Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ВВЕДЕНИЕ
Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел без рассмотрения их массы и сил, вызывающих это движение.
Движением называется изменение положения одних тел по отношению к другим телам.
Тело, по отношению к которому рассматривается движение, называется телом отсчета.
Тело отсчета и жестко связанная с ним система координат называются системой отсчета.
По виду движущихся объектов кинематика подразделяется на кинематику точки и кинематику твердого тела.
Точкой считается тело, размерами которого при изучении его движения можно пренебречь.
Движение точки, которое рассматривается относительно двух систем отсчета – подвижной и неподвижной называется сложным.
Задача кинематики твердого тела состоит в изучении движения тела в целом, а также в изучении движения каждой точки этого тела. Вид формул для определения кинематических характеристик движения тела будет зависеть от вида движения.
Основные виды движения твердого тела – поступательное, вращательное (вращение тела вокруг неподвижной оси), плоскопараллельное (плоское).
Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается при его движении параллельной самой себе.
Вращательное - это такое движение тела, при котором хотя бы две его точки неподвижны.
Плоскопараллельное - это такое движение твердого тела, при котором все его точки движутся параллельно какой-нибудь неподвижной плоскости.
В настоящих методических указаниях представлены четыре задания по основным темам кинематики: К1- кинематика точки, К2-поступательное и вращательное движение твердого тела, К3 – плоское движение тела, К4- сложное движение точки.
Перед тем, как приступить к решению заданий, необходимо изучить соответствующие разделы кинематики.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Воронков И.М. Курс теоретической механики. М., 1954 и последующие издания.
Гернет М.М. Курс теоретической механики. М., 1970 и последующие издания.
Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М., 1963 и последующие издания.
Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1970 и последующие издания.
Сборник задач по теоретической механике. / Под ред. К.С.Колесникова. М., 1983.
Сборник задач для курсовых работ по теоретической механике / Под ред. А.А. Яблонского. М., 1972 и последующие издания. (Содержит примеры решения задач.)
Пирогов С.П. Краткий курс лекций по теоретической механике. Тюмень, «Вектор Бук», 2001 г.
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЙ, ВЫБОР ВАРИАНТОВ,
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ,
ОБЩИЕ ПОЯСНЕНИЯ К ТЕКСТУ ЗАДАЧ
Контрольное задание состоит из четырех задач - К1, К2, К3, К4. К каждой задаче дается 30 рисунков и таблица (с буквами от А до Е), содержащая дополнительные к тексту задачи условия.
Студент во всех задачах выбирает номер рисунка и номер условия в таблице - по последним двум цифрам из номера зачетной книжки по таблице.
|
№ зач |
№ рис и строка |
№ зач |
№ рис и строка |
№ зач |
№ рис и строка |
№ зач |
№ рис и строка |
№ зач |
№ рис и строка |
|
00 |
1 а |
20 |
21г |
40 |
11а |
60 |
1 в |
80 |
21е |
|
01 |
2 б |
21 |
22д |
41 |
12б |
61 |
2 г |
81 |
22а |
|
02 |
3 в |
22 |
23е |
42 |
13в |
62 |
3 д |
82 |
23б |
|
03 |
4 г |
23 |
24а |
43 |
14г |
63 |
4 е |
83 |
24в |
|
04 |
5 е |
24 |
25б |
44 |
15д |
64 |
5 б |
84 |
25г |
|
05 |
6а |
25 |
26в |
45 |
16е |
65 |
6в |
85 |
26д |
|
06 |
7б |
26 |
27г |
46 |
17 а |
66 |
7г |
86 |
27е |
|
07 |
8в |
27 |
28д |
47 |
18б |
67 |
8д |
87 |
28а |
|
08 |
9г |
28 |
29е |
48 |
19в |
68 |
9е |
88 |
29б |
|
09 |
10д |
29 |
30а |
49 |
20г |
69 |
10а |
89 |
30в |
|
10 |
11е |
30 |
1б |
50 |
21д |
70 |
11б |
90 |
1г |
|
11 |
12а |
31 |
2в |
51 |
22е |
71 |
12в |
91 |
2д |
|
12 |
13б |
32 |
3г |
52 |
23а |
72 |
13г |
92 |
3е |
|
13 |
14в |
33 |
4е |
53 |
24б |
73 |
14д |
93 |
4а |
|
14 |
15г |
34 |
5а |
54 |
25в |
74 |
15е |
94 |
5б |
|
15 |
16д |
35 |
6б |
55 |
26г |
75 |
16а |
95 |
6в |
|
16 |
17е |
36 |
7в |
56 |
27д |
76 |
17б |
96 |
7г |
|
17 |
18а |
37 |
8г |
57 |
28е |
77 |
18в |
97 |
8д |
|
18 |
19б |
38 |
9д |
58 |
29а |
78 |
19г |
98 |
9е |
|
19 |
20в |
39 |
10е |
59 |
30б |
79 |
20д |
99 |
10б |
Например, если шифр оканчивается числом 46, находим в столбце «№ зач» число 46 и справа в столбце «№ рис и строка» видим «17 а», то берем рис. 17 и условие из таблицы под буквой «а».
