит от положения центра приведения, так как плечи составляющих пар зависят от взаимного положения сил и точки (центра) относительно которой берутся моменты.
Частные случаи приведения системы сил:
1) ; система находиться в равновесии, т.е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы ее главный вектор и главный момент одновременно были равны нулю.
2) тело вращается вокруг неподвижной оси ;система приводиться к паре сил, момент которой равен главному моменту.
3) тело движется прямолинейно ускоренно; система приводиться к одной равнодействующей, равной главному вектору системы.
4) - общий случай; система приводиться к главному вектору и к главному моменту.
Влияние точки приведения
Точка приведения выбрана произвольно. Произвольная плоская система сил представляет собой систему сил, линия действия которых расположены в плоскости каким угодно образом.
При изменении положения точки приведения величина главного вектора не измениться.
Величина главного момента при переносе точки приведения измениться, т.к. меняются расстояния от векторов - сил до новой точки приведения.
Для того чтобы оказываемое ею на тело действие не изменилось, нужно к нему приложить пару с моментом, равным моменту исходной силы относительно точки, в которую она переноситься.
В общем случае, когда, всегда есть точка, относительно которой главный момент сил равен нулю.
Рассмотрим плоскую систему сил, которая приведена к точке О, т. е. заменена главным вектором , приложенным в точке О, и главным моментом (рис. 31). Для определенности примем, что главный момент направлен по часовой стрелке, т. е. Мгл > 0. Изобразим этот главный момент парой сил , модуль которых выберем равным модулю главного вектора. Одну из сил, составляющих пару (силу "). приложим в центре приведения О, другую силу в точке С, положение которой определится из условия: Мгл = OCFx. Сле довательно
ОС = Mгл /Fгл, т.е. рис.1.25
где d – расстояние от выбранной точки приведения до точки приложения равнодействующей;
-величина главного момента относительно выбранной точки приведения;
- величина главного вектора системы сил.
Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона)
В общем случае произвольная плоская система сил приводится к главному вектору F'гл и к главному моменту Мгл относительно выбранного центра приведения, причем главный момент равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О:
Было показано, что можно выбрать центр приведения (рис. 1.25, точка С), относительно которого главный момент системы равен нулю, и система сил приведется к одной равнодействующей, равной по модулю главному вектору. Определим момент равнодействующей относительно точки О. Учитывая, что плечо ОС силы равно , получаем
Полученное уравнение выражает теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно произ вольно взятой точки равен алгебраической сумме моментов со ставляющих сил относительно той же точки.
Из теоремы Вариньона следует, что главный момент плоской системы сил относительно любой точки, лежащей на линии дей ствия ее равнодействующей, равен нулю. Рассмотрим применение теоремы Вариньона на конкретных примерах.
Условие равновесия произвольно плоской системы сил
1)При равновесии главный вектор системы равен нулю (=0).
где - проекция векторов на оси координат.
2) Поскольку точка приведения выбрана произвольно, ясно, что при равновесии сумма моментов сил системы относительно любой точки на плоскости должна равняться нулю:
где А и В – разные точки приведения.
Эти точки не должны лежать на одной прямой.
Условие равновесия произвольно плоской системы сил может быть сформулировано следующим образом:
Для того чтобы твердое тело под действием произвольной плоской системы сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно любой точки в плоскости действия сил равнялось нулю.
Для разных случаев используется три группы уравнений равновесия.
Первая форма уравнений равновесия
Вторая форма уравнений равновесия
Третья форма уравнений равновесия
Для частного случая, если уравновешена система параллельных сил, можно составить только два уравнения равновесия:
. Ось Ох системы координат параллельна линии действия сил.
Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления
Иметь представление о видах опор и возникающих реакциях в опорах.
Знать три формы уравнений равновесия и уметь их использовать для определения реакций в опорах балочных систем.
Уметь выполнять проверку правильности решения.
Очень часто в машинах и конструкциях встречаются тела удлиненной формы, называемыми балками (или балочными системами). Балки в основном предназначены для восприятия поперечных нагрузок. Балки имеют специальные устройства для сопряжения их с другими элементами и передачи на них усилий.
Виды нагрузок
По способу приложения нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные. Если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузку называют сосре доточенной.
Часто нагрузка распределена по значительной площадке или ли нии (давление воды на плотину, давление снега на крышу и т.п.), тогда нагрузку считают распределенной.
В задачах статики для абсолютно твердых тел распределен ную нагрузку можно заменить равнодействующей сосредоточенной силой (рис. 1.26).
Рис. 1.26
где q — интенсивность нагрузки; / — длина стерж ня;
G = ql — равнодей ствующая распределенной нагрузки.
Применяют следующие виды опор.
Жесткая заделка (защемление) (рис. 6.2)
Опора не допускает перемещений и поворотов. Неизвестными в данном случае являются не только значение и направление реакции, но и точка ее приложения. Заделку заменя ют двумя составляющими силы RAx и RAy и парой с моментом MR.
Для определения этих неизвестных удобно использовать систему уравне ний в виде
Каждое уравнение имеет одну не известную величину и решается без подстановок.
Для контроля правильности решений используют дополнитель ное уравнение моментов относительно любой точки на балке, например В: рис.1.27
Шарнирно-подвижная опора (рис. 1.28) Опора допускает поворот вокруг шарнира и перемещение вдоль опорной поверхности. В этой опоре известны точки приложения опорной реакции – центр
шарнира и ее направление – перпендикуляр к опорной плоскости. Здесь остается неизвестным значение опорной реакции Реак ция
направлена перпендикулярно опорной поверхности.
Рис. 1.28
Шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.29) Опора допускает поворот вокруг шарнира, но не допускает никаких линейных перемещений. В данном случае известна только точки приложения опорной реакции – центр шарнира; направление и значение опорной реакции неизвестны и может быть заме нена двумя составляющими силы вдоль осей координат. Обычно вместо определения значения Рис.1.29
и направления (полной) реакции находят ее составляющие
Балка на двух шарнирных опорах (рис.1.30). Не известны три силы, две из них — вертикальные, следова тельно, удобнее для определения неизвестных использовать систему уравнений во второй формуле:
рис.1.30
Составляются уравнения моментов относительно точек крепле ния балки. Поскольку момент силы, проходящей через точку креп ления, равен 0, в уравнении останется одна неизвестная сила. Из уравнения определяется реакция RBx.
Из уравнения определяется реакция RBy.
Из уравнения определяется реакция RAy.
Для контроля правильности решения используется дополни тельное уравнение
рис.1.31
При равновесии твердого тела, где можно выбрать три точки, не лежащие на одной прямой, удобно использовать систему уравнений в третьей форме (рис. 1.31):
|
|
Тема 1.7 Пространственная система сил
Знать момент силы относительно оси, свойства момента, аналитический способ определения равнодействующей, условия равновесия пространственной системы сил.
Уметь выполнять разложение силы на три взаимно перпендикулярные оси, определять момент силы относительно оси.
Пространственная система сил – система сил, линии действия которых не лежит на одной плоскости.
Момент силы относительно точки
Момент силы относительно оси характеризуется вра щательным эффектом, создаваемым силой, стремящейся повернуть тело вокруг данной оси. Пусть к телу в про извольной точке К приложена сила и задано направ ление оси z. Проведем через точку К плоскость Оху, перпендикулярную к этой оси (рис. 6.1). Точку пересе чения плоскости с осью z обозначим через О. Затем разложим силу на составляющие: Fxy, линия действия которой лежит в плоскости Оху, и z, линия действия которой будет параллельна оси z. Очевидно, что сила z параллельная оси z, не может повернуть тело отно сительно этой оси; эта сила будет только стремиться переместить его вдоль оси z. Таким образом, вращатель ный эффект будет создаваться только силой xy.
Запишем момент этой силы относительно точки 0:, будет положительным, если при наблюдении со стороны положительного конца оси z сила Fxy будет вращать тело по часовой стрелке. В противном случае момент будет отрицательным.
Таким образом, момент силы относительно оси бу дет равен моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к данной оси, относительно точки их пересечения:
Свойства момента силы относительно оси
1. Момент силы относительно оси не зависит от выбора точки О на оси z, через которую проводится плос кость Оху; это следует непосредственно из определения из рис. 6.1.
2. Момент силы относительно оси не зависит от по ложения силы на ее линии действия, так как при изме нении точки приложения силы ее проекция и плечо про екции остаются постоянными.
3. Момент силы относительно оси равен нулю тогда, когда линия действия силы и ось лежат в одной плос кости. При этом возможны два случая:
а) сила парал лельна оси. Тогда , так как cosα=0;
б) линия действия силы пересекает ось. Тогда , т.к. h =0. момент силы измеряется в Н*м
Пространственная сходящаяся система сил
Вектор в пространстве
В пространстве вектор силы проецируется на три взаимно пер пендикулярные оси координат. Проекции вектора образуют ребра прямоугольного параллелепипеда, век тор силы совпадает с диагональю (рис. 1.32).Модуль вектора может быть полу чен из зависимости
где Fx = F cos αx;
Fн = F cos αy;
Fя = F cos αz
αx, ay, az, — углы между вектором F и осями координат. Рис. 1.32
Пространственная сходящаяся система сил
Пространственная сходящаяся система сил — система сил, не лежащих в одной плоскости, линии действия которых пересе каются в одной точке.
Равнодействующую пространственной системы сил можно определить, построив пространственный многоугольник (рис. 1.32),
FΣ = F1 + F2 + F3 + … + Fn.
Доказано, что равнодействующая системы сходящихся сил при ложена в точке пересечения линий действия сил системы.
Модуль равнодействующей пространственной системы сходя щихся сил можно определить аналитически, использовав метод про екций.
Совмещаем начало координат с точкой пересечения линий дей ствия сил системы. Проецируем все силы на оси координат и сум мируем соответствующие проекции (рис. 1.33).
Получим проекции равнодействующей на оси координат:
; ; .
Рис. 1.33 Рис.1.34
Модуль равнодействующей системы сходящихся сил определим по формуле
.
Направление вектора равнодействующей определяется углами
ax = (FΣ ^ F Σx); αy = (FΣ ^ F Σy); αz = (FΣ ^ F Σz),
где
Произвольная пространственная система сил
Приведение произвольной пространственной системы сил к центру О
Дана пространственная система сил (рис. 7.5а). Приведем ее к центру О.
Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образует ся система пар сил. Момент каждой из этих пар равен произведению модуля силы на расстояние до центра приведения.
В центре приведения возникает пучок сил, который может быть заменен суммарной силой (главный вектор) Fгл (рис. 7.56).
Моменты пар сил можно сложить, получив суммарный момент системы Мгл (главный момент).
Таким образом, произвольная пространственная система сил приводится к главному вектору и главному моменту.
Главный вектор принято раскладывать на три составляющие, направленные вдоль осей координат (рис. 7.5в).
Обычно суммарный момент раскладывают на составляющие: три момента относительно осей координат.
рис.
Абсолютное значение главного вектора (рис. 7.56) равно
где ; ;
Абсолютное значение главного момента определяется по формуле .
,
где ; ; .
Уравнение равновесия пространственной системы сил
При равновесии Fгл = 0; Мгл = 0. Получаем шесть уравнений равновесия:
Шесть уравнений равновесия пространственной системы сил со ответствуют шести независимым возможным перемещениям тела в пространстве: трем перемещениям вдоль координатных осей и трем вращениям вокруг этих осей.
Тема 1.8 Центр тяжести
Иметь представление о системе параллельных сил и центре системы параллельных сил, о силе тяжести и центре тяжести.
Знать методы для определения центра тяжести тела и формулы для определения положения центра тяжести плоских фигур.
Уметь определять положение центра тяжести простых геометрических фигур, составленных из стандартных профилей.
КИНЕМАТИКА
Тема 2.1 Основные понятия кинематики. Кинематика точки
Иметь представление о пространстве, времени, траектории, пути, скорости и ускорении.
Знать способы задания движения точки (естественный и координатный).
Знать обозначения, единицы измерения, взаимосвязь кинематических параметров движения, формулы для определения скорости и ускорений (без вывода).
Уметь определять параметры движения точки; строить и читать кинематические графики
Кинематика – часть теоретической механики, в которой изучается движение материальных тел без учета их масс и действующих на них сил. Кинематика рассматривает движение как перемещение в пространстве. Причины, вызывающие движение, не рассматриваются. Кинематика устанавливает способы задания движения и определяет методы определения кинематических параметров движения.
Когда в механике говорят о движении тела, то подразумевают под этим изменение с течением времени его положения в пространстве по отношению к другим телам. Обычно тело, по отношению к которому изучают движение, связывают с какой – нибудь системой координат. Эту систему координат вместе с выбранным способом измерения называют системой отсчета. Если координаты всех точек тела в выбранной системе отсчета остаются все время неизменными, то тело находится в покое. Если рассматривается движение тела по отношению к условно неподвижной системе отсчета, то движение называют абсолютным; движение тела по отношению к подвижной системе отсчета называют относительным.
Положение тел в пространстве меняется с течением времени, причем время не засвистит от выбранной системы отсчета, т.е является независимой переменной. Все остальные переменные величины (расстояние, скорость, ускорение) являются функциями времени. За единицу времени в системе СИ принята секунда (с), а за единицу длины – метр (м).
Время отсчитывается от некоторого, заранее выбранного начального момента (t=0). Число единиц времени, прошедших от начального момента до данного мгновения, называют моментом времени t. Промежуток времени Δt= определяется числом единиц времени, прошедших от более раннего момента времени до более позднего. Промежуток скорости: ;
Некоторые определения теории механизмов и машин
При дальнейшем изучении предмета теоретической ме ханики, в особенности при решении задач, мы столкнемся с но выми понятиями, относящимися к науке, которая называется теорией механизмов и машин.
