Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Орест Гасяк
Чернівці
2008
Чернівецький національний університет
імені Юрія Федьковича
Орест Гасяк
Алгоритми і зразки розвязкових процедур
Навчальний посібник
Чернівці
«Рута»
2008
ББК 87.4в2я7
П 693
Г 229
Друкується за ухвалою редакційно-видавничої ради
Чернівецького національного університету
імені Юрія Федьковича
Гасяк О.С. Практична логіка: Навчальний посібник. Чернівці: «Рута», 2008. 240 с.
Навчальний посібник містить алгоритми і зразки (взірці) розвязкових процедур, передбачених 1,5 кредитним курсом логіки.
Пропонується авторське тлумачення логічної природи і функцій міркування і його структурних елементів у контексті дискурсу, розкривається евристичний потенціал елементарних методів і способів логічного аналізу.
Посібник адресовано студентам гуманітарних факультетів й усім небайдужим до розширення горизонту логічної культури мислення.
ББК 87.4в2я7
П 693
Г 229
© «Рута», 2008
© Гасяк О.С., 2008
ЗМІСТ
Передмова__________________________________________________________________
Мова логіки____________________________________________________________________
1.0.Формалізовані мови та мови логічних систем___________________________________
Мова логіки класів (множин)_______________________________________________
Питання для самоконтролю_________________________________________________
Підсумкові вправи та завдання______________________________________________
Тест____________________________________________________________________
Література_______________________________________________________________
Мова класичної логіки висловлень___________________________________________
Питання для самоконтролю_________________________________________________
Підсумкові вправи та завдання______________________________________________
Тест____________________________________________________________________
Література_______________________________________________________________
Мова класичної логіки предикатів___________________________________________
Питання для самоконтролю_________________________________________________
Підсумкові вправи та завдання______________________________________________
Тест____________________________________________________________________
Література_______________________________________________________________
Логічний аналіз поняття______________________________________________________
Мовні форми вираження поняття____________________________________________
Логічна характеристика поняття_____________________________________________
Логічний аналіз відношень між поняттями____________________________________
Логічна дія над змістом понять______________________________________________
Логічні дії над обсягами понять_____________________________________________
Операції обмеження і узагальнення понять____________________________________
Операція поділу понять____________________________________________________
Логічні операції над класами (множинами) понять_____________________________
Питання для самоконтролю_________________________________________________
Підсумкові вправи та завдання______________________________________________
Тест____________________________________________________________________
Література_______________________________________________________________
Логічний аналіз суджень (висловлень)__________________________________________
Логічний аналіз простих суджень____________________________________________
Логічний аналіз складних суджень___________________________________________
Метод таблиць істинності або метод семантичних таблиць______________________
Метод аналітичних таблиць________________________________________________
Логічний аналіз відношень між складними судженнями_________________________
Питання для самоконтролю_________________________________________________
Підсумкові вправи та завдання______________________________________________
Тест____________________________________________________________________
Література_______________________________________________________________
Логічні закони _______________________________________________________________
Закони традиційної логіки__________________________________________________
Закон тотожності_________________________________________________________
Закон суперечності________________________________________________________
Закон виключеного третього________________________________________________
Закон достатньої підстави__________________________________________________
Закони нетрадиційних логічних систем_______________________________________
Закони логіки класів_______________________________________________________
Закони логіки висловлень _______________
Закони логіки предикатів_____________________________ _________
Питання для самоконтролю____________________________ _________
Підсумкові вправи та завдання____________ ___________________________
Закон тотожності_________________________________________________________
Закон суперечності________________________________________________________
Закон виключеного третього________________________________________________
Закон достатньої підстави__________________________________________________
Тест____________________________________________________________________
Література_______________________________________________________________
Логічний аналіз умовиводів___________________________________________________
Дедуктивні умовиводи_____________________________________________________
Безпосередні умовиводи___________________________________________________
Опосередковані умовиводи_________________________________________________
Складні, скорочені та складноскорочені умовиводи____________________________
Виводи із складних суджень________________________________________________
Індуктивні умовиводи_____________________________________________________
Аналогія як традуктивний умовивід__________________________________________
Питання для самоконтролю_________________________________________________
Підсумкові вправи та завдання______________________________________________
Тест____________________________________________________________________
Література_______________________________________________________________
Логічні основи аргументації___________________________________________________
Доведення і спростування засобами традиційної логіки_________________________
Доведення та його види____________________________________________________
Спростування та його види_________________________________________________
Доведення і спростування засобами сучасної логіки____________________________
Доведення і спростування засобами логіки висловлень__________________________
Обґрунтування вивідності тези з аргументів методом таблиць істинності_________
Обґрунтування вивідності тези з аргументів методом аналітичних таблиць_______
Зясування коректності (некоректності) доведення за допомоги числення у системі натурального виводу (СНВ) логіки висловлень за кратною імплікацією___
Розвязкові процедури зясування коректності доведення чи спростування методом зведення формул, що їх репрезентують, до нормальних форм та їхніх модусів КНФ, ДНФ, ДКНФ, ДДНФ, СКНФ та СДНФ_________________________________________________________________
Доведення і спростування засобами логіки предикатів__________________________
Розвязкова процедура для дедуктивних форм обґрунтування вивідності тези з аргументів_____________________________________________________________
Розвязкова процедура обґрунтування вивідності тези з аргументів у системі натурального виводу (НВ)__________________________________________________
Розвязкова процедура визначення коректності форм доведення (спростування) методом аналітичних таблиць_______________________________________________
Доведення і спростування за допомоги законів і правил логіки висловлень і логіки предикатів_______________________________________________________
_
Інтерпретація як засіб обґрунтування коректності доведення і спростування _____
Питання для самоконтролю_________________________________________________
Підсумкові вправи та завдання______________________________________________
Тест____________________________________________________________________
Література_______________________________________________________________
Підсумковий тест_____________________________________________________________
Додатки_____________________________________________________________________
Розум без розсудку ніщо, а розсудок без розуму щось.
Гегель
ПЕРЕДМОВА
Цивілізованість суспільства визначається духовністю. Духовність вищий прояв самосвідомості. Самоусвідомлення людиною своєї сутності проявляється у дискурсивному мисленні. Розумність постає у розсудкових формах буття розуму поняттях, судженнях, умовиводах, які репрезентують міркування. Завдяки розсудку людина робить результати міркування доступними розумінню, тому розсудкове мислення є практичним критерієм духовності. Якість дискурсивного мислення залежить не тільки від інтелектуальних потенцій людини, а й від рівня розвитку культури загалом і логічної зокрема: яка культура така й логіка і, навпаки, яка логіка така й культура. Щоб долучитися до логічної культури епохи, треба не тільки засвоїти відповідний теоретичний матеріал, а й набути навичок і умінь оперувати розсудковими формами за певними логічними правилами і законами, які своєрідно подають загальні закономірності інтенцій мисленнєвої діяльності, що веде до істини.
Структура посібника охоплює тільки ті навчальні елементи (питання) змістовних модулів (тем) курсу логіки, продуктивне засвоєння яких неможливе без виконання вправ і розвязування завдань, а саме: «Мова логіки», «Поняття», «Судження», «Логічні закони», «Умовивід», «Логічні основи аргументації». У посібнику представлено як традиційні, так і сучасні методи і прийоми аналізу міркування та його структурних елементів, що передбачені навчальною програмою дисципліни. Основне дидактичне завдання посібника зводиться до набуття студентами гуманітарних факультетів навичок і умінь творчого логічного аналізу міркувань на основі добре засвоєного теоретичного матеріалу.
Кожна рубрика змістового модулю чи його елементів містить не тільки зразки розвязкових процедур, алгоритмів, методів логічного аналізу, а й питання для самоконтролю ступеня засвоєння теоретичного матеріалу. Крім цього подаються підсумкові вправи та завдання для закріплення набутих навичок і умінь логічного аналізу за навчальними елементами, а також контрольний тест і список літератури до модулю.
Методична вартість посібника полягає в тому, що в ньому ви знайдете відповіді на питання практичного застосування теоретичних знань з логіки, що певною мірою дисциплінуватиме здійснюваний вами розсудковий дискурс, з одного боку, а з іншого переконуватиме вас у корисності логіки як теоретичної, так і прикладної науки про міркування, форми в яких воно постає та правила і закони, яким підлягає.
Навчальний посібник побудований таким чином, щоб ви могли повною мірою реалізувати набуті теоретичні знання з курсу логіки в конкретних розвязувальних процедурах, набуваючи у такий спосіб практичного досвіду, який зможете використати для розвязання конкретно-наукових або суто практичних завдань.
Посібник стане в пригоді тим, хто самостійно освоює логіку, її предмет і метод, форми і закони правильного мислення, і особливо прислужиться добрим порадником студентам заочної форми навчання.
Навчальний посібник написаний на базі рекомендованої літератури та на основі власного досвіду викладання логіки студентам гуманітарникам різнопрофільних вищих навчальних закладів. У посібнику враховано здобутки провідних українських та зарубіжних учених-педагогів у галузі логіки. Автор щиро вдячний їм за оригінальні ідеї стосовно методологічного потенціалу формальнологічних розвязкових процедур, що актуалізували проблему діапазону їх практичного застосування.
1.МОВА ЛОГІКИ
Навчальний елемент «Мова логіки» є структурною частиною змістового модуля «Мислення, мова, логічні закони» курсу «Логіка». Цей модуль є засадничим, оскільки безпосередньо стосується методу логіки як нормативної науки та основних принципів (законів) правильного мислення, які постають у вигляді формул, що виражають структуру завжди істинних думок.
Мета цього розділу полягає в тому, щоб ви могли осмислити й засвоїти потенціал методу формалізації не тільки на рівні запамятовування алфавіту мови логічних систем, а й набути вміння і навички формалізації міркувань засобами логічних систем, навчитись самостійно утворювати й перетворювати формули, що репрезентують міркування, та інтерпретувати їх адекватними розвязковими процедурами (підстановки, семантичних та аналітичних таблиць, інтерпретації, числень та ін.).
цей розділ змістовного модуля містить теоретичний матеріал, зразки розвязування завдань і виконання вправ, питання для самоконтролю, підсумкові вправи і завдання, тест і список літератури до розділів мова логіки класів (множин), класичної логіки висловлень та класичної логіки предикатів.
1.0.ФОРМАЛІЗОВАНІ МОВИ ТА МОВИ ЛОГІЧНИХ СИСТЕМ
Приступаючи до розвязування завдань чи виконання вправ, вам належить, насамперед, повторити теоретичний матеріал стосовно зазначеного змістового модулю та його елементів.
Природа і функції формалізованих мов, зокрема мови конкретних логічних систем, закорінена в проблемі природи людського пізнання, його рівнів та етапів, особливостях чуттєвих та раціональних форм осягнення реальності, а також їх репрезентації в адекватних теоретичних системах знання. Якщо результати чуттєвих форм пізнання відчуття, сприйняття, уявлення постають у формі чуттєво-наочних образів предмета, то результати раціональних форм пізнання поняття, судження, умовивід постають у формі ідеальних образів предмета чи явища, їх ознак чи властивостей або відношень між ними. Чуттєві та раціональні форми взаємозвязані й взаємнопотенціюються. Раціональні або логічні форми пізнання хоча і повязані із чуттєвими, але не тотожні їм. Логічне або абстрактне мислення це раціональний процес активного й цілеспрямованого відображення обєктивної реальності в мозку людини на основі даних органів чуттів. Знання, здобуті на стадії абстрактного мислення, опосередковані цими даними, знаходять своє відображення в логічних (мисленнєвих) формах. Логічні форми пізнання (мислення) відображають світ узагальнено, виділяючи найістотніші й загальні ознаки предметів і явищ, які розкривають їхню суть. Логічні форми, в яких відображається реальність, уречевлюються мовою. Мова є матеріальною формою і способом фіксації людської думки. Мова не тільки виражає наші думки, а й фіксує способи звязку між ними. Досліджуючи мову, ми розкриваємо логічні звязки між думками, які уречевлюються у словах, словосполученнях та реченнях чи їх системі. Мова, виражаючи і зберігаючи наші думки у логічних формах, транслює останні від покоління до покоління, постає способом пізнання світу. Інтелектуальна мисленнєво-мовленнєва акція вимагає розпізнавання образів, їхньої класифікації, що зумовлює формування у психіці системи еталонів. Ці еталони не ототожнюються з окремими спостережуваними предметами, а мають суто абстрактний характер. Вони фіксуються у вигляді особливих сигналів мовних знаків. Саме мовні знаки, закріплюючи суспільно значущі ситуації у свідомості людини, сприяють розвиткові абстрактного поняттєво-категоріального мережива, завдяки якому людина пізнає світ. Мовні структури різного рівня (фонетичні, лексичні, граматичні, синтаксичні), що складаються у процесі розвитку природних мов, по-різному беруть участь в реалізації акту мислення. Як засоби побудови думки мовні структури накладають відбиток на процес мислення і сприяють відображенню дійсності у вигляді системи абстракцій. Іншими словами, мислення є формою відображення реальності, а мова є інструментом мислення. Будучи знаряддям мислення, мова повязана своєю смисловою стороною з обєктивною реальністю і своєрідно відтворює останню. Це зумовлено взаємозвязком мови й людського пізнання, суспільно-історичною генезою мовних форм. Поза цим звязком вона не може бути пізнаною. Тому мову мусимо розглядати у звязку з пізнанням й узагальненням. Саме звязок мови з мисленням і дійсністю уможливлює розвязок проблеми ролі мови в пізнанні. Мова як засіб відображення дійсності впливає на сам спосіб сприйняття та пізнання цієї дійсності. Вам відомо, що природна мова „допомагає» мисленню відтворити картину світу, іменувати предмети дійсності, описувати їх стан, поведінку і т. ін. Оскільки природна звукова мова постає системою знаків і слів, і є членоподільною, а її словниковий фонд і граматика дають можливість конструювати тексти і складні знаки, то іноді її іменують напівформальною системою або частково штучною.
Цілком вірогідно, що за аналогією напівформальних мов конструюються штучні, формалізовані мови, які можуть функціонувати тільки у звязку з природними мовами. Формалізовані мови це штучні мови формальних логічних числень. Ці мови відрізняються від природних мов тим, що вони постають системою знаків і символів, операції з якими здійснюють за правилами, які визначаються тільки структурою, формою виразів, утворених із символів чи знаків. Штучна логічна мова це спеціально створена для логічних цілей формальна система, яка слідує за логічною формою та відтворює її. Інакше кажучи, усі вирази (знакові структури) формалізованої мови є формулами, операції над якими здійснюють за правилами, що визначаються тільки структурою цих формул, абстрагуючись від їхнього змісту. Це дає можливість досягти точності й однозначності вживання виразів, чого не може забезпечити природна мова. Відмітною рисою формалізованої мови є те, що вона містить у собі певну теорію чи систему логічного аналізу. Специфіка формалізованої мови не в тому, що в ній слова замінюються на букви та спеціальні символи, а в тому, що фундаментом формалізованої мови є розроблена система логічного аналізу міркувань.
Основу чи базу формалізованої мови становлять єдині символи, які називають вихідними і неподільними. Нагадаємо, що під символом (знаком) розуміють матеріальну річ, предмет, процес, дію, стан, що вживаються для позначення іншого предмета, явища, процесу, стану, дії, відношення чи звязку предметів обєктивної реальності або форм мислення і логічних операцій. Значенням символу (знаку) є предмет, репрезентований знаком у даній системі, а зміст знака (символа) становить інформація про властивості або відношення між предметами мислення.
Зауважимо, що задати алфавіт штучної мови як знакової системи та визначити правила утворення формул для побудови формалізованої мови недостатньо. Як і природна мова, кожна формалізована мова має свій синтаксис, який визначає її структуру, правила утворення й перетворення одних формул в інші, свою семантику, яка визначає систему правил приписування значень формулам мови. До формалізованих мов, як і до будь-яких формальних систем, ставляться відповідні вимоги несуперечливості, повноти, незалежності аксіом і т. ін.
Пригадайте, щоб побудувати формалізовану мову як логічну систему, треба, попервах, виписати вихідні, єдині й неподільні символи (терміни), число яких не обмежується; далі, з конечної лінійної послідовності вихідних символів утворити формули, відтак, із числа усіх можливих формул виділити за відповідними ознаками правильно побудовані формули і оголосити їх аксіомами (залежно від завдань, які розвязуватимуться цією мовою, визначаємо відповідну кількість аксіом); і нарешті, встановити правила виводу (вивідності), за якими з правильно побудованих формул як із засновків (гіпотез) безпосередньо виводити правильно побудовані формули як висновки (наслідки). Отримана кінечна послідовність правильно побудованих формул репрезентуватиме доведення, якщо кожна правильно побудована формула в цій послідовності є або аксіомою, або безпосередньо вивідною за одним із правил виводу з попередніх правильно побудованих формул цієї ж послідовності.
Ви уже знаєте, що логіка вивчає міркування як інтелектуальну процедуру, що постає у формі стандартного звязку між елементами розсудкових форм. Можливість репрезентувати смислові логічні відношення і процедури точним способом уможливлює і вирізняє структуру міркування, його логічні звязки.
Зверніть увагу на те, що формалізовані мови створюються не для заміни природних мов. Вони постають як фрагменти, моделі певних аспектів природних мов. Правила конструювання в штучних мовах задаються таким чином, щоб обєкти (формули), породжувані цими правилами, відповідали тим же граматичним структурним вимогам, що й осмислені вирази природної мови. Метою формалізованих мов логічних систем є не заміна слів, словосполучень, речень у процесі опису логічних процедур та правил, а відтворення процесу й результату сходжень від загального до часткового, тобто дедукування. Логічні формальні системи будуються таким чином, щоб репрезентувати логічні структури і звязки. Річ не в тім, щоб побудувати логіку у вигляді формальної системи, на зразок алгебри, а в тім, щоб сконструювати мову символів для «чистого» мислення, яка адекватно відтворювала б відношення між поняттями та відношення логічного слідування між думками. Методологічна, гносеологічна роль формалізованих мов полягає в тому, що вони постають своєрідним інструментом дослідження змістових процесів, оскільки природна мова позбавлена такої можливості. Не треба думати, що штучні мови це спрощенні фрагменти природних мов. Насправді це доповняльні системи, які служать для того, щоб зробити явними ті засади, які приймаються в теорії, а також репрезентувати точним методом логічні звязки і структуру міркувань. Крім цього, мови логічних систем з визначеною семантикою і синтаксисом дають змогу зясувати шляхом реконструкцій певні інтелектуальні когностичні процедури, виявити їхні онтологічні припущення, теоретико-пізнавальні засади, повязані зі способом міркувань, та виявити інформацію, яку несуть у собі логічні принципи і закони.
Майте на увазі, що смисл, знаків (символів) чи виразів формалізованої мови неможливо пояснити поза їхнім місцем і роллю в знаковій системі. Зміст і завдання знаків мови можна зясувати, виявляючи умови й принципи функціонування знакової системи. Вивчаючи штучні мови, треба памятати й про те, що тільки в процесі комунікації складаються відповідні знакові системи та адекватні їм аспекти мови: семантика, синтаксис і прагматика. Ці аспекти знакового процесу належним чином висвітлені в підручниках з логіки згідно вимог кредитно-модульної системи організації навчального процесу.
До вище означеного додамо наступне. Мова логіки це спеціально створена знакова система, яка придатна відтворювати логічну форму. Мова логіки є формалізованою мовою. Побудова такої мови передбачає адекватну теорію логічного аналізу. Безперечно, що для опису правильного мислення можна користуватися і природною і штучною мовами. Проте, передати, репрезентувати чітку й визначену форму думки, треба послуговуватись символічною мовою, оскільки природна мова не придатна для цієї ролі, бо містить у собі аморфність не тільки словника, а й правил побудови виразів та процедур надання їм значень. Більшість слів має не одне, а кілька значень, а один і той самий обєкт може мати кілька імен або не позначити жодного і т. ін. Сказане не означає, що природна мова не годиться для логічних цілей і що її варто замінити чисто символічно системою знаків. Як відомо, природна мова виконує свої функції вираження, передачі та зберігання думок. Але, виконуючи вказані функції, природна мова не може чітко передати форму. Щоб логіка як наука могла виконувати свою методологічну функцію і розвязувати власні завдання, вона обєктивно зумовлена створити спеціальну штучну мову, побудовану за строго визначеними правилами. Зрозуміло, що ця мова аж ніяк не годиться для спілкування. Проте, основне завдання цієї мови виявляти сутні логічні звязки між думками, і на цій підставі зясовувати проблему адекватності змісту форм мислення тій реальності, котра репрезентується цими формами.
Як правило, мова логіки будується без посилання на ту реальність, яку вона описуватиме. Тільки згодом вводяться правила надання значень комбінаціям знаків, вказується на їх інтерпретацію. Крім цього, відокремлення синтаксису і семантики мови логіки дозволяє чітко увиразнити поняття логічної вивідності чисто формально, не апелюючи при цьому до змісту сконструйованих і перетворених виразів. Оперування ідеальними смислами замінюється маніпуляцією знаками та їх комбінаціями. Вивідність певних ідей у такому випадку постає як логічне числення.
Ознайомившись з мовами наступних логічних систем, ви переконаєтесь в тому, що мова логіки виконує методологічну функцію вона є засобом зясування звязку між формами мислення і тією ментальною (логічною) реальністю, яка відображає або відтворює обєктивну реальність в її звязках та відношеннях.
1.1.МОВА ЛОГІКИ КЛАСІВ(МНОЖИН)
Головна мета цього навчального елемента полягає в тому, щоб осягнути базові поняття теорії множин (класів), її знакові (мовні) засоби та набуття навичок й умінь подання множин та їх запису, а також операцій над класами (множинами)*.
Перш ніж приступити до виконання вправ і розвязування завдань, варто відновити набутий вами теоретичний матеріал про мову логіки класів, яку можна вважати історично першою символічною мовою, що призначалася для формалізації понять, точніше їхніх обсягів, а також зясування на формальному рівні відношень між класами (множинами), виявляння на цій підставі специфіки відношень між знаками (символами), їх методологічної функції в процесі конструювання множини чи класу, визначення закономірностей поєднання знаків, їх прагматичної ролі в постановці та розвязуванні теоретико-множинних проблем.
Логіка класів це особлива система, а заодно й метод, що лежить в основі теорії понять, без якої майже неможливо розумувати стосовно аналітико-дедуктивних процедур.
Повторення теоретичного матеріалу варто розпочати із зясування змісту базових понять даної логічної системи: множина (клас), підмножина (підклас), одиничний клас, елемент класу, порожній клас, універсальний клас, включення (невключення), належність (неналежність) елемента класу, підмножини множині, рівність (нерівність) класів (множин) та інших знакових засобів цієї логічної теорії.
Нагадаємо зміст вищевказаних понять.
Оскільки поняття «множина» є основним (невизначуваним), то пояснимо його на прикладах. Можна говорити про множину студентів певної академічної групи, про множину слів на одній із сторінок конкретної книги, про множину голосних чи приголосних українського алфавіту і т. ін. В математиці слово «множина» вживається замість слів, що характеризують певну сукупність предметів, хоча ця сукупність може містити лише один предмет, а то й жодного. Для нас важливо те, що предмети будь-якої природи (книги, будинки, вулиці, міста, країни, числа, геометричні фігури та ін.), що утворюють (складають) множину, називаються елементами множини.
Множини чи класи позначають великими літерами латинського алфавіту: А, В, С,... Невизначені елементи деякої довільної множини символізують малими літерами латинського алфавіту (з індексами і без них): x, y, z, ..., x1, y1, z1, ... і т. ін. Визначені елементи множини записують малими літерами початку латинського алфавіту (з індексами і без них): а, в, с, d, ..., а1, в1, с1, d1, ... і т. ін.
Знаки Î та Ï символізують відповідно належність (неналежність) елемента певній множині чи класу. Те, що елемент а належить множині М записують так: а Î М (читається: «а належить множині М», або «а Î М»: «а є елементом множини М», або «а входить до множини М»). Неналежність елемента а множині М записують так: а Ï М (читається: «а не є елементом М», або «а не належить множині М», або «а не входить до множини М»). Аналогічно: х Î М, х Ï М.
Не забудьте про те, що питання належності чи неналежності предмета до певної множини постає дуже часто в найрізноманітніших сферах знання. Так, наприклад, кажучи про те, що Марчук М.Г. професор, ми стверджуємо, що Марчук М.Г. належить до множини усіх професорів. Або якщо ми кваліфікуємо творчий доробок філософа як такий, що базується на методології позитивізму, то ми відносимо (приписуємо) його до множини (класу) позитивістів і т. ін.
У який же спосіб задаються і записуються множини? Коли множина вважається заданою?
Множину вважають заданою, якщо про кожний предмет можна з певністю сказати, чи належить він до цієї множини чи ні.
Ви пригадуєте, що множину можна задати переліком всіх її елементів. Якщо, наприклад, літерами а, в, с, d позначити різні предмети (обєкти), то множину цих предметів записують так: А = {а, в, с, d} (читається: А це множина, елементи якої а, в, с, d).
Не забувайте при цьому згадати, що кожний предмет (елемент) входить у множину чи клас тільки один раз.
Крім вищеназваного способу задання множини, є ще й інший спосіб. Суть його в наступному: формулюють загальну властивість (ознаку) предметів, з яких утворюватимуть множину. Цю ознаку прийнято називати характеристичною (особливою або специфічною). Цей спосіб використовують тоді, коли йдеться про більш загальний клас чи множину.
Якщо, наприклад, задається множина А натуральних чисел менших 7, то загальною ознакою (властивістю) усіх елементів множини А буде властивість «бути натуральним числом і меншим за число 7». Перелічити елементи цієї множини досить легко: А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Запис множини, для елементів якої вказана характеристична ознака, здійснюється так: у фігурних дужках пишуть спершу позначення елемента, відтак проводять вертикальну риску, після якої записують властивість, яку мають елементи даної множини, і тільки вони. Таким чином, множину натуральних чисел менших 7 записують так: А = {х| х натуральне, х < 7}.
Отже, для того, щоб задати певну множину, треба перелічити її елементи, або вказати специфічну ознаку її елементів. Зауважимо, що перерахувати елементи множини можна тоді і тільки тоді, коли їх скінченна кількість, а вказати загальну (спільну) ознаку чи властивість елементів множини можливо навіть тоді, коли число елементів скінчене і нескінчене. Це не означає, що для запису нескінченних множин неможливо використати перший вид запису. Так, наприклад, множину натуральних чисел N можна репрезентувати у вигляді: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}. Але такий запис можливий тоді, коли видно, що приховується за крапками.
Завдання, в умові яких вимагалося вказати множину, елементи якої мають задану властивість, вам доводилося розвязувати тоді, коли ви були ще школярами. Ці завдання формулювались так: «Підкресліть у цьому уривку тексту роману «Хліб і сіль» М.Стельмаха усі дієслова»; «Випишіть із цієї вправи усі іменники чоловічого роду»; «Назвіть усі голосні букви українського алфавіту» і т. ін.
Часто серед множин подибуються такі, що не містять жодного елемента. Причин зяви таких множин чимало: одні з них повязані з побудовою теоретичної системи, інші мають субєктивний характер. Так, наприклад, вам треба скласти реєстр (список) студентів вашого факультету, які грають в хокей на льоду, тобто утворити множину студентів-хокеїстів. Насправді такі студенти на факультеті не навчаються. Отже, множина Х не містить жодного елемента. Множина, яка не містить жодного елемента, називається порожньою (пустою) і позначається знаком (символом) порожнього класу Ø.
Позначимо літерою А сукупність президентів, які є космонавтами. Нині відсутня будь-яка інформація про те, що хтось із президентів є космонавтом, тому множина А не містить жодного елемента. Цю ситуацію подають символічно так: А = Ø. До речі, порожні класи (множини), наприклад А та В, можуть бути рівними, але за умови: якщо х Ï А, то х Ï В і, навпаки, якщо х Ï В, то х Ï А. На основі принципу еквівалентності множин (класів) мусимо визнати, що множини (класи) А та В є рівними: А = В.
Таким чином, ми підійшли до поняття рівності множин (класів). Зауважимо, що проблема рівності множин не є тривіальною, оскільки з відношення рівності випливає ряд властивостей взаємозвязку між множинами.
Ми вже знаємо, що рівними є ті і тільки ті множини (класи), котрі містять одні й ті ж самі елементи. Рівність множин чи класів записують так: А = В. Наприклад, множина А = {1, 3, 5, 7} і В {7, 5, 3, 1} рівні, оскільки складаються з однакових елементів. Памятайте, що множина не змінюється, якщо переставити місцями її елементи.
З означення рівності множин (класів) випливають такі властивості: (а) А = А; (б) Якщо А = В, то В = А; (в) Якщо А = В, В = С, то А = С. Запис А ≠ В означає, що принаймні одна із множин містить елемент, який не належить одній із двох множин. Щоб обґрунтувати рівність довільних множин А та В, треба встановити, що кожний елемент множини А є елементом множини В і навпаки. Для цього досить перевірити: (1) коли х Î А, то х Î В; (2) коли х Î В, то х Î А. Нагадаємо, що обґрунтувати рівність класів (множин) можна відомим вам принципом еквівалентності.
У контексті викладеного вище напрошується питання про те, що таке підмножина. Множина В є підмножиною множини А в тому і тільки в тому випадку, коли кожний елемент множини В належить множині А. Цю ситуацію записують так: В Ì А (або А É В) і читають: «Множина В є підмножиною А». Знак Ì вживається для позначення звязку між множинами, який виражається словосполученням «є підсистемою».
Нехай А множина усіх студентів Чернівецького національного університету, а В множина студентів філософсько-теологічного факультету цього ж таки університету. Очевидно, що множина В входить у множину А. У цьому випадку множину В називають підмножиною множини А.
Прийнято вважати, що кожна множина А є підсистемою самої себе: А Ì А, а також і те, що порожня множина Ø є підмножиною будь-якої множини А: Ø Ì А.
Неабияке значення в теорії множин (класів) має знання про власні й невласні підмножини тієї чи тієї множини для розвязування певних завдань. Тому ви маєте знати наступне: будь-яка непорожня підмножина В множини А, яка не співпадає з А, називається власною підмножиною. Підмножини А та Ø називаються невласними підмножинами множини А.
Розглянемо цю ситуацію на прикладі.
Множина А = {2, 4, 8} має такі підмножини: {2}, {4}, {8}, {2, 4}, {2, 8}, {4, 8}, {2, 4, 8}, {Ø}. З цих восьми підмножин останні дві підмножини {2, 4, 8} та {Ø} є невласними підмножинами множини А, а решта шість підмножин є власними підмножинами множин А.
Для коректної формалізації відношення між підмножиною і множиною, маємо навчитись розрізняти власні і невласні підмножини певної множини. Якщо підмножина В строго включається у множину А (В Ì А; де А ≠ В), то в цьому випадку В є власною підмножиною А. Якщо має місце широке включення, тобто В Í А (читається: множину В включено в множину А), то це означає, що кожний елемент множини В є елементом множини А, при цьому В називається підмножиною, а множина А надмножиною (або метамножиною). Таке включення не виключає, що В = А. Такі множини називаються невласними. Отже, якщо має місце широке включення, то множина В є невласною підмножиною А.
Інакше кажучи, якщо властивості, якими задані певна множина та її підмножина, співпадають (є одними й тими ж), то ці множини будуть рівними. Тому вважається, що множина є частиною самої себе (іноді кажуть «повною частиною»). Якщо ж властивість, якою задана певна підмножина, суперечить властивості, якою задана сама множина, то дана підмножина буде порожньою. А тому порожня множина є частиною будь-якої множини. Повну й порожню множини називають невласними підмножинами, а решту підмножин власними. Памятайте, що число підмножин певної множини можна обчислити за формулою m = 2n (де n число елементів). Ця формула знадобиться нам для розвязування певного типу завдань.
Нагадаю, що підмножинами ми оперуємо постійно, виділяючи частини різних сукупностей предметів чи понять. Умінню виділяти частини тієї чи тієї множини ми вчимося, починаючи зі шкільної лави, а може й раніше. Так, на уроках української (чи іншої мови), ви виконували вправи з такими умовами: «Підкресліть у цьому реченні усі прикметники»; або у вузі, досліджуючи, наприклад, роль прийменникових зворотів у поезії Д.Павличка «Пелюстки і леза», ставили собі завдання: «Виділіть серед різних прийменникових зворотів ті, які містять прийменник «в» та ін.; або, наприклад: «Виділіть у множині світових релігій ті, котрі належать до нетрадиційних». В буденності нам також доводиться оперувати поняттям підмножини: множина реліктових будинків по вул. Головній є підмножиною множини всіх будинків м. Чернівці; множина стільців 26 аудиторії VІ корпусу ЧНУ є підмножиною множини всіх аудиторних стільців ЧНУ і т ін.
І останнє: зверніть увагу на поняття універсальної множини та її особливості. Ми, як правило, забуваємо про це. Зауважимо, що ситуації, в яких усі множини розглядається як підмножини однієї і тієї ж множини (символ універсуму), дуже часті. Такі множини називаються універсальними, символічно їх позначають літерою U. Отже, якщо U множина усіх студентів певного університету, то підмножини (студенти факультетів А, В, С) постають як підмножини цієї ж універсальної множини. Включеність підмножини в універсальній клас чи множину записують символічно так: А Ì U, В Ì U, С Ì U і т. ін. Аналогічно, нехай А множина тих студентів, котрі набувають кваліфікації філософа, В множина тих, хто готується стати соціологом, С множина тих, хто хоче стати релігієзнавцем, Д множина тих, хто присвятив себе теології. Перелічені множини {А, В, С, Д} можна розглянути як підмножини однієї множини множини студентів філософсько-теологічного факультету ЧНУ.
Отже, відновивши шляхом повторення навчального матеріалу, базові поняття, терміни, символи навчального елемента «Мова логіки класів», ви можете приступати до виконання вправ і розвязування завдань. У випадку, якщо цих знань виявиться замало, то цей навчальний елемент передбачає знайомство із рекомендованою до нього літературою, яка охоплює майже увесь зміст цього навчального елемента.
Завдання. Визначте вид поняття за обсягом: «сузіря», «перший президент України», «президент», «відьма».
Зразок відповіді. Як відомо, обсяг поняття це множина або клас предметів, кожен з яких має ознаки (-у), відображені в змісті поняття. Згідно з означенням (визначенням), зазначені в умові завдання поняття належать до таких видів: «сузіря» загальне, збірне; «перший президент України» одиничне; «президент» загальне; «відьма» нульове, або поняття з порожнім класом.
Завдання. Подайте 2-3 довільні скінченні класи переліком всіх елементів або підкласів.
Відповідь. Клас «президент України» містить такі елементи класу {М.Грушевський, Л.Кравчук, Л.Кучма, В.Ющенко}. Клас планет Сонячної системи складається з елементів {Земля, Марс, Венера, Юпітер, Сатурн, Меркурій, Уран, Нептун, Плутон}.
Клас умовиводів містить підкласи {необхідні умовиводи, правдоподібні умовиводи}.
Завдання. Чи буде множина (клас) усіх рівносторонніх прямокутників (А) власною підмножиною (підкласом) усіх прямокутних ромбів (В). Як записати символічно, що А включено в В?
Відповідь. Оскільки множини А та В рівні, тобто А = В, то включення множини А в множину В матиме такий вигляд: А Í В (читаємо: «Клас (множина) А включений (-а) в клас В»).
Завдання. Наведіть два-три приклади понять, в яких відображено відношення між обсягом та запишіть їх символічно, послуговуючись мовою логіки класів (множин).
Відповідь. (а) «Рівносторонній прямокутник» (А) і «прямокутний ромб» (В): А = В;
(б) «Українська мова» (А) і «природна мова» (В): А Ì В;
(в) «Українська мова (А), «світова мова» (В), «мова» (С):
Якщо А Î В, В Î С, то А Î С.
Завдання. Наведіть приклад множин (класів) А, В, С, де А Î В, В Î С, і А Î С. Відповідь обґрунтуйте.
Зразок відповіді. «Сократ» (А), «Людина» (В), «Смертний» (С). Оскільки ці множини повязані між собою відношенням транзитивності, то якщо А Î В, В Î С, то А Î С.
Зауважимо, що ви можете дати інший варіант відповіді та її обґрунтування.
Завдання. Запишіть символічно належність (неналежність) елементів 6, 28, 17, ⅔, множині парних натуральних чисел А.
Відповідь. 6 Î А; 28 Î А; 17 Ï А; ⅔ Ï А.
Вправа. Як можна назвати множину артистів, що працюють в одному театрі?
Відповідь. {Трупа}.
Вправа. Запишіть множину А натуральних чисел, меншу 7.
Відповідь. А = {х \/ х натуральне, х < 7}.
Вправа. Чи є рівними множини (класи) А та В:
А = {3, 5, 7, 9}, В = {7, 3, 9, 5}?
Відповідь. Множини А та В є рівними (А = В), оскільки вони складаються з однакових елементів: 3, 5, 7, 9.
Вправа. Запишіть множину різних букв у слові ‹параграф›.
Відповідь. Множиною різних букв у слові ‹параграф› є {п, р, г, ф}.
1.1.1. ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
Що таке клас (множина)?
Чому визначення множини, дане Г.Кантором, не є бездоганним?
Якими літерами (буквами, символами) позначають множину чи клас?
Чи можна вважати множиною сукупність реально існуючих предметів?
Як співвідносяться між собою поняття «клас», «множина», «обсяг», «сукупність», «загін», «колекція» та їм подібні?
Чи є загальноприйняті назви множин?
Що таке елементи множини (класу)?
Якими літерами (символами) позначають елементи множини?
Якими символами позначають належність елемента множині?
Якими літерами позначають множину множин?
Яким знаком позначають неналежність елемента множині?
Які множини (класи) вважаються рівними?
Які властивості випливають з визначення рівності множин?
У який спосіб обґрунтовується рівність довільних множин?
Що таке підмножина (підклас)?
Яка множина називається правильною частиною множини?
Якими символами позначають включення підмножини в множину?
Чи різняться між собою символи включення і належності?
Як обґрунтувати включеність одного класу в інший?
Що таке порожня множина або пустий клас?
Яким символом позначається порожній клас?
Як записати факт порожньої множини?
Що таке універсальна множина?
Яким символом позначається універсальна множина чи клас?
Що означає «задати клас» чи «задати множину»?
Чи має принципове значення порядок виписування елементів класу чи множини?
Які знаки використовуються для запису множини?
В який спосіб задаються класи чи множини?
Що таке «характеристична властивість»?
Чи може відповідати одній і тій самій множині кілька форм?
1.1.2.ПІДСУМКОВІ ВПРАВИ ТА ЗАВДАННЯ
Наведіть приклади таких множин А, В, С, що А Î В, В Î С, але А Î С.
Який із записів правильний: а Î {а}; {а} Î а; А Î {А}; А = {А}; {А} Î А?
Що можна сказати про клас {а, в}, якщо:
(а) а, в найменші двоцифрові натуральні числа, які діляться відповідно на 3 і 4?
(б) а, в найбільші двоцифрові числа, які діляться відповідно на 3 і 4?
Задайте 2-3 скінчені множини (класи) через перелік всіх їх елементів.
Чи має місце А Í В = В Í А симетричність?
Наведіть 2-3 приклади понять, які відображають властивість речей, а також відношення між ними?
Чи буде множина всіх рівносторонніх прямокутників (А) власною підмножиною усіх прямокутних ромбів (В)? Як записати символічно, що А включено в В?
Визначте які з наведених понять є загальними, одиничними, збірними, нульовими: «круглий квадрат», «учений», «батько традиційної логіки»?
Виразіть символічно звязок між класами (множинами). U множина всіх людей; А множина всіх студентів; В множина студентів університету; С множина студентів філософсько-теологічного факультету.
Що означають множини (класи) А ∩ С, В ∩ ~С, А ∩ ~В ∩ С?, де U клас усіх людей, А клас усіх студентів, В усі студенти університету, С усі філологи.
Як записати множину (клас) людей, кожний з яких або студент університету, або відмінник?
Якщо А U В = А ∩ В, то яке відношення має місце між А та В?
Чи існують такі множини А, В, С, для яких одночасно виконувалися б вимоги: А U В = Ø; А ∩ С = Ø; А ∩ В ∩ С = Ø?
Виразіть символічно результати перетину класів А, В, С.
Які з наведених висловлень, що містять довільні класи А, В, С, є істинними:
Якщо А ≠ В і В ≠ С, то А ≠ С.
Якщо А ∩ В Í ~С і А U С Í В, то А ∩ С = Ø.
Якщо А Í ~(В U С) і В Í А U С, то В = Ø.
Як виразити символічно клас студентів, які не є віруючими?
Запишіть символічно належність порожнього класу як підкласу будь-якого класу?
Обсяги наведених нижче понять витлумачте як класи, вказавши на їхні елементи, відповідні їм власні підкласи, а також ті властивості, за допомогою яких можна утворити ці класи:
(а) «країна»; (б) «твори Т.Г.Шевченка»; (в) «помаранчева революція».
Запишіть символічно належність і неналежність елемента класу за умови, що елемент класу є підклас.
Передайте мовою логіки класів відношення між обсягами понять, що виконують функцію логічного підмета і логічного присудка в категоричних судженнях.
Як записується мовою логіки класів вираз: «клас усіх х має властивість Q».
Наведіть приклади множин, складених із:
(а) назв квітів; (б) історичних подій; (в) геометричних фігур; (г) філософських напрямків; (д) нетрадиційних конфесій; (е) політичних систем; (є) політичних сил в Україні.
Назвіть елементи, які належать множині: (а) предметів, які вивчаються на І курсі філософського відділення; (б) пальців на руці; (в) гілок влади в Україні.
Нехай множина С множина тварин. Чи належить цій множині: (а) слон; (б) мурашка; (в) сосна; (г) хобот слона; (д) щука.
А множина багатокутників. Чи належать цій множині: (а) восьмикутник; (б) паралелограм; (в) круг; (г) відтинок; (д) паралелепіпед?
Запишіть множину (клас) різних цифр числа 3254882.
Запишіть множину різних букв у слові «параграф».
Запишіть множину А натуральних чисел, менших 7.
Запишіть за допомогою знака рівності і фігурних дужок речення:
А множина назв квітів: ружа, ромашка, лілея, тюльпан;
В множина букв слова ‹ромашка›;
С множина столиць пострадянських держав;
Д множина різних слів у реченні «І побачив він степи, степи безкраї»
Вкажіть, яку характерну властивість має елемент множини {а, е, и, і, о, у}?
У поданих нижче множинах усі елементи, крім одного, мають якусь спільну властивість. Опишіть цю властивість і знайдіть (відшукайте) елементи, які не мають цієї властивості:
(а) {квадрат, круг, ромб, паралелограм};
(б) {синій, червоний, білий, колія, чорний};
(в) {4, 9, 16, 25, 30}.
Вкажіть серед поданих множин порожні множини:
а) множина людей на Сатурні;
б) множина міст України з населенням більш 5 мільйонів осіб;
в) множина круглих квадратів;
г) множина трикутних прямокутників.
Назвіть елементи множини студентів своєї групи, чиї прізвища починаються з літери А; з літери Б; ..., з літери Я. Які з цих множин є порожніми? До якої множини належите ви?
Чи є рівними множини А та В:
А = {3, 5, 7, 9}, В = {7, 3, 9, 5}?
Серед заданих множин вкажіть рівні множини: А = {1, 3, 6}, В = {3, 6, 9}, С = {6, 9, 3}, Д = {3, 2, 6}, Е = {2, 3, 6}, F = {9, 6, 3}, К = {6, 3, 2}.
Для кожного із слів ‹сосна›, ‹осколок›, ‹осока›, ‹колос› складіть множину його букв. Чи є серед цих множин рівні?
Які з наведених множин є рівними між собою: А множина квадратів; В множина прямокутників; С множина чотирикутників з прямими кутами; Д множина прямокутників з рівними сторонами; F множина ромбів з прямими кутами.
Дано множини: А = {а, б, в, г, д, е, є, ж, з, і}, В = {а, г, з, і}, С = {б, в, г, д, ж, з}, Д = {а, б, в}, Е = {б, в, г, д}, F = {а, і}. Вкажіть, які множини є підмножинами множини А. Чи є F підмножиною В? Підмножиною якої множини є Д?
Дано три множини: С = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, М = {4, 1, 3, 2}, К = {4, 6, 5, 32}. Доведіть, що: (а) М Ì С; (б) К Ì С.
Нехай Q множина усіх іменників. Які з наступних множин є підмножинами множини Q? Запишіть це за допомогою символу «Ì ».
(а) М = {море, низький, берег, пізно};
(б) F = {ріка, ліс, зелень, гордість};
(в) К = {клопіт, вірний, плисти, дерево}.
Дано, що А Ì В, В Ì С, чи буде А підмножиною С? Наведіть приклад.
Придумайте три множини А, В, С такі, що
(а) С Ì В і А Ì В
(б) В Ì С і С Ì А
(в) А Ì В, В Ì С, В Ì А.
Запишіть множину (а) днів тижня та (б) множину місяців року.
Знайдіть універсальний клас для підмножини А інститут, В університет, С академія.
1.1.3.ТЕСТ
1. Мова це:
А.Знакова система, що використовується для комунікації і пізнання.
Б. Система знаків, слів, словосполучень та правил оперування ними.
В. Безпосередня дійсність думки.
Г. Практична свідомість людини.
Д. Засіб мислення і пізнання.
2. Розрізняють такі типи мов:
А.Природні й штучні.
Б. Природні й неприродні.
В. Старі й нові.
Г. Живі і мертві.
Д. Світові й національні.
3. Природна мова це:
А.Звукова мова, що постає системою знаків і слів і є членороздільною.
Б. Система слів і словосполучень та інших знаків.
В. Словниковий фонд і граматика.
Г. Засіб спілкування, що є системою слів і словосполучень.
Д. Засіб передачі й зберігання думок.
4. Штучна мова це:
А.Спеціально створена знакова система для легалізації логічних звязків елементів інтелектуальних форм та структурування їх в адекватні реальним звязкам і відношенням композиції.
Б. Символічна мова.
В. Формальна система знаків.
Г. Спеціально створена мова.
Д. Засіб аналізу природної мови.
5.Функції мови стосовно мислення полягають у тому, що мова є:
А.Засобом вираження, передачі та збереження думок.
Б. Способом відображення дійсності.
В. Практичною свідомістю.
Г. Формою і засобом пізнання реальності.
Д. Засобом репрезентації дійсності.
6. Алфавіт символічної мові це:
А.Сукупність знакових засобів, які використовуються у формалізованих мовах.
Б. Система будь-яких знаків.
В. Множина довільних символів.
Г. Множина спеціальних знаків-символів.
Д. Клас знаків для спеціальних потреб.
7. Логічна семантика це:
А.Розділ логічної семіотики, який вивчає відношення мовних знаків до їхніх значень у структурі логічної теорії.
Б. Галузь семіотики як науки про знаки.
В. Семіотичний вимір знакового процесу.
Г. Сфера семіотичного знання.
Д. Наука, що досліджує властивості знаків.
8. Логічний синтаксисз це:
А.Розділ логічної семіотики який досліджує відношення між мовними знаками в структурі логічної теорії.
Б. Галузь семіотики як науки про знаки.
В. Прагматичний вимір знакового процесу.
Г. Сфера семіотичного знання.
Д. Наука про специфіку сполучень знаків.
9. Логічна прагматика це:
А. Розділ логічної семіотики, який вивчає відношення мовних знаків до носіїв мови в структурі логічної теорії.
Б. Галузь семіотики як науки про знаки.
В. Прагматичний вимір знакового процесу.
Г. Сфера семіотичного процесу.
Д. Наука про значення знаків у житті людини.
10. Формалізована мова це:
А. Спеціально створена штучна знакова система, яка містить адекватний своїй логічній теорії алфавіт, правила утворення й перетворення знаків та інтерпретацію, абстрагуючись при цьому від смислового аспекту відношення між знаками.
Б. Абстрактна мова, що оперує абстракціями.
В. Система знаків, які аналізуються людиною.
Г. Мова символів і знаків, які конструюються людиною.
Д. Штучна мова, яка є системою формул.
11. Чи повязані між собою пізнання, мислення, мова?
А. Так.
Б. Ні.
12. Формалізація в широкому розумінні цього слова це метод вивчення різноманітних обєктів шляхом відображення їх змісту й структури в знаковій формі.
А. Так.
Б. Ні.
13. Мова логіки класів (множин) це:
А. Спеціальна штучна знакова система, для позначення понять (імен) та логічних операцій над ними.
Б. Специфічна мова, що є системою знаків і символів.
В. Особлива і тільки для певної цілі створена знакова система.
Г. Символічна система, що утворюється на основі природної мови з метою операцій над поняттями.
Д. Формалізована система для потреб аналізу понять та відношень між ними в структурі міркувань.
14. Множина (клас) це:
А. Сукупність будь-яких обєктів, що мають спільну для всіх характеристичну властивість (ознаку).
Б. Обсяг предметів чи їх сукупності.
В. Група предметів і явищ.
Г. Набір предметів певного класу.
Д. Зібрання будь-яких предметів.
15. Великими літерами початку латинського алфавіту позначають:
А. Множини (класи).
Б. Елементи множини (класу).
В. Підмножини певної множини (класу).
Г. Універсальні множини (класи).
Д. Порожні множини (класи).
16. Малими літерами початку латинського алфавіту прийнято позначати:
А. Предметні сталі.
Б. Предметні змінні.
В. Предметні значення.
Г. Змінні величини.
Д. Будь-яке слово.
17. Предметні змінні прийнято позначати малими літерами кінця латинського алфавіту (з індексами і без них):
А. Так.
Б. Ні.
18. Предметні сталі позначають малими літерами початку латинського алфавіту:
А. Так.
Б. Ні.
19. Довільну величину прийнято позначати символом М:
А. Так.
Б. Ні.
20. Знаком «Î » позначають належність елемента (підмножини) множині:
А. Так.
Б. Ні.
21.Неналежність елемента множини множині позначають символом «Ï »:
А. Так.
Б. Ні.
22. Які множини задають у такий спосіб: А = {а, в, с, d}?
А. Скінчені.
Б. Нескінчені.
В. Повні.
Г. Порожні.
Д. Часткові.
23. Як називають множину, яка не містить жодного елемента?
А. Порожня.
Б. Неповна.
В. Суперечна.
Г. Часткова.
Д. Забута.
24. Як називають такі множини: А = {3, 5, 7, 9} і {7, 3, 9, 5}?
А. Рівними.
Б. Однаковими.
В. Рівнозначними.
Г. Одномірними.
Д. Багатомірними.
25. Чи може бути множина підмножиною самої себе?
А. Так.
Б. Ні.
26. Повну й порожню частини (множини) називають невласними підмножинами певної множини.
А. Так.
Б. Ні.
27. Чи можна вважати власними підмножинами ті підмножини, які утворені (виявлені) за формулою m = 2²?
А. Так.
Б. Ні.
28. Чи тотожні поняття «універсальна множина» і «нескінчена множина»?
А. Так.
Б. Ні.
29. Хто ввів поняття «множина» в наукову практику?
А. А.Г.Кантор.
Б. Дж.Мілль.
В. Д.Гільберт.
Г. В.Аккерман.
Д. Г.Фреге.
30. Чи є адекватним визначення множини, дане Г.Кантором?
А. Так.
Б. Ні.
1.1.4. ЛІТЕРАТУРА
Вендлер З. Факты в языке //Философия, логика, язык. М.: Прогресс, 1987. С. 293-317.
Гетманова А.Д. Логика. М.: Новая школа, 1995. С. 17-27.
Горский Д.П. Логика. М., 1963. С. 3-17.
Жоль К.К. Вступ до сучасної логіки. К.: Вища шк., 1992. С. 10-18.
Жоль К.К. Введение в современную формальную логику. К.: Стилос, 2000. С. 129-149.
Зегет В. Элементарная логика. М.: Высшая шк., 1985. С. 5-31.
Ивин А.А. Логика . М., 2000. С. 25-36.
Ивлев Ю.А. Логика . М., 1998. С. 16-26.
Ішмуратов А.Т. Вступ до філософської логіки. К.: Абрис, 1997. С. 17-32.
Калужнин А.А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. М.: Просвещение, 1978.
Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. М., 1982. С. 19-22.
Конверський А.Є. Логіка (традиційна та сучасна). К., 2004. С. 42-61; С. 141-145.
Кондаков В.Н. Логический словарь. М.: Наука, 1971.
Кужель О.В. Елементи теорії множин і математичної логіки. К.: Радянська школа, 1977. С. 4-94.
Куратовский А., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.
Кутасов А.Д. Элементы математической логики. М.: Просвещение, 1977.
Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М., 1995. 205 с.
Мельников В.Н. Логические задачи. К.; Одесса: Висш. шк., 1989. С. 5-11; 34-40.
Мышление и язык. М., 1957. С. 166-212.
Никитин В.В. Сборник логических упражнений. М.: Просвещение, 1970.
Петров В.В. Структура значения в языке науки. Новосибирск: Наука, 1979. 142с.
Руденко К.П. Логіка. К.: Вища шк., 1976. С. 9-14.
Райуорд-Смит В. Дж. Теория формальных языков. М.: Радио и связь, 1988. 129с.
Серпинский В.О. О теории множеств: Пер. с польск. М.: Просвещение, 1966. 62с.
Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и теория множеств: Пер. с польск. М.: Прогресс, 1965. 368 с.
Смирнова Е.Д. Логическая семантика и философские основания логики. М., 1986. С. 15-22.
Соломоник А. Язык как знаковая система. М.: Наука, 1992.
Справочная книга по математической логике: Пер. с англ. Ч. 2: Теория множеств. М.: Наука, 1982. С. 9-34.
Столл Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории: Пер. с англ. М.: Просвещение, 1968. 232 с.
Тофтул М.Г. Логіка. К.: Академія, 1999. С. 8-11.
Философия, логика, язык: Пер. с англ. М.: Прогресс, 1987. 332 с.
Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств: Пер. с англ. М.: Мир, 1966. 556 с.
Фрейденталь Я. Язык логики. М.: Наука, 1969. 135 с.
Хоменко І.В., Алексюк І.А. Основи логіки. К.: Четверта хвиля, 1996. С. 39-56.
Хоменко І.В. Логіка юристам. К.: Четверта хвиля, 1997. С. 23-37.
Хоменко І.В. Практикум. К.: Юрінком Інтер, 2000. С. 12-16.
Чейф У.Л. Значение и структура языка: Пер. с англ. М.: Прогресс, 1975. 432 с.
Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М.: Наука, 1971. 254 с.
1.2. МОВА КЛАСИЧНОЇ ЛОГІКИ ВИСЛОВЛЕНЬ
Мова логіки висловлень адекватна логічній теорії знакова система, предметом .дослідження якої є міркування, що містять складні висловлення.
Підготовку до розвязання завдань та виконання вправ варто розпочати з того, в якому контексті ви будете розглядати мову логіки висловлень.
Спершу згадайте особливості будь-якої штучної мови та порівняйте її з природною, наприклад, українською мовою. Такий підхід увиразнить орієнтацію в процедурах «перекладу» виразів природної мови мовою логіки висловлень і навпаки.
Мова логіки висловлень, як і будь-яка подібна їй система знаків і символів, - спеціально створений засіб точного аналізу певних мисленнєвих процедур вивідності одних висловлень з інших, їх доведеності чи спростованості та ін.
Порівнюючи мову логіки висловлень з природною мовою, ви виявите, що мова логіки висловлень є штучною мовою, яка переслідує іманентні їй цілі: аксіоматичну побудову теорії, аналіз змісту висловлень природної мови, виявлення логічних форм цих висловлень, зясування відношень між висловленнями, опис правил міркування, розумування та форм виводів і доведень.
Зверніть увагу на те, що в природних мовах виділяють три семіотичні аспекти синтаксичний, семантичний і практичний, тоді, коли в штучних мовах зосереджують увагу на синтаксичному та семантичному аспектах. Зі змісту теоретичного матеріалу до цього навчального елемента, вам відомо, що виділення прагматичного аспекту в природних мовах повязане з певними невизначеностями. Йдеться про те, що деякі вирази природної мови є неоднозначними за смислом. Крім цього, має місце відсутність точних правил побудови речень та їх системи і т ін. Мова логіки висловлень, так само як й інші штучні мови, не має цих недоліків. Ці мови містять точні правила утворення, перетворення та визначення значень виразів (аналогів лінгвістичних одиниць).
Мова логіки висловлень належить до формалізованих мов. Тут використовується особлива символіка для позначення логічних звязків та операцій. Застосування символіки (знаків) слугує скороченню запису висловлень, полегшує розуміння змісту, зокрема в складних ситуаціях. Особливу увагу зверніть на те, що міркування, розумування, дискурс, здійснювані природною мовою, є операціями саме зі смислами, а тому можуть бути репрезентовані формалізованою мовою як операції зі знаковими формами висловлень, що входять у структуру міркувань і мають певний смисл. Логічні дії над висловленнями здійснюються за правилами формального характеру (так само, як із операціями над класами), тобто враховується тільки те, із яких знаків складені знакові форми і в якому порядку розташовані ці знаки. Формалізовані мови постають, таким чином, засобом виділення типів відношень речей, їх властивостей, які репрезентують логічний зміст висловлень і визначають форми правильних міркувань. До цього ж, треба памятати, що в мові логіки висловлень не береться до уваги субєкт-предикатна структура висловлень, а виявляються тільки логічні форми складних висловлень.
Мова класичної логіки висловлень містить список знакових засобів і визначення формули.
Знаковими засобами мови логіки висловлень є:
1. Знаки пропозиційних змінних (знаки, якими позначають прості висловлення): p, q, r, s, t,…, а також ці знаки з індексами: p1, q1, r1, s1, t1,….
2. Знаки логічних сполучників:
~ знак заперечення (читається: «не», «невірно, що …»);
/\ знак конюнкції (читається: «і» або «та» в значенні «і»);
\/ знак дизюнкції (читається: «або»);
→ знак імплікації (читається: «тоді…, коли…», «якщо…, то…»);
↔ знак еквіваленції (читається: «…тоді і тільки тоді…, коли…»).
Ці знаки призначені для позначення смислових звязків між висловленнями.
Як правило, логічні сполучники співпадають з граматичними, хоча мають місце випадки, коли треба виявляти звязки між висловленнями в контексті граматичних звязків між реченнями.
До знакових засобів мови логіки висловлень входять технічні знаки: ( ліва дужка, ) права дужка і , кома. Ці знаки виконують роль знаків пунктуації.
3. Інших знаків мова логіки висловлень не містить.
Визначення формули логіки висловлень подається, як правило, індуктивно. Індуктивний спосіб визначення або дефініювання розпадається на три етапи: на першому етапі визначення подається перелік обєктів* певного типу з інших обєктів; на другому етапі визначення вказується на способи побудови обєктів певного типу з інших обєктів цього ж типу; на третьому етапі визначення констатується вичерпність (повнота) переліку визначуваних обєктів перших двох етапів.
З огляду на зазначені вище вимоги індуктивного визначення, дефініція формули логіки висловлень виглядатиме так:
1. Будь-яка пропозиція змінна (p, q, r, s, t,…) є формулою.
2. Якщо А то В формули, то (А /\ В), (А \/ В), (А → В), (А ↔ В), ~А (а також ~В) формули.
3. Ніщо крім вказаного в п.п. 1 і 2, не є формулою.
Памятайте, що знаки А та В, які ми використовуємо у визначені формули, не є знаками мови логіки висловлень. Вирази, що містять ці знаки, самі собою не є формулами це схеми, моделі формул певного виду. Вони є виразами, котрі репрезентують класи формул аналітичної структури. Так, наприклад, вираз (А /\ В) є схемою (моделлю) таких формул, як (p /\ q), (p /\ (~q \/ r)), ((~p → q) /\ (p \/ q)) та ін., а вираз (А \/ В) може бути схемою формул: (p \/ q), ((p /\ ~q) \/ (p → q)), (p \/ (p /\ r) → s) і т. ін.
Зверніть увагу на те, що не всякий вираз, репрезентований мовою логіки висловлень, є формулою. Треба памятати наступне: якщо вираз побудований згідно з пунктами етапів дефініювання формули, тоді цей вираз є формулою, якщо ж ні, тоді він постає довільною послідовністю знаків. Наприклад, вирази p /\ , (q → p) →, → ( r \/ s) \/ отїм подібні не є формулами, тоді як вирази ((p \/ q) → p), (p → (q → p)), (p → s) та ін. є формулами логіки висловлень.
Дефініція формули підвела вас до розуміння того, що формули є вихідні й похідні, тобто прості й складні формули. Проте, ви маєте чітко розрізняти прості й складні формули. Формулу, що виражає просте висловлення, прийнято називати простою формулою. Окремо взяті символи пропозиційних змінних (p, q, r, s, t,…) є простими формулами, тобто неподільними. Формула, що виражає складне висловлення, називається складною формулою. Складні формули містять пропозиційні змінні та логічні сполучники. Наприклад, вирази, (p /\ q), p → (q \/ r), (~p \/ q) є складними формулами.
Крім цього, треба розрізняти формули й підформули. Формула, що входить до складу тієї чи іншої формули, називається її підформулою. Наприклад, підформулами формули (~p /\ (q \/ r)) є такі підформули: ~p (p), q, r, (q \/ r), а також формула (~p /\ (q \/ r)), оскільки за визначенням формули кожна формула є підформулою самої себе.
Перелічені вихідні знаки (символи) та правила утворення формул складають синтаксис мови логіки висловлень.
Питання семантики мови логіки висловлень виходять за межі тих завдань, котрі стосуються формалізації виразів природної мови мовою логіки висловлень. Побіжно нагадаємо, що операція приписування значень виразам формальної мови називається інтерпретацією. Логічні сполучники або логічні сталі мови логіки висловлень отримують одну єдину для даної мови інтерпретацію, а дескриптивні (описові) знаки пропозиційні змінні у складі формул, а також самі формули можуть набувати різної інтерпретації, залежно від ситуації. Власне, наявність цієї інтерпретації визначає семантику мови логіки висловлень.
Маючи добрі теоретичні знання про штучну мову, її логічну природу та функції, використовуючи знакові засоби мови логіки висловлень та визначення формули, ви зможете заформалізувати будь-яке значуще висловлення природної мови мовою логіки висловлень, тобто замінити його формулою, яка в явному вигляді виражатиме його логічну форму.
Для цього треба здійснити наступні кроки:
а) виокремити всі прості висловлення, що входять у складне висловлення і позначити їх пропозиційними змінними;
б) визначити логічні сполучники, що звязують прості висловлення, і позначити їх відповідними знаками;
в) записати формулу.
Цей алгоритм «перекладу» (формалізації) ви маєте памятати, приступаючи до розвязування завдань чи виконання вправ.
Для набуття практичних навичок та уміння здійснювати формалізацію чи «переклад» виразів природної мови мовою логіки висловлень, вам необхідно ознайомитись не тільки зі зразками розвязування завдань і виконання вправ, а й відповісти на підсумкові питання та розвязати запропоновані вправи і завдання. Завершенням цього навчального елемента буде «тест», який і підсумує набуті вами знання.
Завдання. Розгляньте висловлення. «Якщо політик розумна людина, то він знає свої недоліки, і якщо політик порядна людина, то він визнає їх»; випишіть (списком) усі прості висловлення, що входять до його складу, позначте їх пропозиційними змінними (знаками); виявіть усі граматичні сполучники та репрезентуйте їх відповідно логічними сполучниками і, насамкінець, запишіть формулу аналізованого вами висловлення.
Зразок відповіді. З огляду на структуру висловлення та беручи до уваги, що мисляться в кожному елементові структури висловлення, вираженого складним реченням, ми можемо кваліфікувати дане висловлення як складне, структурними елементами якого є такі прості висловлення, як:
Політик розумна людина;
Політик знає свої недоліки;
Політик порядна людина;
Політик визнає свої недоліки.
Оскільки ці прості висловлення є різними за змістом, то позначаємо їх відповідно різними пропозиційними символами: перше p, друге q, третє r, четверте s.
Далі виявляємо граматичні сполучники та адекватні їм логічні сполучники.
Дане висловлення містить (явно) два граматичні сполучники «якщо…, то…», якому відповідає логічний сполучник «імплікація» (→), а також має місце один граматичний сполучник «і», якому відповідає логічний сполучник «конюнкція» (/\).
Смисловий зв'язок між простими висловленнями, зєднаних адекватними йому логічними сполучниками, дає підстави репрезентувати аналізоване висловлення формулою: (p → q) /\ (r → s).
Зазначимо, що поширену відповідь дають тоді, коли в умові завдання значиться вимога: «Свою відповідь обґрунтуйте». Якщо така вимога відсутня, то відповідь подаєте лаконічно.
Припустимо, що треба розвязати таке завдання:
Заформалізуйте висловлення, застосовуючи мову логіки висловлень: «Якщо будь-яка протиправна дія карається, а наклеп є протиправною дією, тоді за неї також карають». Свою відповідь обґрунтуйте.
З огляду на структуру це речення є складним. Отже, форма думки, висловлена таким реченням, є також складною. Оскільки висловлення є складним, то воно містить прості висловлення, що складають його структуру. Такими простими висловленнями є:
1. Будь-яка протиправна дія карається.
2. Наклеп є протиправною дією.
3. Наклеп (як протиправна дія) підлягає покаранню.
Позначимо ці прості висловлення відповідно пропозиційними змінними. Перше висловлення позначимо літерою «p»; друге літерою «q», а третє літерою «r».
Щоб записати формулу висловлення, мусимо виявити граматичні й відповідно логічні звязки між простими висловленнями.
Знову повертаємося до складного висловлення і виявляємо граматичні (мовні) сполучники (якщо такі є). Річ у тім, що складні речення можуть бути безсполучниковими, тоді відповідно до змісту (смислу) чи логічного наголосу виявляємо (дорозумлюємо) логічні сполучники, якими звязуються прості висловлення у складне. У нашому випадку складне речення, що виражає форму складної думки, містить два мовні (граматичні) сполучники «якщо…, то…» та сполучник «…а…», що вживається у єднальному значенні, який можна замінити на сполучник «…і…». Більше сполучників тут немає. Граматичному сполучнику «якщо…, то» відповідає логічний сполучник «імплікація», яка позначається знаком імплікації «→»; граматичному сполучнику «…а…» (у значенні «…і…») відповідає логічний сполучник «конюнкція», то позначається символом конюнкції «/\».
Тільки тепер ми можемо записати засобами логіки висловлень граматичну форму вираження думки логічною формою за допомогою визначених нами пропозиційних змінних (p, q, r) та логічних сполучників (/\, →), а саме: (p /\ q)→r. Ця формула репрезентує складну думку, в якій з конюнкції двох антецедентів (p /\ q) випливає один консеквент r.
Завдання. Запишіть мовою логіки висловлень таке речення: «Ющенко залишиться президентом і він або Юрій Луценко чекатимуть свого часу».
Відповідь. Дане висловлення, виражене складним реченням, є складним. До його складу входять такі прості висловлення:
Ющенко залишиться президентом (p);
Ющенко чекатиме свого часу (q);
Луценко чекатиме свого часу (r).
