ТЕМАТИКА раздел Математическое программирование Тема 1
Работа добавлена на сайт samzan.net:
«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» (раздел «Математическое программирование»)
Тема 1. Основные понятия по задаче линейного программирования
Студент должен знать постановку и основные понятия задачи линейного программирования и уметь их применять при выполнении практических задач.
Примерные тестовые задания, предлагаемые в этой теме:
1. Целевой функцией следующей задачи линейного программирования:
является:
Варианты ответов:
*1)
2)
3)
4)
2. Системой основных ограничений задачи линейного программирования
является:
1)
*2)
3)
4)
3. Условием неотрицательности задачи линейного программирования:
является:
1)
2)
*3)
4)
4. Системой ограничений задачи линейного программирования
является:
1)
2)
3)
*4)
5. Указать матрицу системы основных ограничений задачи линейного программирования:
1); *2); 3)
6. Указать расширенную матрицу системы основных ограничений задачи линейного программирования
1); 2); *3)
7. Опорным планом задачи линейного программирования
является:
*1) (0; 0; 2; 3)
2) (2; 3)
3) (2; 3; 0; 0)
4) (1; -6; 0; 0)
8. Базисными переменными задачи линейного программирования
являются:
1) x1, x2
*2) x3, x4
3) x1, x2, x3, x4
9. Свободными переменными задачи линейного программирования
являются:
*1) x1, x2
2) x3, x4
3) x1, x2, x3, x4
10. Матрица системы основных ограничений для некоторой задачи линейного программирования имеет вид:
.
Базисными переменными будут:
1) x1, x2, x3
2) x1, x2, x5
*3) x2, x4, x5
4) x1, x3
11. Задача
является задачей
*1) линейного программирования
2) нелинейного программирования
3) задачей динамического программирования
4) задачей транспортной
5) другое
Тема 2. Виды задачи линейного программирования и ее преобразования
Студент должен знать понятия: канонический вид, предпочтительный вид, симметрический вид задачи линейного программирования. Уметь приводить задачу линейного программирования к каноническому и предпочтительному виду.
Примерные тестовые задания, предлагаемые в этой теме:
1. Чтобы привести задачу линейного программирования
к каноническому виду, нужно
*1) умножить на -1 обе части второго ограничения
2) к левой части первого ограничения системы прибавить дополнительную переменную
3) из левой части первого ограничения системы вычесть дополнительную переменную
2. Чтобы привести задачу линейного программирования
к каноническому виду, нужно
1) умножить на -1 обе части второго ограничения;
2) к левой части первого ограничения системы прибавить переменную;
*3) к левой части первого ограничения системы прибавить переменную, от левой части второго ограничения вычесть переменную, добавить их в целевую функцию с коэффициентами 0 и наложить условия неотрицательности.
3. Имеет ли задача линейного программирования
предпочтительный вид?
1) да;
*2) нет.
Тема 3. Графический метод решения задачи линейного программирования
Студент должен знать алгоритм решения задач линейного программирования графическим методом, все понятия, встречающиеся в графическом методе, и уметь применять этот алгоритм при решении задач линейного программирования.
Примерные тестовые задания, предлагаемые в этой теме:
1. Функция на указанном множестве допустимых решений
достигает максимального значения в точках:
1) (2; 0)
2) (0; 2)
3) (0; 0)
4) (2;3)
* 5) не существует
2. Функция на указанном множестве допустимых решений
достигает минимального значения в точках:
1) (2; 0)
2) (0; 2)
*3) (0; 0)
4) (2;3)
5) не существует
3. Функция в области допустимых решений достигает максимального значения
в точках:
*1) В
2) C
3) D
4. Функция в области допустимых решений достигает минимального значения
в точках:
1) А
2) В
*3) C
4) D
5. Координаты градиента функции (вектора ) в следующей задаче линейного программирования:
*1) (3; -4)
2) (-1; 1)
3) (3; 5)
4) (2; 15)
6. При решении задачи линейного программирования получили область допустимых решений.
Максимальное значение функции равно:
1) z = 10
2) z = -2
*3) z = 25
7. При решении задачи линейного программирования получили область допустимых решений.
