Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 10
ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ
Тема 10.1. Функції двох змінних.
10.1.1. Основні поняття.
10.1.2. Границя функції.
10.1.3. Неперервність функції двох змінних.
10.1.4. Властивості функцій, неперервних в обмеженій замкненій області.
Тема 10.2. Похідні і диференціали функцій декількох змінних.
10.2.1. Частинні похідні першого порядку та їх геометричний зміст.
10.2.2. Частинні похідні вищих порядків.
10.2.3. Диференційованість і повний диференціал функції.
10.2.4. Застосування повного диференціала для наближених обчислень.
10.2.5. Диференціали вищих порядків.
10.2.6. Похідна складної функції. Повна похідна.
10.2.7. Інваріантність форми повного диференціала.
10.2.8. Диференціювання неявної функції.
Тема 10.3. Дотична площина і нормаль до поверхні.
Тема 10.4. Екстремум функції двох змінних.
10.4.1. Основні поняття.
10.4.2. Необхідні і достатні умови екстремуму.
10.4.3. Найбільше і найменше значення функції в замкнутій області.
Функції однієї незалежної змінної не охоплюють всі залежності, існуючі в природі. Тому природно розширити відоме поняття функціональної залежності і ввести поняття функції декількох змінних.
Будемо розглядати функції двох змінних, оскільки всі найважливіші факти теорії функцій декількох змінних спостерігаються вже на функціях двох змінних. Ці факти узагальнюються на випадок більшого числа змінних. Крім того, для функцій двох змінних можна дати наочну геометричну інтерпретацію.
10.1. ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ
10.1.1. Основні поняття
Нехай задано безліч впорядкованих пар чисел . Відповідність , яка кожній парі чисел ставить у відповідність одне і лише одне число, називається функцією двох змінних, визначеною на множині із значеннями в , і записується у вигляді або . При цьому і називаються незалежними змінними (аргументами), - залежною змінною (функцією).
Множина називається областю визначення функції. Безліч значень, що приймаються в області визначення, називається областю значень цієї функції, позначається або .
Прикладом функції двох змінних може служити площа прямокутника із сторонами, довжини яких рівні і . Областю визначення цієї функції є множина .Функцію , де можна розуміти (розглядати) як функцію точки координатної площини . Зокрема областю визначення може бути вся площина або її частина, обмежена деякими лініями. Лінію, що обмежує область, називають межею області. Точки області, що не лежать на межі, називаються внутрішніми. Область, що складається з одних внутрішніх точок, називається відкритою. Область з приєднаною до неї межею називається замкнутою, позначається . Прикладом замкнутої області є круг з колом.
Значення функції в точці позначають або і називають частинним значенням функції.
Функція двох незалежних змінних допускає геометричне тлумачення. Кожній точці області в системі координат відповідає точка , де – апліката точки . Множина всіх таких точок представляє собою деяку поверхню, яка в точці і буде геометрично зображати дану функцію
Рис. 1
Наприклад, функція має областю визначення круг і зображується верхньою півсферою з центом в точці і радіусом (див. рис. 1).
Функція двох змінних, як і функція однієї змінної, може бути задана різними способами: таблицею, аналітично, графіком. Будемо користуватися, як правило, аналітичним способом: коли функція задається за допомогою формули.
10.1.2. Границя функції
Для функції двох (і більшого числа) змінних вводиться поняття границі функції і неперервності, аналогічно випадку функції однієї змінної. Введемо поняття околу точки. Множина всіх точок площини, координати яких задовольняють нерівності називається – околом точки . Іншими словами, -окіл точки - це всі внутрішні точки круга з центром і радіусом (див. рис. 2).
Рис. 2
Нехай функція визначена в деякому околі точки окрім, можливо, самої цієї точки . Число називається границею функції при при (або, що те ж саме, при ), якщо для будь-якого існує таке , що для всіх і задовольняють нерівність виконується нерівність . Записують: або
З визначення витікає, що якщо границя існує, то вона не залежить від шляху, по якому прямує до (число таких напрямів нескінченне; для функції однієї змінної по двох напрямах: справа і зліва!)