Дане висловлення містить два граматичні сполучники: «…і…», та «…або…», які позначаємо відповідно конюнкцією і дизюнкцією. Формула цього висловлення матиме вигляд: p /\ (q \/ r)
Вправа. Запишіть мовою логіки висловлень зазначене нижче речення природної мови, за умови, що:
p «мета покарання залякування»;
q «смертна кара ефективний засіб залякування»;
r «смертна кара повинна існувати».
«Якщо метою покарання є залякування, а смертна кара є ефективним засобом залякування, то смертна кара повинна існувати».
Відповідь. Оскільки структурні елементи висловлення позначені відповідно пропозиційними змінними (p, q, r) співпадають з граматичними елементами речення, то зв'язок між ними треба визначити за явними (неявними) граматичними сполучниками. Дане міркування містить два граматичні сполучники: «…а…» (у значенні «…і…») та «якщо…, то…». Їх транслюємо відповідними логічними сполучниками: /\ («конюнкція») та → («імплікація»).
Поданий в умові речення звязок між простими висловленнями можна репрезентувати так: (p /\ q)→ r.
Завдання. Запишіть за формулою p → ~(q \/ r) адекватне їй міркування природною мовою.
Відповідь. Нехай пропозиційні змінні p, q, r, що входять до складу формули, позначають відповідні їм прості речення (висловлення) природної мови:
«Україна європейська держава» (p);
«Вона може обирати євро-азійський шлях розвитку» (q);
«Вона може обирати азійський шлях розвитку» (r).
До складу формули входять три сполучники:
~ («заперечення»), \/ («дизюнкція») та → («імплікація»), яким мають відповідати адекватні граматичні сполучники: заперечна частка «не», розділовий сполучник «або» та умовний сполучник «якщо…, то…».
Зазначену в умові завдання формулу можна репрезентувати адекватним їй реченням, а саме:
«Якщо Україна європейська держава, то вона не може обирати євро-азійський чи азійський шлях розвитку».
Не завжди в міркуваннях, виражених природною мовою, наявні граматичні сполучники, зокрема в безсполучникових реченнях, або умовний сполучник «розірваний» таким чином, що в структурі речення його перша частина «якщо…» займає місце в другій частині речення, а друга частина його «то…» відсутня. Постає питання: як заформалізувати таке речення? Зясувати цю «перекладацьку» проблему спробуємо розвязати, виконуючи конкретну вправу.
Вправа. Заформалізуйте речення природної мови мовою логіки висловлень: «Прогресивні партії завжди перемагають, якщо вони виражають у своїх програмах інтереси більшості громадян країни».
Зразок розвязку. Дане висловлення є складним. Його структура містить два висловлення: «Прогресивні партії завжди перемагають» (позначимо його літерою «p») та «Вони виражають у своїх програмах інтереси більшості громадян країни» (позначимо це висловлення літерою «q»). Крім цього, це висловлення містить першу частину умовного сполучника «якщо…, то…». Залежно від логічного наголосу, дане висловлення можна за формалізувати по-різному: якщо звернути увагу на те, що умовою прогресивності партій є здатність виражати у своїх програмах інтереси більшості громадян країни, то формула цього висловлення буде такою: q → p; якщо ж взяти за умову першу частину висловлення, додавши мисленно після дієслова «перемагають» слово «тоді» (синонім «якщо»), а «якщо» замінити на «коли», то висловлення набере вигляду: «Прогресивні партії перемагають тоді, коли вони виражають у своїх програмах інтереси більшості громадян країни», а формула стане такою: p → q. Цілком вірогідно, що за таких умов дане висловлення можна репрезентувати навіть еквівалентністю: p ↔ q.
1.2.1. ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. Що таке логіка висловлень як логічна теорія?
2. Які характерні риси (ознаки) логіки висловлень як логічної теорії?
3. Що таке дескриптивне (описове) висловлення?
4. У чому полягає відмінність між реченням природної мови і висловленням?
5. Чи тотожні поняття «висловлення» і «судження»?
6. На які види поділяються висловлення за структурою?
7. Чим різняться між собою прості й складні висловлення?
8. Що значення висловлення?
9. Що складає смисл висловлення?
10.Чи бувають абсурдні висловлення?
11.Якими літерами (символами) позначають висловлення?
12.Як називають букви, якими позначають висловлення?
13.Що таке пропозиційна змінна?
14.Що таке обєктна мова і метамова?
15.Якими символами позначають висловлення метамови?
16.Чи можна ототожнювати символи обєктної мови із символами метамови?
17.Які аспекти мови логіки висловлень ви знаєте?
18.Що таке семантика мови логіки висловлень?
19.Що таке синтаксис мови логіки висловлень?
20.Що таке прагматика мови логіки висловлень?
21.Чим відрізняється мова логіки висловлень від мови логіки предикатів?
22.Що таке логічний сполучник?
23.Чим різняться логічні сполучники від граматичних?
24.Чому логічні сполучники називають логічними операторами?
25.Які логічні сполучники використовує мова логіки висловлень?
26.Чим визначається семантика логічних сполучників?
27.Яку синтаксичну функцію виконують логічні сполучники?
28.До якого виду знаків належать символи логіки висловлень?
29.На якій множині інтерпретують висловлення на значення?
30.Що таке формула логіки висловлень?
31.Як утворюються (будуються) формули логіки висловлень?
32.Як іменують визначення формули логіки висловлень?
33.Які пункти індуктивного визначення формули стосуються утворення формули?
34.Що таке підформула певної формули?
35.Чи є формула підформулою самої себе?
36.Який вираз не вважається формулою логіки висловлень?
37.За яких умов формула логіки висловлень набуває смислу?
38.Як називають напівінтерпретовані формули логіки висловлень?
39.Що таке висловлення і висловлювальна форма?
40.Що є результатом повної інтерпретації формули логіки висловлень?
41.Які бувають формули логіки висловлень?
42.Що таке проста формула?
43.Що таке складна формула?
44.Чи існує алгоритм перекладу виразів природної мови мовою логіки висловлень?
45.У чому полягає відмінність «перекладу» з іноземних мов від перекладу природної мови мовою логіки висловлень?
46.Що є умовою коректності «перекладу» виразу природної мови мовою логіки висловлень?
47.У чому полягає мета «перекладу» виразів природної мови мовою логіки висловлень?
48.Чи достатньою є мова логіки висловлень для перекладу виразів природної мови?
49.Чи можливо «розширити» мову логіки висловлень для глибшого аналізу міркувань, виражених природною мовою?
50.Якими символами (знаками) розширюється мова логіки висловлень?
1.2.2. ПІДСУМКОВІ ВПРАВИ ТА ЗАВДАННЯ
1. Серед запропонованого переліку зазначте формули логіки висловлень:
а) p ↔ q; г) 2 + 2 = 4; є) ~p \/
б) p \/ ~q; д) p → q; ж) х² + 2ху + у²;
в) p6 \/ ~q3; е) "х Р(х) → Q(х); з) А → В.
2. Чи входять до алфавіту пропозиційної логіки наступні знаки і букви:
", $, =, P, Q, R. S…, […], А, В, С…?
3. Опишіть знакову систему логіки висловлень, вказавши на її характерні ознаки.
4. Прокоментуйте етапи індуктивного визначення формули логіки висловлень.
5.Охарактеризуйте алгоритм перекладу висловлень природної мови мовою логіки висловлень.
6. Запишіть мовою логіки висловлень наступні висловлення, виражені природною мовою:
а) Якщо буде туман, то плановий рейс перенесуть на іншу годину або запропонують виїхати до пункту призначення потягом;
б) Ні помаранчеві, ні синьо-голубі не здобудуть перемоги в парламентських баталіях;
в) Якщо я збираюся мандрувати Україною тоді і тільки тоді, коли складу всі іспити, то якщо я не складу всіх іспитів, то пробуду канікулярний час у Чернівцях;
г) Якщо президент захворіє або премєр-міністр буде за межами країни, то угода про економічне співробітництво з країнами євро-азійського союзу буде підписана, а урядовці МЗС не зустрінуться і не визначать нові умови дипломатичного звязку, якщо спікер не схаменеться і не візьме справу під контроль.
7. Здійсніть «переклад» українською мовою:
а) « ~ (автобус виїхав із запізненням /\ ~ автобус прибув із запізненням)»;
б) « ~ автобус часто прибуває із запізненням»;
в) « ~ більшість автобусів прибуває із запізненням».
8. Здійсніть «переклад» природною мовою зазначені формули, за умови, що:
р «сьогодні понеділок»; q «сьогодні вівторок»; r «сьогодні середа»; s «вчора була неділя».
1) р→ ~(q /\ r); 2) s ↔ p; 3) s /\ р \/ ~q); . 4) (s → q) \/ р; 5) р↔ (~ (q /\ ~r) \/ s); 6) (р ↔ ~q) /\ (~р \/ s).
9. У зазначених твердженнях визначте необхідні, достатні необхідні й достатні умови. Символічно запишіть логічні форми тверджень, послуговуючись відповідними пропозиційними змінними:
а) «Якщо Іван виграв змагання на дистанції 42 км. 400 м., то він успішно завершив забіг на марафонській дистанції»;
б) «Якщо Микола брат Петра, то Петро брат Миколи»;
в) «Якщо Іван (і тільки він) завершив забіг на марафонській дистанції зі світовим рекордом, то Іван виграв змагання на дистанції 42 км. 400 м.».
10. Запишіть мовою логіки висловлень наступні речення, виражені природною мовою, за умови, що:
р «Іван співає»;
q «Ольга співає»;
r «Петро співає»;
s «Іван щасливий»;
t «Ольга щаслива»;
a «Петро щасливий».
«Іван співає але Ольга не співає»;
«Те, що Іван співає достатньо для того, щоб Ольга була щасливою»;
«Іван не буде співати, якщо Ольга нещаслива»;
«Хоча ні Іван, ні Петро не співають, Ольга щаслива»;
«Ольга буде щасливою, якщо і тільки якщо Іван щасливий».
1.2.3. ТЕСТ
Мова логіки висловлень це:
А.Штучна мова, яка призначена для аналізу логічної форми складних висловлень, що входять у структуру міркування.
Б. Символічна мова, яка відрізняється від природної мови.
В. Формалізована мова, яка є системою формул.
Г. Мова символів і знаків, якими оперують в процесі міркування.
Д. Мова, яка є засобом заміни природної мови.
До нелогічних знакових засобів мови логіки висловлень належать:
А.Пропозиційні змінні
Б. Реченеві змінні.
В. Висловлювальні змінні.
Г. Параметри висловлень.
Д. Вихідні змінні.
До логічних знакових засобів мови логіки висловлень належать:
А.Логічні сполучники.
Б. Логічні змінні.
В. Символи алфавіту.
Г. Логічні приписи.
Д. Різні за смислом знаки.
До технічних знаків належать:
А.Ліва дужка, права дужка, кома.
Б. Одна із дужок.
В. Тире.
Г. Крапка з комою.
Д. Двокрапка.
Логічними сполучниками є:
А.Конюнкція, дизюнкція, імплікація, еквіваленція, заперечення.
Б. Сполучники «…і…»; «…або…»; «тоді…, коли…»; «тоді і тільки тоді…, коли…»; «неправильно, що…».
В. Репрезентанти логічних звязків.
Г. Знаки, що стоять на початку формули.
Д. Сполучні слова.
Формула логіки висловлень визначається:
А.Індуктивно.
Б. Дедуктивно.
В. Традуктивно.
Г. Аналітично.
Д. Синтетично.
Що складає синтаксис мови логіки висловлень?
А.Вихідні символи (знаки) та правила утворення формул.
Б. Знакові засоби.
В. Похідні сполучення знаків.
Г. Символічні знаки.
Д. Правила граматики символічної мови.
Висловлення пропозиційної логіки поділяються на:
А.Прості й складні.
Б. Прості й непрості.
В. Складні й комплексні.
Г. Контекстуальні, аналітичні, синтетичні.
Як іменують погодження про опускання дужок?
А.Угода.
Б. Конвенція.
В. Універсал.
Г. Домовленість.
Д. Парі.
Чи є алгоритм «перекладу» виразів природної мови мовою логіки висловлень?
А. Так.
Б. Ні.
Висловлення це:
А. Речення, яке виражає думку у формі судження.
Б. Невизначений вираз однієї або кількох змінних.
В. Логічна формула, що репрезентує мислетворчий акт.
Г. Перехідна логічна форма між реченням і думкою.
Д. Думка, виражена формальними засобами.
Складне висловлення це:
А. Висловлення, що містить логічні сталі.
Б. Висловлення, яке є непростим.
В. Висловлення, що містить складники.
Г. Висловлення, що виражає важливу думку.
Д. Висловлення, що утворюється з простих.
Просте висловлення це:
А. Висловлення, що не містить логічних сталих.
Б. Висловлення, що не є складним.
В. Висловлення, в якому йдеться про прості предмети.
Г. Висловлення, що виражає просту думку про множину предметів.
Д. Висловлення, яке є елементарним стосовно іншого висловлення.
Дескриптивне висловлення це:
А. Висловлення, в якому стверджують або заперечують наявність певних ситуацій фактичного, реального характеру.
Б. Описове висловлення.
В. Висловлення, яке містить дескрипції.
Г. Висловлення, яке не є пояснювальним.
Д. Висловлення, що не є синтетичним.
Чи тотожні поняття «висловлення» і «речення»?
А. Так.
Б. Ні.
Предметним значенням висловлення є:
А.Два абстрактні обєкти «істина» та «хиба» або множина {і, х}.
Б. Предмети обєктивної реальності.
В. Явища обєктивної дійсності.
Г. Можливі світи.
Д. Віртуальні сутності.
Смисл висловлення це:
А. Думка, яку виражають цим висловленням.
Б. Спосіб вираження ставлення до думки.
В. Матеріалізована думка.
Г. Уречевлена ідея.
Д. Лаконічна думка.
Осмислене висловлення це висловлення:
А. Що має смислове значення.
Б. В якому не порушено граматичні правила.
В. Що репрезентує систему смислових елементів.
Г. В якому відсутня суперечливість.
Д. Яке не позбавлене елементарного смислу.
Обєктна мова це:
А. Мова, якою описують предметну (позамовну) дійсність.
Б. Мова обєктів.
В. Мова, яка нагадує природну мову.
Г. Мова, яка пояснює звязки і відношення між знаками про предмети.
Д. Мова, яка не є метамовою.
Метамова це:
А. Мова, засобами якої описують і досліджують властивості та відношення обєктної мови.
Б. Складна знакова система.
В. Одна із логічних систем, що вивчає процес міркування.
Г. Мова метазнаків.
Д. Знаряддя логічного аналізу.
Синтаксис мови логіки висловлень це:
А. Вихідні знаки та правила утворення формул.
Б. Алфавіт мови.
В. Вихідні формули.
Г. Похідні формули.
Д. Правила утворення формул.
Чи є відмінність між змістом висловлень і смисловим значенням висловлень?
А. Так.
Б. Ні.
Логічні сполучники:
А. Звязують прості висловлення у складні.
Б. Виражають зв'язок між структурними елементами речення.
В. Копіюють граматичні сполучники.
Г. Виділяють прості судження.
Д. Заповнюють прогалини між думками.
Висловлювальна форма це:
А. Неповне висловлення, яке містить предметні змінні.
Б. Форма, що передує висловленню.
В. Висловлення, яке не виражає думки.
Г. Напівформальний вираз.
Д. Форма, що не містить предметних сталих.
Формула логіки висловлень це:
А. Скінчена послідовність знаків алфавіту мови логіки висловлень, утворена за певними правилами.
Б. Довільна послідовність символів.
В. Певна дискретна послідовність знаків.
Г. Строго визначена множина знаків.
Д. Сума або добуток знаків.
Підформула формули логіки висловлень це:
А. Будь-яка частина формули, яка сама є формулою.
Б. Будь-яка незалежна формула.
В. Невласна формула своєї формули.
Г. Прихована формула формули.
Д. Метаформула певної формули.
Вираз не є формулою логіки висловлень тоді, коли він:
А. Побудований не за правилами побудови формул логіки висловлень.
Б. Не піддається формалізації.
В. Не є підформулою певної формули.
Г. Побудований не за правилами граматики.
Д. Побудований некоректно.
Проста формула це:
А. Формула, що виражає просте висловлення.
Б. Висловлення, що містить субєкт-предикатну структуру.
В. Формула, що містить мінімум символів.
Г. Формула, що містить прості знаки.
Д. Формула, яка не є складною.
Складна формула це:
А. Формула, що виражає структуру складного висловлення.
Б. Формула, яка не є простою.
В. Формула, що містить однакові знаки.
Г. Формула, що виражає нескінчену кількість знаків.
Д. Формула формул.
Мета «перекладу» виразів природної мови символічною мовою полягає в тому, щоб:
А. Виявити логічну форму думки, виражену засобами природної мови.
Б. Спростити вирази природної мови до мінімуму.
В. Замінити природну мову штучною.
Г. Розширити можливості природної мови у вираженні думок.
Д. Збагатити природну мову символікою.
1.2.4. ЛІТЕРАТУРА
Арутюнова Н.Д. От образа к знаку //Мышление, когнитивные науки, искусственный интеллект. М., 1983. С. 147-161.
Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики. М.: ИНФА-М, 2000. С. 41-45.
Бродский И.Н. Элементарное введение в символическую логику. Л., 1972.
Волков А.Г. Общая теория знаков //Типология знаковых систем. М., 1965.
Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г. Логика. М.: ВЛАДОС, 1998. С. 87-95.
Горский Д.П., Ивин А.А., Никифоров А.Л. Краткий словарь по логике. М.: Просвещение, 1991. 208 с.
Жоль К.К. Вступ до сучасної логіки. К.: Вища шк., 1992. С. 34-39.
Жоль К.К. Язык как практическое сознание (философский анализ). К.: Высшая шк., 1999. 238с.
Ішмуратов А.Т. Вступ до філософської логіки. К.: Абрис, 1997. С. 32-50.
Клини С. Математическая логика. М.: Мир, 1973. С. 11-17.
Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. М.: МТУ, 1982. С. 45-48.
Конверський А.Є. Логіка (традиційна та сучасна). К., 2000. С. 309-317.
Кужель О.В. Елементи теорії множин і математичної логіки. К.: Радян. шк.., 1977. С. 94-122.
Логика, психология и семантика: аспекты взаимодействия. К., 1990.
Мельников В.Н. Логические задачи. К.: Одесса, 1989. С. 59-62.
Модели языка и модели мира //Логика научного познания. М.: Наука, 1965.
Моделирование языковой деятельности в интеллектуальных системах. М.: Наука, 1987. 279с.
Рассел Б. Дескрипции //Новое в зарубежной лингвистике. Вып. ХІІІ: Логика и лингвистика (Проблемы референции): Пер. с англ. и фр. М.: Радуга, 1982. С. 41-54.
Ревзин И.И. Модели языка. М., 1962.
Рейуорд-Смит В. Дж. Теория формальных языков. М.: Радио и связь, 1988. 129с.
Родос В.Б. О значении языковых выражений //Методы логического анализа. М.: Наука, 1977. с. 259-261.
Светлов В.А. Практическая логика. СПб: МиМ, 1997. С. 306-307.
Семиотика. М., 1983.
Сикорский Р. Булевы алгебры. М.: Мир, 1959.
Справочная книга по математической логике: Пер.с англ. Ч. І. М.: Наука, 1982. С. 13-54.
Степанов Ю.С. О трехмерном пространстве языка. М., 1985.
Столяр А.А. Элементарное введение в математическую логику. М.: Просвещение, 1965. 163с.
Структура и смысл. К.: Наук. думка, 1989.
Тофтул М.Г. Логіка. К.: Академія, 1999.
Формальная логика. Л.: ЛГУ, 1977. С. 203-208.
Фрейденталь Х. Язык логики: Пер. с англ. М.: Наука, 1969. 135с.
Хоменко І.В. Логіка юристам. К.: Четверта хвиля, 1997. С. 38-56.
Хоменко І.В. Логіка в задачах. К.: Четверта хвиля, 1998. С. 19-21.
Хоменко І.В. Логіка. Практикум. К.: Юрінком Інтер, 2000. С. 35-38.
Хоменко І.В. Логіка. К.: Абрис, 2004. С. 93-95.
1.3.МОВА КЛАСИЧНОЇ ЛОГІКИ ПРЕДИКАТІВ
Виконання вправ і розвязування завдань за навчальним елементом «Мова класичної логіки предикатів» передбачає актуалізацію знання про логіку предикатів як логічну систему загалом та її відмінність від логіки висловлень, мету цієї логіки, її специфіку та значення.
Коротко нагадаємо, що логіка предикатів це така логічна теорія, предметом дослідження і вивчення якої є міркування, до складу яких входять прості судження, поєднані між собою відношенням логічним слідуванням завдяки особливій формі звязку між внутрішніми структурними елементами простих суджень, тобто поняттями, що виражають предмет думки, та поняттями, в яких мислиться певна властивість про предмет або відношення між ними.
Треба мати на увазі, що мова класичної логіки предикатів є багатшою за мову логіки висловлень своїми виражальними можливостями. Ця мова також є штучною мовою, призначеною для розвязування певних завдань, а саме: аксіоматичної побудови теорії, аналізу змісту висловлень (суджень) природної мови і виявлення логічних форм суджень, понять, відношень між ними, а також опису правил міркування, форм виводів, доведень, спростувань як логічних операцій.
Зауважте на те, що в мові логіки предикатів, на відміну від природної мови, виділяють два аспекти синтаксичний і семантичний. Прагматичний аспект повязаний із інтерпретацією знакових структур на обєктах певної предметної області. Крім цього, памятайте про те, що в мові логіки предикатів відсутня невизначеність. Ця мова має точні правила утворення аналогів імен природної мови, тобто термінів, і аналогів оповідних речень (формул), а також строгі правила, що визначають значення її виразів. Ця мова використовується для позначення звязків і операцій. Спеціальні символи вживаються також у якості знаків для позначення предметів, властивостей та відношень. Іншими словами, вживання символіки сприяє скороченню й ущільненню запису висловлень і полегшує, особливо в складних ситуаціях, розуміння смислів відповідних висловлень.
Характерною особливістю мови логіки предикатів є її екстенціональність. Вона полягає в тому, що предметне значення складних імен природної мови в ній залежить від предметних значень, а не від смислів їх складників. Властивості та відношення між предметами в складі висловлень розглядаються як певні множини предметів чи властивості обсяги адекватних властивостей і відношень. Характерною ознакою цієї мови є й те, що тут дозволяється заміна будь-якої частини складного висловлення, яка постає у формі висловлення, будь-яким іншим висловленням (судженням) з тим же істиннісним значенням.
Істотним для даної мови є наявність точних правил утворених виразів і приписування їм значень, а також те, що кожна знакова форма набуває при цьому певного смислу. В природній мові ми маємо такі вирази, які в різних випадках їх вживання мають різний смисл.
Памятайте, що важливою особливістю мови логіки предикатів є пряма відповідність між структурами її знакових форм (формул) і структурами, що виражають їхній смисл. Відповідність полягає в тому, що кожній істотній частині структури смислу відповідає певна частина знакової форми. Так, у структурі смислу простого оповідного речення (тобто в структурі суджень) треба виділити, наприклад, окремі предмети чи класи предметів, про які щось стверджується у висловленні (у знакових формах їм відповідають одиничні або загальні імена), а також властивості й відношення, наявність яких у відповідних предметів також стверджується. Операції зі знаковими формами висловлень (суджень) здійснюються за правилами формального характеру.
Зверніть увагу на те, що мова класичної логіки предметів є результатом реконструкції природної мови, мета якої полягає в тому, щоб звести у відповідність логічні форми висловлень (суджень) з їх знаковими формами. Мовні форми цієї мови адекватно виражають смислові структури висловлень, що входять у структуру міркувань, що не завжди має місце в природній мові.
Тому, приступаючи до застосування мови логіки предикатів, корисно згадати основні особливості цієї мови, резюмуючи освоєний вами теоретичний матеріал.
Отже, мова логіки предикатів це штучна мова, яка призначена для аналізу логічної структури простих висловлень, що входять у структуру міркування.
Як і будь-яка штучна мова логіки предикатів містить список знакових засобів, або алфавіт та визначення правильно побудованих виразів.
Із монографій, підручників, навчальних посібників ви дізнаєтеся, що такими виразами є терми і формули.
Щоб задати мову логіки предикатів, ми мусимо спершу визначити, які нелогічні терміни входять до складу простого висловлення, а відтак логічні. Здійснюючи аналіз контекстів природної мови, логіки виділили два різновиди нелогічних термінів, а саме: імена і предикатори. Імена позначають предмети чи клас предметів, а предикатори позначають властивості предметів або відношення між ними.
Предикатори поділяються на види за місністю. Якщо предикатори виражають властивості предметів, то їх називають одномісними (наприклад, «бути президентом», «бути людиною» і т. ін.); якщо ж предикатори виражають (позначають) відношення між предметами, то такі предикатори іменують багатомісними (наприклад: «бути знайомим», «бути другом», «бути братом» двомісний предикатор; «бути відповідальним за дипломатичні стосунки між країнами» тримісний предикатор.
До складу простих висловлень можуть входити й логічні терміни. Логічними термінами постають логічні сполучники та два квантори3*: квантор загальності та квантор існування. Першому кванторові відповідають такі слова української мови, як «усі», «будь-який», «кожний» та ін. Другому кванторові відповідають слова: «деякий», «існує» і т. ін. Квантори позначають кількісну характеристику предмета мислення, за яким стверджується або заперечується певна властивість чи відношення між ними.
Опис вихідних символів, термінів і формул складає синтаксис мови логіки предикатів.
Алфавіт мови класичної логіки предикатів:
І. Вихідні символи (знаки) мови:
а) Предметні змінні: x, y, z, ... x1, y1, z1, ... Цими символами позначають загальні імена природної мови.
б) Предметні сталі: а, b, с, d, ... а1, b1, с1, d1, ... Цими знаками позначають одиничні імена предметів (як правило, власні імена природної мови).
2. Предикатні символи або предикатори, призначені для позначення властивостей та відношень: P11, Q11, R11, S11, ..., P22, Q22, R22, S22, ..., Pnn, Qnn, Rnn, Snn, ...
Верхні індекси вказують на місність предикатора, а нижні використовуються для розширення множини предикаторів тієї чи тієї місності. Кількість предикаторних символів залежить від призначення мови. За будь-яких умов, коли йдеться про мову логіки предикатів, то повинен бути введеним хоча б один предикатний символ.
3. Знаки логічних сполучників (або логічних сталих), які призначені для позначення деяких сполучників природної мови:
~ знак заперечення (читається: «не», «невірно ..., що...»);
/\ знак конюнкції (читається: «і ...»);
\/ знак дизюнкції (читається: «... або ...»);
→ знак імплікації (читається: «тоді ..., коли ...»);
↔ знак еквіваленції (читається: «тоді і тільки тоді ..., коли ...»).
4. Власне знаки кванторної логіки або логіки предикатів:
" знак квантора загальності (читається: «усі», «кожний», «усякий»);
$ знак квантора існування (читається: «деякі», «існує»).
5. Знаки предметних функцій різної місності (предметні функтори): f11, f21, f12, f22, ..., f13, f23 ...
6. Технічні знаки (знаки пунктуації):
( , ) ліва і права дужки і кома.
Зазначимо, що предметні сталі, предметні змінні, предикатори і предметні функтори іменуються дескриптивними термінами мови, при цьому предметні сталі, предикатори і предметні функтори є дескриптивними сталими даної мови.
Правильно побудовані вирази мовою логіки предикатів називають термами і формулами.
ІІ. Терми це вирази, які є аналогами імен природної мови.
Визначення терму:
а) будь-яка предметна змінна і предметна стала є терм;
б) якщо t1, t2, t3, ... tn є терми і fіn є n-місний предикатний функтом, то fіn (t1, t2, ... tn) є терм.
в) ніщо інше, крім вказаного в пунктах а) та б) не є термом.
ІІІ. Формули. У числі цих виразів є аналоги розповідних речень природної мови, а також висловлювальної форми предикати, що репрезентують собою семантичну категорію, яка не виділяється (хоча б явно) в природній мові.
Визначення (дефініція) формули: (правильно побудованого виразу).
Якщо t1, t2, ... tn терми і Pin n-місний предикат, то вираз Pin (t1, t2, ... tn) є формулою (атомарною).
Якщо А та В формулою. То (А /\ В), (А \/ В), (А → В), (А ↔ В), ~ А також формули.
Якщо А формула і α предметна змінна, тоді "αА і $αА є формулами;
Ніщо, крім вказаного в пунктах 1) 3), не є формулою.
Коли це зручно, можна в подальшому опускати зовнішні дужки в окремо взятих формулах (наприклад, замість (А → В) писати А → В.
Треба мати на увазі й те, що використані у дефініціях терми й формули t1, t2, ... tn, fіn, Pin, А, В, х, (в подальшому можливо х1, х2 і т. ін.) є знаками метамови, які іменуються також синтаксичними змінними, можливими значеннями яких є вирази відповідної категорії описуваної (обєктної) мови. Формули А та В, що подибуються у пунктах б) та в) іменуються підформулами вказаних тут формул.
Введені дефініюванням вихідні символи, терми та формула репрезентують поняття «Правильно побудований вираз» (ППВ). Це означає, що є такий спосіб, за допомогою якого завжди можна визначити, чи належить символ до числа вихідних символів мови, а для кожної послідовності вихідних символів можемо визначити, чи є вона терм чи формула. Як ви вже бачили, для термів і формул такий спосіб міститься в їх індуктивних дефініціях.
Щоб «перекласти» висловлювання природної мови мовою логіки предикатів, треба:
Виявити нелогічні терміни, що мисляться у висловлюванні, і позначити їх відповідними символами.
Зясувати логічні терміни, що містяться у висловленні, та позначити їх відповідними знаками.
Записати формулу.
Знання цього «алгоритму перекладу» дозволяє заформалізувати тільки прості категоричні судження.
Для формалізації виразів природної мови, в яких йдеться про певне відношення, існує стандартний спосіб «перекладу» висловлень про відношення мовою логіки предикатів, а саме:
Замінити одиничні та загальні імена предметними (індивідними) сталими і предикаторами.
Замінити кванторні слова кванторами і виписати квантори з належними їх змінними за порядком входження кванторних слів у речення, що виражають судження.
Виписати формулу, що замінює (репрезентує) перший (за смислом) предикат, поставити перед нею ліву дужку і якщо індивідна змінна формули, що замінює перший предикат, звязана квантором загальності, то поставити після неї знак імплікації; якщо ж вона звязана квантором існування, то поставити після неї знак конюнкції; після знаку імплікації чи знаку конюнкції поставити ліву дужку;
Якщо індивідна (предметна) змінна формули, що замінює другий (за смислом) предикат, звязана квантором загальності, то виписати її і поставити після неї знак імплікації, якщо ж вона звязана квантором існування, то виписати її і поставити після неї знак конюнкції; після знаку імплікації чи знаку конюнкції поставити ліву дужку (якщо перекладається судження про більш ніж двомісне відношення і т. ін.);
Виписати формулу, що замінює останній предикат;
Після формули, що замінює останній предикат, поставити необхідну кількість правих дужок (якщо виявиться логічна форма заперечного судження, то перед останнім предикатом поставити знак заперечення)*.
Для формалізації виразів природної мови мовою логіки предикатів необхідно мати також уявлення про вільне і звязане входження змінних у формулу. Для цього треба памятати, що кожен випадок, коли в послідовності знаків, яка репрезентує довільну формулу (позначимо її метасимволом А), подибується предметна змінна (наприклад «х»), то така ситуація називається входженням цієї змінної; кожне входження у формулу А предметної змінної х у вираз вигляду "х B або $x B, називається звязаним. Підформула В формул вказаного вигляду називається областю дії квантора загальності " і квантора існування $ із змінною х. Звязаним є входження предметної змінної, що стоїть безпосередньо за квантором, і кожне входження її в область дії квантора. Будь-яке входження х на відміну від вказаного, називається вільним. Прийнято вважати, що змінна х, що має звязане входження у формулу А, називається звязаною в цій формулі, а змінна, що має вільне входження у формулу А, називається вільною в цій формулі.
Зверніть увагу на те, що згідно визначенню вільної звязаної змінної одна і та ж сама змінна в одній і тій же формулі може бути вільною і звязаною. Так, наприклад, змінна х1 у формулі "x1 P1(x1) \/ Q2(x1, x2) є звичайною, а змінна х2 у цій же формулі є вільною. Майте на увазі те, що ми розглядаємо тут тільки такі теореми, в яких усі змінні можуть мати тільки вільні входження і, отже, є вільними змінними. Формула і терм, які не містять вільних змінних, називаються відповідно замкненою формулою і замкненим термом. Словом, якщо терм замкнений, то він загалом не містить змінних.
Як же відбувається формалізація виразів природної мови за допомогою мови логіки предикатів переконаємося на розвязуванні завдань і виконанні вправ.
Нехай нам треба виконати завдання: Заформалізуйте висловлення, тобто визначте його логічну форму, застосовуючи мову логіки предикатів: «Усі українці мрійники» (Свою відповідь обґрунтуйте).
Перш ніж приступити до виконання вимоги завдання, нагадуємо, що граматична форма речення, що виражає думку, не завжди співпадає з логічною формою, логічний звязок із граматичним звязком за способом вираження. Граматична форма речення це структура граматичних членів речення та граматичний звязок між ними, тобто звязок між підметом і присудком як головними членами речення, та другорядними членами речення за їх місцем і функцією в реченні. Логічна форма це система взаємоповязаних логічних структурних елементів, якими постають логічні підмети, логічні присудки та логічні сполучники, які репрезентують наявність чи відсутність цього звязку між елементами висловлення (судження). Якщо йдеться про логічний аналіз суджень мовою логіки предикатів як засобом аналізу, то наразі йдеться про аналіз простих суджень, що входять у структуру міркування. Отже, форма думки це її структура, звязок елементів. А форму в логіці репрезентують відповідною структурі формулою (символічним реченням, якщо так можна висловитись), що постає структурою повязаних між собою певним відношенням формально-логічних (знакових, символічних) елементів.
Тепер можемо повернутись до нашого завдання. Отже, нам край треба перекласти мовою логіки предикатів судження «Усі українці мрійники». Знаючи мову логіки предикатів, тобто алфавіт і правила побудови формул, виділяємо ті логічні елементи, які подані природною мовою. З граматичного боку в цьому реченні є два основні елементи: підмет «українці» і присудок «мрійники». З логічного боку в цьому судженні (висловленні) є два загальних імені, які виражають два поняття: «українець» і «мрійник», що відображають властивості (ознаки) відповідних множин людей за етнонаціональною ознакою та потенціалом душевних сил. Отже, в понятті вираженому іменем «українець» мислиться ознака «бути українцем», на основі якої утворюється клас (множина) тих людей, кожен з яких має цю ознаку, а в понятті «мрійник», вираженому відповідним загальним іменем, мислиться ознака «бути мрійником», на основі якої обєднуються у певну множину (клас) ті, кожному з яких притаманна ця ознака. Таким чином, загальні імена «українець» та «мрійник» позначають відповідні предметні сфери (множини), істотні ознаки яких відображаються у адекватних поняттях визначеної предметної області людей. Ви вже знаєте про те, щоб заформалізувати речення природної мови мовою логіки предикатів треба виявити в структурі речення нелогічні терміни, а відтак логічні терміни. З попереднього аналізу випливає, що дане судження (висловлення) містить два нелогічні терміни, які є предикаторами, тобто такими термінами, що виражають властивості, а саме: «бути українцем» і «бути мрійником». Зауважу, що ми чинимо так тоді, коли областю інтерпретації постає множина людей за визначеними ознаками. Предикатор «бути українцем» символізуємо предикатною літерою Р, а предикатом «бути мрійником» літерою Q. Крім предикаторів, дане висловлення містить два логічні терміни: квантор загальності, якому відповідає слово «усі» та логічний сполучник «є», який мислиться (або мається на увазі). Оскільки дане висловлення містить квантор загальності «"», то предикатори зєднуємо імплікацією «→». Із змісту висловлення випливає, що множині людей (позначимо її літерою х), які є українцями, притаманна (належить) ознака «бути українцем». Далі міркуємо так: якщо будь-яка людина (х) має ознаку Р (тобто є українцем), то ця людина (х) має ознаку Q (тобто є мрійником). Інакше кажучи, якщо Р(х), то Q(х), або: Р(х) → Q(х). Власне ця формула репрезентує нам у символічній, знаковій формі логічний звязок між формами думки, вираженої граматичними елементами речення «Усі українці мрійники». Вживши замість слова «усі» квантор загальності " по змінній х, формула стане адекватним «перекладом» аналізованого нами речення, а саме "x (Р(х) → Q(х)), яка читається: «Для будь-якого х, якщо х має ознаку Р, то х має ознаку Q».
Як правило, обґрунтування процедури розвязування завдань чи виконання вправ подається стисліше, без коментування очевидного.
Завдання. Запишіть формулою мови логіки предикатів таке речення: «Деякі студенти відмінники».
Зразок відповіді. За змістом дане речення виражає просту думку про те, що є підмножина молодих людей (на це вказує кванторне слово «деякі»), яка має ознаку «бути студентом»,тобто навчатися у вузі, і цій же множині приписана ознака множини тих, хто навчається «на відмінно», тобто має ознаку «бути відмінником». Виокремлюємо імена і предикатори. Якщо за множину значень змінної х візьмемо довільну множину (М) будь-яких молодих людей, то в цій множині виділимо дві підмножини, іменовані загальними іменами «студенти» і «відмінники», які позначимо предикатними символами: S «бути студентом» і Р «бути відмінником». Слово «деякі» позначаємо відповідним кванторним символом $. Предметну область «бути молодою людиною» позначаємо предметною змінною х. З вищеозначеного випливає формула даного речення, яка набере такого вигляду: $х (S(х) /\ Р(х)), яка читається: «Існує х такий, що х є S і х є Р». Смисл цієї формули такий: «Існує такий обєкт, який є студентом і який є відмінником».
Якщо областю значень індивідної змінної х визнати довільну множину студентів, а предикатором Р позначити властивість «бути відмінником», то формула, що виражатиме структуру такого висловлення мовою логіки предикатів набере такого вигляду: $(х) Р(х) (читається: «Існує х такий, що х є Р», або: «Існує такий х, який має ознаку Р».
Завдання. Передайте мовою логіки предикатів такі висловлення:
(а) Степан філософ;
(б) Мама Степана не є домогосподаркою.
Відповідь. (а) Висловлення «Степан філософ» є простим. Воно містить власне імя «Степан» та загальне імя «філософ». Оскільки в даному контексті йдеться про Степана, якого знають, то вважатимемо це імя простим одиничним, а тому позначимо його предметною (індивідною) сталою а. Із змісту висловлення випливає, що певному конкретному індивіду приписується ознака «бути філософом». Цю ознаку символізуємо предикатним символом Р, оскільки з контексту висловлення випливає, що слово «філософ» є загальним іменем і виконує функцію предикатора.
Отже, мовою логіки предикатів, запропоноване для «перекладу» речення, набере такого вигляду Р(а).
(б) Висловлення «Мати Степана не є домогосподаркою» також є простим. Воно також безкванторне. Позначимо власне імя «Степан» предметною сталою а; імя «людина, яка є матірю Степана» позначимо предметною сталою b; предикаторним символом Q позначимо предикатор «бути мамою», а предикатор «бути домогосподаркою» позначимо символом R; звязку «не є», що заперечує ознаку, що мислиться в предикаторі R, позначимо логічним знаком заперечення «~». Виділивши і позначивши структурні елементи висловлення, можемо записати його формулу: Q(b,а) /\ ~R(b).
Завдання. Заформалізуйте наступні висловлення мовою логіки предикатів:
а) «Максим вивчає класичну логіку»;
б) «Максим не є другом Миколи».
Висловлення (а) містить такі структурні елементи: власне імя Максим, яке позначимо літерою d; імя «класична логіка» позначимо предметною сталою с; предикатор «бути таким, що вивчає» позначаємо символом S. За цих позначень, висловлення (а) можна репрезентувати так: S(d,с).
Висловлення (б) мовою логіки предикатів набере вигляду ~О(d,t), якщо імя «Максим» позначити літерою d, імя «Микола» t, предикатом «бути другом» - через О, а заперечення предикатора О позначити знаком заперечення «~».
Якщо в умові завдання не вимагається дати пояснення його розвязку, то відповідь подавайте лаконічно, тобто без пояснень.
Вправа. Отримайте висловлення із висловлювальної функції «х карєрист».
Відповідь. $х (х карєрист).
Завдання. Запишіть мовою логіки предикатів наступні прості висловлювання (а) та (б), в яких стверджується (а) і заперечується (б) існування якогось предмета, який задовольняє певну умову:
(а) Хтось є президентом країни;
(б) Хтось не вивчає класичну логіку.
Відповідь. (а) $(х) Р(х); (б) $(х) ~S (х,с.)
Завдання. Заформалізуйте речення, в якому стверджується наявність певного відношення між предметами даного класу і конкретними предметами: «Деякі люди знають класичну логіку».
Відповідь. $(х) (Р(х) /\ Q (х,а)) , де х множина всіх людей,
Р «бути людиною»;
Q «знати» («бути таким, що знає»);
а «класична логіка»;
$ «деякі».
Завдання. Запишіть мовою логіки предикатів наступне речення, що репрезентує висловлювальну форму: «Якщо існує такий предмет х, що має певну властивість Р, і той же предмет х має властивість Q, то, мабуть, існує такий предмет х, який має властивості Р і Q».
Відповідь. Якщо існує такий предмет х довільної предметної області, який має властивість Р ($х Р(х)) і той же предмет х з цієї ж предметної області має властивість Q (Q(х)), то такий предмет х має властивості Р і Q (Р(х) /\ Q (х,)).
За таких умов формула набере такого вигляду:
$(х) Р(х) /\ $(х) Q(х) → $х (Р(х,) /\ Q (х,)).
Вправа. Репрезентуйте формулу логіки предикатів природною мовою: "х (S(х) → Р(х)).
Відповідь. «Усі комуністи шовіністи», де:
х множина партійців;
S «бути комуністом»;
Р «бути шовіністом»;
" «усі».
Завдання. Здійсніть переклад мовою логіки предикатів судження: «Деякі філософи знають кожного логіка краще, ніж кожного космонавта».
Зразок відповіді. Термінами, що входять у дане судження є: «філософ», «знати краще, ніж», «логік», «космонавт». Позначимо їх відповідно символами: S1, R3, Р1, Q1. Замість слова «деякі» запишемо символ квантора існування $, а замість слова «кожний», яке подибується двічі символ квантора загальності "; предметними змінними x, y, z позначимо довільні множини людей, які перебувають у певних відношеннях.
Із змісту висловлення (судження) випливає, що:
$х S1 (x); "y P1 (y); "z Q1 (z); ; R)3 (x, y, z):
$х S1 (x) існує такий х, який є філософом;
"y P1 (y) для будь-якого y вірно те, що y є логіком;
"z Q1 (z) для будь-якого z вірно те, що z є космонавтом;
R3 (x, y, z) «х знає краще R y, ніж z».
Квантори записуємо за тим порядком, який визначений змістом судження: $х "y "z, а на відтак виражаємо відношення між предикатами, на які навішуємо відповідний квантор.
Тоді формула набере такого вигляду:
$х "y "z (S1(x) /\ (P1(y) → (Q1(z) → R3(x, y, z))))
Завдання. Запишіть висловлювання «Деякі хлопці не кохають жодної дівчини» мовою логіки предикатів.
Відповідь. $х Q(x) /\"y (P(y) → (P(y) → S(x, y))), де:
Q знак предикатора «бути хлопцем».
Р знак предикатора «бути дівчиною».
S знак предикатора «кохати».
х, у предметні змінні, що позначають відповідні класи молодих людей, які мають певні ознаки.
1.3.1. ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
Що таке логіка предикатів?
Чим відрізняється логіка предикатів від логіки висловлень?
Як визначається логіка предикатів?
Яка структура мови логіки предикатів?
Чому мова логіки предикатів називається формалізованою?
Що таке терм?
Що таке формула?
Які нелогічні терміни можуть входити в структуру простого висловлення?
Що таке імя?
Які бувають імена?
Чим різняться прості й складні імена?
Що таке предикатор?
Які бувають предикатори?
Що позначають імена?
Що позначають предикатори?
Які предикатори називаються одномісними?
Які предикатори називаються багатомісними?
Які терміни належать до логічних термінів?
Що таке логічна стала?
Що таке логічна змінна?
Що таке предметна змінна?
Що таке предметна стала?
Яка логічна функція предметних змінних у висловленні?
Яка логічна функція предметних сталих у висловленні?
Якими символами позначаються логічні змінні?
Якими символами позначаються логічні сталі?
Що таке квантор?
Які є види кванторів?
Що таке місність предикатора?
Чому логіку предикатів називають «кванторною логікою»?
У чому суть прикванторної змінної?
Які слова української мови виражають кількісну (кванторну) характеристику предмета думки?
Чому формулу логіки предикатів треба будувати за алгоритмом правил побудови формули чи виразу (ППФ або ППВ)?
Що означає «правильно побудований вираз» логіки предикатів?
Що треба зробити, щоб «перекласти» вираз природної мови мовою логіки предикатів?
Які правила правильно побудованого виразу мови логіки предикатів ви знаєте?
Чи існує стандартний алгоритм «перекладу» висловлень про відношення мовою логіки предикатів?
Чи обовязково дотримуватись правил дужок при формалізації?
Чи є потреба в знанні про вільні та звязані входження змінних у формулу для формалізації?
Як перевірити коректність «перекладу» висловлень мовою логіки предикатів?
1.3.2. ПІДСУМКОВІ ВПРАВИ ТА ЗАВДАННЯ
Визначте, який з виразів репрезентує формулу логіки предикатів (Поясніть свій вибір):
А.(А → В) /\ А) → В;
Б. (p → q) ↔ (q → p);
В. "x (P (x) → Q (x).
Який символ позначає термін:
А. x;
Б. B;
В. P;
Г. F.
Яка формула побудована коректно? (Відповідь обґрунтуйте):
А. ($(x) /\ P(a)) → R(x);
Б. $x (P(x) /\ Q (x));
В. "a Q(a) → S;
Г. F → "x Fx
Здійсніть «переклад» мовою логіки предикатів такі висловлення природної мови:
А. Усе знання підлягає переосмисленню;
Б. Ніхто не має права принижувати людську гідність;
В. Жоден уряд, який втратив довіря у громадян, не має права на існування;
Г. Не всі депутати ВР України заслуговують на повагу;
Д Будь-яка Конституція нормативний документ.
Узгодьте вирази, подані українською мовою, з виразами, що подані мовою логіки предикатів:
А. Усі нотаріуси юристи;
Б. Деякі нотаріуси шахраї;
В. Жоден нотаріус не є шахраєм;
Г. Деякі нотаріуси похилого віку, але спритні;
Д. Нотаріус Олексюк не є старою і не є спритною;
Е. Не всі юристи нотаріуси;
Є. Жоден адміністратор не є спритним;
Ж. Деякі жінки захоплюються жінками;
З. Деякі шахраї не захоплюються жодним юристом;
И. Деякі жінки-юристи є депутатами Верховної Ради України.
A. "x (P(x) → Q(x));
B. "x (P(x) → ~R(x));
C. "x (W(x) → ~V(x));
D. P(a) /\ A(a) /\ ~V(a);
E. $х (R(x) /\ "x (Q(x) → ~S(x, y));
F. $х (Q(x) /\ $y (B(y) /\ S(x, y));
G. $х (P(x) /\ F(x) /\ V(x));
H. $x (P(x) /\ R(x));
I. ~"x (Q(x) → P(x));
J. $х (B(x) /\ Q(x) /\ O(x)).
Здійсніть «переклад» висловлень за допомогою багатомісних предикаторів:
Світлана дружить з Іваном.
Дехто дружить з Іваном.
Світлана дружить з кимось.
Іван дружить з усіма.
Усі дружать з кимось.
Дехто дружить з кимось.
Усі дружать з кимось.
Дехто дружить з Іваном.
Дехто дружить ні з ким.
Здійсніть «переклад» висловлень, репрезентованих українською мовою, мовою класичної логіки предикатів:
Усі люди смертні.
Тільки справжній товариш не зрадить.
Не все те, що проголошується з трибуни ВР, є правдою.
Жоден керівник не дбає про долю своїх підлеглих.
Хтось закоханий в усіх.
Хтось вірить в усе.
Ніхто не має права знущатись над людиною.
Запишіть природною мовою такі символічно записані висловлення:
А. "x (S(x) → ~P(x)),
де S знак предикатора «бути премєром»,
P знак предикатора «бути президентом»;
Б. $х (O(x) /\ L(x)) /\ $х (F(x) /\ L(x)),
де O знак предикатора «бути логіком»,
L знак предикатора «бути філософом».
Запишіть мовою логіки предикатів наступні речення:
А. Якщо х = 0 і у = 0, то ху = 0;
Б. Якщо х ≠ 0 або у ≠ 0, то ху ≠ 0.
Запишіть наступні висловлення, використовуючи знаки кванторів:
А. Існує число х таке, що х + 1 = 5;
Б. Будь-яке число або додатне, або відємне, або рівне нулю;
В. Яким би не було число у, у + 0 = у.
Заформалізуйте наступні висловлення:
А. Деякі українці талановиті;
Б Усі українці талановиті;
В. Деякі українці не талановиті;
Г. Жоден українець не є талановитим.
Запишіть речення «Для всякого числа існує більше» мовою логіки предикатів.
Заформалізуйте прості висловлення, в яких йдеться про відношення між конкретними предметами думки:
А. Максим вивчає класичну логіку.
Б. Степан не є батьком Андрія.
Опишіть алгоритм «перекладу» даних висловлень мовою логіки предикатів.
Запишіть мовою логіки предикатів наступне міркування:
Усі люди помиляються.
Ющенко людина.
Ющенко помиляється.
Запишіть мовою логіки предикатів наступні прості висловлення, в яких стверджується (заперечується) існування якогось предмета, який задовольняє певну умову:
А. Хтось є президентом фірми;
Б. Хтось не вивчає класичну логіку.
16. Отримайте висловлення із висловлювальної функції «х космонавт» і запишіть його мовою логіки предикатів.
17. Заформалізуйте просте висловлення, яке не містить кванторних слів:
А. Микола космонавт.
Б. Тато Василя не є президентом фірми.
18. Придумайте два висловлення, яким відповідали б наступні формули:
А. $х "y F(x,y);
Б. " х $y ~A(x,y)).
19.Утвориіть формули еквівалентні даним:
А. $х "x R(y) ≡ ?
Б. "х $y x R y ≡ ?
20.Які типи простих суджень репрезентують наступні формули:
$ х (S (х) /\ ~P (х)); $х (S(x) /\ P(x));
"х(S(x) → P(x)); "х (S(x) /\ ~P(x)).
1.3.3. ТЕСТ
Мова логіки предикатів це:
А.Штучна мова, призначена для аналізу логічної структури простих суджень (висловлень).
Б. Формалізована мова, що замінює природну мову.
В. Система символів, що передбачає лінгвістичну предметну область.
Г. Спеціальна символічна система, яка постає у вигляді різних знакових засобів.
Д. Система знаків, яка призначена для розвязування внутрішніх проблем логіки предикатів.
Характерні ознаки мови логіки предикатів:
А. Список знакових засобів (алфавіт) та дефініція правильно побудованих виразів.
Б. Система символів для позначення певних обєктів.
В. Формальний характер знакових засобів.
Г. Правила оперування символами.
Д. Алфавіт для репрезентації виразів природної мови.
До нелогічних термінів мови логіки предикатів належать:
А.Імена і предикатори.
Б. Предикаторні функції.
В. Слова, що виражають імена предметів.
Г. Словосполучення, які описують властивості предметів.
Д. Базові терміни.
До логічних термінів мови логіки предикатів належать:
А.Логічні сполучники і квантори.
Б. Логічні звязки.
В. Квантори.
Г. Функтори.
Д. Логічні репрезентанти мовних знаків.
Предикатори, що позначають властивості предметів, називають:
А.Одномісними.
Б. Багатомісними.
В. Двомісними.
Г. Тримісними.
Д. Атрибутивними.
Предикатори, що виражають відношення між предметами, називають:
А.Багатомісними.
Б. Нульмісними.
В. Реляційними.
Г. Релевантними.
Д. Комплексними.
Предикатори прийнято позначати:
А.Великими літерами середини латинського алфавіту.
Б. Малими літерами кінця латинського алфавіту.
В. Великими літерами кінця латинського алфавіту.
Г. Великими літерами початку латинського алфавіту.
Д. Малими літерами середини латинського алфавіту.
Предикатор це:
А.Нелогічний термін, що позначає властивість або відношення.
Б. Логічна функція.
В. Нелогічний термін.
Г. Знак.
Д. Термін.
Чи можна вважати складними предикати:
Р(х) /\ Q(х); Р(х) \/ Q(х); Р(х) → Q(х); Р(х) ↔ Q(х) та їм подібні?
А. Так.
Б. Ні.
Знакові засоби логіки предикатів поділяються на:
А. Нелогічні, логічні, технічні.
Б. Логічні й нелогічні.
В. Логічні й технічні.
Г. Логічні й алогічні.
Д. Нелогічні й технічні.
Імя це:
А. Нелогічний термін, що позначає будь-який предмет.
Б. Термін.
В. Нелогічний знак.
Г. Символ.
Д. Знак.
Імена поділяються за обсягом на:
А. Одиничні, загальні.
Б. Загальні, абстрактні, порожні, конкретні.
В. Одиничні, порожні.
Г. Одиничні, конкретні, абстрактні.
Д. Пусті, одиничні, абстрактні, конкретні, загальні.
За змістом імена поділяються на:
А. Конкретні, абстрактні.
Б. Конкретні, загальні, одиничні.
В. Конкретні, загальні, нульові.
Г. Абстрактні, конкретні, пусті.
Д. Конкретні, загальні, одиничні.
За структурою (способом звязку) імена поділяються на:
А. Прості й складні.
Б. Загальні, складні, описові, нульові.
В. Одиничні, прості, пусті, конкретні.
Г. Деструктивні, конструктивні, складні.
Д. Прості, конкретні, абстрактні.
До знакових засобів мови логіки предикатів належать:
А. Нелогічні знаки, логічні знаки, технічні знаки.
Б. Індивідні константи, індивідні змінні.
В. Предметні сталі, предикатні символи.
Г. Знаки логічних сполучників, технічні знаки.
Д. Логічні знаки, нелогічні знаки, предикатні символи.
Нелогічними знаками є:
А. Предметні змінні, предметні сталі, предметні символи.
Б. Предикатори.
В. Предметні змінні, предикатні змінні.
Г. Предметні змінні, предметні сталі.
Д. Предметні сталі.
Логічними знаками мови логіки предикатів є:
А. Логічні сполучники, знаки кванторів.
Б. Будь-які логічні знаки.
В. Технічні знаки.
Г. Знаки кванторів.
Д. Логічні сполучники.
Логічними знаками є:
А. ~, /\, \/, →, ↔.
Б. ~, /\.
В. \/, ~.
Г. →, /\, ~.
Д. ↔, ~.
Знаки «"» та «$» є кванторами:
А. Так.
Б. Ні.
Технічними знаками є:
А. ( , ).
Б. ( .
В.
Г. ¬.
Д. →.
Термами є наступні символи:
А. х, у, z, …, а, в, с,….
Б. А, В, С,….
В. а, в, с, ….
Г. х, у, z, ….
Д. F, P, ", $.
Чи є знаками мови логіки предикатів наступні символи: t1, t2, t3, …, tn; Пin; A, B, C, α, β?
А. Так.
Б. Ні.
Чи є вираз Р1 (х) формулою логіки предикатів?
А. Так.
Б. Ні.
Предметні сталі позначаються символами:
А. а, в, с, d,….
Б. Рⁿ, Qⁿ, Rⁿ,….
В. "
Г. $
Д. х, у, z.
Чи є символи f, g, h функціональними сталими?
А. Так.
Б. Ні.
При аналізі міркувань засобами логіки предикатів беруться до уваги:
А. Предметні значення виразів.
Б. Смислові значення виразів.
В. Семантичні значення виразів.
Г. Смислові та змістові значення виразів.
Д. Змістові значення виразів.
Яка дефініція логіки предикатів є коректною?
А. Логіка предикатів це логічна теорія, де описуються міркування, в яких враховується внутрішня структура простих висловлень, що їх складають.
Б. Логіка предикатів це розділ сучасної символічної логіки.
В. Логіка предикатів це кванторна логіка.
Г. Логіка предикатів це розширена логіка висловлень.
Д. Логіка предикатів це металогіка.
Чи можливо застосувати закони і правила логіки предикатів до аналізу міркувань логіки висловлень?
А. Так.
Б. Ні.
Формула, що йде за квантором, називається:
А. Підкванторною.
Б. Квантованою.
В. Посткванторною.
Г. Квантифікованою.
Д. Кванторною формулою.
При кванторах " та $ пишеться:
А. Предметна змінна.
Б. Предикатна змінна.
В. Предметна стала.
Г. Прикванторна змінна.
Д. Посткванторна змінна.
1.3.4. ЛІТЕРАТУРА
Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики. М., 2000. С. 78-93.
Войшилло Е.К., Дегтярев М.Г. Логика. М.: Владос, 1998. С. 132-136.
Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М.: ИЛ, 1947.
Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация математики: Пер. с польск. М.: Наука, 1979. 558 с.
Гносеологические проблемы формализации. Мн., 1969.
Горский Д.П. Формальная логика и язык //Философские вопросы современной формальной логики. М., 1962.
Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. М.: Наука, 1979.
Жоль К.К. Вступ до сучасної логіки. К.: Вища шк., 1992. С. 62-75.
Зегет В. Элементарная логика. М.: Высш. шк., 1985. С. 77-84; С. 249-254.
Ивлев Ю.В. Логика. М.: Высш. шк., 1976. С. 84-92; 98-121.
Ішмуратов А.Т. Вступ до філософської логіки. К.: Абрис, 1997. С. 50-63.
Калужнин Л.А. Что такое математическая логика? М.: Наука, 1964. С. 71-100.
Карри Х. Основания математической логики. М.: Мир, 1969. 567 с.
Клаус Г. Введение в формальную логику. М.: ИЛ, 1960.
Клини С. Математическая логика. М.: Мир, 1973. С. 93-104.
Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. М.: МГУ, 1982. С. 49-51.
Конверський А.Є. Логіка. К., 2000. С. 368-372.
Кротов Е.А. Логическая форма суждений //Логика и методология научного познания. М.: МГУ, 1974. С. 21-30.
Лихин А.Ф. Логический анализ языка в роботах К.Айдукевича 30-х годов //Логика и методология познания. М.: МГУ, 1974. С. 30-43.
Математическая логика. Мн., 1994.
Маркин В.И. Силлогистическая теория в современной логике. М., 1991.
Мельников В.Н. Логические задачи. К.; Одеса, 1989. С. 127-153.
Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1976. С. 19-24.
Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. С. 37-41; 49-50; 51-56.
Проблемы формализации семантики язика. М., 1964.
Ревзин И.И. Модели язика. М., 1962.
Светлов В.А. Практическая логика. СПб.: МиМ, 1997. С. 368-378.
Справочная книга по математической логике: Пер. с англ.. Ч. 1. Теория моделей. М.: Наука, 1982. С. 13-15.
Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: ИЛ, 1948. С. 185-289.
Тофтул М.Г. Логіка . К.: Академія, 1999. С. 95-100.
Успенский В.А. и др. Вводный курс математической логики. М.: МГУ, 1991. 136 с.
Уемов А.И. Основы практической логики с задачами и упражнениями. Одесса, 1997. С. 202-203.
Формальная логика. Л.: ЛГУ, 1977. С. 330-334.
Фрейденталь Х. Язык логики: Пер. с. Англ. М.: Наука, 1969. 135.
Хоменко І.В. Логіка юристам. К.: Четверта хвиля, 1997. С. 42-113.
Хоменко В.І. Логіка в задачах. К.: Четверта хвиля, 1998. С. 47-53.
Хоменко І.В. Логіка. Практикум. К.: Юрінком Інтер, 2000. С. 38-43.
Хоменко І.В. Логіка. К.: Абрис, 2004. С.95-99.
2. ЛОГІЧНИЙ АНАЛІЗ ПОНЯТЬ
Так уже історично склалося, що логічний аналіз поняття як форми мислення передує логічному аналізові судження чи умовиводу. Річ у тім, що поняття за формою вираження є простішою логічною категорією, оскільки уречевлюється в слові або в словосполученні. Крім цього в понятті відображаються найзагальніші й найістотніші ознаки предметів і явищ обєктивної реальності; в судженні стверджується або заперечується звязки або відношення між предметами та їх властивостями. В понятті думка підсумовується, а в судження вона розвивається, в умовиводі виводиться (висновується) залежно від форми і способу міркування.
Задля поступового засвоєння логічних операцій з поняттями, усю множину алгоритмів і розвязкових процедур до змістового модулю «Поняття» поділимо на три підмножини логічних дій, які стосуються відповідних навчальних елементів, а саме:
2.1. МОВНІ ФОРМИ ВИРАЖЕННЯ ПОНЯТТЯ
Опрацювавши наявний теоретичний матеріал, приступимо до виконання вправ і завдань.
Завдання: Навести приклади понять, виражених: а) одним словом; б) словосполученням. Зразок відповіді:
а) Поняття, виражені одним словом: народ, менталітет, закон;
б) Поняття, виражені словосполученнями: українська мова, автохтонна етнічна спільність, державна політика, український народ.
Завдання: Навести приклади слів і словосполучень, що виражають одне поняття.
Щоб коректно виконати це завдання, необхідно згадати про особливості таких мовних явищ, як полісемія, синонімія, омонімія, співвідношення значення слова і змісту поняття, що виражає ці значення і т. ін.
Зразок відповіді:
а) Слова довірливий, неупереджений виражають одне поняття (рису українського характеру);
б) словосполучення найбільше місто Чернівецької області та обласний центр Північної Буковини виражають одне і те ж поняття «місто Чернівці».
Або візьмемо таке завдання: Навести приклади слів, які виражають кілька понять.
Відповідь: Слово коса виражає декілька понять, а саме: знаряддя для косіння, заплетене волосся або вид зачіски, вузька смуга суходолу, мис.
Виконуючи вправи і завдання за даним розділом теми, часто припускаються помилок. Так, на вимогу завдання, - навести приклад поняття, вираженого кількома різними словосполученнями відповідають: «Перший президент України» і «Михайло Грушевський». Така відповідь неправильна. Чому? В цьому конкретному випадку різними є не лише словосполучення, а й поняття. У понятті «Перший президент України» мислиться те, що якась людина вперше стала головою держави (республіки). В ньому не відображаються такі ознаки, як стать, національність, вік, родовід, належність до політичної організації тощо. У понятті «Михайло Грушевський» ми мислимо ряд інших ознак, а саме: чоловік (а не жінка), громадянин Української Народної Республіки, українець, вчений, історик, політик та інші ознаки, а також і те, що він перший став головою держави. Отже, це два різні поняття, виражені різними словосполученнями, а не одне, виражене різними словосполученнями.
2.2. ЛОГІЧНА ХАРАКТЕРИСТИКА ПОНЯТТЯ
Дати логічну характеристику поняття означає дати відповідь на питання, до якого виду (класу) належить те чи інше поняття за обсягом і змістом, а саме: за об'єктом відображення (предмет чи його властивості); за характером зв'язку з іншими предметами; за наявністю чи відсутністю ознаки; за структурою елементів; за можливістю обліку відображених у понятті елементів.
Завдання: Дайте логічну характеристику таких понять: «Чернівці», «книга», «олівець», «сузір'я Стрільця» тощо.
Для прикладу візьмемо поняття «Чернівці».
Відповідь: за обсягом це поняття одиничне (його обсяг складає один елемент); за об'єктом конкретне (зміст його має кілька ознак); за характером зв'язку з іншими предметами безвідносне (відображений предмет думки існує сам собою, незалежно від інших предметів); за наявністю чи відсутністю ознаки позитивне (ознака стверджується за предметом думки); за можливістю обліку реєструюче (предмети чи елементи можна піддати обліку, переліку). На цьому логічний аналіз даного поняття завершується.
Візьмемо наступне поняття «книга».
Відповідь: Поняття «книга» за обсягом загальне, оскільки в його обсяг входить більш ніж один елемент; за об'єктом відображення конкретне, бо в змісті його мислиться сукупність ознак предмета думки; за характером зв'язку з іншими предметами це поняття безвідносне, бо воно відображає предмет сам по собі, за наявністю чи відсутністю ознаки воно позитивне: ознака приписується даному конкретному предмету думки; за структурою елементів дане поняття незбірне (зміст поняття не можна віднести до множини однорідних предметів); за можливістю обліку відображених у понятті предметів (елементів) це поняття нереєструюче, бо перелічити практично всі предмети, які мають ознаки книги, неможливо.
Розв'язуючи завдання, в яких сформульована вимога визначити вид поняття за обсягом і змістом, необхідно уникати помилок. Наприклад, замість логічної характеристики поняття за обсягом і змістом, намагаються дати загальний або детальний опис предмета думки: його конфігурацію, місце знаходження, технологію виготовлення і т. ін. Крім того, одиничне поняття подають граматичною формою однини, а загальне поняття формою множини. Наприклад, «книга» одиничне, а «книги» загальне. Щоб уникнути останньої помилки, треба знати, що за традицією в логіці прийнято вживати однину, якщо поняття розглядається поза структурою судження. У випадку, коли важливо визначити вид поняття за об'єктом (конкретне воно чи абстрактне), міркують так: якщо відображений у змісті поняття предмет є в дійсності, то таке поняття є конкретним, немає такого предмета в реальності поняття абстрактне. Такий підхід неправильний. Щоб коректно розв'язати дане завдання, треба виходити не з того, що відображено в змісті поняття, а як відображені предмети чи явища в понятті. Отже, якщо в змісті поняття мислиться якась одна окремо взята ознака того чи іншого предмета думки, то таке поняття є абстрактним, а коли зміст поняття містить більше однієї ознаки, то таке поняття є конкретним.
Якщо керуватись вищевказаним, то такі поняття, як «західноєвропейська філософія», «Геракл» поняття конкретні, а поняття «пряма лінія», «здоровя» є абстрактними.
2.3. Логічний аналіз відношень між поняттями
Відношення між поняттями складає головний зміст логіки. З'ясовуючи відношення між поняттями, ми виявляємо відношення між речами і явищами, станами, процесами і т. ін.
Головна мета вправ і завдань на відношення між поняттями навчитися логічно коректно співвідносити нове поняття з уже відомим. Нагадаємо, що відношення між поняттями систематизують наші знання, виявляють "горизонт" пізнаного й непізнаного і таким чином сприяють інтенсіональному і екстенсіональному розвиткові знання.
Завдання. Нехай нам треба навести приклади на відношення тотожності між поняттями. Відомо, що у відношенні тотожності або рівнозначності перебувають поняття, обсяги яких повністю збігаються, тобто об'єкт відображення або денотат цих понять один і той же, але характеризується з різних боків.
Зразок відповіді.
а) найбільше місто Чернівецької області;
б) обласний центр Північної Буковини.