Минимальное значение функции равно:
1) z = 10
*2) z = -2
3) z = 25
8. Линия нулевого уровня , соответствующая целевой функции проходит через точку:
1) (5; 0), (0; 0)
*2) (1;–6), (0; 0)
4) (0; 2), (2; 0)
Тема 4. Симплексный метод решения задачи линейного программирования
Студент должен знать алгоритм решения задач линейного программирования симплексным методом, знать признак бесконечности множества оптимальных планов, признак неограниченности целевой функции, алгоритм решения задач линейного программирования симплексным методом с искусственным базисом. Студент должен уметь применять алгоритм решения задач линейного программирования симплексным методом на практических примерах.
Примерные тестовые задания, предлагаемые в этой теме:
1. План, содержащийся в таблице
|
базисные переменные |
коэф-т целевой функции |
свободные члены |
|||||
|
0 |
20 |
4 |
5 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
3 |
1 |
3 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1) оптимален
*2) не оптимален
2. В результате решения задачи линейного программирования симплексным методом на нахождение максимального значения получена таблица:
|
базисные переменные |
коэф-т целевой функции |
свободные члены |
|||||
|
0 |
20 |
4 |
5 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
3 |
1 |
3 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Планом, соответствующим таблице, является:
*1) (0; 0; 20; 3; 4)
2) (20; 3; 4; 0; 0)
3) (0; 0; 0)
3. При решении задачи линейного программирования требуется найти максимальное значение целевой функции. Оптимальный опорный план будет получен, если:
1) в индексной строке нет нулевых оценок;
*2) в индексной строке нет отрицательных оценок;
3) в индексной строке нет положительных оценок;
4) в индексной строке хотя бы одна оценка отрицательна.
4. Решается задача линейного программирования на нахождение максимального значения. Некоторый неоптимальный план записан в симплексной таблице.
|
базисные переменные |
коэф-т целевой функции |
свободные члены |
||||
|
0 |
7 |
1 |
1 |
0 |
||
|
0 |
6 |
3 |
10 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
В качестве разрешающего элемента при переходе к нехудшему плану нужно выбрать:
1) -2
2) 3
3) 1
*4) 10
5. В результате решения задачи линейного программирования симплексным методом на нахождение максимального значения получена таблица:
|
базисные переменные |
коэф-т целевой функции |
свободные члены |
|||||
|
0 |
20 |
4 |
5 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
3 |
1 |
3 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
План, содержащийся в таблице, не оптимален. Следует ввести в базис переменную:
1) x1
*2) x2
3) x3
4) x4
5) x5
6. В результате решения задачи линейного программирования симплексным методом на нахождение максимального значения получена таблица:
|
базисные переменные |
коэф-т целевой функции |
свободные члены |
|||||
|
0 |
1 |
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
3 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
2 |
2 |
0 |
0 |
1 |
||
|
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
Наименьшее симплексное отношение равно:
*1) ; 2) ; 3) ; 4)
7. Дана первая симплексная таблица решения задачи линейного программирования:
|
базисные переменные |
коэф-т целевой функции |
свободные члены |
4 |
0 |
0 |
|
|
4 |
1 |
1 |
2 |
0 |
||
|
0 |
2 |
0 |
1 |
1 |
||
|
0 |
-4 |
? |
0 |
0 |
Оценка переменной равна
*1) 4·(–1) + 0·1 – (–1)
2) 4·(+1) + 0·1
3) 4·(–1) + 0·1 –1
4) 4·2 + 0·(–3) –0
8. Дана первая симплексная таблица решения задачи линейного программирования:
|
базисные переменные |
коэф-т целевой функции |
свободные члены |
4 |
0 |
0 |
|
|
4 |
1 |
1 |
2 |
0 |
||
|
0 |
2 |
0 |
1 |
1 |
||
|
0 |
? |
? |
0 |
Оценка переменной равна
1) 4·(–1) + 0·1 – (–1)
2) 4·(+1) + 0·1
3) 4·(–1) + 0·1 –1
*4) 4·2 + 0·(–3) –0
9. Дана первая симплексная таблица решения задачи линейного программирования:
|
базисные переменные |
коэф-т целевой функции |
свободные члены |
4 |
0 |
0 |
|
|
4 |
3 |
1 |
2 |
0 |
||
|
0 |
2 |
0 |
2 |
1 |
||
|
? |
Значение целевой функции равно:
1) 4·1 + 0·0
*2) 4·3 + 0·2
3) 4·(–1) + 0·2 –(–1)
10. При решении задачи линейного программирования на нахождение максимального значения с искусственным базисом получили оптимальный план, в котором искусственная переменная равна 3. Какой вывод можно сделать об этом плане?
