Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РЫБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П.А.СОЛОВЬЁВА»
Факультет заочного обучения
Кафедра «Экономика, менеджмент и экономические
информационные системы»
Контрольная работа
По дисциплине: «Математические методы анализа экономики»
Вариант №2
Выполнил(а) Соколова И.В.
Студент(ка)гр. ЗЭП-11, II курса
Преподаватель Камакина О.В.
Оценка_____________________
Подпись преподавателя_______
Дата________________________
Рыбинск 2012г.
СОДЕРЖАНИЕ:
стр.
1. Задание………………………………………………………………3
2. Решение……………………………………………………………..4
3. Список литературы…………………………………………………14
Задание.
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого продукта приведены в таблице.
|
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
|||
|
А |
Б |
В |
Г |
||
|
I |
1 |
0 |
2 |
1 |
120 |
|
II |
0 |
1 |
3 |
2 |
240 |
|
III |
4 |
2 |
0 |
4 |
800 |
|
Цена изделия |
9 |
6 |
4 |
7 |
|
Сформулируйте прямую оптимизационную задачу на максимум общей стоимости, укажите оптимальную производственную программу.
Сформулируйте двойственную задачу. Найдите объективно обусловленные оценки.
Проанализируйте использование ресурсов в оптимальном плане.
Определите, как изменяется общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья II и III на 120 и 160 единиц, соответственно, и одновременном уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида.
Определите целесообразность включения в план изделия «Д» ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Решение.
На некотором предприятии изготавливают 4 вида изделия (А,Б,В,Г). Цена изделия А=9ед., Б=6ед., В=4ед., Г=7ед. Для изготовления изделий используется 3 вида сырья (I, II, III), максимально возможные суточные запасы которых составляют I – 120ед, II – 240ед, III – 800ед. Расходы сырья на изготовление каждого вида изделий приведены в таблице:
|
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
|||
|
А |
Б |
В |
Г |
||
|
I |
1 |
0 |
2 |
1 |
120 |
|
II |
0 |
1 |
3 |
2 |
240 |
|
III |
4 |
2 |
0 |
4 |
800 |
|
Цена изделия |
9 |
6 |
4 |
7 |
|
Определить план выпуска изделий, обеспечивающий получение оптимального дохода при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов.
Критерием, по которому определяется степень достижения поставленной цели, является доход от продажи изделий, который должен быть максимально возможным. На этом основании целевую функцию можно записать таким образом:
f(x) = 9x1+6x2+4x3+7x4 →max
Решение задачи осуществляется в рамках ограниченных ресурсов. В данном случае нужно учесть ограничения на расход сырья. Математически это можно записать так:
х1+2х3+х4 ≤ 120;
х2+3х3+2х4 ≤ 240;
4х1+2х2+4х4 ≤ 800;
хi ≥ 0.
Приводим к каноническому виду: т.к., функция стремиться к максимуму, то приравниваем неравенства и вводим переменные.
f(x) = 9x1+6x2+4x3+7x4 +0х5+0х6+0х7 →max
х1+2х3+х4 +х5 = 120;
х2+3х3+2х4 +х6 = 240;
4х1+2х2+4х4 +х7 = 800;
хi ≥ 0.
Полученная модель является задачей линейного программирования, так как все входящие в нее функции линейны. Решение задачи такого класса возможно с использованием алгебраического симплексного метода.
Симплексный метод — это итеративный процесс направленного решения системы уравнений по шагам, который начинается с опорного решения и в поисках лучшего варианта движется по угловым точкам области допустимого решения, улучшающих значение целевой функции до тех пор, пока целевая функция не достигнет оптимального значения.
|
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
||||||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
||||
|
х5 |
1 |
0 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
120 |
120:1=120 |
min |
|
х6 |
0 |
1 |
3 |
2 |
0 |
1 |
0 |
240 |
||
|
х7 |
4 |
2 |
0 |
4 |
0 |
0 |
1 |
800 |
800:4=200 |
|
|
f(x) |
9 |
6 |
4 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
max |
Решая симплекс-таблицу, воспользуемся правилами расчета:
Если все переменные cj ≤ 0, то оптимальное решение найдено. Если нет, то значение целевой функции можно улучшить.