Механизмом называется совокупность связанных между собой тел, совершающих определенные движения. Механизмы служат для передачи или преобразования движения.
Машина есть механизм или сочетание механизмов, осу ществляющих определенные целесообразные движения:
1) для преобразования энергии (энергетические машины);
2) изменения формы, свойств, состояния и положения пред мета труда (рабочие машины);
3) для сбора, переработки и использования информации (информационные машины).
Таким образом, всякая машина состоит из одного или не скольких механизмов, но не всякий механизм является маши ной. Работа механизма или машины обязательно сопровождает ся тем или иным движением ее органов. Это основной фактор, отличающий механизмы и машины от сооружений — мостов, зданий и т. д.
Простейшей частью механизма является звено. Звено — это одно тело или неизменяемое сочетание тел.
Два звена, соединенные между собой и допускающие отно сительное движение, называются кинематической парой. Ки нематические пары бывают низшие и высшие. Звенья низших пар соприкасаются по поверхностям (поступательные, враща тельные и винтовые пары), звенья высших пар соприкасаются по линиям и точкам (зубчатые пары, подшипники качения).
Совокупность кинематических пар называется кинемати ческой цепью. Кинематические пары и цепи могут быть плоски ми и пространственными.
Механизм получается из кинематической цепи путем за крепления одного из звеньев. Это неподвижное звено называет ся станиной или стойкой.
Звено, вращающееся вокруг неподвижной оси, называется кривошипом. Звено, качающееся вокруг неподвижной оси, на зывается балансиром или коромыслом. Звено, совершающее сложное движение параллельно какой-то плоскости, называется шатуном. Звено, движущееся возвратно-поступательно по ста нине, называется ползуном. Подвижное звено, выполненное, например, в виде рейки с пазом и совершающее вращательное или иное движение, называется кулисой, в пазу скользит камень кулисы.
Звено, которому извне сообщается определенное движение, называется ведущим. Остальные подвижные звенья называются ведомыми.
В качестве примера рассмотрим широко распространенный кривошипно-ползунный механизм, схематически изображен ный на рис. 2.1. Этот механизм служит для преобразования вра щательного движения в возвратно-поступательное (например, в компрессорах, поршневых насосах, эксцентриковых и криво шипных прессах) или, наоборот, для преобразования возвратно-поступательного движения во вращательное (например, в паро вых машинах, двигателях внутренне го сгорания).
Кривошипно-ползунный меха низм состоит из четырех звеньев: кривошипа ОА, ползуна В, станины и четырех кинематических пар: вра щательной пары станина — кривошип, вращательной пары кривошип рис. 2.1
– шатун, вращательной пары шатун – ползун и поступательной пары ползун – станина.
Кривошипно – ползунный механизм – плоский, его ведающим звеном может быть либо кривошип, либо ползун.
Три способа задания движения точки. Основные кинематические параметры
Знание законов движения тела означает знание законов движения каждой его точки, поэтому изучение кинематики нач нем с изучения движения геометрической точки.
Траекторией точки называется множество (геометриче ское место) положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета. В зависимости от формы траектории движение точки бывает двух видов: прямолинейное и криволинейное.
Естественный способ заключается в том, что движение точки задается ее траекторией, началом отсчета и уравнением движения по этой траектории (законом движения). В общем ви де уравнение движения записывается следующим образом:
s=f(t)
где s — расстояние точки от начального положения, являющееся функцией времени; t — время движения точки от начального момента.
Зная траекторию точки и уравнение движения по этой тра ектории, можно определить положение точки в любой момент времени, подставив время в равенство s=f(t).
При своем движении точка проходит некоторый путь, также являющийся функцией времени. Следует подчеркнуть, что путь, пройденный точкой, совпадает с расстоянием от начала отсчета лишь тогда, когда точка все время дви жется в одном направлении и начало ее движения совпа дает с началом отсчета.
Координатный способ заключается чается в том, что движение точки задается движением ее проекций вдоль осей координат (рис. 2.2). Уравнения плоского движения точ ки в координатной форме записываются следующим образом:
рис. 2.2
Векторная величина, характеризующая в данный момент быстроту и направление движения по траектории, называется скоростью.
Скорость – вектор, в любой момент направленный по касательной к траектории в сторону направления движения. u=s\t=const (предполагается, что начала отсчета пути и времени совпадают). Единица скорости = метр в секунду = м/с.
Скорость есть величина век торная. При прямолинейном рав номерном движении скорость по стоянна и по модулю, и по направ лению, а вектор ее совпадает с траекторией (рис. 2.3, а).
При криволинейном движении скорость точки меняется по на правлению (рис. 2.3, б). Для того чтобы установить направление вектора скорости, разобьем тра екторию на бесконечно малые участки пути Δs, которые можно считать прямолинейными в силу их малости. Тогда на каждом участке условная скорость vn такого прямолинейного движения будет направлена вдоль хорды. В пределе при Δs, стремящемся к нулю, хорда совпадает с касательной, следовательно, скорость в каждый момент времени направлена по касательной к тра ектории в сторону движения (см. рис. 2.3, б).
При неравномерном движении точки модуль ее скорости ме няется. Представим себе точку, движение которой задано естест венным способом уравнением s=f(t). Если за небольшой промежуток времени Δt точка прошла
путь Δs, то ее средняя скорость .
рис.2.3
Ускорение точки
Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и
направлению, называется ускорением точки (рис.2.4).
Скорость точки при перемещении из точки М1 в точку М2 ме няется по величине и направлению.
Среднее значение ускорения за этот промежуток времени:
При рассмотрении бесконечно ма лого промежутка времени среднее ускорение превратится в ускорение в данный момент:
рис.2.4
Истинное ускорение при прямолинейном движении равно первой производной скорости или второй производной координаты по времени. Единица ускорения: метр на секунду в квадрате = м/с².
Обычно для удобства рассматривают две взаимно перпендикулярно составляющие ускорения: нормальное и касательное (рис. 2.5).
Нормальное ускорение an характеризует изменение скорости по направлению и определяется как
,
где r – радиус кривизны траектории в данный момент времени.
рис.2.5
Нормальное ускорение всегда направлено перпендикулярно скорости к центру дуги.
Касательное ускорение at характеризует изменение скорости по величине и всегда направлено по касательной к траектории; при ускорении его направление совпадает с направлением скорости, а при замедлении оно направлено противоположно направлению вектора скорости.
рис.2.6
Формула для определения касательного ускорения имеет вид:
Значение полного ускорения определяется как (рис. 2.6).
*называется тангенциальным или касательным ускорением, а - номинальным или центростремительным ускорением.
Если, то векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону и движение ускоренное. Если0, то вектор касательного ускорения направлен в строну, противоположную вектору скорости, и движение замедленное.
Ускорение точки при криволинейном движении
При движении точки по криволинейном траектории скорость меняет свое направление. Представим себе точку М , которая за время Δt, двигаясь по криволинейной траектории, переместилась в положение (рис. 2.7).
Вектор приращения (изменения) скорости обозначим Δv, тогда .
Для нахождения вектора Av перене сем вектор и, в точку М и построим тре угольник скоростей. Определим вектор среднего ускорения:
аср = Δv/Δt.
Вектор аср параллелен вектору Δv, так как от деления векторной величины на скалярную направление вектора не меняется. Вектор истин ного ускорения есть предел, к которому стремится отношение вектора приращения скорости к соответствующему промежутку времени, когда последний стремится к нулю:
Таким образом, истинное ускорение точки, движущейся по криволинейной траектории, равно векторной производной скорости по времени; при этом вектор ускорения всегда на правлен в сторону вогнутости траектории (см. рис. 2.5). рис.2.7
Понятие о кривизне кривых линий
Ускорение точки при криволинейном движении зави сит от степени изогнутости ее траектории, т. е. от кривизны траектории
Рассмотрим криволинейную траекторию точки М (рис. 2.8, а). Угол Δφ между касательными к кривой в двух соседних точках на зывается углом смежности.
Кривизной кривой в данной точке называется предел отноше ния угла смежности к соответст вующей длине Δs дуги, когда по следняя стремится к нулю. Обозна чим кривизну к, тогда:
Рассмотрим окружность радиуса R (рис. 2.8, б). Так как Δs=RΔφ, то
рис.2.8
Следовательно, кривизна окружности во всех точках одина кова и равна к=1/R.
Для каждой точки данной кривой можно подобрать такую окружность, кривизна которой равна кривизне кривой в данной точке. Радиус р такой окружности называется радиусом кривиз ны кривой в данной точке, а центр этой окружности называется центром кривизны.
Итак, кривизна кривой в данной точке есть величина, обрат ная радиусу кривизны в этой же точке: к - 1/р.
Очевидно, что кривизна прямой линии равна нулю, а радиус кривизны равен бесконечности:
k=0, ρ=1/к = .
Виды движений точки в зависимости от ускорений
Равномерное движение
Равномерное движение — это движение с постоянной скоро стью:
v = const.
Для прямолинейного равномерного движения (рис. 2.9, а)
Полное ускорение движения точки равно нулю: а = 0.
При криволинейном равномерном движении
(рис. 2.9, б).
Полное ускорение равно нормальному ускорению: а = ап. рис.2.9
Уравнение (закон) движения точки при равномерном движении можно получить, проделав ряд несложных операций.
Так как v = const, закон равномерного движения в общем виде является уравнением прямой:
S = So+vt, где Sо — путь, пройденный до начала отсчета.
Равнопеременное движение
Равнопеременное движение — это движение с постоянным ка сательным ускорением:
at — const.
Для прямолинейного равнопеременного движения
a = at = const.
Полное ускорение равно касательному ускорению. Криволинейное равнопеременное движение (рис. 2.10):
an ≠ 0; at = const ≠ 0. рис.2.10
Учитывая, что ; аt = const и сделав ряд преобразований:
получим значение скорости при равнопеременном движении
После интегрирования будем иметь закон равнопеременного движения в общем виде, представляющий уравнение параболы:
где v0 — начальная скорость движения;
So — путь, пройденный до начала отсчета;
at — постоянное касательное ускорение.
Неравномерное движение
При неравномерном движении численные значения скорости и ускорения меняются.
Уравнение неравномерного движения в общем виде представля ет собой уравнение третьей S = f(t3) и выше степени.
Анализируя формулы касательного и номинального ускорений, можно установить следующие виды движения точки:
1) : движение неравномерное (υconst)криволинейное (ρ);
2): движение равномерное(υ=const) криволинейное ();
3) : движение неравномерное () прямолинейное ();
4) : движение равнопеременное криволинейное, если , или прямолинейное, если );
5): движение равномерное прямолинейное – единственный вид без ускорения. Равнопеременное движение может быть равноускоренным или равнозамедленным.
Кинематические графики
Кинематические графики – это изменения пути, скорости и ускорений в зависимости от времени.
Равномерное движение (рис.2.11)
t ,c
рис.2.10
Равнопеременное движение (рис.2.11)
рис.2.11
Тема 2.2 Простейшие движения твердого тела
Иметь представление о поступательном движении, его особенности и параметрах, о вращательном движении тела и его параметрах.
Знать формулы для определения параметров поступательного и вращательного движений тела.
Уметь определять кинематические параметры тела при поступательном и вращательном движениях, определять параметры любой точки тела.
Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором всякая прямая линия на теле при движении остается параллельной своему начальному положению.
При поступательном движении все точки тела движутся одинаково: скорости и ускорения в каждый момент одинаковы.
При поступательном движении тела прямая, соединя ющая две произвольные точки тела, будет перемещаться параллельно самой себе. Примерами поступательного движения могут служить движение кузова автомобиля, который едет прямолинейно, движение кабины лифта, движение поршня в цилиндре двигателя и т. д. Докажем, что при поступательном движении все точки тела двига ются по одинаковым траекториям и имеют в любой мо мент времени одинаковые векторы скорости и ускорения. В теле, которое движется поступательно, возьмем две любые точки А и В (рис. 2.12). Соединим эти точки от резком прямой линии. При перемещении тела длина это го отрезка остается постоянной, так как в кинематике рассматриваются абсолютно твердые тела. Через неко торый промежуток времени тело займет новое положе ние, а вместе с ним займет новое положение A1 В1 отре зок прямой линии АВ. Совершим теперь параллельный перенос всех точек траектории ВВ1 чтобы точка В заняла положение А. Так как отрезки прямых АВ и A1 В1 параллельны и равны друг другу, то очевидно, что при параллельном переносе точка В1 перейдет в точку A1. Такое рассуждение можно провести для любого по ложения В1 а значит при параллельном переносе траек тория точки В полностью совпадает с траекторией точки А, т. е. они тождественны. Естественно, раз мы брали любые точки А и В, это справедливо для всех точек те ла. Кроме этого, совпадает и положение точек А и В на этой траектории в любой момент времени (В1 тождест венно A1). Если считать, что в начальный момент време ни все точки тела находятся в начале отсчета своих траекторий, то законы движения точек А и В будут оди наковыми: sA =sB.
Продифференцируем это равенство по времени: , или . Следовательно, так как положение точек А и В про извольно, то векторы скоростей всех точек в данный мо мент времени равны друг другу. Вектор v называется вектором скорости поступательного движения тела.
Если продифференцировать равенство (2.12) по вре мени, то получим
, или .
т. е. векторы ускорений всех точек тела в данный момент времени равны друг другу. Вектор а называется векто ром ускорения поступательного движения тела. Из выше доказанного следует, что поступательное движение твер дого тела определяется движением одной его точки. Обычно за такую точку принимают центр тяжести тела. рис.2.12
Вращательное движение
Движение, при котором по крайнем мере точки твердого тела или неизменяемой системы остаются неподвижными, называемыми вращательным; прямая линия, соединяющая эти две точки, называется осью вращения.