1) задача имеет бесконечное множество оптимальных планов
*2) система ограничений задачи несовместна, решений нет
3) целевая функция не ограничена сверху
4) целевая функция не ограничена снизу
5) план является оптимальным единственным
Тема 5. Двойственная задача линейного программирования и ее решение
Студент должен знать правила построения двойственной задачи и уметь применять их на практических примерах.
Примерные тестовые задания, предлагаемые в этой теме:
1. Дана исходная задача линейного программирования:
Целевой функцией двойственной задачи является:
1)
2)
*3)
2. 1. Дана исходная задача линейного программирования:
Левые части системы основных ограничений двойственной задачи имеют вид:
*1) 2) 3)
3. Дана исходная задача линейного программирования:
Свободными членами системы основных ограничений двойственной задачи являются:
1) 6; 4; 1 *2) 6; -5 3) 1; 2; 4; 1; 1; 1 4) 4; 1
4. Дана исходная задача линейного программирования:
Ограничению соответствует переменная двойственной задачи , на которую
1) налагается условие неотрицательности
*2) не налагается условие неотрицательности
5. Дана исходная задача линейного программирования:
Ограничению соответствует переменная двойственной задачи, которая принимает
*1) неотрицательное значение
2) отрицательное значение
3) положительное значение
4) любое значение
6. Дана исходная задача линейного программирования:
Количество двойственных переменных равно:
1) 1; 2) 2; *3) 3; 4) 4; 5) 5.
8. В начальном опорном плане исходной задачи базисными переменными являются , . Таблица, содержащая оптимальный план исходной задачи имеет вид:
|
базисные переменные |
коэф-т целевой функции |
свободные члены |
||||
|
1 |
5 |
0 |
1 |
|||
|
3 |
1 |
1 |
0 |
1 |
||
|
30 |
0 |
0 |
Тогда решением двойственной ей задачи будет:
1) y* = (1; 3; 5; 1)
*2) y* = (8/3; 10/3; 0; 0)
3) y* = (0; 0; 8/3; 10/3)
4) y* = (30; 0; 0; 8/3; 10/3)
9. В результате решения задачи симплексным методом получили . Целевая функция соответствующей двойственной задачи будет равна:
1) ; 2) ; *3) ; 4) ; 5) .
10. Пусть целевая функция исходной задачи линейного программирования не ограничена. Тогда двойственная к ней задача:
*1) имеет несовместную систему ограничений;
2) имеет единственное оптимальное решение;
3) имеет целевую функцию, неограниченную на множестве планов;
4) имеет бесконечное множество оптимальных планов.
11. Система ограничений исходной задачи линейного программирования несовместна. Тогда двойственная к ней задача:
1) имеет несовместную систему ограничений;
2) имеет единственное оптимальное решение;
*3) имеет целевую функцию, неограниченную на множестве планов;
4) имеет бесконечное множество оптимальных планов.
Тема 6. Транспортная задача линейного программирования
Студент должен знать постановку и алгоритм решения транспортной задачи линейного программирования и уметь применять его при решении задач линейного программирования.
Примерные тестовые задания, предлагаемые в этой теме:
1. В транспортной задаче для трех поставщиков и четырех потребителей составление начального опорного плана осталось незаконченным. Таблица содержит матрицу затрат на перевозки (в правых верхних углах рабочих клеток), потребности потребителей и запасы поставщиков.