Ці поняття відображають один і той же предмет думки (м. Чернівці), але зміст цих понять характеризує м. Чернівці з різних боків: у першому випадку йдеться про його просторове відношення до інших міст області, а в другому про ознаку, яка характеризує його як адміністративну одиницю. Іншими словами, обсяги цих понять (а) та (б) містять один елемент, а зміст кожного з них відображає різні ознаки.
Виконуючи такі завдання, необхідно уникати ототожнення роду і виду.
Наприклад: «Чернівецький національний університет» (вид) і «вищий навчальний заклад» (рід). Ці поняття не тотожні, а перебувають у відношенні роду і виду.
Аналогічної помилки припускаються при розв'язанні завдання, в якому вимагається з'ясувати тип відношення між наведеними поняттями.
Завдання: Чи перебувають у відношенні часткового збігу або перетину такі пари понять: «капіталіст експлуататор», «іменник самостійна частина мови» та ін.? Відповідь на дане питання, як правило, ствердна, хоча насправді в даному випадку ми маємо відношення роду і виду (або відношення підпорядкування). Щоб уникнути цієї помилки, треба добре засвоїти такі поняття, як множина, підмножина, елемент множини чи класу та відношення між ними.
Одним із методів з'ясування відношення між поняттями є графічний спосіб зображення відношень.
Завдання: Зобразити графічно за допомогою колових схем Ейлера відношення між поняттями: «студент»,» українець», «спортсмен», «європеєць».
Відповідь:
Щоб отримати дану відповідь-схему, необхідно здійснити таку процедуру-алгоритм розв'язання:
1) Спершу символізуємо дані поняття буквами: А «студент», В «українець», С «спортсмен», D «європеєць». Відтак розглядаємо відношення між будь-якими двома поняттями. Наприклад, відношення між поняттями «студент» і «українець».
Міркуємо так: не кожен студент є українцем, і не кожен українець є студентом. Отже, між цими поняттями маємо відношення перетину або часткового збігу (Див. схему 1).
2) Відтак беремо наступне поняття «спортсмен» (С) і розглядаємо відношення цього поняття до кожного з уже зображених на схемі 1. Оскільки будь-яким видом спорту займаються не лише студенти, а й інші, незалежно від національності, роду занять, то між даними поняттями існує відношення перетину. Таке ж відношення буде між поняттями «спортсмен» і « українець» (Див. схему 2).
3) Нарешті з'ясовуємо відношення поняття європеєць до уже зображених на схемі 2. Міркуємо так: не всякий європеєць є студентом, як і не всякий студент є європейцем. Отже, поняття європеєць і студент перебувають у відношенні перетину. Відношення поняття європеєць до поняття українець, спортсмен буде таким, як і відношення до поняття студент. Тепер вписуємо четверте коло, що символізує поняття європеєць. Див. схему 3, яка і буде відповіддю на вимогу, сформульовану в завданні. Відповідь подається, як правило, кінцевою схемою. Крім того, якщо у список понять входить поняття, виражене багатозначним словом, то варто уточнити й обумовити його значення, щоб уникнути помилки.
Зауважимо, що розв'язання завдань, в яких за певною графічною схемою необхідно відшукати потрібні поняття, що перебували б в адекватному схемі відношенні, значно складніше. Вони чимось нагадують процес розв'язування кросвордів, активізують когнітивне, творче мислення. Процедура їх розв'язання подібна, але не тотожна описаній вище.
2.4. ЛОГІЧНА ДІЯ НАД ЗМІСТОМ ПОНЯТЬ: ОПЕРАЦІЯ
ВИЗНАЧЕННЯ ПОНЯТЬ
Основна мета вправ і завдань навчитись розкривати зміст поняття шляхом аналізу відповідних висловлень, знаходити їх складники (частини), з'ясовувати вид визначення, оцінювати його коректність, виявляти помилки, яких припускаються з різних логічних або паралогічних причин, і зокрема набувати навичок самостійного дефініювання понять.
Щоб набути цих умінь і навичок, треба спершу навчитись аналізувати зміст сформованих понять. Система вправ і завдань передбачає виявлення помилок і недоречностей і водночас набуття досвіду їх усунення. Більшість стає фахівцями у певній галузі знання і в своїй практичній діяльності оперує визначеннями як квінтессенціями достовірного знання, використовує їх у ролі аргументів тощо, а тому мусить твердо знати, що визначення поняття це не довільна логічна операція, а логічна дія, яка підлягає певним правилам, і ці правила треба завжди пам'ятати. Визначення як логічна дія розкриває найістотніші ознаки предметів і явищ об'єктивної реальності. Треба мати на увазі, що розмаїття визначень поняття об'єктивно обумовлене і залежить від рівня розвитку тієї чи іншої галузі знання, форм і методів його здобуття, а також специфіки вираження у формах мислення.
Вправи і завдання бувають різних типів, як це має місце і в операції поділу поняття.
Візьмемо таке завдання: Дати логічний аналіз визначенню: Іменник це самостійна частина мови, яка називає предмет і відповідає на питання хто? або що?
Відповідь будується за такою схемою: вказуємо на визначуване поняття (definiendum, Dfd) і визначаюче поняття (definiens, Dfn). Залежно від виду визначення даємо характеристику його структурних елементів. Якщо у визначенні наявна помилка, то вказуємо на її тип і правило, яке порушено.
Це завдання можна розв'язати так.
Дане визначення правильне (коректне). Здійснене воно за способом через рід та видову відмінність. Визначуваним поняттям є іменник. Визначаючими є: самостійна частина мови, яка називає предмет і відповідає на питання хто? або що? Визначаючі поняття містять найближчий рід самостійна частина мови та видові ознаки називає предмет, відповідає на питання хто? або що?, які вирізняють іменник у множині самостійних частин мови.
Або візьмемо таке завдання: Чи є наведені визначення правильні? Якщо ні, то вкажіть на характер або вид логічної помилки у даному списку визначень:
4) Обставина другорядний член речення.
Аналізуємо ці визначення згідно з умовою завдання і даємо відповіді:
3)..Сформульоване визначення некоректне. У ньому зміст поняття «логіка» розкривається через поняття «наука про логічне», яке само потребує визначення. Тобто дефінієндум визначається через дефінієнс, а дефінієнс через дефінієндум. Іншими словами, невідоме розкривається через невідоме. У даному визначенні припустились помилки, яка має назву "коло у визначенні".
4) Визначення неправильне. Визначаюче поняття «другорядний член речення» значно ширше, ніж визначуване поняття «обставина». Дефінієнс охоплює і означення, і додаток однаковою мірою. Тут маємо порушення правила співмірності, коли обсяг визначаючого поняття ширший за обсяг визначуваного. Ця помилка має назву "надто ширше визначення".
2.5. ЛОГІЧНІ ДІЇ НАД ОБСЯГАМИ ПОНЯТЬ
2.5.1. ОПЕРАЦІЇ ОБМЕЖЕННЯ І УЗАГАЛЬНЕННЯ
Логічні операції обмеження і узагальнення розкривають взаємовідношення між структурними елементами поняття змістом і обсягом поняття.
Основна мета вправ навчитись знаходити найближчий рід і вид поняття. Навички і вміння, набуті в процесі розв'язання вправ і завдань на обмеження й узагальнення, є своєрідним "містком" для засвоєння таких логічних дій, як поділ і визначення поняття.
Як свідчить практика, навіть належне засвоєння теоретичного матеріалу з даного розділу теми не убезпечує нас від помилок.
Наприклад, таке завдання. Обмежити й узагальнити поняття «мова». З умови випливає, що необхідно здійснити одночасно обмеження і узагальнення. У такому випадку беремо поняття «мова» і записуємо його так: «...?»... «мова» «...?...». Далі шукаємо видове поняття (справа) і родове поняття (зліва) до даного поняття. Найближчим видовим поняттям (або видом) до поняття «мова» буде вужче за обсягом поняття, яке відображає специфічну ознаку різновиду мов і загальну, родову ознаку обмежуваного. Маємо на увазі, що при обмеженні обмежуване поняття виконує функцію роду, а обмежене функцію виду. У нашому прикладі поняття «мова» є родовим, оскільки відображає ознаки не однієї певної мови, а множини мов, а його обмеженням (або видом) буде, наприклад, поняття «природна мова» (або «штучна мова»). Отже, обмеження виглядатиме так: «мова» «природна мова». Тепер шукаємо найближчий рід до поняття «мова». Таким поняттям є «знакова інформаційна система» (бо будь-яка мова є знаковою інформаційною системою). У результаті маємо такий ряд: «знакова інформаційна система» «мова» «природна мова». Така відповідь буде правильною.
Операції обмеження і узагальнення дають можливість виявляти не лише рівень знання про предмет міркування, але й переконатись у ступені підготовленості з тієї чи іншої фахової дисципліни. Неповною, неточною буде відповідь: «суспільне явище» «мова» «українська мова». Поняття «суспільне явище» є віддаленим родовим поняттям до поняття мова і не фіксує найближчих загальних ознак мови як такої, а поняття «українська мова» в даному випадку є межею обмеження, а отже, проминає специфічну ознаку, яка вказує на найближчий вид мови. Неправильною буде також і така відповідь: «знаряддя обміну думками» «мова» «морфологія». Тут при обмеженні взято структурну частину мови, а при узагальненні видову ознаку мови як знакової системи. В результаті маємо вищеназваний ряд, який не дає системного уявлення про мову.
Часто трапляється й таке: знайшовши родове поняття до вихідного, знаходять ще й рід для знайденого роду, тобто утворюють послідовний ряд узагальнень. Така логічна операція можлива, але тоді для її виконання має бути сформульоване адекватне завдання. У даному разі логічна дія, яка виходить за межі завдання, заважає схопити й зрозуміти суть основної логічної операції. Так само це стосується і такої операції, як обмеження поняття, коли замість найближчого виду знаходять межу обмеження (одиничне поняття).
Недопустимими є помилки такого типу. На вимогу здійснити обмеження й узагальнення поняття «атом кисню», відповідають так: поняття «атом кисню» одиничне й обмеженню не підлягає, а узагальненням цього поняття є поняття «молекула кисню», тому що, мовляв, молекула складається з атомів. Така відповідь неправильна. Поняття «атом кисню» не є одиничним поняттям, а загальним, бо відображає ознаки множини атомів кисню, а поняття «молекула кисню» не є родовим поняттям до поняття «атом кисню». Це зовсім інше поняття як за змістом, так і за обсягом. Іншими словами, молекула це цілісна підсистема, елементом або частинкою якої є будь-який атом. Тут ми маємо відношення частини і цілого, а не роду і виду.
І ще одна помилка, якої припускаються при узагальненні поняття. Замість родового поняття при узагальненні наводять тотожне йому. Так, узагальнюючи поняття «проза О.Кобилянської» наводять не його рід, а беруть йому тотожне «проза "гірської орлиці". Але ці поняття є тотожними.
2.5.2.ОПЕРАЦІЯ ПОДІЛУ ПОНЯТЬ
Як правило, вправи на поділ поняття бувають кількох типів: або вимагають здійснити поділ за будь-якого осново-ознакою, або навести приклади на кожний вид поділу за фаховими дисциплінами, або перевірити правильність здійсненого поділу понять і вказати на порушені правила поділу і т. ін.
Приступаючи до виконання вправ і завдань з поділу понять, треба передусім добре осмислити і запам'ятати правила поділу і можливі помилки при їх порушенні. Це убезпечить від типових помилок і заодно дасть можливість зорієнтуватись у ситуаціях, де порушено не одне правило, а кілька, або й усі. Особливо у завданнях, де вимагається з'ясувати правильність чи неправильність здійсненого поділу чи знайти основу для неправильного поділу понять.
Виконуючи вправи і розв'язуючи задачі, треба пам'ятати про те, що поділ це логічна операція, яка розкриває обсяг поняття, а не виявляє структурні елементи предмета поділу. Тобто, це операція відшукання видів понять за обсягом за певною основою-ознакою, яка може видозмінюватись у кожному члені поділу, або поділу за наявністю чи відсутністю ознаки чи групування предметів у певні класи за певного істотною основою.
Щоб здійснити логічний аналіз наведеного поділу поняття, треба спершу з'ясувати, в який спосіб його зроблено (назвати вид поділу); відтак, вказати ділене поняття і члени поділу, і, нарешті, визначити основу поділу (якщо основа вказана, то назвати її, а якщо ні, то виявити її і чітко сформулювати).
Завдання: Дайте логічний аналіз наведених прикладів поділу понять:
а) темперамент буває сангвінічним, холеричним, флегматичним, меланхолічним;
б) міжнародні договори бувають рівноправними і нерівноправними.
Відповіді:
а) запропонований для логічного аналізу приклад є поділом за видозміною ознаки. Ділене поняття «темперамент», члени поділу «сангвінічний», «холеричний», «флегматичний», «меланхолічний». Основа поділу явно не виражена. Підставою поділу тут є індивідуальна особливість людини за психічним станом, який видозмінюється в кожній людині залежно від сили, напруженості, швидкості та врівноваженості перебігу її психічної діяльності у порівняно більшій чи меншій стійкості її настроїв. Або: основою поділу є тип стійкої психічної діяльності людини залежно від настрою. Поділ правильний;
б) у даному випадку має місце поділ за наявністю і відсутністю ознаки (дихотомічний поділ). Ділене поняття «міжнародні договори», члени поділу поняття «рівноправні» і «нерівноправні»; основа поділу не вказана, але мислиться, а саме: ступінь взаємозалежності між суб'єктами міжнародного права.
Значно складнішим є завдання на виявлення помилок у поділі. Завдання: Визначити, які з наведених прикладів поділу є правильними, а які ні. В неправильних вказати помилку і порушене правило поділу:
1) Мови поділяються на природні, штучні та народні;
Зразок відповіді:
Даний поділ є неправильний. Порушено правило, яке вимагає послідовності або неперервності поділу, тобто допущено помилку, яка має назву "стрибок у поділі". Поняття «природна» і «штучна» є членами поділу поняття «мова» за ознакою-основою членоподільність. Наступний член поділу «народна мова» є видом родового поняття «природна мова», утвореного на підставі іншої ознаки, яка відрізняє народну мову від літературної мови, принцип побудови і функціонування.
У такий спосіб розв'язуємо друге і третє завдання.
Приступаючи до логічного аналізу операції поділу поняття, необхідно також добре з'ясувати питання про дії, які нагадують поділ, але ними не є, тобто розчленування предмета думки на складові частини (елементи).
Вправи і завдання на такий вид поділу, як класифікація, включають вимогу навести приклад класифікації за фаховими дисциплінами.
2.5.3. ЛОГІЧНІ ОПЕРАЦІЇ НАД КЛАСАМИ (МНОЖИНАМИ) ПОНЯТЬ
Логічні операції над класами чи обсягами понять завершують навчальний елемент, логічні дії над обсягами понять. Щоб здійснити операції над класами понять, використовуючи при цьому основні закони логіки класів, необхідно добре простудіювати тематичний матеріал до відповідного елемента змістового модулю «Поняття», щоб звикнути не тільки до символіки та її інтерпретацій, але й усвідомити практичну доцільність цих операцій.
Передусім нагадаємо, що операції над класами можна здійснювати у тому випадку, коли та чи інша властивість предметів, явищ, станів мислиться у широкому розумінні і є водночас усталеною і чітко розрізнюваною.
Оскільки не в усіх підручниках з формальної логіки подається "логіка класів", то коротко нагадаємо її алфавіт, оператори і закони логіки класів. Великими літерами початку латинської абетки (А, В, С...) будемо позначати класи, які визначають зміст понять-імен чи класу предметів Відсутність властивості чи якості позначатимемо символами із запереченням ~а , ~В, ~С, ~D і т. ін.
Знаком рівності «=« позначимо рівнозначність або тотожність виразів (напр., А = В означає, що якість, позначена А, тотожна з якістю, позначеною В). Логічну суму позначимо оператором об'єднання класів U (мовний еквівалент сполучник або). Наприклад, A U В (або якість A, або якість В, або ці якості разом). Логічний добуток позначимо через оператор перетину класів ∩ (напр., A ∩ B означає перетин якості А і В; ~А ∩ В означає відсутність якості А і наявність якості В).
Операції над класами (перетину чи об'єднання) підлягають таким законам логіки класів (або правилам):
1. Закон тотожності: А = А;
2. Закон суперечності: А ∩ ~А = Ø;
3. Закон виключеного третього: A U ~A = U; A = (A ∩ B) U (A ∩ ~B);
4. Закон комутативності: A ∩ B = B ∩ A; A U B = B U A;
5. Закон асоціативності:
А ∩ (B ∩ C) = (A ∩ В) ∩ C; A U (B U C) = (A U B) U C;
6. Закон дистрибутивності:
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C); A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C);
7. Закон ідемпотентності (закон спрощення): A ∩ A = A, A U A = A;
8. Закон зняття подвійного заперечення: ~ ~А = А;
9. Закони де Моргана: A ∩ В = ~А U ~; A U B = ~А ∩ ~В;
10. Закон поглинання: A∩ (A U B) = A; A U (А ∩ В) = А;
11. Закон доповнення порожнього (пустого) класу й універсальної множини:
~Ø = U; ~U = Ø;
12. Закон перетину й об'єднання певного класу з порожнім та з універсальною множиною (класом): A ∩ Ø = 0; Α ∩ U = Α; A U Ø = A; AU U = U.
Різні види вправ і типи завдань вимагають використання певних законів. До того ж треба мати на увазі й те, що стосовно операцій перетину і об'єднання закони алгебри класів підлягають принципу двоїстості: якщо в будь-якій вірній тотожності (законі) алгебри класів усі знаки перетину замінити знаками об'єднання, а всі знаки об'єднання знаками перетину, знак універсального класу замінити знаком порожнього класу, а знак порожнього класу знаком універсального, то отримаємо завжди вірну тотожність або закон. Згідно з цим принципом A ∩ ~A = Ø, Α U ~Α = U
Щоб здійснити певну операцію над класами, необхідно визначити кількість класів, що входять до того чи іншого виразу. Відтак визначити множину можливих відношень між класами за формулою т = 2n, де т клас логічно можливих відношень між класами, a n кількість класів. Клас логічно можливих відношень між класами визначають шляхом застосування закону виключеного третього
(А = А ∩ В ∩ А ∩ ~В) (варіант для логіки класів). Так, наприклад, для двох понять клас логічно можливих відношень складають 4 відношення, а саме:
А ∩ В, А ∩ ~В, ~A ∩ B, ~A ∩ ~B
Для трьох понять 8 відношень:
А ∩ В ∩ С, А ∩ В ∩ ~С, А ∩ ~В ∩ С, А ∩ ~В ∩ ~С, ~A ∩ B ∩ С, ~А ∩ В ∩ ~С, ~А ∩ ~В ∩ С, ~A ∩ ~В ∩ ~С, для чотирьох понять 16, для 5-ти понять 32 і т.д.
Єдиним правилом виводу є правило підстановки: замість будь-якого класу можна підставити той, який має такий же зміст (значення), що й вихідний клас. Цей клас позначається або однією буквою, або сполученням букв (перетином чи об'єднанням класів).
Завдання: Виявити за даними умовами А = А ∩ B i С = С ∩ ~В сумісні та несумісні сполучення класів А, В, С. Галузь інтерпретації така: нехай А позначає клас студентів, В клас відмінників, C клас спортсменів.
Відповідь: Сумісними із заданими умовами сполученнями даних класів А, В, С будуть наступні:
А ∩ В ∩ ~С, ~А ∩ В ∩ ~С, ~А ∩ ~В ∩ ~С.
Несумісними з даними сполученнями будуть сполучення, які в результаті підстановки стали порожніми, а саме:
А ∩ В ∩ С, А ∩ ~В ∩ С, А ∩ ~В ∩ ~С, ~A ∩ ~B ∩ ~C. На заданій інтерпретації непорожніх класів, ми отримаємо такі результати сумісних відношень:
A ∩ B ∩ ~C - студенти-відмінники, які не є спортсменами;
~Α ∩ Β ∩ ~С - відмінники, які не є ні студентами, ні спортсменами;
~Α ∩ ~Β ∩ С - спортсмени, які не є ні студентами, ні відмінниками;
~Α ∩ ~Β ∩ ~С - молоді люди, які не є ні студентами, ні відмінниками, ні спортсменами.
Результати розв'язку завдання можна подати графічно, за допомогою кіл Ейлера:
А студент
В відмінник
С спортсмен
Класи: 2, 6, 7, 8 є сумісними з умовами А = А∩В і C = C∩ ~B; класи: 1, 3, 4, 5 є несумісними з умовами A = A∩B і C = C∩~B.
Щоб отримати даний результат, необхідно здійснити ряд логічних дій над класами, використовуючи при цьому знання основних законів логіки класів: комутативності, суперечності, ідемпотентності (поглинання), перетину будь-якого класу (множини) на порожній клас і т. ін.
Спершу розписуємо можливі відношення трьох класів і з'єднуємо їх оператором об'єднання класів U:
А ∩ В ∩ С U А ∩ В ∩ ~С U А ∩ ~В ∩ С U А ∩ ~В ∩ ~С U ~А
∩ В ∩ С U U ~А ∩ В ∩ ~С U ~А ∩ ~В ∩ С U ~А ∩ ~В ∩ ~С
Далі робимо підстановку заданих умов А = А ∩ В і С = С ∩ ~В у ті сполучення, де ця підстановка можлива.
Застереження. Якщо одна з підстановок дає порожній клас (Ø), то друга підстановка не робиться в цьому класі. У випадку, коли одна із підстановок має не порожній клас, потрібно зробити другу підстановку.
Почнемо з першого випадку А ∩ В ∩ С. Якщо замість А підставимо перетин Α ∩ Β, то отримаємо вираз А ∩ В ∩ В ∩ С. Застосовуючи закон ідемпотентності (А ∩ А = А) щодо перетину класів (В ∩ В), отримаємо сполучення А ∩ В ∩ С. Отже, підстановка А ∩В у вираз А ∩ В ∩ С не змінила його. Водночас здійснюємо підстановку умови С = С ∩ ~В в отримане після першої підстановки сполучення А ∩ В ∩ С. Замість С підставимо С ∩ ~В й отримуємо А ∩ В ∩ С ∩ ~В. Користуючись законом комутативності записуємо дане сполучення так: А ∩ С ∩ В ∩ ~В. Далі бачимо, що до перетину класів В ∩ ~В можна застосувати закон суперечності (А ∩ ~А = Ø) і отримати А ∩ С ∩ Ø. Використовуючи закон перетину будь-якої множини на порожній клас (A ∩ Ø = Ø), ми отримаємо порожній клас (Ø). Отже, в результаті другої підстановки, ми маємо порожню множину, а це означає, що друга умова (C = С ∩ ~В) є несумісною з даним членом (A ∩ B ∩ C) об'єднання класів.
Далі беремо другий член об'єднання класів А ∩ В ∩ ~С і робимо підстановку в А перетин A ∩ B В результаті отримуємо A ∩ B ∩ B ∩ ~C Застосовуючи закон ідемпотентності до виразу В ∩ В даної формули, отримаємо Α ∩ Β ∩ ~С , тобто вихідне сполучення. Це означає, що дане сполучення або клас логічного відношення між А, В, С сумісний з умовою А = А ∩ В.
Переходимо до наступного відношення А ∩ ~В ∩ С здійснюємо підстановку в А вираз А ∩ В, одержимо A ∩ B ∩ ~B ∩ C. Знову застосовуємо закон суперечності до виразу В ∩ ~Β і отримуємо А ∩ Ø ∩ С. Використовуючи закон комутативності маємо вираз A ∩ C ∩ Ø. Оскільки перетин будь-якої множини на порожній клас дає порожній клас, то зрештою отримуємо порожній клас: A ∩ C ∩ Ø = Ø. Отже, і дане відношення несумісне із заданою умовою. Оскільки ми отримали Ø, то другу підстановку умови С = С ∩ ~Β не робимо.
Відтак переходимо до відношення A ∩ ~Β ∩ ~С і робимо підстановку в А умови A = A ∩ B і отримуємо Α ∩ В ∩ ~Β ∩ ~С. Застосовуючи закон комутативності до даного сполучення, отримуємо A ∩ ~C ∩ B ∩ ~B, що дає можливість застосувати до виразу В ∩ ~В закон суперечності й отримати порожній клас В ∩ ~В = Ø. Тоді сполучення записуємо так: A ∩ ~C ∩ Ø = Ø .
Нарешті беремо відношення ~A ∩ B ∩ C і підставляємо другу умову (С = С ∩ ~В) в С, що дає нам ~А ∩ В ∩ С ∩ ~В. Використовуючи закон суперечності до перетину В ∩ ~Β , отримуємо порожній клас Ø. В результаті вираз набере вигляду А ∩ С ∩ Ø, що аналогічно попередньому, дасть порожній клас: А ∩ С ∩ Ø = Ø. Отриманий результат свідчить, що підстановка умови С = С ∩ ~В у С веде до несумісності класів A, B, С. Оскільки у відношенні ~Α ∩ Β ∩~ С не можна здійснити підстановки, бо не має позитивного ні А, ні С, то наступне відношення ~А ∩ В ∩ ~С або вираз полишаємо без зміни. Це свідчить про сумісність умови з даним відношенням.
Насамкінець здійснюємо підстановку C ∩ ~B у відношення ~Α ∩ ~Β ∩ С і отримуємо сполучення ~Α ∩ ~Β ∩ С ∩ ~Β , яке згідно із законом ідемпотентності стосовно ~B ∩ ~B дає вихідне відношення ~Α ∩ ~Β ∩ С. В останньому сполученні підстановка неможлива, оскільки всі класи є заперечними, тому вираз залишається без зміни.
Безперечно, що здійснення тих чи інших підстановок у певні формули в кожному конкретному випадку вимагатиме використання різних законів логіки класів та їх порядку.
Тобто у кожному конкретному випадку загальний алгоритм розв'язування подібного типу завдань залишається одним і тим же, але процедурні моменти можуть видозмінюватись залежно від умов і складу сполучення, формули.
Якщо відкинути вербальність у вищенаведеному описі процедури розв'язання цього завдання, то в "чистому" вигляді вона виглядатиме так:
Отже, в результаті обох підстановок 1, 3, 4 і 5 перетворились у порожні. Оскільки об'єднання непорожніх класів з порожніми дає непорожні класи (за законом об'єднання будь-якого класу з порожнім ( AUØ=А) дає той самий клас), то можна дійти висновку, що умови А = А∩В і C=C∩B~B сумісні із сполученнями.
На цьому процедура розв'язання завдання завершується.
Якщо в попередньому завданні ми знаходили за даними умовами сумісні і несумісні сполучення класів А , В, С, то наступний тип завдань стосується знаходження умов, за яких певні сполучення класів є сумісними і несумісними.
Завдання: Дано логічно можливі сполучення A ∩ B ∩ ~C, A ∩ ~B ∩ ~C, ~A ∩ ~B ∩ C, ~A ∩ ~B ∩ ~C і логічно неможливі сполучення A ∩ B ∩ C, ~A ∩ B∩ CA ∩ B∩ CA ∩ B∩C. Визначити умови, за яких дані сполучення є логічно сумісними і логічно несумісними.
Щоб віднайти ці умови, чинимо так: із списку логічно неможливих беремо ті, які містять клас А, а саме: A∩B∩C і A∩~B∩C. Застосовуючи до класу А закон виключеного третього: отримаємо А = A ∩ B U А ∩ ~B (першу рівність). Відтак застосовуємо цей же закон до кожного члена правої частини рівності:
A ∩ B = A ∩ B ∩ C U A ∩ B ∩ ~C (друга рівність) і
A ∩ ~B = A ∩ ~B ∩ C U ∩ ~B ∩ ~C (третя рівність).
Нарешті, підставляючи другу і третю рівності в першу, отримуємо А за В і С, а саме:
А = A ∩ B ∩ C U A ∩ B ∩ ~C U A ∩ ~B ∩ С U А ∩ ~B ∩ ~C.
Згідно з умовою завдання, єдино можливими членами утвореної рівності є A ∩ B ∩ ~C і A ∩ ~B ∩ ~C. Сполучення A ∩ B ∩ C і A ∩ ~B ∩ C відсутні серед сумісних через певні умови. Отже, розкладом А буде лише А ∩ В ∩ ~С U А ∩ ~В ∩ ~С За законом виключеного третього цей розклад можна записати так: А = А ∩ ~С. Скорочено пошук отриманої умови можна подати у такому вигляді:
А = А ∩ В U А ∩ ~В
A ∩ B = A ∩ B ∩ C U ∩ B ∩ ~C
A ∩ ~B = A ∩ ~B ∩ C U A ∩ ~B ∩ ~C
А = A ∩ B ∩ C U A ∩ B ∩ ~C U A ∩ ~B ∩ C U A ∩ ~B ∩ ~C
А = A ∩ B ∩ ~C U ∩ ~B ∩ ~C
А = А ∩ ~C є шукана умова.
Аналогічно отримаємо розклад ~А:
~A = ~ A ∩ B U ~A ∩ ~B
~A ∩ B = ~A ∩ B ∩ C U A ∩ B ∩ ~C
~A ∩ ~B = ~A ∩ ~B ∩ C U ~A ∩ ~ B ∩ ~C
~A = ~A ∩ B ∩ C U A ∩ B ∩ ~C U ~A ∩ ~B ∩ C U ~A ∩ ~B ∩ ~C.
Вилучаємо логічно неможливі сполучення за умовою завдання, тобто ~A ∩ B ∩ C і ~A ∩ B ∩ ~C і залишаємо логічно можливі, а саме: ~А = ~А ∩ ~В ∩ С U ~А ∩ В ∩ ~С. Звідси отримуємо за законом виключеного третього ~А = ~A ∩ ~Β друга умова, яка дає логічно несумісні сполучення класів А, В, С. За цим зразком можна розкласти будь-який вираз за двома будь-якими буквами та їх запереченнями.
Для перевірки правильності розв'язку цього завдання переформулюємо його в перший тип завдання і за знайденими умовами А = А ∩ ~С і ~A = ~A ∩ ~B знайдемо сумісні і несумісні сполучення класів А, В, С.
Отже, логічно сумісними сполученнями класів А, В, С за знайденими умовами будуть 2, 4, 7, 8, логічно несумісними за даних умов є вирази 1, 3, 5, 6. Тобто, єдино можливі сполучення (2, 4, 7, 8) за перевіркою співпадають з логічно можливими сполученнями за умовою завдання (Α ∩ Β ∩ ~С, А ∩ ~В ∩ ~С A ∩ B ∩, ~A ∩ ~В ∩ С і ~А ∩ ~В ∩ ~С). Так само співпадають логічно неможливі вирази (1, 3, 5, 6) з отриманими в результаті перевірки (A ∩ B ∩ С, А ∩ ~В ∩ С, ~A ∩ B ∩ C і ~A ∩ B ∩ ~C).
Задачі подібного типу розв'язуються простим методом. Спершу з даних сполучень вибираємо позитивні. Відтак ці сполучення об'єднуємо знаком об'єднання класів U, розкладаємо даний вираз, використовуючи закон (правило) виключеного третього, і спрощуємо його за відповідними законами логіки класів. Аналогічно чинимо із запереченням обраного для аналізу виразу. В такий спосіб отримаємо умови, які зв'язують дані класи*.
Існують й інші методи з'ясування логічної сумісності чи несумісності сполучень класів за відомими умовами, а також знаходження умов їх логічної сумісності чи несумісності, їх опис можна знайти у наявній літературі з логіки класів або логіки множин*.
Готуючись до практичних занять, бажано постійно або в разі потреби перевіряти рівень своєї теоретичної підготовки до певного змістового модулю чи навчального елемента.
2.5.4. ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
Зразок підсумкових запитань для самоконтролю:
9. На які види поділяються поняття за обсягом і змістом?
У чому суть операцій перетину, об'єднання, різниці класів та доповнення до класу?
В чому полягає проблема розв'язуваності для логіки класів?
2.5.5 ПІДСУМКОВІ ВПРАВИ І ЗАВДАННЯ
столиця України ...; найвища гора Карпат. ...; остання літера українського алфавіту ...; козацька столиця ...
а) А А українська мова
В - мова
В С знакова інформаційна система
С
б) А А Європа
В Україна
В С Польща С
С
в)
А - батько
В син
С - брат
г)
А іменник чоловічого роду
В іменник жіночого роду
д) А - студент
В - спортсмен
С - відмінник
D - депутат міської ради
Підберіть поняття, які перебувають у відношеннях, зображених коловими схемами:
1). 2).
3). 4).
5). 6).
15. Чи правильно зроблено поділ понять у наступних прикладах (якщо ні, то які правила порушено):
16. Наведіть 34 приклади визначень поняття.
17. Які правила порушено в наступних визначеннях:
21. Виявіть за допомогою умов A = B ∩ ~B та B = ~A ∩ ~B сумісні та несумісні сполучення класів А, В, С.
22. Дано логічно сумісні сполучення А ∩ В ∩ ~С, A ∩ ~B ∩ ~C, ~А ∩ ~В ∩ С, ~A ∩ ~B ∩ ~С і логічно несумісні сполучення A ∩ ~B ∩ C, ~А ∩ В ∩ С, ~А ∩ В ∩ ~С Знайдіть умови, за яких дані сполучення є логічно можливими і логічно неможливими.
2.5.6. ТЕСТ.
1. Матеріальна форма вираження думки і думка тотожні:
А. Так.
Б. Ні.
2. Матеріальною формою вираження поняття є слово або словосполучення:
А. Так.
Б. Ні.
3. Чи є слова і словосполучення, які не виражають понять?
А. Так.
Б. Ні.
4. Яка із дефініцій поняття як форми мислення є коректною:
А. Поняття це форма думки про найзагальніші й істотні ознаки предметів чи явищ обєктивної реальності.
Б. Поняття це форма думки.
В. Поняття це впорядкована система думок.
5. За логічною структурою поняття містить:
А. Зміст і обсяг.
Б. Зміст і сенс.
В. Смислове значення і обсяг.
6. У змісті поняття мисляться:
А. Істотні ознаки предмета думки.
Б. Специфічні ознаки предмета думки.
В. Істотні та відмітні ознаки предмета думки.
7. За обсягом поняття поділяються на:
А. Конкретні, загальні, нульові.
Б. Конкретні, абстрактні, збірні.
В. Одиничні, загальні, нульові.
8. За змістом поняття поділяються на:
А. Конкретні й абстрактні.
Б. Конкретні й збірні.
В. Загальні й абстрактні.
9. За кількістю відображуваних предметів поняття поділяються на:
А. Збірні й незбірні.
Б. Загальні й незбірні.
В. Одиничні й збірні.
10. Абстрактні поняття поділяються на:
А. Позитивні й негативні.
Б. Загальні й позитивні.
В. Загальні й негативні.
11. Конкретні поняття поділяються на:
А. Відносні й безвідносні.
Б. Збірні й незбірні.
В. Загальні й незагальні.
12. За змістом і обсягом поняття поділяють на:
А. Порівнянні й непорівнянні.
Б. Сумісні й непорівнянні.
В. Несумісні й порівнянні.
13. Поняття поділяють на порівнянні й непорівнянні за:
А. Змістом і обсягом.
Б. Змістом і смислом.
В. Значенням і обсягом.
14. На сумісні й несумісні поняття поділяють за:
А. Обсягом.
Б. Змістом.
15. Сумісні поняття перебувають у відношеннях:
А. Тотожності, підпорядкування, перетину.
Б. Тотожності, співпорядкування, часткового збігу.
В. Тотожності, підпорядкування, сумірності.
16. У відношенні тотожності перебувають поняття, обсяги яких повністю збігаються:
А. Так.
Б. Ні.
17. Підпорядковані поняття відображають відношення:
А. Роду і виду.
Б. Частини і цілого.
В. Множини і класу.
18. У відношенні перетину перебувають поняття, які мають:
А. Спільну частину елементів.
Б. Елементи, які виключають один одного.
В. Тотожні ознаки в змісті.
19. Несумісні поняття перебувають у відношеннях:
А. Протилежності, суперечності, співпорядкування.
Б. Тотожності, підпорядкування, протилежності.
В. Співпорядкування, перетину, тотожності.
20. Відношення співпорядкування має місце між поняттями, які є:
А. Видами одного роду.
Б. Родами одного роду.
В. Видами одного виду.
21. У відношенні протилежності перебувають поняття, обсяги яких не вичерпують обсягу родового поняття:
А. Так.
Б. Ні.
22. У відношенні суперечності перебувають поняття, які вичерпують обсяг родового поняття:
А. Так.
Б. Ні.
23. Відношення між поняттями відображають реальні відношення між речами та їх властивостями:
А. Так.
Б. Ні.
24. Здійснити логічний аналіз поняття означає:
А. Розкрити його зміст і обсяг.
Б. Розкрити обсяг поняття.
В. Розкрити зміст поняття.
25. Обмежуючи обсяг поняття, здійснюють перехід від:
А. Поняття із ширшим обсягом до поняття з вужчим обсягом.
Б. Поняття з вужчим обсягом до поняття із ширшим обсягом.
В. Поняття одного обсягу до поняття такого ж обсягу.
26. Межею обмеження обсягу поняття є:
А. Поняття, яке містить лише один елемент.
Б. Поняття, обсяг якого не містить жодного елемента.
В. Поняття, обсяг якого є невизначеним.
27. Узагальнюючи обсяг поняття, здійснюють перехід від:
А. Поняття з вужчим обсягом до поняття із ширшим обсягом.
Б. Поняття із ширшим обсягом до поняття з вужчим обсягом.
В. Поняття одного обсягу до поняття такого ж обсягу.
28. Межею узагальнення обсягу поняття є:
А. Поняття, обсяг якого не містить жодного елемента.
Б. Поняття, яке є видом даного роду.
В. Поняття, яке є категорією.
29. Поділ це логічна дія, що розкриває:
А. Зміст поняття.
Б. Обсяг поняття.
В. Зміст і обсяг поняття.
30. Яка із дефініцій поділу поняття є коректною?
А. Поділ це логічна дія, що розкриває обсяг поняття.
Б. Поділ це логічна дія, яка розкриває зміст поняття.
В. Поділ це логічна дія, що виявляє частини цілого.
31. За структурою поділ включає такі елементи:
А. Ділене поняття, основу поділу, члени поділу.
Б. Ділене поняття, видове поняття, основу поділу.
В. Ділене поняття, основу поділу.
32. Операція поділу поняття і розчленування предмета думки на частини є тотожними логічними діями:
А. Так.
Б. Ні.
33. Видами поділу є:
А. Поділ за видозміною ознаки, дихотомічний поділ, класифікація.
Б. Поділ через найближчий рід і видову ознаку, дихотомічний поділ, розчленування.
В. Поділ за видозміною ознаки, дихотомічний поділ, розрізнення.
34. Правил поділу є:
А. Шість.
Б. Пять.
В. Чотири.
35. Якщо обсяг членів поділу не дорівнює обсягу діленого поняття, то мають місце такі помилки в поділі:
А. «Надто широкий поділ», «надто вузький поділ».
Б. «Неповний поділ».
В. «Поділ із зайвими членами поділу».
36. Члени поділу мають перебувати у відношенні:
А. Перетину.
Б. Співпорядкування.
В. Протилежності.
37. Помилка «стрибок у поділі» виникає тоді, коли:
А. Порушується правило послідовності в поділі.
Б. Обсяги членів поділу перетинаються.
В. Поділ робиться не за однією основою.
38. Класифікація - це:
А. Групування понять.
Б. Обмеження й узагальнення понять.
В. Багаторівневий поділ.
39. Прийнято розрізняти такі види класифікації:
А. Наукову й штучну.
Б. Логічну й алогічну.
В. Змістовну й формальну.
40. Дефініція це логічна операція, що розкриває:
А. Зміст поняття.
Б. Обсяг поняття.
В. Обсяг і зміст поняття.
41. Структурні елементи визначення:
А. Визначуване поняття (дефінієндум) і визначаючі поняття (дефінієнс).
Б. Визначуване поняття (дефінієндум).
В. Визначаючі поняття (дефінієнс).
42. Явні визначення це визначення, в яких:
А. Визначуване і визначаючі поняття є тотожними.
Б. Визначуване і визначаючі поняття перебувають у відношенні перетину.
В. Визначуване й визначаючі поняття перебувають у відношенні підпорядкування.
43. До явних визначень належать:
А. Визначення через рід та видову відмінність, контекстуальне визначення, операційне визначення.
Б. Визначення через рід та видову відмінність, генетичне визначення, номінальне визначення.
В. Контекстуальне визначення, операційне визначення, генетичне визначення.
44. Визначаючим поняттям у неявному визначенні є:
А. Контекст.
Б. Висловлене поняття.
В. Визначуване поняття.
45. До неявних визначень належать:
А. Контекстуальні, аксіоматичні, остенсивні, індуктивні визначення.
Б. Контекстуальні, остенсивні, аксіоматичні визначення.
В. Остенсивні, контекстуальні, операційні, індуктивні визначення.
46. Правил явних визначень є:
А. Шість.
Б. Пять.
В. Чотири.
47. Помилка «надто широке визначення» виникає тоді, коли:
А. Обсяг визначаючих понять є ширшим за обсяг визначуваного.
Б. Обсяг визначуваного поняття є вужчим за обсяг визначаючих понять.
В. Визначуване й визначаючі поняття перебувають у відношенні тотожності.
48. «Тавтологія» репрезентує таку логічну помилку, як:
А. «Коло у визначенні».
Б. «Надто вузьке визначення».
В. «Надто широке визначення».
49. Визначення не повинно бути заперечним:
А. Так.
Б. Ні.
50. До прийомів, подібних до визначення поняття, належать:
А. Опис, характеристика, порівняння, розрізнення, вказування, пояснення.
Б. Характеристика, метафора, опис, порівняння.
В. Характеристика, вказування, порівняння, розрізнення.
2.5.7. ЛІТЕРАТУРА
3. Логічний аналіз суджень (висловлень)
Змістовий модуль "Судження" один з важливих у курсі логіки. Готуючись до практичних занять, необхідно звернути увагу на єдність поняття i судження та відмінність між ними. До речі засвоєння даної теми є умовою переходу до тем "Умовивід" та "Лoгічні основи тeopiї аргументації". Варто також пам'ятати, що в понятті думка підсумовується, а в судженні вона розвивається. Kpiм того, не забувайте й те, що формальна логіка розглядає готові, сформовані знання у формі судження, поза їx розвитком, її цікавить лише формальний зміст суджень.
3.1. ЛОГІЧНИЙ АНАЛІЗ ПРОСТИХ СУДЖЕНЬ
Мета вправ і завдань навчитись виявляти вид, структуру, відношення між структурними елементами судження, здійснювати логічні операції над простими судженнями, строго розрізняти судження, висловлювання i висловлювальну форму, відрізняти логіко-структурні елементи від мовно-граматичних, формалізувати i т. ін.
Оскільки граматичною формою вираження судження є розповідне речення, то природно розпочати засвоєння цього модулю з виконання вправ i завдань, які розкривають співвідношення судження як ідеальної форми зв'язку думки з реченням як матеріальною формою вираження цього зв'язку.
Завдання: Визначте суб'єкт i предикат, зв'язку в наступних судженнях; знайдіть підмет i присудок у реченнях, що виражають ці судження:
1) "Україна суверенна держава";
2) "Любові до ближнього ось чого бракувало українцям завжди ".
Зразки відповідей:
1) "Україна" суб'єкт судження, "суверенна держава" - предикат судження; ствердна зв'язка "є" мислиться i виражена рискою. Підмет речення "Україна", присудок речення "держава".
2) Суб'єкт "те, чого бракувало українцям завжди"; предикат "любові до ближнього". Підмет "любові", присудок "бракувало".
З'ясовуючи логічну структуру судження, треба звертати увагу на логічний наголос, який може міняти місцями його складові частини.
Завдання: Дайте логічний аналіз нижчезаписаних суджень i покажіть зміну структури та змісту судження залежно від логічного наголосу: а) «Гетьман npuїxaв»; б) «Гетьман приїхав».
Відповіді можна подати за наступним зразком:
а) Суб'єкт "Гетьман", предикат "приїхав". Дане судження є відповіддю на питання: чи гетьман приїхав?
б) Суб'єкт "той, хто приїхав", предикат "гетьман". Зв'язка в цих судженнях ствердна. Граматичні складники одні й ті ж самі: підмет "гетьман", присудок "приїхав".
Здійснюючи логічний аналіз судження, не піднімайте його граматичним аналізом речення, оскільки судження і речення не тотожні.
Знання про логічну природу простих категоричних суджень можна засвоїти, виконавши ряд вправ i завдань. Ці знання знадобляться вам при вивченні змістового модулю "Умовивід" та його навчального елементу "Виводи логіки предикатів".
Як правило, практичні вправи i завдання включають такі вимоги:
Завдання: Знайдіть суб'єкт i предикат у таких судженнях:
А. "Людина, яка йшла нам назустріч, раптом зникла";
Б. "Хто не працює, той не їсть;
В. "Наше майбутнє це наші дimu";
Г. "Волю народу ніщо не могло зламати ".
Відповіді можна подати таким чином:
А. Суб'єкт судження - "людина, яка йшла нам назустріч", предикат судження "раптом зникла";
Б. "хто не працює" суб'єкт, "той не їсть" предикат;
В. Суб'єкт "наші діти", предикат "наше майбутнє";
Г. "Волю народу" суб'єкт судження, "ніщо не могло зламати" предикат судження.
Щоб правильно відповісти на вимогу такого завдання, необхідно так перебудувати речення, щоб виявити логічну структуру, вираженого ним судження.
Набуття навичок швидко й чітко розрізняти типи категоричних суджень за різними основами можливе завдяки виконанню відповідних вправ i завдань.
Завдання: Визначіть якість i кількість поданих нижче суджень i запишіть їх формули:
А. "Усі закони мають об'єктивний характер";
Б. "Жодна нормальна людина не хоче ядерної війни";
В. "Не вci правила мають винятки";
Г. "Деякі громадяни України не мають права па пенсію ".
Зразок відповіді:
А. Це судження є загальноствердним (А). Його формула: "Уci S є Р" (або "Уci S суть Р"); x S(x) P(x);
Б. Дане судження загальнозаперечне (Е). Формула його така: "Жодне S не є Р" ("Жодне S не суть Р"): x S(x) ~P(x);
В. Це судження є частковоствердним (І). Формула його - "Деякі S є Р" ("Деякі S суть Р"); х S(x) /\ Р(х);
Г. Дане судження належить до класу частковозаперечних (О). Формула даного судження така: "Деякі S є Р" ("Деякі S не суть Р") х S(х) /\ Ρ(х).
Важливе практичне значення мають вправи по з'ясуванню відношень між термінами в простих категоричних судженнях. Вміння виявляти ці відношення сприяє чіткому визначенню змісту суджень, що в свою чергу полегшує розв'язання проблеми вивідності (логічного слідування) у силогістичних міркуваннях, де ці судження виконують роль як засновків, так і висновків.
Щоб з'ясувати відношення між термінами в простих категоричних судженнях, треба пам'ятати умови розподіленості. Якщо в судженні немає кванторного слова і виявити його з контексту неможливо, то суб'єкт краще мислити у неповному обсязі. Стосовно розподіленості (чи нерозподіленості) предиката, то тут треба мати на увазі те, що у ствердних судженнях (А, І) предикат нерозподілений, крім виділяючих суджень, в яких він розподілений.
Нехай нам треба з'ясувати відношення між термінами в судженні "Жоден українець не росіянин!". Це судження типу Ε загальнозаперечне. Суб'єкт у даному судженні "українець", предикат "росіянин'. Зв'язка "не є".
Терміни (S та Р) в судженнях даного типу завжди розподілені (S+, Р+), тобто поняття, яке виражає суб'єкт ("українець") і поняття, що виражає предикат ("росіяни"), завжди мисляться у повному обсязі. Схема підношення між термінами матиме такий вигляд :
Як правило, при аналізі таких суджень трапляються помилки, зумовлені неправильним визначенням предиката судження.
Так, аналізуючи дане судження, предикатом іноді вважають поняття "не росіянин", а саме судження заперечним. Міркуючи так, ми припускаємось помилки, бо замість істинного судження "Жоден українець не є росіянин" матимемо хибне судження "Жоден українець не є не росіянин". Це судження не рівнозначне наведеному в нашому прикладі. Щоб не порушити істинності змісту думки, треба взяти за предикат "неросіянин" і ствердну зв'язку "є". Тоді судження стане ствердним ("Жоден українець є неросіянин"). Відношення між термінами в ньому буде таким, як у загальноствердному судженні. Така ситуація веде до сумніву, який породжує запитання: невже одне й те саме судження можна тлумачити і як ствердне і як заперечне? Як не прикро, але це так, якщо йдеться, звичайно, про судження, подібні до розглядуваного. Мають рацію ті автори посібників, які вважають, що причина тут у частці "не". І справді, у судженнях, взятих поза контекстом, частку "не" можна розуміти двояко, а саме: 1) як скорочено висловлену заперечну зв'язку "не є" (тоді предикат буде розподілений), і 2) як складову частину предиката (тоді предикат буде нерозподілений). При цьому зв'язка стає ствердною "є". Як правило, предикат нерозподілений у ствердних судженнях. Як виняток, предикат розподілений у загальноствердному судженні тоді, коли судження є визначенням (дефініцією), наприклад: "Іменник це самостійна частина мови, яка називає предмет і відповідає на питання хто? або що?".
Завдання: Покажіть за допомогою кіл Ейлера відношення між термінами в наведених нижче судженнях:
А. "Будь-яка соціально орієнтована держава дбає про добробут усіх верств населення ";
Б. "Жодний політичний режим не вічний";
В. "Деякі європейські країни не є заручниками Міжнародного Валютного Фонду ";
Г. "Не всі ті, хто бажає добра, чинять добро ".
Можливі варіанти відповідей:
А. Дане судження типу А загальноствердне. Його формула: "Усі S суть Р". Включає кванторне слово "будь-яка'' і ствердну зв'язку "є", що не виражена прямо. S судження - "соціальне орієнтована держава". Ρ судження "дбає про добробут усіх верств населення". S+ розподілений, Р¯ нерозподілений. Схема відношення між S і Ρ виглядатиме так:
Б. Це судження типу Ε загальнозаперечне. Формула: "Жодне S не суть Р". Включає кванторне слово "Жодне". Зв'язка "не є" виражена приховано (імпліцитно, евентуально). S "політичний режим", Ρ "вічний". S+ і Р+ розподілені. Схема відношення між термінами:
в) Судження частковоствердне (1). Його формула "Деякі S суть Р". Включає кванторне слово "деякі". Зв'язка "є" не виражена явно. S "ті, хто бажає добра". Ρ "чинять добро". S¯ і Р¯ нерозподілені. Схема відношення між термінами:
Г. Це судження типу О частковозаперечне. S "європейські країни", Ρ "заручники Міжнародного Валютного Фонду". Звязка "не є". Кванторне слово "Деякі" вказує, що суб'єкт цього судження нерозподілений, предикат судження мислиться у повному обсязі, бо повністю виключається з обсягу суб'єкта. Відношення між термінами має вигляд:
Таким чином, з'ясування відношення між термінами в категоричних судженнях є творчим процесом і потребує включення в певну концептуальну логосферу, обумовлену глибоким знанням конкретного матеріалу, з одного боку, і культурою мислення з другого.
Оскільки вивчення наступних змістових модулів пов'язане з логічним аналізом даних типів суджень у численні предикатів, то певне значення має попереднє "знайомство зі способами утворення сингулярних (одиничних) і несингулярних (часткових і загальних) категоричних суджень (висловлень) або пропозиційних функцій шляхом підстановки і квантування. Так, наприклад, одиничне (сингулярне) судження можна утворити з предикатної константи Р, яка заміщує ознаку "бути філософом", та індивідної константи а ім'я Гегель. Таким чином, формула Р(а) перетвориться на істинне одиничне судження "Гегель філософ". Формула Р(а) є атомарною, і її можна подати у списку формул як одномісний предикат Р(а). Крім того, одиничні судження можна утворювати також шляхом підстановки у пропозиційну функцію з однією змінною імені конкретного предмета. Так, наприклад, якщо у пропозиційну функцію "х ріка", підставимо замість х ім'я "Прут", то отримаємо істинне судження "Прут ріка''.
Другий спосіб утворення несингулярних висловлень пов'язаний з операцією квантування, або зв'язування кванторами. Для цього в логіці предикатів використовують логічні константи, які називаються кванторами: квантор загальності (або універсальний квантор) () і квантор існування (екзистенційний квантор) (). Вираз
"x" читається; для будь-якого х...", вираз х "існує такий х, що...". Приписавши до пропозиційної форми квантор загальності чи існування, ми утворюємо висловлювальну форму.
Припустимо, що нам треба розв'язати таке завдання: зв'язати квантором загальності та існування наступну пропозиційну функцію "х є розумним". Якщо ми зв'яжемо цю функцію квантором загальності x ("х є розумним"), то отримаємо висловлення: "Для кожного індивіда х вірно: х є розумним". Символічно: xQ(x). Якщо зв'яжемо цю функцію квантором існування, то отримаємо висловлення "Існує принаймні один індивід х, для якого вірно: х є розумним". Символічно: хQ(x). Отже, такі несингулярні висловлення, як "Усе є розумним", "Щось є розумним" можна символічно репрезентувати як: xQ(x) і хQ(x). Як бачимо, ці форми і є символічними репрезентантами пропозиційноі форми Q(x). Висловлення "Усе є розумним", "Щось є розумним" можна переформулювати і отримати судження "Усе дійсне є розумним". "Щось дійсне є розумним".
Щоб подати те чи інше висловлення квантованим, необхідно спершу з'ясувати тип судження, виявити його логічну структуру (у разі потреби знайти адекватну змістові форму вираження), а відтак зв'язати її відповідним квантором. Зауважимо, що виконання завдань по квантуванню висловлень, передбачає знання про зв'язані та вільні входження індивідних змінних у формулу. Відомо, що індивідна змінна х є зв'язаною, якщо вона підпадає під дію квантора. В іншому випадку вона не є зв'язаною. Так, наприклад, змінна х у формулах xP(x) і хР(х) є зв'язаною, а у формулах P(x) або Q(x) є вільною. Змінна може бути зв'язаною і вільною в одній і тій же формулі. Наприклад, завдання: Виявити зв'язані і вільні входження змінних у формулі Р(х,у) → xР(х,у). Відповідь: індивідні змінні х та у є вільними у формулі Р(х,у); у формулі xР(х,у) входження змінної х є зв'язаним.
Щоб записати певне висловлення мовою логіки предикатів, треба:
а) усі кванторні слова замінити кванторами загальності (а) або існування (а);
б) усі слова, що є загальними іменами замінити індивідними змінними (х, у, z,...);
в) усі слова, що є власними іменами замінити індивідними константами (а, в, с,..);
г) усі слова, що позначають властивості замінити одномісними предикатами, а слова, що позначають відношення багатомісними предикатами (Р(х); Р(х, у),...);
д) записати формулу в цілому.
Нехай нам треба розв'язати таке завдання: Записати мовою логіки предикатів наступні категоричні судження за якістю і кількістю:
Щоб дати відповідь на вимогу завдання, треба спершу переформулювати аналізоване судження. Візьмемо перше судження: "Усі люди смертні". Переформульовуємо його на: "Усім людям притаманна властивість бути смертними". Слово "усі" позначаємо через "x", "люди" через "х", "смертні" через "Ρ". У результаті заміни ми отримали формулу x P(x). Якщо ж ми переформулюємо аналізоване судження: "Для будь-якого х вірно: якщо х є людиною, то він є смертним", то отримаємо інший вираз: xP(х) → Q(x), де "Ρ" і "Q" позначають відповідно властивості "бути людиною" і "бути смертною". Якщо ж розглядати суб'єкт-предиканту структуру судження, то аналізоване судження подаємо так: x (S(x) → P(х)), "S" означає предмет думки "люди", а "Р" ознаку предмета думки "смертні". У такий спосіб розглядаємо наступні судження, щоб виконати вимогу завдання.
Крім того, ми повинні пам'ятати про те, що в численні предикатів терміни силогізму розглядаються як предикати. Логічні постійні "всі" і "деякі" виражаються за допомогою кванторів і , а відношення "бути властивим" за допомогою пропозиційної зв'язки "→" - імплікації і "/\" - кон'юнкції, які застосовуються до функцій висловлень. Тоді основні для силогістики форми висловлень у численні предикатів можна записати так:
4) частковозаперечне судження (О): х(S(x) /\ ~P(x)) - "Є такі х, що мають ознаку S і не мають ознаки Р".
Тільки тепер ми можемо приступити до розв'язання нашого завдання.
Відповідь буде такою:
(1) x (S(x) →Р(х));
(2) х(S(x) /\ Р(х));
(3) х(S(x) /\ ~Р(х));
(4) x (S(x) → ~ Р(х));
На практичних заняттях часто формулюються завдання, де ставиться вимога про утворення шляхом квантування суджень про відношення. Щоб розв'язати таке завдання, треба спершу знайти функцію висловлення з відповідними змінними (у випадку, коли вона не задана) і за допомогою кванторів (, ) пов'язати предметні змінні (х, у). Істиннісне значення, утворених способом квантування суджень про відношення, визначається областю інтерпретації. Так, наприклад, якщо за область інтерпретації функції х > у, зв'язаної кванторами ,, взяти дійсні числа, то в результаті отримаємо різні за валентністю (істинні чи хибні) судження про відношення, а саме:
ху (х > у): "Є такі х і є такі у, в яких х буде більше у" (істинне судження);
xy (x > у): "Будь-яке число х більше будь-якого числа у" (хибне);
ух (х > у): "Є таке число у, по відношенню до якого будь-яке число х (в тому числі і само число у) буде більше від нього" (хибне) і т.п.
У випадку, коли судження про відношення включають одну або кілька індивідних констант і різні квантори (через різні тлумачення інформації, що міститься в судженні), формалізація суджень буде дещо відмінною. З цією метою розв'яжемо завдання: Заформалізувати судження "Усі поважають Закон" ("Для кожного х вірно, що х поважають Закон"). "Поважати" позначимо через двомісну предикатну константу L, а ім'я "Закон" позначимо індивідною константою а. Тоді дане судження можна заформалізувати: x L(х, а).
Правильність або неправильність формули логіки предикатів визначається за допомогою загальнозначущості формули, що рівнозначно істинності. Якщо в результаті заміни предикатних постійних іменами властивостей, а індивідних констант - іменами індивідів, формула логіки предикатів перетворюється в істинне висловлення за будь-якої інтерпретації, то така формула є загальнозначущою.
Розглянемо формулу x (Qx (x → Q(x))). Нехай: область інтерпретації - "люди"; "Q" заміщує властивість "бути смертним"; "а" іменує Сократа. За такої інтерпретації формула перетвориться в істинне висловлення: "Якщо всі люди смертні, то й Сократ смертний". Залишаємо ту ж саму область інтерпретації "люди", але нехай "Q" заміщує властивість "бути чехом", а "а" іменує Сократа. Тоді формула x (Q(x → Q(а))
А Е знову перетвориться в істинне висловлення: "Якщо всі
протилежність люди чехи, то й Сократ також є чехом".
під під Оскільки відношення між формами мислення складає
по по головний зміст логіки, то розв'язання завдань щодо
ряд суперечність ряд з'ясування відношень між судженими, зокрема
ку ку категоричними, має неабияке практичне значення.
ва ва Тому наступним етапом у вивченні судження на
ння ння практичних заняттях є логічний аналіз відношень
підпротилежність між простими категоричними судженнями за
I O логічним квадратом.
Нехай нам треба розв'язати таке завдання: Визначити за допомогою логічного квадрату відношення між наступними парами суджень: "Усі птахи відлітають взимку в теплі краї" і "Жоден птах не відлітає взимку в теплі краї"; "Усі метали електропровідні" і "Деякі метали не є електропровідними".
Перш ніж приступити до розв'язання даного завдання, ми мусимо пригадати, за яких умов категоричні судження типу А, Е, І, О можуть бути істинними, а за яких хибними. Для систематизації та наочного уявлення цих відношень малюємо логічний квадрат. Сторони і діагоналі квадрату вказують на вид відношення між судженнями А, Е, І, О, зумовлений формальнологічними аксіомами. Залежність між судженнями А, Е, І, О за істиннісним значенням умовно подаємо через імплікацію, тобто сполучник "якщо..., то...", а символами "і" та "х" логічне значення ("істина", "хиба"). Так, протилежні судження А та Е не можуть бути одночасно істинними. Проте вони можуть бути одночасно хибними. Наприклад: "Усі планети обертаються навколо Сонця" (хибне) і "Жодна планета не обертається навколо Сонця" (хибне). Отже, А(і) → Е(х) і Е(і) → А(х) читаємо: "Якщо А істинне, то Е хибне", і "Якщо Е істинне, то А хибне".
Суперечні судження А О, Е І не можуть бути одночасно ні істинними, ні хибними:
А(х) → О(і), О(і) →А(х);
Е(х) → І(і), І(і) →Е(х);
А(і) → О(х), О(х) →А(і);
Е(і) → І(х), І(х) → Е(і);
Підпротилежні судження (І О) не можуть бути одночасно хибними: І(х) → О(і), О(х)→ І(і); І(і) → О(і) або О(х), О(і) → І(і) або І(х).
Судження А І, Е О перебувають у відношенні підпорядкування. Ці відношення характеризуються наступними залежностями: А(і) → І(і), Е(і) → О(і), А(х) → І(х),
Е(х )→ О(х), І(х) → А(х), О(х) → Е(х). Але: І(і) → А(і) або А(х); О(і) → Е(і) або Е(х).
Тепер ми можемо приступити до розв'язання нашого завдання.
Зразок відповіді. Судження "Всі птахи відлітають влітку в теплі краї" (А) і судження "Жоден птах не відлітає влітку в теплі краї" (Е) перебувають у відношенні протилежності (або контрарності). У даному конкретному випадку судження Е є істинним, а судження А хибним. Щоб упевнитись у правильності відповіді, треба виявити за логічним квадратом відношення між ними за істиннішим значенням. Перевірку правильності відповіді можна здійснити таким чином: Е(і) → О(і),оскільки між ними існує відношення підпорядкування. Далі, О(і) → А(х), бо між ними відношення суперечності; А(х) → І(х) або І(і), бо вони перебувають у відношенні підпорядкування. Якщо І(х) → Е(і); якщо І(х) → А(х). Отже, якщо Е(і) → А(х). Що і треба було довести. Аналогічно чинимо з наступною парою суджень.
З'ясовуючи відношення між судженнями за істиннішим значенням, треба чітко розрізняти протилежні і суперечні судження. За для цього необхідно засвоїти операцію заперечування суджень. Нагадаємо, що заперечування це логічна операція, що полягає в перетворенні структури судження, в результаті чого з вихідного судження отримуємо нове судження, яке є істинним, якщо вихідне хибне, і хибним, якщо вихідне істинне. Цю операцію відображає унарне відношення: якщо А істинне, то не-А хибне, і навпаки: Якщо не-А істинне, то А - хибне. Тому операцію заперечування треба відрізняти від заперечення, що є іманентною частиною заперечного судження, в якому вказується на відсутність ознаки у предмета думки ("Деякі S не суть Р", "Жодне S не суть Р"). Істинність чи хибність заперечних суджень визначається структурою судження, а в заперечуваних судженнях вона пов'язана із ствердністю або заперечуваністю змісту думки загалом. Ствердність і заперечність виступають тут бівалентними характеристиками істинності чи хибності суджень.
Зазначимо, що заперечувані судження можна подавати в еквівалентній формі. Еквівалентними є два судження, якщо вони є одночасно істинними, або одночасно хибними. Якщо заперечене (негативне) судження є істинним, то еквівалентне йому ствердне (позитивне) також буде істинним, і навпаки.
Завдання. Записати відношення еквівалентності між атрибутивними судженнями типу А, Е.
Відповідь:
~А ≡ О ~х S(х) → P(х) = х (S(х) ~ P(х));
~Е ≡ І ~х S(х) → ~ P(х)) =х (S(х) P(х));
~І ≡ Е ~х (S(х) P(х)) = х S(х) →~P(х));
~О ≡ А ~х (S(х) ~ P(х)) = х S(х) → P(х)).
Отже, еквівалентними є ті судження, які перебувають у відношенні суперечності (контрадикторності).
Завдання. Утворити пари еквівалентних суджень для заперечених суджень про відношення.
Відповідь:
~х (x R y) = х (x ~R y);
~x (x R y) = х (x ~R y);
~y х (x Ry) = x y (x ~Ry) і т. ін.
Пам'ятайте: щоб утворити еквівалентне запереченому судженню про відношення, треба у правій частині рівності квантори поміняти на протилежні і заперечити закванторну (або підкванторну) основу.
3.2. ЛОГІЧНИЙ АНАЛІЗ СКЛАДНИХ СУДЖЕНЬ (ВИСЛОВЛЕНЬ)
Ви вже знаєте, що складні судження утворюються з простих шляхом з'єднання їх логічними сполучниками /\, \/, , →, ↔, ~ , і що істиннісне значення складних суджень є функцією значень простих суджень, що входять до їх складу.
Принагідно нагадаємо, що знаходження істиннішого значення складних висловлень складає проблему розв'язковості. Щоб з'ясувати істиннісне значення складного судження, необхідно знати таблиці істинності, в яких відбито значення логічних сполучників /\ , \/, , →, ↔, ~ (див. зведену таблицю):
А |
В |
А /\ В |
A \/ B |
A B |
А →В |
А ↔ В |
А |
~А |
і |
і |
і |
і |
х |
і |
і |
і |
х |
і |
х |
х |
і |
і |
х |
х |
х |
і |
х |
і |
х |
і |
і |
і |
х |
- |
- |
х |
х |
х |
х |
х |
і |
і |
- |
- |
Крім того, практичні заняття передбачають виконання завдань з формалізації різних за жанром фрагментів тексту і визначення логічної валентності складного судження (висловлення). Формалізуючи той чи інший фрагмент тексту, бажано керуватись наступним приписом: крапку в кінці речення передавати кон'юнкцією, а крапку з комою диз'юнкцією. Імплікацію вживати там, де є підстава і наслідок (або: засновок і висновок).
Серед методів встановлення класу висловлення найпростішими є метод таблиць істинності та метод аналітичних таблиць.
3.2.1. МЕТОД ТАБЛИЦЬ ІСТИННОСТІ АБО МЕТОД СЕМАНТИЧНИХ ТАБЛИЦЬ
Нехай нам треба визначити істиннісне значення складного висловлення (А /\ В)→A. Для цього спершу виявляємо кількість пропозиційних змінних або аргументів. До складу даного висловлення входять дві пропозиційні змінні - А та В. Кожне з них може мати значення "і" та "х". Число рядків таблиці визначаємо за формулою т = 2n, де т число рядків, n число різних пропозиційних змінних, що входять у формулу, а 2 число значень ("і", "х"). Отже, число рядків таблиці рівне 2n , де n= 2 (А та В), тобто: 22=4 рядки. Іншими словами, кількість рядків визначається кількістю або класом логічних відношень між двома судженнями А та B. З'ясувавши кількість рядків, будуємо таблицю істинності для усієї формули за її складниками:
А |
В |
А /\ В |
(А /\ В) → А |
і |
і |
і |
і |
і |
х |
х |
і |
х |
і |
х |
і |
х |
х |
х |
і |
Таблиця свідчить, що кількість рядків, залежить від кількості змінних (А, В), що входять у формулу, а набори значень змінних у кожному рядку впорядковані за аналогією двійкової системи числення (число всіх n-значних наборів дорівнює 2n). Якщо формула включатиме три змінні (А, В, С), наприклад: ((A → В) /\ (B → С)) → (А → С), то матимемо 23=8 рядків; якщо у формулу входитиме 4 змінні, то матимемо 24=16 рядків та відповідні їм набори значень змінних.