Вращательное движение в технике встречается весьма часто. В подавляющем большинстве механизмов и машин имеются звенья, которые совершают вращательное движение, например, валы, зубчатые колеса, кривошипы и т.д. Заметим, что понятие вращательного движения может относиться только к телу, но не к точке; так, например, движение точки по окружности есть не вращательное движение, а криволинейное.
Если через ось вращения провести плоскость Р, жест ко связанную с телом, то при вращении тела эта плос кость будет занимать новые положения (рис. 2.13). Угол между первоначальным положением плоскости Р и ее новым положением Р1 в текущий момент времени назы вается углом поворота тела и обозначается ср. Измеряет ся этот угол в радианах и считается положительным, если плоскость Р поворачивается против часовой стрел ки (при этом надо смотреть с положительного конца оси z, направленной вдоль оси вращения тела). Кроме оси вращения для полного определения движения тела надо еще знать угол поворота φ как функцию времени t:φ=f(t) – закон вращательного движения тела. рис.2.13
Итак, при вращательном движении твердого тела точки его, находящиеся на различном расстоянии от оси вращения, имеют неодинако вые траектории, скорости и ускорения.
Отсюда следует, что линейное перемещение (путь), линей ные скорость и ускорение точек не могут характеризовать враща тельное движение тела в целом. Вращательное движение можно характеризовать углом φ, на который повернулось тело за дан ный промежуток времени. Этот угол называется угловым пере мещением тела. Угловое перемещение выражается в радианах (рад) или оборотах (об); в последнем случае угловое перемеще ние обозначают N. Они связаны соотношением: φ =2πN (рад), N – число оборотов тела.
Путь любой точки вращающегося тела: s=rφ
Угловая скорость есть кинематическая мера движения вращаю щегося тела, характеризующая быстроту его углового перемеще ния:( рад/с)
Линейная скорость любой точки вращающего тела опреде ляется формулой: υ=ωr, т. е. скорость точки прямо пропорциональна ее расстоянию от оси вращения.
В технике скорость вращения часто вращения оборотах в минуту, обозначают буквой п и называют частотой вращения. Угловая скорость и частота вращения, выраженные соответ ственно в рад/с и мин-1, связаны соотношением:
ω=πn/30 (рад/с)
Изменение угловой скорости во времени определяется уголковым ускорением ε = рад /с²:
Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения, при вращения тела модуль угловой скорости может уменьшаться или увеличиваться. В первом случае вращения будет замедленным, а втором – ускоренным. При ускоренном движении направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора скорости, а при замедленном – векторы скорости и ускорения будут направлены в разные стороны.
Равномерным вращением тела называется такое дви жение, при котором угловая скорость вращения тела остается постоянной. Если угловое ускорение тела посто янно, то такое вращение называется равнопеременным. Законы для равномерного и равнопеременного вращений получаются так же, как и аналогичные законы движения точки, поэтому при равномерном движении имеем: , где - начальный угол поворота; - постоянная уголовая скорость тела.
Заменяя в на , получим закон равнопеременного движения:.
Здесь — начальная угловая скорость. В любой мо мент времени угловая скорость будет определяться по формуле:
Если при равнопеременном вращении скорость и ус корение направлены в одну сторону, то вращение назы вается равноускоренным и соответственно если направ ления скорости и ускорения не совпадают, то равнозамедленным.
Частные случаи вращательного движения
Равномерное вращение (угловая скорость постоянна):
ω = const.
Уравнение (закон) равномерного вращения в данном случае име ет вид:
φ = φ0 + φt,
где φ0 — угол поворота до начала отсчета.
Кинематические графики для этого вида движения изображены на рис. 2.14.
рис.2.14
Равнопеременное вращение (угловое ускорение постоянно):
ε = const.
Уравнение (закон) равнопеременного вращения
,
где ω0 — начальная угловая скорость.
Угловое ускорение при ускоренном движении — величина поло жительная; угловая скорость
будет все время возрастать.
Угловое ускорение при замедленном движении — величина от рицательная; угловая скорость убывает.
Для данного движения кинематические графики представлены на рис. 2.15.
рис. 2.15
Скорости и ускорения точек вращающегося тела
Тело вращается вокруг точки О. Определим параметры дви жения точки Л, расположенной на
расстоянии г а от оси вращения (рис. 11.6, 11.7).
Рис.2.16
Путь точки А: SA = φrA.
Линейная скорость точки А: vA = ωrA.
Ускорение точки А: atA = εrA – касательное; : atA = εrA
Сравнение формул кинематики для поступательного и вращательного движений
Преобразование вращательного движения
Преобразование вращательного движения осуществля ется разнообразными механизмами, которые называются пере дачами. Наиболее распространенными являются зубчатые и фрикционные передачи, а также передачи гибкой связью (на пример, ременные, канатные, ленточные и цепные). С помощью этих механизмов осуществляется передача вращательного движения от источника движения (ведущего вала) к приемнику дви жения (ведомому валу).
Передачи характеризуются передаточным отношением или передаточным числом.
Передаточным отношеньем i называется отношение уг ловой скорости ведущего звена к угловой скорости ведомого зве на. Передаточное отношение может быть больше, меньше или равно единице.
Передаточным числом и двух сопряженных звеньев назы вается отношение большей углевой скорости к меньшей. Пере даточное число передачи всегда больше или равно единице.
В целях унификации обозначений передаточные отношения и передаточные числа всех передач мы будем обозначать буквой «и», в некоторых случаях с двойным индексом, соответствую щим индексам звеньев передачи: .
Заметим, что индекс 1 приписывают параметрам ведущего звена передачи, а индекс 2 — ведомого.
Передача, у которой угловая скорость ведомого звена меньше угловой скорости ведущего, называется понижающей в противном случае передача называется повышающей.
В технике наибольшее распространение получили: 1) зубча тые, 2) ременные и 3) цепные передачи.
1. Общие сведения о простейших зубчатых передачах их основных видах, а также конструктивных элементах зубчатых ко лес, реек и червяков известны из курса черчения. Рассмотрим зубчатую передачу, схематически изображенную на рис. 2.17.
В месте соприкосновения зубчатых колес I и II скорости то чек первого и второго колеса одинаковы. Обозначив модуль этой скорости v, получим . Следовательно, можно записать так:.
Из курса черчения известно, что диаметр делительной окружности зубчатого колеса равен произведению его модуля на число зубьев: d = mz. Тогда для пары зубчатых колес:
Рис.2.17
2. Рассмотрим ременную пе редачу, схематически изображен ную на рис. 10.6. При отсутствии
рис.2.18
проскальзывания ремня по шки вам ,следовательно, для ременной пе редачи.
2.3 Сложное движение точки. Сложное движение твердого тела
Иметь представление о системах координат, об абсолютном, относительном и переносном движениях.
Знать разложение сложного движения на относительное и переносное, теорему сложения скоростей.
Знать разложение плоскопараллельного движения на посту пательное и вращательное, способы определения мгновенного цен тра скоростей.
Основные определения
Сложным движением считают движение, которое можно разло жить на несколько простых. Простыми движениями считают посту пательное и вращательное.
Для рассмотрения сложного движения точки выбирают две си стемы отсчета: подвижную и неподвижную.
Движение точки (тела) относительно неподвижной системы от счета называют сложным, или абсолютным.
Подвижную систему отсчета обычно связывают с движущимся телом. Движение подвижной системы отсчета относительно непо движной называют переносным.
Движение материальной точки (тела) по отношению к подвиж ной системе называют относительным.
Примером может служить движение человека по эскалатору ме тро. Движение эскалатора — переносное движение, движение чело века вниз или вверх по эскалатору — относительное, а движение по отношению к неподвижным стенам станции — сложное (абсолют ное) движение.
При решении задач используют теорему о сложении скоростей:
При сложном движении точки абсолютная скорость в ка ждый момент времени равна геометрической сумме переносной (ve) и относительной (vr) скоростей:
, α- угол векторами
Плоскопараллельное движение твердого тела
Плоскопараллельным, или плоским, называется такое движение твердого тела, при котором все точки тела перемещаются парал лельно некоторой неподвижной в рассматриваемой системе отсчета плоскости.
Плоскопараллельное движение мож но изучать, рассматривая любое плос кое сечение тела, параллельное непо движной плоскости, называемой основной (рис. 2.19).
Все точки тела, расположенные на пря мой, перпендикулярной к основной плос кости, движутся одинаково.
Плоскопараллельное движение изуча ется двумя методами: методом разложе ния сложного
рис.2.19 рис.2.20
движения на поступатель ное и вращательное и методом мгновен ных центров скоростей.
Метод разложения сложного движения на поступа тельное и вращательное
Плоскопараллельное движение раскладывают на два движения: поступательное вместе с некоторым полюсом и вращательное от носительно этого полюса.
Разложение используют для определения скорости любой точки тела, применяя теорему о сложении скоростей (рис. 2.20).
Тоска А движется вместе с точкой В, а затем поворачивается вокруг В с угловой скоростью ω, тогда абсолютная скорость точки А будет равна
Примером плоскопараллельного движения может быть движе ние колеса на прямолинейном участке дороги (рис. 2.21).
Скорость точки М
— скорость центра колеса переносная;
— скорость вокруг центра относи тельная.
уОх — неподвижная система координат,
— подвижная система коорди нат, связанная с осью колеса.
рис.2.20
Метод определения мгновенного центра скоростей
Скорость любой точки тела можно определять с помощью мгновенного центра скоростей. При этом сложное движение пред ставляют в виде цепи вращений вокруг разных центров.
Задача сводится к определению положения мгновенного центра вращений (скоростей) (рис.2.21).
Мгновенным центром скоростей (МЦС) является точка на плоскости, абсолютная скорость которой в дан ный момент равна нулю.
Вокруг этой точки тело совершает поворот со скоростью ω.
Скорость точки А в данный мо мент равна:,
— линейная скорость точки А, вращающейся вокруг МЦС.
Существуют три способа определения положения мгновенного центра скоростей.
Первый способ. Известна скорость одной точки тела и угло вая скорость вращения тела ω (рис.2.22).
Точку О находим на перпендикуляре к вектору скорости . рис.2.21
Соединяем точку О с точкой В, замеряем расстояние ОВ.
рис.2.22 рис.2.23
Второй способ. Известны скорости двух точек тела и они не параллельны (рис. 2.23).
Проводим из точек А и В два перпендикуляра к известным век торам скоростей.
На пересечении перпендикуляров находим МЦС. Далее можно найти скорость любой точки С. .
Третий способ. Известны скорости двух точек тела, и они па раллельны (рис. 2.24)
Соединяем концы векторов, МЦС находится на пересечении ли нии, соединяющей концы векторов с линией АВ (рис. 12.7). При по ступательном движении тела (рис. 12.7в) МЦС отсутствует.
рис.2.24
ДИНАМИКА
Тема 3.1 Основные понятия и аксиомы динамики. Понятие о трении
Иметь представление о массе тела и ускорении свободного па дения, о связи между силовыми и кинематическими параметрами движения, о двух основных задачах динамики.
Знать аксиомы динамики и математическое выражение основного закона динамики.
Знать зависимости для определения силы трения.
Содержание и задачи динамики
Динамика — раздел теоретической механики, в котором; устанавливается связь между движением тел и действующими на них силами.
В динамике решают два типа задач:
— определяют параметры движения по заданным силам;
— определяют силы, действующие на тело, по заданным кине матическим параметрам движения.
При поступательном движении все точки тела движутся одина ково, поэтому тело можно принять за материальную точку.
Если размеры тела малы по сравнению с траекторией, его то же можно рассматривать как материальную точку, при этом точка совпадает с центром тяжести тела.
При вращательном движении тела точки могут двигаться не одинаково, в этом случае некоторые положения динамики можно применять только к отдельным точкам, а материальный объект рас сматривать как совокупность материальных точек.
Поэтому динамику делят на динамику точки и динамику мате риальной системы.
Аксиомы динамики
Законы динамики обобщают результаты многочисленных опы тов и наблюдений. Законы динамики, которые принято рассматри вать как аксиомы, были сформулированы Ньютоном, но первый и четвертый законы были известны Галилею. Механику, основанную на этих законах, называют классической механикой.
Первая аксиома (принцип инерции)
Всякая изолированная материальная точка находится в со стоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния.
Это состояние называют состоянием инерции. Вывести точку из этого состояния, т.е. сообщить ей некоторое ускорение, может внешняя сила.
Всякое тело (точка) обладает инертностью. Мерой инертности является масса тела.
Массой называют количество вещества в объеме тела, в клас сической механике ее считают величиной постоянной. Единица из мерения массы — килограмм (кг).
Вторая аксиома (второй закон Ньютона — основной закон динамики)
Зависимость между силой, действующей на материальную точ ку, и сообщаемым ею ускорением следующая:
F=ma
где т — масса точки, кг; а — ускорение точки, м/с2.
Ускорение, сообщенное материальной точке силой, пропорци онально величине силы и совпадает с направлением силы.
Основной закон динамики в дифференциальной форме:
На все тела на Земле действует сила тяжести, она сообщает телу ускорение свободного падения, направленное к центру Земли:
G = mg,
где g — 9,81 м/с² , ускорение свободного падения.
Третья аксиома (третий закон Ньютона) Силы взаимодействия двух тел равны по величине и направле ны по одной прямой в разные стороны (рис. 13.1):
. Откуда
. При взаимодействии ускорения обратно пропорциональны массам. Рис.3.1
Четвертая аксиома (закон независимости действия сил) Каждая сила системы сил действует так, как она действовала бы одна.