Каждое задание выполняется с новой страницы в отдельной тетради (ученической), страницы которой нумеруются. На обложке указываются: название дисциплины, номер работы, фамилия и инициалы студента, учебный шифр, факультет, специальность и адрес. На первой странице тетради записываются: номер работы, номера решаемых задач и год издания контрольных заданий.
З А Д А Н И Е К1
По заданным уравнениям движения точки найти уравнение траектории, скорость, ускорение, а также радиус кривизны траектории в момент времени t1. Построить график траектории, указать положение точки в момент t1 и вектора скорости и ускорения. Данные – в табл. К1.1 и К1.2.
Таблица К1.1
|
вар |
а |
б |
в |
г |
д |
е |
|
a |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
|
b |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
3 |
|
c |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
4 |
Таблица К1.2
|
№ вар. |
x=f(t) (см) |
y=f(t) (см) |
t1(сек) |
|
1. |
asin(2t) |
bcos(2t) - c |
0 |
|
2. |
asin(pt/2) |
bsin(pt/2)- c |
0,5 |
|
3. |
at+ c |
bt2+at+ c |
1 |
|
4. |
at2+bt |
ct |
1 |
|
5. |
at+ c |
bt2- c t |
1 |
|
6. |
acos(pt/3) |
bsin(pt/3) |
0 |
|
7. |
asin2(pt/2) |
bcos2(pt/2) |
1 |
|
8. |
asin(2t) |
bcos(2t)+ c |
0 |
|
9. |
at2 |
1/(t+ c) |
1 |
|
10. |
acos(pt/3)+3 |
bsin(pt/3)- c |
0 |
|
11. |
acos2(pt/6) |
bsin(pt/6)- c |
1 |
|
12. |
acos(pt/2) |
bcos(pt/2)- c |
0,5 |
|
13. |
at |
bt3- c |
1 |
|
14. |
acos2(pt/4) |
bsin2(pt/4) |
2 |
|
15. |
5t+ c |
bt2-at+ c |
1 |
|
16. |
at2-2t+1 |
bt |
2 |
|
17. |
asin(2t) |
bcos(2t)+ c |
0 |
|
18. |
asin(pt/2) |
bsin(pt/2)- c |
0,5 |
|
19. |
at2+4t+ c |
at+ c |
1 |
|
20. |
c t |
bt2+ c t |
1 |
|
21. |
at2 - c t |
bt |
1 |
|
22. |
asin(pt/3) |
bcos(pt/3) |
1 |
|
23. |
acos2(pt/2) |
bsin2(pt/2) |
1 |
|
24. |
acos(2t)+ c |
bsin(2t) |
0 |
|
25. |
1/(t+a) |
bt |
1 |
|
26. |
acos(pt/3)- c |
bsin(pt/3)-c |
0 |
|
27. |
asin(pt/6) |
-bcos2(pt/6) |
1 |
|
28. |
acos(pt/2)- c |
bcos(pt/2) |
0,5 |
|
29. |
at3- c |
bt |
1 |
|
30. |
asin2(pt/4) |
bcos2(pt/4) |
2 |
Указания.
Для получения уравнения траектории нужно из уравнений движения исключить время. При этом, если в уравнения входят тригонометрические функции, нужно воспользоваться соотношением : .
Пример выполнения задания.
Дано:
Уравнения движения точки в плоскости ху :
x = 2t, y = t2
(х, у - в сантиметрах, t - в секундах).
Определить уравнение траектории точки; для момента времени t1 = 1 c найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Решение. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Из первого уравнения t=x/2, подставляя во второе, находим уравнение траектории точки y = x2 / 4. Таким образом траекторией будет правая ветвь параболы ( поскольку значения Х и У из уравнений движения будут положительными ( рис. К1.1).
Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:
,
и при t=1 c : V1x = 2 см/c, V1y = 2 см/c, V1 = 2,83 см/c.
Аналогично найдем ускорение точки :
,
и при t=1 c a1x = 0 см/c2, a1y = 2 см/c2, a1 = 2 см/c2.
Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство V2=V2x+V2y. Получим
и .
При t1=1 c a1= 1,4 см/с2.
Нормальное ускорение точки . Подставляя сюда найденные числовые значения a1 и a1, получим, что при t1= 1 а1n= 1,43 см/с2.
Радиус кривизны траектории = V2/an. Подставляя сюда числовые значения V1 и a1n, найдем, что при t1=1 c 1 =5,59 см.
З а д а н и е К 2
По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 определить скорость, а также вращательное, центростремительное и полное ускорение точки М механизма в момент времени t1. Схемы механизмов показаны на рисунке К2.1, а необходимые данные для расчета помещены в табл. К2.1 и К2.2.
Таблица К2.1
|
Вар |
см |
|||
|
R2 |
r2 |
R3 |
r3 |
|
|
а |
40 |
30 |
100 |
85 |
|
б |
60 |
50 |
80 |
70 |
|
в |
80 |
70 |
60 |
45 |
|
г |
100 |
80 |
40 |
25 |
|
д |
80 |
60 |
50 |
40 |
|
е |
60 |
50 |
70 |
30 |
Таблица К2.2
|
№ варианта |
Уравнения движения груза 1 x=x(t) (x-в см, t в с) |
t1, с |
№ варианта |
Уравнения движения груза 1 x=x(t) (x-в см, t в с) |
t1, с |
|
1 |
10+100t2 |
1 |
16 |
3+40t2 |
2 |
|
2 |
80t2 |
2 |
17 |
80t2 |
0,5 |
|
3 |
18+70t2 |
1,5 |
18 |
4+20t2 |
1,5 |
|
4 |
50t2 |
1 |
19 |
5+80t2 |
2 |
|
5 |
8+40t2 |
0,5 |
20 |
50t2 |
3 |
|
6 |
5+60t2 |
3 |
21 |
4+90t2 |
0,5 |
|
7 |
7+90t2 |
2 |
22 |
10+40t2 |
1 |
|
8 |
4+30t2 |
1 |
23 |
7+40t2 |
2 |
|
9 |
3+80t2 |
2 |
24 |
90t2 |
3 |
|
10 |
70t2 |
0,5 |
25 |
50t2 |
1 |
|
11 |
5+40t2 |
2,5 |
26 |
5+60t2 |
2 |
|
12 |
2+50t2 |
1,5 |
27 |
6+30t2 |
0,5 |
|
13 |
60t2 |
3 |
28 |
2+50t2 |
1 |
|
14 |
6+20t2 |
4 |
29 |
3+30t2 |
1,5 |
|
15 |
8+40t2 |
1 |
30 |
5+60t2 |
2 |
|
1. |
2. |
|
3. |
4. |
|
5. |
6. |
|
|
8. |
|
9. |
10. |
|
11. |
12. |
|
13. |
14. |
|
15. |
16. |
|
17. |
18. |
|
19. |
20. |
|
21. |
22. |
|
23. |
24. |
|
25. |
26. |
|
27. |
28. |
|
29. |
30. |
Рис К2.1
Указания. Для решения задачи следует изучить формулы для определения кинематических характеристик поступательного и вращательного движения тела.
Пример выполнения задания.
Дано:
Схема механизма (рис. К2.2); x = 2+70t2 см; (t - в с);R2 = 50 см; r2 = 30 см; R3 = 60 см; r3 = 40 см; t1 = 0,75 с.
Рис. К2.2
Решение. Дифференцированием по времени уравнения движения найдем скорость груза:
см/с.
Угловая скорость звена 2
с-1.
Угловые скорости колес 2 и 3, связанных гибкой передачей найдем из соотношения:
откуда
с-1.
Угловое ускорение
с-2 = const.
Скорость точки М
и направлена перпендикулярно к радиусу в сторону вращения колеса 3.
Рис К2.3
Касательное ускорение точки М
и имеет одинаковое со скоростью направление, так как в рассматриваемом примере вращение колес ускоренное.
Нормальное ускорение точки М
и направлено по радиусу к центру колеса.
Полное ускорение
.
Направления векторов скорости и ускорения показаны на рис К2.3.
