Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Теория еоу.
1. Число А называется пределом функции f(x) в точке x0 , если для любого числа ԑ > 0, которое может быть как угодно малым, существует число δ > 0, такое, что для всех x ϵ Ω, x≠x0, удовлетворяющих условию: |x-x0|<δ, верно равенство |f(x)- A| <ԑ.
Число А называют пределом функции f(x) при x, стремящимся к бесконечности, если для любого ԑ>0 существует число N>0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x|> N, верно неравенство: |f(x) - A|<ԑ.
Односторонние пределы: число А называется пределом функции f(x) в точке x0 слева, если для любого ԑ >0 существует δ>0, такое, что для все x, удовлетворяющих условию x0-δ<x<x0, верно неравенство: |f(x)-A|<ԑ.
Действия с пределами: если функция f(x) и ϕ(x) в точке x0имеют пределы, то в этой точке имеют пределы также их сумма f(x)+ϕ(x), разность f(x)-ϕ(x), произведение f(x)*ϕ(x) и, при дополнительном условии предел стремящийся в x0 ϕ(x)≠0, частное f(x)/ϕ(x).
2. Функция α(x) называется бесконечно малой функцией при x, стремящемся к x0, если предел равен 0. Функция α(x) называется бесконечно малой при x→∞, если предел равен 0.
Две бесконечно малые при x→x0 функции α(x) и β(x) называются эквивалентными, если предел их отношений в точке икс нулевое равен 1.
Если для любого, как угодно большого, числа M>0 существует такое число δ>0, что для всех x≠x0, удовлетворяющих условию: |x-x0|<δ, выполняется неравенство: |f(x)|> M, то функцию f(x) называют бесконечно большой функцией при x→x0.
Правило Лопиталя. Пусть функция f(x) и φ(x) имеют производные f'(x) и φ'(x) в некоторой окрестности (а-δ, а+δ) точка а, кроме, быть может, самой точки а, причем φ(x) и φ'(x) не равны нулю в указанной окрестности. Если: предел стремящийся в а равен нулю (f(x)) и точно такой же предел (φ(x)) и отношение f'(x)/φ(x) при х→а имеет конечный или бесконечный предел, то существует предел соотношения двух функций, причем они равны отношению своих производных.
3. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если: 1. она имеет предел в точке x0; 2. этот предел равен f(x0) - значению функции f(x) в точке x0. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если для любого числа ԑ>0 существует число δ>0, такое, что для всех xϵΩ, удовлетворяющих условию |x-x0|<δ, выполняется неравенство: |f(x)-f(x0)|<ԑ. Функция y=f(x) называется непрерывной в точкеx0ϵΩ, если приращение ∆y функции в этой точке, отвечающее приращению ∆x аргумента, стремится к нулю при ∆x→0.
Если в точке x0 функция f(x) имеет предел слева и справа и они равны между собой, но не равны значению функции в точке x0, то точка x0 называется точкой устранимого разрыва функции f(x).
Если в точке x0 функция f(x) имеет конечные пределы слева и справа, но они разные то точка x0 называется точкой разрыва функции f(x) с конечным скачком функции.
Пусть функция определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существует конечный предел функции . Тогда прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .Пусть функция определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существуют конечные пределы и . Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции .
4.Если при ∆x →0 существует предел отношений ∆y/∆x, то этот предел называется производной от функции y=f(x) в данной точке x и обозначается f'(x) или y'(x) или y'x.
Геометрический смысл производной. Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент наклона касательной), проведенной к графику функции в точке равен производной функции в этой точке. Уравнение касательной к прямой: y-y0= f'(x0)*(x-x0), y0=f(x0).
5.
6.Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке xϵ(a,b), если приращение функции ∆y=f(x+∆x)-f(x), отвечающее приращению ∆x аргумента, можно представить в виде ∆y=A∆x+α(∆x)∆x, где А - некоторое число, которое не зависит от ∆x, а α(∆х)→0 при ∆х→0.
Если функция y=f(x) дифференцируема в точке х, то часть приращения функции А∆х при А≠0 называется дифференциалом функции y=f(x) и обозначается символом dy или df(x): dy=A∆x.