Геометричний зміст границі функції двох змінних полягає в наступному. Яке б не було число , знайдеться - окіл точки , що у всіх її точках , відмінних від аплікати відповідних точок поверхні відрізняються від числа по модулю менше ніж на .
Приклад 1. Знайти границю .
Будемо наближатися до по прямій , де – деяке число. Тоді
Функція в точці границі не має, так як при різних значеннях границя функції не однакова (функція має різні граничні значення).
Границя функції двох змінних володіє властивостями, аналогічними властивостям границі функції однієї змінної (див. п. 17.3). Це означає, що справедливі твердження: якщо функції і визначені на множині і мають в точці цієї множини межі і відповідно, то і функції , , мають в точці границі, які відповідно рівні , , .
10.1.3. Неперервність функції двох змінних
Функція (або ) називається неперервною в точці , якщо вона:
а) визначена в цій точці і деякому її околі;
б) має границю ;
в) ця границя рівна значенню функції в точці , тобто
або .
Функція, неперервна в кожній точці деякої області, називається неперервною в цій області. Точки, в яких неперервність порушується (не виконується хоча б одна з умов неперервності функції в точці), називаються точками розриву цієї функції. Точки розриву можуть утворювати цілі лінії розриву. Так, функція має лінію розриву .
Можна дати інше, рівносильне приведеному вище, визначення неперервності функції в точці. Позначимо ,
, .
Величини і називаються приростами аргументів і , а – повним приростом функції в точці .
Функція називається неперервною в точці якщо виконується рівність , тобто повний приріст функції в цій точці прямує до нуля, коли прирости її аргументів і прямують до нуля.
Користуючись визначенням неперервності і теоремами про границі, можна довести, що арифметичні операції над неперервними функціями і побудова складної функції з неперервних функцій приводить до неперервних функцій – подібні теореми мали місце для функцій однієї змінної (див. п. 19.4).
10.1.4. Властивості функцій, неперервних в обмеженій замкненій області
Приведемо властивості функцій, неперервних в обмеженій замкнутій області (вони аналогічні властивостям неперервних на відрізку функцій однієї змінної – див. п. 19.5). Заздалегідь уточнимо поняття області.
Областю називається множина точок площини, що володіють властивостями відкритості і зв'язності.
Властивість відкритості: кожна точка належить їй разом з деяким околом цієї точки.
Властивість зв'язності: будь-які дві точки області можна з'єднати неперервною лінією, що цілком лежить в цій області.
Точка називається межовою точкою області , якщо в будь-якому околі її лежать як точки цієї області так і точки що їй не належать.
Сукупність межових точок області називається межею .
Область з приєднаною до неї межею називається замкнутою областю.
Область називається обмеженою, якщо всі її точки належать деякому кругу радіуса . Інакше область називається необмеженою. Прикладом необмеженої області може служити множина точок першого координатного кута, а прикладом обмеженої – окіл точки .
Теорема 10.1. Якщо функція неперервна в обмеженій замкнутій області, то вона в цій області:
а) обмежена, тобто існує таке число , що для всіх точок в цій області виконується нерівність ;
б) має точки, в яких приймає найменше і найбільшезначення;
в) приймає хоча б в одній точці області будь-яке чисельне значення, розміщене між і .
Теорема дається без доведення.
10.2. ПОХІДНІ І ДИФЕРЕНЦІАЛИ ФУНКЦІЙ
ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
10.2.1. Частинні похідні першого порядку та їх геометричний зміст
Нечай задана функція . Оскільки і – незалежні змінні, то одна з них може змінюватися, а інша зберігати своє значення. Дамо незалежній змінній приріст , зберігаючи значення незмінним. Тоді отримає приріст, який називається частинним приростом по і позначається . Отже Аналогічно одержуємо частинний приріст по :
Повний приріст функції визначається рівністю
Якщо існує границя , то вона називається частинною похідною функції в точці по змінній і позначається одним із символів:
Частинні похідні по в точці звичайно позначають символами
Аналогічно визначається і позначається частинна похідна від по змінні :
Таким чином, частинна похідна функції декількох (двох, трьох і більше) змінних визначається як похідна функції однієї з цих змінних за умови постійності значень решти незалежних змінних. Тому частинні похідні функції знаходять по формулах і правилах обчислення похідних функції однієї змінної (при цьому відповідно або вважається сталою величиною).