Виникає питання: як бути, коли формула включатиме змінні із заперечуванням? Нехай нам треба з'ясувати істиннісне значення формули (((A → B) /\ ~B) → ~A), яка включає заперечувані змінні ~А та ~В. У такому випадку чинимо так: спершу задаємо клас логічно можливих відношень (наборів значень) для ствердних висловлень (А, В), а відтак за таблицею заперечення записуємо відповідно значення заперечуваних (~А, ~В). Тільки після цього визначаємо значення усіх підформул за таблицями відповідних сполучників за порядком, який визначається дужками.
Зразок відповіді:
А |
В |
~А ~В |
А→В |
((А→В) /\ ~В) |
((А→В) /\ ~В) → ~А |
і і х х |
і х і х |
х х х і і х і і |
і х і і |
х х х і |
і і і і |
Для наочності подаємо схеми впорядкування наборів значень змінних, що входять, наприклад, у формулу
((А → В) /\ (В → С) → (А → С)):
І етап II етап III етап
А |
В |
С |
А |
В |
С |
А |
В |
С |
|||
і |
і |
і |
і |
і |
і |
||||||
і |
і |
і |
і |
і |
х |
||||||
і |
і |
х |
і |
х |
і |
||||||
і |
і |
х |
і |
х |
х |
||||||
х |
х |
і |
х |
і |
і |
||||||
х |
х |
і |
х |
і |
х |
||||||
х |
х |
х |
х |
х |
і |
||||||
х |
х |
х |
х |
х |
х |
Таким чином, виявивши усі набори значень змінних, ми можемо приступити до виявлення істиннісного значення підформул і формули в цілому.
Якщо пропозиційні змінні (А, В, С,...) розглядати як аргументи, то утворені в результаті операцій /\ , \/, , →, ↔, ~ функції Α /\ Β, Α \/ Β, ΑВ, А → В, Α ↔ В , ~А можна позначити буквою Fn з індексами ( n = 1,2,3,4...), які вказуватимуть на порядок логічних операцій - /\ , \/, , →, ↔, ~ . Проілюструємо на прикладі:
F1 F2 F3 F5 F4
((А → В) /\ (В → С) → (А → С)):
А |
В |
C |
F1 |
F2 |
F3 |
F4 |
F5 |
і |
і |
і |
і |
і |
і |
і' |
і |
і |
і |
х |
і |
х |
х |
х |
і |
і |
х |
і |
х |
i |
х |
і |
і |
і |
х |
х |
х |
і |
х |
х |
і |
х |
і |
і |
і |
і |
і |
і |
і |
х |
і |
х |
і |
х |
х |
і |
і |
х |
х |
і |
і |
і |
і |
і |
і |
х |
х |
х |
і |
і |
і |
і |
і |
Зауважимо, що тільки отримавши істиннісне значення усієї формули за головним сполучником, ми можемо визначити клас складного висловлення, а саме, якщо останній стовпчик міститиме значення "і" в усіх рядках, то таке висловлення буде логічним законом; якщо в останньому стовпчику подибуватимуться різні значення ("і" та "х"), то таке висловлення буде нейтральним; якщо ж останній стовпчик включатиме лише значення "х", то таке висловлення кваліфікується як логічна суперечність. У нашому випадку ми маємо закон логіки.
Таблиця істинності для висловлення ~(А → (А \/ В)) свідчить про те, що воно є суперечність:
A |
В |
A\/B |
(А→ (Α\/В)) |
~ (А→(А\/В)) |
і |
і |
і |
і |
х |
і |
х |
і |
і |
х |
х |
і |
і |
і |
х |
х |
х |
х |
і |
х |
Таблиця істиності для висловлення (А → (А /\ В)) переконує в тому, що дане висловлення є нейтральним, бо містить різні значення ("і" та "х"):
А |
В |
А /\ В |
А → (А /\ В) |
і |
і |
і |
і |
і |
х |
х |
х |
х |
і |
х |
і |
х |
х |
х |
і |
3.2.2. МЕТОД АНАЛІТИЧНИХ ТАБЛИЦЬ
Метод таблиць істинності стає громіздким із збільшенням кількості пропозиційних змінних у формулі, що веде до ускладнення процедури з'ясування істиннішого значення висловлення. Метод аналітичних таблиць спрощує завдання перевірки формул на істиннісне значення.
Аналітичну таблицю будують за допомогою аналітичних правил, для формулювання яких вводяться спеціальні символи: Т "істина" (від англ. truth) та F "хиба" (від англ. fales). Ці позначення виконують роль індексів. Формула, перед якою стоїть знак Τ або F, називається індексованою. Аналітичні правила включають засновки і висновки. Засновки від висновків відділяються горизонтальною лінією. Символи F1 і F2 (як знаки метамови) використовують для формулювання аналітичного правила. З технічних міркувань заперечення позначатимемо через ~.
Перш ніж приступити до розв'язання завдань за допомогою аналітичних правил, коротко зупинимось на умовах їх формулювання.
Відомо, що кон'юнкція F1 /\ F2 є істинною тоді і тільки тоді, коли обидва кон'юнкти є істинними. Цю умову записуємо у вигляді аналітичного правила "Істинність кон'юнкції" Т/\ (читається: "Т-кон'юнкція"):
Т/\ |
TF1 /\ F2 |
TF1,TF2 |
Правило F/\ ("хибність кон'юнкції") подаємо за умовою хибності кон'юнкції:
F/\ |
FF1 /\ F2 |
FF1,\ FF2 |
Вертикальна риска у висновку означає появу розгалуження аналітичної таблиці при застосуванні цього правила, тобто поділ таблиці на дві нові вказує на врахування якоїсь однієї з двох можливостей.
Ми знаємо, що слабка диз'юнкція істинна тоді й тільки тоді, коли обидва диз'юнкти F1 і F2 є істинними. На цій підставі реєструємо відповідне аналітичне правило "істинність слабкої диз'юнкції":
T\/ |
TF1\/ F2 |
TF1, ТF2 |
Оскільки слабка диз'юнкція хибна тоді і тільки тоді, коли обидва диз'юнкти F, і F2 є хибними, то відповідне аналітичне правило "хибність слабкої диз'юнкції" матиме такий вигляд:
F\/ |
FF1 \/ F2 |
FF1, FF2 |
За таблицею істинності сильна дизюнкція F1 і F2 «істинна» тоді і тільки тоді, коли F1 і F2 мають різні значення. Цю умову подаємо аналітичним правилом "істинність сильної диз'юнкції":
Т |
TF1 F2 |
TF1,FF2 FF1,TF2 |
Сильна диз'юнкція хибна тоді і тільки тоді, коли F1 і F2 мають однакові значення. Тому правило "хибність сильної диз'юнкції" можна записати так:
F |
TF1 F2 |
TF1, ТF 2 | FF1,FF2 |
За таблицею імплікація F1→F2 буде істинною тоді і тільки годі, коли F1 є хибним, або коли F2 є істинним. Тому аналітичне правило "істинність імплікації" виглядає так:
F |
TF1→ F2 |
FF1|TF2 |
Імплікація F1 → F2 є хибною тоді і тільки тоді, коли (антецедент) F1 є істинним, F2 (консеквент) є хибним. Ця умова передається правилом "хибність імплікації":
F→ |
FF1↔ F2 |
TF1, TF2 |
Еквіваленція F1 ↔ F2 істинна тоді і тільки тоді, коли F1 набувають однакових значень істинності. Адекватним аналітичним правилом "істинність еквіваленції" буде:
T↔ |
TF1 ↔ F2 |
TF1,TF2 | FF1,FF2 |
Еквіваленція F1 ↔ F2 хибна тоді і тільки тоді, коли F1 і F2 набувають різних значень. Тому аналітичне правило "хибність еквіваленції" набере такого вигляду:
F↔ |
FF1 ↔ F2 |
TF1,FF2 | FF1,TF2 |
За таблицею заперечення формулюють ще два правила. Якщо ~F - істинне, то F - хибне. Відповідне аналітичне правило "істинність заперечення" матиме вигляд:
T~ |
T~F |
F F |
"Хибність заперечення" відображається у правилі:
F~ |
F~F |
T F |
Аналітичні правила Т/\ , F\/ , F→ , T~ , F~ прийнято називати правилами без розгалужень, а правила F/\ , T\/ , T, F , T→ , T↔ , F↔ називають правилами з розгалуженнями.
Послідовне застосування правил побудови аналітичних таблиць призводить до того, що індекси Τ та F стоятимуть перед окремими пропозиційними змінними. Це означатиме, що аналітична таблиця для F буде побудована. Так, наприклад, щоб встановити, чи є дане висловлення логічним законом, необхідно вивести суперечність у процесі побудови аналітичної таблиці для запереченого вихідного висловлення F. Тобто необхідно побудувати таблицю FF, де F формула, яку ми перевіряємо на статус логічного закону.
Кінцева або підсумкова таблиця може бути або замкненою, або відкритою. Якщо дана таблиця є замкненою, тобто якщо одна і та сама пропозиційна змінна має індекси Τ і F, аналізоване складне висловлення (F) є логічним законом або тавтологією.
Як це робиться, ілюструємо на прикладі.
Нехай маємо формулу (~А → ~B) → (B → А). Припустимо, що вона хибна: F (~А→~В)→(B→А). Якщо дана формула хибна, то її антецедент (~А → ~В) має бути істинним, тобто Т ~А → ~В, а консеквент (В → А) має бути хибним, тобто F В→А . Якщо ж FВ→А , то В буде істинним (ТВ), А хибним (FA). За таких значень А та В формула (~А → ~В) виявиться хибною, бо якщо хибне A (FA), то істинне ~А (Τ~А). Якщо істинне В (ТВ), то хибне ~В (F~В), і тоді хибною є ~А → ~В (F~ А → ~В). Але з хибності вихідної формули (F) випливало, що формула ~А→~В істинна. Таким чином, з припущення про хибність (F) певної формули ми вивели суперечність. А це означає, що не існує такого набору значень змінних, за якого вся формула набрала б значення "хибність". Отже, дана формула є законом логіки.
Зауважимо, що таблиці називаються аналітичними тому, що "розкладаючи" складну формулу на її складники, ми намагаємося віднайти такий набір значень складоників, за яких вихідна формула виявилася б хибною.
Покажемо тепер на прикладі, як застосовується метод аналітичних таблиць. Нагадаємо ще раз про те, що аналітична таблиця є замкненою, якщо і тільки якщо пропозиційна змінна (А, В, С,...) подибується з індексами Т і F.
Наприклад, завдання: Чи є складне висловлення А → (В → А) логічним законом.
Відповідь: {ТА, ТВ, FA}*.
Щоб отримати дану відповідь, будуємо аналітичну таблицю:
FA → (B → A)
TA, FB → A (правило F→ )
TB, FA (правило F→ )
Отже. (ТА, ТВ, FA}*.
Як бачимо, ця таблиця є замкненою, позаяк пропозиційна змінна А має індекси Τ і F. Отже, формула (А → (В → А)) є логічним законом.
Побудова аналітичних таблиць для деяких складних висловлень вимагає врахування можливості отримання не однієї, а декілька підсумкових таблиць. Як правило, це трапляється у випадку, коли використовуються правила з розгалуженнями (ці правила у висновку мають вертикальну риску).
Завдання. Довести аналітичним методом наступне складне висловлення
(А → В) → ((А → ~В) → ~А).
Відповідь:
F (A → B) → ((A → ~B) → ~A)
TA → B F(A → ~B) → ~A (F→ )
FA | TB TA → ~B F ~A (T→ , F→)
FA | T ~B TA (T→ , F→)
FB (T→)
У результаті аналізу ми отримали наступні кінцеві таблиці:
{FA, FA, ТА}*
{FA,FB,TA}*
{ТВ, FA, ТА}*
{ТВ, FB, ТА}*
Ці таблиці замкнені. Отже, вихідне висловлення є логічним законом.
Або візьмемо таке завдання: Встановити методом аналітичних таблиць логічний статус висловлення, вираженого формулою
(~А /\ ~В) → ~(А \/ В) .
Відповідь:
F (~А /\ ~В) → ~(А \/ В)
T ~А /\ ~В F ~(А \/ В) (F→)
T ~А T~B T А \/ В (T/\ , F→)
FA FB TA | TB (T/\ , T→)
Отже, вихідна формула є логічним законом. Якщо отримаємо замкнені таблиці, то формула F буде логічною суперечністю.
Для того, щоб встановити, чи є формула логічною суперечністю, треба побудувати аналітичну таблицю T F.
З цією метою виконаємо наступне завдання: Встановити методом аналітичних таблиць, чи є висловлення, виражене формулою ~((А/\В) → А), логічною суперечністю?
Відповідь подаємо таким чином:
T ~(( А /\ В) → А)
F ( А /\ В) → А (T~)
T (А /\ В) FA (T→)
TA | TB (T\/)
{ТА, ТВ, FA}* Отже, вихідна формула є логічною суперечністю.
Якщо кількість пропозиційних змінних не досить велика, то доведену аналітичним методом формулу, можна перевірити, для певності, методом таблиць істинності.
3.2.3. ЛОГІЧНИЙ АНАЛІЗ ВІДНОШЕНЬ МІЖ СКЛАДНИМИ СУДЖЕННЯМИ
Відношення між складними судженнями з'ясовуємо за допомогою табличного методу. Нагадаємо, що так само, як і прості судження, складні бувають порівняними і непорівняними. Непорівняними є такі судження, які не мають спільних (однакових) складників: (1) А /\ В і С \/ D; (2) Ε /\ Κ і C \/ D та ін. Порівняними є такі судження, які мають однакові складники і можуть розрізнятись логічними сполучниками, включаючи і заперечення. Наприклад: «Україна або Росія мають вихід до Чорного моря» і «Невірно, що Україна і Росія мають вихід до Чорного моря». Відповідно: (Α \/ В) і ~(Α /\ В). Наявність спільних складників дозволяє співставляти ці судження за змістом (смислом) і визначати тип відношення за істинністю, хоча за формулою вони різні: перше - диз'юнктивне, а друге - заперечення кон'юнкції, але вони є порівняними, бо містять спільні складники: А та В.
З'ясовуючи відношення між складними судженнями, треба пам'ятати про умови сумісності (еквівалентності, часткової сумісності й підпорядкування) та несумісності (протилежності й суперечності) між ними. Коротко нагадаємо ці умови: еквівалентні судження можуть мати лише однакові значення (іі або хх). Ця умова дає можливість виражати одні судження через інші кон'юнкцію через диз'юнкцію, імплікацію, або навпаки:
~(Α /\ Β) = ~А \/ ~Β; ~(Α \/ Β) =~A /\ ~B; ~(A → B) = ~A \/ B і т.п.
Наприклад, завдання: Встановити, чи є еквівалентними
наступні складні судження:
Щоб розв'язати дане завдання, необхідно побудувати відповідні їм таблиці істинності і порівняти їх. Якщо виконуватиметься умова еквівалентності, то ці судження будуть рівнозначними або еквівалентними. Будуємо таблиці істинності:
А |
В |
~А |
~В |
А/\В |
~(А /\ В) |
~А\/ ~В |
і |
і |
х |
х |
і |
х |
х |
і |
х |
х |
і |
х |
і |
і |
х |
і |
і |
х |
х |
і |
і |
х |
х |
і |
і |
х |
і |
і |
Як бачимо, в усіх рядках порівнювані судження набирають однакові значення (х, і, і, і). Отже, дані судження ~(А/\В) і (~Α\/~В) перебувають у відношенні еквівалентності, тобто є рівнозначними.
У такий спосіб з'ясовуємо інші відношення між складними судженнями. Припустимо, нам треба розв'язати таке завдання: У якому відношенні перебувають наступні судження:
а)"Невірно, що я піду в кіло і театр ";
б)"Я піду в кіно або театр" (Відповідно: ~(А/\В) і (Α\/В).
Далі будуємо таблиці істинності:
Α |
Β |
Α/\В |
~(Α/\Β) |
~Α\/~В |
і |
і |
і |
х |
і |
і |
х |
х |
і |
і |
х |
ι |
х |
і |
і |
х |
х |
х |
і |
х |
Як свідчить таблиця, істинності, дані судження ~(А/\В) і (Α\/В) можуть бути одночасно істинними (2 і 3 рядки), але не можуть бути одночасно хибними. Отже, дані судження перебувають у відношенні часткової сумісності. Цей висновок ми формулюємо на підставі умови часткової сумісності (часткова сумісність характерна для суджень, які можуть бути одночасно істинними, але не можуть бути одночасно хибними).
Або візьмемо таке завдання: необхідно з'ясувати у якому відношенні перебувають наступні складні висловлення:
Спершу формалізуємо дані висловлення, а відтак табличним методом з'ясовуємо їх істиннісні значення, які нарешті порівнюємо між собою за з істиннісним значенням і виявляємо відношення між ними: (1) ~А→ В, (2) ~ А→~ В.
А |
В |
~А |
~В |
~А→В |
~А→~В |
і |
і |
х |
х |
і |
і |
і |
х |
х |
і |
і |
і |
х |
і |
і |
х |
і |
х |
х |
х |
і |
і |
х |
і |
Порівнюючи таблиці істинності даних суджень, ми переконуємось у тому, що істинність підпорядковуючого веде до істинності підпорядкованого, а з хибності підпорядковуючого випливають різні значення підпорядкованого (саме за цієї умови ми закреслюємо 2-й рядок у таблиці істинності для імплікації). Отже, між даними у завданні судженнями має місце відношення підпорядкування, бо з істинності (1), маємо хибність (2). До речі, дане відношення лежить в основі поняття "логічного слідування", яке регулює усі види міркувань.
З'ясовуючи відношення між несумісними судженнями, треба пам'ятати про те, що протилежні судження не можуть бути одночасно істинними, але можуть бути одночасно хибними. Це означає, що з хибності одного з протилежних суджень неможливо встановити значення другого воно може бути як істинним, так і хибним.
Завдання: Знайти протилежне судження до даного: "Б.Хмельницький видатна людина, і варте шани все те, що він зробив" (А /\ В).
Виконуючи подібні завдання, як правило, забувають про умову, що лежить в основі протилежності, а тому відповідь подають таким чином: "Невірно, що Б.Хмельницький видатна людина, і варте уваги все те, що він зробив" ~(А/\В), тобто заперечують вихідне судження. Така відповідь є помилковою, бо утворене судження є суперечним щодо вихідного, а не протилежним. Покажемо це за допомогою спільної таблиці істинності:
A |
В |
А/\В |
~(А/\В) |
і |
і |
і |
х |
і |
х |
х |
і |
х |
і |
х |
і |
х |
х |
х |
і |
З таблиці видно, що утворене судження є суперечним, а не протилежним до вихідного. Правильною буде така відповідь: "Б.Хмельницький не є видатною людиною, і не варте шани все те що він зробив" (А/\В). Результат перевіряємо табличним методом:
А |
В |
~А |
~В |
А/\В |
~А/\~В |
і |
і |
х |
х |
і |
х |
і |
х |
х |
і |
х |
х |
х |
і |
і |
х |
х |
х |
х |
х |
і |
і |
і |
і |
Таблиця свідчить, що ці судження не можуть бути одночасно істинними, але можуть бути одночасно хибними. Отже, дане судження (~А /\ ~В) є протилежним до вихідного (А /\ В).
Пошук суперечних суджень має свою специфіку. Ці судження не можуть бути одночасно ні істинними, ні хибними. Якщо одне з них істинне, то друге хибне, і навпаки. Щоб отримати суперечне судження до вихідного, треба останнє піддати запереченню: так, для А суперечним буде ~А , для А /\ В ~(А /\ В) і т.п.
Припустимо, що хтось з ваших опонентів вперто дотримується думки про те, що "Б.Хмельницький видатна людина, і варте шани все те, що він зробив". У вас знайдуться аргументи, щоб спростувати другу частину думки, бо перша частина не підлягає сумніву, хоча спростування потребує уся складна думка. Ви міркуєте тоді так: якщо заперечити кожен член кон'юнкції "Б.Хмельницький не є видатною людиною" (А) і "не варте шани все те, що він зробив" (~В), то в результаті ми отримаємо протилежне судження, а не суперечне:
А |
В |
~А |
~В |
А /\ В |
~А /\ ~В |
і |
і |
х |
х |
і |
х |
і |
х |
х |
і |
х |
х |
х |
і |
і |
х |
х |
х |
х |
х |
і |
і |
х |
і |
На цій підставі ви робите висновок, що даний аргумент не є надійним. Отже, треба сформулювати інше судження: "Б. Хмельницький не є видатна людина, або не варте шани все те, що він зробив " (~A\/~В ). Таке судження можна довести, бо наявні аргументи про те, що не все, що зробив Б.Хмельницький, варте шани. Далі будуємо таблицю істинності, за якою і визначаємо тип відношення:
А |
В |
~А |
~В |
А/\В |
~A\/~В |
і |
і |
х |
х |
і |
х |
і |
х |
х |
і |
х |
і |
х |
і |
і |
х |
х |
і |
х |
х |
і |
і |
х |
і |
Таблиця переконує нас в тому, що судження ~Α\/~В перебуває у відношенні суперечності до вихідного судження А/\В .
Таким чином, навички логічного аналізу відношень між судженнями дають можливість досить легко й швидко знаходити в процесі суперечки або дискусії суперечливі думки до обговорюваних, і в такий спосіб розвивати аргументацію не тільки на користь своїх тверджень, але й критики інших.
3.3. ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
На які види поділяються судження за змістом предиката?
У яких відношеннях перебувають прості категоричні судження?
13. За яких умов складні судження є істинними?
16. Що ви знаєте про еквівалентне вираження одних суджень через інші?
17. Які є методи встановлення істиннішого значення складних висловлень?
18. На підставі якої ознаки в пропозиційній логіці виділяють логічні закони, логічні суперечності та нейтральні висловлення?
19. У чому суть методу таблиць істиності?
20. З якою метою використовується метод аналітичних таблиць?
21. У яких відношеннях перебувають складні судження?
3.4. ПІДСУМКОВІ ВПРАВИ ТА ЗАВДАННЯ
1. Знайдіть суб'єкт і предикат у таких судженнях:
А. Хто не працює, той не їсть;
Б. Його ніхто не приймав на роботу;
В. Боротьба за волю справа честі;
Г. Людина, яка не має власності, не є громадянином;
Д. Народ, який втратив мову, не має майбутнього.
2. Визначте якість таких суджень:
А. Ніщо не принижує так людину, як рабство;
Б. Він нещира людина;
В. Майже усі українці вірять у диво;
Г. Справжній патріот гуманіст.
3. Дайте кількісну характеристику таких суджень:
А. Громадяни України рівні перед Законом;
Б. Зрідка подивуються добрі люди;
В. Сміється той, хто сміється останній.
4. Які з наведених суджень заперечують одне одного:
А. Всі прикметники означають предмет;
Б. Жоден прикметник не означає предмет;
В. Не всі прикметники означають предмет;
Г. Деякі прикметники не означають предмет.
5. Покажіть за допомогою колових схем відношення між термінами в наведених нижче судженнях:
А. Громадяни України мають різну ментальність;
Б. Поняття "національна меншина" псевдопоняття;
В. Київ столиця України;
Г. Деякі письменники драматурги.
6. Зробіть операцію заперечення таких суджень:
А. Жодне просте число не ділиться на два;
Б. Кожне правило мас виняток;
В. Є країни, які не мають виходу до моря.
7. Заформалізуйте символікою логіки висловлень наступні речення природної мови:
А. Або народ вартий своїх правителів, або правителі не
варті свого народу;
Б. Якщо уряд антинародний, то його міняють;
В. Тоді і тільки тоді народ вартий поваги, коли справа, за яку боролись предки, утверджується ним практично;
Г. Степи мої запродані жидові, німоті. Сини мої на чужині, На чужій роботі. (Т.Шевченко "Розрита могила").
8. Передайте природною мовою наступні формули за умови, що: А "нині спокійно", В "нині заворушення", С "нині сутички з поліцією", D "вчора була тусанина":
А. А→(В/\С);
Б. D↔А;
В. D /\ (Α В);
Г. D→В;
Д. А → ((~В /\ ~С) \/ D);
Е. (А↔~В) /\ (~А\/ D).
9. Подайте у формалізованому вигляді наступні речення природної мови, якщо: А "Петро працює"; В "Степан працює", С "Павло працює"; D "Петро спить"; Ε "Степан спить"; F "Павло спить":
А. За умови, якщо Павло не спить, Петро не буде спати, якщо Степан не працює;
Б. Якщо Петро працює і Степан також працює, але Павло не спить, тоді Степан не буде спати, але Петро і Павло будуть працювати;
В. Якщо Степан працює тоді і тільки тоді, коли Степан працює, то Петро працює лише тоді, коли Павло працює.
А. ~(~А \/ B);
Б. ((А /\ (В \/ С)) ↔ ((А /\ Β) \/ (А /\ С));
В. А → (В → А);
Г. (А → В) → А;
Д. ((А \/ Β \/ С) /\ (~А /\ ~В )) → С;
Є. ((А → В) /\ (В → ~А)) → ~А.
11. За допомогою аналітичних таблиць обґрунтуйте, чи є подані нижче формули законами логіки чи ні:
А. (А → В) → (~В → ~А);
Б. (((А /\ В →) С) → ((А /\ В) \/ (А /\ С)));
В. ((А \/ (В /\ С)) ↔ ((А /\ В) \/ (Α /\ В));
Г. (А /\ В) ↔ (~А \/ ~В);
Д. (А \/ В) ↔ (~А /\ ~В).
12. Доведіть методом семантичних таблиць наступні закони:
А. А → А;
Б. (А /\ А) → А;
В. ((А /\ В) → С) → (А /\ ~С) → ~В));
Г. (((А /\ В) /\ С) ↔ (А /\ (В /\ С)));
Д. (→ В) → (~В → ~А);
Е. (~А → В) → (~В → А).
13. З'ясуйте відношення між наступними парами суджень, виражених формулами:
А. А → ~В і ~(А /\ В);
Б. А ↔ В і (Α \/ Β) /\ (~А \/ ~Β);
В. А ↔ В і ~Α \/ ~В ;
Г. А → (В → С) і В → (~А → С)
Д. А → В і ~В → А;
Е. А /\ В і ~А \/ В;
Є. А /\ В і А → (В → А);
Ж. А \/ В і ~А → В.
3.5. ТЕСТ
А. Форма думки, в якій стверджується або заперечується звязок предметів та їх ознак або відношення між предметами.
Б. Форма думки, що відображає предмети в їхніх істотних ознаках.
В. Форма думки, що входить у структуру будь-яких міркувань.
А. Субєкт, предикат, звязка.
Б. Обєкт, логічний присудок, сполучник.
В. Логічний підмет, логічний присудок, сполучник.
А. Поняття, що відображає предмет думки.
Б. Поняття, яке входить у структуру судження.
В. Логічний підмет оповідного речення.
А. Поняття, що відображає ознаку предмета або відношення між предметами.
Б. Поняття, яке відрізняється від інших понять.
В. Логічний присудок речення.
А. Належність або неналежність ознаки предмету думки або відношення між предметами.
Б. Формальну ознаку ствердження або заперечення чогось про щось.
В. Відношення між судженнями.
А. Термінами судження.
Б. Головними структурними атрибутами думки.
В. Логічними компонентами судження.
А. Оповідне речення.
Б. Окличне речення.
В. Питальне речення.
А. Слово або сукупність слів, що виражає закінчену думку.
Б. Набір будь-яких слів, що іменують предмети.
В. Система слів і словосполучень.
А. Так.
Б. Ні.
А. Так.
Б. Ні.
11. Складні судження це такі судження, які складаються з двох або більше простих:
А. Так.
Б. Ні.
12. За змістом предиката прості судження поділяються на:
А. Атрибутивні, реляційні, екзистенційні.
Б. Реляційні, екзистенційні, одиничні.
В. Екзистенційні, категоричні, загальні.
13. Категоричні судження поділяються за якістю на ствердні й заперечні:
А. Так.
Б. Ні.
14. За кількістю категоричні судження поділяються на:
А. Одиничні, загальні, часткові.
Б. Загальноствердні, частковоствердні, одиничні.
В. Загальнозаперечні, часткові, загальні.
15. Загальне судження це таке судження, в якому стверджують або заперечують ознаку за всією множинною предметів:
А. Так.
Б. Ні.
16. Часткове судження це таке атрибутивне судження, в якому стверджують або заперечують ознаки за частиною множини предметів:
А. Так.
Б. Ні.
17. Одиничне судження це таке атрибутивне судження, в якому стверджують або заперечують ознаку за одним єдиним предметом певної множини предметів:
А. Так.
Б. Ні.
18. За якістю категоричні судження поділяються на:
А. Ствердні й заперечні.
Б. Загальні й ствердні.
В. Одиничні й заперечні.
19. Ствердне судження це таке категоричне судження, в якому стверджується ознака за предметом:
А. Так.
Б. Ні.
20. Заперечне судження це таке категоричне судження, в якому заперечується ознака за предметом:
А. Так.
Б. Ні.
21. За якістю і кількістю категоричні судження поділяють на:
А. Загальноствердні, загальнозаперечні, частковоствердні, частковозаперечні.
Б. Загальні, одиничні, часткові, заперечні, ствердні.
В. Одиничні, часткові, загальні, аналітичні, синтетичні.
22. У сучасній логіці користуються терміном:
А. Висловлення.
Б. Судження.
В. Речення.
23. Яке визначення дескриптивного висловлення є коректним:
А. Дескриптивне висловлення це висловлення, в якому подається опис дійсності.
Б. Дескриптивне висловлення це таке висловлення, в якому подається опис дій людини.
В. Дескриптивне висловлення це висловлення, яке репрезентує опис обєктивної реальності та дій людини.
24. Висловлення це судження, виражене природною мовою:
А. Так.
Б. Ні.
25. Предметним значенням дескриптивного висловлення є два абстрактні обєкти: «істина» та «хиба» :
А. Так.
Б. Ні.
26. Смислове значення дескриптивного висловлення це думка, виражена в ньому:
А. Так.
Б. Ні.
27. Дескриптивні висловлення поділяються на:
А. Прості й складні.
Б. Прості й складені.
В. Прості й комбіновані.
28. Дескриптивні висловлення є предметом вивчення:
А. Класичної логіки.
Б. Традиційної логіки.
В. Некласичної логіки.
29. Відношення між термінами простих категоричних суджень називається:
А. Розподіленістю термінів.
Б. Відношенням між обсягами понять.
В. Субєкт-предикатним відношенням.
30. Розподіленим вважається той термін, обсяг якого:
А. Повністю входить в обсяг іншого або виключається з нього.
Б. Частково входить в обсяг іншого.
В. Частково вилучається з обсягу іншого.
31. Нерозподіленим вважається той термін, обсяг якого:
А. Лише частково входить в обсяг іншого або частково вилучається з нього.
Б. Повністю співпадає з обсягом іншого.
В. Не входить в обсяг іншого терміна.
32. Відношення між простими категоричними судженнями за істинністю моделюється за допомогою:
А. «Логічного квадрату» і «секстограми».
Б. «Пентаграми».
В. «Діаграми».
33. Прості судження утворюються за допомогою операцій:
А. Підстановки та квантування.
Б. Підстановки імен конкретних предметів замість предметних змінних у висловлювальну форму.
В. Квантування логічних функцій.
34. Яким символом позначається логічний сполучник «конюнкція»?
А. /\ .
Б. → .
В.
35. Яким символом позначають «слабку дизюнкцію»?
А. /\.
Б. \/.
В. ~.
36. Яким символом позначають «сильну дизюнкцію»?
А. .
Б. ↔ .
В. ~ .
37. Яким символом позначають «імплікацію»?
А. → .
Б. ~ .
В. /\.
38. Яким символом позначають «еквіваленцію»?
А. ↔ .
Б. → .
В. ~ .
39. Яким символом позначається «заперечення»?
А. ~ .
Б. ↔ .
В. ← .
40. Конюнктивне висловлення буде істинним за умови, що:
А. Конюнкти будуть істинними.
Б. Конюнкти матимуть різні значення.
В. Конюнкти не матимуть жодного значення.
41. Слабке дизюнктивне висловлення буде хибним за умови, що:
А. Дизюнкти будуть хибними.
Б. Дизюнкти матимуть різні значення.
В. Дизюнкти не матимуть жодного значення.
42. Сильне дизюнктивне висловлення буде істинним за умови, що:
А. Дизюнкти матимуть протилежні істиннісні значення.
Б. Дизюнкти матимуть однакові істиннісні значення.
В. Дизюнкти не матимуть жодного значення.
43. Імплікативне висловлення буде хибним за умови, що:
А. Антецедент матиме значення «істина», а консеквент значення «хиба».
Б. Антецедент імплікативного висловлення буде «хибним», а консеквент «істинний».
В. Антецедент і консеквент будуть одночасно «хибними».
44. Еквівалентне висловлення буде істинним, якщо члени еквіваленції матимуть:
А. Однакові істиннісні значення.
Б. Різні істиннісні значення.
В. Будь-які істиннісні значення.
45. Якщо заперечене висловлення є хибним, то яким буде його ствердження?
А. Істинним.
Б. Хибним.
В. Ні істинним, ні хибним.
46. Складні судження за істиннісним значенням перебувають у відношенні:
А. Еквівалентності, підпорядкування, часткові сумісності, протилежності,
суперечності.
Б. Еквівалентності, сумісності, протилежності, суперечності.
В. Сумісності, несумісності, х-сумісності.
47. Яким має бути значення істинності одного із конюнктів, що приєднується до істинної конюнкції, щоб конюнктивне висловлення було істинним?
А. «Істина».
Б. «Хиба».
В. «Істина» або «хиба».
48. Чи буде хибною імплікація, якщо її антецедент хибний?
А. Так.
Б. Ні.
49. Яким сполучником треба зєднати два висловлення, щоб показати, що одне із них істинне, інше хибне, і навпаки ?
А. Сполучником сильної дизюнкції.
Б. Сполучником слабкої дизюнкції.
В. Сполучником імплікації.
50. Якщо еквівалентне висловлення істинне, то якою є логічна валентність простих висловлень, що входять до його складу?
А. Прості висловлення мають однакову логічну валентність.
Б. Істиннісне значення еквіваленції не є похідним від логічної валентності висловлень, що входять до його складу.
В. Логічна валентність висловлень, що входять до складу еквівалентного висловлення, залежить від змісту висловлень.
3.6. ЛІТЕРАТУРА
4. Логічні закони
Навчальні елементи, логічні закони є одними із засадничих курсу «Логіка». Вони посідають чільне місце у структурі таких модулів курсу, як «Поняття», «Судження», «Умовивід», «Логічні основи аргументації», оскільки принципи правильного мислення стосуються не тільки форм міркування, розумування, а й логічних операцій з цими формами. Дотримання принципів правильного мислення визначеності, несуперечливості, послідовності, обґрунтованості та їх конкретизації в законах і правилах логічних числень (класів, висловлень, предикатів та ін.) є доконечною умовою адекватної репрезентації обєктивної реальності в усних чи писемних ментальних дискурсах. Процес дискурсивного мислення постає за таких умов як такий, що підпорядковується усталеними і перевіреними практикою людського мислення законам та правилам. Останні виконують строго визначену нормативно-регулятивну логіко-методологічну функцію у процесі мисленнєвого відображення дійсності, в її звязках та відношеннях. Щоб раціонально-розсудкова (конструктивна чи реконструктивна) картина світу відповідала реальності, треба знати не тільки про те, що є такі-то й такі-то закони і правила, а й вміти послуговуватися ними в процесі міркування, розсудкування про предмети, їх властивості та відношення між ними у відповідних формах розсудку.
У цьому навчальному елементі містяться дидактичні настанови щодо виконання вправ, розвязування завдань з метою глибшого засвоєння теоретичного матеріалу про закони логіки, а також припис самооцінки рівня та якості засвоєння цього матеріалу й самоконтролю ступеня набуття практичних умінь і навичок.
Памятайте, що практичний тренінг не тільки закріплює здобуті теоретичні знання, а й навпаки, продукує нові, евристичні підходи до розвязання теоретичних проблем. Так само, як правила граматики будь-якої природної мови нормують її знакові сполуки, так і закони і правила логічних систем забезпечують адекватне творення ментальних, ідеальних образів про буття.
4.1. ЗАКОНИ ТРАДИЦІЙНОЇ ЛОГІКИ
Освоюючи теоретичний матеріал до теми «Закони логіки», обовязково зверніть увагу на сутнісну природу закону загалом, специфіку всезагальних та спеціальних, конкретнонаукових законів. Це дасть можливість чітко побачити специфіку формально-логічних законів, означити сферу їхньої дії та функції в інтелектуальній діяльності. Оскільки ці закони називають «основними», то мусите знати, що їх іменують так саме тому, що вони є фундаментом мисленнєвої діяльності. Традиційними*, або класичними, їх називають тому, що вони є передані у спадок попередніми дослідниками природи Логосу. До законів традиційної логіки належать: закони тотожності, закон суперечності, закон виключеного третього і закон достатньої підстави.
Якщо в первісному варіанті вони формулювалися вербально, у вигляді нормативних речень-приписів, ба навіть імперативів, то згодом їх подають мовою символів. Формули цих законів не є власне логічними законами, а виражають принципи-вимоги, яких варто дотримуватися в процесі мислення, щоб отримати істинне знання. Інакше кажучи, формулюючи думки, тобто надаючи їй певної уречевленої знакової форми, ми повинні пильнувати за тим, щоб ці думки не були хаотичними, невизначеними, суперечливими, непослідовними чи необґрунтованими, якщо ми хочемо розкрити суть речей, їх властивостей та відношень між ними. Тільки унормована, дисциплінована мисленнєво-мовленнєва діяльність спроможна осягнути реальність через розсудкове мислення, яке саме собою містить потужний іманентний ментальний потенціал, зосереджений в законах розсудкового мислення. Інтерпретуючи гегелівське: «розум без розсудку ніщо, а розсудок без розуму щось», можна додати: розум без законів розсудку ніщо, а закони розсудку без розуму щось.
Щоб мати здатність до формування адекватних дійсності форм мислення, до звязування їх у певні логічні структури, ми повинні навчитись не тільки знати про те, що правильне мислення характеризується певними рисами (визначеністю, несуперечливістю, послідовністю та обґрунтованістю), а й уміти конструювати адекватним чином за допомогою цих форм ідеальний, раціональний образ реальності, завчасно виявляти можливі похибки і, таким чином, спрямовувати наш Розум на розкриття дійсної природи світу й самого способу його осягнення.
4.1.1. ЗАКОН ТОТОЖНОСТІ
Приступаючи до розвязування вправ і завдань, памятайте про те, що обєктивною основою закону тотожності є якісна визначеність предметів і явищ дійсності. Цей закон вимагає однозначності форм думок про ці предмети і явища, їх властивості та відношення між ними. Однозначність думок у процесі міркування забезпечується дотриманням таких умов: міркувати треба про один і той самий предмет (обсяг предметної області), про одне і те саме відношення (властивість), в один і той самий час (зміст думки має бути обмеженим певним конкретним часом, а не бути безвідносним до часу існування предметної області). В основі закону тотожності лежить принцип однозначності. Тому будь-яка конкретна думка про конкретний предмет повинна зберігати один і той самий зміст і обсяг, незалежно від форми поняття, судження чи умовиводу. Іншими словами, ототожнення думки самої із собою повязане із збереженням її змісту та обсягу, незалежно від того, в якій іпостасі вона постає у структурі міркування чи поза її структурою. Тому формула, що репрезентує закон тотожності (А ≡ А) не є законом тотожності, а виражає ідею (принцип) однозначності як основну вимогу до форм мислення за постановою*, тобто законом, згідно з якою мусять корелюватись форми розсудкової діяльності. Ця форма, що виражає принцип, ідею однозначності, поширюється не тільки на судження (форма вираження ствердження), а й на поняття, яке є структурним елементом судження, і на умовиводи, які формуються із суджень. Якщо обмежити сферу дії закону тотожності тільки категоричними судженнями, то цей закон втратить таку іманентну йому ознаку, як універсальність. Як у такому випадку оцінити таку, наприклад, думку: «Міркуєте ви правильно, проте висновки, що випливають з ваших міркувань, не є тотожними, хоча йдеться про одне й те ж саме і, головно, в один і той самий час, пане президенте». Або: «Раніше ви доводили одне, а нині цілком протилежне, хоча користувались одними й тими ж даними експерименту. Мабуть ви ототожнили нетотожне у вихідних твердженнях». Цілком вірогідно, що в цих міркуваннях йдеться про вимогу закону тотожності. Назва помилки «підміна понять» аж ніяк не означає того, що закон тотожності поширюється тільки на поняття. Можливо, краще було б назвати цю помилку «підміна смислу» (розуміння), чи якось інакше. Проте, для розвязання вправ і завдань ви повинні враховувати не різнотлумачення суті закону, а шукати варіанти його репрезентації в різних формах мислення, що зумовлені їх логічною природою та пізнавальною сутністю. Підміна понять повязана, як правило, з багатозначністю слів, словосполучень, фраз, позірною синонімічністю. Вона може базуватися на зумисності або на незнанні предмета міркування.
Безперечно, розвязуючи завдання чи виконуючи вправи, ми так чи інакше потрапляємо в тенета означених вище міркувань, що позбавляє нас впевненості в своїй правоті. Щоб уникнути сумнівів ми мусимо памятати, що маємо справу не з речами, їх властивостями чи відношеннями між ними, а з логічними, розсудковими моделями, образами (раціонального, розсудкового, інтелектуального, ментального), що репрезентують нам світ цих речей, їхніх властивостей та відношень між ними в процесі мисленнєво-мовленнєвого їх відображення, що матеріалізуються у формі слів, словосполучень, їх сполук у граматичних реченнях чи їх систем. Крім того, треба знати, що абстракції та їх логічні форми аж ніяк не тотожні своїм матеріальним корелятом.
Завдання. На шпальтах однієї із столичних газет читаємо: «Цей епос, сиріч роман відомої нам письменниці, аж ніяк не може претендувати на Державну премію».
Чи порушив автор цих рядків основну вимогу закону тотожності, вживши слова <епос> і <роман> як синоніми, що репрезентують адекватні цим словам поняття? (Свою відповідь обґрунтуйте).
Один із варіантів відповіді може бути таким. Перш ніж дати обґрунтовану відповідь, прочитайте уважно умову завдання, осмисліть його контекст, реконструюйте (якщо в цьому є потреба) текст так, щоб проявилися приховані смисли, тільки відтак приступайте до його розвязання. Памятайте, при цьому, що будь-яке завдання передбачає не один, а кілька варіантів відповіді, залежно від рівня засвоєння вами теоретичного матеріалу, а також його репрезентації на сторінках навчальної та навчально-методичної літератури.
Варіанти відповіді. (Якби не було вимоги «свою відповідь обґрунтувати»), то це завдання розвязується так:
Поняття «епос» і «роман», виражені відповідними словами, не є тотожними оскільки за обсягом і змістом вони не співпадають. Між обсягами цих понять має місце відношення роду і виду. Схематичного воно матиме такий вигляд, якщо символом «А» позначити поняття «епос», а символом «В» поняття «роман»:
Ототожнити ці поняття неможливо, оскільки обсяги їх не співпадають. Тобто предметна сфера, що мислиться в понятті «епос» значно ширша ніж та, яка мислиться в понятті «роман». В даному реченні слова «епос» і «роман» є членами речення, зєднані архаїчним сполучником «сиріч» (з відтінком іронії), постають як синонімічні, а й відповідно виражені ними поняття. Отже, невдала іронія призвела автора, аналізованої нами думки, до порушення закону тотожності. Крім того, про нетотожність цих понять свідчать протилежні значення істинності, утворених за їх участю загальноствердних суджень прямих й обернених: «Будь-який епос це роман» (хибне) і «Будь-який роман це епос» (істинне). Таким чином, у даному випадку приховане недотримання вимоги закону тотожності однозначності, визначеності думки про творчий доробок письменниці.
Завдання. Зясуйте, чи буде порушено закон тотожності, якщо вжити в одному й тому ж дискурсі таку пару суджень:
(а) «Конституція основний нормативний документ країни» і
(б) «Основний Закон визначальний регулятивний кодекс держави»?
(Відповідь обґрунтуйте).
Зразок відповіді. За змістом предикатів, ці судження належать до класу атрибутивних, зокрема категоричних. За структурою вони прості, оскільки містять у собі по одному субєкту і предикату: субєктом судження (а) є поняття «Конституція» (S1), а субєктом судження (б) є поняття «Основний Закон» (S2); предикатом першого судження (а) є поняття «основний нормативний документ країни» (Р1), а предикатом другого судження (б) є поняття «визначальний регулятивний кодекс держави» (P2). Ствердна звязка «є», що мислиться, вказує на належність ознак, що мисляться в предикатах (Р1 і Р2) відповідними субєктами (S1 і S2). Оскільки в поняттях, що виражають субєкти, йдеться про будь-яку конституцію і про будь-який основний закон держави чи країни, то ці судження є загальноствердними, тому позначимо їх відповідними символами: А1 і А2 та запишемо у вигляді формули: (А1) Усі S1 суть Р1 та (А2) Усі S2 суть Р2. Обидва судження (а) та (б) виражають одну й ту саму думку, але в різній вербальній формі: S1 ≡ S2 і Р1 ≡ Р2 є рівнозначними поняттями, а отже, й судження тотожними. Про рівнозначність або тотожність субєктів і предикатів цих суджень може засвідчити операція обернення кожного із них, зокрема (А1): «Конституція (S1) основний нормативний документ країни (Р1)» «Основний нормативний документ країни (S1) Конституція (Р1)» і (А2): «Основний Закон (S2) визначальний регулятивний кодекс держави (Р2)» «Визначальний регулятивний кодекс держави (S2) основний закон (Р2)». Обсяги понять, що виражають S і Р не змінюються при заміні їх місцями S на Р і Р на S. Крім того, якщо утворити нові судження із S1 і S2 та Р1 і Р2, то матимемо також істинні судження, а саме: (А1) «Конституція (S) основний закон (Р) » і (А2): «Основний нормативний документ країни (S) основний регулятивний кодекс держави (Р)». Зайнявши місця субєктів і предикатів в «прямих» судженнях, і, навпаки, місця субєктів і предикатів у «зворотних» судження, обсяги понять-термінів також не змінюються. Обидва судження мають одне й теж логічне значення «істина». Між цими судженнями наявне взаємнооднозначне відношення: А1 → А2, то А2 → А1, отже, судження (а) та (б) у одному і тому ж дискурсі можуть вважатися як рівнозначні і не порушуватимуть вимоги закону тотожності чіткості, визначеності, предметності, вираженого їхніми структурними елементами, змісту думки. Тут насправді діє правило: А є А або «Якщо А то А».
Безсумнівно, що поданий зразок відповіді не вичерпує інших, аналогічних варіантів розвязання цього завдання. Річ у тім, що ви можете долучити до аргументації й інші засоби чи методи логічного аналізу, набуті вами в процесі вивчення теми «Поняття», «Прості судження та їх види», а саме: метод колових схем відношення між обсягами понять, що виражають субєкт і предикат в категоричних судженнях (метод відношення між терміновими в простих категоричних судженнях, поділених за якістю і кількістю) та ін. Крім цього, якщо ви знайомі із літератури з деякими іншими методами чи процедурами аналізу категоричних суджень, то сміливо апробуйте їхній потенціал, розвязуючи вправи і завдання.
Завдання. Чи порушується закон тотожності в такому міркуванні:
Золото електропровідне.
Ця людина золота.
Ця людина електропровідна.
Зразок відповіді. Дане міркування здійснено за схемою першої фігури простого категоричного силогізму: функцію більшого засновку виконує судження «Золото» (М) електропровідне (Р)», яке містить більший термін (Р); роль меншого засновку виконує судження «Ця людина (S) золота (М)», оскільки містить менший термін (S). Логічний звязок між поняттями-термінами можливий за умови, що в поняттях, які входять до складу суджень, йдеться про одну й ту ж предметну область, в один і той самий час і в одному й тому ж самому відношенні. Іншими словами, поняття мисляться в одному й тому самому розумінні (Аристотель), тобто зберігають один і той самий зміст і обсяг. За таких умов можна було б отримати висновок. Проте, цей висновок в нашому міркуванні: «Ця людина (S) електропровідна Р» не випливає із даних засновків як доконечний. Чому? Тому що поняття, яке є середнім терміном (М) «золото» має різний зміст у судженнях-засновках, що визначає відмінність в предметності, а тому термін «золото» тут має два значення: «золото» метал і «золото» риса характеру (метафора). У нашому міркуванні поняття «золото» не може виконати функцію середнього терміна, а тому крайні терміни (S і P) залишаються не повязаними між собою. Оскільки поняття „золото” в обох судженнях-засновках має різний зміст, а не тотожний, то висновок „Ця людина (S) електропровідна (Р)” не є законним. Тут має місце помилка, яка має імя „почетверіння термінів”. Зява такої помилки і є свідченням того, що в даному силогізмі не дотримано вимог закону тотожності.
Зазвичай, такого зразка відповідь можна дати тоді, коли ви знаєте навчальний елемент (НЕ) «Простий категоричний силогізм».
Оскільки навчальний елемент „Закони логіки” подається після змістового модуля „Судження”, то можна скористатися іншими (змістовними, напівформальними чи суто формальними) методами чи способами розвязування подібних завдань, залучивши в повному обсязі всі знання попередніх змістових модулів.
4.1.2. ЗАКОН СУПЕРЕЧНОСТІ
Несумісність понять чи суджень проявляється тоді, коли між ними має місце відношення протилежності та суперечності. Ці відношення між несумісними судженнями врегульовуються законом суперечності. Згідно із законом суперечності два несумісні твердження про один і той самий предмет, в один і той же час і в одному й тому ж відношенні не можуть визнаватися (бути) істинними. Якщо одна із думок визнається істинною, то інша (протилежна чи суперечна) думка мусить визнаватися хибною, і навпаки, якщо одна із таких думок визнається хибною, то інша повинна визнаватися істинною. Нагадаємо, що цей закон забезпечує таку рису правильного мислення, як несуперечливість. Мислення, яке прагне здобути істинне знання, мусить бути несуперечливим. Цей принцип випливає із суті самого закону суперечності. Сфера дії цього закону поширюються як на протилежні, так і суперечні судження. Принцип несуперечливості думки фіксує формальна (символічна) репрезентація цього закону: ~(А /\ ~А). Крім цього, сфера дії закону не обмежується судженнями, а й поширюється на такі форми мислення, як поняття, умовивід та їх символічне вираження. Треба мати на увазі, що порушеннями вимоги цього закону відбувається тоді, коли ми зєднуємо протилежні чи суперечливі форми мислення конюнкцією, тобто єднальним сполучником „і ” або „та ” в значенні „і ” і т. ін. в один і той же час і в одному і тому ж відношенні.
Завдання. Чи суперечать одне одному наступні поняття:
а) „традиційний ” і „нетрадиційний ”;
б) „логічний ” і „алогічний ”.
Зразок відповіді виглядатиме так: поняття „традиційний ” і „нетрадиційний ” є суперечливими, оскільки у змісті поняття „традиційний ” стверджується ознака усталеності, трансляційності, характерної для певної форми, способу, а в змісті суперечного йому понятті „нетрадиційний ” вказується на відсутність цієї ознаки через заперечення, формальною ознакою якого є частка „не ”. Суперечливий характер цих понять засвідчує й те, що між обсягами цих понять, тобто предметними сферами, неможлива проміжна предметна множина, обєднана за певними ознаками. Обсяги суперечливих понять не мають спільних елементів, а зміст одного із них повністю виключає зміст іншого. Суперечні поняття вичерпують обсяг родового поняття, а тому не можуть визнаватись як такі, що є одночасно істинними.
Поняття „логічний ” та „алогічний ” також суперечні і тому не можуть бути одночасно істинними. Зміст поняття „логічний ” виключає ознаки, які мисляться в понятті „алогічний ” і, навпаки, друге поняття виключає ознаки першого.
Завдання. Які з наведених пар суджень не можуть бути одночасно істинними:
а) „Усі президенти лукаві ” і „Жоден президент не є лукавим ”.
б) „Деякі президенти лукаві ” і „Деякі президенти не є лукавими ”.
Зразок відповіді: Згідно із законом суперечності не можуть бути одночасно істинними два несумісні судження, з яких одне стверджує щось про предмет думки, а інше заперечує те саме про той самий предмет. Із наведених пар суджень не можуть бути одночасно істинними ті судження, котрі входить у пару (а): „Усі президенти лукаві ” і „Жоден президент не є лукавим ”. Якщо одне із них визнається істинним, то протилежне йому судження треба визнати хибним, але не навпаки, оскільки протилежні судження можуть бути одночасно хибними: якщо одне із них визнати хибним, то протилежне буде невизначеним (істинним або хибним).
Пара суджень (б): „Деякі президенти лукаві ” і „Деякі президенти не є лукавими ” можуть бути одночасно істинними, але не можуть бути одночасно хибними. Тому на ці судження закон суперечності не поширюється. Закон суперечності поширюється на ті судження, котрі перебувають у відношенні несумісності: протилежності й суперечності. Несумісними є такі судження, які не можуть бути одночасно істинними. Якщо зєднати ці судження конюнкцією в певному дискурсі, то мислення набуває суперечливого характеру. Щоб уникнути суперечності в міркуванні, ми повинні (за умови, якщо для цього є достатня й доконечна підстава) визнати одну із форм думки істинною, а іншу хибною.
Питання про істинність чи хибність конкретного судження розвязується у контексті конкретної галузі знання. Нас у цьому випадку цікавить інше: яким має бути за логічною валентністю протилежне судження, якщо одне із них виявляється істинним.
Залежно від умови завдання, змісту питання та настанов того, хто здійснює перевірку виконаної роботи, зміст відповіді може подаватися у різних варіантах. Так, наприклад, завдання: Які з наведених пар суджень не можуть бути одночасно істинними: „Усі президенти лукаві ” і „Жоден президент не є лукавим ” і „Деякі президенти лукаві ”, і „Деякі президенти не є лукавими ”.
Відповідь обґрунтуйте, моделюючи відношення між судженнями за допомогою «логічного квадрата». Результат відношення між цими парами суджень подайте мовою логіки предикатів.
Зразок відповіді. Оскільки в поданих для аналізу парах суджень йдеться про один і той самий предмет думки і цьому предмету думки належить і не належить одна й та ж сама ознака, то ці судження слід визначити категоричними. Позначимо їх відповідними символами: А „Усі президенти лукаві”; Е „Жоден президент не є лукавим”; І „Деякі президенти лукаві”; О „Деякі президенти не є лукавими”. Згідно з умовою завдання, парами є: А та Е і І та О. Користуючись логічним квадратом моделюємо відношення між ними, а відтак за типом відношення визначаємо їх сумісність і несумісність.
А протилежність Е За логічним квадратом судження А та Е перебувають у
під під відношенні протилежності. відношення протилежності є
по по відношенням несумісності. На судження, що перебувають у
ряд суперечність ряд відношенні несумісності поширюється дія закону суперечності,
ку ку згідно з якими: якщо А істинне, то Е хибне, якщо Е
ва ва істинне, то А хибне. Або: Якщо х (S(x) P(x)) істинне,
ння ння то х (S(x) ~P(x)) хибне; якщо х (S(x) ~ P(x)) істинне,
підпротилежність то хибне. х (S(x) P(x))
І О Судження І та О перебувають у відношенні підпротилеж-ності або субконтрарності. Відомо, що ці судження не можуть бути одночасно хибними, а можуть бути одночасно істинними: Якщо І істинне, то О істинне або хибне; Якщо О істинне, то І істинне або хибне; Якщо І хибне, то О істинне, якщо О хибне, то І істинне. Або: x (S(x) /\ P(x)) істинне, то x (S(x) /\ ~ P(x)) істинне або хибне; якщо x (S(x) /\ ~ P(x)) істинне, то x (S(x) /\ ~ P(x)) істинне або хибне; якщо x (S(x) /\ P(x)) хибне, то x (S(x) /\ ~ P(x)) істинне; якщо x (S(x) /\ ~ P(x)) хибне, то x (S(x) /\ P(x)) істинне. Оскільки між судженнями другої пари (І та О) відношення часткової несумісності, то дія закону суперечності не поширюється на судження, які перебувають у цьому відношенні. Якщо зєднати ці судження конюнкцією, то складне судження буде невизначеним за логічною валентністю Н = (і \/ х). Із-за цієї обставини дія закону суперечності є обмеженою.
Отже, з огляду вищевикладеного випливає, що тільки судження «Усі президенти лукаві» і «Жоден президент не є лукавим» не можуть бути одночасно істинними, а тому підлягають дії закону суперечності.
Завдання. Чи дотримано вимог закону суперечності в міркуванні:
«Усі люди смертні.
Деякі українці не є смертними.
Деякі українці не є людьми»
(Відповідь обґрунтуйте).
Зразок відповіді. Дане міркування здійснено за схемою модусу Barосо другої фігури простого категоричного силогізму. Міркування побудовано згідно з усіма правилами силогізму. Проте, отриманий висновок суперечить дійсності. Іншими словами, має місце помилка «суперечність ознаці», суть якої полягає в тому, що ознака «нелюдини» приписується підмножині людей за етнічною ознакою. Хибність висновку зумовлена суперечливими засновками: у більшому засновку ознака «смертності» стверджується за всією множиною людей, а в меншому засновку ця ознака заперечується за частиною цієї ж множини людей. Отже, суперечність висновку, яка зумовлена суперечністю у засновках, є підставою для висновку про те, що в даному міркуванні має місце порушення закону суперечності.
Завдання. Чи суперечливі такі пари виразів:
(а) (А /\ В) і (А ~В) та (б) (А \/ В) і ~(А /\ В)? Відповідь обґрунтуйте методом таблиць істинності або семантичних таблиць.
Зразок відповіді. Щоб переконатись у суперечливості (несуперечливості) зазначених у завданні формул, які репрезентують відповідні змістові судження, будуємо їх таблиці істиннісного значення і порівнюємо значення істинності парних виразів:
Рядок |
А /\ В |
А → ~В |
||||
1 |
і |
і |
і |
і |
х |
х |
2 |
і |
х |
х |
і |
і |
і |
3 |
х |
х |
і |
х |
і |
і |
4 |
х |
х |
х |
х |
і |
і |
Рядок |
А /\ В |
~ (А /\ В) |
||||||
1 |
і |
і |
і |
х |
і |
і |
і |
|
(б) |
2 |
і |
і |
х |
і |
і |
х |
х |
3 |
х |
і |
і |
і |
х |
х |
і |
|
4 |
х |
х |
х |
і |
х |
х |
х |
(а)
Порівняльний характер логічних значень виразів (А /\ В) та (А ~ В) дає підстави зробити висновок про те, що ці вирази не можуть бути одночасно ні істинними, ні хибними за однакових наборів значень змінних (А,В, ~ В), що входить до їх складу, а тому вони можуть кваліфікуватися нами як протилежні. Отже, ці вирази не є суперечливими.
Вирази (А \/ В) та ~ (А /\ В) за різних наборів значень змінних (А, В) набирають однакові й неоднакові значення: вони можуть бути одночасно істинними (2 і 3-й рядки), й одночасно мати протилежні значення (рядок 1 і 4).
Оскільки вони не можуть бути одночасно хибними, то робимо висновок про те, що вони перебувають у відношенні часткової сумісності. Отже, ці вирази перебувають у відношенні підпротилежності, тобто вони є суперечними.
Дія закону суперечності поширюється на ті вирази, які є протилежними ׃ (А /\ В) і (А ~В).
4.1.3. ЗАКОН ВИКЛЮЧЕНОГО ТРЕТЬОГО
Перед тим, як розвязувати завдання чи виконувати вправи на закріплення теоретичних знань про закон виключного третього, треба коротко, в резюмуючій формі нагадати основні або ключові моменти щодо його місця і функції в пізнанні.
Формулюється закон так: дві суперечливі думки про один і той самий предмет, в одному і тому самому відношенні, в один і той же час не можуть визнаватись ні істинними, ні хибними, одна з них істинна, а інша неодмінно хибна.
Пригадаймо, що суперечливими є судження, які одночасно не можуть бути ні істинними, ні хибними.
Закон забороняє визнавати одночасно істинним або одночасно хибним судження, що суперечать одне одному. Ця заборона надає мисленню послідовності. Цю рису правильного мислення репрезентує формула цього закону: (А \/ ~ А) і (А або не А).
Щоб не сплутати сфери дії закону виключеного третього і закону суперечності, ви маєте твердо памятати: сфера дії закону поширюється тільки ті судження, котрі перебувають у відношенні суперечності.
Щоб нагадати, які судження перебувають у відношенні суперечності, скористайтесь мнемотехнічним прийомом, який ви знаєте за іменем «логічний квадрат». Крім цього, ви маєте запамятати, що закон виключеного третього не поширюється на судження, котрі перебувають у відношенні протилежності, оскільки останні можуть бути одночасно хибними. Тепер можемо приступити до виконання вправ чи розвязування завдань.
Завдання. Чи порушено закон виключеного третього стосовно такої пари суджень?
«Україна демократична республіка» і «Україна не є демократичною республікою»? (Відповідь обґрунтуйте).
Зразок відповіді. Ці судження не можна визнавати одночасно ні істинними, ні хибними. Якщо ми визнаємо (маючи на те достатню підставу) судження «Україна демократична республіка» істинним, то суперечне за змістом судження «Україна не є демократичною республікою» мусимо визнати хибним. Визнати за істинне (хибне) водночас якесь третє судження, наприклад «Україна олігархо-бандитська держава» ми не маємо права, оскільки воно не є суперечним стосовно пари наведених суджень в умові завдання. Зазначимо, що закон виключеного третього не розвязує питання, яке із суперечливих суджень є істинним чи хибним. Закон вимагає дотримуватись послідовності в міркуванні. Якщо зєднати два суперечні судження конюнкцією, то утворене судження буде суперечністю або тотожно хибним судженням. Позначимо судження «Україна демократична республіка» символом «Р», а судження «Україна не є демократичною республікою» символом «~Р», і, зєднавши їх конюнкцією, побудуємо таблицю істинності, то побачимо, що конюнктивне судження буде тотожно хибним.
р |
/\ |
~ р |
і |
х |
х |
х |
х |
і |
Значення істинності конюнкції дає підстави вважати, що утворене конюнктивне судження є суперечністю. Тому, щоб уникнути суперечності (х, х), зєднаємо їх слабкою чи сильною дизюнкцією:
р /\ ~р |
||
і |
і |
х |
х |
і |
і |
р /\ ~ р |
||
і |
і |
х |
х |
і |
і |
(а) . (б)
Таблиці засвідчують факт тотожної істинності дизюнкції за умови, що члени дизюнкції матимуть протилежні значення (і або х). Іншими словами, щоб не втрапити в суперечність, мусимо одне із двох суперечливих одне визнати за істинне судження, а суперечне йому визнати хибним.
На підставі означеного вище можемо зробити такий висновок: зєднана сполучником «і» пара суджень в умові завдання порушує закон виключеного третього.
Зазначимо, що конкретизацією цього закону є такі правила логічного слідування, як modus ponendo tollens і modus tollendo ponens та їх модельні різновиди. Саме ці правила убезпечують нас від порушення закону виключеного третього.
Завдання. Чи дотримано закону виключеного третього в міркуваннях за такими схемами:
(а) (б)
А \/ В; А А B; ~A
~ В B
Зразок відповіді. Схеми, позначені буквами (а) та (б) репрезентують моделі правильних міркувань за модусами розділово-категоричного умовиводу. Зміст висловлень, що входять до складу розділових засновків, може бути різним, не обовязково суперечливим. Наприклад: «Ми підемо в кіно (А)», і «Ми підемо сіяти гречку» (В). Стверджуючи (приймаючи за істинне) одну із альтернатив (А або В), ми змушені визнати хибним інший член альтернативи, і навпаки. Отже, дані схеми міркувань засвідчують, що закону виключеного третього дотримано. Такий висновок можливий за умови, що в логіці висловлень не беруть до уваги конкретні за змістом висловлення. Можна припустити, що закон виключеного третього в логіці висловлень набуває своєрідної інтерпретації, так само, як і в логіці класів, не втрачаючи вимоги послідовності в міркуваннях.
4.1.4. ЗАКОН ДОСТАТНЬОЇ ПІДСТАВИ
Завдання. Чи порушується вимога закону достатньої підстави в наведеному міркуванні: „Силові структури України захищають інтереси правлячих олігархів, тому олігархи лобіюють в парламенті представників своїх партій на відповідні посади в силових структурах ”.
Зразок відповіді. Із змісту цього міркування випливає, що логічною підставою тут є судження: „Силові структури України захищають інтереси правлячих олігархів”. Щоб переконатися в цьому, переформулюємо вихідне судження таким чином, щоб увиразнити смисл, зміст думки: „Силові структури захищають інтереси правлячих олігархів тому, що олігархи лобіюють в парламенті представників своїх партій на відповідні посади в силових структурах”. Такий логічний звязок між судженнями, що входять у структуру цього міркування, відображає реальні правила гри в структурі владних і законодавчих організацій. Та частина судження, яка репрезентує антецедент, є достатньою підставою для судження, яке йде після сполучника „що” і виконує роль консеквентна. Отже, порушення закону достатньої підстави в даному судженні відсутнє.
Завдання. Якщо дія закону достатньої підстави поширюється на всі форми мислення, то його дії підлягають також і поняття. Якщо так, то що є достатньою підставою для поняття „іменник” в дискурсі про морфологічні особливості частин мови? (Відповідь обґрунтуйте).
Зразок відповіді. Достатньою підставою вжиття поняття „іменник” у дискурсі про морфологічні частин мови є поняття, що розкривають його зміст та обсяг. Такими поняттями є: поняття „самостійна частина мови”, яке фіксує, принаймні, явно виражені дві граматичні ознаки: „бути мовною одиницею” та „мати самостійну, власну систему словотворення”, які виокремлюють підмножину іменників у морфологічній структурі мови, а також поняття, що виражають предметність, а саме: „бути такою частиною мови, що називає і розрізняє предметність”; ”бути такою, що відповідає на питання хто? або що?”. Сюди можна віднести поняття, що відображають належність предметності до певного роду, відмінювання за певною парадигмою, синтаксичні функції в реченні і т. ін. Тому відповіддю-аргументацією на питання: „Чому ви вжили в цьому тексті саме це слово-іменник, а не інше?” можуть слугувати вищеозначені міркування, наповнені, звичайно, конкретним змістом.
Завдання. Яке з двох наведених нижче суджень є логічною підставою для іншого? (Відповідь обґрунтуйте):
„Мельничук добре навчається ” і „Мельничук отримує іменну стипендію”.