7. Производная n-го порядка функции f(x) есть производная от производной (n-1)-го порядка этой функции: f(n)(x)=(f(n-1)(x))'. Дифференциалом n-го порядка dny функции y=f(x) называется дифференциалом от дифференциала (n-1)-го порядка этой функции: dny=d(dn-1y). Чтобы найти f(n)(x), надо сначала найти f'(x), затем f"(x), взяв производную f'(x), и т.д., пока не получим производную нужного порядка. Таким образом, производные высших порядков вычисляются при помощи уже известных правил и формул дифференцирования. Формула Лейбница
Если u и v - n-кратно дифференцируемые функции, то
Производные n-го порядка от основных элементарных функций
Справедливы формулы
8. f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+...+f(n)(x0)/n!*(x-x0)n+ο((x-x0)n), x→x0. Формула Тейлора разложение функции f(x) по степени х→х0 с остаточным членом в форме Пеано. Эта формула показывает, что, заменив f(x) в окрестности точки х0 ее многочленом Тейлора n-ой степени, мы совершим ошибку, которая при х→х0 является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х-х0)n. Эта формула представляет наибольший интерес при х, достаточно близки х0. Так же эту формулу называют локальной формулой Тейлора.
Пусть функция f(x) на отрезке [a,b] имеет непрерывные производные до (n-1)-го порядка, а в интервале (a,b) существует n-я производная функции f(x). Тогда существует такая точка ξ, принадлежащая (a,b), что: f(b)=f(a)+f'(a)/1!*(b-a)+f"(a)/2!+...+f(n-1)(a)/(n-1)!*(b-a)n-1+f(n)(ξ)/n!*(b-a)n
Формула Тейлора для элементарных функций. Рассмотрим несколько важнейших элементарных функций и найдём для них многочлены Тейлора при .
1. Рассмотрим функцию . Все её производные совпадают с ней: , так что коэффициенты Тейлора в точке равны
Поэтому формула Тейлора для экспоненты такова:
2. Рассмотрим функцию . Её производные чередуются в таком порядке:
а затем цикл повторяется. Поэтому при подстановке также возникает повторение:
и т. д. Все производные с чётными номерами оказываются равными 0; производные с нечётными номерами равны 1 при , то есть при , и при , то есть при . Таким образом, при всех и коэффициенты Тейлора равны
Получаем формулу Тейлора для синуса:
Заметим, что мы можем записать остаточный член вместо (как можно было бы подумать), поскольку можно считать, что слагаемое порядка , с коэффициентом, равным 0, тоже включено в многочлен Тейлора.
3. Для функции производные также чередуются с циклом длины 4, как и для синуса. Значения в точке имеют то же чередование:
|
|
|
|
|
Нетрудно видеть, что при , и при , . Поэтому разложение косинуса по формуле Тейлора имеет вид
Здесь мы также считаем, что последним в многочлене Тейлора выписано слагаемое, содержащее с нулевым коэффициентом.
Приближенное вычисление значений функции. f(b)=f(a)+f'(a)/1!*(b-a)+f"(a)/2!*(b-a)2+...+f(n-1)(a)/(n-1)!*(b-a)n-1+f(n)(ξ)/n!*(b-a)n
9.Функция f(x) называется монотонной на [a,b], если она на [a,b] только неубывающая (в частности, возрастающая) или только невозрастающая (в частности, убывающая). Их называют строго монотонными.
Если существует такая окрестность (х0-δ, х0+δ) точки х0, что все точки данной кривой, абсциссы которых содержатся в этой окрестности, расположены над касательной и кривой в точке М0, то говорят, что выпуклость данной кривой в точке М0 направлена вниз. Если все точки кривой с абсциссами из некоторой окрестности точки х0 находятся под касательной к этой кривой в точке М0, то говорят, что выпуклость данной кривой в точке М0 направлена вверх.
График функции y=f(x), дифференцируемой на интервале (a,b), имеет на этом интервале выпуклость, направленную вверх(вниз), если график этой функции в пределах интервала (a,b) лежит не выше( не ниже) любой своей касательной.
Точка М0 (х0, f(x0)) называется точкой перегиба кривой y=f(x), если существует окрестность (x0-δ, x0+δ) точки х0 такая, что для x<x0 из этой окрестности выпуклость кривой направлена в одну сторону, а при x>x0 - в противоположную.