Выбираем разрешающий столбец, где cj – max.
Если в разрешающем столбце коэффициенты ≤0, то функция неограничена и решений нет. Если >0, то выбираем разрешающую строку.
Для выбора разрешающей строки рассчитываем отношение min эта строка и будет разрешающей.
Осуществляем пересчет таблицы.
|
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
||||||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
||||
|
х1 |
1 |
0 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
120 |
||
|
х6 |
0 |
1 |
3 |
2 |
0 |
1 |
0 |
240 |
240:1=240 |
|
|
х7 |
4-4*1=0 |
2-4*0=2 |
0-4*2=-8 |
4-4*1=0 |
0-4*1= -4 |
0-4*0=0 |
1-4*0=1 |
800-4*120 =320 |
320:2=160 |
min |
|
f(x) |
9-9*1=0 |
6-9*0=6 |
4-9*2=-14 |
7-9*1=-2 |
0-9*1= -9 |
0-9*0=0 |
0-9*0=0 |
0-9*120= -1080 |
||
|
max |
Решение не оптимально. Пересчитываем.
|
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
||||||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
||||
|
х1 |
1 |
0 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
120 |
120:2=60 |
|
|
х6 |
0 |
0 |
7 |
2 |
2 |
1 |
-1/2 |
80 |
80:7=11 3/7 |
min |
|
х2 |
0 |
1 |
-4 |
0 |
-2 |
0 |
1/2 |
160 |
||
|
f(x) |
0-6*0 =0 |
6-6*1 =0 |
-14-6*(-4) =10 |
-2-6*0 =-2 |
-9-6*(-2) =3 |
0-6*0 =0 |
0-6*1/2 =-3 |
-1080-6*160= -2040 |
||
|
max |
|
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
||||||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
||||
|
х1 |
1 |
0 |
0 |
3/7 |
3/7 |
-2/7 |
1/7 |
680/7 |
680/7 : 3/7 = 226 2/3 |
|
|
х3 |
0 |
0 |
1 |
2/7 |
2/7 |
1/7 |
-1/14 |
80/7 |
80/7 :2/7 = 40 |
min |
|
х2 |
0 |
1 |
0 |
8/7 |
-6/7 |
4/7 |
3/14 |
1440/7 |
||
|
f(x) |
0 |
0 |
0 |
-34/7 |
1/7 |
-10/7 |
-32/14 |
-15080/7 |
||
|
max |
|
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
||||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
||
|
х1 |
1 |
0 |
-3/2 |
0 |
0 |
-1/2 |
1/4 |
80 |
|
х5 |
0 |
0 |
7/2 |
1 |
1 |
1/2 |
-1/4 |
40 |
|
х2 |
0 |
1 |
3 |
2 |
10/7 |
1 |
0 |
240 |
|
f(x) |
0 |
0 |
-1/7 |
-240/49 |
0 |
-21/14 |
-33/28 |
-2160 |
Все значения cj ≤ 0, значит найдено оптимальное решение.
Оптимальный план имеет вид:
х1 = 80;
х2 = 240;
f(x) = 2160.
х3,х4 =0.
Вывод: Оптимальный план предусматривает выпуск продукции А-80ед, выпуск продукции Б-240ед. Продукции В и Г в оптимальный план производства не вошли. Максимально возможная прибыль при таком производстве составит 2160ед.
Организация заинтересована в том, чтобы затраты на все ресурсы в количествах 120, 240, 800 по ценам соответственно у1, у2, у3, были минимальными, т.е.
Z(у)=120y1+240y2+800y3 → min
При этом полученная цена изделия была не меньше той суммы, которую предприятие может получить при переработке ресурсов в готовую продукцию (по цене соответственно у1, у2, у3), т.е.
у1+4у3 ≥9;
у2+2у3 ≥6;
2у1+3у2 ≥ 4;
у1+2у2+4у3 ≥7;
уi ≥0.
Приводим к каноническому виду: приравниваем неравенства и вводим переменные.
