Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ
СХІДНОУКРАЇНСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
імені ВОЛОДИМИРА ДАЛЯ
СЄВЄРОДОНЕЦЬКИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ІНСТИТУТ
Кафедра вищої та прикладної математики
Самойлов С.М.
ІНСТРУКТИВНО-МЕТОДИЧНІ МАТЕРІАЛИ
ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ
навчально-методичного комплексу дистанційного курсу дисципліни
“ВИЩА МАТЕМАТИКА”
(для студентів напряму 0910 “Електронні апарати”)
Модуль 3
Функції багатьох змінних.
Інтегрування функцій однієї та
багатьох змінних.
Модуль 4
Звичайні диференціальні рівняння.
Ряди.
ЗАТВЕРДЖЕНО
на засіданні кафедри
вищої математики.
Протокол № від 2005 р.
Сєвєродонецьк 2004
Інструктивно-методичні матеріали до практичних занять навчально-методичного комплексу дистанційного курсу дисципліни “Вища математика” (для студентів напряму 0910 “Електронні апарати”). Модулі 3, 4/ Укл. С.М.Самойлов. - Сєвєродонецьк: Вид. СТІ, 2005.- 23с.
Укладено на основі програми математичних дисциплін для інженерно- технічних спеціальностей вищих навчальних закладів.
Укладач С.М.Самойлов, доц.
Відповідальна за випуск О.В.Поркуян, доц.
Рецензент М.І.Хіль, доц.
|
[1] Знайдемо частиннi похiднi [2] ЛІТЕРАТУРА |
МОДУЛЬ 3
Заняття 22
Розділ 8. Функції багатьох змінних (ФБЗ).
Тема 8.1. Границі ФБЗ в точці. Неперервність ФБЗ.
Дослідження границь ФБЗ в точках, дослідження на неперервність.
Тема 8.2. Частинні похідні. Диференціал, лінеаризація ФБЗ. Диференціювання складних та неявних ФБЗ. Інваріантність форми диференціала.
ВПРАВИ
A(2,98,4,03), замiнiючи прирicт цiєї функцiї її дифе-
ренцiалом.
Розв`язання:
Вiзьмемо x0 = 3; y0=4;
Обчислимо: z(x0 ,y0)=
Знайдемо:
Обчислимо частиннi похiднi в точцi A0(3,4):
Розв’язання. а) Точне значення функції в точці В:
z(2,01;2,98) = 2,012- 2,982 + 52,98 + 42,01 = 18,0997.
Наближене значення z в точці В обчислюємо по формулі
, де
,
,
,
.
Тоді
наближене значення функції.
Похибка: .
2. Знайти частинні похідні функції . .
Розв'язання.
=
=.
-
Відповідь: ; .
Заняття 23
Тема 8.3. Частинні похідні та диференціали вищих порядків. Теорема про рівність мішаних похідних.
Тема 8.4. Похідна ФБЗ в заданому напрямі, градієнт ФБЗ.
ВПРАВИ
а) похідну функції F(x,y,z) в точці С в напрямі точки D;
б) рівняння дотичної площини та нормалі в точці С до поверхні F(x,y,z)=0.
Розв’язання.
Градиєнт функции F в точці С має координати:
а) Похідна в точці С в напрямі точки D обчислюється за формулою
, де- одиничний вектор напряму , – скалярний добуток векторів.
==.
; .
-відповідь
б) Дотична площина до поверхні F(x,y,z)=0 в точці (х0,у0,z0) має рівняння
А(х-х0 )+В(у-у0)+С(z-z0) = 0, де
В точці С або .
Канонічне рівняння нормалі :
або .
малi до поверхнi: x2 +y2+z2=14 в точцi М(2,1,3).
Розв`язання
Тут: F(x,y,z)=x2+y2+z2-14.
Знайдемо
Обчислимо значення частинних похiдних в точцi
M(2,1,3)
Рiвняння дотичної площини
Пiдставляючи значення похiдних, маємо:
4(x-2)+2(y-1)+6(z-3)=0;
4x-8+2y-2+6z-18=0
4x+2y+6z-28=0, або 2x+y+3z-14=0.
Рiвняння нормалi до поверхнi:
Пiдставляючи значення похiдних:
або
Вiдповiдь: 2х+y+3-14=0;
малi до поверхнi z=5x2+3xy+y2 в точцi М0(1,2,8).
Розв`язання.
Знайдемо частиннi похiднi.
