Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Билет 8.1)Доказать признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда; оценка суммы и остатка такого ряда. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если знаки членов ряда чередуются, т.е. ряд имеет вид . Предполагаем, что ряд начинается с положительного члена, >0, . Сформулируем признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. 1) ряд имеет вид (знакочередующийся, >0, ); 2) последовательность {} монотонно убывает; 3), Тогда 1) ряд сходится и 2)|S|. Док-во. Рассмотрим последовательность частичных сумм с четными номерами т.к. >0, >0 (последовательность {} монотонно убывает по условию теоремы). , т.к. >0, >0… т.е. последовательность {} ограничена сверху . =()-( т.е. последовательность {} монотонно возрастает. По теореме Вейерштрасса существует =S. Рассмотрим теперь последовательность частичных сумм с нечетными номерами . По условию , т.е. . По доказанному выше =S. Следовательно, предел правой части равенства существует и равен S. поэтому предел левой части равенства тоже существует и равен =S. раскроем определение предела как для четных n, так и для нечетных n. Следовательно, это справедливо для любых n>N, поэтому =S. Из доказанного выше неравенства 0<<. Переходя к переделу, получим 0, т.е. |S|. Следствие. ||. Остаток ряда оценивается модулем первого отброшенного члена ряда. Док-во. Так как остаток знакочередующегося ряда тоже знакочередующийся ряд, то его сумма по признаку Лейбница оценивается модулем его первого члена, т.е. ||. А первый член остатка ряда и есть первый отброшенный член.2). Записать формулу Грина для односвязной области и сформулировать условия ее справедливости. Пусть G – плоская односвязная область с кусочно-гладкой границей L. Пусть функции P(x, y), Q(x, y) непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим переменным в области G и на L. Тогда справедлива формула Грина . Формула Грина остается справедливой для всякой ограниченной замкнутой областиG, которую можно разбить проведением дополнительных линий на конечное число правильных областей. Также она справедлива для области G, ограниченной произвольной гладкой или гладко-кусочной кривой, т.е. она связывает интеграл по границе области с интегралом по самой области.3) Дать определение потенциального векторного поля и сформулировать его основные свойства. векторное поле (M) называется потенциальным, если существует такое скалярное поле V(M) (потенциал векторного поля (M)), что (M)=. Если поле (M) – потенциально, то (M)*d=* d=dV – полный дифференциал. Тогда Pdx+Qdy+Rdz=*d=dV – полный дифференциал. Свойства. 1) Линейный интеграл потенциального поля не зависит от формы дуги L=, а зависит только от начальной и конечной точек дуги. 2) Циркуляция потенциального поля равна нулю. 3) Потенциальное поле является безвихревым, т.е. =0.