Ускорение, сообщаемое точке системой сил, равно геометриче ской сумме ускорений, сообщенных точке каждой силой в отдельно сти (рис. 3.2):
рис.3.2
Тема 3.2 Понятие трения
Абсолютно гладких и абсолютно твердых тел в природе не существует, и поэтому при перемещении одного тела по по верхности другого возникает сопротивление, которое называется трением.
Трение — это явление сопротивления относительному пере мещению, возникающее между двумя телами в зонах соприкаса ния поверхностей по касательной к ним.
Трение чрезвычайно распространено в природе и имеет большое значение. На трении основана работа ременных и фрикционных передач, тормозных устройств, прокатных станов, наклонных транспортеров, фрикционных муфт и т. п. Трение обеспечивает сцепление с землей и, следовательно, работу авто мобилей, тракторов и других транспортных машин. При отсутст вии трения человек не мог бы ходить. Наряду с этим трение во многих случаях является вредным сопротивлением, на преодоле ние которого затрачивается нередко весьма большое количество энергии. Эти затраты энергии бесполезны, и их стремятся уменьшить.
Трение классифицируется по наличию и характеру движе ния.
Трением покоя называется трение двух тел при микросме щениях без макросмещения, т. е. при малом относительном пе ремещении тел в пределах перехода от покоя к относительному движению.
Трением движения называется трение двух тел, находящих ся в относительном движении.
Далее рассмотрим виды трения в зависимости от наличия и характера относительного движения.
Трение скольжения
Трением скольжения называется трение движения, при котором скорости тел в точке касания различны по значению и (или) направлению. Трение скольжения, как и трение покоя, обусловлено прежде всего шероховатостью и деформацией по верхностей, а также наличием молекулярного сцепления у при жатых друг к другу тел. Трение скольжения сопровождается изна шиванием, т. е. отделением или остаточной деформацией мате риала, а также нагревом трущихся поверхностей тел (остаточной называется деформация, не исчезающая после прекращения дей ствия внешних сил). Трение характеризуется силой трения.
Причина – механическое зацепление выступление выступов.
Сила трения есть сила сопротивления относительному пе ремещению двух тел при трении.
Возьмем тело, лежащее на горизонтальной шероховатой плоскости (рис. 3.3). Сила тяжести G уравновешивается нор мальной реакцией N. Если к телу приложить небольшую движу щую силу Р, то оно не придет в движение, так как эта сила будет уравновешиваться силой трения Fw. Сила трения является, та ким образом, реакцией опорной плоскости, направленной вдоль плоскости.
Если постепенно увеличивать сдвигающую силу Р, то до оп ределенного ее значения тело будет оставаться в покое; при даль нейшем увеличении силы Р тело придет в движение.
Отсюда видно, что сила трения в состоянии покоя в зависи мости от степени предварительного смещения (микросмешения) может изменяться от нуля до какого-то максимального значения , причем по модулю F всегда равна сдвигающей силе Р (если Р не больше ).
Максимальное значение сила трения покоя имеет в момент начала относительного движения и называ ется наибольшей силой трения покоя или просто силой трения покоя.
Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную на правлению относительного движе ния тела. рис.3.3
Законы трения скольжения:
где R — сила нормального давления, направлена перпендикулярно опорной поверхности;
f — коэффициент трения скольжения.
рис.3.4
Номинальная реакция R опорной поверхности и сила трения равнодействующую R, которая называется полной реакцией опорной поверхности:
В случае движения по наклонной плоскости (рис.3.4,б)
R=G cos α
где α – угол наклона плоскости к горизонту.
Сила трения всегда направлена в сторону, обратную направлению движения.
Первый закон можно подтвердить следующими соображениями. Если площадь трущихся поверхностей увеличится, то увеличится и количество сцепляющихся неровностей, но уменьшится давление (на единицу площади) и сопротивление относительному перемещению останется прежним.
Тема 3.3 Движение материальной точки. Метод кинетостатики
Иметь представление о свободных и несвободных материаль ных точках, о силах инерции, об использовании силы инерции для решения технических задач.
Знать формулы для расчета силы инерции при поступатель ном и вращательном движениях, знать принцип Даламбера и уметь определять параметры движения с использованием законов динамики и метода кинетостатики.
Свободная и несвободная точки
Материальная точка, движение которой в пространстве не огра ничено какими-нибудь связями, называется свободной. Задачи реша ются с помощью основного закона динамики.
Материальные точки, движение которых ограничено связями, называются несвободными.
Для несвободных точек необходимо определять реакции связей. Эти точки движутся под действием активных сил и ограничиваю щих движение реакций связей (пассивных сил).
Несвободные материальные точки освобождаются от связей: связи заменяются их реакциями. Далее несвободные точки можно рассматривать как свободные (принцип освобождаемости от связей).
Сила инерции
Инертность — способность сохранять свое состояние неизмен ным, это внутреннее свойство всех материальных тел.
Сила инерции — сила, возникающая при разгоне или торможе нии тела (материальной точки) и направленная в обратную сторо ну от ускорения. Силу инерции можно измерить, она приложена к «связям» — телам, связанным с разгоняющимся или тормозящимся телом.
Рассчитано, что сила инерции равна Fин = |та|. Сила инерции есть вектор, равный произведению массы точки на ее ускорение и направленный в сторону, противоположную ускорению(движению).
Таким образом, силы, действующие на материальные точки (рис. 3.5), при разгоне платформы соответственно равны рис.3.5
Разгоняющееся тело (плат форма с массой т (рис. 3.5)) силу инерции не воспринимает, иначе разгон платформы вооб ще был бы невозможен. При вращательном движении (криволинейном) возникающее ускорение принято представлять в виде двух составляющих: нор мального ап и касательного аt (рис. 3.6).
Поэтому при рассмотрении кри волинейного движения могут воз никнуть две составляющие силы инерции: нормальная и касательная: ;
рис.3.6 .
При равномерном движении по дуге всегда возникает нормаль ное ускорение, касательное ускорение равно нулю, поэтому действует только нормальная составляющая силы инерции, направленная по радиусу из центра дуги рис.3.7
(рис. 3.7). w = const;
.
Нормальная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на касательное ускорение и направлена противоположную этому ускорению
Касательная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на касательное ускорение и направлена противоположно этому ускорению
Полная сила инерции точки равна геометрической сумме нормальной и касательной составляющих. Учитывая, что касательная и нормальная составляющие взаимно перпендикулярны, полная сила инерции:
Принцип кинетостатики (принцип Даламбера)
Принцип кинетостатики используют для упрощения решения ряда технических задач.
Реально силы инерции приложены к телам, связанным с разго няющимся телом (к связям).
Даламбер предложил условно прикладывать силу инерции к активно разгоняющемуся телу. Тогда система сил, приложенных к материальной точке, становиться уравновешенной, и можно при решении задач динамики использовать уравнение статики.
Принцип Даламбера.
Материальная точка под действием активных сил, реакций связей и условно приложенной силы инерции находится в равновесии:
Порядок решения задач с использованием принципа Даламбера:
Тема 3.4 Работа и мощность
Иметь представление о работе силы при прямолинейном и криволинейном перемещениях, о мощности полезной и затрачен ной, о коэффициенте полезного действия.
Знать зависимости для определения силы трения, формулы для расчета работы и мощности при поступательном и враща тельном движениях.
Уметь рассчитывать работу и мощность с учетом потерь на трение и сил инерции.
Работа
Для характеристики действия силы на некотором перемещении точки ее приложения вводят понятие «работа силы».
Работа служит мерой действия силы, работа — скалярная ве личина.
Работа постоянной силы на прямолинейном пути
Работа силы в общем случае численно равна произведению мо дуля силы на длину пройденного мм пути и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения (рис. 3.8):
W = FScosα рис.3.8
Единицы измерения работы:
1 Дж (джоуль)= 1 Н*м; 1 кДж (килоджоуль) = 103 Дж. Рассмотрим частные случаи.
1. Силы, совпадающие с направлением перемещения, называ ются движущими силами. Направление вектора силы совпадает с направлением перемещения (рис. 3.9).
В этом случае а = 0° (cos α = 1). Тогда W = FS > 0.
2. Силы, перпендикулярные направлению перемещения, работы не производят (рис. 3.10).
рис.3.9 рис.3.10 рис.3.11
Сила F перпендикулярна направлению перемещения, а = 90° (cosa = 0); W = 0.
3. Силы, направленные в обратную от направления перемеще ния сторону, называются силами сопротивления (рис. 3.11).
Сила F направлена в обратную от перемещения S сторону.
В этом случае а — 180° (cos α = —1), следовательно, W = — FS < 0. Движущие силы увеличивают модуль скорости, силы сопротивле ния уменьшают скорость. Таким образом, работа может быть положительной и отрица тельной в зависимости от направления силы и скорости.
Работа постоянной силы на криволинейном пути
Пусть точка М движется по дуге окружности и сила F соста вляет некоторый угол а с касате льной к окружности (рис. 3.12).
Вектор силы можно разло жить на две составляющие:
F = Ft + Fn.
Используя принцип независимости действия сил, определим работу каждой из составляющих силы отдельно.
Нормальная составляющая силы Fn всегда направлена перпен дикулярно перемещению и, следовательно, работы не производит: W(Fn) = 0. рис.3.12
При перемещении по дуге обе составляющие силы разворачива ются вместе с точкой М. Таким образом, касательная составляющая силы всегда совпадает по направлению с перемещением.
Касательную силу Ft обычно называют окружной силой.
Работа при криволинейном пути — это работа окружной силы:
W(F) = W(Ft).
Произведение окружной силы на радиус называют вращающим моментом:
Мвр = Ftr.
Работа силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произ ведению вращающего момента на угол поворота:
W(F) = Mвpφ.
Работа силы тяжести
Работа силы тяжести зависит только от изменения высоты и равна произведению модуля си лы тяжести на вертикальное пе ремещение точки (рис. 3.13):
W(G) = G(hi - h2) = GΔh, где Δh — изменение высоты.
При опускании работа положительна, при подъеме отрицательна.
Работа равнодействующей силы рис.3.13
Под действием системы сил точка массой т перемещается из положения Mi в положение Мг (рис. 3.14).
В случае движения под действием системы сил пользуются те оремой о работе равнодействующей.
Работа равнодействующей на некотором перемещении равна алгебраической сумме системы сил на том же перемещении.
Работа равнодействующей силы:
рис.3.14
Тема 3.5 Работа и мощность. Коэффициент полезного действия
Иметь представление о мощности при прямолинейном и кри волинейном перемещениях, о мощности полезной и затраченной, о коэффициенте полезного действия.
Знать зависимости для определения мощности при поступа тельном и вращательном движениях КПД.
Уметь рассчитать мощность с учетом потерь на трение и сил инерции.
Мощность
Для характеристики работоспособности и быстроты соверше ния работы введено понятие мощности.
Мощность — работа, выполненная в единицу времени: . Единица измерения мощности: ватты, киловатты,
Мощность при поступательном движении (рис.3.15)
, Учитывая, что , получим
где F — модуль силы, действующей на тело; vcp — средняя скорость движения тела. рис.3.15
Средняя мощность при поступательном движении равна про изведению модуля силы на среднюю скорость перемещения и на ко синус угла между направлениями силы и скорости.
Работа и мощность при вращении
Часто встречаются детали машин, вращающиеся вокруг неподвижных осей. Причиной вращения является приложенный к телу вращающий момент относительно оси, который создается парой сил или силой F, линия действия кото рой не пересекает ось вращения (рис. 137) и определяется по формуле
При повороте тела (рис. 3.16) на ма лый угол dφ работа совершается силой F, точка приложения которой переме щается из положения С1 в положение С2. Полное перемещение точки приложения силы равно длине дуги радиусом R: ds=Rdφ
Так как сила F все время направлена по касательной к пере мещению s, то совершаемая ею работа определится как произве дение силы на перемещение
Произведение силы на радиус определяет вращающий момент, т. е.. Учитывая это, окончательно находим dW =М dφ. Интегрируя, получим W =М φ/
Работа вращающего момента равна произведению момента на угол поворота. рис.3.16
Определим мощность при вращательном движении:
Mощность при вращательном движении тела равна произве дению вращающего момента (момента пары) на угловую скорость. Подставив в выражение мощности значение угловой скорости, выраженной через частоту вращения (об/мин) , получим
, откуда .
При данной мощности двигателя максимальный вращающий момент, который двигатель способен развить, можно изменить путем варьирования частоты вращения. Уменьшая частоту вра щения, увеличивают вращающий момент и, наоборот, увеличивая частоту вращения, вращающий момент уменьшают.
Коэффициент полезного действия
Способность тела при переходе из одного состояния в другое совершать работу называется энергией.
Энергия есть общая мера различных форм движения и взаимодействия материи.
При передаче или преобразовании энергии, а так же при совершении работы происходит потеря энергии. В процессе передачи движения или выполнения работы движущие силы механизмов и машин преодолевают силы сопротивления, которые подразделяются на силы полезного сопротивления и силы вредного сопротивления. Потери на преодоление сил вредного сопротивления имеются во всех механизмах и машинах и вызываются силами трения и силами сопротивления окружающей среды.
Относительное количество энергии, используемой в машине по прямому назначению, характеризуется коэффициентом полезного действия (КПД).
Коэффициент полезного действия (КПД) — характеристика эффективности системы (устройства, машины) в отношении преобразования или передачи энергии. Определяется отношением полезно использованной энергии к суммарному количеству энергии, полученному системой; обозначается обычно η («эта»). η = Wпол/Wcyм. КПД является безразмерной величиной и часто измеряется в процентах. Математически определение КПД может быть записано в виде:
где А — полезная работа, а Q — затраченная энергия.
