Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Тема №9
Решение нелинейных уравнений и систем уравнений.
Рассмотрим задачу отыскания корней нелинейного уравнения f(x) = 0 , то есть найти
корень уравнения называется простым, если , иначе корень
называется кратным.
Число m называется кратностью корня , если .
K=1,2…m-1 и .
Если корень является простым, то график функции пересекает ось под ненулевым
Углом, если m=2k то под нулевым углом.
Задача отыскания кратных корней сложнее, чем отыскание простых корней. Мы будем изучать методы отыскания простых корней.
Чаще всего интерес представляют не все корни, а лишь некоторые.
Решения задачи нахождения корней осуществляют в 2 этапа:
Способы локализации корней различны. Иногда отрезок локализации известен либо он определяется из физических соображений. Часто применяют построение таблиц значений функции i=1,2..n , проверяем наличие перемены знака на концах отрезка. Можно применять графический метод – строить график.
В некоторых случаях можно разбивать функцию на сумму: f(x)=0 Ψ(x)+y(x)=0, отсюда Ψ(x) = -y(x). Можно решить это уравнение графически, построив Ψ(x) = -y(x) и найдя точку пересечения .
Графический метод можно применять для уточнения решения, но точность будет невелика. Мы будем изучать методы уточнения корней.
2 МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ.
Уравнение f(x)=0 представлено в виде x=φ(x) (Это можно сделать разными способами)
Метод простых итераций: выбираем – начальное приближение и получаем n=1,2…
Ясно, что если , то (φ(x) – непрерывная функция).
Возникает вопрос о сходимости метода. Возьмем разные случаи
f(x y
P
x
f(x φ(x)
0
xn
X* X1 X2
Ff метод сходится
φ’(x)<1
xn
Xx x
f(x0)
f(x y
P
x
f(x φ(x)
0
xn
X* X1 X2
Ff метод расходится
φ’(x)>1
xn
Xx x
f(x0)
Опр 1.
φ(x) осуществляет сжатие, если 0<q<1 тогда | φ(x1)- φ(x2)|q|X1-X2| ; X1,X2 – точки из области определения функции.
Теорема. (О сходимости метода итераций)
Пусть φ(x) ϵ С(K) – непрерывная функция
K=[-d; +d] – отрезок (.) x и выполняется следущее
Тогда:
А) Можно построить неограниченную последовательность метода итераций : , ,.. ϵ k ( все элементы которой лежат в k)
Б) и (Процесс итераций сходится к точному значению)
В) - !- но в k
Г) Верна слдущая оценка точности |-|
Доказательство:
А) Рассмотрим последовательность X0,X1,..Xn и докажем, что (*) ||m. Доказательство будет проверенно по *******.
База k=1 : |X1-X0|=| φ(x0)-X0| - верно.
Свойство (*) верно для Xn
Покажем что верно для n+1
||=|-)q|-|q – верно
Теперь рассмотрим последовательность , ,.. в |-| = |- +-||-|+|-| + ... + |-|++ =
=m(+..+1)<m(1+q++..++..) = md
Это и значит, что последовательность лежит в k.
Б) Проверим условие сходимости Коши (функциональности) для последовательности:
|||+..+| m(+..+) m(1+q+
Т. О | - это и есть условие сходимости Коши. Т. О последовательность сходится
В) - другое решение в ||q | т.к. q<1 то
Г) То б) |-| , фиксируем n, а p тогда |.
Следствие:
на отрезке k функция: |. Тогда метод простых итераций сходится (функция осуществила сжатие)
Доказательство: [a,b]
x’,x’’ K . По теореме Коши имеет место ;
Т.е. функция осуществляет сжатие.
Легко доказать, что < (см. гл. 1 для систем). – заданная точность тогда если q~1 трудно достичь требуемой точности (так же, как и для систем).
Способов приведения к виду, удобного для метода итераций много.
Можно поступить следующим образом x=x-.
Пусть f’(x) на [a,b] – непрерывна и положительна, тогда ∃m,M: 0<m≤f’(x) ≤M
Им. Место φ’(x)=1-тогда 1-≤φ’(x) ≤1-, потребуем, чтобы φ’<1:
|φ’(x)|≤q(α)=max{(1- αM),(1- αm)}
Достаточно взять ∀ α∈(0;). Если M и m, то наилучший выбор α=
Опр.
Метод имеет порядок сходимости Р, если |
Для метода простых итераций | - сходимость линейная Р=1.
ДРУГИЕ МЕТОДЫ С ЛИНЕЙНОЙ СХОДИМОСТЬЮ.
1.Метод деления пополам.
На отрезке [a,b] функция меняет знак. Тогда f(b)f(a)<0
Будем получать последовательность приближений к решению Xo,X1,X2…
Положим Ao=a, Bo=b; - середина отрезка. Найдём знак f(Xo)
Если f(Xo)f(Bo)<0 →A1=Xo; B1=Bo
f(Xo)f(Ao)<0 →A1=Ao; B1=X1
Отрезок делится пополам каждый раз.
; f(Xk)f(Bk)<0 →;
f(Xk)f(Ak)<0 →;
Метод сходится со скоростью неометрической прогрессии со скростью ;
Не зависит от вида функции.