Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Кафедра Вычислительной математики
Расчётно-графическая работа №2
на тему: «Числовые и степенные ряды»
Вариант №26
Выполнил: студент 221 класса
Проверила: Деркач С. И.
Севастополь 2011
Задание 1
Найти сумму ряда с заданной точностью. Сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.
s=0;
n=1;
while abs(y)>1e-4
y=10^n/gamma(n+1);
s=s+y;
n=n+1;
end
disp(s)
disp(n-1)
>> pr
2.2025e+004
34
Проверим признак Лейбница
>> syms n
>> Un=10^n/gamma(n+1);
>> limit(Un,n,inf)
ans =
0
>> subs(Un,n,[1:20])
Columns 1 through 9
0.0100 0.0500 0.1667 0.4167 0.8333 1.3889 1.9841 2.4802 2.7557
Columns 10 through 18
2.7557 2.5052 2.0877 1.6059 1.1471 0.7647 0.4779 0.2811 0.1562
Columns 19 through 20
0.0822 0.0411
Признак Лейбница выполняется ряд сходится.
s=0;
n=3;
y=n/(n^4-9);
while abs(y)>1e-6
y=n/(n^4-9);
s=s+y;
n=n+1;
end
disp(s)
disp(n-1)
>> pr
0.0824
101
Проверим на сходимость
- знакоположительный, числовой ряд
>> syms n
>> Un=n/(n^4-9);
>> limit(Un,n,inf)
ans =0 --НУС выполняется. Нужны дополнительные исследования
>> Vn=1/n^3; -обобщено гармонический ряд 3>1 - сходится
>> limit(Un/Vn,n,inf)
ans =1 0 ряд сходится
Искомый ряд сходится.
Задание 2. Установить сходимость знакопеременных рядов.
Проверим признак Лейбница
>> syms n
>> Un=1/(3*n-2);
>> limit(Un,n,inf)
ans =
0
>> subs(Un,n,[1:5])
ans =
1.0000 0.2500 0.1429 0.1000 0.0769
Признак Лейбница выполняется, ряд сходится.
Проверим признак Лейбница
>> syms n
>> Un=(n-3)/sqrt(n^3+3);
>> limit(Un,n,inf)
ans =
0
>> subs(Un,n,[1:5])
ans =
-1.0000 -0.3015 0 0.1222 0.1768
Признак Лейбница не выполняется, ряд расходится.
Задание 3. Найти область сходимости степенного ряда.
А)---степенной по степени х+1
Заменим х+1=Х;
>> syms n
>> An=5^n/sym('(n!)');
>> An1=subs(An,n+1)
An1 =
5^(n + 1)/factorial(n + 1)
Находим радиус сходимости
>> R=limit(An/An1,n,inf)
R =Inf
Ряд сходится на всей числовой прямой
Б) -- степенной по степени х
>> syms n
>> An=1/(n+1)*log(n+1);
>> An1=subs(An,n+1)
An1 =
log(n + 2)/(n + 2)
Находим радиус сходимости
>> R=limit(An/An1,n,inf)
R =1
(-1;1)-интервал сходимости
Исследуем сходимость на концах отрезка
При Х=-1;
Знакопеременный ряд . Проверим признак Лейбница
>> syms n
>> Un=1/(n+1)*log(n+1);
>> limit(Un,n,inf)
ans =
0
>> subs(Un,n,[1:5])
ans =
0.3466 0.3662 0.3466 0.3219 0.2986
Признак Лейбница выполняется ряд сходится.
При Х=1
>> syms n
>> Un=1/(n+1)*log(n+1);
>> limit(Un,n,inf)
ans =0 -- НУС выполняется,нужны дополнительные исследования
По интеграньному признаку Коши
>> syms x
>> int(1/(x+1)*log(x+1),x,1,inf)
ans = Inf
Ряд расходится
х є [-1 1)
Задание 4. Разложить в ряд Тейлора в окрестности функцию
>> syms x
>> f=1-2*(sin(5*x))^2;x0=0;
>> taylor(f,x,x0)
ans =
(1250*x^4)/3 - 50*x^2 + 1
Задание 5. Разложить функцию в ряд Тейлора при и выполнить табуляцию полученных функций при изменении в диапазоне с шагом . Построить полученные функции и сделать выводы о погрешности рядов.
>> syms x
>> y=x^3*atan(x);
>> taylor(y,x,0,3) -- Разложим функцию в окрестности точки х=0 при числе членов ряда n=3
ans =
0
>> taylor(y,x,0,4) n=4
ans =
0
>> taylor(y,x,0,5) n=5
ans =
x^4
>> x=1:0.3:4;
>> y1=x.^3.*atan(x);
>> y5=x.^4;
>> z=[x;y1;y5];
>> z' Транспонируем матрицу
ans =
1.0000 0.7854 1.0000
1.3000 2.0105 2.8561
1.6000 4.1460 6.5536
1.9000 7.4511 13.0321
2.2000 12.1831 23.4256
2.5000 18.5983 39.0625
2.8000 26.9521 61.4656
3.1000 37.4995 92.3521
3.4000 50.4956 133.6336
3.7000 66.1950 187.4161
>> x=-10:0.1:10;
>> y1=x.^3.*atan(x);
>> plot(x,y1,'r')
>> hold on
>> y5=x.^4;
>> plot(x,y5,'g')
Вывод: При увеличении числа членов ряда погрешность увеличивается.