В силу закона сохранения энергии КПД всегда меньше единицы или равен ей, то есть невозможно получить полезной работы больше, чем затрачено энергии.
КПД теплового двигателя — отношение совершённой полезной работы двигателя, к энергии, полученной от нагревателя. КПД теплового двигателя может быть вычислен по следующей формуле
,
где — количество теплоты, полученное от нагревателя, — количество теплоты, отданное холодильнику.
Тема 3.6 Общие теоремы динамики
Иметь представление о понятиях «импульс» силы», «количества движения», «кинетическая энергия»; о системе материальных точек, о внутренних и внешних силах системы.
Знать основные теоремы динамики, основные уравнения динамики при поступательном и вращательном движениях твердого тела, формулы для расчета моментов инерции некоторых одинаковых элементов твердых тел.
Уметь определять параметры движения с помощью теорем динамики.
Закон изменения количества движения
Количеством движения материальной точки называется вектор ная величина, равная произведению массы точки на ее скорость
Вектор количества движения по направлению совпадает со скоростью. Количество движения материальной точки можно спроецировать на координатные оси. Проекцией на ось х будет mvx, проекцией на ось у — mvy, проекцией на ось z — mvz.
Единица измерения количества движения в Международной системе единиц (СИ)
[q] — [тυ] = [т] [v] — кг *м/с.
Импульсом постоянной силы называется вектор, равный произ ведению силы на время ее действия и имеющий направление силы
рис.3.17
где t2 и t1 — конечный и началь ный моменты времени. Единица измерения импульса силы в Международной системе единиц (СИ) равна единице количества движения
[S] = [Ft] = [F] [t] = H*c = кг*м/с.
Установим закон изменения количества движения для случая, когда точка С движется прямолинейно под действием постоянной силы (рис. 142). Согласно основному уравнению динамики, уско рение точки при этом — постоянно, и точка движется равно переменно.
Скорость точки С в произвольный момент времени определяем по формуле равнопеременного движения
, откуда . Подставим найденное значение ускорения в основной закон динамики:
или .
Учитывая, что произве дение Ft является импульсом действующей силы, оконча тельно имеем:
Следовательно, алгебраи ческое приращение количества движения материальной точки при прямолинейном движении за время t = t2 — t1 равно импульсу действующей силы за тот же промежуток времени.
Потенциальная и кинитецеская энергия
Существуют две основные формы механической энергии: потен циальная энергия, или энергия положения, и кинетическая энергия, или энергия движения. Чаще всего приходится иметь дело с по тенциальной энергией сил тяжести. Потенциальной энергией силы тяжести материальной точки или тела в механике называется способность этого тела или точки совершать работу при опуска нии с некоторой высоты до уровня моря (до какого-то уровня). Потенциальная энергия численно равна работе силы тяжести, произведенной при перемещении с нулевого уровня до заданного положения. Обозначив 'потенциальную энергию Еп, получим
где G — сила тяжести точки (или тела); Н — высота центра тяжести от нулевого уровня.
Кинетическая энергия определяется способностью движущегося тела (или точки) совершать работу. Для материальной точки кинетическая энергия численно равна полупроизведению ее массы на квадрат скорости, т. е. .
Потенциальная и кинетическая энергия также измеряются в единицах работы:
Закон изменения кинетической энергии
Пусть на материальную точку массой m действует постоянная сила . В этом случае точка имеет постоянное ускорение ; движение ее будет равномерно-ускоренным.
Рассмотрим случай, когда направление движения совпадает с направлением силы (см. рис. 3.17). Пусть точка под действием силы переместится из положения С1 в положение С2. Если обо значить начальную и конечную скорости точки соответственно через Vx и wa, то ускорение движения можно определить по формуле:
где t — время движения.
Перемещение точки приложения силы . Работа силы , учитывая, что ее направление совпадает с пере мещением, такова:
Подставив в выражение работы значение силы , по основному закону динамики получим .
В последнем уравнении заменим значение ускорения а и пере мещения s их выражениями
.
Это уравнение показывает, что изменение кинетической анергии материальной точки равно работе силы, действующей на точку.
Основы динамики системы материальных точек
Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой.
Любое материальное тело в механике рассматривается как меха ническая система, образуемая совокупностью материальных точек.
Из определения механической системы следует, что движение каждой из точек, входящих в систему, зависит от движения осталь ных точек.
Силы, действующие на точки системы, делятся на внешние и внутренние. Силы взаимодействия между точками этой системы называют внутренними. К внешним силам относятся силы, действу ющие со стороны точек, не входящих в эту систему.
Примерами внешних сил являются сила тяжести, сила давле ния, сила трения и др.
К внутренним силам относятся силы упругости.
Движение механической системы зависит не только от внешних сил, но и от суммарной массы системы где о масса отдельных точек механической системы.
Движение системы зависит и от положения центра масс си стемы — условной точки, в которой сосредоточена вся масса тела. Обычно считают, что в центре масс приложены все внешние силы.
Движение центра масс определяет движение всей системы толь ко при поступательном движении, при котором все точки тела дви жутся одинаково.
Основное уравнение динамики при поступательном движении тела
Для определения движения тела (системы материальных точек) можно использовать второй закон динамики
Fz = mac
где т — суммарная масса тела; ас— ускорение центра масс тела.
В поле земного притяжения центр масс совпадает с центром тяжести.
Основное уравнение динамики вращающегося тела
Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается во круг оси Oz с угловой скоростью ω (рис. 3.18).
Рассматривая твердое тело как механическую систему, разо бьем ее на множество материальных точек с массами Δтк. Каждая точка движется по окружности радиуса rk с касательным ускорени ем и нормальным ускорением , где ε — угловое ускорение.
Используем для каждой точки принцип Даламбера и приложим силы инерции:
— касательную
— нормальную
Система сил, действующих на точку, по принципу Даламбера, находится в равновесии.
Поэтому алгебраическая сумма моментов относительно оси вращения должна быть равна нулю: где Mz - момент внешних сил.
Моменты нормальных сил инерции равны нулю, т. к. силы пересекают ось z. Силы, направленные по касательной к окружно сти, равны , где ε — общая величина, угловое ускорение тела.
Подставив значение силы в формулу для определения моментов, получим . рис.3.18
Величина называется моментом инерции тела от носительно оси вращения и обо значается Jz.
В результате получим выра жение основного уравнения дина мики вращающего тела:, где Mz — сумма моментов внешних сил относительно оси; ε — угловое ускорение тела.
Момент инерции тела в этом выражении определяет меру инертности тела при вращении.
По выражению для момента инерции можно определить, что единица измерения этой величины в системе СИ . Видно, что значение момента инерции зависит от распределения массы относительно оси вращения: при одинаковой массе момент инерции больше, если основная часть массы расположена дальше от оси вращения. Для увеличения момента инерции используют колеса со спицами и отверстиями.
Моменты инерции некоторых тел
Момент инерции сплошного цилиндра (рис. 3.19)
Момент инерции полого тонкостен ного цилиндра (рис. 17.5) Jz = mr2.
Момент инерции прямого тонкого стержня любого поперечного сечения рис. 3.19
(относительно zz, рис.3.20.a);
(относительно рис 3.20,б).
Момент вращения шара (рис.3.20,в)
рис.3.20
РАЗДЕЛ II
Сопротивление материалов
Иметь представление о видах расчетов в сопротивлении материалов, о классификации нагрузок, о внутренних силовых факторах и возникающих деформациях, о механических напряжениях.
Знать основные понятия, гипотезы и допущения в сопротивлении материалов.
«Сопротивление материалов» - это раздел «Технической механики», в котором излагаются теоретико – экспериментальные основы и методы расчета наиболее распространенных элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.
Любые создаваемые конструкции должны быть не только прочными и надежными, но не дорогими, простыми в изготовлении и обслуживании, с минимальными расходами материалов, труда и энергии.
Расчеты сопротивления материалов являются базовыми для обеспечения основных требований к деталям и конструкциям.
Тема 4.1 Основные положения. Гипотезы и допущения
Практика показывает, что все части конструкций под действием нагрузок деформируются, т. е. изменяет свою форму и размеры, а в некоторых случаях происходит разрушение конструкции.
Сопротивление материалов есть наука о прочности и дефор мируемости материалов и элементов машин и сооружений.
Прочностью называется способность материала конст рукций и их элементов сопротивляться действию внешних сил, не разрушаясь (в дальнейшем понятие прочности будет уточнено).
Выносливость – способность длительное время выдерживать переменные нагрузки.
Устойчивость – способность сохранять первоначальную форму упругого равновесия.
Вязкость – способность воспринимать ударные нагрузки.
В сопротивлении материалов рассматривают методы расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.
Расчеты на прочность дают возможность определить размеры и форму деталей, выдерживающих заданную нагрузку, при наименьшей затрате материала.
Под жесткостью понимается способность тела или конструкции сопротивляться образованию деформации.
Расчеты на жесткость гарантируют, что изменения формы и размеров конструкций и их элементов не превзойдут допустимых норм.
Под устойчивостью понимается способность конструк ции сопротивляться усилиям, стремящимся вывести ее из исходного состояния равновесия.
Расчеты на устойчивость предотвращают возмож ность внезапной потери устойчивости и искривления длинных или тонких деталей. Примером потери устойчивости может служить внезапное искривление длинного прямолинейного стержня при сжатии вдоль оси.
Расчет на выносливость обеспечивает необходимую долговечность элементов конструкции.
Расчет на устойчивость обеспечивает сохранение необходимой формы равновесия и предотвращает внезапное искривление длинных стержней.
Для обеспечения прочности конструкций, работающих при ударных нагрузок (при ковке, штамповке и подобных случаях), проводиться расчеты на удар.
А практике в большинстве случаев приходится иметь дело с конструкциями сложной формы, но их можно пред ставить себе состоящими из отдельных простых элементов, например брусьев, пластин, оболочек и массивов.
Основным расчетным элементом в сопротивлении матери алов является брус, т. е. тело, поперечные размеры которого малы по сравнению с длиной. Брусья бывают прямоли нейные и криволинейные, постоянного и пере менного сечения. В зависимости от их назначения в кон струкции брусья называют колоннами, балками, стер жнями.
Плоское сечение, перпендикулярное оси бруса, называется поперечным; сечение, параллельное оси бруса (прямолиней ного),— продольным; остальные плоские сечения — нак лонными.
Кроме расчета брусьев сопротивление материалов занимает ся расчетом пластин и оболочек, т. е. тел, имеющих малую толщину по сравнению с другими размерами (например, резервуары, трубы, обшивка кораблей и самолетов). Тела, у которых все три измерения одинакового порядка, называются массивами (например, фундаменты, станины станков). Расче ты пластин, оболочек и массивов в настоящем учебнике не рассматриваются.
При деформации тела под действием внешних сил внутри него возникают силы упругости, которые препятствуют деформации и стремятся вернуть частицы тела в первоначаль ное положение. Силы упругости возникают в результате существования в теле внутренних сил молекулярного взаимо действия.
В сопротивлении материалов изучают деформации тел и возникающие при этих деформациях внутренние силы.
После прекращения действия внешних сил вызванная ими деформация может полностью или частично исчезнуть. Способ ность материала устранять деформацию после прекращения действия внешних сил называется упругостью. Деформация, исчезающая после прекращения действия внешних сил, называ ется упругой; деформация, не исчезающая после прекращения действия внешних сил, называется остаточной или пласти ческой. Способность материала иметь значительные остаточ ные деформации, не разрушаясь при этом, носит название пластичности, а сами материалы называются 'пластич ными. К числу таких материалов относятся низкоуглеродистая сталь, алюминий, медь, латунь и др.
Подчеркнем, что возникновение значительных остаточных деформаций в большинстве случаев приводит к нарушению нормальной работы конструкции и поэтому считается наруше нием прочности (как и разрушение).
Материалы, обладающие весьма малой пластичностью, называются хрупкими. В отличие от пластичных хрупкие материалы разрушаются без заметных остаточных деформаций. К хрупким материалам относят чугун, твердые сплавы, стекло, кирпич и др.
Наука о сопротивлении материалов опирается на законы теоретической механики, в которой тела полагались абсолютно жесткими, т. е. не способными деформироваться. Пользуясь рассмотренным в теоретической механике принципом отверде вания, в сопротивлении материалов мы будем применять к деформированным телам условия равновесия статики для определения реакций связей и для определения действующих в сечениях деталей внутренних сил.
Однако при расчетах на прочность и жесткость некоторые положения теоретической механики оказываются неприменимы, в частности: 1) действующие на тело внешние силы нельзя заменять их равнодействующей или эквивалентной системой сил; 2) силу нельзя переносить вдоль линии ее действия; 3) пару сил нельзя перемещать в плоскости действия пары.
Эти правила имеют исключение. Так, например, силы, приложенные к небольшой поверхности тела, как и в теорети ческой механике, мы будем считать сосредоточенными, т. е. приложенными в точке; распределенные реактивные силы, приложенные к защемленному концу балки, мы по-прежнему будем заменять реактивной силой и реактивным моментом. Такие замены не вносят существенных изменений в условия деформации тела. Это положение носит название принципа смягченных граничных условий или принципа Сен-Венана, по имени французского ученого Сен-Венана (1797—1886).
Принцип Сен-Венана можно сформулировать следующим образом: в точках тела, достаточно удаленных от мест приложения внешних сил, модуль внутренних сил весьма мало зависит от конкретного способа приложения сил.
Внешние силы
В сопротивлении материалов под внешними воздейст виями подразумевается не только силовое взаимодейст вие, но и тепловое, возникающее из-за неравномерного изменения температурного режима окружающей среды, а также воздействия на элементы сооружений различных осадок опорных связей или перемещения отдельных час тей сооружения.