Точка х0 называется точкой локального максимума функции f(x), если существует такое δ>0, что для все х из интервала (х0-δ, х0+δ) верно неравенство: ∆f=f(x)-f(x0)<=0. Если существует δ>0 такое, что х из интервала (х0-δ, х0+δ) верно неравенство: ∆f=f(x)-f(x0)>=0, то точка х0 называется точкой локального минимума функции f(x). Максимум и минимум функции называется ее локальными экстремумами.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет производную f'(x) по крайней мере в этом интервале. Для того чтобы функция f(x) на отрезке [a,b] была неубывающей, необходимо и достаточно выполнение условия f'(x)>=0 для всех точек х из этого интервала. Для того, чтобы функция f(x) на отрезке [a,b] была невозрастающей, необходимо и достаточно выполнение условия f'(x)<=0 для всех точек х из этого интервала.
Точка М0 (х0, f(x0)) может быть точкой перегиба кривой y=f(x) только если f"(x0)=0 (или f"(x0) не существует).
Функция f(x) может иметь экстремум только в тех точках, в которых ее производная f'(x) либо равна нулю, либо не существует.
10. Формула конечных приращений Лангранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет производную f'(x) на этом интервале, то в интервале (a,b) существует по крайней мере одна точка ξ такая, что справедлива формула: f(b)-f(a)/b-a=f'(ξ), a<ξ<b.
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.
Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β О [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x О [a, b] (рис.2).
Наибольшее значение M обозначается символом maxx О [a, b] f(x), а наименьшее значение m — символом minx О [a, b] f(x).
Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0.
11. Геометрическим вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно ему самому. Направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B обозначается AB. Векторы обозначаются строчными латинскими буквами со стрелками
Скалярным произведением вектора a на вектор b называется число, обозначаемое символом (a,b) и определяемое равенством: (a,b)=|a|*|b|*cosφ. Свойства: Скалярное произведение обращается в нуль в том и только в том случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда векторы ортогональны. Скалярное произведение коммутативно: (a,b)=(b,a). Скалярное произведение обладает распределительным свойством относительно сложения: (a+b,c)=(a,c)+(b,c). Числовой множитель λ можно вынести за знак скалярного произведения: (λa,b)=(a,λb)=λ(a,b).
12.Векторным произведением вектора a на b называется вектор, обозначаемый символом [a,b], такой что длина вектора [a,b]=|a|*|b|*sinφ; [a,b] перпендикулярен векторам a и b; вектор [a,b] направлен так, что из конца этого вектора кратчайший поворот от a к b виден происходящим против часовой стрелки. Свойства: Векторное произведение равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда один из перемножаемых векторов является нулевым или когда эти вектора коллинеарны. Векторное произведение антикоммутативно: [b,a]=-[a,b]. Векторное произведение обладает распределительным свойством по отношению к сложению: [a+b,c]=[a,c]+[b,c]. Числовой множитель λ можно вынести за знак векторного произведения: [λa,b]=[a,λb]=λ[a,b].
Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :
.
Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).
Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .
1°
2°
3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда
4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.
5°
6°
7°
8°
9°
10° Тождество Якоби:
13. В декартовых прямоугольных координатах уравнение любой плоскости приводиться к виду
Ax+By+Cz+D=0 (14)
Уравнение (14) называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты A,B,C являются координатами вектора , перпендикулярного к плоскости, заданной уравнением (14). Он называется нормальным вектором этой плоскости и определяет ориентацию плоскости в пространстве относительно системы координат.
Существуют различные способы задания плоскости и соответствующие им виды уравнения.
1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Если плоскость проходит через точку M0(x0,y0,z0) и перпендикулярна к вектору =(A,B,C), то ее уравнение записывается в виде: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
2. Уравнение плоскости в «отрезках». Если плоскость пересекает оси координат Ox, Oy, Oz в точках M1(a,0,0) M2(0,b,0) M3(0,0,c) соответственно, то ее уравнение можно записать в виде:
(16)
где a≠0, b≠0, c≠0
3. Уравнение плоскости по трем точкам. Если плоскость проходит через точки Mi(xi,yi,zi (i=1,3), не лежащие на одной прямой, то ее уравнение можно записать в виде:
(17)
14. В зависимости от способа задания прямой в пространстве можно рассматривать различные ее уравнения:
1. Векторно-параметрическое уравнение прямой. Пусть прямая проходит через точку M0(x0,y0,z0) параллельно вектору s(m,n,p), а M(x,y,z) любая точка этой прямой.