Зразок відповіді. Обидва судження є категоричними. Щоб прозорішим був логічний аналіз, зводимо ці судження до загальноствердних категоричних суджень. З цих двох суджень треба утворити імплікативне, в якому умовний логічний звязок між антецедентом і консеквентом відповідав би реальному звязку, що може мати або має місце в дійсності. Зясувати цю проблему на формальному рівні практично неможливо: і перше і друге судження мають однакову структуру: S суть P або Усі S суть P. Якщо утворити імплікативне судження, то воно матиме такий вигляд: Якщо усі S суть P, то й усі S суть P. Крім того, ці судження не є порівняннями, бо мають різні предикати.
Звертаємо увагу на зміст понять, що виражають предикати в обох судженнях, оскільки субєкт суджень один і той же. У змісті поняття „добре навчається”, що виражає предикат першого судження, мислиться ознака, що характеризує вид діяльності, а модальне слово „добре”, виражає оцінку цієї діяльності. У понятті, що виражає предикат другого судження „отримує іменну стипендію”, мислиться форма винагороди за вид діяльності, про який йдеться в предикаті першого судження. Після зясування змісту понять, що виражають предикати в обох судженнях, стає очевидним той факт, що винагорода, як форма заохочення чи подяки, є похідною від якості виконуваної діяльності. Тому логічною підставою для судження «Мельничук отримує іменну стипендію» є судження «Мельничук добре навчається».
Завдання. Зясуйте, чи дотримано закону достатньої підстави в такому умовиводі. (Свою відповідь обґрунтуйте).
Хто навчався на філологічному факультеті є філологом.
Марчук не навчався на філологічному факультеті.
Марчук не є філологом.
Зразок відповіді. Як відомо, закон достатньої підстави вимагає, щоб конкретна думка, про конкретний предмет чи явище була обґрунтованою іншими думками, істинність яких доведена практикою. Ми знаємо, що закон достатньої підстави лежить в основі таких логічних операцій, як доведення і спростування. Закон забезпечує таку рису правильного мислення, як обґрунтованість. За формою, доведення може поставати у формі умовиводів. За формами умовиводів доведення поділяються на дедуктивні, індуктивні та за аналогією. Даний умовивід ми можемо репрезентувати як дедуктивне доведення, оскільки міркування постає у формі простого категоричного силогізму, в якому засновки силогізму виконують роль аргументів, а висновок є тезою. Щоб відповісти на питання, сформульоване в умові нашого завдання, треба здійснити логічний аналіз відношення між засновками-аргументами і тезою-висновком. Вивідність (обґрунтованість) тези з аргументів (логічних підстав) забезпечується дотриманням правил відповідної форми міркування (умовиводу). Якщо ці правила порушуються, то цього достатньо, щоб стверджувати про відсутність відношення логічного слідування між логічними підставами і логічним наслідком, а отже, недотриманням вимоги закону достатньої підстави. Тепер проаналізуємо відношення між внутрішніми структурними елементами логічних підстав, тобто засновків. У більшому засновку «Хто навчався на філологічному факультеті є філологом» середній термін «Хто навчався на філологічному факультеті» (М+) є розподіленим, а більший термін «філолог» (Рˉ) не є розподіленим. У меншому засновку «Марчук не навчався на філологічному факультеті» менший термін «Марчук» (S+) розподілений і середній термін «Навчається на філологічному факультеті» (М+) є також розподіленим. У висновку «Марчук не є філологом» менший термін «Марчук» (S+) розподілений, а більший термін «філолог» (Р+) є також розподілений.
Схематично це виглядає так:
Спільна схема відношення між крайніми термінами у засновках і висновку не збігається:
________________
Колові схеми відношення між крайніми термінами в засновках не співпадають із коловими схемами відношень між крайніми термінами у висновку: предикат висновку розподілений (Р+), тобто мислиться в повному обсязі, а предикат засновку (Рˉ) не розподілений, мислиться не в повному обсязі. Тут має місце помилка «недозволене розширення більшого терміна». Це означає, що ми не можемо з певністю визначити, якими частинами збігаються крайні терміни. Тобто між ними можна припустити різні відношення. Судження, що виконують роль логічних підстав-засновків у цьому умовиводі не є достатніми для отримання висновку.
Отже, в цьому умовиводі не дотримано закону достатньої підстави через порушення одного із правил термінів силогізму, котре вважається конкретизацією закону достатньої підстави.
Завдання. Обґрунтуйте методом таблиці істинності дію (не дію) закону достатньої підстави в міркуванні, що репрезентує таку теорему:
((А → В) /\ ~ А) → В.
Зразок відповіді. Дію (не дію) закону достатньої підстави зясовують, як правило, істиннісним значенням формули, яке визначає її клас. Якщо звязок між висловленнями, що виконують роль логічних підстав (антецедентів), та висловленням, котре репрезентує логічний наслідок, за всіх наборів значень змінних, що входять у структуру теореми, набере значення «істина» в усіх рядках класу логічних відношень між цими змінними, то можна з певністю твердити про дію закону достатньої підстави, але якщо формула , що виражає теорему, набере різні значення в усіх можливих рядках відношення між змінними, то закон достатньої підстави не діє.
Про це свідчить істинніше значення теореми в 4-й рядку («х»).
№ п\п |
((А → В) /\ ~ А) → В |
||||||
1 |
і |
і |
і |
х |
х |
і |
і |
2 |
і |
х |
х |
х |
х |
і |
х |
3 |
х |
і |
і |
і |
і |
і |
і |
4 |
х |
і |
х |
і |
і |
х |
х |
Завершуючи знайомство із зразками розвязування завдань (виконання вправ), ви, шановні читачі, мусите памятати просту істину: надані вам зразки розвязування логічних вправ і задач не є абсолютними, як і не має раз і назавжди даної абсолютної істини. Ви можете запропонувати інші алгоритми. Але суть в іншому: не освоївши теоретичного матеріалу, не варто сподіватися на усіх в прикладній сфері.
4.2. ЗАКОНИ НЕТРАДИЦІЙНИХ ЛОГІЧНИХ СИСТЕМ
Інтенсіональний та екстенсіональний розвиток традиційної логіки як науки призвів до появи нових, нетрадиційних логічних систем, що склалися в результаті застосування математичних засобів до аналізу логічних форм та виявлення на цих засадах нових принципів мислення, які лягли в основу синтаксису відповідних числень понять, суджень, висловлень і т. ін. Законом таких логічних систем вважається формула, що виражає структуру завжди істинної думки.
4.2.1. ЗАКОНИ ЛОГІКИ КЛАСІВ
Завдання. Чи порушено закон тотожності в такій рівності: А ∩ В = (А ∩ ~В) U (~А ∩ В)?
(Відповідь обґрунтуйте засобами логіки класів).
Зразок відповіді. Клас логічно можливих відношень між класами А та В:
(А ∩ В) U (А ∩ ~В) U (~А ∩ В) U (~А ∩ ~В).
*А ∩ В = (А ∩ ~В) U (~А ∩ В)?
**ПП: А = (А ∩ ~В); В = (~А ∩ В).
Таким чином, А ∩ В = (А ∩ ~В) U (~А ∩ В) U (~А ∩ ~В).
Отже, А ∩ В ≠ (А ∩ ~В) U (~А ∩ В)
Несумісність, що виникла в результаті підстановки виразів А ∩~В та ~А ∩ В у вираз А ∩ В, засвідчує, що рівність А ∩ В = (А ∩ В) U (A ∩ B) не виконується, а отже, має місце порушення закону тотожності.
4.2.2. ЗАКОНИ ЛОГІКИ ВИСЛОВЛЕНЬ
Завдання. Чи будуть законами логіки висловлень наступні формули:
(а) (p ® q) ® q; (б) (p \/ q) ® p; (в) ~(p \/ q) ® (~p /\ ~q)?
Відповідь обґрунтуйте методом семантичних таблиць.
Зразок відповіді. Будуємо таблиці істинності формул:
(а) (p ® q) ®q; і і і і і і х х і х х і і і і х і х х х |
(б) (p \/ q) ®p і і і і і і і х і і х і і х х х х х і х |
(в) ~ (p \/ q) ®(~p /\ ~q) х і і і і х х х х і і х і х х і х х і і і і х х і х х х і і і і |
Формули (а) та (б) не виражають законів логіки, оскільки не є тотожно істинними, тобто набувають різних значень за усіх наборів значень змінних, що входять до їх складу.
Формула (в) є тотожно істинною, тому є законом логіки висловлень.
Завдання. Чи виражатиме подана нижче формула закон тотожності, якщо замінити праву частину рівносильності на ліву:
A B = (A \/ B) /\ (~A /\ ~B)?
Зразок відповіді. Якщо замінити праву частину рівносильності лівою, то отримуємо формулу, що визначає закон тотожності: A B = A B.
Читається: Або А, або В тоді і тільки тоді, коли або А, або В.
Завдання. Чи можна вважати закон ідемпотентності стосовно конюнкції і дизюнкції конкретизацією закону тотожності в логіці висловлень?
Зразок відповіді. Так, закон ідемпотентності стосовно конюнкції (А /\ А = А) та закон ідемпотентності стосовно дизюнкції (А \/ А = А) можна вважати конкретизацією закону тотожності в логіці висловлень.
Завдання. Обґрунтуйте методом аналітичних таблиць істиннісне значення формули (A ® B) ® (~B ® ~A) та визначте її клас, і на цій підставі дайте відповідь на питання: чи є ця формула законом логіки?
Зразок відповіді.
0. F (A ® B) ® (~B ® ~A) 1. T A ® B; F ~B ® ~A 2. F A; T B; T ~B; F ~A + + F B T A + + + |
{F A; F B; T A}* {T B; F B; T A}* |
Оскільки формула (A ® B) ® (~B ® ~A) виявилась замкненою, то вона є тотожно істинною, а будь-яка тотожно істинна формула є законом логіки.
4.2.3. ЗАКОНИ ЛОГІКИ ПРЕДИКАТІВ
Завдання. Обґрунтуйте методом інтерпретації формулу "х Р(х) ® Р(у) і визначте на цій підставі її логічний статус.
Зразок відповіді. Оскільки формула належить до формул логіки предикатів, то проінтерпретуємо її на множині {a,b} і залежно від її валентності визначимо відповідний статус.
Інтерпретацію здійснюємо на двоелементній множині {a,b}, результати якої обчислюємо за таблицею значень відповідних логічних функцій предикатів від елементів “а” та “b”.
Таблиця логічних функцій L1 L4 від елементів {a,b} має такі значення:
х |
L1 |
L2 |
L3 |
L4 |
a |
x |
x |
i |
i |
b |
x |
i |
x |
i |
Формулу з квантором загальності "х Р(х) розподіляємо стосовно конюнкції: "х Р(х) = Р(х) /\ Р(х). Якщо предикатор Р замінити на символ логічної функції “L”, то формула набирає вигляду: "х = (L(х) /\ L(х)) ® L(y). Тобто предикатні змінні Р пробігають логічні функції L1 L2 , а предметні змінні х та у по елементах множини інтерпретації а та b.
Тепер здійснюємо обчислення значення кожного рядка за таблицею.
1. "х (L1(a) /\ L1 (b)) ® L1 (a) = (x /\ x) ® x = х ® х = і;
2. "х (L1(a) /\ L1 (b)) ® L1 (b) = (x /\ x) ® x = х ® х = і;
3. "х (L2 (a) /\ L2 (b)) ® L2 (a) = (x /\ і) ® x = х ® х = і;
4. "х (L2 (a) /\ L2 (b)) ® L2 (b) = (x /\ і) ® і = х ® і = і;
5. "х (L3 (a) /\ L3 (b)) ® L3 (a) = (і /\ x) ® і = х ® і = і;
6. "х (L3 (a) /\ L3 (b)) ® L3 (b) = (і /\ x) ® x = х ® х = і;
7. "х (L4 (a) /\ L4 (b)) ® L4 (a) = (і /\ і) ® і = і ® і = і;
8. "х (L4 (a) /\ L4 (b) ) ® L4 (b) = (і /\ і) ® і = і ® і = і.
Отже, ця формула на вказаній множині інтерпретації набирає значення «і» в кожному з можливих рядків. Це означає, що в логіці предикатів вона може виконувати функцію закону.
Завдання. Доведіть розвязковою процедурою логіки предикатів, що в даному міркуванні не порушено закону достатньої підстави:
"x (M(x) ® P(x)) /\ $x (S(x) /\ M(x)) x (S(x) /\ P(x)).
Зразок відповіді.
"x (P(x) /\ M(x)) /\ x (S(x) /\ M(x)) ® x (S(x) /\ P(x))
~$x ~(M(x) ® P(x)) /\ x (S(x) /\ M(x)) ® x (S(x) /\ P(x))
~$x ~(~M(x) \/ P(x)) /\ $x (S(x) /\ M(x)) ® x (S(x) /\ P(x))
~$x (~~M(x) /\ ~P(x)) /\ $x (S(x) /\ M(x)) ® x (S(x) /\ P(x))
~$x (M(x) /\ ~P(x)) /\ $x (S(x) /\ M(x)) ® x (S(x) /\ P(x))
~$x (M(x) /\ ~P(x)) /\ $x (S(x) /\ M(x)) /\ ~x (S(x) /\ P(x))
$x (S(x) /\ M(x)) ® $x (M(x) /\ ~P(x)) \/ x (S(x) /\ P(x))
(S /\ M) ® (M /\ ~P) \/ (S /\ P)
1. і і і і і х х і і і і
2. і х х і х х х і і і і
3. і і і х і х х х і х х
4. і х х і х х х х і х х
5. х х і і і і і і х х і
6. х х х і х х і х х х і
7. х х і і і і і і х х х
8. х х х і х х і х х х х
Дана формула логіки предикатів не може бути законом цієї логічної системи, оскільки підсумкове значення формули засвідчує, що вона не є тотожно істинною: в третьому рядку вона має значення х (хиба). Отже, в даному міркуванні частково дотримано закону достатньої підстави.
4.3. ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
1. У чому суть закону?
2. Що таке закон?
3. Які бувають закони?
4. Що таке всезагальний закон?
5. В чому специфіка конкретнонаукових законів?
6. Що називається законом логіки?
7. У чому полягає специфіка формальнологічних законів?
8. Які риси правильного мислення забезпечують основні закони логіки?
9. У чому полягає відмінність між законами традиційної логіки і законами нетрадиційних логічних систем?
10. Яким чином узгоджуються правила міркування та закони логіки?
11. Як формулюється закон тотожності?
12. Чи має закон тотожності онтологічну основу?
13. Що сприяє (не сприяє) дотриманню закону тотожності?
14. Які помилки можливі при пропущенні закону тотожності?
15. Чи коректно ототожнювати закони логіки із принципами правильного мислення?
16. У чому полягає евристичне значення закону тотожності?
17. Як формулюється закон суперечності?
18. Чи правомірна назва закону суперечності «законом суперечності» чи «законом протиріччя»?
19. Що є онтологічною основою закону суперечності?
20. Яку рису мислення забезпечує закон суперечності?
21. Від яких суперечностей убезпечує закон суперечності?
22. Де і коли виникають суперечності в мисленні?
23. Які наслідки випливають із закону суперечності?
24. До яких логічних помилок призводить недотримання закону суперечності?
25. Що є причиною зяви суперечностей у мисленні?
26. Яким чином убезпечитись від суперечностей в міркуванні?
27. Чи пов'язаний закон суперечності із законом тотожності?
28. Чому дія закону суперечності не поширюється на відношення між частковими судженнями?
29. Як формулюється закон виключеного третього?
30. Яку рису мислення забезпечує закон виключеного третього?
31. На відношення між якими типами суджень поширюється дія закону виключеного третього?
32. Чому закон виключеного третього не поширює свою дію на протилежні судження (А та Е)?
33. Що є онтологічною основою закону виключеного третього?
34. Чи поширюється закон виключеного третього на судження, котрі містять кентавризовані предикати?
35. Які закони логіки діють між одиничними субконтрарними судженнями?
36. Чи можливо обійтись без закону виключеного третього, якщо є закон суперечності?
37. Яких логічних помилок можна припуститися, якщо не дотримуватися закону виключеного третього?
38. В чому полягає евристичне значення закону виключеного третього?
39. Як формулюється закон достатньої підстави?
40. Яку рису мислення забезпечує закон достатньої підстави?
41. Чи є потреба в законі достатньої підстави, якщо правильне мислення забезпечують такі закони, як закон тотожності, закон суперечності та закон достатньої підстави?
42. Яких помилок припускаються в міркуваннях ті, хто не дотримується закону достатньої підстави?
43. У чому полягає евристична цінність закону достатньої підстави?
44. Які закони логіки класів конкретизують основні закони логіки?
45. Чи входять у реєстр законів логіки класів традиційні закони логіки?
46. Які закони логіки висловлень уточнюють основні закони логіки?
47. Чи конкретизують зміст основних законів закони логіки предикатів?
48. У якому відношенні до основних законів логіки перебувають правила логічного слідування в логіці висловлень?
49. Як співвідносяться між собою закони логіки і правила логічних числень?
50. У якому відношенні до основних законів логіки перебувають правила логічного слідування в логіці предикатів?
51. Чи можна вважати будь-яке правило логіки висловлень основним законом традиційної логіки?
52. Чи можна вважати будь-яке правило логіки предикатів основним законом логіки?
53. Яке висловлення вважається тотожно істинним?
54. Яке висловлення називається тотожно хибним?
55. Яке висловлення називається нейтральним?
56. Яка формула логіки висловлень і логіки предикатів виражає логічний закон?
57. Чи повязані виконувані і невиконувані формули логіки висловлень і логіки предикатів із дотриманням (недотриманням) основних законів логіки?
58. Якому логічному закону підлягають логічні операції доведення і спростування?
59. Чи діють основні закони логіки в розвязкових процедурах логіки класів, логіки висловлень і логіки предикатів?
60. Які помилки виникають у міркуваннях та їх символічних репрезентантах, якщо порушуються вимоги основних законів традиційної логіки і нетрадиційних логічних систем?
4.4. ПІДСУМКОВІ ВПРАВИ І ЗАВДАННЯ
4.4.1. ЗАКОН ТОТОЖНОСТІ
1. Чи буде порушенням закону тотожності, якщо ототожнити наступні поняття:
2. Чи дотримано закону тотожності в наступних парах суджень:
3. Чи порушується закон тотожності в наступних міркуваннях? (Відповідь обґрунтуйте):
Ця людина золота.
Ця людина електропровідна.
Автомобіль має двигун.
Автомобіль літає.
Сорока біла.
Сорока лебідь.
Симоненко не ледачий.
Симоненко не українець.
Деякі мудрі фізики.
Деякі фізики філософи.
4. Яка із наведених рівносильностей логіки класів виражає закон тотожності? (Обґрунтуйте відповідь методом підстановки):
6. Чи виражають тотожність наступні формули? (Обґрунтуйте висновки розвязковою процедурою логіки предикатів, методом інтерпретації на двоелементній множині {a,b}:
7. З дією яких законів повязані наступні висловлення:
4.4.2. ЗАКОН СУПЕРЕЧНОСТІ
1. Чи суперечать одне одному поняття в таких парах:
2. Чи можуть бути одночасно істинними такі пари суджень:
3. На які пари суджень поширюється дія закону суперечності? (Свою відповідь обґрунтуйте):
4. Чи дотримано вимоги закону суперечності в таких міркуваннях? (Висновки обґрунтуйте):
Деякі ізолятори метали.
Деякі ізолятори електропровідні.
Деякі українці не є смертними.
Деякі українці не є людьми.
Жоден росіянин не є псевдопатріотом.
Жоден росіянин не є українським демократом.
Ця людина не є патріотом.
Ця людина не любить свою рідну мову.
Якщо вони (студенти) окультурюються, то (вони) стають цивілізованими.
Якщо студенти набувають знання, то вони стають цивілізованими.
5. Чи виражають суперечності такі вирази:
6. Чи суперечать одна одній наступні формули:
7. Чи є суперечними наступні пари виразів:
4.4.3. ЗАКОН ВИКЛЮЧЕНОГО ТРЕТЬОГО
1. Чи порушується дія закону виключеного третього між такими парами понять?
2. Чи дотримано закону виключеного третього стосовно наступних пар суджень:
3. Чи дотримано закону виключеного третього в міркуваннях за такими схемами? (Висновок обґрунтуйте):
~В
~А
В
А
С ® В;
А \/ С .
В
4.4.4. ЗАКОН ДОСТАТНЬОЇ ПІДСТАВИ
1. Якщо закон достатньої підстави, так само як і решта основних законів логіки, поширює свою дію на всі відомі нам форми думки, то чи діє він на поняття? (Відповідь обґрунтуйте):
2. Чи порушено закон достатньої підстави в наведених нижче судженнях? (Свою відповідь аргументуйте):
3. Яке із двох суджень є логічною підставою для іншого? (Відповідь обґрунтуйте):
4. Чи порушено закон достатньої підстави в наступних міркуваннях?
Руснак має українсько-румунське громадянство.
Руснак має право на працю як громадянин України і не має цього права як громадянин Румунії.
Марчук не навчається на філологічному факультеті .
Марчук не є філологом.
(а) А®В ~А ~В |
(б) А ® В А ® С ~В \/ ~С ~А |
(в) А ® (В ® С) (А /\ В) ® С |
(г) А \/ В А ~В |
(д) А \/ В ~А В |
5. Напишіть, користуючись мовою символів, правила логіки висловлень, що забезпечують конкретизацію дії закону достатньої підстави.
6. Що свідчить про дотримання закону достатньої підстави в непрямому доведенні формул, що схематично репрезентують схеми наступних міркувань? (Відповідь обґрунтуйте):
7. Що гарантує дотримання закону достатньої підстави в логіці предикатів: закони цієї логічної системи чи правила числення суджень, чи те й інше? (Відповідь обґрунтуйте відповідними розвязковими процедурами числень).
8. Чи свідчать логічні помилки “не випливає” та “надто поспішне узагальнення” про порушення вимоги закону достатньої підстави? (Відповідь обґрунтуйте).
4.5. ПІДСУМКОВИЙ ТЕСТ
ЗАКОНИ ЛОГІКИ
1. Термін «закон» означає:
А. Завіт.
Б. Правила віри.
В. Сукупність догм.
Г. Загальне правило.
Д. Внутрішній, доконечний, всезагальний та істотний звязок предметів і явищ обєктивної дійсності.
2. Логічний закон це:
А. Формула, що виражає структуру завжди істинної думки.
Б. Формула, що фіксує залежність між думками.
В. Доконечний та істотний звязок між думками в процесі міркування.
Г. Логічна формула.
Д. Структура думки.
3. До основних законів логіки належать:
А. Закон тотожності, закон суперечності, закон достатньої підстави.
Б. Закон суперечності, закон виключеного третього, закон тотожності.
В. Закон тотожності, закон суперечності, закон виключеного третього.
Г. Закони логіки висловлень, закони логіки предикатів.
Д. Закон тотожності, закон суперечності, закон виключеного третього, закон достатньої підстави.
4. Нетрадиційними законами логіки є:
А. Закони логіки класів.
Б. Закони числення, висловлень.
В. Закони числення предикатів.
Г. Закони логіки множин, закони логіки висловлень.
Д. Закони логіки класів, закони логіки висловлень, закони логіки предикатів.
5. Хто вперше ввів поняття «логічний закон»:
А. Демокріт.
Б. Геракліт.
В. Аристотель.
Г. Платон.
Д. Гегель.
6. Хто вперше сформулював три основні закони логіки:
А. Аристотель.
Б. Ляйбніц.
В. Ф.Бекон.
Г. Кант.
Д. Гегель.
7. Закон тотожності це закон:
А. Буття.
Б. Абстрактної тотожності форм мислення.
В. Нормативний припис для думок.
Г. Загальне правило, що регулює формування думки.
Д. Міркування.
8. Вперше сформулював закон тотожності для міркування:
А. Парменід.
Б. Аристотель.
В. Геракліт.
Г. Демокріт.
Д. Гегель.
9. Перше визначення закону тотожності знаходимо в праці:
А. «Аналітика перша і друга».
Б. «Метафізика».
В. «Про софістичні міркування».
Г. «Новий органон».
Д. «Наука логіки».
10. Закон тотожності вимагає, щоб думка про дійсність була:
А. Рівною сама собі.
Б. Визначеною.
В. Обґрунтованою.
Г. Несуперечливою.
Д. Однозначною.
11. Формула, що репрезентує символічно закон тотожності, має вигляд:
А. А → В.
Б. А → В /\ ~В.
В. А В.
Г. А ≠ ~А.
Д. «А є тому, що є А».
12. Обєктивною основою закону тотожності є:
А. Тотожність буття.
Б. Традиція.
В. Конвенція.
Г. Якісна визначеність предметів і явищ обєктивної реальності.
Д. Сталість.
13. Дія закону тотожності поширюється на:
А. Буття.
Б. Свідомість.
В. Мислення.
Г. Абстрактні форми мислення.
Д. Ідеї.
14. Вимога закону тотожності поширюється на такі логічні операції, як:
А. Перетин класів.
Б. Різниця класів.
В. Обєднання класів.
Г. Доповнення класу.
Д. Підстановка класів.
15. Закон тотожності формулюється так:
А. «Будь-яка конкретна думка, про конкретну річ, про конкретну її властивість у певний конкретний час має бути рівною сама собі».
Б. «Думка про будь-яку річ має бути однозначною».
В. «Зміст думки не повинен змінюватися».
Г. «Кожна думка має збігатися з реальністю».
Д. «Будь-яка думка не повинна змінювати обсяг».
16. Закон тотожності конкретизується законами і правилами логіки висловлень і логіки предикатів:
А. Так.
Б. Ні.
17. Порушення вимог закону тотожності призводить до логічної помилки:
А. «Надто поспішне узагальнення».
Б. «Не випливає».
В. «Неістинність думки».
Г. «Підміна понять».
Д. «Відсутність рівнозначності».
18. Закон суперечності формулюється так:
А. «Суперечні твердження про один і той самий предмет не можуть бути тотожними».
Б. «Дві суперечні думки про обєктивний світ не можуть бути хибними із-за того, що буття саме собою суперечливе».
В. «Дві несумісні між собою думки про один і той самий предмет, явище чи процес не можуть суміщатись в одній думці».
Г. «Неможливо, щоб одна й та сама річ в один і той самий час була й не була».
Д. «Дві несумісні форми думки про один і той самий предмет, в один і той самий час і в одному і тому ж відношенні не можуть бути одночасно істинними; якщо одна із несумісних думок визнається істинною, то інша, несумісна з нею, має визнатися хибною».
19. Несумісними є такі форми думок, які перебувають у відношенні:
А. «Протилежності».
Б. «Суперечності».
В. «Невизначеності».
Г. «Часткової сумісності».
Д. «Підпорядкування».
20. Обєктивною основою закону суперечності є:
А. Суперечлива природа обєктивної реальності.
Б. Суперечливий характер мислення.
В. Незнання дійсності.
Г. Невміння формулювати думку.
Д. Логічні суперечності мислення.
21. Закон суперечності забезпечує таку рису правильного мислення, як:
А. Визначеність думки.
Б. Несуперечливість міркування.
В. Послідовність думок.
Г. Дисциплінарність.
Д. Обґрунтованість.
22. Яка формула репрезентує закон суперечності?
А. ~ (А /\ ~А).
Б. ~ (А /\ А).
В. А /\ ~А.
Г. А \/ ~А.
Д. ~ (А ~А).
23. Закону суперечності підлягають такі форми мислення, як:
А. Поняття.
Б. Судження.
В. Умовиводи.
Г. Категоричні судження.
Д. Несумісні (протилежні, суперечні) судження, поняття, умовиводи.
24. Закон суперечності конкретизується законами логіки класів, законами логіки висловлень, законами логіки предикатів:
А. Так.
Б. Ні.
25. Порушення вимог закону суперечності призводить до таких логічних помилок, як:
А. «Непослідовність міркування».
Б. «Суперечливе мислення».
В. «Неадекватне міркування».
Г. «Незнання предмета міркування».
Д. «Суперечливість».
26. Закон виключеного третього формулюється так:
А. «Суперечливі думки про предмети і явища неприпустимі: одна істинна, друга хибна, третьої не дано».
Б. «Дві суперечливі думки про один і той самий предмет, в один і той самий час, в одному і тому самому відношенні не можуть бути одночасно ні істинними, ні хибними: одна з них істинна, друга хибна, третьої бути не може».
В. «Будь-які думки про предмети та явища мають бути несуперечливими».
Г. «Дві думки про один і той же предмет або його властивість не можуть бути хибними: одна із них має бути істинною».
Д. «Жодне міркування про світ не повинно містити в собі суперечність».
27. Закон виключеного третього забезпечує в міркуванні таку рису мислення, як:
А. Послідовність.
Б. Несуперечливість.
В. Коректність.
Г. Значущість.
Д. Тотожність.
28. Закон виключеного третього виражається схемою:
А. А \/ А.
Б. А А.
В. ~(А \/ А).
Г. А \/ ~~А.
Д. А \/ ~А.
29. Обєктивною основою закону виключеного третього є:
А. Наявність у предметів суперечливих властивостей.
Б. Небажання знати про суперечливість в розвитку предметів чи явищ.
В. Практична доцільність.
Г. Обмеженість досвіду.
Д. Існування суперечностей a priori.
30. Закон виключеного третього поширюється на форми мислення, що перебувають у відношенні:
А. Тотожності.
Б. Підпорядкування.
В. Підпротилежності.
Г. Протилежності.
Д. Суперечності.
31. Закон виключеного третього вперше сформулював Арістотель у праці:
А. “Про софістичні міркування”.
Б. “Метафізика”.
В. “Органон”.
Г. “Аналітика перша і друга”.
Д. “Категорії”.
32. Закон виключеного третього лежить в основі таких логічних операцій, як:
А. Обмеження.
Б. Узагальнення.
В. Поділу.
Г. Визначення.
Д. Доведення.
33. Закон виключеного третього конкретизують такі правила логіки висловлень, як:
А. УД: А В; А; А В; В .
~В ~А
Б. УЗК: ~ (А /\ В); В; ~ (А /\ В); А .
~А ~В
В. УІ: А ® В; ~В .
~А
Г. УЗ: ~~А .
А
Д. УД/З: А \/ В; ~А; А \/ В, ~В; ~А \/ В; А; А \/ ~В; В .
В А В А
34. Закон виключеного третього лежить в основі міркувань у формі:
А. Дилеми.
Б. Розділово-категоричного умовиводу.
В. Категоричного силогізму.
Г. Суто розділового умовиводу.
Д. Умовно-розділового умовиводу.
35. Закон виключеного третього конкретизується такими законами логіки висловлень, як:
А. (A \/ B) /\ (~A \/ B) = B.
Б. ~ (A /\ B) = ~A \/ ~B.
В. A ® B = (~A \/ B).
Г. A « B = (~A \/ B) /\ (~B \/ A).
Д. ~Х = І.
36. У логіці класів закон виключеного третього постає у формі таких формул:
А. А ∩ ~А = Ø
Б. А U А = U.
В. А ≠ ~А.
Г. (А ∩ В) = ~А U ~В.
Д. А U Ø = А.
37. Порушення вимог закону виключеного третього призводить до помилок, які іменують, як:
А. “Несумісність понять”.
Б. “Неузгодженість думок”.
В. “Непослідовність в міркуванні”.
Г. “Суперечливість у міркуванні”.
Д. “Не випливає”.
38. Чи розвязує проблему істинності чи хибності суперечливості думок закон виключеного третього?
А. Так.
Б. Ні.
39. Чи поширює дію закон виключеного третього на доведення «від супротивного»?
А. Так.
Б. Ні.
40. Яке визначення закону достатньої підстави є коректним?
А. «Будь-яке істинне судження повинно мати свою достатню підставу».
Б. «Істинна думка не повинна містити суперечності».
В. «Будь-яка думка має бути обґрунтованою».
Г. «Будь-яку думку треба обґрунтовувати».
Д. «Істинна думка не потребує обґрунтування».
41. Закон достатньої підстави відображає:
А. Обєктивні відношення між речами.
Б. Звязки й відношення між речами та їхніми властивостями.
В. Обєктивні й загальні звязки між властивостями.
Г. Логічну зумовленість між думками у формі підстави й наслідку.
Д. Матеріальний звязок між речами і думками про них.
42. Що є обєктивною основою закону достатньої підстави?
А. Взаємозвязок і взаємозумовленість матеріальних речей і явищ.
Б. Взаємозвязок думок.
В. Звязок між причиною і наслідком.
Г. Залежність між змістом і обсягом понять.
Д. Лінійна зумовленість подій і явищ.
43. Чи обмежується дія закону достатньої підстави причинно-наслідковим звязком?
А. Так.
Б. Ні.
44. Закон достатньої підстави вимагає, щоб наші думки про обєктивну реальність були:
А. Обґрунтовані іншими думками.
Б. Взаємоповязані між собою.
В. Підтверджені попереднім досвідом.
Г. Доказовими.
Д. Обґрунтовані іншими думками, істинність яких є незаперечною.
45. Закон достатньої підстави вимагає, щоб між думками було відношення:
А. Логічного слідування.
Б. Логічної рівноваги.
В. Логічного комфорту.
Г. Логічної виваженості.
Д. Логічної правди.
46. Чи репрезентує схема А → В закон достатньої підстави?
А. Так.
Б. Ні.
47. Достатньою підставою для істинності висловлень є:
А. Очевидність.
Б. Факти.
В. Теорія.
Г. Аксіоми, принципи.
Д. Закони, постулати, принципи.
48. Порушення вимог закону достатньої підстави призводить до такої логічної помилки, як:
А. «Надто поспішне узагальнення».
Б. «Не випливає».
В. «Безпідставність».
Г. «Неповязаність думок».
Д. «Недетермінованість форм мислення».
49. Основні традиційні закони логіки поширюються на всі форми мислення і діють одночасно:
А. Так.
Б. Ні.
50. Чи мають евристичне значення закони мислення:
А. Так.
Б. Ні.
4.6. ЛІТЕРАТУРА
5.Логічний аналіз умовиводів
5.1.ДЕДУКТИВНІ УМОВИВОДИ
Заліковий модуль “Умовивід” один з найобсяжніших у курсі логіки. Готуючись до практичних занять, зверніть увагу на звязок поняття, судження і умовиводу як форм мислення. Засвоєння цієї теми є необхідною умовою переходу до теми “Логічні основи теорії аргументації”. Памятайте, що в понятті думка підсумовується, в судженні вона розвивається, а в умовиводі виводиться (висновується) залежно від форми та способу міркування. Форму, або логічну структуру умовиводу становить певний спосіб сполучення окремих думок (суджень чи висловлень) між собою. Тому умовивід постає не тільки як форма мислення, але й як логічний процес і правило оперування судженнями (висловленнями).
Мета модуля - засвоїти не тільки схеми чи фігури міркування, але й навчитись самостійно виявляти, аналізувати і на цій підставі практично будувати умовиводи залежно від предмета дослідження, етапу процесу пізнання та рівнів розвитку знання.
5.1.1.БЕЗПОСЕРЕДНІ УМОВИВОДИ
Нагадаємо, що умовивід, в якому висновок виводиться з одного засновку, називається безпосереднім. Безпосередні умовиводи виявляють і усувають нечіткість і двозначність думок. Зміст суджень-засновків зясовують шляхом перебудови їх у судження-висновки.
За способом перебудови судження-засновку виділяють такі види безпосередніх умовиводів перетворення, обернення, протиставлення (предикатові чи субєктові). До безпосередніх умовиводів долучають також умовиводи за логічним квадратом, в основі вивідності яких лежать відношення за істинністю між судженнями-засновками і судженнями-висновками.
Міцні та надійні знання про безпосередні умовиводи можна отримати, виконавши ряд вправ і розвязавши низку завдань, що містять такі вимоги:
Приступаючи до виконання вправ і розвязання завдань, повязаних з перетворенням суджень, необхідно передусім нагадати, що перетворенню підлягають судження, які перебувають у відношенні контрарності та субконтрарності, тобто між судженнями типу А та Е, І та О. Крім того, слід памятати, що при перетворенні кількісна характеристика суджень не змінюється, а лише якісна. І останнє, що треба мати на увазі: щоб здійснити перетворення судження засновку, треба звязку змінити на протилежну, а предикат на суперечне поняття.
Вправа. Зробіть вивід шляхом перетворення суджень А, Е, І, О і запишіть схеми перетворень:
Зразок відповіді.
1. Усі громадяни України рівні перед законом (А).
Жоден громадянин України не є нерівним перед законом (Е).
(А) Всі S суть Р.
(Е) Жодне S не суть неР.
2. Жодна загарбницька війна не є справедливою (Е).
Усі загарбницькі війни є несправедливими (А).
(Е) Жодне S не суть Р.
(А) Усі S суть неР.
3. Деякі депутати парламенту є патріотами України (І).
Деякі депутати парламенту не є не патріотами України (О).
(І) Деякі S суть Р.
(О) Деякі S не суть неР.
4. Деякі люди не є альтруїстами (О).
Деякі люди є не альтруїстами (І).
(О) Деякі S не суть Р.
(І) Деякі S суть неР.
Виконуючи вправи, принагідно згадайте, що перетворення базується на принципі відношення між суперечними поняттями: будь-які два суперечливі поняття (Р і не Р) завжди вичерпують обсяг родового поняття. Тому, якщо ми знаємо з одного судження, що клас S включається в клас Р, то ми можемо зробити висновок про те, що цей клас S не належить до класу не Р, і навпаки.
Завдання. Чи правильно здійснено перетворення судження в такому прикладі: «Деякі держави мають атомну зброю. Отже, деякі державі не мають атомної зброї». Обґрунтуйте свої міркування.
Відповідь. У даному випадку перетворення здійснено неправильно. Щоб перетворити судження «Деякі держави мають атомну зброю», треба, спершу, стверджувальну звязку замінити на заперечну, а відтак предикатом висновку взяти поняття, яке суперечить предикатові засновку. Тоді висновок буде таким: «Деякі держави не належать до таких, які не мають атомної зброї».
Здійснюючи обернення, ми зясовуємо взаємовідношення між обсягами понять, що виражають субєкт і предикат судження. При цьому варто памятати наступне: чистому оберненню підлягають загальнозаперечні та частковоствердні судження, а також виділяючі загальні й часткові судження; обернення з обмеженням має місце лише тоді, коли предикат судження-засновку не є розподіленим; не підлягає оберненню також частковозаперечне судження. Способом перевірки правильності обернення може слугувати метод колових схем. Наприклад:
(А) Усі люди (S+) є смертними (Р¯).
(І) Деякі смертні (Р¯) є людьми (S+).
(А) (І)
Схеми відношень між термінами (S і Р) засновку і висновку мають збігатися за розподіленістю.
Завдання. Чи правильно зроблено обернення; якщо ні, то обґрунтуйте свої міркування: «Усі метали електропровідники. Отже, усі електропровідники метали».
Відповідь. Обернення здійснено неправильно. Предикат засновку («електропровідники») нерозподілений. Ставши у висновку субєктом, він також має бути нерозподіленим, а в наведеному прикладі він розподілений. Щоб предикат став нерозподіленим у висновку, треба перетворити загальноствердне судження-висновок на частковоствердне, додавши слово «деякі», тобто тут має місце обернення з обмеженням. Тоді обернення буде правильним, бо в такому разі ми дотримуємося усіх правил обернення. Правильне обернення матиме такий вигляд: «Усі метали електропровідники. Отже, деякі електропровідники метали». Аргументом на користь сказаного може слугувати також збіг схем однакової розподіленості субєкта і предиката в судженні-засновку і судженні-висновку:
Схема засновку:
S+ (метали)
Р¯ (електропровідники)
Схема висновку:
Р¯ (електропровідники)
S+ (метали)
Завдання. Здійсніть операцію протиставлення предикатові. Перевірте правильність за допомогою перетворення й обернення.
а Усі спортсмени здорові люди;
б Деякі аргументи не є правильними;
в Жоден патріот не є націоналістом.
Перш ніж приступити до розвязання цього завдання, необхідно пригадати, що протиставлення предикатові це такий безпосередній умовивід, в якому субєктом висновку є поняття, що суперечить предикатові засновку, а предикатом є субєкт засновку; при цьому звязка міняється на протилежну.
Здійснюючи протиставлення предикатові, варто памятати:
а) спершу треба судженнязасновок перетворити, а відтак обернути;
б) частковоствердне судження неможливо протиставити предикатові.
Зразок відповіді. Усі спортсмени здорові люди. Отже, жодна нездорова людина не є спортсменом. Перевіримо правильність шляхом здійснення перетворення, а відтак обернення вихідного судження.
Перетворення:
(А) Усі спортсмени здорові люди.
(Е) Усі спортсмени не є нездоровими людьми.
Обернення:
(Е) Усі спортсмени не є нездоровими людьми.
(Е) Жодна нездорова людина не є спортсменом.
Як бачимо, висновок обернення збігається з висновком операції протиставлення предикатові. Отже, міркування за даною формою умовиводу здійснено правильно. Аналогічно чинимо в подібних ситуаціях.
Відповідь можна подати і так: Протиставлення предикатові в даному випадку здійснено правильно. Щоб переконатись у цьому, будуємо висновок цього умовиводу згідно з його вимогами. Взявши за субєкт висновку поняття, що суперечить предикатові засновку, одержимо першу частину висновку, а саме: «Жодна нездорова людина...», а взявши за предикат висновку субєкт засновку («спортсмени»), отримаємо: «Жодна нездорова людина не є спортсменом».
Щоб зрозуміти особливості безпосередніх умовиводів, заснованих на властивостях відношень між судженнями за «логічним квадратом», необхідно, насамперед, засвоїти, що таке судження з однаковими термінами. Це судження, в яких мислиться один і той самий предмет думки (S) і одна й та сама властивість (P). Різняться вони між собою якістю (звязкою) і кількістю (квантифікатом). Щоб полегшити собі засвоєння правил слідування за “логічним квадратом”, можна скористатись зведеною таблицею відношень між судженнями за логічною валентністю, що відображає залежність між засновками і висновком за істиннісним значенням. Якщо позначимо істинність через “і”, а хибність через “х”, а невизначеність (“і” або “х”) через “н”, то зведена таблиця набуде такого вигляду:
Видсудження |
Значення істинності |
А |
Е |
І |
О |
А |
|
- |
х |
і |
х |
А |
х |
- |
н |
|
і |
Е |
і |
х |
- |
х |
і |
Е |
х |
н |
- |
і |
н |
І |
і |
н |
х |
- |
н |
І |
х |
х |
і |
- |
і |
О |
і |
х |
н |
н |
- |
О |
х |
і |
х |
і |
- |
Завдання. Наведіть приклад і визначте відношення логічного слідування між судженнями А та Е, запишіть схему умовиводу. Обґрунтуйте вивідність.
Зразок відповіді.
(А) Усі хворі потребують медичної допомоги (і).
(Е) Жоден хворий не потребує медичної допомоги (х).
Схеми міркування:
(А) Усі S суть Р(і); S а Р А (і) ├ Е (х).
(Е) Жодне S не суть Р(х) S е Р
Для перевірки правильності вивідності можна скористатися схемою умовно-категоричного умовиводу, яка набере такого вигляду:
Якщо судження А істинне, то судження Е тієї ж матерії хибне.
Судження А («Усі хворі потребують медичної допомоги») істинне.
Судження Е тієї ж матерії («Жоден хворий не потребує медичної допомоги») хибне.
Аналогічно чинимо з іншими видами умовиводів за «логічним квадратом».
Отже, визнавши логічне значення (і чи х) за логічним квадратом судження-засновку, ми з необхідністю виводимо судження-висновок, адекватний цьому відношенню і з відповідною логічною значимістю (“і”, “х”, “н”).
5.1.2. ОПОСЕРЕДКОВАНІ УМОВИВОДИ
Опосередкованим називається умовивід, в якому висновок виводиться з двох або більше засновників. До опосередкованих належать: простий категоричний силогізм, фігури і модуси силогізму, полісилогізм, скорочені та складноскорочені силогізми.
Розвязування завдань на вказані вище умовиводи складає чималі труднощі. Це пояснюється тим, що в переважній більшості підручників з логіки методика розвязування завдань і виконання вправ не наводиться, а якщо й подибується, то займає мізерну частку від того, що мало би бути. Крім того, відсутні спеціальні методичні посібники, в яких розглядалися б усі наявні а також можливі технічні прийоми аналізу силогізмів. У деяких методичних посібниках наразі подаються «алгоритми» розвязування логічних завдань і навіть розвязкові процедури, проте вони мають радше консультативний характер, ніж пояснювально-коментуючий.
До того ж варто памятати, що без ґрунтовного знання теорії силогізму розвязати бодай найпростіше завдання практично неможливо. Тому необхідно спершу засвоїти теоретичний матеріал, ознайомитися з методикою розвязування завдань та виконання вправ, опанувати всі можливі технологічні прийоми, а відтак приступати до розвязкових процедур.
Розвязуючи завдання чи виконуючи вправи на простий категоричний силогізм, треба передусім визначити типи суджень, що входять до його складу, відтак виявити його терміни, більший і менший засновки, фігуру і насамкінець модус силогізму. Тільки після цього приступаємо до зясування правильності побудови силогізму за спеціальними та загальними правилами. До речі, можна практикувати й різні способи чи методи перевірки правильності міркувань у формі силогізму та несилогістичних умовиводів: метод семантичних таблиць, метод аналітичних таблиць, прямі та непрямі способи доведення вивідності висновку із засновників, логічні прийоми виявлення логічної загальної значущості формул, які репрезентують силогістичні міркування, методи числення і т. ін. Такий підхід сприятиме розвитку когнітивного потенціалу особистості, виявленню не тільки репродуктивної здатності, а й формуватиме творчі здібності, вмотивовані самою природою людини як мислячої істоти, що активно й цілеспрямовано пізнає дійсність. Не випадково дослідники форм і способів розвитку знання звернули увагу на те, що пошук середнього терміна силогізму має проблемний характер, тобто є творчим процесом.
Завдання. Дайте логічний аналіз силогізму: визначте тип суджень, що входять до його складу; обґрунтуйте свої міркування за допомогою основних правил силогізму.
«Оскільки жодна людина не може літати, то й жоден філософ не може літати, бо всі філософи люди».
Логічний аналіз треба почати зі встановлення типу суджень, що входять до його складу. Чому? Тому що встановлення типу суджень допоможе знайти висновок силогізму і в деяких випадках із самого початку можна буде виявити логічну неспроможність силогізму.
Давайте простежимо, як визначення типу суджень, що входять до складу силогізму, дає змогу віднайти його висновок.
Аналіз даного міркування дає підстави твердити, що до складу цього силогізму входять категоричні судження Е Е А. На цій підставі можемо вважати, що дане міркування є різновидом категоричного силогізму.
(Е) Жодна людина не може літати.
(Е) Жоден філософ не може літати.
(А) Усі філософи люди.
Визначивши типи суджень, що входять до складу цього силогізму, ми можемо з певністю твердити, що судження А не може бути висновком, бо нам уже відомо, що з двох заперечних засновків висновок не випливає. Отже, судження А є одним із засновків цього силогізму, а висновком може бути одне із суджень типу Е.
Припустимо, що висновком є судження: «Жодна людина не може літати».
Будуємо силогізм за схемою:
(Е) Жоден філософ (М+) не може літати (Р+).
(А) Усі філософи (М+) люди (S¯).
(Е) Жодна людина (S+) не може літати (Р+).
За місцем середнього терміну (М) ми можемо твердити, що цей силогізм побудований за третьою фігурою (середній термін (М) займає місце субєкта в засновках). Проте висновок, згідно з правилом третьої фігури, має бути лише частковим судженням, а не загальним, як у силогізмі, який ми щойно побудували. Опріч цього, тут порушено правило термінів силогізму, за яким термін, не розподілений у засновку, не може бути розподіленим у висновку. В аналізованому нами силогізмі менший термін у засновку не розподілений (S¯), а у висновку розподілений (S+), що суперечить зазначеному вище правилу термінів силогізму.
Отже, судження «Жодна людина не може літати» не може бути висновком. Очевидно, висновком буде судження «Жоден філософ не може літати».
(Е) Жодна людина (М+) не може літати (Р+).
(А) Усі філософи (S+) люди (М¯).
(Е) Жоден філософ (S+) не може літати (Р+).
Отже, висновок знайдено правильно, оскільки всі правила силогізму тут виконуються.
Завдання. Знайдіть більший, менший, середній терміни та засновки в наступних категоричних силогізмах:
1. Усі метали провідники. Золото це метал. Отже, золото провідник.
2. Речення «Вечоріє» просте речення, бо воно належить до безособових речень, а всі безособові речення прості речення.
Зразок відповіді. Аналіз силогізму починаємо з висновку.
Відомо, що менший термін (S) є субєктом висновку, а більший предикатом (Р) висновку.
У першому силогізмі висновком є судження «Золото провідник», де субєктом є поняття «золото», а предикатом поняття «провідник». Звідси випливає, що поняття «золото» є меншим терміном, а поняття «провідник» більшим. Схема міркування матиме такий вигляд:
Усі метали провідники.
Золото метал.
Золото (S) провідник (Р).
Аналізуючи судження «Усі метали (S) провідники (Р)» і «золото (S) метал (Р)», ми бачимо, що поняття, котре є предикатом висновку («провідник») входить у судження «Усі метали провідники (Р)», а поняття, яке є субєктом висновку (S), входить у судження «Золото (S) метал». Крім того, в цих судженнях є спільне поняття «метал», яке відсутнє у висновку. Отже, дане поняття є середнім терміном (М). На підставі знайдених термінів виявляємо більший і менший засновки та висновок і будуємо правильний силогізм:
Усі метали (М+) провідники (Р¯).
Золото (S+) - метал (М¯).
Золото (S+) провідник (Р¯).
Аналогічно чинимо стосовно інших силогізмів.
Завдання. Визначте фігуру та модус простого категоричного силогізму: «Наукова робота має вартість, бо всякий товар має вартість, а наукова робота є товаром».
Щоб розвязати це завдання, необхідно знайти його терміни і зясувати, яке місце займає середній термін, тому що фігура силогізму визначається місцезнаходженням середнього терміна в засновках. Спершу записуємо терміни більшого засновку, відтак терміни меншого засновку. Проте структуру висновку до схеми фігури не залучають, бо середній термін не входить у висновок.
Визначаючи модус силогізму, спершу записують судження, яке є більшим засновком силогізму, відтак записуємо судження, яке є меншим засновком, і нарешті судження, яке є висновком силогізму.
Беручи до уваги терміни, засновки, будуємо силогізм:
(А) Будь який товар (М) має вартість (Р).
(А) Наукова робота (S) товар (М).
(А) Наукова робота (S) має вартість (Р).
У цьому силогізмі середній термін (М) у більшому засновку займає місце субєкта, а в меншому предиката. Отже, це перша фігура простого категоричного силогізму.
Схема фігури:
S М
Модус фігури даного силогізму визначаємо за типом суджень, що входять у засновки і висновок.
М а Р
S а М
S а Р
Отже, міркування здійснено за першим модусом першої фігури (А А А) або Ваrbаrа.
Завдання. Перевірте, чи даний силогізм є правильним. Якщо ні, то обґрунтуйте свої міркування: «Деякі рослини отруйні, а білі гриби - рослини, отже, білі гриби отруйні».
Зауважимо, щоб розвязати це завдання, треба перевірити, чи не порушені в ньому загальні та спеціальні правила фігур силогізму. Якщо дотримано всіх правил, то силогізм правильний, якщо будь-яке з них порушене то силогізм неправильний.
Маючи навички у розвязанні попередніх завдань, вам легко буде справитись з цим завданням. Результатом аналізу буде такий силогізм:
(І) Деякі рослини (М¯) отруйні (Р¯).
(А) Білі гриби (S+) рослини (М¯).
(А) Білі гриби (S+) отруйні (Р¯).
Зразок відповіді. За місцем середнього терміну це перша фігура силогізму. За типом суджень, що входять до засновків і висновку, це модус І А А. Проте зауважимо, що такого модусу перша фігура немає. У цьому силогізмі порушено спеціальне правило першої фігури, згідно з яким більший засновок має бути загальним судженням, а в нашому випадку він частковий (не всі рослини отруйні). І нарешті, в цьому силогізмі порушено одне з правил засновків і правило термінів: 1) якщо один із засновків частковий, то і висновок має бути частковим; 2) середній термін повинен бути розподіленим хоча б в одному із засновків. У нашому випадку середній термін нерозподілений у жодному із засновків. Якщо середній термін нерозподілений, то висновок із засновків не випливає, тобто відсутнє відношення логічного слідування між засновками і висновком.
Завдання. Визначте фігуру і модус силогізму. Якщо силогізм неправильний, то обґрунтуйте свої міркування.
І. «Наукова проблема є пізнавальним завданням. Отже, запитання не є пізнавальним завданням, бо запитання не є науковою проблемою».
(А) Наукова проблема (М+) є пізнавальним завданням (Р¯)
(Е) Запитання (S+) не є науковою проблемою (М+)
(Е) Запитання (S+) не є пізнавальним завданням (Р+)
Завдання. За місцем середнього терміна цей силогізм належить до першої фігури. Його модус А Е Е. Тут має місце порушення правила першої фігури: менший засновок має бути ствердним. Крім цього, порушено правило термінів: термін, нерозподілений у засновку, не може бути розподіленим у висновку. У цьому силогізмі більший термін нерозподілений у засновку (Р¯), а у висновку розподілений (Р+), тут має місце помилка, що має назву «недозволене розширення більшого терміна».
ІІ. «Жодна теорія не є універсальною, а всі теорії є системами знання. Звідси випливає, що системи знання не є універсальними».
(Е) Жодна теорія (М+) не є універсальною (Р+)
(А) Усі теорії (М+) є системами знання (S¯)
(Е) Системи знання (S+) не є універсальними (Р+)
Висновок у цьому силогізмі зроблено за третьою фігурою.
Міркування здійснено за модусом Е А Е. Але такого модусу за третьою фігурою немає, бо висновок за третьою фігурою може бути лише частковим, а в цьому силогізмі висновок є загальним судженням (Е). Отже, порушено правило третьої фігури силогізму. Якщо порушено якесь спеціальне правило силогізму, то порушене також і загальне правило силогізму. В цьому силогізмі менший термін нерозподілений у засновку, але розподілений у висновку. Тут має місце помилка, яка зветься «недозволене розширення меншого терміна».
Даний силогізм можна побудувати коректно. Якщо висновок взяти частковим судженням, то менший термін буде розподіленим.
(Е) Жодна з теорія (М+) не є універсальною (Р+)
(А) Усі теорії (М+) є системами знання (S¯)
(О) Деякі системи знання (S¯) не є універсальними (Р+).
Щоб перевірити наявність логічного слідування в будь-якому модусі простого категоричного силогізму, необхідно здійснити наступні логічні дії, а саме: а) засновки і висновок записати мовою логіки предикатів; б) засновки зєднати конюнкцією, а висновок приєднати імплікацією, тобто перетворити структуру чи модель міркування в лінійну формулу або теорему; в) користуючись відповідними правилами і законами логіки предикатів, здійснити крок за кроком доведення.
Завдання. Перевірити, чи справджується логічне слідування в міркуванні за модусом Dimaris, послуговуючись правилами і законами логіки предикатів.
Зразок відповіді.
Деякі вчені Герої України.
Усі Герої України орденоносці.
Деякі орденоносці вчені.
х (Р(х) /\ М(х))
х (М(х) → S(х))
х (S(х) /\ Р(х))
х (Р(х) /\ М(х)) /\ х (М(х) → S(х) ) → х (S(х) /\ Р(х))
1. х (Р(х) /\ М(х)) } припущення
2. х (М(х) → S(х) ) } припущення
3. Р(с) /\ М(с) У (1)
4. Р(с) УК (3)
5. М(с) УК (3)
6. М(с) → S(с) У (2)
7. S(с) МР (5,6)
8. S(с) /\ Р(с) ВК (4,7)
9. х (S(х) /\ Р(х)) В (8).
Отже, х (Р(х) /\ М(х)) /\ х (М(х) → S(х)) → х (S(х) /\ Р(х)). Що й треба було довести.
Розвязання проблеми вивідності висновків із засновків можливе шляхом розвязкової процедури для логіки предикатів.
Щоб розвязати проблему вивідності даним способом, треба, передусім, пригадати рівносильні перетворення формул логіки висловлень і логіки предикатів. Вони подані в підручниках із сучасної логіки.
Для того, щоб здійснити розвязкову процедуру, треба спершу записати умовивід у символічному вигляді. Отриманий вираз перетворити згідно з певними правилами. Мета цих перетворень полягає в тому, щоб звести вираз до такої форми, яку можна було б редукувати до виразу логіки висловлень, і засобами цієї логічної теорії зясувати логічну валентність цього виразу. Річ у тім, що в логіці предикатів, яка аналізує умовиводи, до складу яких входять прості судження, такий метод розвязкової процедури, як табличний, відсутній. До того ж треба мати на увазі й те, що універсального способу чи методу розвязкової процедури для виразів логіки предикатів загалом не існує. Тому вирази логіки предикатів трансформують або перетворюють так, щоб безпосередньо визначити їх логічну загальнозначущість, або зводять їх, як правило, до виразів логіки висловлень, до яких застосовують метод семантичних таблиць або таблиць істинності.
Ми не будемо обґрунтовувати окремі кроки, а обмежимося перетвореннями, які необхідно здійснювати, розвязуючи завдання.
Завдання. Обґрунтуйте вивідність в умовиводі методом розвязкової процедури логіки предикатів:
Усі філософи мудрі.
Деякі українці не мудрі.
Деякі українці не філософи.
Зразок відповіді. Категоричні висловлення, що входять до складу цього умовиводу, мають таку символічну форму:
х (Р(х) → М(х))
х (S(х) /\ ~М(х)
х (S(х) /\ ~Р(х))
Засновки зєднуємо конюнкцією, а висновок приєднуємо імплікацією:
х (Р(х) → М(х)) /\ х (S(х) /\ ~М(х)) → х (S(х) /\ ~Р(х))
Перетворюємо всі висловлення (засновки і висновки) в екзистенційні або судження існування так, щоб в області дії квантора існування були тільки конюнкцією і заперечення. Заперечення при цьому не повинно стосуватись складних виразів:
1. х (Р(х) → М(х)) /\ х (S(х) /\ ~М(х)) → х (S(х) /\ ~Р(х))
2. ~х ~ (Р(х) → М(х)) /\ х (S(х) /\ ~М(х)) → х (S(х) /\ ~Р(х))
3. ~х ~ (~ Р(х) \/ М(х)) /\ х (S(х) /\ ~М(х)) → х (S(х) /\ ~Р(х))
4. ~х (~ ~Р(х) /\ ~М(х)) /\ х (S(х) /\ ~М(х)) → х S(х) /\ ~Р(х))
5. ~х (Р(х) /\ ~М(х)) /\ х (S(х) /\ ~М(х))→ х (S(х) /\ ~Р(х))
Заперечуємо висновок, а знак імплікації усього виразу замінюємо на знак конюнкції:
6. ~х (Р(х) /\ ~М(х)) /\ х (S(х) /\ ~М(х)) /\ ~х (S(х) /\ ~Р(х))
Перевіряємо, чи не подибується серед утвореної конюнкції хоча б один вираз без заперечення і бодай один із запереченням. Якщо є хоча б один екзистенційний вираз без заперечення і хоча б один із запереченням, то діємо так:
а) виписуємо всі наявні вирази без заперечення;
б) ставимо після них знак імплікації;
в) записуємо в дужках дизюнкцію заперечуваних виразів, але без знаку заперечення перед кванторами:
7. х (S(х) /\ ~М(х)) → х (Р(х) /\ ~М(х)) \/ х (S(х) /\ ~Р(х))
Опускаємо квантори та індивідні змінні:
(S /\ ~М) → (Р /\ ~М) /\ (S /\ ~Р)
Оскільки отриманий вираз є виразом логіки висловлень, то складаємо таблицю його істинності
S |
М |
Р |
~М |
~Р |
S /\ ~М |
Р /\ ~М |
S /\ ~Р |
(Р /\ ~М) \/ (S /\ ~Р) |
(S /\ ~М)→ (Р /\ ~М) /\ (S /\ ~Р) |
і |
і |
і |
х |
х |
х |
х |
х |
х |
і |
і |
і |
х |
х |
і |
х |
х |
і |
і |
і |
і |
х |
і |
і |
х |
і |
і |
х |
і |
і |
і |
х |
х |
і |
і |
і |
х |
і |
і |
і |
х |
і |
і |
х |
х |
х |
х |
х |
х |
і |
х |
і |
х |
х |
і |
х |
х |
х |
х |
і |
х |
х |
і |
і |
х |
х |
і |
х |
і |
і |
х |
х |
х |
і |
і |
х |
х |
х |
х |
і |
Таблиця істинності засвідчує, що отриманий в результаті перетворень вираз за всіх наборів значень змінних набирає в усіх можливих рядках відношень між складниками умовиводу значення “істина”. Звідси випливає, що коли даний вираз є загальнозначущим, то вихідний вираз х (Р(х) → М(х)) /\ х (S(х) /\ ~М(х)) → х (S(х) /\ ~Р(х)) є також загальнозначущим, а відповідний йому умовивід є правильним і правило, за яким він отриманий, є коректним.
Розглянутий нами умовивід правильний, оскільки побудований не тільки за правилами другої фігури силогізму, але й загальними правилами простого категоричного силогізму, які репрезентують аксіому силогізму.
Розвязуючи проблему вивідності висновку із засновків методом розвязкової процедури логіки предикатів, варто памятати: якщо вираз логіки висловлень не є загальнозначущим і у виразі, отриманому за вказаним алгоритмом перетворення, зустрічається більше ніж одне висловлення без заперечення, то необхідно проробити те саме з іншим висловленням за вже відомим алгоритмом перетворення. Якщо вираз, досліджуваний семантичними таблицями чи матрицями істинності, - загальнозначущий, то й вихідний вираз є також загальнозначущим. Якщо жоден вираз не є загальнозначущим за таблицею істинності, то умовивід є неправильним, і правило, за яким він отриманий, некоректне.
Нагадаємо, що процедура перетворення загальних категоричних висловлень в екзистенційні (з квантором існування) і навпаки використовується доситьтаки часто. Тому треба знати загальне правило перетворення будьяких загальних суджень в екзистенційні, і навпаки.
Щоб загальне судження перетворити в семантично еквівалентне екзистенційне висловлення, і навпаки, екзистенційне висловлення - в загальне, еквівалентне екзистенційному, необхідно:
а) квантор загальності (існування) замінити на квантор існування (квантор загальності);
б) перед новим квантором поставити знак заперечення;
в) заперечити всю під кванторну або закванторну формулу. Наприклад: х F(х) на
~х ~ F(х); ~х ~ F(х) на х F(х).
Програма сучасної логіки вимагає знання формальних методів аналізу вивідності із засновків і в такий спосіб зясовувати коректність міркувань у формі дедуктивних умовиводів, зокрема категоричного силогізму, його фігур та модусів. Зауважимо, що сфера застосування того чи іншого методу, як правило, обмежена, тобто не всі, наприклад, модуси фігур силогізму можна перевірити цим способом. Проте знайомство з ними має неабияке значення для практики логічного аналізу умовиводів. До речі, 15 із 19 правильних модусів можна довести методом прямого доведення.
Задля цього категоричні судження А, Е, І, О витлумачуємо відповідно:
х (S(х) → Р(х)), х (S(х) → ~Р(х)), х (S(х) /\ Р(х)), х (S(х) /\ ~Р(х)).
Наприклад, модус Celarent першої фігури запишемо у вигляді формули: х (М(х) → ~Р(х)) /\ х (S(х) → М(х)) → х (S(х) → ~Р(х)).
Крім цього, в логіці предикатів формула вважається істинною (загальнозначущою), якщо вона істинна за будь-якої інтерпретації, тобто якщо вона істинна для довільних множин і для довільних предикатів, які можуть бути визначені на цій множин. Іншими словами, якщо формула, що виражає певний силогізм, буде завжди істинною, то висновок випливатиме із засновків з необхідністю. Зясування загальнозначущості здійснюємо методом доведення “від супротивного”.
Завдання. Доведіть правильність (чи неправильність) модусу Ferio методом “від супротивного”.
Варіант відповіді. Оскільки модус Ferio (Е І О) є одним із модусів простого категоричного силогізму за першою фігурою, то його формула матиме такий вигляд:
х (М(х) → ~Р(х)) /\ х (S(х) /\ М(х)) → х (S(х) /\ ~Р(х)).
Припустимо, що вона не є тотожно істинною. Це означає, що існує така множина U і такі визначені на ній предикати S`, М`, Р`, які перетворюють цю формулу в хибну.
Проте ця формула буде хибною лише тоді, коли її антецедент буде істинним, а консеквент хибним. Це означає, що хибність висновку х (S`(х) /\ ~Р`(х)) має узгоджуватись з істинністю конюнкції більшого та меншого засновків відповідно: х(М`(х) → ~Р` (х)) та х (S`(х) /\ ~М` (х)).Але це неможливо, бо істинність меншого засновку х (S`(х) /\ М`(х)) означає, що довільній множині U` належить такий елемент а, для якого істинно як S(а), так і М(а). Крім того, відповідно до а має бути істинною й імплікація (М(а) → ~Р(а)) через істинність на множині U` імплікації х (М(х) → ~Р(х)), а отже, й ~Р(а) істинне. Але істинність S(а) і ~Р(а) робить істинним вираз х (S`(х) /\ ~Р`(х)).
Отже, припущення хибності для предикатів S`, М`, Р`, визначених на множині U`, робить вираз х (S(х) /\ ~Р(х)) несумісним з істинністю виразу х М(х) → ~Р(х)) /\ х (S(х) /\ М(х)).
Це означає, що такої множини і таких предикатів S`, М`, Р`, які перетворювали б формулу х (М(х) → ~Р(х)) /\ х (S(х) /\ М(х)) → х (S(х) /\ ~Р(х)) в хибну, не існує. Отже, ця формула завжди істинна, а умовивід, який вона репрезентує, є правильним.
Завдання. Навести приклад простого категоричного силогізму за модусом першої фігури та обґрунтувати його правильність шляхом зясування вивідності висновку із засновків у системі натурального виводу (СНВ).
Щоб виконати це завдання, треба знати не тільки основні й похідні правила логіки предикатів, а й логіки висловлень. Крім того маємо пригадати умови зведення правильних модусів II, III, IV фігур силогізму до модусів першої фігури.
Зауважимо, що ці перетворення необхідні тому, що модуси першої фігури відповідають аксіомі силогізму та її інтерпретаціям.
Засобами перетворення модусів II, III, IV фігур силогізму в модуси першої фігури (Barbara, Celarent, Darii, Ferio) є обернення (чисте або з обмеженням) і перестановка засновків. Залежно від модусу використовують або обернення, або обернення і перестановку. Потреба в застосуванні цих прийомів зумовлена різним місцезнаходженням середнього терміна. Так, наприклад, у II та III фігурах без обернення неможливо змінити місце середнього терміна відповідно до його місця за першою фігурою. Обернення тут буде або чистим, або з обмеженням залежно від кількісної та якісної характеристики засновку, що підлягає оберненню. Якщо менший засновок у II фігурі є заперечним судженням, то для перетворення її модусів у модуси першої фігури, крім обернення засновку треба переставити місцями засновки, бо в першій фігурі менший засновок судження ствердне. Якщо в результаті вказаних дій середній термін (М) займає місце за першою фігурою, але висновок матиме форму Р є (не є) S, то його слід обернути на S є (не є) Р. Перетворення модусів ІV фігури зі ствердним більшим засновком починаємо з перестановки засновків, бо в результаті цієї операції місце середнього терміна і якість меншого засновку відповідатиме ознакам І фігури. Якщо, наприклад, більший засновок ІV фігури заперечний, то його треба обернути першим, а відтак обернути менший засновок. Якщо висновок із засновків матиме вигляд Р є (не є) S, то висновок також треба обернути.