Обчислимо частиннi похiднi в точцi М0(1,2,8).
Рiвняння дотичної площини
Пiдставляючи значення похiдних, одержимо:
z-8=22(x-1)+7(y-2); z-8=22x-22+7y-14;
22x+7y-z-28=0.
Рiвняння нормалi до поверхнi має вигляд:
Пiдставляючи значення похiдних маємо рiвняння
нормалi:
Вiдповiдь: 22x+7y-z-28=0;
A(3,5) в напрямку до точки В(4,0).
Розв`язання.
Обчислимо частиннi похiднi в точцi A(3,5):
Знайдемо вектор
Обчислимо його направляючi косинуси:
Шукана похiдна за напрямком:
Вiдповiдь:
Розв`язання.
Знайдемо частиннi похiднi поля:
Обчислимо значення частинних похiдних в точці
A(2,3,1):
Градiєнт поля має вигляд:
grad UA=
Пiдставляючи значення частинних похiдних маємо:
grad UA=
Вiдповiдь: grad UA=
А(2,1) i B(3,1).
Розв`язання.
Знайдемо частиннi похiднi:
Обчислимо значення частинних похiдних в точках
А и В.
Знаходимо градiєнти поля в точках А и В:
Знаходимо косiнус кута мiж градiєентами:
Z=5x2-2xy+y2 в точцi A(1,2).
Розв’язання.
Скалярне поле буде мати вигляд:
Ф(х,y,z)=5x2-2xy+y2-z=0
Знайдемо частиннi похiднi:
Обчислимо їх в точцi A(1,2)
Знаходимо градiєнт поля Ф(х,y,z):
Пiдставляючи значення одержимо
grad Ф=
Знаходимо модуль градiєнта
Шуканий одиничний вектор нормалi:
Заняття 24
Тема 8.5. Екстремум ФБЗ.
ВПРАВИ
Розв'язання. Стаціонарні точки функції z(x,y):
C(-2; 2,5 )
Використовуючи достатню умову екстремума, визначаємо, чи є вона точкою екстремуму:
,
- визначник від’ємний, екстремуму функція z(x,y) не має.
Z=3x2+3y2-2x-2y+2 в трикутнику, обмеженому прямими
x=0; y=0; x+y-1=0.
Розв`язання.
Знайдемо стацiонарнi точки цiєї функцiї , для чого
знайдемо частиннi похiднi:
Прирiвнюємо їx до нуля: 6x-2=0;
6y-2=0;
Ця точка лежить в трикутнику.
Обчислимо значення функцiї в цiй точцi:
Дослiдимо функцiю на границях областi (cторонах три-
кутника).
На прямiй x=0 вираз для функцiї буде: z=3y2-2y+2.
Знаходимо
Ця точка лежить на сторонi трикутника i знаходимо зна-
чення функцiї
На прямiй y=0 вираз для функцiї буде:
z=3x2-2x+2.
Ця точка лежить на сторoнi трикутника, знаходимо
значення функцiї:
На прямiй x+y-1=0; y=1-x i вираз для функцiї буде:
z=3x2+3(1-x)2-2x-2(1-x)+2=3x2+3-6x+3x2-2x-2+2x+2=
= 6x2-6x+3.
Знаходимо
Точка лежить на сторонi трикутника, обчислимо
значення функцiї в цiй точцi:
Вершинами областi являються точки(0;0);(0;1);(1;0).
Обчислимо значення функцiї в вершинах областi:
z(0,0) = 2; z(0;1)=3 . 0+3 . 12-2 . 0 –2 . 1+2=3.
z(1;0)=3.12+3.0-2.1-2.0+2=3.
Отже, найменше значення функцiя приймає в точцi
найбiльше значення в двох точках
z(0,1)=z(1,0)=3.
Вiдповiдь: найменше
Найбiльше
Заняття 25-26
Розділ 9. Невизначені інтеграли.
Тема 9.1. Первісна. Невизначений інтеграл. Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала, підстановками та частинами.
ВПРАВИ
а) .
Рішення.
=
.
Відповідь: .
б) .
Розв'язання.
= =
с =
.
Відповідь: .
Заняття 27
Тема 9.2. Інтегрування раціональних дробів.
ВПРАВИ
1. .
Розв'язання.Представимо підінтегральну функцію у вигляді суми найпростіших раціональних дробів:
(1).
Домножимо обидві частини рівності (1) на :
або , .