Силовые нагрузки делят на объемные и поверхност ные силы. Объемные или массовые силы — силы, прило жение ко всем внутренним точкам тела, к ним относятся гравитационные силы тяжести, силы инерции, элект ромагнитные силы и другие. Поверхностные силы — си лы, приложенные к поверхности тела. Они делятся на сосредоточенные силы и распределенные нагрузки.
Поверхностная нагрузка, действующая на небольшой площади, условно заменяется сосредоточенной силой, приложенной в центре тяжести этой площади и равной по величине равнодействующей. Например, давление ко леса локомотива на рельс представляется в виде сосре доточенной силы, приложенной в центре площади кон такта колеса с рельсом. Обозначение сосредоточенных сил — Н (ньютон), кН=103 Н (килоньютон).
Нагрузка, приложенная на значительной площади, называется распределенной. Мерой такой нагрузки слу жит ее интенсивность, т. е. предел отношения равнодей ствующей, приходящейся на весьма малую площадку, к величине этой площадки, когда она стремится к нулю. Если интенсивность во всех точках площади нагрузки одинакова, то такая нагрузка носит название равномер но распределенной. Если же интенсивность разная, то она называется неравномерно распределенной. Обозна чение распределенных нагрузок — Па = Н/м2 (паскаль), Мпа = 106 Па (мегапаскаль). Примером распределен ных нагрузок является вес снега на кровле здания, соб ственный вес плит перекрытия и т. п. В тех случаях, когда площадь распределенной нагрузки представляет собой вытянутый прямоугольник, а интенсивность вдоль короткой стороны Ь постоянна и изменяется только по длинной стороне, такую нагрузку условно заменяют по гонной распределенной нагрузкой интенсивностью q = =pb = Па*м = Н/м.
На сооружения могут действовать моментные нагрузки: в виде распределенных моментов по поверхности (обозначаются Па*м), распределенных погонных момен тов (обозначаются Па*м/м) или сосредоточенных мо ментов (обозначаются Н*м).
По характеру действия различают статические и ди намические нагрузки. Статической нагрузкой называет ся такая нагрузка, величина которой возрастает пли уменьшается во времени медленно, плавно, т. е. ускоре ниями точек элемента (силами инерции) можно прене бречь.
Динамическая нагрузка в отличие от статической из меняет свою величину во времени с большой скоростью. Действие таких нагрузок сопровождается возникновени ем колебаний сооружений и дополнительных сил инер ции, которые необходимо учитывать. Источниками дина мических нагрузок являются различные машины и меха низмы с неуравновешенными движущимися частями, а также воздействия от падающих грузов, сейсмические, ветровые и т. п. По продолжительности действия внеш ние нагрузки делятся на постоянные и временные. По стоянной называется нагрузка, которая действует непре рывно в течение всего срока службы сооружения, напри мер, собственный вес конструкций здания. Временной называется нагрузка, которая действует ограниченное время, после чего исчезает, например, вес снега, давле ние ветра и т. д.
Внешние нагрузки делятся на неподвижные, не меня ющие своего местоположения, и перемещающиеся, кото рые в течение непродолжительного отрезка времени из меняют свое местоположение на сооружении, сохраняя направление действия, например, давление движущегося локомотива на мост.
Деформации линейные и угловые. Упругость материалов
В отличие от теоретической механики, где изучалось взаимодействие абсолютно жестких (недеформируемых) тел, в сопротивлении материалов исследуется поведение конструкций, материал которых способен деформиро ваться от внешних воздействий, т. е. изменять взаимное расположение частиц, приводящее к изменению его фор мы и размеров.
Для случая малых деформаций произвольное измене ние формы и размеров тела можно разложить на изменение линейных и угловых размеров тела. Изменение линейных размеров называется линейной, а изменение угловых размеров — угловой деформациями. Если на поверхность тела нанести прямоугольную сетку, то пос ле приложения внешних сил прямоугольники превратят ся в параллелограммы.
Способность деформироваться от внешних воздейст вий присуща всем твердым телам из реальных материа лов. Характер и величина деформаций зависит не толь ко от внешнего воздействия, но и от физических свойств самого материала. При растяжении равными силами двух стержней одинаковых геометрических размеров из разных материалов, например, из стали и резины, рези новый стержень удлинится на большую величину, чем стальной.
Важную роль играет процесс поведения деформаций твердого тела при его нагружениb и последующей раз грузке. Способность тела возвращаться к своей первона чальной форме и размерам после удаления нагрузки на зывается упругостью. Если нагруженное тело после сня тия нагрузки не полностью возвращается к своей перво начальной форме, то оно называется пластическим. Часть деформации, которая исчезает после снятия на грузки, является упругой, а та часть, которая остается, называется остаточной или пластической деформацией. Упругостью и пластичностью обладают все реальные ма териалы. При небольших нагрузках влияние пластичес ких свойств материала обычно незначительно и им пре небрегают, считая, что тело полностью восстанавливает свою первоначальную форму и размеры после снятия нагрузки.
Расчетная схема сооружений. Опорные связи
Для создания общего подхода по изучению поведения конструктивных элементов все разнообразие реальных сооружений можно разбить на несколько групп: массив ные тела, имеющие все три размера одного порядка (гидротехнические плотины, грунтовые основания), двух мерные, имеющие два размера одного порядка (пластин ки, оболочки) и третий, значительно меньший, чем пер вые два; и одномерного элемента, имеющего два размера ничтожно малой величины по сравнению с третьим размером — длиной (брус).
В сопротивлении материалов объектом изучения слу жит в основном элемент третьей группы — одномерный элемент, брус. Брус представляет собой тело, образован ное движением плоской фигуры по некоторой кривой (или прямой), совпадающей с центром тяжести этой фи гуры. Для такого элемента кривая, по которой двигалась плоская фигура, является осью бруса, а сама плоская фигура — его поперечным сечением. На практике по перечное сечение принимается в виде простых фигур: квадрата, прямоугольника, круга, или в виде сложных: двутавра и т. д. По длине брус может иметь постоянное, переменное или ступенчатое поперечное сечение. Расчет ная схема бруса изображается в виде его осевой линии, проходящей через центры тяжести поперечных сечений. Брус соединяется с другими элементами и основанием условными опорными связями. Непосредственно к осевой линии прикладываются внешние нагрузки и опорные ре акции.
В качестве опорных связей используются следующие виды: шарнирно-подвижная, шарнирно-неподвижная и жесткая опора (заделка).
В дальнейшем изложении будут употребляться термины балка, стержень, которые являются тем же бру сом, но отличаются
рис.4.1 рис.4.2 специфическими условиями дефор мирования. Балка работает на изгиб, а стержень — на растяжение-сжатие.
Таким образом, в сопротивлении материалов, а также и в строительной механике исследуются не действитель ные сооружения, а их расчетные схемы. Замена реаль ного сооружения его расчетной схемой является ответст венной и сложной проблемой, от правильного решения которой зависит достоверность результатов последующих расчетов. На примере покажем, как реальная балка, изо браженная (на рис. 4.1 а – верхний рис.) заменяется ее расчетной схе мой (рис. 4.1, б- верхний рис.).
Следует обратить внимание на ограничение примене ния правил теоретической механики. В сопротивлении материалов нельзя переносить момент пары сил в дру гую точку или точку приложения сосредоточенной силы по линии ее действия, так как перенос нагрузки в новое положение вызывает изменение в распределении вну тренних сил в конструкции. Например, при загружении фермы силой F в верхнем узле С (рис. 4.2, а) в стерж не CD не возникает никаких сил. Если же силу F перене сти по линии ее действия и приложить к нижнему узлу D (рис. 4.2,6), то в стержне CD появится растягиваю щая сила, равная F.
Также нельзя систему сил заменять ее равнодейству ющей при определении перемещений конструкции. На пример, в балке, нагруженной двумя силами F в опорных сечениях В и С, не возникает никаких перемещений ее оси (рис. 4.1, а- нижний рис.). Если же эти две силы заменить равно действующей 2 F, приложенной посередине пролета бал ки (рис. 4.1,6- нижний рис.), то балка изогнется. Правила теоретиче ской механики всегда остаются справедливыми при со ставлении условий равновесия.
Допущения и ограничения, принятые в сопротивлении материалов
Реальные строительные материалы, из которых воз водятся различные здания и сооружения, представляют собой довольно сложные и неоднородные твердые тела, обладающие различными свойствами. Учесть это разно образие свойств трудно, поэтому в сопротивлении мате риалов используются не все характеристики твердых тел, а, только общие признаки, присущие всем телам с уста новившимися внутренними связями между ними. Иными словами, в сопротивлении материалов изучается поведе ние конструкции из идеализированного материала, с со хранением главных физико-механических характеристик.
1.1 Допущение о непрерывном (сплошном) строении материала. По этому допущению принимается, что весь объем любого элемента конструкции заполнен вещест вом без каких-либо пустот, т. е. не учитывается действи тельная дискретная атомистическая структура материа лов. Это допущение позволяет выделять из любой части сооружения бесконечно малый элемент и, приписывая ему свойства материала всего сооружения, пользоваться при исследовании напряженно-деформированного состояния математическими методами анализа бесконечно малых величин.
2. Допущение о ненапряженном состоянии тела. Со гласно этому допущению, в материале элемента до его нагружения нет никаких напряжений, т. е. действитель ные (начальные) напряжения, характер и величина ко торых зависят от причин возникновения, принимаются равными нулю. Иными словами, возникающие напряже ния в результате нагружения тела внешними силами принимаются за фактические напряжения в то время как они в действительности составляют лишь прирост напря жение, вызванных этими силами.
3. Допущение об однородности материала. Согласно этому допущению принимается, что материал во всех точках любого объема имеет одинаковые физико-механи ческие характеристики.
4. Допущение об изотропности материала. Согласно этому допущению, материал в любой точке и по всем на правлениям, проведенным через эту точку, имеет одина ковые физико-механические характеристики. Реальные материалы не являются абсолютно изотропными. Напри мер, у технических сплавов стали физико-механические характеристики не одинаковы по разным направлениям, что обусловлено ее структурой и условиями обработки, но этими различиями обычно пренебрегают и считают сплавы стали изотропными. Если различия характерис тик материала в разных направлениях будут значитель ными, то такие конструкции следует рассчитывать по теории анизотропных тел. В данном случае материал наделяется свойствами абсолютной изотропии.
5. Допущение об идеальной упругости материала. Со гласно этому допущению предполагается, что материал обладает способностью полностью восстанавливать свою первоначальную форму и размеры тела после устранения причин, вызвавших его деформацию. Деформация иде ально упругого тела зависит лишь от тех нагрузок, ко торые в данный момент действуют на тело и не зависят от того, каковы были нагрузки в предшествовавшие мо менты времени. Данная гипотеза применима только при напряжениях, не превышающих предела упругости мате риала.
6. Допущение о линейной зависимости между напря жение и деформациями. Согласно этому допущению, упругое тело наделяется наиболее простой, а именно ли нейной зависимостью между напряжениями и деформа циями в данной точке, которая носит название закона Гука. Для такого материала диаграмма растяжения-сжатия, построенная в координатах «напряжение-де формация», имеет вид наклонной прямой линии, прохо дящей через начало координат. Для реальных материа лов диаграмма имеет нелинейный характер, но на начальном этапе нагружения при сравнительно неболь ших напряжениях, соответствующих действительной работе материала в конструкции, диаграмму с неболь шой кривизной заменяют прямолинейной зависимостью Таким образом, в сопротивлении материалов закон Гука применим при напряжениях, не превосходящих некото рого предела, называемого пределом пропорционально сти. Если же исследуется поведение конструкции за пре делом пропорциональности или же криволинейность диаграммы значительна, то расчеты проводят по физи чески нелинейной теории.
7. Допущение о малости перемещений по сравнению с геометрическими размерами элементов сооружений. Со гласно этому допущению, не учитываются изменения геометрических размеров элементов и местоположения нагрузок из-за искривления, растяжения, сжатия и сдви га после приложения к ним внешних сил. Поскольку в со противлении материалов исследуются элементы в виде бруса, то сравнение перемещений производится с его длиной. Таким образом, реакции и внутренние силовые факторы определяются по заданной, начальной геомет рии, что значительно упрощает расчет, так как все урав нения приобретают линейный вид. В тех же случаях, когда перемещения сравнимы с длинами элементов, рас чет следует производить по деформированной схеме, пользуясь геометрически нелинейной теорией.
8. Следствием трех последних допущений об идеаль ной упругости материала, линейной зависимости между напряжениями и деформациями и малости перемещений является принцип независимости действия сил или прин цип суперпозиции.
Согласно этому принципу, эффект от действия суммы сил равен сумме эффектов действия каждой силы от дельно. Иными словами, в сопротивлении материалов можно вычислять реакции, внутренние силовые факто ры, напряжения и перемещения как алгебраическую сум му этих факторов от раздельного действия внешних сил независимо от порядка их приложения к жен жению.
9. Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Со гласно этой гипотезе, поперечное сечение элемента (бал ки, стержня), плоское и перпендикулярное к его оси до приложения к элементу внешних сил, остается плоским и перпендикулярным к оси и после приложения к эле менту нагрузок.
10. Гипотеза Сен-Венана. Согласно этой гипотезе, в достаточно удаленных точках элемента от места приложения нагрузки внутренние силовые факторы весьма мало зависят от способа приложения этой нагрузки.
Виды нагрузок и основных деформаций
В процессе работы машин и сооружений их узлы и детали воспринимают и передают друг другу различные нагрузки, т. е. силовые воздействия, вызывающие изменение внутренних сил и деформации узлов и деталей.