Значения этих величин для момента времени t = t1 сведены в таблицу К2.2.
Таблица К2.2
|
, с -1 |
, с-2 |
V, см/с |
Ускорение, см/с2 |
||
|
at |
an |
а |
|||
|
2,92 |
3,89 |
116,67 |
155,6 |
341,1 |
374,9 |
З а д а н и е К3
Для заданного положения механизма найти скорости точек В и С, а также угловые скорости звеньев. Схемы механизмов изображены на рис. К3.1, а необходимые данные для расчета приведены в табл. К 3.1 и К 3.2.
Таблица К3.1
|
вар |
а |
б |
в |
г |
д |
е |
|
ОА |
120 |
100 |
80 |
50 |
20 |
25 |
|
АВ |
75 |
60 |
45 |
30 |
10 |
12 |
|
АС |
60 |
45 |
20 |
15 |
8 |
10 |
|
αº |
30 |
45 |
60 |
45 |
30 |
45 |
|
βº |
60 |
30 |
45 |
60 |
45 |
60 |
Таблица К3.2
|
Номер варианта |
wOA, с-1 |
wI, с-1 |
VA, см/с |
Номер варианта |
wOA, с-1 |
wI, с-1 |
VA, см/с |
|
1 |
2 |
- |
- |
16 |
2 |
- |
- |
|
2 |
3 |
- |
- |
17 |
- |
- |
50 |
|
3 |
- |
- |
100 |
18 |
2 |
- |
- |
|
4 |
4 |
- |
- |
19 |
1 |
2.5 |
- |
|
5 |
5 |
- |
- |
20 |
- |
- |
15 |
|
6 |
1 |
1 |
- |
21 |
3 |
- |
- |
|
7 |
- |
- |
30 |
22 |
4 |
- |
- |
|
8 |
1 |
- |
- |
23 |
- |
- |
10 |
|
9 |
- |
- |
10 |
24 |
2 |
- |
- |
|
10 |
1 |
- |
- |
25 |
1 |
- |
- |
|
11 |
- |
- |
10 |
26 |
2 |
1.2 |
- |
|
12 |
- |
- |
20 |
27 |
1 |
- |
- |
|
13 |
2 |
- |
- |
28 |
- |
- |
20 |
|
14 |
3 |
12 |
- |
29 |
4 |
- |
- |
|
15 |
1 |
- |
- |
30 |
5 |
- |
- |
Примечания. wOA - угловая скорость кривошипа ОА при заданном положении механизма; wI - угловая скорость колеса I; VA – скорость точки А. Качение колёс происходит без скольжения.
|
|
2. |
|
3. |
4. |
|
5. |
6. |
|
7. |
8. |
|
9. |
10. |
|
11. |
12. |
|
13.
|
14. |
|
15. |
16. |
|
17. |
18. |
|
19. |
20. |
|
21. |
22.
|
|
23. |
24. |
|
25. |
26. |
|
27. |
28. |
|
29. |
30. |
Рис К3.1
Указания. Для решения задачи следует ознакомиться с методами определения скоростей точек тела, совершающего плоское движения ( при помощи теоремы о проекциях скоростей или с помощью мгновенного центра скоростей).
Пример выполнения задания.
Дано:
Схема механизма в заданном положении (рис. К3.2); исходные данные (табл. К3.2).
Таблица К3.2
|
Размеры, см |
wOA, с-1 |
||
|
ОА |
АВ |
АС |
|
|
10 |
60 |
20 |
1,5 |
Решение. Вычисляем скорость точки А кривошипа ОА при заданном положении механизма:
VA = ОА=1,510 = 15 см/с.
Скорость точки А перпендикулярна к кривошипу ОА. Скорость ползуна В направлена по вертикали. Мгновенный центр скоростей РАВ шатуна АВ находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных из точек А и В к их скоростям (рис.К3.3.).
Рис. К3.2 Рис. К3.3
Угловая скорость звена АВ:
.
Скорости точек В и С:
VВ = АВВРАВ;
VС = АВСРАВ,
где
ВРАВ = АВsin30 = 600.5 = 30 см;
см.
Следовательно,
VВ = 0,2930 = 8,7 см/с;
VС = 0,2936,1 = 10,5 см/с.
Вектор направлен перпендикулярно к отрезку СРАВ в сторону, соответствующую направлению вращения звена АВ.
З а д а н и е К 4
Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t1. Схемы движения показаны на рисунке К4.1, данные для расчета в таблице К4.1 и К4.2.