Дорівняємо коефіцієнти при однакових ступенях x:
Одержали систему лінійних рівнянь. Розв'язавши її, одержимо ; ; .
Підставимо знайдені значення коефіцієнтів A, B и C в (1):
або
.
Тоді
= =
.
Відповідь: .
Заняття 28-29
Тема 9.3. Інтегрування методом раціоналізації ірраціональних алгебраїчних функцій, раціональних тригонометричних функцій.
ВПРАВИ
1. .
Розв'язання.= = ==.
Відповідь: .
2. .
Розв'язання. ==| Виділимо у знаменнику повний квадрат:
=.
Відповідь: .
Заняття 30
Розділ 10. Визначені інтеграли.
Тема 10.1 Інтегральна сума, визначений інтеграл. Задачі, що приводять до визначеного інтеграла. Формула Ньютона – Лейбниця.
Тема 10.2. Заміна змінної у визначеному інтегралі.
ВПРАВИ
а) .
Розв'язання. =.
Відповідь: .
б) .
Розв'язання. ===.
Відповідь: .
Заняття 31
Інтеграл від парних та непарних функцій по симетричному відрізку. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.
ВПРАВИ.
1. Обчислити визначений інтеграл .
Розв’язання. Інтеграл обчислюється за формулою Ньютона-Лейбниця з використанням універсальної тригонометричної підстановки:
==
= = = =
= = = =
=.
Відповідь: =.
Заняття 32-33
Тема 10.3 Геометричні застосування визначених інтегралів.
ВПРАВИ
Розв'язання. Перше рівняння є рівняння параболи. Друге рівняння задає на площині пряму. Знайдемо точки перетинання цих ліній:
З другого рівняння .
Тоді
;
.
; .
Зробимо креслення .
=
.
Відповідь: кв. од.
Розв'язання.
.
Відповідь: 40 лін. од.
Заняття 34-35
Тема 10.4. Невластиві інтеграли по нескінченних проміжках. Невластиві інтеграли від функцій з особливостями в точках відрізку інтегрування. Умови збіжності.
ВПРАВИ
а) .
Розв'язання. =.
Даний невласний інтеграл збігається.
Відповідь: .
б) .
Розв'язання. Підінтегральна функція має незкінчений розрив в точці x = 1. Ця точка лежить усередині відрізка інтегрування [-1; 2]. Тому
.
Даний невласний інтеграл збігається.
Відповідь: .
Розв’язання. Підінтегральна функція необмежена в околах точок х=2, х=6. Точка х=6 належить проміжку інтегрування. Даний інтеграл невластивий з двома особливостями: нескінченною границею і особливою точкою. Розбиваємо його на два інтеграла, кожний з яких має одну особливість:
= + .
Знайдемо первісну підінтегральної функції:
===
==.
==
=
==- інтеграл розбіжний. Відповідь: даний інтеграл розбіжний.
Заняття 36
11 Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли.
Тема 11.1 Задачі, що приводять до кратних інтегралів. Обчислення кратних інтегралів по клітинах та по правильних областях.
де D – область, обмежена параболами: y=x2 i y2=x.
Розв`язання. Побудуємо область iнтегрування:
Для знаходження координат точек перетину
розв`яжемо систему рiвнянь:
Обчислимо iнтеграл, виконавши внутрiшнє
iнтегрування по y, а зовнiшнє по х.
dxdy = dy = [x2y+y2/2]
обмежена площинами x=0,y=0,x+y+z=1.
Розв`язання.
Побудуємо область iнтегрування.
Область обмежена зверху площиною
z=1-х-y, а знизу площиною z=0.
Проекцiєю на площину xoy служить
трикутник, створений прямими
x=0, y=0, y=1-x.
=
Розв`язання.
Область iнтегрування обмежена лiнiями y=0,y=4,x=0,
x=
Замiнимо порядок iнтегрувння,
для чого область D розiб`ємо на
двi областi D1 i D2. Область D1
обмежена лiнiями: x=0,x=3,y=0,
y=4. Область Д2 обмежена лiнiя-
ми: x=3,x=5.y=0,x=25-x2.
Тодi:
Заняття 37
Тема 11.2 Заміна змінних у кратних інтегралах.
Перехід від декартових координат до полярних, циліндричних та сферичних координат.
ВПРАВИ.