Модуси Baroco і Bocardo зводяться до модусу Barbara методом “від супротивного”, а саме: спершу припускаємо істинність судження, яке суперечить висновку даного модусу (Baroco чи Bocardo); відтак, будуємо силогізм, більшим засновком якого є засновок модусу, а меншим засновком стає судженняприпущення; отриманий висновок суперечитиме меншому засновку модусу (Baroco чи Bocardo). Звідси робимо висновок про те, що висновки за модусами Baroco чи Bocardo є правильними.
Окрім сказаного вище, треба знати, що букви s, p, m, c в модусах II та III фігур силогізму вказують на певну логічну операцію з відповідними судженнями, після яких вони стоять у процедурі зведення до модусів першої фігури. Буква “s” вказує на те, що судження, позначене голосною, після якої вона стоїть, підлягає чистому оберненню, а буква “р” оберненню з обмеженням. Буква “с” означає, що даний модус редукується до модусу першої фігури методом “від супротивного”, а буква “m” вказує на те, що засновки треба поміняти місцями.
Тепер можна приступати до виконання сформульованого завдання.
Зразок відповіді. Правильними модусами другої фігури є модуси Cesare, Camestres, Festino, та Baroco. Для аналізу беремо модус Baroco. Початкова буква модусу Baroco “В” означає те, що цей модус зводиться до модусу Barbara першої фігури, оскільки він також починається з літери “В”. Голосні букви, що входять у модус Baroco (АОО), вказують нам, що більший засновок модусу є судженням загальним (А), а менший засновок і висновок судження частково заперечні (О, О). Буква “с” означає, що редукція даного модусу до відповідного модусу першої фігури можлива лише методом “від супротивного”. Зясувавши формальні ознаки модусу, будуємо силогізм за модусом Baroco. Цей силогізм матиме такий вигляд:
(А) Усі метали (Р+) - провідники (М¯). Р а М
(О) Деякі тіла (S¯) - не провідники (М+). S о М
(О) Деякі тіла (S¯) - не метали (Р+). S o Р
Припустимо, що висновок “Деякі тіла не метали” хибний. Тоді істинним вважатиметься судження “Всі тіла метали” як суперечне йому. Будуємо умовивід, в якому більший засновок модусу Ваrосо залишається без змін, а меншим засновком беремо судження “Всі тіла метали” і виводимо висновок:
(А) Усі метали (М+) - провідники (Р¯).
(А) Усі тіла (S+) - метали (М¯).
(А) Усі тіла (S+) - провідники (Р¯).
Тепер порівнюємо отриманий висновок “Усі тіла провідники” з меншим засновком модусу Ваrосо - “Деякі тіла не провідники” і виявляємо суперечність між ними. Встановивши суперечність між висновком за модусом Ваrbаrа і меншим засновком за модусом Ваrосо, робимо висновок про те, що наше припущення “Усі тіла метали” хибне. Це означає, що істинним буде судження, що суперечить зробленому нами припущенню (“Деякі тіла не метали”). Отже, міркування за модусом Ваrосо є коректним.
Проблему правильності силогістичного умовиводу можна перевіряти різними методами, в тому числі й шляхом доведення вивідності в системі натурального виводу (СНВ) логіки предикатів, послуговуючись правилами вивідності другого роду.
Завдання. Обґрунтуйте вивідність
х (S(х) → М(х)), х М(х) → Р(х))╞ х (S(х) → Р(х) ).
Відповідь.
Отже, х (S(х) → М(х)), х М(х) → Р(х)), ~х (S(х) → Р(х))╞ Р(х) /\ ~Р(х) за визначенням виводу на основі (І13). Оскільки отриманий із засновків і припущення непрямого доведення висновок є суперечливим, то міркування х (S(х) → М(х)), х (М(х) → Р(х)) ├ х (S(х) → Р(х)) є коректним, тобто висновок з необхідністю випливає із засновків.
Щоб здійснити доведення вивідності, треба знати не тільки основні правила побудови виводу, а й похідні правила вивідності.
Завдання. Обґрунтуйте вивідність висновку із засновків методом доведення в СНВ:
х (Р(х) → М (х)), х (S(х) /\ ~М(х) ╞ х (S(х) /\ ~Р(х))
Зразок відповіді.
Отже, х (Р(х) → М(х)), х (S(х) /\ ~М(х)) ╞ х (S(х) /\ ~Р(х)), що й треба було довести.
5.1.3. СКЛАДНІ, СКОРОЧЕНІ ТА СКЛАДНОСКОРОЧЕНІ СИЛОГІЗМИ
Неабияке практичне значення має логічний аналіз ентимем, скорочених силогізмів, в яких пропущена якась його складова частина, та відновлення їх до повних силогізмів, а також визначення їх фігури та модусу.
Навички такого аналізу здобувають шляхом розвязування відповідних завдань. Щоб відновити ентимему в повний силогізм, треба керуватися такими правилами:
Відновлюючи ентимеми до повних силогізмів, ми ні на мить не повинні забувати загальні й спеціальні правила силогізму.
Завдання. Здійсніть логічний аналіз ентимеми, відновивши її до повного силогізму; визначте його модус і фігуру. “Ця людина не пише філософських творів; отже вона не є філософом”.
Зразок відповіді. У цій ентимемі пропущено один із засновків, оскільки висновок тут є. Свідченням цього є слово “отже”. Маючи висновок “Вона (людина) не є філософом”, виявляємо крайні терміни: менший термін “вона” (людина), а більший “філософ”. Знаючи, що менший термін перебуває в меншому засновку, робимо висновок про те, що менший засновок наявний, а більший відсутній. Зясовуючи структуру відсутнього (більшого) засновку, враховуємо те, що до його складу входять більший термін (той, що виконує роль предиката у висновку “філософ”), і середній (той, що мав місце в меншому засновку, але не потрапив до висновку “ті, що пишуть філософські твори”), і нарешті, звязка “є” (бо обидва засновки не можуть бути заперечними судженнями (за основними правилами силогізму).
Розташовуємо названі (більший і середній) терміни в більшому засновку. Якщо субєктом взяти поняття “усі ті, хто пише філософські твори”, то в результаті відновлений силогізм набере форми першої фігури і буде неправильним, оскільки менший засновок буде заперечним судженням, а саме:
(А) Той, хто пише філософські твори (М+), є філософом (Р¯).
(Е) Ця людина (S+) не пише філософських творів (М+).
(Е) Ця людина (S+) не є філософом (Р+).
Але такого модусу в першій фігурі нема. Отже, субєктом більшого засновку треба взяти поняття “філософ”. У результаті такого підходу ми отримуємо другу фігуру силогізму, один із засновників якої повинен бути заперечним. Щоб відновлений силогізм був правильний, треба до більшого засновку додати слово “усі” (правила другої фігури вимагають, щоб більший засновок був загальним).
Результатом відновлення буде такий повний силогізм:
(А) Усі філософи (Р+) пишуть філософські твори (М¯).
(Е) Ця людина (S+) не пише філософських творів(М+).
(Е) Ця людина (S+) не є філософом (Р+).
У процесі міркування силогізми поєднуються між собою, утворюючи своєрідний “ланцюг” силогізмів. Такі силогізми називають складними або полісилогізмами. До речі, цей вид умовиводу завершує навчальний елемент “Виводи з простих категоричних суджень”.
Полісилогізм та особливості його аналізу
Завдання. Перевірте, чи правильний цей полісилогізм. Свої міркування обґрунтуйте.
В С
Організми руйнуються Всі В суть С
А В
Рослини організми Всі А суть В
А С
Рослини руйнуються Всі А суть С
Д А
Дерева рослини Всі Д суть А
Д С
Дерева руйнуються Всі Д суть С
Е Д
Сосна дерево Всі Е суть Д
Е С
Сосна руйнується Всі Е суть С
Зразок відповіді. Щоб переконатися в правильності (чи неправильності) полісилогізму, ми здійснюємо окремо логічний аналіз складників полісилогізму просилогізму та епісилогізму.
Для чіткості аналізу мусимо додати до суджень, які є засновками і висновками, слово “усі”. Беремо перший просилогізм. Аналізуємо його відомим нам способом:
(А) Усі організми (М+) руйнуються (Р¯). М а Р
(А) Усі рослини (S+) організми (М¯). S а М
(А) Усі рослини (S+) руйнуються (Р¯). S а Р
Просилогізм побудовано правильно. Висновок випливає із засновків за модусом Вагbага першої фігури. Основні та спеціальні правила силогізму не порушено.
Тепер аналізуємо епісилогізм:
(А) Усі рослини (М+) руйнуються (Р¯). М а Р
(А) Усі дерева (S+) рослини (М¯). S а М
(А) Усі дерева (S+) руйнуються (Р¯). S а Р
В епісилогізмі також не порушено загальні та спеціальні правила силогізму. Отже, він є коректним.
(А) Усі дерева (М+) руйнуються (Р¯). М а Р
(А) Усі сосни(S+) дерева (М¯). S а М
(А) Усі сосни(S+) руйнуються (Р¯). S а Р
Вочевидь переконуємося, що і цей силогізм є правильним.
Оскільки попередній висновок силогізму стає більшим засновком для наступного силогізму і рух думки йде від понять більш загальних до понять менш загальних, то даний силогізм є прогресивним.
У силогізмах, що входять до складу полісилогізму, не порушено жодного загального й спеціального правила простого категоричного силогізму. Отже, цей полісилогізм є правильний.
Аналогічно обґрунтовуємо й регресивний полісилогізм.
Якщо ж полісилогізм неправильний, то в процесі аналізу вказуються логічні помилки та правила, які порушено.
Завдання. Здійсніть логічний аналіз сориту, відновіть силогізми, що входять до його складу, визначте його вид.
Усі непарні числа натуральні числа.
Три непарне число.
Усі раціональні числа дійсні числа.
Три - дійсне число.
Зразок відповіді. Щоб відновити цей полісилогізм, треба, починаючи з просилогізму, поступово повязувати засновки і робити висновки, виявляти пропущені ланки полісилогізму.
(А) Усі непарні числа (М+) натуральні числа (Р¯) М а Р
(А) Три (S+) непарне число (М¯) S а М
(А) Три (S+) натуральне число (Р¯) S а Р
(А) Усі натуральні числа (М+) раціональні числа (Р¯) М а Р
(А) Три (S+) натуральне число (М¯) S а М
(А) Три (S+) раціональне число (Р¯) S а Р
(А) Усі раціональні числа (М+) дійсні числа (Р¯) М а Р
(А) Три (S+) раціональне число (М¯) S а М
(А) Три (S+) дійсне число (Р¯) S а Р
Засновки і висновки силогізмів, що входять до даного сориту, дають підставу вважати, що цей сорит є аристотелівським. У ньому пропущені менші засновки крім першого, і висновки, крім останнього.
Із засновків просилогізму “Усі непарні числа натуральні числа” і “Три непарне число” виводимо висновок “Три натуральне число”. Отриманий висновок є пропущеним меншим засновком в епісилогізмі (на це вказує нам більший засновок епісилогізму “Усі натуральні числа раціональні числа”). Будуємо епісилогізм із засновків “Усі натуральні числа раціональні числа” та “Три натуральне число” і отримуємо висновок “Три раціональне число”. Відтак беремо за більший засновок судження “Усі раціональні числа дійсні числа”, а за менший засновок висновок епісилогізму “Три - раціональне число” і дістаємо висновок “Три дійсне число”, наявний у сориті. Переконавшись у тому, що жодне загальне і спеціальне правило силогізму не порушено в процесі відновлення чи реконструкції, і що субєкт висновку міститься в першому, а його предикат в останньому висновку, робимо висновок про правильність відновленого полісилогізму із аристотелівського сориту. Якщо записати сорит мовою логіки висловлень, то він набере вигляду формули, яка є конюнкцією імплікацій, що виражає логічний закон:
(А → В) /\ (В → С) /\ (С → Д) /\ (Д → Е) → (А → Е).
Цю формулу можна випробувати на загальнозначущість у системі натурального числення висловлень (СНВ), а також обґрунтувати вивідність висновку із засновків шляхом прямого чи непрямого доведення (за бажанням.
Завдання. Відновіть епіхейрему до повного силогізму: “Брехня породжує недовіру, бо вона є твердженням, що не відповідає дійсності. Лестощі є брехнею, бо вони є навмисним спотворенням істини. Отже, лестощі породжують недовіру”.
Щоб переконатися в правильності побудови епіхейреми й істинності добутого висновку, треба відновити кожну з ентимем, що входить до складу епіхейреми; за певною методикою із засновків відновлених повних силогізмів побудувати новий силогізм. Якщо висновок останнього буде такий самий, як і в епіхейремі, це означатиме, що епіхейрема побудована правильно.
Зразок відповіді. Ця епіхейрема складається з двох ентимем. У першій ентимемі висновок виражений головним реченням складнопідрядного речення, у формі якого виражена перша ентимема. Отже, відсутній один із засновків. Знаючи висновок “Брехня породжує недовіру”, встановлюємо, що наявним є менший засновок, бо до його складу входить менший термін “брехня”. Відновлюючи відсутній більший засновок, беремо до уваги те, що до його складу входить більший термін “породжує недовіру”, бо цей термін займає місце предиката у висновку “Брехня породжує недовіру” (Р), а також середній термін, оскільки середній термін має місце в обох засновках. Середній термін є поняттям, яке відсутнє у висновку “твердження, що не відповідає істині”. Питання про те, яке місце займає в більшому засновку виявлений термін субєкта чи предиката, розвязуємо, як радять професійні логіки, методом проб і помилок. Наразі краще почати з визначення середнього терміна (“твердження, що не відповідає істині”) субєктом більшого засновку, тому що в меншому засновку середній термін займає місце предиката. При такому підході ми відновимо силогізм за першою фігурою, бо вона відповідає аксіомі силогізму. Результатом відновлення буде повний силогізм, побудований, звичайно, за основними і спеціальними правилами силогізму. Отже, більший засновок судження загальне, а менший судження ствердне. При потребі додаємо “усі”, “будьякий” тощо до більшого засновку.
Здійснивши викладену тут процедуру відновлення, ми отримаємо з першої ентимеми такий силогізм:
Будьяке твердження (М+), що не відповідає істині, породжує недовіру (Р¯).
Брехня (S+) є твердженням, що не відповідає істині (М¯).
Брехня (S+) породжує недовіру (P¯).
Оскільки термін “брехня” беремо в повному обсязі в меншому засновку (про це свідчить висновок ентимеми), то менший засновок і висновок можна подавати без “будьякий”, “усі”.
Припустимо, що середній термін (“твердження, що не відповідає істині”) займає місце предиката в більшому засновку, тоді відновлений силогізм виявився б неправильним, бо в ньому було б порушене і правило щодо середнього терміна, і правило другої фігури, згідно з яким один із засновків має бути заперечним судженням.
У такий же спосіб відновлюємо й другу ентимему, що входить до складу епіхейреми:
Будьяке навмисне спотворення істини (М+) є брехнею (Р¯).
Лестощі (S+) є навмисним спотворенням істини (М¯).
Лестощі (S+) є брехнею (Р¯).
Щоб остаточно переконатися у правильності висновку епіхейреми, будуємо силогізм з висновків першого і другого відновлених силогізмів. Якщо висновок з цих засновків збігається з висновком епіхейреми, то висновок епіхейреми є правильним:
Брехня породжує недовіру.
Лестощі є брехнею.
Лестощі породжують недовіру.
Отже, відновлення епіхейреми дає можливість переконатися в достовірності тих суджень, які повязуються в ній за схемою простого категоричного силогізму.
Для того, щоб переконатися, що у відновленій епіхейремі має місце відношення логічного слідування, записуємо отриманий умовивід у термінах символічної логіки, де відновлена епіхейрема набере вигляду правила логічного слідування:
В → С, A → B, ├ A → C
E → A, Д → E, ├ Д → A
Д → С
Цьому правилу відповідає формула:
((В → С) /\ (А → В) /\ (Е → А) /\ (Д → Е)) ├ (Д → С)
Будьяке твердження, що не відповідає істині (В), породжує недовіру (С).
Брехня (А) є твердженням, що не відповідає істині (В).
Брехня (А) породжує недовіру (С).
Будьяке навмисне спотворення істини (Е) є брехнею (А).
Лестощі (Д) є навмисним спотворенням істини (Е).
Лестощі (Д) є брехнею (А).
Брехня (А) породжує недовіру (С).
Лестощі (Д) є брехнею (А).
Лестощі (Д) породжують недовіру (С).
Методи логіки предикатів, як і логіки висловлень, використовуються для аналізу правильності міркування. Міркування вважається правильним, якщо між його засновками і висновком наявне відношення логічного слідування, тобто якщо формула, що репрезентує дане міркування, є логічним законом або загальнозначущою.
Завдання. Визначте методом аналітичних таблиць логічну коректність силогізму: “Усі люди смертні, Сократ людина. Отже, Сократ є смертним”.
Щоб розвязати це завдання, треба спершу заформалізувати засновки і висновок. Засновок “Усі люди смертні” подаємо формулою: х (Р (х) → Q(х), де знак квантора загальності, Р знак предикатора “бути людиною”, Q знак предикатора “бути смертним”. Формулу меншого засновку “Сократ людина” записуємо як Р(а), де а предикатна стала, яка відповідає імені “Сократ”. І нарешті формулу висновку записуємо як Q(а). Зєднуємо засновки конюнкцією: х (Р(х) → Q(х)) /\ Р(a). Оскільки нам треба зясувати питання слідування між засновками і висновком, то до засновків приєднуємо за допомогою знаку випливання “╞” висновок Q(a): х (Р(х) → Q(х)) /\ Р(а) ╞ Q(а). Для цього мусимо визначити, чи є формула, яка репрезентує силогізм, х (Р(х) → Q(х)) /\ Р(а) → Q(а) логічним законом: ╞ х (Р(х) → Q(х)) /\ Р(а) → Q(a).
Розвязати це завдання можна також методом аналітичних таблиць.
Відповідь.
х (P(х) → Q(х)) /\ P(a) → Q(a).
F х (P(х) → Q(х) /\ P(a)) → Q(a)
T х (P(x) → Q(х) /\ P(a)), F Q(a)
T х (P(х) → Q(a), T P(a)
T S ха (P(х) → Q(х))
T P(a) → Q(a)
F P(a) | T Q(a)
1) {F P(a), T P(a), F Q(a)}
2) {T Q(a), T P(a), F Q(a)}
Отже, аналізована формула є логічним законом. Це означає, що дане міркування є правильним, бо між засновками і висновком наявне відношення логічного слідування.
5.1.4.ВИВОДИ ІЗ СКЛАДНИХ СУДЖЕНЬ
Необхідною умовою засвоєння теоретичного матеріалу за модулем “Умовивід “є набуття навичок логічного аналізу виводів із складних суджень. Нагадаємо, що більшість правильних умовиводів є похідними правилами числення висловлень, які забезпечують вивідність, а деякі з них виконують роль аксіом у різних аксіоматиках, предметом дослідження яких є складні висловлення, їх формальні побудови і т. ін. Суть не тільки в тому, щоб віднайти в тексті структурні елементи того чи іншого умовиводу, побудованого із складних суджень, відтворити його схему та визначити вид чи модус, його правильність чи неправильність за допомогою прийомів традиційної логіки, але й навчитись використовувати усі можливі методи і способи сучасної логіки для обґрунтування вивідності висновку із засновків.
Завдання. Знайдіть консеквенти й антецеденти в умовних засновках, здійсніть вивід, визначте його склад, запишіть схему у вигляді правила виводу і формули, які відповідають даному правилу. Доведіть табличним методом вивідність висновку із засновків.
“Якщо в результаті катастрофи загине все населення планети, то нікому буде розвивати культуру.
Якщо нікому буде розвивати культуру, то все доведеться починати спочатку. Отже, ...”.
Відповідь. В цьому умовиводі відсутній висновок. Два засновки є умовними судженнями, які включають антецедент і консеквент. Антецедент першого засновку “Якщо в результаті катастрофи загине все населення планети” позначимо символом “А”, а його консеквент “нікому буде розвивати культуру” символом “В”. Оскільки антецедент другого засновку є консеквентом першого засновку, то за ним зберігається символ “В”. Консеквент другого засновку “все доведеться починати спочатку” позначимо символом “С”. Оскільки між складниками обох засновків наявне транзитивне відношення за змістом, то це дає нам право вивести умовний висновок, антецедентом якого буде антецедент першого засновку, а консеквентом буде консеквент другого засновку: “Якщо в результаті катастрофи загине все населення планети, то все доведеться починати спочатку”. Отже:
Якщо в результаті катастрофи загине все населення планети (А), то нікому буде розвивати культуру (В).
Якщо нікому буде розвивати культуру (В), то все доведеться починати спочатку (С).
Якщо в результаті катастрофи загине все населення планети (А), то все доведеться починати спочатку (С).
Схема правила виводу матиме такий вигляд:
А → В, В → С
(А → В) /\ (В → С) ├ (А → С)
Вивідність висновку із засновків обґрунтуємо табличним методом:
Записуємо формулу, замінивши знак “├” (випливання) на → (імплікацію): (А → В) /\ (В → С) → (А → С).
Тепер складаємо таблицю істинності всієї формули відомим вам способом:
F1 F3 F2 F5 F4
(A→ В) /\ (В → С) → (А → С)
А |
В |
С |
F1 |
F2 |
F3 |
F4 |
F5 |
і |
і |
і |
і |
і |
і |
і |
і |
і |
і |
х |
і |
х |
х |
х |
і |
і |
х |
і |
х |
і |
х |
і |
і |
і |
х |
х |
х |
і |
х |
х |
і |
х |
і |
і |
і |
і |
і |
і |
і |
х |
і |
х |
і |
х |
х |
і |
і |
х |
х |
і |
і |
і |
і |
і |
і |
х |
х |
х |
і |
і |
і |
і |
і |
Оскільки формула за всіх наборів значень висловлень, що входять до її складу, набирає значення “і”, то це означає, що дана формула є тотожно істинною або логічно загальнозначущою, і висновок з необхідністю випливає із засновків, а сам умовивід є логічно правильним.
Розвязуючи завдання і виконуючи вправи на умовнокатегоричний умовивід, ми маємо памятати правила цього умовиводу. Основних правил умовнокатегоричного умовиводу два:
а) від ствердження основи до ствердження наслідку;
б) від заперечення наслідку до заперечення основи.
Ці правила випливають з природи умовного судження, яке відображає реально існуючі причиннонаслідкові звязки або логічні звязки. Ці правила забороняють робити висновок від заперечення основи до заперечення наслідку і від ствердження наслідку до ствердження основи.
Завдання. Перевірте правильність умовно-категоричного умовиводу, визначте його структуру, вид, звязок структурних елементів на основі відповідних правил та обґрунтуйте вивідність за допомогою аналітичних таблиць.
Перш ніж приступити до розвязання цього завдання, маєте скласти алгоритм або послідовність розвязкових дій чи процедур у вигляді припису в імперативній формі:
“Якщо до провідника прикласти різницю потенціалів, то навколо нього утвориться магнітне поле. Магнітне поле навколо провідника не утворилося. Отже, до провідника не прикладено різницю потенціалів”.
Зразок відповіді. Більший засновок цього умовиводу є умовне судження. Його логічною основою (антецедентом) є судження “Якщо до провідника прикласти різницю потенціалів”, логічним наслідком (консеквентом) є судження “то навколо нього утвориться магнітне поле”. Відтак зясовуємо, до якої частини умовного судження належить менший засновок до антецедента чи консеквентна. Виявляється, що менший засновок належить до консеквентна (наслідку). Далі встановлюємо, чи менший засновок стверджує наслідок, чи заперечує його. Зясовується, що в цьому умовиводі менший засновок заперечує наслідок, а у висновку заперечується основа (антецедент). Тоді робимо висновок, що умовивід побудований правильно.
Це заперечний модус (modus tollens) умовнокатегоричного умовиводу, в якому думка рухається від заперечення консеквентна до заперечення антецедента. Даний умовивід є похідним правилом числення висловлень, що має такий вигляд:
А → В, ~ В,
~ А
Або: Якщо Р є Q, то Р є S
Р не є S
Отже, Р не є Q
Його формула така: ((А → В) /\ ~В) → ~А.
Обґрунтувати вивідність у цьому умовиводі можна кількома методами: методом таблиць істинності або матриць істинності, методом аналітичних таблиць, доведенням вивідності в системі натурального виводу (СНВ).
Обґрунтування вивідності методом таблиць або матриць істинності:
F1 F2 F3
((А →В) /\ ~В) → ~А
А |
В |
~ В |
F1 |
F2 |
F3 |
і |
і |
х |
і |
х |
і |
і |
х |
і |
х |
х |
і |
х |
і |
х |
і |
х |
і |
х |
х |
і |
і |
і |
і |
Останній стовпчик таблиці свідчить, що дана формула є логічним законом. Отже, висновок у відповідному умовиводі з необхідністю випливає із засновків.
Обґрунтування вивідності методом
аналітичних таблиць:
╞ ((А → В) /\ ~В) → ~А
F ((А → В) /\ ~В) → ~А
Т ((А → В) /\ ~ В), F ~A
Т ((А → В), ТВ, ТА
2. {ТВ, FВ, ТА}
Обґрунтування вивідності висновку із засновків у системі
натурального виводу (СНВ) за кратною імплікацією
(пряме доведення):
((А → В) /\ ~В) → ~А
1. ((А → В) /\ ~В) припущення
2. А → В УК (1)
3. А припущення
4. В МР (2, 3)
5. ~В УК (1)
6. ~А МТ (2, 5)
Отже, дана формула є коректною, оскільки висновок з необхідністю випливає із засновків на основі правил вивідності.
Розділовокатегоричні умовиводи є дуже поширеною формою міркування. Їх структура і правила доситьтаки прості, а тому виведення висновку в розділовокатегоричному умовиводі та перевірка його правильності не становлять жодних труднощів.
Розвязування завдань чи виконання вправ на розділовокатегоричний умовивід обох модусів зводиться до двох правил, що стосуються розділового судження:
Завдання. Чи правильний цей розділово категоричний умовивід? Свої міркування обґрунтуйте.
“Судження бувають або загальними (Р1), або частковими (Р2), або одиничними (Р3). Це судження не є загальним (Р1), а також не є частковим (Р2). Отже, воно одиничне (Р3)”.
Зразок відповіді. Цей розділовокатегоричний умовивід правильний. Обсяги предикатів вичерпують обсяг субєкта більшого засновку і обсяги предикатів виключають один одного, а також наявна альтернатива. Думка в умовиводі рухається від заперечення одних членів альтернативи до ствердження у висновку інших. Отже, в даному випадку міркування здійснюється у формі заперечностверджувального модусу розділовокатегоричного умовиводу. Умовивід побудований за всіма правилами даного міркування. Його схема в традиційній логіці матиме такий вигляд:
S є або Р1, або Р2, або Р3
S не є ні Р1, ні Р2
Отже, S є Р3
Мовою сучасної символічної логіки його можна записати так:
А \/ В \/ С; ~ В /\ ~ С
А
Або у вигляді лінійної формули, тобто теореми:
(((А \/ В) \/ С)) /\ ~ В) /\ ~ С)) → А
Розвязуючи завдання на дилему, памятайте, що смисл дилеми полягає в необхідності вибору між двома альтернативами, трилеми між трьома рішеннями, полілеми більше ніж трьома розвязками.
Крім цього, треба мати на увазі й те, що головна умова правильності лематичних умовиводів полягає в тому, що альтернативи, які містять ці умовиводи, вичерпують усі можливі наслідки. Порушення цієї умови призводить до хибних висновків.
Завдання. Перевірте логічну коректність цього умовнорозділового (лематичного) умовиводу, визначте його вид і побудуйте його схему:
1)Якщо філософ визнає первинність матерії та вторинність свідомості, то він належить до табору матеріалістів.
Якщо він визнає первинною свідомість, дух, а матерію вторинною, то він належить до табору ідеалістів.
Але філософ може вважати первинною або матерію, або свідомість.
Зразок відповіді. Цей умовивід не є правильним, оскільки в ньому відсутній висновок “Отже, філософ може бути або матеріалістом, або ідеалістом”. Засновки побудовані за моделлю складної конструктивної дилеми одного із видів умовнорозділового міркування.
5.2. ІНДУКТИВНІ УМОВИВОДИ
Змістовним модулем передбачено набуття навичок виявлення в міркуваннях індуктивних умовиводів, побудову міркувань за рухом думки від часткового до загального.
Індукція (inductio) означає наведення. Отже, розглядаючи окремі факти, індукція наводить нашу думку на якість загальні висновки, узагальнення чогось. Для глибокого пізнання того чи іншого факту, для виявлення загальної закономірності, що управляє подібного роду фактами, ми і вдаємось до індуктивних умовиводів. Наслідком наших міркувань може бути відкриття певної загальної ознаки чи властивості або виявлення ідеї емпіричної залежності чи то закономірності явищ даного роду. Крім того, висновки, отримані індуктивним методом, мають, як правило, проблемний характер, і є основою формулювання і постановки наукових проблем. Звичайно, за умови, що досліджуване явище чи процес ще недостатньо висвітлені тією чи іншою галуззю знання.
Оволодіння індукцією як формою мислення прислужиться вам у вашій практичній діяльності як метод дослідження та навчання. До речі, учитель чи то викладач часто практикує подання нового матеріалу з окремих фактів (залежно від предмета, теми, завдання тощо), а відтак пропонує учням (студентам) зробити висновок стосовно даних фактів, накреслити вектори можливих досліджень даного явища і т.ін. У такому випадку індукція як метод сприяє виробленню спостережливості, вміння аналізувати нові явища, процеси навчає робити узагальнення.
Вправа. Дайте логічний аналіз умовиводу. Визначте його структуру, вид. Обґрунтуйте коректність висновку.
Залізо, мідь, цинк при нагріванні розширюються, а всі вони метали. Отже, всі метали при нагріванні розширюються.
Зразок відповіді. Аналіз структури цього умовиводу дає підстави вважати, що засновками цього умовиводу є висловлення:
Залізо при нагріванні розширюється.
Мідь при нагріванні розширюється.
Цинк при нагріванні розширюється.
Залізо, мідь, цинк метали.
Висновком даного умовиводу є судження:
“Усі метали при нагріванні розширюються”.
За структурою засновків і висновку ми можемо твердити, що міркування в цьому випадку здійснено у формі індукції:
S1 є
S2 є Р
S3 є Р
S1, S2, S3, належать множині S.
усі S є Р
Оскільки засновки не вичерпують увесь клас металів (залізо, мідь, цинк), то висновок “Усі метали при нагріванні розширюються” не може бути достовірним, а лише проблематичним, імовірним. У даному випадку має місце логічна помилка “поспішне узагальнення”. Коректнішим був би висновок “Мабуть, усі метали при нагріванні розширюються”.
Отже, це міркування є неповною індукцією, зокрема індукцією через аналіз та добір фактів, яка є модусом, різновидом наукової індукції. Чому різновидом наукової індукції? Тому, що зміст суджень, які є засновками, отримується в процесі проведення експерименту, тобто науковим методом.
Вправа. Чи можна отримати дані висновки за допомогою повної індукції?
1. Усі планети Сонячної системи обертаються навколо Сонця.
2. Усі квіти мають запах.
3. Кожна держава має свій національний (державний) прапор.
4. Деякі спортсмени курять.
5. Усі студенти вживають наркотики.
Зразок відповіді. Висновок за п. 1 можна отримати за повною індукцією, оскільки число планет Сонячної системи скінчене. За пп. 2,3 також можна отримати висновок за повною індукцією, бо кількість предметів даних класів зчислювана, а перелік у засновках (їх властивостей) не є доцільним. За п. 4 та п. 5 не можна отримати достовірного висновку за повною індукцією, так як засновки не є виключаючими судженнями.
Завдання та вправи на засвоєння індукції, засновані на методах встановлення причинних звязків, докладно висвітлено в підручниках та методичних посібниках з відповідними поясненнями та зразками відповідей.
5.3. АНАЛОГІЯ ЯК ТРАДУКТИВНИЙ УМОВИВІД
Аналогія як вид умовиводу використовується в пізнанні там, де інші форми умовиводу не можуть бути застосовані. Дедукцію ми використовуємо там, де маємо знання про загальні закономірності, індукцію там, де є група однорідних предметів або явищ, а от аналогію застосовуємо там, де нам доводиться вивчати (аналізувати) один якийсь предмет чи явище.
Щоб здійснити вивід за аналогією властивостей чи відношень, ми мусимо мати знання про інший предмет (модель), подібний до предмета, явища, які ми вивчаємо чи досліджуємо. Іншими словами, модель (зразок) обєкт, ознака якого переноситься на інший обєкт, називається субєктом. Модель має бути вивчена досконаліше, ніж той предмет чи явище, про який ми збираємося і маємо намір, чи прагнемо зробити висновок. Висновок за аналогією судження проблематичне, і тому вірогідність висновків за аналогією буде різною.
Виконуючи вправи чи розвязуючи завдання, маємо памятати про умови підвищення ступеня ймовірності висновків за аналогією, про можливі помилки при недотриманні цих умов, а також структуру міркувань за цією формою умовиводу.
Завдання. Визначте вид аналогії та обґрунтуйте її коректність.
За легендою сенатор Мененій Агріппа заспокоював плебеївбунтівників так: “Кожний з вас знає, що в організмі людини існують різні частини, причому кожна з них виконує свою певну роль: ноги переносять людину з одного місця в інше, голова думає, руки працюють. Держава це теж організм, в якому кожна частина призначена для виконання своєї певної ролі: патриції це мозок держави, плебеї це її руки. Що було б з людським організмом, якби окремі його частини збунтувались і відмовились виконувати призначену їм роль? Якби б руки людини відмовилися працювати, голова думати, тоді людина була б приречена на загибель. Те саме станеться, якщо її громадяни будуть відмовлятися виконувати те, що є їх природним обовязком” (16).
Зразок відповіді. У цьому випадку має місце аналогія відношень. Модель частини тіла, прототип соціальна група. Вихідним є відношення взаємозалежності. З моделі на прототип переноситься відношення підпорядкування (субординації). Але підстави для такого перенесення немає, бо ноги і руки не можуть виконувати функції голови, а плебеї (звичайно, за певних умов) можуть виконувати ті функції управління державою, котрі присвоїли собі патриції.
5.4. ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ:
5.5. підсумкові вправи та завдання
1. Які з цих умовиводів є безпосередні, а які опосередковані. Свої твердження обґрунтуйте:
А. Деякі студенти філологи. Отже, деякі філологи студенти.
Б. Усі люди смертні. Симоненко людина. Отже, Симоненко смертний.
В. Якщо даний умовивід категоричний силогізм, то засновки і висновок його є судженнями категоричними. Даний умовивід категоричний силогізм.
Г. Твердять, що судження “Деякі люди смертні” істинне. Отже, суперечне йому судження “Деякі люди не є смертними” хибне.
2. Здійсніть перетворення цих суджень.
А. Деякі спортсмени є майстрами спорту.
Б. Деякі міжнародні угоди не мають юридичної сили.
В. Будь-яка істина є конкретною.
Г. Жоден філософський напрям не може претендувати на істину в останній інстанції.
3. Чи правильно здійснено перетворення наступних суджень? Свої розумування обґрунтуйте:
А. Деякі армії є багатонаціональними. Отже, деякі армії не є багатонаціональними.
Б. Деякі студенти відмінники. Отже, деякі студенти не є не відмінники.
В. Усі метали провідники. Отже, жоден метал не є непровідником.
Г. Жодна загарбницька війна не є справедливою. Отже, всі загарбницькі війни несправедливі.
4. Оберніть такі судження:
А. Деякі люди медики.
Б. Деякі держави є федеративними.
В. Усі числа кратні чотирьом кратні двом.
Г. Наука не бере нічого на віру.
5. Чи правильно здійснено обернення суджень? Якщо ні, то свої міркування обґрунтуйте.
А. Деякі держави не є федеративними. Отже, деякі федерації держави.
Б. Деякі філософи позитивісти. Отже, деякі позитивісти філософи.
В. Жодна тварина не має здатності мислити. Отже, всі ті, хто не має здатності мислити, - тварини.
Г. Усі великі письменники титани думки. Отже, всі титани думки великі письменники.
6. Чи правильно здійснено протиставлення предикатові в таких прикладах:
А. Усі рослини живі організми. Отже, деякі живі організми не є не рослинами.
Б. Усі люди мають свідомість. Отже, всі ті, хто не має свідомості, не є людьми.
В. Деякі філософи здатні передбачати майбутнє. Отже, всі ті, хто здатен передбачати майбутнє, є філософом.
Г. Деякі малі держави не бояться погроз колишньої імперії. Отже, деякі з тих, що не боїться погроз колишньої імперії, - малі держави.
7. Чи правильно здійснено протиставлення субєктові в таких прикладах:
А. Деякі люди знають компютерну техніку. Отже, всі ті, хто не знає компютерної техніки, не є не людьми.
Б. Деякі рослини отруйні. Отже, деякі неотруйні не є рослинами.
В. Усі люди і лише люди мають мораль. Отже, жоден з тих, хто має мораль, не є не людиною.
Г. Жоден мораліст не є ідеальною людиною. Отже, жодна ідеальна людина не належить до моралістів.
8. Визначте засновки, висновок, а також терміни в таких силогізмах:
А. Усі студенти третього курсу філософсько-теологічного факультету вивчають класичні мови, а Шкрібляк студент третього курсу. Отже, Шкрібляк вивчає класичні мови.
Б. Мідь електропровідна, бо вона метал, а всі метали електропровідні.
В. Будь-який науковий експеримент є науковою роботою. Будьяке дослідження є також науковою роботою. Отже, будьяке дослідження є науковим експериментом.
Г. Інколи образне висловлення не є красномовним, бо жодне глупство не є красномовним, а глупство іноді виражається образно.
9. Визначте, чи правильні ці силогізми. Обґрунтуйте свою думку за допомогою правил термінів силогізму та колових схем відношення між ними:
А. Кожний правильний силогізм має три терміни.
Цей силогізм має три терміни.
Цей силогізм правильний.
Б. Усі метали електропровідники.
Деякі тіла не електропровідники.
Деякі тіла не є металами.
В. Усі метали електропровідники.
Мідь електропровідник.
Мідь метал.
Г. Україна розташована в центрі Європи.
Північна Буковина частина Україна.
Північна Буковина розташована в центрі Європи
Д. Усі люди наділені волею.
Усі ті, хто наділений волею, здатні діяти.
Принаймні деякі з тих, що наділені волею, здатні діяти.
Е. Деякі ромби квадрати.
Деякі прямокутники ромби.
Деякі прямокутники квадрати.
Є. Усі, хто називає нас хохлами, говорять істину.
Усі, хто називає нас лінивими, називає нас хохлами.
Усі, хто називає нас лінивими, говорить істину.
Ж. Усі ліки корисні.
Ця речовина не належить до ліків.
Ця речовина не є корисною.
З. Кожний правильний силогізм має три терміни.
Цей силогізм не є правильним.
Цей силогізм не має трьох термінів.
10. Які правила засновків порушено в цих силогізмах?
А. Будь який неправильний силогізм не побудований за правилами логіки.
Цей силогізм неправильний.
Цей силогізм побудований за правилами логіки.
Б. Жоден справжній учений не є авантюристом.
Комерсант не є вченим.
Комерсант є авантюристом.
В. Деякі ромби квадрати.
Деякі прямокутники квадрати.
Деякі прямокутники ромби.
Г. Жоден українець не є американцем.
Японці не є українцями.
Японці є американцями.
11. Визначте фігуру силогізму в таких умовиводах:
А. Жодна загарбницька війна не є справедливою.
Національно-визвольні війни є справедливими.
національно-визвольні війни не є загарбницькими.
Б. Усі, хто мав підпільну кличку, був воїном УПА.
Прокопець не мав підпільної клички.
Прокопець не був воїном УПА.
В. Деякі партії виражають інтереси мафіозних кланів.
Усі партії політичні організації.
Деякі політичні організації виражають інтереси мафіозних кланів.
Г. Усі квадрати паралелограми.
Усі паралелограми -- чотирикутники
Усі чотирикутники квадрати.
12. Які правила фігур порушено в цих силогізмах:
А. Усі планети Сонячної системи обертаються навколо Сонця.
Деякі планети Сонячної системи не мають атмосфери.
Деякі з них, що не мають атмосфери, не обертаються навколо Сонця.
Б. Метали тонуть у воді.
Натрій не тоне у воді.
Натрій не метал.
В. Зірки небесні тіла.
Усі зірки мають кулясту форму.
Деякі з тих, що мають кулясту форму, - небесні тіла.
Г. Люди мислячі істоти.
Мавпи не люди.
Мавпи не мислячі істоти.
Д. Планети небесні тіла.
Комети небесні тіла.
Комети планети.
13. Доведіть, що вказані нижче модуси не можна вважати правильними:
а). за першою фігурою АЕЕ, АОО, ІАІ, ОАО;
б). за другою фігурою ААА, АІІ, ІАІ, ОАО;
в). за третьою фігурою - ЕАЕ, АЕЕ, ААА.
14. Наведіть по одному прикладу на кожній правильний модус:
а). за першою фігурою ААА, ЕАЕ, АІІ, ЕІО;
б). за другою фігурою ЕАЕ, АЕЕ, ЕІО, АОО;
в). за третьою фігурою ОАО, ААІ, АІІ, ІАІ, ЕАО, ЕІО;
г). за четвертою фігурою ААІ, ЕАО, ІАІ, ЕАО, АЕЕ.
15. Здійсніть логічний аналіз ентимем, відновивши їх до повного силогізму, визначте його фігуру та модус:
А. Деякі форми пізнання раціональні, а всі раціональні форми пізнання дають змогу розкривати суть речей.
Б. Усі люди мають дотримуватись норм моралі, а ви людина.
В. Цей термін середній, бо він повторюється в засновках і зєднує їх між собою у висновку.
Г. Ця книга не цікава, бо її рідко запитують у бібліотеці.
Д. Кравчук фанатик, бо він вірить у те, що його погляди на сто відсотків істинні, а погляди людей інших партій видаються йому на сто відсотків хибними.
Е. Будь-які прояви радикалізму в політиці суперечать принципу толерантності, отже, вони є антигуманними.
Є. Філософські погляди Карла Поппера оригінальні, бо вони містять нові ідеї.
16. Проаналізуйте ентимеми: відновіть їх до повного силогізму, визначте фігуру, модус і характер логічної помилки, якщо вона має місце:
А. Усі люди мають свідомість, а собаки не люди.
Б. Цей студент не є відмінником, бо він має задовільні оцінки з деяких навчальних дисциплін.
В. Ця суша острів, бо вона омивається з усіх боків водою
17. Чи правильні ці полісилогізми? Відповідь обґрунтуйте:
А. Усі паралелограми чотирикутники.
Усі прямокутники чотирикутники.
Усі прямокутники паралелограми.
Усі квадрати паралелограми.
Жоден трикутник не є квадратом.
Жоден трикутник не є паралелограмом.
Б. Усі прямокутники паралелограми.
Усі квадрати прямокутники.
Усі квадрати паралелограми.
Усі паралелограми чотирикутники.
Усі квадрати паралелограми.
Усі квадрати чотирикутники.
Усі чотирикутники геометричні фігури.
Усі квадрати чотирикутники.
Усі квадрати геометричні фігури.
В. Усі паралелограми чотирикутники.
Жодна трапеція не є паралелограмом.
Жодна трапеція не є чотирикутником.
Усі ромби чотирикутники.
Жоден ромб не є трапецією.
Г. 1. Усі прямокутники паралелограми.
Усі ромби паралелограми.
Усі ромби прямокутники.
2. Усі прямокутники чотирикутники.
Усі ромби прямокутники.
Усі ромби чотирикутники.
Д. Усі паралелограми чотирикутники.
Жодна трапеція не є паралелограмом.
Жодна трапеція не є чотирикутником.
Усі квадрати чотирикутники.
Жоден квадрат не є трапецією.
18. Відновіть такі сорити:
А. Усі раціональні числа дійсні числа.
Усі натуральні числа раціональні числа.
Усі непарні числа натуральні числа.
Три непарне число.
Три дійсне число.
Б. Усі ромби паралелограми.
Усі ромби мають попарно паралельні сторони.
Усі квадрати ромби.
Квадрати мають взаємно перпендикулярні
діагоналі, які діляться в точці їх перетину.
Усі квадрати паралелограми.
В. Усі квадрати прямокутники.
Усі прямокутники паралелограми.
Усі паралелограми трапеції.
Усі квадрати трапеції.
Г. Усі паралелограми трапеції.
Усі прямокутники паралелограми.
Усі квадрати прямокутники.
Усі квадрати трапеції.
Д. Усі вожді смертні.
Усі, хто керує державою, - вожді.
Усі президенти керують державою.
Усі президенти смертні.
Е. Усі люди міркують.
Усі, хто має, поняття, - люди.
Усі вчені мають поняття.
Усі вчені міркують.
19. Відновіть такі епіхейреми до повних силогізмів:
А. Усі ромби чотирикутники, бо вони паралелограми.
Усі квадрати ромби, бо вони рівносторонні чотирикутники.
Усі квадрати чотирикутники.
Б. Будь-яка національна мова є найвищою духовною цінністю народу, отже й українська мова є найвищою духовною цінністю народу.
Будьяка найвища цінність народу має захищатися Законом.
Українська мова має захищатися Законом.
В. Усі ромби чотирикутники, бо всі паралелограми чотирикутники.
Усі квадрати ромби, бо всі рівносторонні чотирикутники ромби.
Усі квадрати ромби.
20.Які з цих розділовокатегоричних умовиводів є правильними, а які неправильними? Свої міркування обґрунтуйте:
А. Право або дане природою, або ґрунтується на домовленості між людьми. Але право не дане природою; Отже, воно ґрунтується на домовленості (Ж. Ж. Руссо).
Б. Цей прикметник має основу або на твердий, або на мякий приголосний звук. У даному випадку основа закінчується на твердий приголосний. Отже, цей прикметник не має основи на мякий приголосний.
В. Логічні помилки бувають або навмисними (софізми), або ненавмисними (паралогізми). Відомо, що ця людина не могла порушити вимог (приписів) логіки, тому її помилка є паралогізмом.
Г. Будь-яке поняття є конкретним або абстрактним. Це поняття конкретне. Отже, це поняття не абстрактне.
21. Які з цих умовнокатегоричних умовиводів є правильними, а які неправильними? Свої міркування обґрунтуйте:
А. Якщо держава стимулює відмову своїх громадян від української мови, то непатріотично налаштовані її громадяни відмовляються від української мови.
Ця держава стимулює відмову своїх громадян від української мови.
Непатріотично налаштовані громадяни цієї держави відмовляються від української мови.
Б. Якщо студент не прочитав цієї книги, то він не набув необхідних знань.
Студент прочитав цю книгу.
Студент набув необхідних знань.
В. Якщо до провідника прикласти різницю потенціалів, то навколо нього виникає магнітне поле.
Навколо провідника виникло магнітне поле.
До провідника прикладено різницю потенціалів.
Г. Той, хто не вивчив логіки, той не розуміє суті логічного аналізу.
Дехто розуміє суть логічного аналізу.
Хтось вивчав логіку.
Д. Якщо в людини підвищена температура, то вона потребує допомоги лікаря.
У цієї людини температура не підвищена.
Ця людина не потребує допомоги лікаря.
22. Перевірте логічну коректність цих умовнорозділових умовиводів, визначте їх вид, побудуйте схему:
А. Якщо правові теорії прогресивні, то вони сприяють розвиткові суспільства; якщо ж правові теорії реакційні, то вони гальмують розвиток суспільства. Але правові теорії можуть бути або прогресивними, або реакційними. Отже, правові теорії або сприяють розвиткові суспільства, або гальмують розвиток суспільства.
Б. Якщо цьому хворому зробити операцію на очі (А), то він втратить зір назавжди (В). Якщо цю операцію не робити (~ А), то він все одно втратить зір назавжди (В). Але йому операцію зроблять (А), або не зроблять (~ А). Отже, хворий у будьякому випадку втратить зір назавжди (В).
В. Якщо я скажу, що ми виграємо двобій з адміністрацією, мене вважатимуть хвальком. Якщо я стану твердити, що ми програли двобій з адміністрацією, то мене охрестять песимістом. Але я мушу сказати одне з двох: або ми переможемо, або програємо.
Г. Якщо голова сільради П. діяв на власний розсуд, то він непорядна людина. Якщо ж він діяв не на власний розсуд, то він маріонетка в руках іншого. Але голова сільради П діяв на власний розсуд, або не на власний розсуд.
Д. Існуюче повинно бути або єдиним, або множинним, але воно, поперше, не може бути єдиним, бо, як будьяка величина, воно є подільним; а єдине, ставши множинним, перестає бути єдиним; подруге, існуюче не може бути множинним. А якщо немає єдиного (це щойно доведено), то немає й множинного; адже множинне - це поєднання єдиних. Отже, нічого не існує (Горгій).
23.Визначте вид цих індуктивних умовиводів:
А. Перша фігура силогізму має спеціальні правила.
Друга фігура силогізму має спеціальні правила.
Третя фігура силогізму має спеціальні правила.
Четверта фігура силогізму має спеціальні правила.
Отже, всі фігури силогізму мають свої спеціальні правила.
Б. Сонце має кулясту форму. Земля має кулясту форму. Місяць має кулясту форму. Отже, всі небесні тіла мають кулясту форму.
24.У наведеному прикладі:
А. відшукайте висновок; б) який метод встановлення причинних звязків тут застосовано; в) встановіть, чи висновок є достовірним, чи ні.
Шукаючи вівцю, Магнус відчував, що його чоботи прилипають до голого каміння. Торкнувся руками Магнус каменя останній виявився сухим і до рук не липнув. Роззувся пастух. Торкнувся шкіряною частиною чобота до каменя не прилипає, торкнувся тим місцем чобота, де були цвяхи, - прилипає, торкнувся тим кінцем палиці, який був оббитий залізом, - прилипає. У такий спосіб Магнус відкрив магніт. Запитання: а) порівнюючи які предмети, Магнус виявив їх єдину відмінність? б) як Магнус довідався, що ці камені називаються магнітом?
25. Визначте структуру такої аналогії:
Той, хто захоплюється практикою без науки, нагадує керманича, що приходить на корабель без руля і компаса; в нього ніколи не має впевненості в тому, куди він пливе (Леонардо да Вінчі).
5.6. ТЕСТ
А. Так.
Б. Ні.
А. Форма мислення (міркування), в якій з одного або кількох суджень-засновків виводить судження-висновок, що містить у собі нове знання.
Б. Система впорядкованих суджень.
В. Форма і спосіб розсудку.
А. Так.
Б. Ні.
А. Звязки і відношення речей і явищ обєктивної реальності.
Б. Відношення між думками.
В. Звязки між внутрішніми елементами форм мислення.
А. Від загального до часткового, від часткового до загального, від часткового до часткового.
Б. Від загального до одиничного, від одиничного до одиничного, від відомого до невідомого.
В. Від аналітичного до синтетичного, від парадигмального до невідомого, від визнаного до можливого.
А. Відношення між судженнями в структурі міркування, при якому з А випливає В тоді і тільки тоді, коли В істинне кожен раз, якщо істинне А.
Б. Звязок між думками, який залежить від самих думок.
В. Логічна залежність між судженнями, що входять до складу певної системи суджень.
А. Засновки і висновки.
Б. Вихідні й похідні судження.
В. Головні й вивідні висловлення.
А. Судження, з яких виводиться висновок.
Б. Гіпотези, з яких виводяться наслідки.
В. Закони, з яких виводять теореми.
А. Судження, яке випливає із засновків.
Б. Нова думка.
В. Словосполучення, що виражає закінчену думку.
10. Вивід це:
А. Послідовність суджень, звязаних відношенням логічного слідування.
Б. Фрагмент раціонально-розсудкової діяльності.
В. Набір суджень, що потребують впорядкування.
11.За характером логічного слідування між засновками і висновком усі умовиводи поділяють на:
А. Необхідні (демонстративні) й правдоподібні (ймовірні).
Б. Демонстративні й недемонстративні.
В. Правдоподібні й неправдоподібні.
12.Необхідний(дедуктивний) умовивід це міркування, в якому:
А. З істинних засновків, якщо наявне відношення логічного слідування між засновками і висновком, виводиться істинний висновок .
Б. Із засновків випливає висновок.
В. Висновок виводиться із засновків за будь-яких умов.
13. До дедуктивних умовиводів належать:
А. Виводи логіки висловлень і виводи логіки предикатів.
Б. Усі умовиводи, в основі яких лежать звязки між висловленнями.
В. Умовиводи, в основі яких лежать відношення між термінами суджень.
14. Виводи логіки висловлень поділяються на:
А. Прямі й непрямі.
Б. Прямі й опосередковані.
В. Прямі й безпосередні
15.Прямі виводи це міркування, в основі яких лежать правила прямих виводів.
А. Так.
Б. Ні.
16. Непрямі виводи це міркування, в основі яких лежать правила непрямих виводів.
А. Так.
Б. Ні.
17. Прямі виводи поділяються на:
А. Суто умовні, умовно-категоричні, розділово-категоричні, умовно-розділові.
Б. Умовні, розділові, лематичні.
В. Суто умовні, суто розділові, суто лематичні.
18. Суто умовним називається умовивід, в якому засновки і висновок судження умовні.
А. Так.
Б. Ні.
19. Умовно-категоричним називається умовивід, в якому один із засновків судження умовне, інший засновок - судження категоричне.
А. Так.
Б. Ні.
20. Умовно-розділовий умовивід це міркування, в якому один із засновків судження умовне, а інший засновок судження розділове.
А. Так.
Б. Ні
21. Розділово-категоричний умовивід це міркування, в якому один із засновків судження розділове, а інший засновок судження категоричне.
А. Так.
Б. Ні.
22. Правильними формами міркування за схемою умовно-категоричного умовиводу є:
А. Modus ponens i modus tollens.
Б. Modus ponendo tollens i modus tollendo ponens.
B. Modus tolendo i modus ponendo.
23. Правильними формами міркування за схемою розділово-категоричного умовиводу є:
А. Modus ponendo tollens і modus tolendo ponens.
Б. Modus ponens і modus tollens.
В. Modus ponendo і modus tollendo.
24. Коректними формами міркування за схемами умовно-розділового умовиводу є:
А. Проста і складна конструктивна й деструктивна дилеми.
Б. Конструктивна дилема.
В. Деструктивна дилема.
25. Основними видами непрямих виводів є:
А. Введення імплікації, зведення „до абсурду”, „усунення заперечення”, міркування „ від супротивного(протилежного)”; „міркування за випадками”.
Б. Міркування за певними правилами.
В. Міркування за правилами непрямих виводів.
26. До виводів логіки предикатів належать:
А. Безпосередні та опосередковані умовиводи.
Б. Безпосередні умовиводи.
В. Опосередковані умовиводи.
27. Безпосередніми умовиводами є:
А. Перетворення, обернення, протиставлення предикатові, виводи за „логічним квадратом”.
Б. Перетворення, протиставлення субєктові, протиставлення предикатові.
В. Перетворення, обернення, виводи за „логічним квадратом”.
28. Перетворення це безпосередній умовивід, в якому:
А. Предикат висновку суперечить предикату засновку.
Б. Предикат висновку тотожний предикату засновку.
В. Предикат висновку відмінний від предиката засновку.
29. Обернення це вид безпосереднього умовиводу, в якому:
А. Субєкт засновку стає предикатом висновку, а предикат засновку стає субєктом висновку.
Б. Субєкт засновку стає субєктом висновку, а предикат засновку стає предикатом висновку.
В. Субєкт і предикат засновку переходить у висновок.
30. Протиставлення предикатові це вид безпосереднього умовиводу, в якому:
А. Висновок є результатом одночасного перетворення і обернення.
Б. Висновок є результатом перетворення.
В. Висновок є результатом обернення.
31. Умовиводи за “логічним квадратом” поділяються на певні види за характером логічного відношення між категоричними судженнями.
А. Так.
Б. Ні.
32. До опосередкованих умовиводів належать:
А. Простий категоричний силогізм, фігури і модуси силогізму, складні, скорочені та складноскорочені силогізми.
Б. Фігури і модуси простого категоричного силогізму.
В. Складні, складноскорочені, скорочені силогізми.
33.Простий категоричний силогізм - це:
А. Вид опосередкованого умовиводу, в якому з двох категоричних суджень-засновків на підставі визначення звязку між крайніми термінами через середній термін опосередковують нове судження-висновок.
Б. Модус опосередкованого умовиводу, в якому засновок і висновок судження категоричне.
В. Вид дедуктивного умовиводу, в якому з двох або більше засновків виводять висновок, який є категоричним судженням.
34.Внутрішня логічна структура простого категоричного силогізму включає:
А. Більший, середній та менший терміни.
Б. Крайні терміни силогізму.
В. Середній термін силогізму.
35. До загальних правил простого категоричного силогізму належать:
А. Правила термінів і засновків силогізму.
Б. Правила засновків силогізму.
В. Правила термінів силогізму.
36. Порушення правил термінів силогізму призводить до помилок:
А. “Почетверіння термінів”; безпідставне “розширення висновку”, “розширення меншого терміна”, “розширення більшого терміна”.
Б. “Розширення середнього терміна”, “розширення меншого засновку”.
В. “Розширення середнього терміна”, ”розширення більшого засновку”.
37. Чи можливо вивести висновок із двох заперечених засновків силогізму?
А. Так.
Б. Ні.
38. Якщо один із засновків силогізму судження часткове, то й висновок
А. Судження часткове.
Б. Судження просте.
В. Судження категоричне.
39. Якщо один із засновків силогізму судження заперечне, то й висновок
А. Судження заперечне.
Б. Судження часткове.
В. Судження загальне.
40. Якщо засновки силогізму судження часткові, то висновок
А. Неможливий.
Б. Судження часткове.
В. Судження загальне.
41. Якщо середній термін в силогізмі займає місце субєкта в більшому засновку і місце предиката в меншому засновку, то міркування здійснюють за:
А. Першою фігурою.
Б. Другою фігурою.
В. Третьою фігурою.
Г. Четвертою фігурою.
42. За другою фігурою міркують за умови, тоді коли:
А. Середній термін в силогізмі займає місце предиката в більшому й меншому засновках.
Б. Середній термін займає місце предиката в меншому засновку.
В. Середній термін займає місце предиката в більшому засновку.
43. Міркування здійснюють за третьою фігурою тоді, коли середній термін займає місце:
А. Субєкта в більшому й меншому засновках.
Б. Субєкта і предиката в більшому й меншому засновках.
В. Субєкта в меншому засновку і предиката в більшому засновках.
44. За схемою четвертої фігури міркують тоді, коли середній термін займає місце:
А. Предиката в більшому й субєкта в меншому засновках.
Б. Субєкта в більшому і меншому засновках.
В. Предиката в більшому і меншому засновках.
45. Якщо більший засновок судження загальне, а менший засновок судження ствердне, то міркування здійснюється за:
А. Першою фігурою силогізму.
Б. Другою фігурою силогізму.
В. Третьою фігурою силогізму.
Г. Четвертою фігурою силогізму.
46. Якщо більший засновок судження загальне, а менший засновок судження заперечне, то за якою фігурою силогізму міркують?
А. Першою.
Б. Другою.
В. Третьою.
Г.Четвертю.
47. За якою фігурою силогізму міркують, якщо менший засновок судження ствердне?
А. Першою.
Б. Другою.
В. Третьою.
Г. Четвертою.
48. За якою фігурою силогізму міркують: якщо більший засновок судження ствердне, а менший засновок судження загальне; якщо один із засновків судження заперечне, а більший засновок судження загальне; якщо менший засновок судження ствердне, а висновок судження часткове?
А. Першою.
Б. Другою.
В. Третьою.
Г. Четвертою.
49. Правильними модусами першої фігури силогізму є:
А. Barbara, Celarent, Darii, Ferio.
Б. Barbara, Celarent, Darii, Festiono.
B. Barbara, Celarent, Darii, Felapton.
Г. Barbara, Celarent, Darii, Fresison.
50.Правильними модусами другої фігури силогізму є:
A. Cesare, Camestres, Festino, Baroco.
Б. Cesare, Camestres, Festino, Bacardo.
B. Cesare, Camestres, Festino, Bramantip.
Г. Cesare, Camestres, Festino, Barbara.
51. Правильними модусами третьої фігури силогізму є:
А. Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison.
Б. Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferio.
В. Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Fresison.
Г. Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Fesapo.
52. Правильними модусами четвертої фігури силогізму є:
А. Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo,Fresison.
Б. Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Ferio.
В. Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Ferison.
Г. Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo,Felapton.
53. Простий категоричний силогізм, в якому пропущена якась одна з його частин, називається:
А. Ентимемою.
Б. Епістемою.
В. Епіхейремою.
54. Вид якого полісилогізму репрезентує подана схема міркування?
Усі В суть С
Усі А суть В
---------------
Усі А суть С
Усі Д суть А
----------------
Усі Д суть С
Усі Е суть Д
Усі Е суть С
А. Прогресивний.
Б. Регресивний.
55. Якого виду полісилогізм репрезентує подана схема міркувань?
Усі Е суть В
Усі В суть А
---------------
Усі Е суть А
Усі А суть Д
----------------
Усі Е суть Д
Усі Д суть С
Усі Е суть С
А. Прогресивний.
Б. Регресивний.
56. Який вид сориту репрезентує наступна схема міркування:
Усі В суть С
Усі А суть В
Усі Д суть А
Усі Е суть Д
Усі Е суть С
А. Прогресивний.
Б. Регресивний.
57. Який вид сориту репрезентує така схема міркування:
Усі Е суть Д
Усі Д суть А
Усі А суть В
Усі В суть С
Усі Е суть С
А. Прогресивний.
Б. регресивний.
58. Чи репрезентує подана нижче схема епіхейрему?
М є Р, бо М є N
S є М, бо S є О
S є Р
59. Правдоподібне міркування - це:
А. Умовивід, в якому логічне відношення між засновками і висновком має ймовірний характер.
Б. Умовивід, в якому ступінь достовірності висновку обмежено засновками.
В. Умовивід, в якому думка рахується від менш вірогідного до більш вірогідного.
60. Основними видами праведноподібних умовиводів є:
А. Неповна індукція, аналогія.
Б. Популярна індукція, аналогія відношень.
В. Наукова індукція, аналогія властивостей.
61. Видами неповної індукції є:
А. Популярна та наукова індукція.
Б. Звичайна та наукова індукція.
62. Основними методами встановлення причинних звязків є:
А. Метод єдиної подібності, метод різниці, метод супровідних змін, метод залишків.
Б. Метод повноти, метод статистичних узагальнень, метод остач.
В. Метод несуперечливості, метод супровідних змін, метод порівняння.
63. Поширеними видами міркування за аналогією є:
А. Аналогія властивостей, аналогія відношень.
Б. Повна аналогія і неповна аналогія.
В. Наукова аналогія і практична аналогія.
64. Міркування за аналогією - це:
А. Умовивід, в якому на підставі подібностей предметів і явищ в одних ознаках, отримують висновок про схожість їх в інших ознаках.
Б. Умовивід, який не є індуктивним.
В. Умовивід, в якому отримують висновок за аналогією.
65. Чи можливо, міркуючи за аналогією властивостей та за аналогією відношень отримати достовірне знання?
А. Так.
Б. Ні.
6. Логічні основи аргументації
Змістовий модуль „Логічні основи аргументації” підсумовує набуті вами знання про міркування, форми, в яких воно постає, та закони і правила, яким підпорядковується. Готуючись до практичних занять, не забувайте, що логічною основою аргументації у вузькому розумінні є доведення і спростування. Останні постають, як правило, у формі умовиводів чи їх систем. В умовиводі думка висновується (або виводиться) залежно від форми та способу міркування. Форму, або логічну структуру умовиводу становить певний спосіб сполучення окремих думок між собою (суджень чи висловлень). Умовивід, таким чином, є не тільки формою міркування, а й логічним процесом, правилом оперування судженнями або висловленнями. Зверніть також увагу на те, що доведення і спростування є не тільки міркуванням у формі умовиводів, а й способом (прямим чи непрямим) здобуття нового для вас знання. Рівень і якість засвоєння теоретичного матеріалу залежить від того, наскільки ефективним виявиться його практичне застосування.
Виконуючи вправи і завдання ви маєте засвоїти не тільки усталені форми і способи доведення чи спростування, але й навчитись самостійно виявляти, аналізувати ці логічні операції та вибудовувати їх, залежно від предмета дослідження, етапу пізнавальної діяльності та рівня розвитку тієї чи іншої галузі знання в межах усталених парадигм.
Модуль містить дидактичні настанови стосовно доведення і спростування засобами традиційної та сучасної логіки, а також припис для самооцінки рівня засвоєння теоретичного матеріалу та самоконтролю ступеня набуття практичних умінь і навичок у розвязанні логічних завдань на основі знання відповідних логічних теорій традиційної та сучасної.
Вам уже відомо, що одним зі способів інтелектуальної діяльності є аргументація. Розсудкова діяльність передбачає потребу не тільки довести, обґрунтувати ту чи іншу думку, а й у разі потреби спростувати її. Будь-яка розсудкова діяльність, зокрема наукова, неможлива без цих логічних операцій чи дій. У науці не довіряють очевидності, а прагнуть у той чи той спосіб обґрунтувати істинність або спростувати хибність тих чи тих тверджень. Доведення і спростування взаємоповязані між собою на шляху утвердження істини. Іншими словами, це специфічні логічні дії, які своєрідно репрезентують дискурс як форму маніфестації процесу становлення істини через експлікацію легітимності чи нелегітимності екстеріоризованих на вербально-символічному рівні інтеріоризованих звязків і відношень між думками у структурі імпліцитних міркувань, що відображають онтологічні звязки і відношення предметів і явищ обєктивної реальності.
Памятайте, що доведення і спростування постають з практичних потреб і забезпечують цю практику своїми формами і способами. Крім того, доведення і спростування розглядаються не тільки в контексті теорії аргументації традиційної логіки, а й сучасної, зокрема логіки висловлень і логіки предикатів, де панівним методом є метод формалізації. Тому частина завдань і вправ подаватиметься у формалізованому вигляді.