Запасы |
|||||
|
25 |
22 |
20 |
22 |
15 |
|
|
24 |
18 5 |
19 5 |
21 |
10 |
|
|
14 9 |
15 6 |
22 |
20 |
15 |
|
|
Потребности |
9 |
11 |
12 |
8 |
40 |
Чтобы получить опорный план нужно:
1) в клетку А1В3 внести число 7;
*2) в клетку А1В3 внести число 7, в клетку А1В4 внести число 8;
3) в клетку А1В4 внести число 8;
4) в клетку А1В3 внести число 15;
2. В транспортной задаче необходимо спланировать перевозки топлива из четырех хранилищ , , , (запасы соответственно равны 12, 5, 10, 8 т) к трем потребителям , , (спрос соответственно равен 2, 7, 30 т) при минимальных затратах. Задача является
1) задачей с закрытой моделью
2) задачей с открытой моделью, требующей введения фиктивного потребителя
*3) задачей с открытой моделью, требующей введения фиктивного хранилища
4) другое
3. В транспортной задаче необходимо спланировать перевозки топлива из четырех хранилищ , , , (запасы соответственно равны 12, 5, 8, 15 т) к трем потребителям , , (спрос соответственно равен ; 20; 14). Задача имеет решение при равном:
*1) 6;
2) 40;
3) 15;
4) 20.
4. Дана матрица затрат транспортной задачи . Получен оптимальный план этой задачи . Целевая функция затрат равна:
1) 10; 2) 15; *3) 33; 4) 18.
5. Таблица транспортной задачи содержит план с вычисленными по формуле потенциалами, кроме одного, который равен:
|
Запасы |
||||||
|
25 |
22 |
20 1 |
22 15 |
16 |
||
|
24 |
18 1 |
19 10 |
21 |
11 |
||
|
14 5 |
15 9 |
22 |
20 |
14 |
||
|
Потребности |
5 |
10 |
11 |
15 |
46 |
|
1) 20; 2) 14; 3) 0; *4) –4.
6. Таблица содержит план решения (числа в центре рабочих клеток) транспортной задачи для трех поставщиков и четырех потребителей, матрицу затрат на перевозки (в правых верхних углах рабочих клеток), потребности потребителей и запасы поставщиков. По заполненным клеткам найдены значения потенциалов.
|
Запасы |
||||||
|
14 19 |
17 2 |
20 |
22 |
21 |
||
|
24 |
18 8 |
19 12 |
21 |
20 |
||
|
21 |
15 |
13 3 |
20 20 |
23 |
||
|
Потребители |
19 |
10 |
15 |
20 |
64 |
|
Оценка свободной клетки , вычисленная по формуле , равна:
1) 1; 2) 19; *3) 2; 4) 23; 5) 10
7. В транспортной задаче для трех поставщиков и четырех потребителей произведена оценка свободных клеток (в левом верхнем углу клетки).
|
Запасы |
||||||
|
14 25 |
2 19 5 |
4 20 |
–7 20 |
30 |
||
|
4 17 |
18 35 |
15 5 |
–5 21 |
40 |
||
|
11 21 |
–2 13 |
12 30 |
7 23 20 |
50 |
||
|
Потребители |
25 |
40 |
35 |
20 |
120 |
|
Тогда план
1) является оптимальным (решение единственное);
2) является оптимальным (решение не единственное);
*3) не оптимален, наиболее перспективной для загрузки является клетка А1В4;
4) не оптимален, наиболее перспективной для загрузки является клетка А2В4;
5) не оптимален, наиболее перспективной для загрузки является клетка А3В1.
8. Приведена таблица, содержащая неоптимальный план транспортной задачи. После проведенной оценки свободных клеток наиболее перспективной признана клетка , и выделен цикл перераспределения груза.
|
Запасы |
||||||
|
14 25 |
2 19 5 |
4 20 |
-7 20 |
30 |
||
|
4 17 |
18 35 |
15 5 |
-5 21 |
40 |
||
|
11 21 |
-2 13 |
12 30 |
7 23 20 |
50 |
||
|
Потребители |
25 |
40 |
35 |
20 |
120 |
|
Тогда клетка должна содержать количество груза, равное:
1) 30; 2) 0; *3) 40; 4) 15.