1. Попередньо звівши до подвійного інтегралу, обчислити потрійний інтеграл від функції f(x,y,z) по області , обмеженої координатними площинами xoy, xoz і вказаними поверхнями. Накреслити область .
f(x,y,z) = y, y =15x, x =1, z = xy
Розв’язання. Рисуємо область :
y =15x- площина, яка містить вісь OZ,
x =1- площина ортогональна вісі ОХ,
z = xy- поверхня, яка містить вісі ОХ, ОУ
Проекція області на площину
ХОУ – це трикутна область Dz.
Використовуємо формулу обчислення потрійного інтегралу для області правильної в напрямі вісі ОZ і визначеної умовами : (x,y) Dz , , де Dz визначається так: х[0;1], 0y15x.
=225.
Заняття 38
Тема 11.3. Застосування кратних інтегралів.
Обчислення площ пласких фігур та регулярних поверхонь, об`ємів, мас і т. ін.
ВПРАВИ
(x2+y2)5=a6x3y, a>0.
Розв`язання.
Перетворимо дане рiвняння дополярних координат,
застосовуючи формули переходу x=
Побудуємо область обмежену данною лiнiєю.
З рисунку видно, що
достатньо обчислити
площу фiгури, що зна-
ходиться в перший чвер-
тi, та одержаний резуль-
тат подвоїти.
Застосовуючи формулу
обчислення площi плоскої
фiгури в полярной системi координат маємо:
y=x2,y=1,z=0,x+y+z=4.
Розв`язання.
Данне тiло представляє вертикальний цiлiндр, зверху
обмежений частиною площини z=4-x-y, знизу частиною
площини XOY, що знаходиться мiж параболою y=x2 i
прямою y=1.
Границi iнтегрування:
Обчислимо об`єм цього тiла за допомогою потрiйного
iнтегралу:
Заняття 39
Тема 11.4. Криволінійні інтеграли 1-го та 2-го роду, їх властивості та обчислення, застосування .
Обчислення довжини, маси і т. ін. регулярної кривої, площі пласкої однозв'язної області. Визначення незалежності інтегралу 2-го роду від шляху інтегрування. Відшукування функцій по їх диференціалах. Застосування теореми Гріна.
ВПРАВИ.
а) Криволінійний інтеграл І роду
б) Криволінійний інтеграл ІІ роду вздовж L в напрямі зростання параметра t безпосередньо і за формулою Гріна.
R =, g(x,y) = 2y-x, P = x2, Q = y-x .
Розв’язання. а) Використовуємо формулу обчислення криволі-нійного інтеграла І роду: .
= - це відповідь.
б) Використовуємо формулу обчислення криволінійного інтеграла ІІ роду:
.
Використовуємо формулу Гріна:
.
Область D обмежена контуром L.
,
цей інтеграл визначає площу області D, площу круга радіуса і дорівнює . Відповідь: даний інтеграл дорівнює -3.
де l - пiвколо вiд t1=0 до t2=
Розв`язання.
Визначаємо диференцiали dx=-asintdt, dy=acostdt.
Пiдставивши в даний iнтеграл значення змiнних
x,y та їх диференцiали одержимо:
МОДУЛЬ 4.
Розділ 12. Звичайні диференціальні рівняння.
Заняття 40-41
Тема 12.2. ЗДР 1-го порядку в несиметричній та симетричній формах: з відокремленими та з відокремлюваними змінними, однорідні , лінійні та Бернуллі. ЗДР у повних диференціалах. Задача Коші.
ВПРАВИ.
а) Знайти загальний розв’язок,
Розв’язання. Дане рівняння- рівняння з відокремлюваними змінними.
Відокремлення змінних: змінні відокремлені.
Інтегрування: - загальний розв’язок, с- довільна стала.
Спрощення: де
Відповідь:
б) Знайти загальний розв’язок,
Розв’язання. Дане рівняння однорідне. Дійсно, після приведення його до вигляду праворуч однорідна функція степені нуль:
Введення нової невідомої функції z(x): - це рівняння з відокремлюваними змінними.
це рівняння еквівалентне вихідному при , , - це загальний розвязок.
Перевірка можливих загублених через використані обмеження розв’язків: z=0 , y=0 - точки (х;0) не входять в область означення рівняння; z=e, y=xe - підстановка у вихідне рівняння дає тотожність хе=хе, це означає, що у=хе - додатковий розв’язок.
Розв’язок рівняння: .
Можна об’єднати обидві функції: - це відповідь.
в) Знайти частинний розв’язок рівняння з початковою умовою у(1)=4.