Если r0 и r – радиусы-векторы точек M0 и M, то справедливо векторное равенство:
r=r0+t•s (-∞ < t < +∞) (20)
которое получается по правилу сложения векторов. Уравнение (20) называется векторно-параметрическим уравнением прямой, s – направляющим вектором прямой (20), t – параметром.
2. Параметрические уравнения прямой. Из уравнения (20) получаем три скалярных уравнения:
(21)
которые называются параметрическими уравнениями прямой.
3. Канонические уравнения прямой. Разрешая уравнения в системе (21) относительно t и приравнивая полученные отношения, приходим к конечным уравнениям прямой:
(22)
4. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки.
Если прямая проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2), то её уравнения можно записать в виде
(23)
5. Общие уравнения прямой в пространстве. Две пересекающиеся плоскости
(24)
где n1 и n2 не параллельны, определяют прямую. Уравнение (24) называются общими уравнениями прямой в пространстве.
15.Матрицей A размера m x n называется набор m*n чисел - элементов матрицы записанных в виде прямоугольной таблицы. Матрица размера 1 х n называется просто строкой, а матрица размера m x 1 - столбцом. В случае m=n матрица называется квадратной матрицей порядка n. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой, а квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной.
Сложение матриц. Пусть A и B матрицы одного размера. Суммой матриц называется матрица C=γi,j ϵ Rm x n , элементы которой вычисляются по формуле: γi,j=αi,j + βi,j
Умножением матрицы на число. Произведение матрицы A=(αi,j ) ϵ R m x n на число λ называется матрица B=(βi,j) ϵ R m x n, элементы которой вычисляются по формуле: βi,j=λ αi,j
16.Определителем n-го порядка называется число равное: D=α11M11-α21M21+...+(-1)n+1αn1Mn1.
Свойства определителей
СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть
.
СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,
.
СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.
СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,
.
СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).
СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,
СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,
.
Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.
Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.
СВОЙСТВО 9. Определитель
равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.
Иначе говоря, имеют место следующие равенства:
, ,
, ,
,
17. Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными
(4.1)
или в матричной форме А*Х=В.
Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы
называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то существует обратная матрица А, с помощью которой можно решить ее. Для этого обе части умножим на А-1, получим A-1*A*X=A-1*B Поскольку. A-1*A=E и Е*Х=Х , то X=A-1*B. Теорема Крамера: Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
где - определитель матрицы системы, - определитель матрицы системы, где вместо -го столбца стоит столбец правых частей.
Замечание
Если определитель системы равен нулю, то система может быть как совместной, так и несовместной.
Замечание
Данный метод удобно применять для маленьких систем с громоздкими вычислениями, а так же если нужно найти одну из неизвестных. Трудность заключается в том, что необходимо считать много определителей.
18. Матрицу можно привести к треугольному виду при помощи алгоритма Гаусса. Идея алгоритма заключается в том, что элементы , обнуляются путём вычитания строки́ номер j, умноженной на , из строки́ номер i. Формально алгоритм выглядит так:
|
(1) |
Алгоритм строит верхнетреугольную матрицу, изменяя исходную матрицу. Если исходная матрица должна сохраниться, то перед началом работы алгоритма нужно создать её копию.
Несмотря на то, что в алгоритме (1) показаны два вложенных цикла, на самом деле в нём три цикла, так как вычитание строк — операция над несколькими элементами. Соответственно, время работы алгоритма составляет .
Алгоритм Гаусса не будет работать, если в какой-то момент окажется в формуле (1). Необходимое и достаточное условие того, что в алгоритме не возникнет деления на ноль — все главные миноры матрицы должны быть отличны от нуля.
После приведения матрицы к верхнетреугольному виду её определитель можно вычислить перемножением диагональных элементов:
|
(2) |
Определитель треугольной матрицы, вычисленный по формуле (2), будет равен определителю исходной матрицы, так как определитель матрицы не меняется, если к одной строке матрицы прибавить другую строку, умноженную на произвольное число.