Приклад 1. Знайти частинні похідні функції
Геометричний зміст частинних похідних функції двох змінних
Графіком функції є деяка поверхня (див. п. 12.1). Графіком функції є перетин цієї поверхні з площиною . Виходячи з геометричного змісту похідної для функції однієї змінної (див. п. 20.2), заключаємо, що , де - кут між віссюі дотичною, проведеною до кривої в точці (див. рис. 3). Аналогічно .
Рис.3
10.2.2. Частинні похідні вищих порядків
Частинні похідні и називають частинними похідними першого порядку. Їх можна розглядати як функції від . Ці функції можуть мати частинні похідні, які називаються частинними похідними другого порядку. Вони визначаються і позначаються таким чином:
;
;
;
.
Аналогічно визначаються частинні похідні 3-го, 4-го і т. д. порядків.
Так ,
Частинна похідна другого або більш високого порядку, узята по різних змінних, називається змішаною частинною похідною . Такими є, наприклад
Приклад 2. Знайти частинні похідні другого порядку функції
Оскільки і , то
. Виявилося, що .
Цей результат не випадковий. Має місце теорема, яку наведемо без доведення.
Теорема 10.2.1 (Шварца). Якщо частинні похідні вищого порядку неперервні, то змішані похідні одного порядку, відмінні лише порядком диференціювання, рівні між собою. Зокрема, для маємо:
.
10.2.3. Диференційовність і повний диференціал функції.
Нехай функція визначена в деякому околі точки . Складемо повний приріст функції в точці :
Функція називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст в цій точці можна представити у вигляді
, (2.1)
де і при
Сума перших двох доданків в рівності (2.1) представляє собою головну частину приросту функції.
Головна частина приросту функції , лінійна відносно і називається повним диференціалом цієї функції і позначається символом :
(2.2)
Вирази и називають частинними диференціалами. Для незалежних змінних і вважають і . Тому рівність (2.2) можна переписати у вигляді
(2.3)
Теорема 10.2.2 (необхідна умова диференційовності функції). Якщо функція диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці, має в ній частинні похідні і причому
Оскільки функція диференційовна в точці , то має місце рівність (2.1). Звідси випливає, що . Це означає, що функція неперервна в точці . Поклавши в рівності (2.1), отримаємо: . Звідси знаходимо . Переходячи до межі при , отримаємо , тобто . Таким чином, в точці існує частинна похідна . Аналогічно доводиться, що в точці існує частинна похідна
Рівність (2.1) можна записати у вигляді
(2.4)
де при
Відзначимо, що зворотне твердження хибне, тобто з неперервності функції, або існування частинних похідних не слідує диференційовність функції. Так, неперервна функція не диференційовна в точці
Як наслідок теореми одержуємо формулу для обчислення повного диференціала. Формула (2.3) приймає вигляд:
або , (2.5)
де − частинні диференціали функції .
Теорема 10.2.3 (достатня умова диференційовності функції). Якщо функція має неперервні частинні похідні і в точці , то вона диференційовна в цій точці і її повний диференціал виражається формулою (2.5).
Приймемо теорему без доведення. Відзначимо, що для функції однієї змінної існування похідної в точці є необхідною і достатньою умовою її диференційовності в цій точці.
Щоб функція була диференційовна в точці, необхідно, щоб вона мала в ній частинні похідні, і достатньо, щоб вона мала в точці неперервні частинні похідні.
Арифметичні властивості і правила знаходження диференціалів функції однієї змінної зберігаються і для диференціалів функції двох (і більшого числа) змінних.
10.2.4. Застосування повного диференціала для наближених обчислень
З означення диференціала функції випливає, що при достатньо малих і має місце наближена рівність
(2.6)
Оскільки повний приріст , рівність (2.6) можна переписати в наступному вигляді:
(2.7)
Формулою (2.7) користуються в наближених розрахунках.
Приклад 3. Обчислити приблизно: .