Розв’язання. Дане рівняння-однорідне в симетричній формі. Дійсно функції М(х,у)=, N(x,y)= - x однорідні однакової (першої) степені , рівняння приводиться до вигляду
Введення нової змінної z: y=xz, dy=zdx+xdz.
Підстановка в диф. рівняння: (z-dx - (zdx+xdz)=0 , -
Відокремлення змінних:
Інтегрування: -загальний розвязок при
Із початкових умов:
Частинний розв’язок:
г) Знайти розв’язок задачі Коши
Розв’язання. Дане рівняння- це рівняння Бернуллі. Розв’язується методом Бернуллі. Невідому функцію шукають у вигляді тоді
Підстановка в диф. рівняння: . Добирають так , щоб , ,
Знаходять u: , , .
- загальний розв’язок.
Із початкової умови
Частинний розв’язок:
д) Знайти загальний розв’язок,
Розв’язання. Дане диф. рівняння лінійне відносно функції х=х(у). Дійсно, воно зводиться до рівняння в несиметричній формі .
Розв’язання методом Бернуллі: , , , ,
.
. Відповідь .
є) Знайти загальний розв’язок:
Розв’язання. Дане рівняння–це рівняння у повних диференціалах: воно задовольняє необхідній і достатній умові таких рівнянь ,
Інтеграл рівняння у повних диференціалах (тобто функція u(x;y) така, що du(x;y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy) шукають за допомогою криволінійного інтеграла:
або
де (х0,у0)- деяка початкова точка, шлях інтегрування – ломана , яка складається з відрізків паралельних координатним вісям і не включає точок, в яких M=N=0. Нехай х0=0, у0=1, тоді
Загальний розв’язок представляється у вигляді загального інтеграла
u(x,y)=c:
Заняття 42
Тема 12.3. ЗДР вищих порядків. Рівняння, що допускають зниження порядку.
ВПРАВИ
1. Розв’язати диф. рівняння, які допускають зменшення порядку.
а) Знайти загальний розв’язок:
Розв’язання. Дане рівняння не включає в явному вигляді у. В цьому випадку порядок рівняння зменшується заміною невідомої функції z(x)=
Знаходження z(x):
Знаходження у(х): :
Перевірка існування додаткових розв’язків при z=0: , - це розв’язок (підстановка його у вихідне диф. рівняння дає тотожніть 0=0), який є особливим випадком розв’язку при (тут позначено .
Відповідь:
б) Знайти частинний розв’язок: у(1)=2,
Розв’язання. Дане диф. рівняння не включає в явному вигляді х. В цьому випадку порядок рівняння зменшується заміною невідомої функції p(y(x))= це рівняння відносно р(у) при початковій умові р(2)=-1.
Знаходження р(у):
(),
Знаходження у(х): , - це частинний розв’язок.
Заняття 43
Тема 12.4. Однорідні ЛДР (ОЛДР) зі сталими коефіцієнтами.
Неоднорідні ЛДР (НЛДР). Метод варіації довільних сталих. Визначення частинного розв'язку НЛДР з правою частиною спеціального вигляду .
ВПРАВИ.
а) Знайти частинний розв’язок: у(0)=1,
Розв’язання. Загальний розв’язок має вигляд , де - загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння , - який-небудь частинний розв’язок даного неоднорідного рівняння.
Знаходження за допомогою характеристичного рівняння
r2-2r+1=0. В цьому випадку однакових коренів =
, – довільні сталі.
Знаходження . Права частина рівняння має вигляд , де Рn(х)=х, . співпадає з обома коренями r1=r2=1. В цьому випадку шукають у вигляді , знаходячи А і В
підстановкою у дане диф. рівняння:
Коефіцієнти при однакових степенях х рівних многочленів рівні, тоді:
Загальний розв’язок:
Із початкової умови знаходять с1, с2:
Частинний розв’язок:
б) Знайти загальний розв’язок:
Розв’язання. . Знаходження :
В цьому випадку комплексних коренів
Знаходження Права частина рівняння має вигляд
де В цьому випадку шукають у вигляді
.
Підстановка в диф. рівняння:
Із умови рівності коефіціентів справа і зліва: при sin2x -4A=8, A = - 2, при cos2x 4B=0, B = 0.
Загальний розв’язок
Заняття 44
Тема 12.5. Розв'язання нормальних систем диференціальних рівнянь методом виключення.
ВПРАВИ.