Выберем в матрице k строк и k столбцов, пусть i1<i2<...<ik - номера выбранных строк и j1<j2<...<jk - номера выбранных столбцов. Построим матрицу k-го порядка. Определитель Мк этой матрицы называется минором к-го порядка матрицы А. Ясно, что у матрицы размера m x n есть миноры, порядок которых равен 1,2,..., min(m,n). Пусть матрица А ненулевая. Тогда найдется число r такое, что: некоторый минор r-го порядка матрицы А отличен от нуля; любой минор порядка a (a>r) матрицы А равен нулю. Число r называется рангом матрицы А. Обозначается rang A. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю. Таким образом, для любой матрицы А размером m x n: 0<= rang A<= min(m,n). Отличный от нуля минор Мr, порядок которого равен рангу матрицы А, называется базисным минором матрицы А. Строки и столбцы матрицы А, которые содержат элементы базисного минора, называются базисными. Базисные строки матрицы А линейно независимы. Каждая строка матрицы А может быть представлена в виде линейной комбинации базисных строк.
19.Линейная система называется однородной, если все свободные члены системы равны нулю. Свойства: однородная система всегда совместна; если число m уравнений однородной системы меньше числа n неизвестных, то эта система имеет ненулевые решения; сумма решений однородной системы также является решением; произведение решения однородной системы на любой число также является решением этой системы.
Любая совокупность из n - r решений однородной системы, удовлетворяющая условиям: она линейно независима; любое решение системы можно представить в виде линейной комбинации решений Г1,...,Гn-r; называется фундаментальной системой решений однородной системы.
Рассмотрим множество всех столбцов, которые являются решениями исходной системы.
Определение
Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной СЛАУ называется базис этой системы столбцов.
Количество элементов в ФСР равно количеству неизвестных системы минус ранг матрицы системы. Любое решение исходной системы есть линейная комбинация решений ФСР.
Теорема
Общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной СЛАУ.
Однородная система m линейных уравнений относительно n неизвестных нетривиально совместна (имеет ненулевое решение) тогда и только тогда, когда ранг r матрицы системы меньше числа неизвестных: r < n.
Однородная система n линейных уравнений относительно n неизвестных нетривиально совместна тогда и только тогда, когда матрица системы вырождена.
20. Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:
— её расширенная матрица.
Теорема (об общем решении неоднородных систем).
Пусть (т.е. система (2) совместна), тогда:
Теорема Кронкера-Капелли. Линейная система совместна в том и только в том случае, если ранг матрицы системы и ранг матрицы равны.
21. Множество V элементов x,y,z,... называется линейным пространством, если по некоторому правилу:
1.любым двум элементам x и y из V и каждому числу α поставлен в соответствие элемент из V, обозначаемый x+y и называемый суммой этих элементов;
2. Любому элементу x из V и каждому числу αпоставлен в соответствие элемент из V, обозначаемый αх и называемый произведением элемента х на число α, и эти правила сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам:
1.(x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативность)
2.x+y=y+x (коммутативность)
3.во множестве V существует элемент θ такой, что для любого элемента x из V выполняется равенство x+θ=x
4. для любого элемента x из V во множестве V существует элемент (-х) такой, что х+(-х)=θ
5.α(x+y)=αx+αy
6.(α+β)x=αx+βx
7.α(βx)=(αβ)x
8.1x=x
элемент θ называется нулевым элементом, а элемент (-х) - противоположным элементу х.
Определение линейной зависимости системы векторов
Система векторов A1, A2,...,An называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ1,λ2,...,λn, при котором линейная комбинация векторов λ1*A1+λ2*A2+...+λn*An равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ имеет ненулевое решение.
Набор чисел λ1, λ2,...,λn является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ1, λ2,...,λn отлично от нуля.
Предложение 10.6 Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.
Доказательство. Пусть система векторов линейно зависима. Тогда существует такой набор коэффициентов , что , причем хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Предположим, что . Тогда
то есть является линейной комбинацией остальных векторов системы.
Пусть один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов. Предположим, что это вектор , то есть . Очевидно, что . Получили, что линейная комбинация векторов системы равна нулю, причем один из коэффициентов отличен от нуля (равен ).
Предложение 10.7 Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.
Доказательство.
Пусть в системе векторов подсистема , , является линейно зависимой, то есть , и хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Тогда составим линейную комбинацию . Очевидно, что эта линейная комбинация равна нулю, и что среди коэффициентов есть ненулевой.
Упражнение10.4.1. Докажите, что если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.
Предложение 10.8 Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.
Доказательство. Пусть система состоит из вектора . Линейная комбинация имеет вид . Если , то , то есть система линейно зависима. Если и , то .
Предложение 10.9 Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.
Доказательство этого предложения предоставляется читателю. Оно аналогично доказательству следующего предложения.
Предложение 10.10 Система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.