Таблица К4.1
|
вар |
а |
б |
в |
г |
д |
е |
|
R, см |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
10 |
|
а, см |
4 |
5 |
10 |
15 |
20 |
4 |
|
t1, с |
0,5 |
1 |
2 |
2,5 |
3 |
2,5 |
|
b |
2 |
3 |
5 |
4 |
6 |
4 |
|
c |
3 |
5 |
2 |
3 |
8 |
6 |
|
d |
5 |
2 |
3 |
8 |
3 |
8 |
Таблица К4.2
|
Вар |
j (t), рад |
S(t), см |
Х(t), см |
Вар |
j (t), рад |
S(t), см |
Х(t), см |
|
1 |
bt |
ct2+15t |
- |
16 |
bt |
3t |
- |
|
2 |
dt |
ct2+5t |
- |
17 |
- |
bt2 |
|
|
3 |
ct |
3t |
- |
18 |
- |
bt2+2t |
|
|
4 |
bt |
ct2+5t |
- |
19 |
- |
bt2 |
ct2+2 |
|
5 |
bt |
ct+5 |
- |
20 |
- |
ct2 |
dt2+t |
|
6 |
dt |
ct+10 |
- |
21 |
- |
dt2 |
ct3-2t |
|
7 |
dt |
ct2+5 |
- |
22 |
- |
bt2 |
dt3+3t |
|
8 |
bt |
ct2+3 |
- |
23 |
- |
bt2+2t |
|
|
9 |
t+b |
cpt |
- |
24 |
- |
bt3-2t2 |
|
|
10 |
bt |
2pt |
- |
25 |
2t |
ct2+t |
- |
|
11 |
bt |
ct2+6t |
- |
26 |
3t |
dt3-2t |
- |
|
12 |
bt |
dt2+8t |
- |
27 |
bt2-3t |
- |
|
|
13 |
ct |
5t |
- |
28 |
bt2+3t |
- |
|
|
14 |
bt |
3t |
- |
29 |
3t |
ct2+2t |
- |
|
15 |
dt |
4t |
- |
30 |
2t |
dt2+4t |
- |
|
1. |
2. |
|
3. |
4. |
|
5. |
6. |
|
7. |
8. |
|
|
10. |
|
11. |
12. |
|
13. |
14. |
|
15. |
16. |
|
17. |
18. |
|
19. |
20. |
|
21. |
22. |
|
|
24. |
|
25. |
26. |
|
27. |
28. |
|
29. |
30. |
Рис. К4.1
Указания. Для решения задачи следует воспользоваться формулами для определения абсолютной скорости и ускорения точки при сложном движении, при этом необходимо понять сущность понятий переносной и относительной скоростей и переносного и относительного ускорений. А также ускорения Кориолиса.
Пример выполнения задания.
Дано:
Пластина вращается по закону:j=2t (рад), по ее диагонали движется точка М согласно уравнению: (см) (рис.К4.2). Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение в момент времени t1=1 c.
Рис. К4.2
Решение. Относительным является движение точки по пластине, а переносным – вращение пластины.
Для того, чтобы найти относительную скорость нужно остановить переносное движение, то есть вращение пластины:
При t=1 с Vотн=0.
Для определения переносной скорости нужно остановить относительное движение, тогда Vпер направлена перпендикулярно пластине в сторону угловой скорости (рис. К4.3)
Рис К4.3
.
Переносная угловая скорость рад/с.
При t1=1с ОМ=S1=2cos(/2)=2 см ,
O1M=OMcos45= см,
см/с.
Абсолютная скорость равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей, а модуль ее находится по формуле:
.
Так как при t1=1c Vотн=0, то
Va=Vпер=2,82 см/с.
Абсолютное ускорение находится по теореме Кориолиса:
(1)
Относительное ускорение:
.
При t1=1 с см/с2 и направлено в противоположную сторону скорости.
Переносное ускорение:
.
Нормальное переносное ускорение:
см/с2.
Касательное переносное ускорение:
так как (=const)
Таким образом:
см/с2
и направлено к точке О1
Ускорение Кориолиса находится как удвоенное векторное произведение векторов переносной угловой скорости и относительной скорости:
.
Так как при t1=1с Vотн=0, то ак=0
Для нахождения абсолютного ускорения складываем вектора и . Для этого формулу (1) проектируем на оси координат:
см/с2;
см/с2;
см/с2.
PAGE 3