Розглянемо функцію . Тоді , де , , . Скористаємося формулою (2.7), заздалегідь знайшовши і Отже,
Для порівняння: використовуючи мікрокалькулятор, знаходимо:
і 1,061418168.
Відзначимо, що за допомогою повного диференціала можна знайти: межі абсолютної і відносної похибок в наближених обчисленнях; наближене значення повного приросту функції і т. д.
10.2.5. Диференціали вищих порядків
Введемо поняття диференціала вищого порядку. Повний диференціал функції (формула (2.5)) називають також диференціалом першого порядку.
Нехай функція має неперервні частинні похідні другого порядку. Диференціал другого порядку визначається по формулі . Знайдемо його:
Звідси:
Символічно це записується так:
Аналогічно можна отримати формулу для диференціала третього порядку:
де
Методом математичної індукції можна показати, що
Відзначимо, що отримані формули справедливі лише у разі, коли змінні і функції є незалежними.
Приклад 4. (Для самостійної роботи) Знайти , якщо
Відповідь:
10.2.6. Похідна складної функції. Повна похідна
Нехай - функція двох змінних і , кожна з яких є функцією незалежної змінної : , . В цьому випадку функція є складною функцією однієї незалежної змінної ; змінні і – проміжні змінні.
Теорема 10.2.4. Якщо - диференційовна в точці функція і
і - функції незалежної змінної , також диференційовні, то похідна складної функції обчислюється по формулі
(2.8)
Дано незалежній змінній приріст . Тоді функції і отримають прирости і відповідно. Вони, у свою чергу, викличуть приріст функції .
Оскільки по умові функція диференційовна в точці , то її повний приріст можна представити у вигляді
де при (див. п. 44.3). Розділимо вираз на і перейдемо до границі при . Тоді через неперервність функцій і (по умові теореми вони диференціюються). Одержуємо:
тобто або
Окремий випадок : , де , тобто - складна функція однієї незалежної змінної . Цей випадок зводиться до попереднього, причому роль змінної грає . Згідно формули (2.8) маємо:
або
Формула (2.9) носить назву формули повної похідної.
Загальний випадок: , де , . Тоді – складна функція незалежних змінних і .
Її частинні похідні і можна знайти, використовуючи формулу (2.8). Таким чином , зафіксувавши , замінюємо в ній відповідними частинними похідними
Аналогічно одержуємо:
Таким чином, похідна складної функції по кожній незалежній змінній ( і ) рівна сумі частинних похідних цієї функції по її проміжних змінних ( і ) на їх похідні по відповідній незалежній змінні ( і ).
Приклад 5. Знайти і , якщо
Знайдемо ( – самостійно), використовуючи формулу (2.10):
Спростимо праву частину отриманої рівності:
тобто
10.2.7. Інваріантність форми повного диференціала
Використовуючи правило диференціювання складної функції, можна показати, що повний диференціал володіє властивістю інваріантності: повний диференціал функції зберігає один і той же вигляд незалежно від того, чи є аргументи незалежними змінними або функціями незалежних змінних.
Нехай , де і – незалежні змінні. Тоді повний диференціал (1-го порядку) функції має вигляд
(формула (2.5)).
Розглянемо складну функцію , де , , тобто функцію , де і - незалежні змінні. Тоді маємо:
Вирази в дужках представляють собою повні диференціали і функцій і . Отже, і в цьому випадку
10.2.8. Диференціювання неявної функції
Функція називається неявною, якщо вона задається рівнянням
(2.11)
нерозв’язним щодо . Знайдемо частинні похідні і неявної функції , заданої рівнянням (2.11). Для цього, підставивши в рівняння замість функцію , отримаємо тотожність Частинні похідні по і по функції, тотожно рівній нулю, також рівні нулю:
( – вважаємо сталою)
(– вважаємо сталою)
звідки і
Зауваження.
а) Рівняння вигляду (2.11) не завжди визначає одну змінну як неявну функцію двох інших. Так, рівняння визначає функції або , визначені в крузі , визначену в півколі при і т. д., а рівняння не визначає ніякої функції.