Силы, воспринимаемые элементами конструкций, являются либо массовыми, или объемными (силы тяжести, силы инерции), либо поверхностными силами контактного взаимо действия рассматриваемого элемента с соседними элементами или прилегающей к нему средой (например, пар, воздух, жидкость).
В теоретической механике мы установили, что поверхност ные нагрузки бывают сосредоточенными или распреде ленными.
В зависимости от характера действия нагрузки подразде ляют на статические и динамические.
Статическими (рис.4.3,а) называются нагрузки, числовое значение, направление и место приложения которых остаются постоянны ми или меняются медленно и незначительно. Таким образом, можно полагать, что при передаче статических нагрузок все части конструкции находятся в равновесии.
Пример статической нагрузки — сила тяжести сооружений.
Динамическими (рис.4.3,в) называются нагрузки, характеризую щиеся быстрым изменением во времени их значения, направле ния или места приложения.
К динамическим относятся ударные, внезапно прило жение и повторно-переменные нагрузки. Ударные нагрузки возникают, например, при ковке металла или забивке свай; примером внезапно прилагаемой нагрузки является давление колеса, катящегося по рельсу; повторно-переменные нагрузки испытывают, например, детали кривошипно-ползунного механизма паровой машины. К динамическим относятся также инерционные нагрузки, например силы инерции в ободе вращающегося
рис.4.3 маховика.
Следует помнить, что в число внешних сил, принимаемых во вниманию при расчете конструкций, входят не только активные силы, но также реакции связей и силы инерции (при движении с достаточно большим ускорением).
Далее перейдем к рассмотрению основных деформаций. Из практики известно, что в процессе эксплуатации элементы конструкций испытывают следующие основные деформации:
1) растяжение; эту деформацию испытывают, например, канаты, тросы, цепи, шток протяжного станка;
2) сжатие; на сжатие работают, например, колонны, кирпичная кладка, пуансоны штампов;
3) сдвиг; деформацию сдвига испытывают заклепки, болты, шпонки, швы сварных соединений. Деформацию сдвига, доведенную до разрушения материала, называют срезом. Срез возникает, например, при резке ножницами или штамповке деталей из листового материала;
4) кручение; на кручение работают валы, передающие мощность при вращательном движении. Обычно деформация кручения сопровождается другими деформациями, например изгибом;
5) изгиб; на изгиб работают балки, оси, зубья зубчатых колес и другие элементы конструкций.
Формы элементов конструкции
Все многообразие форм сводится к трем видам по одному при знаку.
1. Брус — любое тело, у которого длина значительно больше других размеров.
В зависимости от форм продольной оси и поперечных сечений различают несколько видов брусьев:
— прямой брус постоянного поперечного сечения (рис. 4.4, а);
— прямой ступенчатый брус (рис. 4.4, 6);
— криволинейный брус (рис. 4.4, в).
2. Пластина — любое тело, у которого толщина значительно меньше других размеров (рис.4.5).
3. Массив — тело, у которого три размера одного порядка.
Рис.4.4 рис.4.5
Метод сечений. Напряжение
Знать метод сечений, внутренние силовые факторы, составляющие напряжений.
Уметь определять виды нагружений и внутренние силовые факторы в поперечных сечениях.
Для расчетов деталей машин и сооружений на прочность необходимо знать внутренние силы упругости, возникающие в результате действия приложенных к деталям внешних сил.
В теоретической механике мы имели дело с неизменяемыми системами; в сопротивлении материалов рассматриваются изменяемые (деформируемые) системы материальных точек.
Метод сечений заключается в том, что тело мысленно разрезается плоскостью на две части, любая из которых отбрасывается и взамен нее к сечению оставшейся части прикладываются внутренние силы, действовавшие до разреза; оставленная часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием внешних и приложенных к сечению внутренних сил.
Очевидно, что, согласно третьему закону Ньютона (аксиома взаимодействия), внутренние силы, действующие в сечении оставшейся и отброшенной частей тела, равны по модулю, но противоположны по направлению. Таким образом, рас сматривая равновесие любой из двух частей рассеченного тела, мы получим одно и то же значение внутренних сил, однако выгоднее рассматривать ту часть тела, для которой уравнения равновесия проще.
В соответствии с принятым допущением о непрерывности материала тела мы можем утверждать, что внутренние силы, возникающие в теле, представляют собой силы, равномерно или неравномерно распределенные по сечению.
Применяя к оставленной части тела условия равновесия, мы не сможем найти закон распределения внутренних сил по сечению, но сможем определить статические эквива ленты этих сил.
Так как основным расчетным объектом в сопротивлении материалов является брус и чаще всего нас будут интересовать внутренние силы в его поперечном сечении, то рассмотрим, каковы будут статические эквиваленты внутренних сил в по перечном сечении бруса.
Рассечем брус (рис. 4.3) поперечным сечением а —а и рас смотрим равновесие его левой части.
Если внешние силы, действующие на брус, лежат в одной плоскости, то в общем случае статическим эквивалентом внутренних сил, действующих в сечении а —а, будут главный вектор Fгл приложенный в центре
рис.4.6 тяжести сечения, и глав ный момент Ми, уравновешивающие плоскую систему внешних сил, приложенных к оставленной части бруса.
Разложим главный вектор на составляющую N, направлен ную вдоль оси бруса, и составляющую Q, перпендикулярную этой оси, т. е. лежащую в плоскости поперечного сечения.
Эти составляющие главно го вектора вместе с главным моментом назовем внутренни ми силовыми факторами, дей ствующими в сечении бруса. Составляющую N назовем продольной силой, составля ющую Q — поперечной силой, пару сил МИ — изгибающим моментом.
Для определения указан ных трех внутренних силовых
факторов статика дает три уравнения равновесия оставленной части бруса, а именно:
(ось z всегда направляем по оси бруса).
Если внешние силы, действующие на брус, не лежат в одной плоскости, т. е. представляют собой пространственную систему сил, то в общем случае в поперечном сечении бруса возникают шесть внутренних силовых факторов (рис. 4.7), для определе ния которых статика дает шесть уравнений равновесия оставлен ной части бруса, а именно:
Шесть внутренних силовых факторов, возникающих в попе речном сечении бруса в самом общем случае, носят следующие названия: Сила N — продольная сила вызывает появление нормального напряжения, Qx, Qy — поперечные силы вызывет касательно енапряжение, Мк — крутящий момент, Мu x,вызывет сдвиг сечения вокруг продольной оси, поэтому появляются касательные напряжения , Мu у — изгибающие моменты.
Главный момент тоже принято представлять в виде моментов пар в трех плоских проекции:
При разных деформациях в поперечном сечении бру ж возникают различные внутренние силовые факторы. Рас смотрим частные случаи:
1. В сечении возникает только продольная сила N. В этом случае это деформация растяжения (если сила TV направлена от сечения) или деформация сжатия (если сила N направлена к сечению).
2. В сечении возникает только поперечная сила Q. В этом случае это деформация сдвига.
-3. В сечении возникает только крутящий
рис.4.7 момент Мк. В этом случае это деформация кручения.
4. В сечении возникает только изгибающий момент Ми. В этом случае это деформация чистого изгиба. Если в сечении одновременно возникает
изгибающий момент Ми и поперечная сила Q, то изгиб называют поперечным.
5. Если в сечении одновременно возникает несколько внутрен них силовых факторов (например, изгибающий и крутящий моменты или изгибающий момент и продольная сила), то в этих случаях имеет ме сто сочетание ос новных деформа ций.
Наряду с понятием деформации одним из ос новных понятий сопроти вления материалов явля ется напряжение. На пряжение характеризует интенсивность внутрен них сил, действующи в сечении.
Рассмотрим какой-ли бо произвольно нагруженный брус и применим к нему метод сечений (рис. 4.8). Выделим в сечении бесконечно малый элемент площади dA (что мы имеем право делать, так как считаем материал непрерывным). Ввиду малости этого элемента можно считать, что в его пределах внутренние силы, приложенные в различных точках, одинаковы по модулю и направлению и, следовательно, представляют собой систему параллельных сил. Равнодействующую этой системы обозначим dF. Разделив dF на площадь элементарной площадки dА, определим интенсивность внутренних сил, т. е. напряжение р в точках элементарной площадки dА:
Таким образом, напряжение есть внутренняя сила, отнесен ная к единице площади сечения.
Напряжение есть величина векторная. Единица напряжения:
Поскольку эта единица напряжения очень мала, то мы будем применять более крупную кратную единицу, а именно мегапаскаль (Мпа):
1 Мпа=106 Па=1 Н/мм2.
Числовые значения напряжения, выраженного в Мпа и Н/мм2, совпадают.
Разложим вектор напряжения р на две составляющие: — перпендикулярную плоскости сечения и — лежащую в плоскости сечения (рис. 4.8). Эти составляющие назовем так: — нормальное напряжение, — касательное напря жение.
рис.4.8
Так как угол между нормальным и касательным напряжени ями всегда равен 90°, то модуль полного напряжения р опре делится по формуле
Если вектор пространственный, то его раскладывают на три составляющие:
Разложение полного напряжения на нормальное и касатель ное имеет вполне определенный физический смысл. Как мы убедимся в дальнейшем, в поперечном сечении бруса при растяжении, сжатии и чистом изгибе действуют только нормаль ные напряжения, а при сдвиге и кручении—только касательные напряжения.
В заключение настоящей главы рассмотрим гипотезу, кото рая носит название принципа независимости действия сил и формулируется так: при действии на тело нескольких нагрузок внутренние силы, напряжения, перемещения и деформа ции в любом месте могут быть определены как сумма этих величин, найденных от каждой нагрузки в отдельности.
Пользуясь принципом независимости действия сил, мы, начав с изучения простейших основных деформаций, когда в поперечных сечениях бруса действуют только нормальные или только касательные напряжения, в дальнейшем перейдем к изучению более сложных основных деформаций, когда в поперечном сечении действуют и те и другие напряжения, а затем рассмотрим случаи сочетания основных деформаций, что иногда называют сложным сопротивлением.
Заметим, что принцип независимости действия сил приме ним только для конструкций, деформации которых малы по сравнению с размерами и пропорциональны действующим нагрузкам
Тема 4.2.
Растяжение и сжатие.
Внутренние силовые факторы, напряжения. Построение эпюр
Иметь представление о продольных силах, о нормальных на пряжениях в поперечных сечениях.
Знать правила построения эпюр продольных сил и нормальных напряжений, закон распределения нормальных напряжений в попе речном сечении бруса.
Уметь строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений
Растяжение и сжатие
Растяжением или сжатием называют вид нагружения, при ко тором в поперечном сечении бруса возникает только один внутрен ний силовой фактор — продольная сила.
Продольные силы меняются по длине бруса. При расчетах по сле определения величин продольных сил по сечениям строится гра фик — эпюра продольных сил.
Условно назначают знак продольной силы.
Рис.4.9
Если продольная сила направлена от сечения, то брус растянут. Растяжение считают положительной деформацией (рис. 4.9, а).
Если продольная сила направлена к сечению, то брус сжат. Сжа тие считают отрицательной деформацией (рис. 4.9,б).
Центральное растяжение прямого бруса. Напряжения
Центральным растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечения бруса возникает только продольная (нормаль ная) сила N, а все остальные внутренние силовые фак торы равны нулю.
Явление центрального растяжения (сжатия) возника ет только тогда, когда все внешние нагрузки действуют, по оси, проходящей через центры тяжести поперечных сечений бруса. Например, центральное растяжение испы тывает трос башенного крана от веса поднимаемого гру за. Условимся внутреннюю силу N считать положитель ной, если она направлена от сечения (соответствует рас тяжению), и отрицательной, если она направлена к сечению (соответствует сжатию).
В тех случаях, когда направление силы N неизвестно, следует ее принимать всегда положительной, т. е. растя гивающей. Если после решения уравнения сила N полу чится со знаком плюс, то брус в данном сечении будет растянут, если же со знаком минус, то сжат.
рис.4.10
Расчет начинается со свободного конца бруса, чтобы не определять величины реакций в опорах.
Рассмотрим прямой брус (рис. 4.10, а) постоянного и симметричного поперечного сечения, жестко закреплен ный вверху и нагруженный тремя внешними сосредото ченными силами F1 = 10 кН, F2 = 20 кН, F2=30 кН, приложенными в точках В, С, D и направленными вдоль его продольной оси. Естественно, что на разных участках длины бруса будут возникать разные по величине вну тренние продольные силы. В данной задаче таких участ ков будет три: участок ВС, участок CD и участок DK.
Для нахождения внутренних продольных сил N вос пользуемся методом сечений, т. е. мысленно рассечем брус плоскостью, перпендикулярной к его оси, на две ча сти.
Поскольку к брусу приложены три внешние силы, то необходимо рассечь брус в трех местах, т. е. в пределах всех трех участков ВС, CD и DK, отбросить одну из час тей и ее влияние на оставленную часть заменить неизве стной пока внутренней силой N. Из условия равновесия =0 для оставленной части найти ее величину и направление. Приступим к решению нашей задачи.
Сечение 1—1. Рассекаем брус сечением 1—1 на две части, отбрасываем одну из них, например, верхнюю. Для упрощения расчета следует отбрасывать ту часть, на которую действует большее число внешних сил. В данном случае на верхнюю часть действуют три силы, поэтому целесообразнее ее отбросить, а оставить ниж нюю часть, на которую действует только одна сила F1. Заменяем действие отброшенной части неизвестной про дольной силой N1 предполагая последнюю растягиваю щей, получим схему (рис. 4.10,б).
Составляем условия равновесия для оставленной ча сти бруса: , откуда ==10 кН. Отсюда видно, что сила N1 постоянна на всем протяжении уча стка ВС, так как независимая переменная z не вошла в уравнение равновесия.