9. При решении транспортной задачи получили оптимальный план, причем, одна из оценок свободных клеток равна нулю. Тогда план
1) является оптимальным (решение единственное);
*2) является оптимальным (решение не единственное);
3) другое.
10. В транспортной задаче все оценки свободных клеток строго больше нуля. Тогда план
*1) является оптимальным (решение единственное);
2) является оптимальным (решение не единственное);
3) план не оптимален;
4) другое.
11. Приведена таблица, содержащая план транспортной задачи для трех поставщиков и четырех потребителей.
|
Запасы |
|||||
|
20 |
22 |
10 14 |
11 |
? |
|
|
19 |
18 11 |
19 6 |
21 16 |
? |
|
|
14 11 |
15 1 |
16 |
20 |
? |
|
|
Потребители |
11 |
12 |
20 |
16 |
Запасы поставщиков , , соответственно равны:
1) 14, 16, 12; *2) 14, 33, 12; 3) 14, 11, 11.
12. Приведена таблица, содержащая план транспортной задачи для трех поставщиков и четырех потребителей.
|
Запасы |
|||||
|
20 |
22 |
10 10 |
11 |
10 |
|
|
19 |
18 6 |
19 15 |
21 10 |
31 |
|
|
14 11 |
15 10 |
16 |
20 |
21 |
|
|
Потребители |
? |
? |
? |
? |
Спрос потребителей , , , соответственно равен:
*1) 11, 16, 25, 10; 2) 11, 10, 15, 10; 3) 0, 0, 10, 0.
13. Приведена таблица, содержащая неоптимальный план транспортной задачи. После проведенной оценки свободных клеток наиболее перспективной признана клетка , и выделен цикл перераспределения груза.
|
Запасы |
||||||
|
14 25 |
2 19 5 |
4 20 |
-7 20 |
30 |
||
|
4 17 |
18 35 |
15 5 |
-5 21 |
40 |
||
|
11 21 |
-2 13 |
12 30 |
7 23 20 |
50 |
||
|
Потребители |
25 |
40 |
35 |
20 |
120 |
|
Объем перераспределяемого по циклу груза равен:
1) 20; 2) 30; *3) 5; 4) 35.
Тема 7. Нелинейное программирование
Студент должен знать постановку задачи нелинейного программирования, теорему Куна-Таккера, должен знать и уметь применять на практических примерах метод множителей Лагранжа.
Примерные тестовые задания, предлагаемые в этой теме:
1. Задача «Найти условный экстремум функции , если » относится к следующему разделу математического программирования:
1) линейного программирования
*2) нелинейного программирования
3) динамического программирования
4) целочисленного программирования
5) другое
2. В задаче нелинейного программирования: «Найти условный экстремум функции , если » функция Лагранжа будет иметь вид:
*1) ;
2) ;
3) .
3. В задаче нелинейного программирования: «Найти условный экстремум функции , если » частная производная функции Лагранжа по переменной равна:
*1) ; 2) ; 3) ; 4) .
4. В задаче нелинейного программирования: «Найти условный экстремум функции , если » частная производная функции Лагранжа по переменной равна:
1) ; 2) ; 3) ; *4) .
5. При решении задачи выпуклого программирования в стационарной точке второй дифференциал , следовательно, в этой точке функция имеет:
1) условный максимум
2) условный минимум
3) локальный максимум
4) разрыв
*5) вопрос остается открытым
6. При решении задачи выпуклого программирования в стационарной точке второй дифференциал , следовательно, в этой точке функция имеет:
1) условный максимум
*2) условный минимум
3) локальный максимум
4) разрыв
5) вопрос остается открытым
7. При решении задачи выпуклого программирования в стационарной точке второй дифференциал , следовательно, в этой точке функция имеет:
*1) условный максимум
2) условный минимум
3) локальный максимум
4) разрыв
5) вопрос остается открытым
8. Система уравнений
при решении задачи выпуклого программирования методом Лагранжа позволяет найти:
*1) стационарные точки, в которых может существовать условный экстремум;
2) полный дифференциал функции Лагранжа;
3) наибольшее значение функции;
3) наименьшее значение функции.