Доказательство. Пусть векторы -- компланарные. Если -- коллинеарные, то в силу предыдущего предложения они образуют линейно зависимую подсистему системы . По предложению 10.7 система -- линейно зависима. Если векторы -- неколлинеарные, то по предложению 10.2 является линейной комбинацией векторов и по предложению 10.6 система векторов -- линейно зависимая.
Пусть система векторов линейно зависима. По предложению 10.6 один вектор, скажем , является линейной комбинацией других векторов, и , . Правая часть последнего равенства лежит в плоскости, в которой лежат векторы . Поэтому вектор лежит в одной плоскости с векторами , то есть векторы -- компланарные.
Предложение 10.11 Четыре вектора всегда образуют линейно зависимую систему.
Доказательство. Если первые три вектора являются компланарными, то они образуют линейно зависимую подсистему ( предложение 10.10). Следовательно, вся система линейно зависима ( предложение 10.7). Если первые три вектора -- некомпланарные, то четвертый является их линейной комбинацией ( предложение 10.3). По предложению 10.6 система является линейно зависимой.
Пусть X — линейное пространство.
Определение. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.
Будем обозначать n –мерное линейное пространство Xn , где n = dim Xn — размерность пространства Xn .
Из определения следует, что размерность линейного пространства равна максимальному количеству линейно независимых векторов.
Замечания.
Определение. Упорядоченная система векторов e1, e2, … , en О X называется базисом в X , если
|
x = ξ1e1 + ξ2e2 + … + ξnen. |
(1) |
|
ж |
|
ц |
||||||
Определение линейного подпространства
Непустое подмножество линейного пространства называется линейным подпространствомпространства , если
1) (подпространство замкнуто по отношению к операции сложения);
2) и любого числа (подпространство замкнуто по отношению к операции умножения вектора на число).
Для указания линейного подпространства будем использовать обозначение , а слово "линейное" опускать для краткости.
Замечания 8.7
1. Условия 1, 2 в определении можно заменить одним условием: и любых чисел и . Разумеется, что здесь и в определении речь идет о произвольных числах из того числового поля, над которым определено пространство .
2. В любом линейном пространстве имеются два линейных подпространства:
а) само пространство , т.е. ;
б) нулевое подпространство , состоящее из одного нулевого вектора пространства , т.е. . Эти подпространства называются несобственными, а все остальные — собственными.
3. Любое подпространство линейного пространства является его подмножеством: , но не всякое подмножество является линейным подпространством, так как оно может оказаться незамкнутым по отношению к линейным операциям.
4. Подпространство линейного пространства само является линейным пространством с теми же операциями сложения векторов и умножения вектора на число, что и в пространстве , поскольку для них выполняются аксиомы 1-8. Поэтому можно говорить о размерности подпространства, его базисе и т.п.
5. Размерность любого подпространства линейного пространства не превосходит размерности пространства . Если же размерность подпространства равна размерности конечномерного пространства , то подпространство совпадает с самим пространством: .
Это следует из теоремы 8.2 (о дополнении системы векторов до базиса). Действительно, взяв базис подпространства , будем дополнять его до базиса пространства . Если это возможно, то . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства является базисом пространства , то . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем .
6. Для любого подмножества линейного пространства линейная оболочка является подпространством и .
В самом деле, если (пустое множество), то по определению , т.е. является нулевым подпространством и . Пусть . Нужно доказать, что множество замкнуто по отношению к операциям сложения его элементов и умножения его элементов на число. Напомним, что элементами линейной оболочки служат линейные комбинации векторов из . Так как линейная комбинация линейных комбинаций векторов является их линейной комбинацией, то, учитывая пункт 1, делаем вывод, что является подпространством , т.е. . Включение — очевидное, так как любой вектор можно представить как линейную комбинацию , т.е. как элемент множества .
7. Линейная оболочка подпространства совпадает с подпространством , т.е. .
Действительно, так как линейное подпространство содержит все возможные линейные комбинации своих векторов, то . Противоположное включение следует из пункта 6. Значит, .
Примеры линейных подпространств
Укажем некоторые подпространства линейных пространств, примеры которых рассматривались ранее. Перечислить все подпространства линейного пространства невозможно, за исключением тривиальных случаев.
1. Пространство , состоящее из одного нулевого вектора пространства , является подпространством, т.е. .