Має місце теорема існування неявної функції двох змінних:
Якщо функція і її похідні визначені і безперервні в деякій околі точки , причому , a , то існує окіл точки , в якій рівняння (2.11) визначає єдину функцію , неперервну і диференційовну в околі точки і таку, що .
б) Неявна функція однієї змінної задається рівнянням . Можна показати, що у випадку, якщо виконуються умови існування неявної функції однієї змінної (є теорема, аналогічна вищезгаданій), то похідна неявної функції знаходиться по формулі
(2.12)
Приклад 6. Знайти частинні похідні функції , заданої рівнянням .
Тут
По формулах (2.12) маємо :
Приклад 7. Знайти , якщо неявна функція задана рівнянням
Тут Отже
тобто
10.3. ДОТИЧНА ПЛОЩИНА І НОРМАЛЬ ДО ПОВЕРХНІ
Розглянемо одне геометричне застосування частинних похідних функції двох змінних. Нехай функція диференційовна в точці деякої області. Перетнемо поверхню , що зображає функцію , площинами і (див. рис. 4). Площина перетинає поверхню по деякій лінії , рівняння якої виходить підстановкою у вираз початкової функції замість числа . Точка належить кривій. Через диференційовність функції в точці функція також диференціюється в точці . Тому, в цій точці площини до кривої може бути проведена дотична пряма .
Рис.4
Проводячи аналогічні міркування для перетину , побудуємо дотичну пряму до кривої в точці . Прямі і визначають площину, яка називається дотичною площиною до поверхні в точці .
Складемо її рівняння. Оскільки площина проходить через точку , то її рівняння може бути записано у вигляді
яке можна переписати так:
(3.1)
(розділивши рівняння на і позначивши ).
Знайдемо і : Рівняння дотичних і мають вигляд
відповідно.
Дотична лежить в площині , отже, координати всіх точок задовольняють рівняння (3.1). Цей факт можна записати у вигляді системи
Розв’язуючи цю систему відносно , отримаємо, що Проводячи аналогічні міркування для дотичної , легко встановити, що
Підставивши значення і в рівняння (3.1), одержуємо шукане рівняння дотичної площини:
(3.2)
Пряма, що проходить через точку і перпендикулярна дотичній площини, побудованої в цій точці поверхні, називається її нормаллю.
Використовуючи умову перпендикулярності прямої і площини (див. з. 87), легко отримати канонічні рівняння нормалі:
(3.3)
Якщо поверхня задана рівнянням , то рівняння (3.2) і (3.3), з урахуванням того, що частинні похідні можуть бути знайдені як похідні неявної функції:
(див. формули (2.12)), приймуть відповідно вигляд
і
Зауваження. Формули дотичної площини і нормалі до поверхні отримані для звичайних, тобто не особливих, точок поверхні. Точка поверхні називається особливою, якщо в цій точці всі частинні похідні рівні нулю або хоча б одна з них не існує. Такі точки ми не розглядаємо.
Приклад 1. Написати рівняння дотичної площини і нормалі до параболоїда обертання в точці .
Тут, , ,
Користуючись формулами (3.2) і (3.3) одержуємо рівняння дотичної площини:
або і рівняння нормалі:
10.4. ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ
10.4.1. Основні поняття
Поняття максимуму, мінімуму, екстремуму функції двох змінних аналогічні відповідним поняттям функції однієї незалежної змінної (див. п. 25.4).
Нехай функція визначена в деякій області , точка
Точка називається точкою максимуму функції якщо існує такий – окіл точки, що для кожної точки , відмінної від , з цього околу виконується нерівність .
Аналогічно визначається точка мінімуму функції: для всіх точок ,відмінних від ,із – околу точки виконується нерівність: .
На рисунку 5: – точка максимуму, – точка мінімуму функції .
Значення функції в точці максимуму (мінімуму) називається максимумом (мінімумом) функції. Максимум і мінімум функції називають її екстремумами.
Відзначимо, що, за означенням, точка екстремуму функції лежить всередині області визначення функції; максимум і мінімум мають локальний (місцевий) характер: значення функції в точці порівнюється з її значеннями в точках достатньо близьких до . В областіфункція може мати декілька екстремумів або не мати жодного.