9. При решении задачи выпуклого программирования в стационарной точке функция имеет условный минимум, тогда второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке
1) ; *2) ; 3) .
10. При решении задачи выпуклого программирования в стационарной точке функция имеет условный максимум, тогда второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке
1) ; 2) ; *3) .
11. Применение теоремы Куна-Таккера для решения задачи квадратичного программирования позволяет воспользоваться:
1) симплексным методом;
*2) функцией Лагранжа;
3) сетевым планированием;
4) методом потенциалов;
5) градиентным методом.
Тема 8. Динамическое и целочисленное программирование
Студент должен знать алгоритм решения задач целочисленного программирования (метод Гомори), методы решения задач динамического программирования (в частности, решение задачи выбора кратчайшего пути) и уметь применять на практических примерах.
Примерные тестовые задания, предлагаемые в этой теме:
- Задачи, в которых на все или некоторые переменные наложено условие целочисленности , решаются в разделе математического программирования:
1) динамическое программирование;
*2) целочисленное программирование;
3) транспортная задача.
2. Дробная часть числа равна:
*1) ; 2) ; 3) ; 4) .
3. Целая часть числа равна:
*1) –2; 2) –1; 3) 1; 4) 2.
4. Дана сеть дорог, для которой указаны расстояния между пунктами:
Кратчайшее расстояние из пункта 6 в пункт 10 составит:
*1) 7; 2) 2; 3) 5; 4) 3; 5) 10.
5. Дана сеть дорог, для которой указаны расстояния между пунктами:
Кратчайшее расстояние из пункта 2 в пункт 10 соответствует пути:
1) 2 – 5 – 8 – 10; 2) 2 – 6 – 8 – 10; *3) 2 – 6 – 9 – 10.
6. Дана сеть дорог, для которой указаны расстояния между пунктами:
Длина пути равна:
*1) 18; 2) 17; 3) 20; 4) 16.
7. Признаком отсутствия целочисленного решения служит:
1) появление в симплексной таблице одной строки с дробным свободным членом;
2) появление в симплексной таблице хотя бы одной строки с дробным свободным членом;
*3) появление в симплексной таблице хотя бы одной строки с дробным свободным членом и целыми остальными коэффициентами;
4) появление в симплексной таблице хотя бы одной строки с дробным свободным членом и дробными остальными коэффициентами;
5)появление в симплексной таблице хотя бы одной строки с целым свободным членом и дробными остальными коэффициентами.
8. При решении задачи симплексным методом получили симплексную таблицу, содержащую оптимальный план.
|
базисные переменные |
коэф-т целевой функции |
свободные члены |
||||
|
3 |
4 |
0 |
1 |
2 |
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
||||
|
0 |
0 |
Для получения целочисленного плана правильное отсечение имеет вид:
*1) ;
2) ;
3) ;
4) .
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ТЕСТИРОВАНИЮ
Учебники
1. Кузнецов, А. В. Высшая математика: Математическое программирование: учеб. для вузов / А.В. Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И. Холод; под ред. А.В. Кузнецова. — Мн.: Выш. шк., 1994. — 286 с.
2. Кузнецов, Ю. Н. Математическое программирование: учеб. пособие / Ю. Н. Кузнецов, В. И. Кузубов, А. В. Волощенко. — М.: Высш. шк., 1980. — 300 с.
Задачники
3. Кузнецов, А. В. Руководство к решению задач по математическому программированию / учеб. для вузов; под ред. А. В. Кузнецова. — Мн.: Выш. шк., 2001. — 448с.
4. Кузнецов, А. В. Сборник задач по математическому программированию: учеб. пособие для экон. спец. вузов / А. В. Кузнецов, Г. И. Новикова, Н. И. Холод. — Мн.: Выш. шк., 1985. — 143 с.
5. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Математическое программирование: учеб. пособие / А. В. Кузнецов [и др.]; под ред. А. В. Кузнецова. — Мн.: Выш. шк., 1995. — 382 с.