2. Пусть, как и ранее, — множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно. Если прямая принадлежит плоскости, то . Напротив, множество единичных векторов не является линейным подпространством, так как при умножении вектора на число, не равное единице, получаем вектор, не принадлежащий множеству.
3. В n-мерном арифметическом пространстве рассмотрим множество "полунулевых" столбцов вида с последними элементами, равными нулю. Сумма "полунулевых" столбцов является столбцом того же вида, т.е. операция сложения замкнута в . Умножение "полунулевого" столбца на число дает "полунулевой" столбец, т.е. операция умножения на число замкнута в . Поэтому , причем . Напротив, подмножество ненулевых столбцов не является линейным подпространством, так как при умножении на нуль получается нулевой столбец, который не принадлежит рассматриваемому множеству. Примеры других подпространств приводятся в следующем пункте.
4. Пространство решений однородной системы уравнений с неизвестными является подпространством n-мерного арифметического пространства . Размерность этого подпространства определяется матрицей системы: .
Множество решений неоднородной системы (при ) не является подпространством , так как сумма двух решений неоднородной ; системы не будет решением той же системы.
5. В пространстве квадратных матриц порядка л рассмотрим два подмножества: множество симметрических матриц и множество кососимметрических матриц. Сумма симметрических матриц является симметрической матрицей, т.е. операция сложения замкнута в . Умножение симметрической матрицы на число также не нарушает симметричность, т.е. операция умножения матрицы на число замкнута в . Следовательно, множество симметрических матриц является под пространством пространства квадратных матриц, т.е. . Нетрудно найти размерность этого подпространства. Стандартный базис образуют : л матриц с единственным ненулевым (равным единице) элементом на глав ной диагонали: , а также матрицы с двумя ненулевыми (равными единице) элементами, симметричными относительно главной диагонали: . Всего в базисе будет матриц. Следовательно, . Аналогично получаем, что и .
Множество вырожденных квадратных матриц n-го порядка не является подпространством , так как сумма двух вырожденных матриц может оказаться невырожденной матрицей, например, в пространстве
6. В пространстве многочленов с действительными коэффициентами можно указать естественную цепочку подпространств
Множество четных многочленов является линейным подпространством , так как сумма четных многочленов и произведение четно го многочлена на число будут четными многочленами. Множество нечетных многочленов также является линейным пространством. Множество многочленов, имеющих действительные корни, не является линейным подпространством, так как при сложении таких двух многочленов может получиться многочлен, который не имеет действительных корней, например, .
7. В пространстве можно указать естественную цепочку подпространств:
Многочлены из можно рассматривать как функции, определенные на . Так как многочлен является непрерывной функцией вместе со своими производными любого порядка, можно записать: и . Пространство тригонометрических двучленов является подпространством , так как производные любого порядка функции непрерывны, т.е. . Множество непрерывных периодических функций не является подпространством , так как сумма двух периодических функций может оказаться непериодической функцией, например, .
Вводом новой системы координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному каноническому виду (см. таблицу). Параметры канонических уравнений весьма просто выражаются через инварианты и корни характеристического уравнения (см. выше раздел «Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение»).
|
Вид кривой |
Каноническое уравнение |
Инварианты |
|
Невырожденные кривые () |
||
|
Эллипс |
||
|
Гипербола |
||
|
Парабола |
||
|
Вырожденные кривые () |
||
|
Точка |
||
|
Две пересекающиеся прямые |
||
|
Две параллельные прямые |
||
|
Одна прямая |
Для центральной кривой в каноническом виде её центр находится в начале координат.
Коническая поверхность.
Основная статья: Коническая поверхность
Поверхность называется конической поверхностью с вершиной в точке , если для любой точки этой поверхности прямая, проходящая через и , целиком принадлежит этой поверхности.
Функция называется однородной порядка , если выполняется следующее:
Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность задана уравнением , где — однородная функция, то — коническая поверхность с вершиной в начале координат.
Если поверхность задана функцией , являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то называется конической поверхностью второго порядка.
23. Теорема 1. (Теорема Ролля) Пусть функция f(x)
Тогда существует точка c О (a, b) такая, что f'(c) = 0.
Теорема 2. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x)
Тогда существует точка с О (a, b) такая, что
|
f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a) . |
(1) |
Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений
Теорема 3. (Теорема Коши) Пусть функции f(x) и g(x)
Тогда существует точка c О (a, b) такая, что
|
=
. |
(3) |
Формула (3) называется формулой Коши.