6.1. ДОВЕДЕННЯ І СПРОСТУВАННЯ ЗАСОБАМИ
ТРАДИЦІЙНОЇ ЛОГІКИ
6.1.1. ДОВЕДЕННЯ ТА ЙОГО ВИДИ
Приступаючи до зясування логічної природи дедуктивної форми доведення, згадайте дефініцію доведення: доведення це логічна операція обґрунтування істинності певного твердження (судження або висловлення) за допомогою інших, повязаних з ним істинних тверджень. Доведення містить три елементи: тезу (T), аргументи (a1,a2,…,an) і демонстрацію (d) у вигляді схеми чи моделі умовиводу. Теза твердження, що потребує доведення. Аргументи завжди істинні твердження, якими обґрунтовується теза. Демонстрація спосіб логічного звязку між тезою і аргументами. Доведення можливе у формі дедуктивних умовиводів (за логічними схемами або моделями міркувань логіки висловлень або логіки предикатів).
Думка в дедуктивному умовиводі рухається від загального до часткового. Засновки цих умовиводів виконують функцію аргументів (a1,…,an), а висновок роль тези (T). Демонстрацією у цьому випадку є спосіб логічного звязку між тезою й аргументами. Цей звязок демонструє правило виводу. Якщо теза виводиться із аргументів за відповідним правилом слідування, що лежить в основі правильно побудованого дедуктивного умовиводу, то вивідність тези з аргументів є коректною; якщо ж порушено правило виводу, то теза не є вивідною з даних аргументів, а отже, не є доведеною чи обґрунтованою.
Доведення у формі дедуктивних умовиводів моделюється за схемами дедуктивних умовиводів, де засновки є аргументами, а висновок тезою. Наприклад, якщо доведення здійснюємо за схемою умовно-категоричного умовиводу, зокрема, його ствердним модусом, то імплікативне судження А → В та судження А, яке співпадає з його антецедентом (А), є аргументами: (a1) А → В і (a2) А, а висновок (консеквент імплікації) (В) тезою (T) В. Отже, моделі прямих і непрямих виводів логіки висловлень є формами дедуктивного доведення:
(a1) А → В (a2) А (T) В |
(a1) А \/ В (a2) ~А _ (T) В |
(a1) А → В (a2) В → С (T) А → С |
(a1) А → В (a2)С → В (a3) А \/ С (T) В |
(a1) А → В (a2) С → В (a3) А \/ С (T) В |
(a1) ~А → В (a2)~А→~В (T) А |
Аналогічним чином можна подати й інші схеми виводів логіки висловлень.
Дедуктивне доведення постає також у формі виводів логіки предикатів, якими є простий категоричний силогізм, його фігури, модуси та інші форми складних силогізмів. Тут так само: засновки виконують роль аргументів (a1,…,an), а висновок роль тези (T):
(a1) M P (a2) S M (T) S P |
(a1) M P (a2) S M (T) S P |
(a1) Усі В суть С
(a2) Усі А суть В
(a3) Усі А суть C
(a4) УсіD суть A
(a5) Усі D суть C
(a6) Усі E суть D
Якщо простий категоричний силогізм та його різновиди є правилами логічного слідування, то доведення у формі силогізму буде коректним, а теза-висновок, що виводиться з аргументів-засновків, буде доведеною або обґрунтованою.
Треба памятати: будь-яке доведення це і форма, і спосіб обґрунтування думок, які можуть бути репрезентовані не тільки різними типами суджень, виражених адекватними їх змісту реченнями, а й системами суджень. Судження-аргументи можуть входити до складу доведення у вигляді певних фрагментів знання, тобто системи речень. Тоді з двох або більше фрагментів знання як системи речень, що містять інформацію про закономірне, доконечне, виводять судження-висновок, яке і буде доводжуваною тезою. Не забувайте, що йдеться про логічні дії, що лежать в основі аргументації.
Доведення, зокрема в дедуктивній формі, - це логічна операція, в процесі якої із засновків-аргументів на підставі відношення логічного слідування (А╞ В) виводиться висновок-теза. Це не означає, що дедуктивна форма доведення є самодостатньою і виключає інші форми доведення індуктивну чи за аналогією. Останні не так часто використовують як доведення, бо теза-висновок постає у формі проблематичного судження. Схема індуктивної форми доведення набуває такого вигляду: a1,a2,…,an ╞ T. Іноді доведення подається у формі аналогії:
(a1) N має ознаки a, b, c, d
(a2) M має ознаки a, b, c
(Т) Можливо, М має ознаку d
Часто доведення подається у формі певної моделі дискурсу. Тоді структура тексту доведення може містити різні типи умовиводів: дедуктивні, індуктивні, за аналогією. Тому в процесі аналізу доведення треба проявити неабиякі інтелектуальні зусилля, щоб виявити і виокремити його структурні елементи та звязки між ними.
Щоб безпомилково виявляти форму дедуктивного доведення, треба знати змістовий модуль „Умовивід”. На основі цих знань ви зможете структурувати елементи доведення, зясовувати звязок між ними та репрезентувати його схематично і за схемою визначати форму умовиводу.
Задля цього треба виконувати вправи і розвязувати завдання. Розглянемо один із можливих варіантів.
1. Завдання. У формі якого умовиводу побудовано це доведення:
Якщо українці стануть справжніми громадянами своєї країни, то антинародний політичний режим в Україні буде замінено на справді демократичний. Є надія, свідченням цього є „помаранчева революція”, що так станеться. Українці стануть справжніми громадянами своєї країни. Отже, антинародний політичний режим в Україні буде замінено на справді демократичний.
Зразок відповіді. Знаходження форми умовиводу, в якій подано доведення, починаємо з аналізу структури міркування, тобто виявляємо види суджень, що входять до складу міркування, і зясовуємо логічний звязок між ними. Формальною ознакою тези є судження, яке слідує за словом „отже”: „Антинародний політичний режим в Україні буде замінено на справді демократичний”. Позначаємо його символом консеквентна, оскільки це твердження входить до складу умовного судження, з якого починається міркування. Першу частину умовного судження („Якщо українці стануть справжніми громадянами своєї країни”) символізуємо літерою „А”, а другу частину судження, після слова „то” („антинародний політичний режим в Україні буде замінено на справді демократичний”) позначаємо літерою „В” і подаємо у вигляді матеріальної імплікації АВ (Якщо А, то В). Із змісту міркування випливає, що друге речення є судженням, яке за змістом співпадає з антецедентом імплікації, тому позначаємо його символом „А”. У такий спосіб ми переконуємось у тому, що думка в даному міркуванні рухається від ствердження антецедента у засновку до ствердження консеквента у висновку. Отже, висновок-теза (T) В випливає із двох аргументів-засновків: (a1) АВ та (a2) А.
Демонструючи звязок тези з аргументами, ми отримуємо правильний модус умовно-категоричного умовиводу (modus ponens):
(a1) А→В; (a2) А , який є правилом виводу.
(T) В
Тільки тепер ми можемо з певністю твердити, що теза (В) випливає з аргументів А®В та А. Сказане є доказом того, що це доведення здійснене у формі дедуктивного умовиводу, оскільки modus ponens є дедуктивною формою міркування за своєю структурою.
2. Завдання. Виявіть структурні елементи доведення і запишіть звязок тези з аргументами у символічній формі відповідною схемою умовиводу.
Слово „мудрий” є прикметником, бо вказує на ознаку предмета і відповідає на питання „який?”, а усі ті, хто вивчав українську мову, знають про те, що слова, які вказують на ознаку предмета і відповідають на питання „який?”, „яка?”, „яке?” є прикметниками.
Відповідь. Щоб виявити структурні елементи цього доведення, треба, насамперед, зясувати: яка думка в цьому міркуванні обґрунтовується, а які думки можуть слугувати за аргументи для доказу її істинності. Спершу виявляємо судження, яке є тезою. Із контексту цього міркування чітко вирізняється думка про те, що „слово „мудрий” є прикметником”. Отже, ця думка є тезою. Аргументами є наступні судження: судження „Це слово (тобто „мудрий”) вказує на ознаку предмета і відповідає на питання „який?” та судження „Ті, хто вивчав українську мову, знають про те, що слова, які вказують на ознаку предмета і відповідають на питання „який?”, „яка?”, „яке?” є прикметниками”. Структура цього доведення постає у формі дедуктивного умовиводу:
Усі, хто вивчав українську мову, знають про те, що слова, які вказують на ознаку предмета і відповідають на питання „який?”, „яка?”, „яке?” є прикметниками.
Це слово (мудрий) вказує на ознаку предмета і відповідає на питання „який?”.
Слово „мудрий” є прикметником.
Далі зясовуємо тип суджень, що входять до складу засновків і висновку, їх кількість та звязок між ними. Оскільки цей умовивід складається з двох засновків і одного висновку, які є категоричними судженнями, то з певністю можемо твердити, що доведення здійснюється у формі простого категоричного силогізму. Щоб зайвий раз упевнитися у тому, що дане доведення постає у формі простого категоричного силогізму, виявляємо його внутрішні структурні елементи: меншим терміном тут є поняття „мудрий” (S), більшим терміном поняття „прикметник” (Р), а середнім терміном (М) є словосполучення „усі, хто вивчав українську мову, знають про те, що слова, які вказують на ознаку предмета і відповідають на питання „який?”, „яка?”, „яке?” є прикметниками”. Тепер будуємо схему доведення у контексті вчення про фігури і модуси силогізму. Вона матиме такий вигляд:
(a1) M P(А)
(a2) S M(І)
(T) S P(І)
На цій підставі робимо висновок про те, що демонстрація цього доведення виражає форму модусу Darii першої фігури простого категоричного силогізму. Оскільки модус Darii є коректною формою силогізму, бо побудований за правилами першої фігури силогізму та основними правилами силогізму, то можемо з певністю констатувати, що дана форма доведення є правильною і теза випливає з істинних аргументів.
Як уже зазначалось раніше, доведення не обмежуються формами дедуктивних умовиводів. Доведення подають також у формі індуктивних умовиводів та аналогії.
Завдання. Підберіть аргументи до тези: „Вибори президента держави визнані недійсними із-за масових та системних порушень виборчого процесу”. Продемонструйте форму доведення та запишіть його схему.
Відповідь. Теза „Вибори президента держави визнані недійсними із-за масових та системних порушень виборчого процесу” випливає із наступних аргументів, істинність яких доведена судом вищої інстанції:
(a1) відсутність у списках виборців громадян, що на час виборів мали виборче право;
(a2) виявлення у списках виборців „мертвих душ”;
(a3) торгівля відкріпними посвідченнями на користь одного із кандидатів на посаду президента;
(a4) „карусель” з відкріпними посвідченнями на всій території країни;
(a5) корегування інформації про результати голосування на шляху до ЦВК через входження у сервер інформаційно-аналітичної системи „Вибори президента” зацікавленими особами з боку одного із кандидатів;
(a6) ці та інші факти визнані найвищою судовою інстанцією країни як протизаконні, оскільки спотворюють реальну картину волевиявлення виборців.
Схема доведення: а1, а2, а3, а4, а5, а6 ╞ T. Отже, доведення тези здійснено у формі неповної індукції.
Доведення тези можливе у формі аналогії як виду правдоподібного умовиводу.
Завдання. Обґрунтуйте логічну коректність доведення та визначте його вид.
Один із захисників аутсайдера президентських виборів у суді вищої інстанції у своєму виступі заявив: „Цей суд мусить прийняти таку саму ухвалу стосовно рішення ЦВК від 10.01.05р., яку він прийняв щодо рішення ЦВК від 24.11.04р. Підстава: як тоді, так і нині мали місце масові й систематичні порушення виборчого процесу. Суду вони відомі”.
Відповідь. Обґрунтовуючи тезу про те, що суд мусить прийняти аналогічну за змістом і формою ухвалу стосовно рішення ЦВК про результати виборів, захисник скористався доведенням у формі аналогії властивостей, перенісши оцінку порушень за їх узагальненими ознаками „системність” та „масовість” з попередніх виборів на наступні. Таке доведення не є переконливим для суду, оскільки суди виносять ухвали не на підставі прецеденту, а на базі дослідження й оцінки дій, діяльності чи бездіяльності субєктів правовідносин, які мали місце за конкретних умов їх здійснення, у контексті їх адекватності чи неадекватності нормативним приписам (законами, указами, постановами і т.п.).
Певну цінність для практики аргументації мають знання про способи доведення прямі й непрямі. Їх, як правило, розрізняють за метою: прямий спосіб доведення має за мету знайти аргументи, з яких теза випливає з логічною доконечністю, а мета непрямого способу доведення полягає у тому, щоб обґрунтувати тезу через зясування хибності антитези.
Завдання. Здійсніть пряме доведення тези: „Сума кутів чотирикутника рівна 3600”. Запишіть його схему.
Відповідь. Теза „Сума кутів чотирикутника рівна 3600” доводиться наступними аргументами:
(а1) загальновідомо, що діагональ ділить чотирикутник на два трикутники;
(а2) сума кутів чотирикутника рівна сумі кутів двох трикутників;
(а3) загальновідомо, що сума кутів трикутника складає 1800.
(T) Отже, сума кутів чотирикутника рівна 3600.
Таким чином, теза (T) випливає з аргументів а1, а2, а3.
Схема доведення: а1, а2, а3 ╞ T.
За приклад прямого доведення може слугувати простий категоричний силогізм, його фігури та модуси, а також інші форми дедуктивних умовиводів.
Нехай нам треба довести тезу „Ткачук має право на освіту” (T). Шукаємо, або підбираємо аргументи (а): (а1) „Усі громадяни України мають право на освіту”; (а2) „Ткачук громадянин України”. Будуємо демонстрацію у формі категоричного силогізму за першою фігурою:
(а1) Усі громадяни України мають право на освіту;
(а2) Ткачук громадянин України;
(T) Ткачук має право на освіту.
Схема доведення:
(a1) M P
(a2) S M
(T) S P
Завдання. Визначте за даним фрагментом тексту вид доведення за способом, запишіть схему доведення.
Головуючий: Суду належить визначитися в наступному пункті нашої ухвали: „Зазначені в скарзі позивача звинувачення про бездіяльність ЦВК на етапі підготовки до виборів президента не відповідають дійсності”. Хто хотів би висловитись по суті?
Суддя K.: Високий суд! Мені та моїм колегам було доручено зясувати питання про наявність фактів бездіяльності ЦВК в період підготовки до виборів. У процесі дослідження, комісія, яку я очолював, припустилася думки про те, що зазначені в скарзі позивача звинувачення про бездіяльність ЦВК на етапі підготовки до виборів президента відповідають дійсності. З цього припущення випливали наступні наслідки: ЦВК не розпорядилася завчасно про друкування бюлетнів; бюлетні не були вчасно доставлені в ТВК; ЦВК не здійснила перевірки стану підготовки виборчих дільниць для голосування і т. ін. Відповідність чи невідповідність наслідків зясовували судді N,M,L. Прошу головуючого надати їм слово.
Головуючий: Дозволяю. Прошу викласти висновки результатів дослідження.
Суддя L: Мною зясовано, що бюлетні віддруковано вчасно.
Суддя M: Бюлетні доставлені територіальним комісіям завчасно.
Суддя N: Виборчі дільниці на 99,9% були готові до проведення голосування.
Суддя K: Шановний суд! Шановний головуючий! Встановлені в результаті дослідження факти дають мені юридичні підстави для висновку: „Виявлені і доведені членами комісії факти спростовують наше припущення про те, що зазначені в скарзі позивача звинувачення про бездіяльність ЦВК на етапі підготовки до виборів президента, є хибними. На цій підставі ми пропонуємо ухвалити пункт ухвали суду у такій редакції: „Зазначені в скарзі позивача звинувачення про бездіяльність ЦВК на етапі підготовки до виборів президента не відповідають дійсності”.
Головуючий: Хто із суддів має іншу думку? Немає. Ставлю на голосування пункт ухвали у вищеозначеній редакції. Хто „за”? Одноголосно. Хто „проти”? Немає. Хто „утримався”? Немає. Отже, пункт „зазначені в скарзі позивача звинувачення про бездіяльність ЦВК на етапі підготовки до виборів президента не відповідають дійсності” вноситься до пункту ухвали суду з питання, яке суд розглядає. Переходимо до наступного питання.
Відповідь на сформульоване завдання може бути поширеною і непоширеною.
а) Відповідь 1. Це доведення є непрямим. Його здійснено за схемою розділово-категоричного умовиводу, зокрема МРТ:
Т А, А
Т
б) Відповідь 2. Запропонований для аналізу текст доведення містить тезу: „Зазначені в скарзі позивача звинувачення про бездіяльність ЦВК на етапі підготовки до виборів президента не відповідають дійсності” (Т) і антитезу: „Зазначені в скарзі позивача звинувачення про бездіяльність ЦВК на етапі підготовки до виборів президента відповідають дійсності” (А). Із антитези виводяться наслідки: „ЦВК завчасно не розпорядилася про друкування бюлетнів” (С1); „Бюлетні для голосування не були доставлені в територіальні комісії” (С2); „ЦВК не перевірила стану підготовки виборчих дільниць до голосування” (С3).
Виявлені факти: „бюлетні видрукувані вчасно” (f1); „бюлетні доставлені територіальним виборчим комісіям завчасно” (f2); „виборчі дільниці на 99,9% були готові до проведення голосування” (f3) спростовують виведені з антитези (А) наслідки: С1≠ f1, С2≠ f2, С3≠ f3. Це дає підставу визнати антитезу хибною: з хибності наслідків випливає хибність антитези:
A С1, С2, С3; C1, С2,С3
A
Зясоване відношення між тезою (Т) і антитезою (А) можна продемонструвати за допомогою заперечно-ствердного модусу розділово-категоричного умовиводу, а саме:
Т А, А
Т
Таким чином, обґрунтування тези, подане в тексті завдання, за своєю структурою і змістом здійснено методом непрямого доведення за схемою заперечно-ствердного модусу розділово-категоричного умовиводу. На цій підставі робимо висновок про те, що з хибності антитези (А) випливає істинність тези (Т).
6.1.2. СПРОСТУВАННЯ ТА ЙОГО ВИДИ
Перш ніж приступити до виконання вправ і розвязування завдань, вам треба памятати про те, що спростування, як і доведення, є логічною операцією, спрямованою на руйнування доведення через встановлення хибності тези або неспроможності доведення загалом.
Вам відомо, що спростування тези можливе двома способами прямим і непрямим.
Нагадаємо схему прямого спростування. Пряме спростування тези будується шляхом виявлення хибності наслідків, що випливають з тези, і на цій підставі визнається хибність тези. Якщо тезу позначимо літерою „T”, логічні наслідки з тези „c”, факти „f”, заперечення символом „”, процес спростування тези виглядатиме так:
Tc1, c2, c3, c1, c2, c3 ╞ T.
Або: T®c1, c2, c3, ~c1, ~c2, ~c3
~T.
Не забувайте, що заперечення наслідків (c1, c2, c3) ми отримуємо в результаті співставлення їх із фактами (f1, f2, f3) за моделями: c1≠f1; c2≠f2; c3≠f3, де знак „≠” означає невідповідність або несумісність наслідку (cn) із фактами (fn).
У випадку, коли пряме спростування тези складає трудність, послуговуємося моделлю непрямого спростування тези. Зверніть увагу на те, що метою нашого спростування тези є доведення хибності тези через доведення істинності антитези. Антитезу позначаємо літерою „А”, аргументи „а”.
Алгоритм непрямого доведення такий: формулюється теза (T) й антитеза (А) (Т \/ А); обґрунтовується істинність антитези а1, а2, а3 ╞ А, тобто антитеза А має випливати з аргументів а1, а2,...аn. Відтак будуємо схему міркування:
а1, а2, а3 А; а1, а2, а3
А
І нарешті зясовуємо через демонстрацію вивідність антитези за схемою чи моделлю відповідного міркування:
Т \/ А, А
Т
Висновок аналізу подаємо так: з істинності антитези (А) випливає хибність тези (Т).
Аналогічним чином зясовується питання спростування аргументів і демонстрації. Специфіка цих спростувань визначається відповідними завданнями або цілями: метою спростування аргументів є доведення їх хибності, а метою спростування демонстрації є виявлення відсутності логічного звязку або відношення логічного слідування між тезою і аргументами.
Зауважимо, що приступати до виконання вправ чи розвязування завдань бажано тільки тоді, коли ви надійно засвоїли відповідний теоретичний матеріал.
Завдання. Здійсніть пряме й непряме спростування тези: „Усі студенти 102 групи склали зимову сесію” (Т), яку висловив куратор на засіданні кафедри з питання „Результати зимової сесії”. Запишіть їх схеми.
Відповідь. Щоб здійснити пряме доведення тези „Усі студенти 102 гр. склали зимову сесію”, треба вивести з неї її логічні наслідки, припустивши, що дана теза є істинною. Логічними наслідками, що виводяться з цієї тези, є судження, субєктами яких постають одиничні поняття, які відображають ознаки окремих осіб, що складають реєструючий обсяг поняття „студенти 102 групи”, а предикатом є поняття, що відображає ознаку, яка міститься в предикаті судження, яке є тезою спростування. Отже, наслідками із сформульованої тези є такі судження-наслідки:
Марчук склав зимову сесію (c1)
Кравчук склав зимову сесію (c2)
Савчук склав зимову сесію (c3)
Левчук склала зимову сесію (c4)
Пінчук склала зимову сесію (c5).
Із виступів викладачів-предметників (під час обговорення питання) випливають такі факти:
Співставляємо факти (fn) з наслідками (cn) і виявляємо, що тільки наслідок c1 співпадає з фактом f1, тобто c1 = f1, а інші наслідки (c2, c3, c4, c5) не підтверджуються фактами (f2, f3, f4, f5), а саме c2≠f2, c3≠f3, c4≠f4, c5≠f5. c2, c3, c4, c5. Знаючи правило слідування: з хибності наслідків випливає хибність підстави (МТ), висновуємо висновок про те, що подана у звіті куратора думка (теза) є хибною.
Схематично цей процес можна подати так:
T®c1, c2, c3, c4, c5; ~c2, ~c3 , c4, c5)
~Т.
Цю тезу ми можемо спростувати опосередковано, тобто непрямим способом.
Завдання. Здійсніть непряме доведення думки про те, що „Усі студенти 102 гр. склали зимову сесію” (Т), яка прозвучала у виступі куратора цієї групи.
Відповідь. Щоб здійснити непряме спростування означеної у завданні тези (Т), треба обґрунтувати спершу істинність антитези. Антитезою до даної тези візьмемо судження „Деякі студенти 102 гр. не склали зимової сесії”. Аргументами (аn) на доказ істинності антитези (А) є наступні судження, істинність яких доведена фактично, а саме:
Таким чином, з аргументів (а1, а2, а3, а4) випливає сформульована нами антитеза „Деякі студенти 102 гр. не склали зимової сесії” (А): а1, а2, а3, а4 А. Отже, антитеза (А) випливає з істинних аргументів (а1, а2, а3, а4).
Суперечність між тезою (Т) і антитезою (А) можна розвязати за допомогою демонстрації у формі розділово-категоричного умовиводу, зокрема ствердно-заперечного його модусу, а саме:
Або усі студенти 102 гр. склали зимову сесію, або деякі студенти 102 гр. не склали зимової сесії. Проте достеменно відомо, що деякі студенти 102 гр. не склали зимової сесії.
Отже, невірно, що всі студенти 102 гр. склали зимову сесію.
Схематично, дане спростування набере вигляду МРТ:
Т А; А
Т
Отже, з істинності нашої антитези „Деякі студенти 102 гр. не склали зимової сесії” (А) випливає хибність тези „Усі студенти 102 гр. склали зимову сесію” (Т) за правилом логічного слідування, репрезентованим ствердно-заперечним модусом розділово-категоричного умовиводу МРТ, згідно з яким (за умови вичерпності мінімальної кількості альтернатив різної валентності) ствердження однієї з альтернатив веде до заперечення іншої. Мається на увазі те, що розділове судження, яке виражає відношення між тезою і антитезою, є строго розділовим. Останнє дає підстави застосувати закон суперечності.
Часто спростування подається у формі дискурсу фрагмента тексту, що відтворює комунікативну ситуацію. Щоб зясувати вид і спосіб спростування, треба виділити структурні елементи спростування, визначити логіко-смисловий звязок між ними в межах логіко-лінгвістичного контексту і вибудувати логічну схему міркування.
Завдання. Зясуйте вид і спосіб спростування тези за поданим нижче фрагментом:
- Що б ви не говорили, але я впевнений на сто відсотків, що усі, хто був на Майдані незалежності, прихильники Ю. Про це свідчить сам Майдан, його людність, засоби масової інформації радіо, телебачення, газети, журнали і т. ін. Якщо ви мені не вірите, то поспитайте навіть наших друзів Петренка, Сидоренка, Іванова, Пастуха та багатьох інших. Вони скажуть вам те саме.
- Не можу з вами погодитися, шановний, бо я маю факти, які засвідчують інше; вони дають мені підставу твердити, що деякі з тих, хто був на Майдані, не є прихильниками Ю.
- А де ж ваші аргументи? Я, наприклад, зіслався на ЗМІ, газети і т. ін., а ваші аргументи звелись до голої фрази: „Маю факти”. Так що, даруйте, вельмишановний, ви мене не переконали.
- Я не збираюся вас переконувати. Я вам доведу, що ваша думка є хибною. Я ніколи не був голослівним. Ви ж мене знаєте, але чомусь пручаєтесь, як віслюк.
- Ви мене заінтригували. То ж бо починайте! Чого чекаєте?
- Річ у тім, що перемовившись з багатьма, у тому числі і з нашими друзями, я почув таке, чого боявся почути, а саме: Петренко заявив, що він був на Майдані заради цікавості; Сидоренко „відхрещувався” від сусідів, щоб не приписали йому ярлика „комуняка”; Пастух подавсь на Майдан, щоб зустрітись з односельцями; і тільки Іванов мало не скосив мене з ніг своїм відвертим, щирим вигуком: „Де-мо-кра-ті-я-я-я!” Хочу йду, а хочу не йду. Між іншим, він одверто зізнався, що два рази голосував за Я. Ось вам факти, дорогий! А ви кажете радіо, газети і т. ін.
- І що з того, що „друзяки” не є прихильниками їх лише четверо. Нехай таких як вони буде сотня-дві. Це нічого не міняє. Прихильників було більше півмільйона.
- Я не буду брати контраргументи, щоб відкинути ваші аргументи і, в такий спосіб, заперечити вашу думку. Я виходитиму з фактуального знання, яке я отримав від тих, хто безпосередньо був на Майдані, а не із других рук. Ці факти, як поношені речі (second hand). Замість того, щоб сваритися краще поміркуймо разом. Нехай ваше судження „Усі ті, хто був на Майдані, є прихильниками Ю.” буде тезою. Моя думка про те, що не всі, тобто „деякі з тих, хто був на Майдані, не є прихильниками Ю.” є істинною, оскільки заснована на „живих” фактах, тобто вона випливає з чотирьох аргументів. Ви погоджуєтеся зі мною, що ваша і моя думка суперечать одна одній. Так?”
- Тут я згоден на усі сто. А далі що? Кожен при своїх інтересах?
- Ні. Ми мусимо знайти істину, а тому доведемо наш спір до логічного завершення. Якщо з наших суджень утворити судження, яке виражає альтернативу, тобто строго розділове судження: „Або усі, хто був на Майдані, прихильники Ю., або деякі з тих, хто був на Майдані, не є прихильниками Ю. (оскільки кожен з нас наполягає на своєму, чи не так?) Так! Ці судження суперечать одне одному. Щоб розвязати цю суперечність, ми мусимо визнати, яке із цих двох суджень є істинним. Оскільки я довів, що моє судження випливає з істинних аргументів (і ви погодилися з цим), то визнання мого судження істинним веде до визнання вашого хибним. І навпаки.
- Згода. Ви мене переконали.
- Треба бути обачнішим у таких ситуаціях не повторювати як папуга те, про що торочать журналісти, не усі, звичайно.
Я не хочу, щоб наші друзі знали про нашу розмову. Демократія демократією, а дружба свята справа.
- Домовились. Ми все ж таки люди, а не політикани.
Відповідь. Тезою в даному діалозі є судження „Усі ті, хто був на Майдані незалежності прихильники Ю.” (Т). Антитезою є судження опонента „Деякі з тих, хто був на Майдані, не є прихильниками Ю.” (А). Оскільки антитеза (А) випливає із аргументів, якими є судження: „Петренко був на Майдані заради цікавості” (а1), „Сидоренко „відхрещувався” від сусідів, щоб не приписали ярлика „комуняка” (тобто зявився примусово) (а2), „Пастух подався на Майдан, щоб побачитися з односельцями” (а3), „Іванов голосував за Я.” (а4), то її слід прийняти за істину. У даному випадку звязок тези (Т) і антитези (А) демонструємо у формі розділово-категоричного умовиводу:
Т \/ А; А.
Т
Звідси випливає, що опонент скористався непрямим спростуванням тези свого пропонента.
Часто є потреба зясувати суть аргументів, щоб упевнитись у коректності обґрунтування тези. Тому набуття навичок спростування аргументів має неабияке значення для практики аргументації. Суть спростування аргументів полягає у зясуванні їх логічної валентності істинності чи хибності відомими логічними засобами. Приступаючи до спростування аргументів, ви мусите памятати усі можливі помилки, які виникають при порушенні правил аргументів, а також мати уявлення про відповідну сферу знання, у контексті якої здійснюється аргументація.
Завдання. Спростуйте аргументи у наступному доведенні: „У судженні „Усі недієздатні непідсудні” субєкт і предикат є розподіленими, бо в загальнозаперечних судженнях субєкт і предикат завжди розподілені, а дане судження є загальнозаперечним”.
Відповідь. Тезою у цьому доведенні є висловлення „У судженні „Усі недієздатні непідсудні” і субєкт, і предикат є розподіленими”. Аргументами для обґрунтування цієї тези є судження: „У загальнозаперечних судженнях субєкт і предикат завжди розподілені” (а1) та „Дане судження є загальнозаперечним” (а2). Вважається, що теза випливає з даних аргументів: а1, а2 Т. Щоб не було сумнівів, що це насправді так, зясуємо природу аргументів (а1) та (а2).
Висловлення, що є аргументом (а1) „У загальнозаперечних судженнях субєкт і предикат завжди розподілені”, є істинним, згідно з правилами розподіленості термінів у простих категоричних судженнях. Висловлення-аргумент (а2) „Дане судження є загальнозаперечним” є хибним, оскільки судження „Усі недієздатні непідсудні” є загальноствердним. Цю його якісно-кількісну характеристику зясовуємо методом підстановки: у його символічну форму: „Усі не-S суть не-P” замість змінних S і P підставляємо предметну константу „а”, яка репрезентує загальну множину під іменем „собака”: Усі не-а суть не-а: „Усі несобаки суть несобаки”. Утворене в результаті підстановки судження є істинним. Отже, аргумент (а2) „Дане судження є загальнозаперечним” є хибним. Довівши хибність аргументу (навіть одного!), ми можемо виявити логічне значення тези. У нашому випадку, теза є хибною (Т):
а2 Т; а2
Т
Отже, з хибності підстави, тобто аргументу (а2) випливає хибність тези. Оскільки міркування здійснено за формою неправильного модусу умовно-категоричного умовиводу, то на цій підставі робимо висновок про необґрунтованість логічного звязку між аргументами (а1 і а2) і тезою (Т) із-за неспроможності аргументів.
Спростування демонстрації одна із поширених логічних дій в процесі аргументації. Перед тим, як приступити до розвязування вправ чи завдань для набуття навичок спростування, вам належить досить-таки ретельно і доглибно переглянути не тільки теоретичний матеріал за темою „Логічні основи аргументації”, але й відновити в памяті знання змістового модуля „Умовивід”. Крім цього, варто нагадати основні логічні правила і закони логіки висловлень та логіки предикатів та можливі помилки при їх порушенні, а також бажано не оминути питання логічного слідування у повному обсязі.
Завдання. Зясуйте логічний звязок між тезою (Т) і аргументами (а1 і а2) в доведенні:
„Президент є людиною слова, якщо він виконує дані ним обіцянки; як правило президенти не виконують даних ними обіцянок, а тому і цей президент не є людиною слова”.
Відповідь. Щоб розвязати це завдання, треба виявити в ньому його структурні елементи тезу, аргументи і демонстрацію. Аналіз змісту висловлень, що входять до даного міркування, що репрезентує доведення, дає підстави вважати, що тезою є висловлення: „Президент є людиною слова” (Т); аргументами є такі судження: „Якщо президент виконує дані ним обіцянки, то він є людиною слова” (а1) та „Президенти, як правило, не виконують даних ними обіцянок” (а2). Символізуємо висловлення, що входять у це доведення: аргумент (а1) подаємо через імплікацію, де антецедентом (p) є частина висловлення до сполучника „то”: „Якщо президент виконує дані ним обіцянки (p) ”, а частину висловлення після „то” „він є людиною слова” позначимо літерою „q”. Таким чином, ми маємо імплікацію pq. Оскільки зміст аргумента (а2) співпадає зі змістом висновку, що заперечує антецедент, то позначаємо його літерою p. Символом q позначаємо висловлення „Президент є людиною слова”. Заформалізувавши міркування, ми отримали схему умовиводу, який демонструє форму доведення, а саме:
(а1) p q, (а2) p
(Т) q
Схема умовиводу засвідчує, що звязок між тезою (Т) і аргументами (а1 і а2) не є обґрунтованим, оскільки міркування відбувається за неправильним модусом умовно-категоричного умовиводу від заперечення основи (p) до заперечення наслідку (q).
6.2. ДОВЕДЕННЯ І СПРОСТУВАННЯ ЗАСОБАМИ
СУЧАСНОЇ ЛОГІКИ
Перш ніж зясувати коректність доведення (спростування), треба ретельно відслідкувати його логічну структуру та звязки між виявленими елементами міркування, у формі яких воно постає. Тільки після цього можна приступати до зясування вивідності чи невивідності тези з аргументів формальними методами тієї логічної системи, до якої належить тип міркування. Якщо доведення (спростування) демонструються методами логіки висловлень, то застосовуємо адекватні цій системі методи аналізу коректності чи некоректності доведення або спростування як логічних операцій. Якщо ж доведення чи спростування демонструється формами міркувань у контексті логіки предикатів, то їх аналіз здійснюємо засобами цієї логічної теорії.
Зауважимо, що аналіз міркувань вищеозначених логічних дій передбачає їх формалізацію мовою відповідних логічних теорій. Це означає, що ви повинні мати добрі навички перекладу міркувань мовою цих логічних теорій та вміння утворювати й перетворювати символічні вирази на основі певних правил і законів. Тому ви мусите залучити сюди набуті раніше знання за навчальним елементом: „Мова логіки: мова логіки висловлень і мова логіки предикатів”.
6.2.1. ДОВЕДЕННЯ І СПРОСТУВАННЯ ЗАСОБАМИ ЛОГІКИ ВИСЛОВЛЕНЬ
Для обґрунтування коректності (чи некоректності) доведення і спростування можна використати наступні методи логіки висловлень: метод таблиць істинності, метод аналітичних таблиць, числення в системі натурального виводу, а також зведення формул до нормальних форм: конюнктивної нормальної форми, досконалої конюнктивної нормальної форми, скороченої конюнктивної нормальної форми, зведення формул до дизюнктивної нормальної форми, досконалої дизюнктивної нормальної форми, скороченої дизюнктивної нормальної форми.
6.2.1.1. ОБҐРУНТУВАННЯ ВИВІДНОСТІ ТЕЗИ З АРГУМЕНТІВ
МЕТОДОМ ТАБЛИЦЬ ІСТИННОСТІ
Завдання. Обґрунтуйте вивідність тези з аргументів методом таблиць істинності:
„Якщо українці стануть справжніми громадянами своєї країни, то антинародний політичний режим в Україні зміниться на демократичний. Українці стали справжніми громадянами своєї країни (свідченням цього є „помаранчева революція”). Це означає, що антинародний політичний режим в Україні замінено на демократичний”.
Відповідь. Логічна структура даного міркування дає підстави вважати, що воно репрезентує доведення у формі умовно-категоричного умовиводу, де тезою є висновок: „Антинародний політичний режим в Україні замінено на демократичний” (Т). Аргументами, з яких випливає теза, є висловлення: „Якщо українці стануть справжніми громадянами своєї країни, то антинародний політичний режим в Україні замінено на демократичний” (а1); „Українці стали справжніми громадянами своєї країни” (а2).
Схема або модель доведення:
(а1) p q, (а2) p
(Т) q
Щоб обґрунтувати вивідність тези (q) із аргументів а1 та а2, перетворюємо структурну схему умовиводу в лінійну (засновки-аргументи зєднуємо конюнкцією („ /\ ”), а висновок-тезу приєднуємо імплікацією („”):
((p ® q) /\ p) q
Отриману формулу апробуємо методом таблиць істинності, тобто визначаємо істиннісне значення цієї формули:
((p ® q) /\ p) ® q
і і і і і і і
і х х х і і х
х і і х х і і
х і х х х і х
Оскільки звязок між аргументами і тезою за усіх можливих наборів значень змінних (p і q) в усіх рядках набирає значення „і” (свідченням цього є значення в останньому стовпчику), то з певністю можна твердити про те, що висновок-теза (q) з необхідністю випливає із аргументів (а1 та а2).
Отже, доведення є коректним, бо між тезою і аргументами наявне відношення логічного слідування.
Таким чином, ми переконались у тому, що коректність форми міркування забезпечує коректність доведення, і навпаки.
Завдання. Перевірте логічну коректність доведення у формі умовно-категоричного умовиводу методом таблиць істинності, де аргументами-засновками є формули p®q (а1) і q (а2), а теза-висновок формула p.
Відповідь. Лінійна формула, що репрезентує структуру поданого в завданні доведення, матиме такий вигляд:
((p ® q) /\ q) ® p
Її істиннісне значення або логічна валентність буде наступною:
((p ® q) /\ q) ® p
1. і і і і і і і
2. і х х х х і і
3. х х і і і х х
4. х х х х х і х
Отриманий результат зясування логічної валентності формули, що репрезентує доведення, дає підстави вважати, що дане доведення є некоректним, оскільки істиннісне значення його формули є „нейтральним”: у третьому рядку останнього стовпчика формула набирає значення „х” (хиба). Отже, доведення у такій формі умовно-категоричного умовиводу є некоректним, оскільки порушено правило умовно-категоричного умовиводу: „з істинної основи логічно випливає істинний наслідок; хибність підстави не зумовлює хибності наслідку” та „з хибності наслідку випливає хибність основи, істинність наслідку не зумовлює істинності основи”.
Зауважимо, що логічний аналіз коректності чи некоректності форми доведення залежить від чіткості й точності репрезентації її формальними засобами відповідної логічної системи. Структуру форми міркування треба виявляти, іноді навіть домірковувати, або не брати до уваги уточнюючі елементи, що спеціально або зумисне спотворюють зміст міркування. За таких обставин не має значення, яке місце в структурі міркування займають теза чи аргументи: спершу теза, а відтак аргументи, чи аргументи, а потім теза. Крім того, ви мусите мати на увазі й те, що не завжди є можливість застосувати формальні (символічні) засоби тієї чи іншої логічних систем для логічного аналізу доведення чи спростування.
У такому випадку треба звернутися до адекватних засобів змістовного аналізу міркувань або вдатися до створення нових методів аналізу. Проте, не забувайте, що формальні методи є похідними від змістовних в історичному плані. Крім цього, треба мати на увазі, що жоден метод не є універсальним. Межі застосування одного методу можна продовжити іншим, а у випадку відсутності такої можливості треба активізувати творчі потенції пошуку.
Отже, розвязання проблеми розвязковості стосовно доведення чи спростування можливе різними методами. У такий спосіб ми навчаємось розвязувати кілька завдань, а саме: а) виявляти сильні й слабкі сторони апробованого нами методу; б) встановлювати межу його застосування; в) вести пошук нових методів логічного аналізу міркувань, що репрезентують доведення і спростування і т. ін. Проте наразі мусимо оволодіти наявними методами, апробованими практикою логічного аналізу. Крім цього, маємо також памятати про те, що методи сумірних логічних теорій не тільки доповнюють один одного, але й взаємновиключають один одного. Методи традиційної логіки вмотивували методи класичної логіки (логіки висловлень і логіки предикатів), останні стали основою методів некласичних логік. Так, наприклад, метод аналітичних таблиць, виведений на базі методу таблиць істинності, як не дивно, є зручнішим (за одних і тих же обставин), ніж його основа; на фундаменті числень логіки висловлень будуються числення логіки предикатів, числення некласичних логік і т. ін.
Оскільки ви знайомі з методом аналітичних таблиць (навчальний елемент „Складні судження”), то перейдемо до проблеми обґрунтування коректності чи некоректності доведення чи спростування цим методом.
6.2.1.2. ОБҐРУНТУВАННЯ ВИВІДНОСТІ ТЕЗИ З АРГУМЕНТІВ
МЕТОДОМ АНАЛІТИЧНИХ ТАБЛИЦЬ
Завдання. Застосовуючи метод аналітичних таблиць, обґрунтуйте вивідність тези з аргументів:
(Т) q; (а1) (p ® q), (а2) p.
Відповідь. Обґрунтувати вивідність тези (q) із наведених аргументів p®q (а1) та p (а2) методом аналітичних таблиць можна за умови утворення лінійної формули, де антецедентом є конюнкція аргументів ((p ® q) /\ p), а консеквентом теза q:
((p ® q) /\ p) ® q
Припускаємо, що уся формула є хибною (F):
F ((p ® q) /\ p) ® q
За правилом хибності імплікації (F) визначаємо істиннісне значення антецедента ((p®q) /\ p) і консеквента q. Результат аналізу відокремлюємо рискою і записуємо правило, за яким він отриманий:
F ((p ® q) /\ p) ® q
Т ((p ® q) /\ p), F q (F®)
Наступний крок полягає у застосуванні правила Т /\ (істинність конюнкції) до аргументів:
F ((p ® q) /\ p) ® q
Т ((p ® q) /\ p), F q (F®)
Т (p ® q), Т p (Т /\ )
Далі, за правилом Т (істинність імплікації) розкладаємо на атоми імплікацію p®q:
F ((p ® q) /\ p) ® q
Т ((p ® q) /\ p), F q (F®)
Т (p ® q), Т p (Т /\ )
F p | Тq (Т®)
Виводимо підсумкову таблицю відношення між аргументами і тезою:
Оскільки таблиця „замкнена”, тобто змінні, що входять до її складу, мають протилежні істиннісні значення F і Т („хиба” та „істина”), робимо висновок про те, що дана формула, яка репрезентує доведення, є тавтологією. Це означає, що теза (q) випливає із аргументів а1 та а2. Отже, доведення є коректним.
Варіант відповіді без пояснення:
F ((p ® q) /\ p) ® q
Т ((p ® q) /\ p), F q F®
Т (p ® q), Т p + Т /\
F p | Тq + Т®
+ +
Отже, теза q є вивідною з аргументів а1 та а2.
Здійснюючи аналіз міркувань, що репрезентують доведення (спростування), памятайте, що таблиці називаються аналітичними тому, що „розкладаючи” складну формулу на її складники, ми намагаємось віднайти такий набір значень складників, за яких вихідна формула виявилася б хибною.
6.2.1.3. ЗЯСУВАННЯ КОРЕКТНОСТІ (НЕКОРЕКТНОСТІ) ДОВЕДЕННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ ЧИСЛЕННЯ У СИСТЕМІ НАТУРАЛЬНОГО ВИВОДУ (СНВ) ЛОГІКИ ВИСЛОВЛЕНЬ ЗА КРАТНОЮ ІМПЛІКАЦІЄЮ
Ви знаєте, що за способом обґрунтування тези, доведення поділяють на прямі й непрямі. Нагадаємо: прямим називається доведення, в якому істинність тези безпосередньо випливає з аргументів, а непрямим є таке доведення, в якому істинність тези виводиться на основі певних правил слідування і припущень, зворотних доведенню.
Щоб здійснити пряме (непряме) доведення в системі натурального виводу (СНВ), необхідно знати не тільки загальний алгоритм побудови означених доведень (спростувань), а й правила та закони, які забезпечують перехід від одних висловлень (формул) до інших, і в такий спосіб забезпечують (не забезпечують, якщо їх порушити) звязок між аргументами і тезою.
Загальний алгоритм побудови прямого доведення:
Крім знання алгоритму побудови доведення в СНВ, ви маєте знати усі правила логічного слідування, тобто правила, закони логічного переходу від вихідних формул до похідних.
Зауважу, що ці правила і закони СНВ додаються (Див. додаток 8.6).
Пряме доведення в СНВ логіки висловлень
Завдання. Обґрунтуйте вивідність тези із аргументів у СНВ:
(a1) p ® q; (a2) r s; (a3) p \/ r; (T) q \/ s.
Відповідь. Щоб обґрунтувати вивідність q \/ s із даних аргументів p ® q, r®s та p \/ r, аргументи зєднуємо конюнкцією („ /\ ”), а тезу приєднуємо імплікацією („”):
((p ® q) /\ (r ® s) /\ ( p \/ r)) (q \/ s).
Далі чинимо згідно з алгоритмом числення прямого доведення: антецедент усієї формули вводимо у вигляді припущення:
Другий крок в алгоритмі доведення вимагає вивести з даного припущення наслідки за відповідним правилом числення. Оскільки припущення є конюнкцією аргументів, то за правилом УК („усунення конюнкції”), усуваємо конюнкти, а праворуч записуємо скорочено правило і в дужках рядок формули, яка є конюнкцією аргументів (1):
2. p ® q УК (1)
3. r ® s УК (1)
4. p \/ r УК (1).
Оцінюючи звязки між утвореними підформулами, тобто „наслідками” із формули-припущення і, застосовуючи правило логічного слідування Дил3 (дилема третя або складна конструктивна дилема), виводимо тезу (q \/ s):
5. q \/ s Дил3 (2,3,4).
Таким чином, теза (q \/ s) випливає за правилом слідування (Дил3) із аргументів (p ® q), (r ® s) та (p \/ r). Отже, доведення тези є коректним.
Відповідь без „коментарів” подається так:
Отже, теза (q \/ s) випливає з аргументів p ® q, r ® s та p \/ r.
Завдання. Чи виводиться теза (p /\ r) із аргументів:
(a1) p ® q; (a2) r ® s; (a3) q \/ s?
Відповідь. ((p ® q) /\ (r ® s) /\ ( ~q \/ ~s)) ® ( p \/ r)
1. (p ® q) /\ (r ® s) /\ ( ~q \/ ~s) припущення
Отже, доводжувана теза виводиться із даних аргументів, оскільки її формула співпадає із формулою, яка отримана в результаті числення.
Зверніть увагу на те, що для побудови прямого чи непрямого доведення тези має неабияке значення розуміння кратності імплікації. Нагадаємо, що кратна імплікація це формула вигляду:
А1 (А2 (А3 ... (Аn С)...). Читається: якщо А1, А2 , А3, ... Аn , то С, де А1, А2 ,А3, ... Аn антецеденти, а С консеквент.
При n = 1 маємо схему однократної імплікації:
А1 С;
при n = 2 маємо схему двократної імплікації:
А1 (А2 С);
при n = 3 маємо схему трикратної імплікації:
А1 (А2 (А3 С));
при n = 4 маємо схему чотирикратної імплікації:
А1(А2 (А3( А4С)));
при n = 0 маємо схему нулькратної імплікації:
С (схема співпадає з консеквентом).
Нулькратна імплікація містить консеквент (С) і не містить антецедентів.
Крім цього, треба мати на увазі, що пряме доведення вважається побудованим, якщо ми отримали послідовність формул, яка закінчується формулою С, тобто консеквентом. У контексті теорії аргументації консеквентом є теза, тоді як антецеденти виконують роль аргументів.
Таким чином, пряме доведення кратної імплікації постає як спосіб виведення тези з аргументів через зясування відношення логічного слідування за допомогою припущень та правил слідування. Незважаючи не тривіальність, як комусь може видатися, числення в СНВ логіки висловлень, як метод обґрунтування тези прямим чи непрямим способом, має певні переваги над іншими методами зясування звязку між внутрішніми структурними елементами доведення та їх субструктурами, оскільки позбавляє нас від побудови громіздких розвязкових процедур табличним методом і т. ін. Введення у канву числення припущень, раніше доведених формул і т. ін. розширює творчий потенціал цього методу доведення чи спростування.
Візьмемо для прикладу доведення формули qq. Воно виглядатиме так:
Безперечно, що таке доведення є тривіальним. Проте його результат можна використати в нетривіальному прямому доведенні.
Нехай ми маємо формулу: (p \/ q) (a1) ((p ® q) (a2) qТ).
Вивідною формулою тут є формула „q” за двократною імплікацією: А1 ® (А2 ® С), де А1 це (p \/ q), А2 (p ® q), а С формула q.
Доведення матиме вигляд:
(p \/ q) ((p ® q) q)
Гадаю, що сказаного достатньо, щоб переконатися у ціннісних потенціях методу числення в СНВ.
Непряме (апагогічне) доведення
Непряме доведення у формі кратної імплікації постає як числення, інтенційно спрямоване на виведення з антецедентів формули, яка суперечить консеквенту доводжуваної формули.
Щоб здійснити непряме доведення, треба запамятати його алгоритм чи припис:
1.а) записуємо припущення непрямого доведення, тобто формулу, яка суперечить консеквентну (С);
Завдання. Здійсніть непряме доведення формули, що виражає таку структуру міркування:
((p ® q) (a1) /\ q (a2)) ® pТ.
Відповідь. Непряме доведення формули, що подано в завданні, постає таким чином:
((p ® q) /\ q ) ® p
1. (p ® q) /\ q припущення;
2. p припущення непрямого доведення;
3. p ® q УК (1)
4. q МР (2,3)
5. q УК (1).
Суперечність (4,5) (q /\ q).
Отже, виявлена суперечність дає підстави твердити, що p (Т) є вивідною формулою із формул-засновків (p ® q) та (~q).
Ви переконалися в тому, що непряме доведення завершується виявленням суперечностей. Це означає, що ввівши в доведення припущення непрямого доведення (p) до тези (~p) і застосувавши правила вивідності наслідків із припущень, ми отримали суперечні формули q і ~q. Поява суперечності дає підстави вважати, що формула ~p, яка репрезентує тезу в структурі вихідної формули, з необхідністю випливає із аргументів a1(p ® q) та a2 (~q).
У випадку, якщо головним знаком формули, що репрезентує звязок елементів доведення, не є знак конюнкції чи еквіваленції, то у ролі єдиної гіпотези (аргумента) можна взяти для аналізу заперечення цієї формули. Такі доведення не лише уможливлюють широкий спектр застосування правил слідування, а й сприяють актуалізації потенцій творчої інтуїції.
Завдання. Обґрунтуйте вивідність тези з аргументів методом „від супротивного”: ╞ (p ® q) (q ® p) за схемою однократної імплікації (А1 ® С).
Відповідь.
Таким чином, із ((p ® q) ® (~q ® ~p))╞ ~p /\ p за ВІ (1,9).
Отже, ╞ (p ® q) ® (~q ® ~p) з за ДВС (доведенням від супротивного).
Довівши, що дана формула є вивідною („╞”), ми водночас обґрунтували вивідність маркованої нами тези (~q ® ~p) з одного єдиного аргумента (p ® q) у контексті структури однократної імплікації А1 ® С, де А1 аргумент-гіпотеза, а С теза-консеквент. У даному доведенні „від супротивного” ми застосували наступні правила слідування: ЗІ (заперечення імплікації) двічі (в 2-му і 5-му рядках); УК (усунення конюнкції) 4 рази (рядки 3,4,6,7); ВК (введення конюнкції) 1 раз в 9 рядку; МТ (modus tollens або усунення імплікації) у 8-му рядку.
У якості розвязкової процедури можна використовувати редукцію або зведення формул, що репрезентують доведення чи спростування до нормальних форм, до конюнктивної чи дизюнктивної нормальних форм, а також до досконалих чи скорочених конюнктивних чи дизюнктивних нормальних форм, як логічних засобів для зясування й оцінки класу формул шляхом еквівалентних перетворень і, в такий спосіб, розвязувати проблему вивідності чи невивідності тези з аргументів, виявляти усі можливі тези-наслідки, або тільки прості, а також здійснювати пошук усіх аргументів-гіпотез або тільки простих і т. ін. Якщо, наприклад, отримана в результаті перетворень та чи інша формула виявиться тотожно істинною, то репрезентоване вихідною формулою доведення (спростування) є коректним, якщо ж зясується, що отримана формула є тотожно хибною (суперечністю), то репрезентоване формулою доведення (спростування) є некоректним. У такому випадку або корелюється логічний звязок між формулами, що виражають тезу чи аргументи, або доведення (спростування) відкидаються як неможливі.
6.2.1.4. РОЗВЯЗКОВІ ПРОЦЕДУРИ ЗЯСУВАННЯ КОРЕКТНОСТІ ДОВЕДЕННЯ ЧИ СПРОСТУВАННЯ МЕТОДОМ ЗВЕДЕННЯ ЇХ ДО НОРМАЛЬНИХ ФОРМ
Суть розвязкової процедури зводиться до наступного. Вам відомо, що формули логіки висловлень діляться на три класи: тотожно істинні, тотожно хибні та нейтральні. Зясування класу формули, що виражає структуру доведення чи спростування є семантичною проблемою розвязковості для формул логіки висловлень. Якщо зясовано, до якого класу належить та чи інша формула, то проблема розвязковості є розвязаною. Цей принцип поширюється і на формули, що виражають доведення чи спростування: якщо формула, що репрезентує доведення (спростування), тотожно істинна, то доведення чи спростування є коректним; якщо формула тотожно хибна, то репрезентовані нею доведення чи спростування є некоректним; якщо ж формула є нейтральною, то репрезентовані нею доведення чи спростування є проблематичними. Крім того, треба мати на увазі наступне: у випадку отримання тотожно хибної формули, варто застосовувати розвязкову процедуру до її запереченої форми; якщо виявиться, що заперечена тотожно хибна формула виявиться тотожно істинною, то вихідну формулу треба визнати тотожно хибною; якщо ж вихідна формула та її заперечення не будуть тотожно істинними, то її слід визнати нейтральною.
Ви вже знаєте, що зведення формул до нормальної її форми (НФ) є процесом перетворення їх у рівносильні за рівносильностями (Див. додаток 8.4). Формула логіки висловлень має нормальну форму, якщо вона: а) не містить знаків , та ↔ і б) знаки заперечення стоять тільки при змінних. Наприклад, формула ((p ® q) \/ ( p ® q)) не має нормальної форми, а формула (p \/ q) \/ q \/ r має нормальну форму.
Тільки звівши формулу до нормальної форми шляхом рівносильних перетворень, ми зможемо приступити до розвязання завдання зясування класу формули методом розвязкової процедури і за її результатом визначити коректність чи некоректність репрезентованих нею доведення чи спростування.
Щоб застосувати розвязкову процедуру до формул логіки висловлень, що репрезентують доведення чи спростування, треба звести їх до нормальної форми.
Нагадаємо, що зведення формули до нормальної форми (далі „НФ”) передбачає здійснення наступних рівносильних перетворень з вихідною формулою (у дужках подаємо порядковий номер рівносильності за додатком 8.4):
1) кожну підформулу вигляду (А ↔ В) замінити на рівносильну (17): ((А \/ В) /\ (А \/ В));
2) кожну підформулу вигляду (А В) замінити на рівносильну (16): ((А \/ В) /\ (В \/ А));
3) кожну підформулу вигляду (А В) замінити на рівносильну (13): (А \/ В);
4) кожну підформулу вигляду (А /\ В) замінити на рівносильну (10): (А \/ В);
5) кожну підформулу вигляду (А \/ В) замінити на рівносильну (11): (А /\ В);
6) кожну підформулу вигляду А замінити на рівносильну (1): А.
Застосовуючи метод перетворення за рівносильностями, ми можемо звести будь-яку формулу, що містить підформули вигляду (p q), (p q), (p ® q), (p /\ q), (p \/ q) та p до нормальної форми, яка не містить сполучників , , та заперечних виразів і подвійного заперечення, до рівносильної вихідній формули.
Для ілюстрації перетворимо формулу (p®(pq))®q в рівносильну:
p® (p q)) ® q
(p® ((p \/ q) /\ (p \/ q))) ® q (17)
(p ® ((p \/ q) /\ (p \/ q))) \/ q (13)
(p \/ ((p \/ q) /\ (~p \/ ~q))) \/ q (13)
p /\ ((p \/ q) /\ (~p \/ ~q))) /\ q (11)
p /\ (p \/ q) \/ (~p \/ ~q)) \/ q (10)
p /\ (p /\ q) \/ (p /\ q) \/ q (11) двічі
(p /\ p /\ q) \/ (p /\ q) \/ q (1) тричі НФ
Формула (p /\ p /\ q) \/ (p /\ q) \/ q є нормальною формою формули (p ® (p q)) ® q.
Алгоритм або припис розвязкової процедури полягає в наступному:
1) зводимо вихідну формулу до нормальної форми (НФ);
2) виділяємо в НФ змінні, які входять до неї нерегулярно (змінна входить у НФ формули тільки із запереченням, або тільки без заперечення);
3) замість усіх нерегулярно входжуваних змінних (і їх заперечень) підставляємо на всіх місцях символ „х”, що означає „хиба”;
4) застосовуємо рівносильності 48, 48, 50, 50 до усіх підформул отриманої формули доти, поки відпаде потреба в їх застосуванні. Якщо ж зявляться нові нерегулярно вхідні змінні, то з ними чинимо так само, як вимагається пп. 3 і 4 цього припису. Передбачені в пп. 2-4 перетворення повторюємо доти, поки не отримаємо формулу, яка не буде містити нерегулярно вхідних змінних;
5) далі розглядаємо дві формули (а) та (б), які не містять нерегулярно вхідних змінних:
(а) замість однієї з регулярно вхідних змінних на всіх місцях підставляємо символ „і” („істина”) і застосовуємо правило рівносильної заміни за рівносильностями 43, 47-50 (регулярною вважається змінна, яка входить у формулу одночасно із запереченням і без заперечення);
(б) замість тієї ж самої змінної на всіх місцях підставляємо букву „х” („хиба”) і застосовуємо правило рівносильної заміни за рівносильностями 44, 47-50.
До формул (а) та (б), якщо це можливо, знову застосовуємо пп. 2-4, а відтак, згідно з п.5 із формул (а) та (б) отримуємо формули аа), ав) і ва, вв і т. ін. до тих пір, поки не вичерпаємо застосування пп. 2-5.
Якщо в результаті застосування цієї процедури до формули усі заключні формули будуть істинними („і”), то вихідна формула є тотожно істинною; якщо хоча б одна заключна формула є хибною („х”), то аналізована формула не є тотожно істинною.
Закріпимо цей матеріал на прикладі.
Нехай ми маємо довільну формулу p /\ (p ® q). Треба зясувати тотожно істинна вона чи ні?
Насамперед, зводимо її до нормальної форми (НФ), бо другий конюнктивний член є імплікацією (p®q). Застосовуємо рівносильність (13) і отримуємо нормальну форму формули p /\ (p ® q), а саме: p /\ (p \/ q). З огляду формули визначаємо, що змінна „q” входить у формулу нерегулярно, а змінна „p” входить регулярно (із знаком заперечення ~p і без нього p).
Згідно з п.3 замість нерегулярної змінної підставляємо символ „х” (хиба) і отримуємо формулу: p /\ (p \/ х). За рівносильністю (50) отримуємо p, оскільки (p \/ х = p). Тепер формула набуває вигляду (p /\ p). Отже, дана формула не містить нерегулярно вхідних змінних. Тепер чинимо за п.5(а): замість регулярно вхідної змінної (p і p) підставляємо символ „і” (істина) і отримуємо вираз: і /\ ~і. Оскільки ~і (не-істина) за рівносильністю (43) є „х” (хибою), то маємо вираз (і /\ х). Так як (і /\ х) за рівносильністю (48) дає нам хибу („х”), то увесь вираз є хибним: і /\ х = х.
Далі діємо за п.5(б): замість регулярно вхідної змінної p підставляємо знак хиби („х”) і отримуємо вираз х /\ х. Знаючи, що за рівносильністю (44) х = і, маємо вираз: х /\ і, який за рівносильністю (48) рівний хибі („х”): х /\ і = х.
Отже, результат підстановки у формулу p /\ ~p за пп. 5 (а) та (б) значень „і” та „х” в обох випадках значення „х” (хиба). Такий результат дає підстави вважати, що зведена до нормальної форми формула p /\ (p ® q) є тотожно хибною, а отже, репрезентоване нею доведення (спростування) є некоректним.
Таким чином, за допомогою описаної вище розвязкової процедури можна зясувати логічне значення формули, що репрезентує доведення чи спростування, і заодно винести вердикт про їх коректність чи некоректність.
Завдання. Обґрунтуйте вивідність тези q із аргументів: (a1) p®q та (a2) p розвязковою процедурою логіки висловлень, звівши адекватну структуру доведення до нормальної форми.
Відповідь. Зєднавши аргументи конюнкцією (p ® q) /\ p і приєднавши тезу q імплікацією, утворюємо формулу, що репрезентує доведення: ((p ® q) /\ p) ® q. Отриману формулу зводимо до нормальної форми (НФ): ((p ® q) /\ p) ® q
((p®q) /\ p) \/ q (13)
((p®q) \/ p) \/ q (10)
((p \/ q) /\ p) \/ q (13)
((p /\ q) /\ p) \/ q (11)
(p /\ ~q) /\ (~p \/ q) (1) НФ
Оскільки змінні p і q входять у формулу нормальної форми регулярно (p і ~p та q і ~q), то застосовуємо припис за п.5 (а, б) до формули (p /\ ~q) \/ (~p \/ q):
а) (p /\ ~q) \/ (~p \/ q) б) (х /\ ~q) \/ (~х \/ q)
(і /\ ~q) \/ (~і \/ q) х \/ (і \/ q)
~q \/ (х \/ q) х \/ і
~q \/ q і
аа) q \/ q аб) q \/ q
і \/ і х \/ х
х \/ і і \/ х
і і
Оскільки формула (p /\ ~q) \/ (~p \/ q) набирає значення „істина” (і) в обох випадках, тобто в пп. (б), (аа) та (аб), то маємо підставу вважати, що формула, яка репрезентує доведення {((p ® q) /\ p) ® q}, є тотожно істинною, а отже, доведення тези q на основі аргументів p®q та p є коректним.
Розвязання можна подавати без пояснення.
Завдання. Обґрунтуйте вивідність тези (p /\ q) з аргументів: (a1) p та (a2) q розвязковою процедурою логіки висловлень за формулою: p ® q ® (p /\ q).
Відповідь. p ® q ® (p /\ q)
p \/ (q /\ (p /\ q)) (НФ)
а) ~і \/ (~q \/ (і /\ q)) б) х \/ (q \/ (х /\ q))
х \/ (q /\ q) і \/ (q \/ х)
~q \/ q і \/ q
і
аа) і \/ і аб) х \/ х
х \/ і і \/ х
і і
Отже, теза (p /\ q) випливає з аргументів p і q.
У ролі розвязкових процедур можна використовувати також методи редукції (зведення) формул, що репрезентують доведення чи спростування, шляхом еквівалентних перетворень до таких форм: конюнктивної нормальної форми (КНФ), дизюнктивної нормальної форми (ДНФ), досконалої конюнктивної нормальної форми (ДКНФ), досконалої дизюнктивної нормальної форми (ДДНФ), скороченої конюнктивної нормальної форми (СКНФ), скороченої дизюнктивної нормальної форми (СДНФ).
Розглянемо ці форми в зазначеному порядку.
Задля того, щоб використати ці розвязкові процедури в ролі засобів зясування коректності чи некоректності доведення (спростування), маємо засвоїти приписи або алгоритми процедур зведення до кожної з названих форм. Безперечно, ці приписи з часом забуваються, тому бажано їх записати на окремих карточках, а відтак принагідно користуватися ними. Основне завдання процесу навчання полягає не в тому, щоб якомога більше накопичити інформації, а в тому, щоб уміти нею користуватися у практичній діяльності.
Оскільки ви уже засвоїли процедуру зведення формул до нормальної форми та її практичне значення для зясування питання коректності міркувань, що виражають доведення чи спростування, то можемо приступити до зведення формул, що репрезентують такі міркування, до КНФ чи ДНФ, яке передбачає спершу редукцію формул до НФ, а відтак, за відповідним приписом, зведення їх до КНФ чи ДНФ.
Застосовуючи розвязкову процедуру зведення формули до КНФ чи ДНФ, можна для будь-якої формули з довільного списку формул А1, А2 ,... Аn розвязати завдання: чи є формула В логічним наслідком із сукупності засновків А1, А2 ,... Аn ,чи ні.
Зауважимо, що зведення формули до КНФ визначає її тотожну істинність, а зведення формули до ДНФ визначає її тотожну хибність. У випадку, коли ДНФ виявиться не хибною, то її можна звести до КНФ шляхом застосування закону дистрибутивності до тих пір, поки ми не отримаємо КНФ.
Насамперед, нагадаємо, що конюнктивна нормальна форма (КНФ) є конюнкцією елементарних дизюнкцій, еквівалентній даній формулі. Формула є КНФ, якщо вона має нормальну форму і в ній немає підформул вигляду (А \/ (В /\ С)) та ((В /\ С) \/ А).
Щоб звести будь-яку формулу до КНФ, треба спершу звести її до НФ, а відтак за допомогою рівносильностей (6) та (6) отримати формулу, що має КНФ. Рівносильності (6) і (6) є дистрибутивними законами:
(6) А \/ (В /\ С) = (А \/ В) /\ (А \/ С)
(6) (В /\ С) \/ А = (А \/ В) /\ (А \/ С)
Нехай нам треба знайти КНФ формули (p /\ (p ® q)) ® q.
Спершу зводимо її до НФ:
(p /\ (p ® q)) ® q
(p /\ (p ® q) \/ q (13)
~(p /\ (~p \/ q)) \/ q (13)
~p \/ (~p \/ q) \/ q (10)
~p \/ (~~p /\ q) \/ q (11)
~p \/ (p /\ q) \/ q (1)
(~p \/ q) \/ (p /\ ~q) закон асоціативності
(~p \/ q \/ p) /\ (~p \/ q \/ ~q) (6) закон дистрибутивності (КНФ)
Отримана формула (~p \/ q \/ p) /\ (~p \/ q \/ ~q) є КНФ формули (p ® (p ® q)) ® q. Навіть з вигляду КНФ можна зробити висновок, що КНФ тотожно істинна, бо містить в підформулах змінні із запереченням і без нього: ~p \/ p та q \/ ~q, які є тотожно істинними.
Пригадайте: вираз логіки висловлень є тотожно істинним, якщо в кожному дизюнктивному членові його конюнктивної форми будь-яка змінна зустрічається один раз із запереченням, а другий без заперечення. Якщо ця умова не виконується, то вираз є хибним або нейтральним. Так ось: якщо вихідна формула репрезентує доведення, то отриманий результат дає підстави зробити висновок про те, що воно є коректним, а отже, теза-наслідок q випливає з необхідністю із даних аргументів-засновків p і p ® q.
За допомогою даного методу можна спростовувати демонстрацію.
Завдання. Зясуйте відношення логічного слідування між тезою і аргументами у формулі, що репрезентує доведення: (p \/ q) r, де (p \/ q) аргумент, r теза.
