тематика Специальность 240 01 01 Программное обеспечение информационных технологий Группа Препод1

Работа добавлена на сайт samzan.net:

План учебного занятия № 63.

дисциплины «Высшая математика»

Специальность 2-40 01 01 Программное обеспечение информационных технологий

Группа

Преподаватель Моисеева Т.И.

Раздел программы Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Тема: Различные виды остаточного члена в формуле Тейлора. Исследование функции с помощью производной.

Цель обучения: Научить применять различные виды остаточного члена при выполнении приближенных вычислений.

Цель развития: Показать возможные способы применения нахождения значений функции в приближенных вычислениях.

Цель воспитания: Способствовать воспитанию аккуратности, четкости мышления и восприятия незнакомых образов.

Тип занятия: Урок изучения нового материала.

Вид занятия: Урок-лекция.

Межпредметные связи: Науки, изучающие пределы, исследующие поведение функций на отрезке.

Ход занятия:

Исследование функций с помощью производной.

Возрастание и убывание функций.

Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f(x)  0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Доказательство.

Если функция f(x) возрастает, то f(x + x) > f(x) при x>0 и f(x + x) < f(x) при х<0,

тогда:

2) Пусть f(x)>0 для любых точек х1 и х2, принадлежащих отрезку [a, b], причем x1<x2.

Тогда по теореме Лагранжа: f(x2) – f(x1) = f()(x2 – x1), x1 <  < x2

По условию f()>0, следовательно, f(x2) – f(x1) >0, т.е. функция f(x) возрастает.

Теорема доказана.

Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f(x)0 на этом отрезке. Если f(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически:

y y

   

x x

Точки экстремума.

Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +x) > f(x2) при любом х (х может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х1 максимум.

Тогда при достаточно малых положительных х>0 верно неравенство:

, т.е.

Тогда

По определению:

Т.е. если х0, но х<0, то f(x1)  0, а если х0, но х>0, то f(x1)  0.

А возможно это только в том случае, если при х0 f(x1) = 0.

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х2 минимум теорема доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х3, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Критические точки.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Пример: f(x) = x Пример: f(x) =

y y

В точке х = 0 функция имеет минимум, но В точке х = 0 функция не имеет ни

не имеет производной. максимума, ни минимума, ни произ-

водной.

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1).

Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

Доказательство.

Пусть

По теореме Лагранжа: f(x) – f(x1) = f()(x – x1), где x <  < x1.

Тогда: 1) Если х < x1, то  < x1; f()>0; f()(x – x1)<0, следовательно

f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1).

2) Если х > x1, то  > x1 f()<0; f()(x – x1)<0, следовательно

f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1).

Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x1) в любых точках вблизи х1, т.е. х1 – точка максимума.

Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.

Теорема доказана.

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

Найти критические точки функции.
Найти значения функции в критических точках.
Найти значения функции на концах отрезка.
Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

Исследование функции на экстремум с помощью

производных высших порядков.

Пусть в точке х = х1 f(x1) = 0 и f(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.

Теорема. Если f(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если f(x1)<0 и минимум, если f(x1)>0.

Доказательство.

Пусть f(x1) = 0 и f(x1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f(x1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х1.

Т.к. f(x) = (f(x)) < 0, то f(x) убывает на отрезке, содержащем точку х1, но f(x1)=0, т.е. f(x) > 0 при х<x1 и f(x) < 0 при x>x1. Это и означает, что при переходе через точку х = х1 производная f(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция f(x) имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если f(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

1. а в пределах среднего заработка; б в пределах трех должностных окладов; в в пределах прямого действитель
2. Химия вокруг нас спросить Марию Дружинину или Марка Костюка организация ЭГМиМ ЭГМиМ Наша земля н
3. тема местного самоуправления
4. ковалентная неполярная 2 ковалентная полярная 3 ионная 4 водородная А 13
5. Управление предприятием ООО.html
6. правовой теории Право как и государство принадлежит к числу не только наиболее важных но и наиболее слож
7. Архивоведение
8. только хлопок Хлопоксырец Узбекистан4 место в мире СНГ1 место в мире Хлопоккультура с наиболее огранич
9. Реферат- Структура ринку і функціонування його основних елементів
10. цена и качество
11. Доклад- Средства для лечения больных хроническим колитом
12. Шпо~ночное соедине~ние соединение охватывающей и охватываемой детали для передачи крутящего момента
13. По Восточному календарю 31 января в 01-40 часов мск 2014 года начнется год Деревянной Лошади
14. углеводное чередование для сушки мышц Суть этой диеты в постоянном варьировании количества углеводов в ва
15. Разделение труда Повышение количества и качества производства при затрате тех же условий
16. Реферат- Тютюнопалінн
17. тема ~ стратификационная система предполагающая пожизненное закрепление человека за определенной стратой
18. Материалы исследований 2
19. На тему- Возбудители маститов КРС
20. Гхош Ауробиндо

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе