Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
13. Условный экстремум. Функция Лагранжа. Необходимые и достаточные условия экстремума. Нахождение наибольших и наименьших значений функции многих переменных.
Рассмотрим вопрос об экстремуме функции при условии, что и связаны соотношением . Эта задача называется задачей на условный экстремум. Геометрически это означает, что мы сравниваем между собой значения функции не на всех точках области определения функции, а лишь в тех, которые лежат на кривой, определяемой уравнением .
Предположим, что уравнение определяет некоторую функцию , заданную неявно. Подставим ее в функцию , получим .
Найдем теперь экстремум функции .
-необходимое условие экстремума.
Производная неявной функции .
Тогда необходимое условие примет вид или .
Обозначим это соотношение через , получим, что в точке экстремума должны выполняться условия и (1).
Величину называю множителем Лагранжа. Введем в рассмотрение функцию Лагранжа. . Тогда условия (1) можно записать так
А это необходимые условия безусловного экстремума функции .
Таким образом исходная задача на условный экстремум заменена эквивалентной задачей на безусловный экстремум для функции Лагранжа исходной задачи. Из уравнений (3) находят стационарные точки .
Перейдем теперь к общему случаю. Будем искать локальный экстремум функции при условии, что .
Предположи, что задача (5), (6) имеет локальный экстремум в точке , и что функции ограничений (6) удовлетворяют условию Якоби, т.е. в точке ранг матрицы Якоби, матрицы частных производных функций ограничений, совпадает с числом строк матрицы
Рассуждая так же, как в случае функции двух переменных ,получим необходимые условия которым должны удовлетворять координаты точки . Эти условия можно получить используя функцию Лагранжа.
Построим функцию Лагранжа для (5),(6).
.
Эта функция зависит от переменных. В точке экстремума все ее частные производные должны равняться нулю.
.
Вопрос о нахождении стационарных точек функции (5) при наличии связей (6) свелся к решению системы (9), (10).
Точки локального условного экстремума находятся среди стационарных точек. Выяснение вопроса о том, будет ли на самом деле стационарная точка точкой условного экстремума, требует исследование знака , если функции идважды непрерывно дифференцируемы. При выяснении знака нужно учитывать, что дифференциалы удовлетворяют уравнениям .
Алгоритм решения задачи (5),(6).
Пример. Найти экстремум функции при условии
Составим функцию Лагранжа .
Найдем стационарные точки .
Решая эту систему находим .
Исследуем в стационарной точке второй дифференциал функции Лагранжа
.
исвязаны соотношением .
Исследуем в стационарной точке
при условии .
Значит функция имеет в точке локальный максимум 2.
Нахождение наибольших и наименьших значений функции.
Пусть задана непрерывно дифференцируемая функция на множестве . замкнутая и ограниченная область(компактная). Тогда достигает максимума или минимума в некоторых точках . Эти точки могут быть внутренними и граничными. Если точка внутренняя, то функция имеет в ней локальный экстремум. Поэтому, чтобы найти наибольшее(наименьшее) значение функции, необходимо найти все стационарные точки, вычислить значения функции в этих точках и сравнить их со значениями функции на границе .