Рис. 5
10.4.2. Необхідні і достатні умови екстремуму
Розглянемо умови існування екстремуму функції.
Теорема 10.4.1. (необхідні умови екстремуму). Якщо в точці диференційовна функція має екстремум, то її частинні похідні в цій точці рівні нулю: , .
Зафіксуємо одну із змінних. Покладемо, наприклад . Тоді отримаємо функцію однієї змінної, яка має екстремум при . Отже, згідно необхідній умові екстремуму функції однієї змінної (див. п. 25.4), , тобто .
Аналогічно можна показати, що .
Геометрично рівності і означають, що в точці екстремуму функції дотична площина до поверхні, що зображає функцію , паралельна площині , так як рівняння дотичної площини (див. формулу (3.2)).
Зауваження. Функція може мати екстремум в точках, де хоча б одна з частинних похідних не існує.
Наприклад, функція має максимум в точці (див. рис. 6), але не має в цій точці частинних похідних.
Точка, в якій частинні похідні порядку функції рівні нулю, тобто, , , називається стаціонарною точкою функції .
Стаціонарні точки і точки, в яких хоча б одна частинна похідна не існує, називаються критичними точками.
Рис.6
В критичних точках функція може мати екстремум, а може і не мати. Рівність нулю частинних похідних є необхідною, але не достатньою умовою існування екстремуму. Розглянемо, наприклад, функцію . Для неї точка є критичною (в ній і перетворюються в нуль). Проте екстремуму, в ній функція не має, так як в достатньо малому околі точки знайдуться точки для яких (точки І і III четвертей) і (точки II і IV четвертей).
Таким чином, для знаходження екстремумів функції в даній області необхідно кожну критичну точку функції піддати додатковому дослідженню.
Теорема 10.4.2. (достатня умова екстремуму). Нехай в стаціонарній точці деякого її околу функція має неперервні частинні похідні до другого порядку включно. Обчислимо в точці значення ,
Позначимо
Тоді:
1. якщо , то функція в точці має екстремум:
максимум, якщо ;
мінімум, якщо ;
2. якщо , то функція в точці екстремуму не має.
У випадку екстремум в точці може бути, може не бути. Необхідні додаткові дослідження.
Приймемо без доведення.
Приклад 1. Знайти екстремум функції .
Тут Точки, в яких частинні похідні не існують, відсутні.
Знайдемо стаціонарні точки, розв’язуючи систему рівнянь:
Звідси одержуємо точки і
Знаходимо частинні похідні другого порядку даної функції:
В точці маємо:, звідси тобто
Оскільки , то в точці функція має локальний максимум
В точці : і, значить . Проведемо додаткове дослідження. Значення функції в точці рівне нулю: . Можна помітити, що при , при , . Значить, в околі точки функція приймає як негативні, так і позитивні значення. Отже в точці функція екстремуму не має.
10.4.3. Найбільше і найменше значення функції в замкнутій області
Нехай функція визначена і неперервна в обмеженій замкнутій області . Тоді вона досягає в деяких точках свого найбільшого і найменшого значень (т.3. глобальний екстремум). Ці значення досягаються функцією в точках, розташованих усередині області, або в точках, що лежать на межі області.
Правило знаходження найбільшого і найменшого значень диференційованої в області функції полягає в наступному:
1. Знайти всі критичні точки функції, що належать і обчислити значення функції в них;
2. Знайти найбільше і найменше значення функції на кінцях області;
3. Порівняти всі знайдені значення функції і вибрати з них найбільше і найменше .
Приклад 2. Знайти щонайбільше і якнайменше значення функції в замкнутій області, обмеженій лініями:
, , , (див. рис. 7).
Тут
1. Знаходимо всі критичні точки:
Рис. 7
Розв’язком системи є точки
Жодна із знайдених точок не належить області.
2. Досліджуємо функцію на межі області, що складається з ділянок (рис. 212).
На ділянці : , , де
, , . Значення функції , .
На ділянці :
, , де ,
, . Значення функції , .
На ділянці : ,
; ; . Значення функції
На ділянці : ,
Значення функції
3. Порівнюючи отримані результати, маємо: а