Сечение 2—2. Для определения продольной силы N2 в произвольном сечении 2—2 поступаем совершенно ана логично предыдущему (рис. 4.10,в). Составляем урав нение равновесия: , N2=30 кН.
Сечение 3—3. Для определения продольной силы ЛГ3 в сечении 3—3 рациональнее было бы оставить верхнюю часть, но при этом надо было предварительно определить реакцию RK в жесткой опоре. Так как мы ее не находи ли, оставим нижнюю часть (рис. 4.10, г), для которой уравнение равновесия запишется в виде , откуда N3 = 60 кН.
Для наглядного представления характера (закона) изменения какого-либо из внутренних силовых факторов длине бруса строят график изменения этого фактора, в котором абсцисса соответствует местоположению сече ния на оси, а ордината показывает значение исследуе мого фактора в данном сечении. Такой график называ ется эпюрой. Перейдем к построению эпюры продольных сил для заданного бруса. В данном случае брус содер жит три участка, поэтому для построения эпюры N необ ходимо провести исследование изменения продольной силы на каждом участке отдельно.
На участке ВС из уравнения равновесия мы опреде лили величину N1 = 10 кН и установили, что ее значе ние в пределах этого участка не меняется, т. е. всюду остается постоянной N1 = 10 кН, где бы мы ни прово дили сечение 1—1. Следовательно, график продольной силы N1 на первом участке будет постоянным.
На участке DC закон изменения продольной силы N2 тоже будет постоянным в силу того, что переменная z не входила в уравнение равновесия. График на этом уча стке отличается от графика на первом участке только величиной, так как N2 = 30 кН.
На участке DK закон изменения продольной силы N3 также будет постоянным (N3=60 кН).
Эпюрой силы называется график распределения продольной силы вдоль оси бруса.
Ось эпюры параллельна продольной оси. Нулевая линия проводится тонкой линией. Значения сил откладывают от оси, положительные —вверх, отрицательные —вниз.
В пределах одного участка значение силы не меняется, поэто му эпюра очерчивается отрезками прямых линий, параллельными оси Oz.
Правило контроля: в месте приложения внешней силы на эпюре должен быть скачок на величину приложенной силы.
На эпюре проставляются значения Nz. Величины продольных сил откладывают в заранее выбранном масштабе.
Эпюра по контуру обводится толстой линией и заштриховыва ется поперек оси.
Изучая деформации при растяжении и сжатии, обнаруживаем, что выполняются гипотеза плоских сечений и принцип смягчения граничных условий.
Гипотеза плоских сечений заключается в том, что поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное продольной оси, после деформации остается плоским и перпендикулярным продольной оси.
Следовательно, продольные внутренние волокна удлиняются одинаково, а внутренние силы упругости распределены по сечению равномерно.
Принцип смягчения граничных условий гласит: в точках тела, удаленных от мест приложения нагрузки, модуль внутренних сил мало зависит от способа закрепления. Поэтому при решении задач не уточняют способ закрепления.
Напряжения при растяжении и сжатии
При растяжении и сжатии в сечении действует только нормаль ное напряжение.
Напряжения в поперечных сечениях могут рассматриваться как силы, приходящиеся на единицу площади.
Таким образом, направление и знак напряжения в сечении со впадают с направлением и знаком силы в сечении .
Исходя из гипотезы плоских сечений, можно предположить, что напряжения при растяжении и сжатии в пределах каждого сечения не меняются. По этому напряжение можно рассчитать по формуле
рис.4.11
где Nz —продольная сила в сечении; А — площадь поперечного сечения. Величина напряжения прямо пропорциональна продольной силе и обратно пропорциональна площади поперечного сечения.
Нормальные напряжения действуют при растяжении от сечения (рис. 4.11, а), а при сжатии к сечению (рис. 4.11, б)
Размерность (единица измерения) напряжений — Н/м2 (Па), од нако это слишком малая единица, и практически напряжения рас считывают в Н/мм2 (МПа): 1 МПа = 106 Па = 1 Н/мм2.
При определении напряже ний брус разбивают на участки (напряжений, в пределах которых продольные силы не изменяются, и учитывают места изменений площади поперечных сечений.
Рассчитывают напряжения по сечениям, и расчет оформляют в виде эпюры нормальных напряжений.
Строится и оформляется такая эпюра так же, как и эпюра про дольных сил.
Рассмотрим брус, нагру женный внешними силами вдоль оси (рис. 4.12).
Обнаруживаем три уча стка нагружения и определя ем величины продольных сил.
Участок 1: N1 = 0. Внутренние продольные силы равны нулю.
Участок2: N2 = 2F. Про дольная сила на участке поло жительна.
Участок 3: N3 = 2F—3F = —F. Продольная сила на участке отрицательна.
Брус — ступенчатый.
С учетом изменений ве личин площади поперечного сечения участков напряжений больше.
рис.4.12
Строим эпюры продольных сил и нормальных напряжений.
Масштабы эпюр могут быть разными и выбираются исходя из удобства построения.
Продольные и поперечные деформации. Закон Гука
Иметь представление о продольных и поперечных деформациях и их связи.
Знать закон Гука, зависимости и формулы для расчета на пряжений и перемещений.
Уметь проводить расчеты на прочность и жесткость ста тически определимых брусьев при растяжении и сжатии.
Деформации при растяжении и сжатии
Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной силы F (рис. 4.13).
Начальные размеры бруса: — начальная длина, — начальная ширина. Брус удлиняется на величину Δl; Δ1— абсолютное удлинение. При растя жении поперечные размеры уменьшают ся, Δ а — абсолютное сужение; Δ1 > 0; Δ а<0.
При сжатии выполняется соотноше ние Δl < 0; Δ а > 0.
В сопротивлении материалов приня то рассчитывать деформации в относи тельных единицах: рис.4.13
- относительное удлинение;
-относительное сужение.
Между продольной и поперечной деформациями существует зависимость ε′=με, где μ – коэффициент поперечной деформации, или коэффициент Пуассона, - характеристика пластичности материала.
Закон Гука при растяжении и сжатии
Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука (1635 — 1703).
Закон Гука при растяжении и сжатии справедлив лишь в определенных пределах нагружения и формулируется так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению.
Математически закон Гука можно записать в виде равенства:
σ = Еε.
Коэффициент пропорциональности Е характеризует жест кость материала, т. е. его способность сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия, и называется модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода.
Модуль упругости и напряжение выражаются в одинаковых единицах:
[Е] = [σ]/[ε] = Па.
Значения Е, МПа, для некоторых материалов:
Чугун ......................................... (1,5...1,6)105
Сталь ......................................... (1,96...2,16)105
Медь ........................................... (1,0...1,3)105
Сплавы алюминия................... (0,69...0,71) 105
Дерево (вдоль волокон)......... (0,1...0,16) 105
Текстолит .................................. (0,06...0,1)105
Капрон........................................ (0,01...0,02) 105
Если в формулу закона Гука подставим выражения
то получим
Δl = Nl/(EA).
Произведение ЕА, стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при растяжении и сжатии; оно характеризует одновременно физико-механические свойства ма териала и геометрические размеры поперечного сечения бруса.
Эта формула читается так: абсолютное удлинение или укорочение прямо пропорционально продольной силе, длине и об ратно пропорционально жесткости сечения бруса.
При прочих равных условиях, чем жестче материал, тем меньше он деформируется:
Формулы для расчета перемещений поперечных сечений бруса при растяжении и сжатии.
Используем известные формулы.
Закон Гука σ=Еε.
Откуда .
Относительное удлинение .
В результате получим зависимость между нагрузкой, размерами бруса и возникающей деформацией:
, где Δl – абсолютное удлинение, мм; σ- нормальное напряжение, МПа;
l— начальная длина, мм;
Е — модуль упругости материала, МПа;
N — продольная сила, Н;
А — площадь поперечного сечения, мм2;
Произведение АЕ называют жесткостью сечения.
Выводы
1. Абсолютное удлинение бруса прямо пропорционально вели чине продольной силы в сечении, длине бруса и обратно пропорцио нально площади поперечного сечения и модулю упругости.
2. Связь между продольной и поперечной деформациями зависит от свойств материала, связь определяется коэффициентом Пуассо на, называемом коэффициентом поперечной деформации.
Коэффициент Пуассона: у стали μ от 0,25 до 0,3; у пробки μ = 0; у резины μ — 0,5.
детали; при необходимости поперечная дефор мация рассчитывается через продольную.
, где Δ а – поперечное сужение, мм; - начальный поперечный размер, мм. рис.4.14
3. Закон Гука выполняется в зоне упругих деформаций, которая определяется при испытаниях на растяжение по диаграмме растя жения (рис. 4.14).
4. При работе пластические деформации не должны возникать, упругие деформации малы по сравнению с геометрическими размерами тела. Основные расче ты в сопротивлении материалов проводятся в зоне упругих деформации, где действует закон Гука.
На диаграмме (рис. 4.1.4) закон Гука действует от точки 0 до точки 1.
5. Определение деформации бруса под нагрузкой и сравнение её с допускаемой (не нарушающей работоспособности бруса) называют расчетом на жесткость.
Механические испытаниймеханические характеристики.
Предельные и допускаемые напряжения
Иметь представление о предельных и допускаемых напряжени ях и коэффициенте запаса прочности.
Знать диаграммы растяжения и сжатия пластичных и хруп ких материалов, порядок расчетов на прочность.
При выборе материалов для элементов конструкции и расчетов на прочность необходимо знать механические характеристики. Необ ходимые сведения получают экспериментально при испытаниях на растяжение, сжатие, срез, кручение и изгиб.
Механические испытания. Статические испытания на растяжение и сжатие
Это стандартные испыта ния: оборудование — стандарт ная разрывная машина, стан- дартный образец (круглый или плоский), стандартная методика расчета.
На рис. 4.15 представлена схема испытаний ( — началь ный диаметр поперечного сече ния; — начальная длина).
На рис. 4.16 изображена схе ма образца до (рис. 4.16, а) и после (рис. 4.16, б) испытаний (dm — диаметр шейки, сужения перед раз рывом).
Образец закрепляется в зажимах разрывной машины и растяги вается до разрыва. Машина снабжена прибором для автоматической записи диаграммы растяжения — зависимости между нагрузкой и абсолютным удлинением (рис. 4.17 — диаграмма растяжения для малоуглеродистой стали).
Полученная диаграмма пересчитывается и перестраивается.
Особые точки диаграм мы растяжения обозначены
точками 1, 2, 3, 4, 5:
рис.4.15
1) точка 1 соответству ет пределу пропорциональ ности: после нее прямая ли ния (прямая пропорциональ ность) заканчивается и пе реходит в кривую;
участок 01 — удлине ние Δl растет пропорцио нально нагрузке; подтвер ждается закон Гука;
2) точка 2 соответствует пределу упругости материала: матери ал теряет упругие свойства — способность вернуться к исходным размерам;
3) точка 3 является концом участка, на котором образец силь но деформируется без увеличения нагрузки. Это явление называют текучестью; текучесть — удлинение при постоянной нагрузке;
4) точка 4 соответствует максимальной нагрузке, в этот момент на образце образуется «шейка» — резкое уменьшение площади по перечного сечения. Напряжение в этой точке называют временным сопротивлением разрыву, или условным пределом прочности. Зона 3-4 называется зоной упрочнения.
рис.4.16 рис.4.17
Механические характеристики
Механические характеристики материалов, т. е. величины, характеризующие их прочность, пластичность, упругость, твер дость, а также упругие постоянные Е и υ, необходимые конструктору для выбора материалов и расчетов проектируе мых деталей, определяют путем механических испытаний стандартных образцов, изготовленных из исследуемого мате риала.
В процессе этого испытания специальное устрой ство испытательной ма шины автоматически вы черчивает диаграмму, вы ражающую зависимость между растягивающей си лой и абсолютным удли нением, т. е. в координа тах (F, Δl). Для изучения механических свойств ма териала независимо от размеров образца приме няется диаграмма в коор динатах «напряжение—от носительное удлинение» (σ, ε). Эти диаграммы отличаются друг от друга лишь мас штабами.
Диаграмма растяжения низкоуглеродистой стали представлена на рис. 19.6. Эта диаграмма имеет следующие характерные точки.
Точка А соответствует пределу пропорциональности.
Пределом пропорциональности σпц называется то наибольшее напряжение, до которого деформации растут пропорционально нагрузке.
Точка А практически соответствует и который называется пределом упругости.
Пределом упругости σуп называется то наибольшее напряжение, до которого деформации практически остаются упругими.
Точка С соответствует пределу текучести.
Пределом текучести σт называется такое напряжение, при котором в образце появляется заметное удлинение без увеличения нагрузки.
Предел текучести является основной механической характе ристикой при оценке прочности пластичных материалов.
Точка В соответствует временному сопротивлению или пределу прочности.
Временным сопротивлением σв называется условное напряжение, равное отношению максимальной силы, которую выдерживает образец, к первоначальной площади его попереч ного сечения.
При достижении временного сопротивления на растягивае мом образце образуется местное сужение — шейка, т. е. начина ется разрушение образца.
В определении временного сопротивления говорится об условном напряжении, так как в сечениях шейки напряжения будут больше.
Пределом прочности апч называется временное со противление образца, разрушающегося без образования шейки. Предел прочности является основной механической характерис тикой при оценке прочности хрупких материалов.
Точка D соответствует напряжению, возникающему в образ це в момент разрыва во всех поперечных сечениях, кроме сечений шейки.
Точка М соответствует напряжению, возникающему в на именьшем поперечном сечении шейки в момент разрыва. Это напряжение можно назвать напряжением разрыва.