Z(у)=120y1+240y2+800y3+0у4+0у5+0у6+0у7;
у1+4у3-у4=9;
у2+2у3-у5=6;
2у1+3у2 -у6=4;
у1+2у2+4у3 -у7=7;
Так как в системе появились значения со знаком «-», мы будем решать задачу с применением Метода больших штрафов. Введём в каждое из этих уравнений по одной из искусственных переменных R1, R2, R3 и R4. За использование этих переменных в составе целевой функции можно ввести штраф, приписывая им достаточно большой положительный коэффициент «М». Получаем целевую функцию следующего вида:
Z(y) =120y1+240y2+800y3+MR1+MR2+MR3+MR4 →min
y1+4y3-y4+R1=9
y2+2y3-y5+R2=6
2y1+3y2-y6+R3=4
y1+2y2+4y3-y7+R4=7
Из полученных равенств выделим искусственные переменные:
R1= 9-y1-4y3+y4
R2 = 6-y2-2y3+y5
R3 = 4-2y1-3y2+y6
R4 = 7-y1-2y2-4y3+y7
Подставив в целевую функцию полученные из соответствующих ограничений выражения для искусственных переменных получаем:
Z(y) = 120y1+240y2+800y3+M*(9-y1-4y3+y4)+M*(6-y2-2y3+y5)+M*(4-2y1-3y2+y6)+M*(7-y1-2y2-4y3+y7)=120y1+240y2+800y3+9M-My1-4My3+My4+6M-My2-2My3+My5+4M-2My1-3My2+My6+7M-My1-2My2-4My3+My7 = (120-4M)y1+(240-6M)y2+(800-10M)y3+My4+My5+My6+My7+26M
Z(y) = (120-4M)y1+(240-6M)y2+(800-10M)y3+My4+My5+My6+My7+26M→ min
Составим симплекс-таблицу.
Рассчитаем её по правилам расчета симплекс-таблиц. Ведущий столбец определяем по коэффициенту при «М» со знаком «-». Расчет производиться до тех пор, пока все коэффициенты при М не станут положительными либо достаточно низкими значениями.
Оптимальному решению соответствует точка:
у1=4/3
у2=7/8
Z= 2186 .
Вывод: Минимальные затраты на сырье составят 2186 2/3ед. при цене у1=4/3ед. и у2=7/8ед., цена у3 не влияет на затраты.
По найденному оптимальному плану задачи видим, что у организации остаются свободными 40ед I типа сырья, II и III типы сырья расходуются полностью.
Согласно условиям задачи (увеличение запасов сырья II и III на 120 и 160 единиц, соответственно, и одновременное уменьшение на 60 единиц запасов сырья I вида) изменяем запасы сырья в симплекс-таблице и решаем.
|
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
||||||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
||||
|
х5 |
1 |
0 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
60 |
60:1=60 |
min |
|
х6 |
0 |
1 |
3 |
2 |
0 |
1 |
0 |
360 |
||
|
х7 |
4 |
2 |
0 |
4 |
0 |
0 |
1 |
960 |
960:4=240 |
|
|
f(x) |
9 |
6 |
4 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
max |
|
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
|||||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
|||
|
х1 |
1 |
0 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
60 |
|
|
х6 |
0 |
1 |
3 |
2 |
0 |
1 |
0 |
360 |
360:1=360 |
|
х7 |
0 |
2 |
-8 |
0 |
-4 |
0 |
1 |
720 |
720:2=360 |
|
f(x) |
0 |
6 |
-14 |
-2 |
-9 |
0 |
0 |
-540 |
|
|
max |
Так как получились две строки с одинаковым минимумом, мы выбираем любую и производим далее перерасчет симплекс-таблицы. Я выбрала строку «х6».
|
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
||||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
||
|
х1 |
1 |
0 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
60 |
|
х2 |
0 |
1 |
3 |
2 |
0 |
1 |
0 |
360 |
|
х7 |
0 |
0 |
-14 |
-4 |
-4 |
-2 |
1 |
0 |
|
f(x) |
0 |
0 |
-32 |
-14 |
-9 |
-6 |
0 |
-2700 |
Все значения cj ≤ 0, значит найдено оптимальное решение.