1. Розв’язати нормальну систему диф. рівнянь методом виключення:
Розв’язання. Виключають невідому функцію z(x): диференціюють перше рівняння підставляють вираз із другого рівняння системи складають систему із якої виключають z .Розв’язують друге рівняння:
Загальний розв’зок:
Із початкової умови:
Частинний розв’язок:
Заняття 45-46
Розділ 13. Ряди.
Тема 13.1 Числові ряди. Безпосереднє дослідження, необхідна умова збіжності.
Достатні умови збіжності знакододатних рядів: порівняння, Даламбера, радикальні та інтегральна Коші.
Знакозмінні ряди абсолютно та умовно збіжні. Знакопочережні (знакопереміжні) ряди, теорема Лейбниця. 4 4 2
ВПРАВИ
а)
Розв’язання. Застосування висновку необхідної умови збіжності числового ряду:
ряд розбіжний.
б)
Розв’язання. Ряд знакододатний.
тож необхідна умова збіжності не заперечує збіжності ряду. Треба скористатись достатніми умовами збіжності. Загальний член даного ряду – раціональний дріб, який має порядок ̃~ при В цьому випадку застосовують ознаки порівняння ,- порівняння з гармонічним розбіжним рядом За другою ознакою порівняння скінченна ненульова границя, тож даний ряд, як і гармонічний ряд, розбіжний.
в)
Розв’язання. Ряд знакодатний. Якщо загальний член складається з факторіалів і показникових функцій, то зручна ознака Даламбера:
це необмежена функція при n, ряд розбіжний.
г)
Розв’язання. Загальний член ряду-степенево показникова функція. В цьому випадку зручна радикальна ознака Коши:
ряд збіжний.
д)
Розв’язання. Ряд знакодатний. У випадках, коли застосування інших ознак укладнене, може бути зручною інтегральна ознака збіжності: нехай
,
невластивий інтеграл збіжний, тож і ряд збіжний.
є)
Розв’язання. Ряд знакозмінний. Тому треба з’ясувати не тільки його збіжність, але і характер збіжності - абсолютний чи умовний. Спочатку досліджується абсолютна збіжність: знакододатний гармонічний ряд, відомо, що він розбіжний, і тому даний ряд не є абсолютно збіжним і треба дослідити його ще і на умовну збіжність.
Ряд знакопочережний. Перевіряють умови ознаки Лейбниця:
1) або
2)
умови виконуються, ряд збігається умовно.
Заняття 47
Тема 13.2. Функціональні ряди (ФР): область точкової збіжності, рівномірна збіжність ФР, властивості рівномірно збіжних рядів.
Тема 13.2(продовження) Степеневі ряди. Визначення радіуса, інтервала, області збіжності. Почленне інтегрування та диференціювання.
Заняття 48
Ряд Тейлора для функції. Застосування ряду Тейлора.
ВПРАВИ
1. Знайти область збіжності степеневого ряду
Розв’язання. Знаходять радіус збіжності:
=
інтервал збіжності (-1;1). Область збіжності може відрізнятись від нього лише граничними точками. Досліджується збіжність ряду в них. При х=1 ряд знакодатний: - узагальнений гармонічний степені два; відомо, що він збігається. При х=-1 степеневий ряд стає знакопочережним числовим рядом , який досліджується на абсолютну збіжність: збіжний ряд, тож при х=-1 даний степеневий ряд абсолютно збігається. Область збіжності [-1;1].
Розв’язання. Розкладання частинного розв’язку в степеневий ряд – це розкладання в ряд Тейлора ( в ряд Маклорена при х0=0):
y(x)=y(x0)+
Із початкової умови у(0)=1, Із диф. рівняння
- це відповідь.
Тема 13.3. Тригонометричний ряд Фур'є для періодичної функції, парної та непарної.
Заняття 49
Ряд Фур'є для функцій заданих на відрізку.
ВПРАВИ
1. Розкласти в ряд Фурь’є періодичну функцію знайти суму цього ряду в усіх точках збіжності.
Розв’язання. Період функції 2l=2. Її можна записати у вигляді де f1(х)=3, її ряд Фурь’є складається із одного члена =3 ; f2(х)=2х, непарна функція, її ряд Фурь’є - непарна функція, її ряд Фурь’є
Знаходження коефіцієнтів рядів:
=
Ряд Фурь’є даної функції: -
За теоремою Діріхлє даний ряд збігається до значень функції f(x) в усіх точках, крім точок розриву хі= в точках розриву ряд збігається до значення
Z
z=xy
0
X
Dz Y
1
X