Наглядные и методические пособия
6. Высшая математика: пособие (программа курса, методические указания по изучению тем курса, задания контрольной работы) для студентов 2 курса экономических специальностей сокращенного срока обучения / Т. Ф. Калмыкова [и др.]. — Гомель: ГКИ, 2000. — 56 с. (№ 789 в библиотеке)
7. Калмыкова, Т. Ф. Высшая математика: методические указания и задания контрольных работ для студентов второго курса заочной формы обучения коммерческого факультета всех специальностей / Т. Ф. Калмыкова, Е. М. Миронович. — Гомель, ГКИ, 1996. — 50 с. (№ 167 в библиотеке)
8. Кохно, А. П. Высшая математика: пособие по изучению отдельных тем курса и решению некоторых типовых задач для студентов 1 и 2 курсов всех специальностей / А. П. Кохно, Н. Д. Романенко. — Гомель: ГКИ, 2001. — 48 с. (№ 965 в библиотеке)
9. Кохно, А. П. Математика. Факультативный курс: пособие для студентов экономических специальностей и абитуриентов. В 2 ч. Ч. 1 / А. П. Кохно, Т. Д. Мыцик, М. Т. Боровиков. — Гомель: БТЭУ, 2003. — 164 с. (№ 1364 в библиотеке)
10. Кохно, А. П. Математическое программирование: программа курса, задания контрольной работы и методические указания по ее выполнению для студентов заочной формы обучения экономических специальностей / А. П. Кохно [и др.]. — Гомель: ГКИ, 1997. — 40 с. (№ 357 в библиотеке)
11. Мокеева, О. А. Симплексный метод в математическом программировании: пособие (основные теоретические сведения, примеры решения типовых задач и задания для самостоятельной работы) для студентов экономических специальностей / О. А. Мокеева, В. И. Тютин, С. А. Мокеева. — Гомель: БТЭУ, 2005. — 60 с. (№ 1545 в библиотеке)
12. Мокеева, С. А. Высшая математика. Математическое программирование: пособие по самостоятельному изучению основных вопросов программы курса и задания для самостоятельной работы студентов экономических специальностей / С. А. Мокеева [и др.]. — Гомель: БТЭУ, 2005. — 116 с. (№ 1589 в библиотеке)
13. Мокеева, С.А. Математическое программирование: учебно-методическое пособие пособие для студентов 3 курса заочной формы обучения экономических специальностей / С. А. Мокеева [и др.]. — Гомель: БТЭУ, 2007. — 96 с. (№ 1767 в библиотеке)
14. Мыцик, Т. Д. Высшая математика: Теория вероятностей и математическая статистика. Математическое программирование: практикум (задания расчетно-графических работ) для студентов 2 курса всех специальностей / Т. Д. Мыцик. — Гомель: ГКИ, 1999. — 24 с. (№ 615 в библиотеке)
2. Степень интеграции экономики Республики Беларусь в экономику Европейского Союза. Перспектива вступления Беларуси в Е
3. Введение в микроэкономику Предмет микроэкономики Методы микроэкономического анализа Мик
4. коли вводиться літо у зиму
5. КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ВАДИМА ГЕТЬМАНА Індивідуаль
6. аденозилкобаламин или кобамамид который является активной формой витамина B12 и входит в состав многочисле
7. Пролеткульт- страницы истории
8. Оценка рыночной стоимости ЗАО олерон
9. Экономика отрасли для студентов специальности 190600 Транспорт как отрасль материального производ.
10. Дисперсійний аналіз та побудова статистичних графіків
11. Природа в изображении И С Тургенева и И А Бунина
12. задание 1 20122013 учебный год Привет Ребята Здравствуйте д
13. Функциональный анализ ментального
14. Информационные технологии в экономике
15. Cоциально-психологическая готовность к труду выпускников ПТУ
16. вариант дешевле не бывает
17. Принципы Неймана
18. Система управления как объект исследования
19. Контрольная работа- Измерение частоты и интервалов времени
20. Вариант 1 Долгое царствование Екатерины II 1762 1796 наполнено значительными и весьма противоречивыми соб