Оптимальный план имеет вид:
х1 = 60;
х2 = 360;
f(х) = 2700;
х3, х4 =0.
Вывод: Оптимальный план предусматривает выпуск продукции А-60ед, выпуск продукции Б-360ед. Продукции В и Г в оптимальный план производства не вошли. Сырье тратиться в полном объеме. Максимально возможная прибыль при таком производстве составит 2700ед.
Добавляем в план изделие «Д» ценой 12ед на изготовление которого расходуется по 2 ед. каждого вида сырья.
Целевая функция примет следующий вид:
f(x) = 9x1+6x2+4x3+7x4+12х5 →max
х1+2х3+х4+2х5 ≤ 120;
х2+3х3+2х4+2х5 ≤ 240;
4х1+2х2+4х4+2х5 ≤ 800;
хi ≥ 0.
Вводим переменные и составляем симплекс-таблицу.
f(x) = 9x1+6x2+4x3+7x4+12х5+0х6+0х7+0х8
х1+2х3+х4+2х5 +х6=120;
х2+3х3+2х4+2х5+х7= 240;
4х1+2х2+4х4+2х5+х8= 800;
хi ≥ 0.
|
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
|||||||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
х8 |
||||
|
х6 |
1 |
0 |
2 |
1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
120 |
120:2=60 min |
|
|
х7 |
0 |
1 |
3 |
2 |
2 |
0 |
1 |
0 |
240 |
240:2=120 |
|
|
х8 |
4 |
2 |
0 |
4 |
2 |
0 |
0 |
1 |
800 |
800:2=400 |
|
|
f(x) |
9 |
6 |
4 |
7 |
12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
max |
Просчитываем симплекс-таблицу для определения целесообразности.
|
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
|||||||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
х8 |
||||
|
х5 |
1/2 |
0 |
1 |
1/2 |
1 |
1/2 |
0 |
0 |
60 |
||
|
х7 |
-1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
120 |
120:1=120 min |
|
|
х8 |
3 |
2 |
-2 |
3 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
680 |
680:2=340 |
|
|
f(x) |
3 |
6 |
-8 |
1 |
0 |
-6 |
0 |
0 |
-720 |
||
|
max |
|
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
|||||||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
х8 |
||||
|
х5 |
1/2 |
0 |
1 |
1/2 |
1 |
1/2 |
0 |
0 |
60 |
60:1/2=120 |
|
|
х2 |
-1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
120 |
||
|
х8 |
5 |
0 |
-4 |
1 |
0 |
1 |
-2 |
1 |
440 |
440:5=88 |
min |
|
f(x) |
9 |
0 |
-14 |
-6 |
0 |
0 |
-6 |
0 |
-1440 |
||
|
max |
|
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
|||||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
х8 |
||
|
х5 |
0 |
0 |
14/10 |
4/10 |
1 |
4/10 |
2/10 |
-1/10 |
16 |
|
х2 |
0 |
1 |
1/5 |
6/5 |
0 |
-6/5 |
3/5 |
1/5 |
208 |
|
х1 |
1 |
0 |
-4/5 |
1/5 |
0 |
1/5 |
-2/5 |
1/5 |
88 |
|
f(x) |
0 |
0 |
-34/5 |
-39/5 |
0 |
-9/5 |
12/5 |
9/5 |
-2232 |
Все значения cj ≤ 0, значит найдено оптимальное решение.
Оптимальный план имеет вид:
х1=88;
х2=208;
х5=16;
f(x)=2232.
Вывод: Следовательно, включение в план изделия «Д» приведет к увеличению прибыли на 72ед, но при этом увеличиться производство изделия «А» на 8ед., сократиться производство изделия «Б» на 32ед и будет производиться изделие «Д» в количестве 16ед. Ресурсы всех трех видов будут использованы в полном объеме. Включение в план изделия «Д» экономически выгодно.
Список литературы:
Кузнецов Б.Т. Математические методы и модели исследования операций.-М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2005.-390с.
Таха Х. Введение в исследование операций: в 2-х книгах. М.:Мир, 1985.
Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. 2-е изд. М.:Финансы и статистика, 2005. – 616с.
Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. Пособие для вузов. -2-е изд. М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2005. -287с.