Розвязок. (p \/ q) r
(p \/ q) \/ r (13)
(p /\ q) \/ r (11)
(p \/ r) /\ (q \/ r) (6) КНФ
Отже, КНФ не є тотожно істинною. Звідси випливає висновок про те, що між тезою r і аргументом (p \/ q) відсутнє відношення логічного слідування. Таким чином, доведення є некоректним.
Вправа. Зведіть до КНФ формулу p ® (p \/ q) та обґрунтуйте вивідність тези-наслідку із аргумента-засновку p.
Розвязок. p ® (p \/ q)
p \/ (p \/ q) (13)
(p \/ p \/ q) КНФ (закон асоціативності)
Формула (p \/ p \/ q) є тотожно істинною, про що засвідчує наявність у формулі, яка є підформулою самої себе, змінної p із запереченням (~p) і без заперечення (p). Отже, теза (p \/ q) виводиться із аргумента p.
Як уже зазначалося, зведення будь-якої формули до дизюнктивної нормальної форми має за мету визначити: чи є формула тотожно хибною або суперечністю. Нагадаємо, що вираз логіки висловлень є суперечністю, якщо в кожній конюнкції, що складає дизюнктивну нормальну форму, будь-яка змінна входить у підформулу хоча б один раз із запереченням, а другий раз без нього. Тобто ДНФ є тотожно хибною, якщо усі дизюнкти є хибними. За інших умов вона може бути нейтральною. Таким чином, виявивши суперечність виводу за допомогою ДНФ, що репрезентує доведення (спростування), ми маємо підставу визнати його некоректним.
За означенням, ДНФ формули є дизюнкцією елементарних конюнкцій, яка еквівалентна цій формулі. Щоб звести формулу до ДНФ, необхідно спершу звести її до НФ, а відтак кожну підформулу вигляду (А /\ (В \/ С)) та ((В \/ С) /\ А) замінити відповідно рівносильними за рівносильностями 7 і 7'.
(7) (А /\ (В \/ С)) = (А /\ В) \/ (А /\ С)
(7') ((В \/ С) /\ А) = (А /\ В) \/ (А /\ С)
Отримана за рівносильностями 7 і 7 формула буде дизюнктивною нормальною формою певної формули.
Нехай нам треба звести до ДНФ таку формулу: ((p ® q) /\ q) ® p, яка репрезентує доведення.
Спершу знаходимо її НФ, а відтак за приписом зведення формули до ДНФ, зясовуємо її істиннісне значення, яке приписуємо у якості оцінки доведенню чи спростуванню.
((p ® q) /\ q) ® p
((p \/ q) /\ ~q) \/ p (13), двічі
((p \/ q) \/ ~q) \/ p (10)
((p /\ q) \/ ~q) \/ p (11)
((p /\ q) \/ q) \/ p (1) НФ
(p \/ q) /\ (q \/ q) \/ p
(p /\ q) \/ (p /\ q) \/ (q /\ q) \/ (q /\ q) \/ p (7) ДНФ
Дана формула є нейтральною. Це означає, що відношення логічного слідування між аргументами і тезою є проблематичним.
Завдання. Чи можливо вивести тезу „r”, якщо доведення постане у вигляді формули (p ® (q ® r)) ® (p ® r).
Відповідь. (p ® (q ® r)) ® (p ® r)
(p \/ (~q \/ r)) \/ (~p \/ r) (13) тричі
p /\ (~q \/ r)) \/ (~p \/ r) (11)
(p /\ (~q /\ r)) \/ (~p \/ r) (11)
(p /\ q /\ r) \/ (~p \/ r) (1) НФ
(p /\ q /\ r /\ p) \/ (p /\ q /\ r /\ r) (7) ДНФ
ДНФ формули (p ® (q ® r)) ® (p ® r) засвідчує, що теза „r” випливає із аргументів p, q ® r, оскільки обидва конюнкти (p /\ q /\ r /\ p) та (p /\ q \/ r /\ r), утвореної ДНФ, містять у собі змінні, які входять один раз із запереченням, а другий раз без заперечення. Отже, ДНФ вихідної формули є тотожно хибною. Це означає, що теза „r” випливає із вказаних аргументів.
Завдання. Чи можливе коректне доведення, якщо воно репрезентоване наступною формулою: ((p ® q) /\ q) ® ~p
Відповідь. ((p ® q) /\ q) ® ~p
((p \/ q) /\ q) \/ ~p
(p \/ q) \/ q) \/ ~p
(p /\ q) \/ (q \/ ~p)
(p /\ q) \/ (q \/ ~p) НФ
(p /\ q /\ q) \/ (p /\ q /\ ~p) ДНФ
Оскільки ДНФ є тотожно хибною, то доведення, репрезентоване формулою (p ® q) /\ q) ® ~p, є коректним.
Досконала конюнктивна нормальна форма (ДКНФ) як розвязковий метод служить для виявлення усіх можливих наслідків із гіпотез (усіх тез із даних аргументів).
Щоб використати ДКНФ в якості методу, мусимо запамятати таку умову: кожна не тотожно істинна формула, що має конюнктивну нормальну форму (КНФ), називається досконалою.
Щоб отримати досконалу конюнктивну нормальну форму з будь-якої нетотожно істинної формули, треба:
Нехай нам треба звести до ДКНФ формулу (p ® q) ® ((q ® p) ® p).
Спершу зводимо її до НФ, а відтак до КНФ:
(p®q)®((q®p)®p)
(p \/ q)((q \/ ~p)®p) (13), двічі
(p \/ q) /\ (q \/ ~p) /\ p (13), двічі
(p /\ q) /\ (q /\ ~p) /\ p) (11), двічі
(p /\ q) \/ (q /\ p) \/ p (НФ) (1) тричі
(p \/ p) /\ (p \/ ~q) /\ (p \/ ~q) /\ (p \/ p) (КНФ)
Отримавши КНФ, зводимо її за нашим приписом до ДКНФ:
(p \/ p) /\ (p \/ ~q) /\ (p \/ ~q) /\ (p \/ p)
Викреслюємо повторення і отримуємо формулу:
p /\ (p \/ ~q) /\ p
Виявлені повторення усуваємо:
p /\ (p \/ ~q)
Дописуємо відсутню змінну до змінної p:
p \/ (q /\ ~q) /\ (p \/ ~q)
Застосовуємо закон дистрибутивності:
(p \/ q) /\ (p \/ ~q) /\ (p \/ ~q)
Викресливши повторювані конюнкти, отримуємо ДКНФ:
(p \/ q) /\ (p \/ ~q).
Отримана формула є ДКНФ формули (p®q)®((q®p)®p). Звідси робимо висновок про те, що множина усіх можливих наслідків, що випливають з формули (p®q)®((q®p)®p), є формули p \/ q і p \/ ~q. Оскільки наслідки містять одну із змінних і її заперечення, то ДКНФ є тотожно істинною. Це дає підставу стверджувати: висновок p випливає із засновків у формулі (p®q)®((q®~p)®p).
Якщо доведення чи спростування репрезентувати мовою логіки висловлень, то процедуру зведення до ДКНФ можна використати для розвязання проблеми пошуку усіх можливих наслідків із засновків у структурі міркування, а заодно й обґрунтування коректності чи некоректності доведення і спростування як логічних дій.
Якщо ДКНФ дає можливість виявити усі наслідки (тези) із засновків (аргументів), то досконала дизюнктивна нормальна форма (ДДНФ) передбачає виявлення усієї множини засновків (гіпотез), з яких випливають наслідки (тези). Зауважимо, що розвязкова процедура за допомогою ДДНФ уможливлює виявлення усіх гіпотез (засновків), у нашому розумінні аргументів, лише із нетотожно хибних формул.
Щоб звести формулу до ДДНФ, треба:
Отримана у такий спосіб формула є досконалою дизюнктивною нормальною формою (ДДНФ).
Продемонструємо вищевикладене на прикладі.
Припустимо, ми маємо отримати в процесі формалізації доведення чи спростувати формулу: (p®q) /\ (~q®p).
Оскільки ви вже засвоїли припис зведення формули до НФ та ДНФ, то обійдемося без коментарів:
(p®q) /\ (~q®p)
(p \/ q) /\ (q \/ р)
(p \/ q) /\ (q \/ р) НФ
(p /\ q) \/ (p /\ р) \/ (q /\ q) \/ (q /\ p) (7)
Викреслюємо повторення і тотожно хибні дизюнктивні члени. Отримана формула є ДНФ вихідної формули:
(p /\ q) \/ (q \/ (p /\ q)) ДНФ
Доповнюємо дизюнкт (q /\ (р /\ ~p)) і утворюємо формулу:
(p /\ q) \/ (q /\ (р \/ ~p)) \/ (p /\ q)
Застосовуємо закон дистрибутивності до утвореної шляхом доповнення підформули:
(p /\ q) \/ (р /\ q) \/ (~p /\ q) \/ (p /\ q)
Викреслюємо повторення і отримуємо формулу:
(p /\ q) \/ (р /\ q).
Одержані формули p /\ q або р /\ q складають оту множину гіпотез (засновків), з яких побудована вихідна формула.
Оволодівши методом зведення формули до ДДНФ, ви можете приступити до розвязання завдань на пошук аргументів-засновків, з яких виводяться тези-наслідки.
Завдання. Знайдіть усі можливі аргументи до тези: (p /\ q) \/ r.
Відповідь.
= (p /\ q) \/ r теза =
= (p /\ q) /\ (r /\ r) \/ r /\ (p \/ p) =
= (p /\ q /\ r) \/ (p /\ q /\ r) \/ (p /\ r) \/ (p /\ r) =
= (p /\ q /\ r) \/ (p /\ q /\ r) \/ (p /\ r /\ (q /\ q) \/ (p /\ r /\ (q /\ q) =
= (p /\ q /\ r) \/ (p /\ q /\ r) \/ (p /\ r /\ q) /\ (p /\ r /\ q) \/ (p /\ r /\ q) /\ (p /\ r /\ q) =
= (p /\ q /\ r) \/ (p /\ q /\ ~r) \/ (p /\ r /\ ~q) \/ (~p /\ p /\ r) /\ (p /\ r /\ ~q) = (ДДНФ)
Отже, кінцева формула є ДДНФ, яка містить усі можливі засновки-аргументи, з яких випливає теза-висновок (p /\ q) \/ r.
Завдання. З яких аргументів випливає теза p \/ q \/ r?
Відповідь.
p \/ q /\ r теза
p /\ (q /\ q) /\ q /\ (p \/ p) \/ r /\ (p \/ p) =
= (p /\ q) \/ (p /\ q) /\ (q /\ p) /\ (q /\ p) /\ (r /\ p) /\ (r /\ p) =
= (p /\ q /\ (r /\ r)) /\ (p /\ q /\ (r /\ r)) /\ (q /\ p /\ (r /\ r)) /\ (r /\ p /\ (q /\ q)) /\ (r /\ p) /\ (q /\ q)) = (p /\ q /\ r) /\ (p /\ q /\ r) /\ (p /\ q /\ r) /\ (p /\ q /\ r) /\ (p /\ q /\ r) /\ (p /\ q /\ r) /\ (p /\ q /\ r) /\ (p /\ q /\ r) /\ (p /\ q /\ r) /\ (p /\ q /\ r) (ДДНФ)
Отримана як результат перетворення формула є ДДНФ:
= (p /\ q /\ r) \/ (p /\ q /\ r) /\ (p /\ q /\ r) /\ (p /\ q /\ r) /\ (p /\ q /\ r) \/ (p /\ q /\ r) /\ (p /\ q /\ r).
Вона є множиною усіх можливих засновків-аргументів, з яких випливає теза (p /\ q /\ r).
Пошук простих наслідків (тез) із засновків (аргументів) здійснюється за допомогою скороченої конюнктивної нормальної форми певної формули, що репрезентує доведення як форму і спосіб міркування.
Щоб виявити усі прості наслідки (тези) із засновків (аргументів), треба звести КНФ до скороченої конюнктивної нормальної форми (СКНФ) даної формули. Задля цього мусимо виконати наступний припис цієї розвязкової процедури, а саме:
Отже, застосовуючи вищеозначений припис, ви зможете отримати усі прості наслідки із гіпотез-аргументів.
Завдання. Знайдіть усі можливі прості наслідки із таких аргументів-гіпотез:
pq; pr; (q /\ r).
Відповідь. Для того, щоб отримати усі можливі наслідки із даних аргументів (гіпотез), треба спершу зєднати аргументи конюнкцією:
(p®~q) /\ (~p®r) /\ ~(q /\ r).
Утворену формулу зводимо до нормальної форми, а відтак до КНФ:
(~p \/ ~q)1 /\ (p \/ r) 2 /\ (~q \/ ~r) 3 (13;13;1;10). НФ
З огляду формули, ми переконуємось, що НФ збігається з КНФ.
Здійснюємо усі виявлення: від першого і другого конюнктивного члена (~p \/ ~q)1 і (p \/ r)2 отримуємо новий конюнктивний член (~q \/ r)4 за (21) рівносильністю, який приписуємо через конюнкцію до КНФ:
(~p \/ ~q)1 /\ (p \/ r) 2 /\ (~q \/ ~r) 3 /\ (~q \/ r) 4.
Від другого конюнктивного члена (p \/ r) 2 і третього конюнктивного члена (~q \/ ~r) 3 отримуємо новий конюнктивний член (p \/ ~q) 5, який приєднуємо до КНФ:
(~p \/ ~q)1 /\ (p \/ r) 2 /\ (~q \/ ~r) 3 /\ (~q \/ r) 4 /\ (p \/ ~q) 5.
Від третього конюнктивного члена (~q \/ ~r) 3 і четвертого (~q \/ r) 4 утворюємо новий конюнктивний член (~q \/ ~q) 6, який приєднуємо конюнкцією до КНФ:
(~p \/ ~q)1 /\ (p \/ r) 2 /\ (~q \/ ~r) 3 /\ (~q \/ r) 4 /\ (p \/ ~q) 5 /\ (~q \/ ~q) 6.
В шостому конюнктивному членові маємо повторення дизюнктів ~q і ~q. Один з них викреслюємо. Тоді форма набере вигляду:
(~p \/ ~q)1 /\ (p \/ r) 2 /\ (~q \/ ~r) 3 /\ (~q \/ r) 4 /\ (p \/ ~q) 5 /\ ~q6.
Після виявлення здійснюємо поглинання за рівносильністю (19):
1) (~p \/ ~q) 1 /\ ~q6 = ~q
2) (~q \/ ~r) 3 /\ ~q6 = ~q
3) (~q \/ r) 4 /\ ~q6 = ~q
4) (p \/ ~q) 5 /\ ~q6 = ~q
Поглинаючі конюнктивні члени викреслюємо:
(~p \/ ~q) /\ (p \/ r) /\ (~q \/ ~r) /\ (~q \/ r) /\ (p \/ ~q) /\ ~q
Отримана після поглинання формула (p \/ r) /\ ~q є СКНФ вихідної формули, утвореної шляхом зєднання аргументів конюнкцією, а її підформули (p \/ r) та ~q є простими наслідками (тезами) із гіпотез-аргументів (а1) (p®~q); (а2) ~p®r; (а3) ~(q /\ r). Якщо аргументи істинні, то теза (p \/ r) є істинною, а теза (~q) є хибною. Отже, якщо гіпотези-засновки p®~q, ~p®r і ~(q /\ r) є істинними, то й (теза) наслідок є істинним, а теза (наслідок) ~q є хибною.
Зауважимо, що зводячи формулу до СКНФ, вигідно чергувати закони виявлення і поглинання. Формула, що отримана в результаті застосування припису, має скорочену конюнктивну нормальну форму і кожний її конюнкт є простим наслідком-тезою формули, що виражає гіпотези як аргументи.
Завдання. Обґрунтуйте або доведіть тезу „Тільки хтось із трьох підозрюваних (К., М., Я.) фальсифікував результати голосування. Результати розслідування парламентської комісії наступні:
„К. твердить, що фальсифікацією займався М.”
„М. твердить, що фальсифікацією займався К.”
„Я. твердить, що фальсифікацією не займався”.
Одне із тверджень є істинним.
Зразок відповіді. Спершу кожне показання-твердження символізуємо змінними логіки висловлень. Нехай висловлення „Фальсифікацією займався К.” відповідає змінна „p”, висловленню „Фальсифікацією займався М.” змінна „q”, висловленню „Фальсифікацією займався Я.” змінна „r”.
Той факт, що фальсифікацією міг займатися один із трьох, записуємо у вигляді формули, що виражає умову про те, що жодні два висловлення з трьох не можуть бути одночасно істинними:
(1) ~(p /\ q) /\ ~(p /\ r) /\ ~(q /\ r).
Далі записуємо відповідне показання кожного з трьох мовою символів (q, p, ~r). Оскільки істинним є одне із трьох тверджень, то жодні два твердження не можуть бути одночасно істинними. Цю умову записуємо так: (2) ~(q /\ p) /\ ~(q /\ ~r) /\ ~(p /\ r). Далі обидві умови (1) і (2) зєднуємо конюнкцією і зводимо утворену формулу спершу до КНФ (конюнктивної нормальної форми), а відтак до скороченої конюнктивної нормальної форми (СКНФ).
~(p /\ q) /\ ~(p /\ r) /\ ~(q /\ r) /\ ~(q /\ p) /\ ~(q /\ ~r) /\ ~(p /\ r) = (~p \/ ~q) /\ (~p \/ ~r) /\ (~q \/ ~r) /\ (~q \/ ~p) /\ (~q \/ r) /\ (~p \/ r) (НФ)
В отриманій НФ викреслюємо повторення. Отримана формула набирає вигляду КНФ:
(~p \/ ~q) /\ (~p \/ ~r) /\ (~q \/ ~r) /\ (~q \/ r) /\ (~p \/ r)
Застосовуючи до КНФ закони виявлення, отримуємо формулу, в якій усуваємо повторення:
(~p \/ ~q) /\ (~p \/ ~r) /\ (~q \/ ~r) /\ (~q \/ r) /\ (~p \/ r) /\ (~p \/ ~q) /\ (~q \/ ~q) /\ (~p \/ ~p) \/ r
Після вищеозначеної процедури здійснимо поглинання:
(~p \/ ~q) /\ (~p \/ ~r) /\ (~q \/ ~r) /\ (~q \/ r) /\ (~p \/ r) /\ ~q /\ p /\ r
В результаті поглинання ми отримали СКНФ формули, що обєднувала дві умови: (1) і (2):
~q /\ ~p /\ r (СКНФ)
Таким чином, наслідками з формули, що виражає дві умови, є формули ~q, ~p і r.
Зведена до СКНФ вихідна формула засвідчує, що висловлені твердження ~q і ~p є хибними, а висловлення r є істинним. Отже, теза „Хтось із трьох підозрюваних (К., М., Я.) фальсифікував результати голосування” випливає з наведених умов (гіпотез), оскільки один із трьох підозрюваних (r) фальсифікував результати голосування.
Скорочена дизюнктивна нормальна форма розвязкова процедура пошуку простих гіпотез (аргументів-засновків), із яких побудовані доведення (спростування).
Проблему вивідності тези з аргументів можна, на наш погляд, розвязувати шляхом зведення формули, що репрезентує доведення (спростування) до скороченої дизюнктивної нормальної форми (СДНФ).
Щоб звести формулу до СДНФ, треба здійснити наступні перетворення:
Отримана формула і є скороченою ДНФ даної формули, кожний дизюнкт якої і є простою гіпотезою.
Таким чином, для того, щоб отримати усі прості гіпотези, тобто знайти ті слабкі припущення (в нашому випадку аргументи), за яких дана формула була б їх наслідком, треба звести формулу до СДНФ. Інакше кажучи, формула, отримана методом зведення до СДНФ, репрезентує міркування, структурні елементи якого містять тезу й аргументи, що повязані між собою відношенням логічного слідування.
Процедура зведення формули до НФ та ДНФ вам відома, проте коротко нагадаємо умови зведення формули до ДНФ. Отже, звівши формулу до НФ, треба за рівносильностями (7) (А /\ (В /\ С)) = (А /\ В) /\ (А /\ С) та (7) ((В /\ С) /\ А) = (А /\ В) /\ (А /\ С) звести її до ДНФ. Відтак, отриману ДНФ звести до СДНФ.
Завдання. Обґрунтуйте коректність доведення, репрезентованого формулою ((p /\ q) \/ r)®r, вказавши прості гіпотези, з яких вона випливає.
Відповідь. ((p /\ q) \/ r)®r
~((p /\ q) \/ r) \/ r (13)
~(p /\ q) /\ ~r \/ r (11)
((~p \/ ~q) /\ ~r) \/ r (10)
(~p /\ ~r) \/ (~q /\ ~r) \/ r (7)
(~p /\ ~r) \/ (~q /\ ~r) \/ r \/ ~p \/ ~q (22б)
(~p /\ ~r) \/ (~q /\ ~r) \/ r \/ ~p \/ ~q (20)
r \/ ~p \/ ~q СДНФ
Отже, формула ((p /\ q) \/ r)®r випливає із гіпотез або r, або ~p, або ~q. Таким чином, доведення, репрезентоване формулою ((p /\ q) \/ r) ® r, де тезою є висловлення r і аргументами висловлення (p /\ q) та r, є коректним.
Завдання. Які прості гіпотези лягли в основу побудови доведення, аргументами якого є висловлення p ® q, q ® r, p, а тезою є висловлення r? Висновок обґрунтуйте відповідною процедурою.
Відповідь. Щоб обґрунтувати вивідність тези r з аргументів p ® q, q ® r, p, треба зясувати: які прості гіпотези (припущення) лягли в основу побудови формули, що репрезентує доведення. Задля цього зєднуємо аргументи конюнкцією, а тезу приєднуємо імплікацією:
((p®q) /\ (q®r) /\ p)®r.
Оскільки за умовою завдання нам треба знайти прості гіпотези (припущення), що лягли в основу побудови структури доведення, то застосовуємо метод зведення утворення формули до СДНФ.
Щоб утворити СДНФ даної формули, зводимо спершу її до НФ, а відтак до ДНФ, і тільки після цих процедур переходимо до перетворення ДНФ у СДНФ, яка і дасть нам відповідь на сформульоване завдання.
((p ® q) /\ (q ® r) /\ p) ® r
~((~p \/ q) /\ (~q \/ r) /\ p) \/ r (13)тричі
(~(~p \/ q) \/ ~(~q \/ r) \/ ~p) \/ r (11)
((~~p /\ ~q) \/ (~~q /\ ~ r) \/ ~p) \/ r (10)
(p /\ ~q) \/ (q /\ ~r) \/ ~p \/ r (1)
(p /\ ~q) \/ (q /\ ~r) \/ ~p \/ r \/ r \/ ~q \/ q \/ ~r \/ p (22б)
~p \/ r \/ r \/ ~q \/ q \/ ~r \/ p (20)
Отже, простими гіпотезами (припущеннями), що лягли в основу побудови доведення, поданого формулою ((p ® q) /\ (q ® r) /\ p) ® r, є: або ~p, або r, або ~q, або q, або ~r, або p.
Таким чином, завершуючи знайомство з деякими методами, процедурами, способами логічного аналізу формул, що репрезентують доведення (спростування) у контексті логіки висловлень як логічної теорії, ви переконалися не тільки в її прагматичності, а й набули самі певних навичок і умінь оперувати її законами, правилами, методами. Зауважимо, що не всі вони є наразі достатніми для розвязання складних проблем, повязаних із зясуванням логічних основ аргументації і т. ін. Як і будь-які методи, вони обмежені в застосуванні. Досить таки часто і доведення, і спростування як форми і способи міркування потребують нових засобів логічного аналізу, зумовлених не тільки формою, а й мовою, якою вони формалізуються, а також відповідними правилами і законами утворення й перетворення формул, що репрезентують доведення і спростування.
Тому наступним етапом в оволодінні навичками логічного аналізу формалізованих і неформалізованих доведення й спростування ви ознайомитеся в наступному розділі.
6.2.2. ДОВЕДЕННЯ І СПРОСТУВАННЯ ЗАСОБАМИ ЛОГІКИ ПРЕДИКАТІВ
Логіка предикатів як логічна теорія є розширенням логіки висловлень, тому основні правила, закони і методи останньої переходять у логіку предикатів. Звідси випливає, що засоби логічного аналізу логіки висловлень можна застосовувати в логіці предикатів для зясування логічної природи міркувань, у формі яких здійснюються доведення і спростування. Сказане не означає, що логіка предикатів позбавлена іманентних їй засобів логічного аналізу міркувань. Є чимало розвязкових процедур, вироблених логікою предикатів, якими послуговуються для зясування коректності міркувань, що репрезентують вказані вище логічні дії.
Як правило, доведення (спростування) постають у формі умовиводів логіки предикатів (безпосередніх чи опосередкованих), моделі чи схеми яких вам відомі. Найпоширенішою дедуктивною формою прямого й непрямого доведення (спростування) є простий категоричний силогізм, його фігури, модуси та полісилогізми. Якщо в традиційній логіці аналіз цих логічних форм подається переважно змістовно, то в логіці предикатів переважають розвязкові процедури у вигляді формальних числень. Потреба впевнитись у досконалості чи коректності доведення (спростування) на рівні змістовного логічного аналізу актуалізує пошук методів чи засобів формалізованого аналізу. Мусимо зауважити, що змістовний і формальний виміри логічного аналізу взаємозумовлюють і взаємодоповнюють один одного, а не виключають. До цього слід додати й таке: знайомство з розвязковими процедурами логіки предикатів це пролегомени до логічного аналізу дискурсу як однієї з форм текстового подання доведення чи спростування.
6.2.2.1. РОЗВЯЗКОВА ПРОЦЕДУРА ДЛЯ ДЕДУКТИВНИХ ФОРМ ОБҐРУНТУВАННЯ
ВИВІДНОСТІ ТЕЗИ З АРГУМЕНТІВ
Якщо доведення постає у формі модусів простого категоричного силогізму, то для зясування вивідності тези-висновку із аргументів-засновків користуємося розвязковою процедурою для виводів логіки предикатів.
Суть цієї процедури розглянемо на прикладі розвязання конкретного завдання, щоб ви могли збагнути його алгоритм.
Завдання. Обґрунтуйте за допомогою розвязкової процедури логіки предикатів вивідність тези з аргументів у доведенні, що має форму третього модусу третьої фігури силогізму.
Відповідь. Третім модусом третьої фігури є модус Datisi. Голосні літери у слові Datisi (a, i, i) вказують на те, що більший засновок силогізму є загальноствердним судженням (А), менший засновок судження частковоствердне (І), висновок судження частковоствердне (І). За означенням, третьою фігурою силогізму є такий його вид, в якому середній термін (М) займає місце субєкта в більшому і меншому засновках. Доведення у формі модусу Datisi має такий вигляд:
(а1) Усі патріоти М безстрашні P
(а2) Деякі патріоти М українці S
(T) Деякі українці S безстрашні P
Щоб обґрунтувати вивідність тези „Деякі українці безстрашні” із аргументів-засновків а1 та а2 розвязковою процедурою логіки предикатів, ми мусимо заформалізувати мовою логіки предикатів і засновки, і висновок:
(а1) x (M(x) P(x))
(а2) x (M(x) /\ S(x))
(T) x (S(x) /\ P(x))
Зєднуємо засновки-аргументи конюнкцією, а висновок-тезу приєднуємо імплікацією:
"x (M(x) ® P(x)) /\ $x (M(x) /\ S(x)) x (S(x) /\ P(x)).
Вирази з квантором загальності () перетворюємо в екзистенційні (з квантором існування ()) за рівносильністю: (а1) "x P(x) $x P(x).
Як результат, маємо вираз:
$x ((M(x) ®P(x)) /\ $x (M(x) /\ S(x))$x (S(x) /\ P(x)).
Отриману формулу зводимо до виразу логіки висловлень, здійснюючи на основі відповідних рівносильностей перетворення, що призведуть до утворення формули, яка не міститиме: сполучника імплікації (®) у виразі, символ заперечення (~) стоятиме тільки біля змінних (S,P,M), подвійне заперечення (~~) також не матиме місця.
Отже, усуваємо „внутрішню” імплікацію у виразі $x ((M(x) ® P(x)) на основі рівносильності (13) (А ® В ~А \/ В):
~$x ~(~(M(x) \/ P(x) ) /\ $x (M(x) /\ S(x)) $x (S(x) /\ P(x)).
За рівносильністю (11) {~(А \/ В)~А /\ ~В} усуваємо заперечення виразу ~$x ~(~(M(x) \/ P(x) ):
~$x (~~M(x) /\ ~P(x)) /\ $x (M(x) /\ S(x))$x (S(x) /\ P(x)).
Усуваємо подвійне заперечення у виразі ~$x(~~M(x) /\ ~P(x)) за рівносильністю (1):
~$x (M(x) /\ ~P(x) ) /\ $x (M(x) /\ S(x)) $x (S(x) /\ P(x) ).
Замінюємо „зовнішній” сполучник „®”, що зєднує аргументи із тезою на конюнкцію „ /\ ” і заперечуємо вираз, що є тезою:
~$x (M(x) /\ ~P(x)) /\ $x (M(x) /\ S(x)) /\ ~$x (S(x) /\ P(x)).
Вираз, який не має квантора заперечення ($x(M(x) /\ S(x)) ставимо на місце антецедента, а вирази, що містять заперечення квантора існування, зєднуємо дизюнкцією „ \/ ” і приєднуємо в якості консеквента імплікацією, але без заперечень квантора $x:
$x (M(x) /\ S(x))®$x(M(x) /\ ~P(x)) \/ $x(S(x) /\ P(x))
Відкидаємо квантори і предметну змінну x. Отриманий вираз логіки висловлень апробуємо методом таблиць істинності:
(M /\ S)®(M /\ ~P) \/ (S /\ P)
і і і і і х х і і і і
х х і і х х х і і і і
і і і і і і і і і х х
х х і і х х і х і х х
і х х і і х х х х х і
х х х і х х х х х х і
і х х і і і і і х х х
х х х і х і і і х х х
Таблиця істинності дає підстави твердити, що формула модусу Datisi "x (M(x)®P(x)) /\ $x (M(x) /\ S(x))x (S(x) /\ P(x)), яка репрезентує дедуктивне доведення мовою логіки предикатів, є тотожно істинною або логічно загальнозначущою, а відповідний їй умовивід коректний.
Отже, теза „Деякі українці безстрашні” випливає з аргументів „Усі патріоти безстрашні” та „Деякі патріоти українці”.
Зауважимо, що відповідь можна подавати без пояснення процедури перетворення формул за рівносильностями. У такому випадку умовивід подаємо у формалізованому вигляді, а відтак здійснюємо розвязкову процедуру.
Завдання. Здійсніть обґрунтування вивідності тези з аргументів за модусом Dimaris розвязковою процедурою логіки предикатів.
Відповідь. (а1) $x (P(x) /\ M(x))
(а2) "x (M(x)®S(x))
(T) x (S(x) /\ P(x))
$x (P(x) /\ M(x)) /\ "x (M(x)®S(x))®x (S(x) /\ P(x))
$x (P(x) /\ M(x)) /\ ~$x~(M(x)®S(x))®x (S(x) /\ P(x))
$x (P(x) /\ M(x)) /\ ~$x~(~M(x) \/ S(x))®x (S(x) /\ P(x))
$x (P(x) /\ M(x)) /\ ~$x(~~M(x) /\ ~S(x))®x (S(x) /\ P(x))
$x (P(x) /\ M(x)) /\ ~$x(M(x) /\ ~S(x))®x (S(x) /\ P(x))
$x (P(x) /\ M(x)) /\ ~$x(M(x) /\ ~S(x)) /\ ~x (S(x) /\ P(x))
$x (P(x) /\ M(x))®$x(M(x) /\ ~S(x)) \/ x (S(x) /\ P(x))
(P /\ M)®(M /\ ~S) \/ (S /\ P)
і і і і і і х і і і і
і х х і х х х і і і і
х х і і і х х х і х х
х х х і х х х х і х х
і і і і і і і і х х і
і х х і х х і х х х і
х х і і і і і і х х х
х х х і х х і х х х х
Таким чином, теза x (S(x) /\ P(x)) випливає із аргументів: (а1) $x (P(x) /\ M(x)) та (а2) "x (M(x)®S(x)).
6.2.2.2. РОЗВЯЗКОВА ПРОЦЕДУРА В СИСТЕМІ НАТУРАЛЬНОГО ВИВОДУ
Обґрунтувати вивідність (невивідність) тези з аргументів можна численням в системі натурального виводу (СНВ) логіки предикатів, послуговуючись правилами і законами логіки предикатів, що забезпечують перехід від вихідних формул до похідних, або вивідних (Див.: Додаток 8.7). Отже, обґрунтовуючи логічну коректність чи некоректність доведення (спростування) методом числення, ми водночас розвязуємо проблему вивідності чи невивідності тези з аргументів. Безперечно, що мовиться про ті фрагменти знання (змістовні, формальні чи напівформальні), котрі репрезентують доведення чи спростування.
Завдання. Обґрунтуйте вивідність тези з аргументів у системі натурального виводу логіки предикатів за формулою, що репрезентує доведення:
"x (S(x) ®M(x)), "x (M(x)®P(x)) ╞ "x (S(x)®P(x))
Відповідь.
1. "x (S(x)®M(x)) припущення
2. "x (M(x)®P(x)) припущення
3. ~"x (S(x)®P(x)) припущення непрямого доведення
4. S(x)®M(x) У" (1)
5. M(x)®P(x) У" (2)
6. $x ~(S(x)®P(x)) З" (3)
7. ~(S(x)®P(x)) У$ (6)
8. S(x) /\ ~P(x) ЗІ (7)
9. S(x) УК (8)
10. ~P(x) УК (8)
11. M(x) МР (4,9)
12. Р(x) МР (5, 11)
13. ~Р(x) /\ Р(x) ВК (10, 12)
Отже, "x (S(x)®M(x)), "x (M(x)®P(x)), ~"x (S(x)®P(x)) ╞ ~Р(x) /\ Р(x) на основі послідовності (Г) 1 13. Отримана із аргументів-засновків, включаючи припущення непрямого доведення, суперечність (~Р(x) /\ Р(x)) засвідчує, що доведення у формі силогізму "x (S(x)®M(x)), "x (M(x)®P(x)) ╞ "x (S(x)®P(x)) є коректним. Таким чином, теза "x (S(x)®P(x)) є вивідною із аргументів: "x (S(x)®M(x)) і "x (M(x)®P(x)).
Завдання. Чи коректний звязок між тезою $x (S(x) /\ ~P(x)) та аргументами: (а1) "x (Р(x)®M(x)) та (а2) "x (S(x) /\ ~M(x))? Обґрунтуйте свій висновок численням у системі натурального виводу.
Відповідь.
"x (Р(x)®M(x)), $x (S(x) /\ ~M(x)) ╞ $x (S(x) /\ ~P(x))
Отже, "x (Р(x)®M(x)), $x (S(x) /\ ~M(x)) ╞ $x (S(x) /\ ~P(x)). Звідси випливає, що між тезою і аргументом має місце відношення логічного слідування.
6.2.2.3. РОЗВЯЗКОВА ПРОЦЕДУРА ВИЗНАЧЕННЯ КОРЕКТНОСТІ ФОРМИ
ДОВЕДЕННЯ (СПРОСТУВАННЯ) МЕТОДОМ АНАЛІТИЧНИХ ТАБЛИЦЬ
Розвязкова процедура методом аналітичних таблиць передбачає знання аналітичних правил (Див. додаток 8.9).
Завдання. Визначте методом аналітичних таблиць логічну коректність доведення у формі силогізму: „Усі українці талановиті”, „Ющенко українець”. Отже, „Ющенко талановитий”.
Щоб розвязати це завдання, треба спершу заформалізувати аргументи-засновки і тезу-висновок. Засновок „Усі українці талановиті” репрезентуємо формулою "x (P(x) ®Q(x)), де "x квантор загальності, P знак предикатора „бути українцем”, Q знак предикатора „бути талановитим”. Формулу логічного засновку „Ющенко українець” записуємо як P(а), де а предметна константа, яка відповідає імені „Ющенко”. І нарешті, формулу висновку записуємо як Q(а). Засновок зєднуємо конюнкцією і отримуємо підформулу "x P(x) ®Q(x) /\ P(а), до якої приєднуємо наслідок знаком вивідності: "x (P(x) ®Q(x)) /\ P(а) ╞ Q(а).
Розвязуємо завдання методом аналітичних таблиць.
Відповідь. "x (P(x) ®Q(x)) /\ P(а) ® Q(а)
F "x (P(x) ®Q(x)) /\ P(а) ® Q(а)
T "x (P(x) ®Q(x)) /\ P(а), F Q(а)
T "x (P(x) ®Q(x)), T P(а)
T Sxa (P(x) ®Q(x))
T (P(a) ®Q(a))
F P(а) | T Q(а)
1. {F P(а), T Q(а), F Q(а)}
2. {T Q(а), T P(а), F Q(а)}
Таблиці засвідчують, що дана формула є замкненою. Це означає, що формула, яка репрезентує доведення, є логічним законом. Отже, між засновками-аргументами і висновком-тезою наявне відношення логічного слідування.
Завдання. Обґрунтуйте методом аналітичних таблиць вивідність тези з аргументів за модусом Cesare.
Відповідь.
+ + + + + +
Отже, формула є замкненою. Це означає, що вивідність тези з аргументів зумовлена наявністю відношення логічного слідування між тезою й аргументами.
6.2.2.4. ДОВЕДЕННЯ І СПРОСТУВАННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ ЗАКОНІВ І ПРАВИЛ
ЛОГІКИ ВИСЛОВЛЕНЬ ТА ЛОГІКИ ПРЕДИКАТІВ
Насамперед ви маєте чітко знати наступне: доведення обґрунтовує впевненість у тому, що доводжуване висловлення істинне. Спростування обґрунтовує впевненість у тому, що спростовуване висловлення хибне. Для зясування коректності чи некоректності доведення і спростування користуються одними і тими самими логічними засобами, але різняться вони функціонально. Подібне спостерігаємо за формами і способами доведення чи спростування: не будь-який дедуктивний умовивід є дедуктивним доведенням, як і дедуктивне доведення не завжди відбувається у формі дедуктивного умовиводу, не кажучи вже про взаємозвязок прямого й непрямого доведення чи спростування.
Доведення чи спростування постають у вигляді певних фрагментів знання, виражених як природною мовою, так і мовою символів. Ці фрагменти є певною системою різноманітних розсудкових форм, внутрішня структура яких містить різнотипні форми мислення, що відображають рух думки залежно від онтології предмета міркування, а тому звязки між цими формами мислення виражають певні види форми, які є водночас і способами переходу від однієї думки до іншої, які можуть виконати іманентну їм логічну функцію у контексті правил і законів споріднених або доповнюваних логічних систем. Часто в доведенні (спростуванні), де застосовують правила і закони логіки висловлень і логіки предикатів, виникають труднощі, повязані з вибором вихідних виразів і правил міркування, а також пошуком шляху, який веде від вихідних виразів до спростовуваного чи доводжуваного.
Принципово не має значення, яке місце посідає теза у структурі доведення (спростування): чи спершу формулюється теза, а відтак підбираються аргументи та зясовують звязок між ними, чи теза є наслідком з аргументів, що сформульовані раніше, а нам залишається знайти тільки звязок між ними і т. ін. Так чи інакше, ми мусимо знайти можливий хід думки, що потребує або уже має обґрунтування, за способом чи формою набуття нею істиннісного значення.
Пряме доведення тези полягає у тому, щоб із апробованих практикою істинних висловлень-засновків отримати істинний висновок за правилами чи законами відповідної логічної теорії. У простих випадках доводжуване речення отримують як результат підстановки.
Розглянемо метод підстановки на прикладі.
Завдання. Доведіть тезу „Існують центристи”.
Якщо записати цей мовний вираз мовою логіки предикатів, то він набере вигляду квантованого квантором існування предикатора та прикванторної і предикатної предметної змінної, а саме: $x R(x), де предикатор R означає „бути центристом”, а x область людей.
Відповідь. Щоб довести сформульовану тезу $x R(x), треба віднайти аргументи. Такими аргументами можуть бути закони логіки предикатів та вирази, які приймаються нами за істинні:
(1). "x F(x) ® F(y) (У")
(2). F(y) ® $x F(x) (В$)
(4). A(b) „Ющенко українець”.
(5). ~D(b) „Ющенко не демократ”.
Здійснюємо підстановку в першому рядку. Замість F(x) підставимо (A(x) ® (D(x) \/ R(x)), а замість F(y) (A(y) ® (D(y) \/ R(y)) і отримуємо новий рядок:
(6) "x A(x) ® (D(x) \/ R(x)) ® A(y) ® (D(y) \/ R(y))
Ця імплікація є істинною, оскільки підстановка здійснена в загальнозначущих формулах. Наступний рядок одержимо за МР від 3 і 6 рядків:
(7) A(y) ® (D(y) \/ R(y))
Здійснюємо знову підстановку у вираз (7): замість y підставляємо предметну константу b, яка репрезентує власне імя (Ющенко) і отримуємо вираз:
(8) A(b) ® (D(b) \/ R(b))
Застосувавши МР до пп. 4 і 8, ми на 9-му кроці одержимо вираз:
(9) D(b) \/ R(b)
За МТР від 9 і 5 рядків отримуємо:
(10) R(b) .
Якщо ми підставимо предметну константу „b” замість „y”, а замість F предикатор R, то отримаємо вираз:
(11) R(b) ® $x R(x)
Застосовуючи правило МР до (10) і (11) рядків, маємо новий вираз, який і буде доводжуваним реченням, у нашому випадку тезою:
(12) $x R(x)
Якщо обійтись без пояснень, то процедура обґрунтування тези набере такого вигляду:
Завдання. Доведіть тезу „Існують центристи”.
Відповідь.
1. "x F(x) ® F(y)
2. F(y) ® $x F(x)
3. "x (A(x) ® (D(x) \/ R(x))
4. A(b)
5. ~D(b)
6. "x A(x)®(D(x) \/ R(x))®A(y) ®(D(y) \/ R(y)) ПП (1)
7. A(y) ® (D(y) \/ R(y) ) MP (3,6)
8. A(b) ® (D(b) \/ R(b)) ПП(ІІ) b(y) (7)
9. D(b) \/ R(b) MP (4,8)
10. R(b) MTP (5,9)
11. R(b) ® $x R(x) ПП(ІІ) 2 y(b); F(R)
12. $x R(x) MP (10,11)
Таким чином, формула $x R(x), отримана із засновків-аргументів (1 5) та правил логічного слідування логіки предикатів, є вивідною. Отже, теза „Існують центристи” є доведеною, оскільки випливає з істинних аргументів. Довівши істинність тези, ми водночас спростовуємо її антитезу.
Бувають випадки, коли пряме доведення неможливе або недоцільне. Тоді істинність тези намагаються довести „від супротивного”, або „від протилежного”. Слід мати на увазі, що із моделі чи схеми доведення можна сконструювати модель чи схему спростування, замінюючи слово „істина” на „хиба”. Можна довести тезу, обґрунтувавши аргументи, але не можна спростувати тезу, спростовуючи аргументи, бо не завжди хибність аргументів веде до хибності тези. Спростування аргументів актуалізує пошук нових аргументів. Неможливо спростувати тезу, довівши відсутність відношення логічного слідування між тезою і аргументами. У цьому випадку пошук треба вести також в напрямку знаходження нових аргументів.
6.2.2.5. ІНТЕРПРЕТАЦІЯ ЯК ЗАСІБ ОБҐРУНТУВАННЯ КОРЕКТНОСТІ ДОВЕДЕННЯ АБО СПРОСТУВАННЯ
Інтерпретація, як і будь-який спосіб обґрунтування коректності доведення чи спростування, не є універсальним засобом, але може бути використана в практиці логічного аналізу як допоміжний метод. Знайомство з цим методом дає можливість розширити уявлення про розвязкові процедури логіки предикатів.
Щоб коректно розвязати завдання методом інтерпретації, вам треба знати спершу про вільне і звязане входження змінної у формулу. Змінна є звязаною, якщо вона перебуває в області дії кванторів, у решті випадків вона є вільною. Так, у формулі х1Р(х2) Р(у3) перше і друге входження змінної „х” є звязаним квантором , а входження змінної „у” вільним. Зауважимо, що істиннісне значення формули залежить від вільних змінних.
Нехай ми маємо формулу Р(х1) х2Р(х3). Тут змінна „х” входить у формулу тричі, але тільки друге і третє входження змінної х є звязаним квантором загальності (), а перше входження змінної х є вільним.
Проінтерпретуємо цю формулу на істиннісне значення. За множину інтерпретації візьмемо двоелементну множину (М) {3,4}; одномісну предикатну змінну Р витлумачуємо як властивість „є парним числом”. Замінимо Р(х) виразом „х парне число”. Консеквент імплікації (хР(х)) перейде у висловлення „Для будь-якого х{3,4} х є парним числом”, тобто („3 парне число”) /\ („4 парне число”), яке буде хибним. (Нагадаємо, що квантор загальності розподіляється стосовно конюнкції, а квантор існування стосовно дизюнкції). Отже, антецедент імплікації Р(х)хР(х) у даній інтерпретації переходить у предикат „х парне число”, де змінна х пробігає множину {3,4}. При х = 3 інтерпретацією формули Р(х)хР(х) буде істинне висловлення Р(х)хР(х) Р(х)(Р(х) /\ Р(х)) „Якщо (3-парне число), то (3 парне число) і (4 парне число): (3-парне число)(3-парне число) /\ (4-парне число):
х і /\ х
і х
При х = 4 отримаємо хибне висловлення:
(4-парне число)(3-парне число) /\ (4-парне число).
і х /\ і
х х
Цей результат зумовлений тим, що формула Р(х)®"хР(х) не є замкненою, а її інтерпретація залежить від вільної змінної х.
У логіці предикатів ми маємо справу з універсальною множиною, яка може містити значну кількість елементів. За такої умови складання таблиць істинності стає неможливим. Крім того, в логіці предикатів містяться предикатні змінні, значеннями яких є конкретні предикати. Щоб застосувати розроблений апарат аналізу логіки висловлень у логіці предикатів, треба надати предикатним змінним певної інтерпретації. Нагадаємо, що інтерпретацією формули на певній множині називають заміщення кожної n-місної предикатної змінної у формулі відповідним n-місним входженням кожної предметної сталої (деяким елементом з множини М). Інтерпретацією формули логіки предикатів, яка не містить вільних предметних змінних, є певне висловлення. Коли формула містить вільні предметні змінні, інтерпретація дає висловлювальну форму, істиннісне значення якої залежить від вільних змінних.
З метою кращого засвоєння процесу оцінки формули логіки предикатів, розглянемо випадок, коли множина інтерпретації М містить два елементи {a,b}, а предикати, що входять у дану формулу, двомісні.
На двоелементній множині {a,b} кількість одномісних логічних функцій дорівнює чотирьом. Виписуємо їх у таблицю (символом „L” позначаємо логічну функцію), а істиннісне значення функції залежить від аргументів „х” та „і”.
х |
L1 |
L2 |
L3 |
L4 |
a |
x |
x |
i |
i |
b |
x |
i |
x |
i |
Мета розвязкової процедури полягає у наступному:
Застосовуючи метод інтерпретації, ми оцінюємо формулу, що виражає або репрезентує, наприклад, доведення, на її істиннісне значення. Зясовуючи логічне значення формули, ми розвязуємо водночас проблему про клас формули, а також питання про наявність відношення логічного слідування між формулами, що виражають аргументи, та формулами, які репрезентують тезу в структурі конкретного доведення.
Припустимо, треба оцінити формулу логіки предикатів на її істиннісне значення і, таким чином, зясувати проблему вивідності тези з аргументів, інтерпретуючи її на двоелементній множині {a,b} множини М.
Нехай формула "хР(х)®Р(у) виражає одну із форм міркування, характерну для безпосередніх умовиводів, де аргументом є антецедент "хР(х), а тезою консеквент Р(у) (у нашому тлумаченні).
Складаємо таблицю, на вході якої записуємо предикатні змінні та вільні предметні змінні, що входять у формулу. Предикатна змінна Р(у) пробігає множину одномісних логічних функцій (L1 L4) на {a,b}, вільна предметна змінна у та змінна х пробігають множину {a,b}. Застосовуючи правило оцінки для операцій логіки висловлень, враховуючи при цьому, що квантор загальності розподіляється стосовно конюнкції, а квантор існування стосовно дизюнкції.
Завдання. Проінтерпретуйте на множині {a,b} формулу "хР(х)®Р(у), яка репрезентує безпосереднє доведення, де Р(у) теза, а "хР(х) аргумент.
Відповідь. Таблиця результату інтерпретації:
№ п/п |
Р |
у |
"хР(х) |
Р(у) |
"хР(х)®Р(у) |
1 |
L1 |
a |
х |
х |
і |
2 |
L1 |
b |
х |
х |
і |
3 |
L2 |
a |
х |
х |
і |
4 |
L2 |
b |
х |
і |
і |
5 |
L3 |
a |
х |
і |
і |
6 |
L3 |
b |
х |
х |
і |
7 |
L4 |
a |
і |
і |
і |
8 |
L4 |
b |
і |
і |
і |
Отже, формула "хР(х)®Р(у) є тотожно істинною. Таким чином, теза Р(у) випливає з аргумента "хР(х). Дане доведення є коректним.
Щоб отримати підсумкову таблицю інтерпретації формули "хР(х)®Р(у) на множині {a,b}, мусимо здійснити оцінку формули за відповідною процедурою.
Результати інтерпретації обчислюємо для кожного рядка, користуючись значеннями логічних функцій L1 L4 за таблицею:
х |
L1 |
L2 |
L3 |
L4 |
a |
x |
x |
i |
i |
b |
x |
i |
x |
i |
Оскільки формула містить квантор загальності, то підкванторна або закванторна основа (Р(х)) розподіляється стосовно конюнкції, а саме: "хР(х) = Р(х) /\ Р(х). Тоді рядки виглядатимуть так:
Рядок 1. "х(L1(a) /\ L1(b)) = x /\ x = x
Рядок 2. "х(L1(a) /\ L1(b)) = x /\ x = x
Рядок 3. "х(L2(a) /\ L2(b)) = x /\ i = x
Рядок 4. "х(L2(a) /\ L2(b)) = x /\ i = x
Рядок 5. "х(L3(a) /\ L3(b)) = i /\ x = x
Рядок 6. "х(L3(a) /\ L3(b)) = i /\ x = x
Рядок 7. "х(L4(a) /\ L4(b)) = i /\ i = i
Рядок 8. "х(L4(a) /\ L4(b)) = i /\ i = i
Отримані у 8-ми рядках істиннісні значення записуємо в таблиці під виразом "хР(х), який є аргументом доведення.
Значення консеквента Р(у) також визначаємо за тією ж таблицею значень логічних функцій L1 L4 і записуємо під формулою Р(у) у кожному рядку:
Рядок 1. L1(a) = х
Рядок 2. L1(b) = х
Рядок 3. L2(a) = х
Рядок 4. L2(b) = i
Рядок 5. L3(a) = i
Рядок 6. L3(b) = x
Рядок 7. L4(a) = i
Рядок 8. L4(b) = i
Ці значення предиката Р(у) отримано в результаті пробігання змінної Р по множині одномісних логічних функцій L1 L4, а вільної предметної змінної у по множині {a,b}.
Оскільки антецедент "хР(х) повязаний з консеквентом (Р(у)) імплікацією (), то порівнюючи їх значення за таблицею імплікації, ми отримуємо логічне значення „і” в усіх рядках інтерпретованої на множині {a,b} формули "хР(х)®Р(у), яка репрезентує доведення. Це означає, що теза Р(у) випливає із аргумента "хР(х) за даної інтерпретації на М {a,b}.
Зверніть увагу на той факт, що логічне значення формули, що репрезентує доведення, є значенням розсудкової функції, аргументами якої є значення антецедента і консеквента, що репрезентують структурні елементи доведення. Цей факт досить яскраво ілюструє думку про те, що коректність чи некоректність доведення (чи спростування) залежить не тільки від логічних значень їх структурних елементів самих собою, а й від способу логічного звязку між ними. Щоб переконатись у цьому, спробуйте обґрунтувати сказане, проінтерпретувавши, наприклад, формулу "хР(х)®Р(у) у зворотньому напрямі: Р(у)®"хР(х).
Інтерпретація досить-таки громіздкий спосіб обґрунтування коректності чи некоректності доведення чи спростування. Проте в деяких ситуаціях його можна використовувати як розвязкову процедуру розвязання проблеми вивідності простих консеквентів з антецедентів у формулах, що претендують на роль законів логіки предикатів, які часто використовуються у процедурах числення логіки предикатів у якості припущень законів чи правил (Див. п.6.2.2.4 цього тексту): для доведення тези „Існують центристи” (хR(х)) ми обрали два закони логіки предикатів: "хF(х)®F(у), який обґрунтовано методом інтерпретації (підставивши замість метазнака F символ конкретного предикатора Р) у структурі формули "хР(х)®Р(у), яка є правилом логіки предикатів - (усунення квантора загальності).
Другим припущенням у ролі аргумента було взято формулу F(у)®хF(х), яка також є законом числення предикатів В (введення квантора існування). Про його істиннісне значення в структурі розвязкової процедури ми знали до того, як здійснювали доведення. Інша річ, коли ми не впевнені в тому, що формула, яка береться в якості аргумента, є законом логіки. У такому випадку мусимо перевірити дану формулу на її істиннісне значення і тільки тоді „включати” її в структурні елементи доведення як аргумент.
Щоб обґрунтувати коректність закону чи правила, яке ми взяли за аргумент-припущення F(у)®хF(х), треба спробувати його на певній множині {a,b}.
Здійснивши підстановку в F предикатора Р(у), ми отримуємо вираз Р(у)®хР(х), який проінтерпретуємо на М {a,b} задля того, щоб переконатись у тому, що взятий в якості припущення аргумент є достатнім для доведення тези $хР(х).
А тепер відомою вам процедурою проінтерпретуємо вираз Р(у)®хР(х) на двоелементній множині {a,b}:
Креслимо таблицю результатів інтерпретації:
№ п/п |
Р |
у |
Р(у) |
хР(х) |
Р(у)®хР(х) |
1 |
L1 |
a |
х |
х |
і |
2 |
L1 |
b |
х |
х |
і |
3 |
L2 |
a |
х |
і |
і |
4 |
L2 |
b |
і |
і |
і |
5 |
L3 |
a |
і |
і |
і |
6 |
L3 |
b |
х |
і |
і |
7 |
L4 |
a |
і |
і |
і |
8 |
L4 |
b |
і |
і |
і |
Цей результат ми отримуємо за допомогою інтерпретації.
Вам уже відомо, що квантор існування розподіляється стосовно дизюнкції. Тому вираз $хР(х) подаємо як дизюнкцію предикатів $хР(х) /\ Р(х). Отже, змінна х пробіжить в одному з дизюнктів по „a”, а в іншому по „b”. Предикатор Р пробіжить множиною логічних функцій L1 L4. Тепер вихідна формула Р(у)®$хР(х) набере вигляду: $х(Р(х) /\ Р(х)).
Результати інтерпретації консеквента $хР(х) записуємо у відповідні рядки таблиці.
Зясувавши значення консеквента $хР(х), виявляємо логічні значення антецедента Р(у):
Результат інтерпретації записуємо у відповідні рядки.
Маючи значення антецедента Р(у) і консеквента $хР(х) визначаємо істиннісне значення імплікації Р(у)®$хР(х). Зясувавши істиннісне значення усієї формули за таблицею імплікації, яка в усіх рядках має значення „і” („істина”), робимо висновок про те, що взятий нами аргумент є тотожно істинним, або законом логіки предикатів. Отже, даний аргумент є достатнім для обґрунтування тези.
І насамкінець, варто памятати, що обґрунтування коректності чи некоректності доведення чи спростування не обмежується запропонованими вам методами. Ця обставина має спонукати вас до пошуку нових розвязкових процедур логіки висловлень і логіки предикатів.
6.3. ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
6.4. ПІДСУМКОВІ ВПРАВИ ТА ЗАВДАННЯ
1. Відшукайте тезу, аргументи і демонстрацію в таких доведеннях; запишіть звязок тези й аргументів символічно:
А. Будь-яка думка, в якій щось стверджується або заперечується про предмет, і яка є істинною або хибною, є судженням. У думці „Україна європейська держава” наявне ствердження, і вона істинна. Отже, ця думка є судженням;
Б. Усі речовини, що мають у своїй кристалічній решітці вільні електрони, проводять електричний струм. Відомо, що всі метали мають у своїй кристалічній решітці вільні електрони. Це означає, що всі метали проводять електричний струм;
В. Кути бувають або гострими, або прямими, або тупими. Цей кут гострий. Отже, він не належить ні до прямих, ні до тупих;
Г. Усі метали електропровідні, оскільки відомо, що залізо електропровідне, мідь електропровідна, алюміній електропровідний, золото електропровідне. А залізо, мідь, алюміній, золото метали;
Д. Гострі кути мають верхівку. Прямі кути мають верхівку. Тупі кути мають верхівку. Отже, усі кути мають верхівку;
Е. „За часів республіки в Англії (1649-1660 рр.) захисники щорічних виборів до парламенту обґрунтовували свої докази на прикладі змії, яка щорічно знімає шкіру: „Подивіться на наймудрішу із тварин змію, емблему вічності й міцності державного устрою; кожного року вона знімає шкіру і зі свіжими силами і оновленим життям виходить після такої зміни. Британіє! Наслідуй змію. Оновлюй Палату Общин, твій державний покров, щорічними виборами. Тоді ти будеш жити в безпеці й закріпиш за своїми синами волю, яка залишиться непорушною до кінця сторіччя!”
2. У формах яких умовиводів побудовані ці доведення:
А. Висновок про те, що „Ця держава є унітарною”, який випливає із засновків „Держава може бути або федеративною, або унітарною” і „Ця держава не є федеративною”, - достовірний;
Б. Якщо в людини є совість, то вона визнає свої помилки. Я. не визнає своїх помилок. Отже, ця людина не має совісті;
В. Фальсифікація результатів виборів президента України в 2004 р. була або зумисне організованою прихильниками провладного кандидата на посаду президента, або зумовлена недосконалістю чинного законодавства про вибори президента України. Достеменно відомо, що фальсифікація результатів виборів президента України в 2004 р. була зумисне організованою прихильниками провладного кандидата на посаду президента України. Що б там не говорили, а фальсифікація результатів виборів президента України в 2004 р. відбулася не із-за недосконалого чинного законодавства про вибори президента України;
Г. Якщо людина скупа, то вона накопичує гроші. Якщо людина бережлива, то вона витрачає їх помірно. Ця людина не накопичує гроші і не витрачає їх помірно. Отже, ця людина ні скупа, ні бережлива;
Д. Якщо смерть це перехід у небуття, то вона благо.
Якщо смерть це перехід у інший світ, то вона благо.
Смерть це перехід у небуття або інший світ.
Отже, смерть це благо (Сократ).
3. До даних тез підберіть аргументи та форму умовиводу:
А. Усі студенти нашої академічної групи успішно склали зимову сесію;
Б. Суїцид не залежить від добробуту громадян;
В. Україна демократична держава;
Г. Земля обертається навколо Сонця;
Д. Антинародні політичні режими впадуть.
4. Визначте вид та структуру доведення і запишіть їх схеми:
А. „Ми живемо за часів вимирання справедливості. Наші парламенти з легким серцем складають закони, що суперечать справедливості. Держави поводяться зі своїми підданими свавільно, не намагаючись зберегти хоча б якийсь дух справедливості. Люди, що потрапляють під владу іншої нацї, виявляють, що їхні наміри й цілі оголошені поза законом. Не існує більш жодної поваги до їхнього природного права на свою батьківщину, місце проживання чи власність, право заробляти собі на життя чи здобувати засоби існування й взагалі права на будь що. Наша віра в справедливість зруйнована” (Альберт Швейцер);
Б. Якщо люди законопослушні, то покарання зайве; якщо вони ненормальні, то покарання не має сенсу. Але люди або законопослушні, або ненормальні. Отже, покарання або зайве, або не має сенсу;
В. Якщо Верховний Суд України дійде висновку про те, що в процесі виборів президента України мали місце системні фальсифікації, то результати виборів, оголошені ЦВК, будуть скасовані. Верховний суд України дійшов висновку, що в процесі виборів президента України мали місце системні фальсифікації. Отже, результати виборів, оголошені ЦВК, скасовані;
Г. „Якщо говорити про вибори президента в Україні, то, на мою думку, зазначив експерт, „Американці не причетні до виборів в Україні”.
Припустимо зворотне, продовжив він: „Нехай американці причетні до виборів”. У такому випадку представники впливових політичних сил використали б явно чи неявно усі можливі механізми впливу на український політикум, щоб досягти своєї мети в усіх трьох турах виборчої кампанії в Україні, в т. ч. його фінансове забезпечення. А це чималі витрати. Якщо б це мало місце, то, по-перше, питання витратної частини бюджету США на виборчу кампанію в Україні обговорювалося б у сенаті. Проте цього не зафіксовано; по-друге, якщо б таке питання розглядалося, то про це знали б не тільки члени сенату, а й більшість пересічних і непересічних американців, оскільки за видатками стежать платники податків. Крім того, мас-медіа не пропустили б цього факту, зокрема, прихильники Керрі. Але впродовж усього періоду виборчої кампанії в Україні, інформації про фінансову її підтримку також не зафіксовано. Крім того, до початку виборів ніхто ніде ні в Україні, ні в США не заїкався про надання фінансової допомоги; по-третє, якби така допомога була, то чому витрачалися власні кошти кандидата, його команди, підприємців та ін., що посвідчено документально. Крім того, мали місце масові пожертви усіх тих прихильників кандидата, котрі хотіли замінити авторитаризм на демократичний устрій України; по-четверте, публічні звинувачення з боку опонентів (Вітренко, Януковича, Шуфрича та іже з ними) не підтвердилися. Отже, шановний, версія про „американський вплив” відпадає. Це своєрідний політичний „трюк” опонентів, а не факт. Звідси випливає, що версія щодо причетності американців до виборів президента в Україні, є хибною”. Таким чином, думка експерта „Американці не причетні до виборів президента в Україні” є істинною.
5. Визначте спосіб спростування та запишіть його схему:
А. Президент. Панове! Прошу тиші! Голова ЦВК п.К. повідомляє, що комісія зареєструвала три кандидатури на посаду майбутнього президента країни. Усі троє мають необхідні політичні і ділові якості, щоб претендувати на цю посаду. Ніхто з них не заплямував свою репутацію як порядних і чесних громадян нашої держави: М. чесно і добросовісно виконує обовязки голови Адміністрації Президента; Я. премєр-міністра; Л. спікера парламенту. Усі вони достойні керувати державою. Я в цьому не сумніваюся.
Лідер КПУ. Дозвольте заперечити вам, пане президенте. Річ у тім, що ми маємо інформацію про те, що М. привласнив чималу суму грошей партії, які перевів у офшорні зони; Я. має прямий звязок з власниками тіньового капіталу, яким, до речі, справно розпоряджається, „відмиваючи” його різними непопулярними в країні заходами. Крім того, сам причетний до грабування державної казни; Л. також користується послугами державних олігархів, оскільки таку дачу, яку він будує, на зарплату аж ніяк не побудувати. Там один мур довкола вілли біля пяти „лимонів” баксів обійшовся. Усе сказане мною документально підтверджується. Збором цієї інформації займалися представники різних спецслужб.
Президент. Дуже прикро, що про це я дізнаюся останнім.
Лідер КПУ. Не треба довіряти оточенню, яке вам догоджає, щоб приспати вашу пильність, а тим часом „набити кишені”.
Президент. Треба зробити так, щоб жоден із них не переміг на виборах. І ви мені в цьому допоможете як чесний і порядний громадянин.
Б. Усі сподвижники новообраного президента люди віддані президенту і справі на сто відсотків.
П. постійно підтримував його в передвиборчих перегонах.
Т. практично була рупором Помаранчевої революції.
М. скеровував усі політичні процеси в правове конституційне поле, пожертвувавши свій електорат на користь демократії” випалив, наче з кулемета, бородань.
- А я сумніваюся нині в цьому. Склалося враження, що деякі сподвижники нині обраного президента переслідували певні свої меркантильні інтереси. Люди вони не віддані президенту на всі сто, - розмірковував услух кульгавий.
- Звідки ти взяв? огризнувся бородатий велет.
- Порівняй їх виступи в ЗМІ під час виборів, на Майдані і після. Гадаю, що й ти засумніваєшся, - спокійно, без емоцій додав кульгавий.
- Але це не факти, це домисли, - шановний, - уїдливо й пихато ляснув бородань у відповідь.
- Наведу такий приклад, може він вас переконає. Т. на Майдані не мала претензій стосовно розподілу „портфелів” влади. „Головне торжество демократіїˮ, - заявляла вона. Після перемоги Ю., в інтервю ЗМІ з приводу кількох претендентів на посаду першого міністра (П., М. та ін.), Т. нервувалась, відчувалось, що дуже образиться, якщо „портфель” перейде комусь іншому, а не їй. Далі. П. під час інтервю „5-му” також вів себе не так, як на Майдані. Не проти стати премєр-міністром М. Явно не висловлює своїх бажань, проте амбітність у поведінці підкреслює приховану мрію. Вкотре він змагається за посаду президента України? Здається, втретє. Чи не так, пане добродію?
- Що тут скажеш мушу погодитися з твоїми, так би мовити, аргументами. Я також помічав деякі зміни в поведінці, ставленні до решти членів нашої команди, - чванливо додав бородань, - та чомусь не звертав на це уваги.
6. Зясуйте недостатність аргументів і запишіть схему міркування:
А. Висновок „Марчук студент ФТФ” випливає із засновків „Усі студенти ФТФ вивчають логіку” і „Марчук вивчає логіку”, - достовірний. Ця достовірність заснована на тому, що висновок висновується за першою фігурою простого категоричного силогізму, правила якого не порушені більший засновок загальне судження, а менший засновок судження ствердне;
Б. Поняття „студент” і „українець” перебувають у відношенні підпорядкування, оскільки у відношенні підпорядкування перебувають такі поняття, обсяги яких перетинаються;
В. Суспільство, на відміну від природи, не може розвиватись на основі обєктивних закономірностей, бо в суспільстві діють люди, наділені волею і свідомістю, їх діяльність не підлягає обєктивним закономірностям.
7. Обґрунтуйте неможливість демонстрації, запишіть схему міркування:
А. Біля 40 студентів ФТФ успішно виступили на підсумковій науковій конференції. Цей факт переконливо засвідчує, що більшість студентів ФТФ здатна до наукової роботи;
Б. Тепер з певністю можна твердити, що Україна демократична держава. Україна європейська держава, а більшість європейських держав демократичні;
В. На час відпустки Д. Міг поїхати і в Київ, і в Хмільник. Я не сумніваюся в тому, що він не був у Києві, оскільки він майже три тижні провів у Хмільнику.
8. Обґрунтуйте коректність або некоректність доведення та спростування розвязковими процедурами логіки висловлень і логіки предикатів:
А. Зясуйте вивідність тези з аргументів:
1) p(q /\ r); 2) r®q; 3) ~q®~p; 4) p \/ r, звівши формулу, що репрезентує доведення, до КНФ;
Б. Обґрунтуйте коректність доведення тези r на підставі аргументів:
1) (p \/ q) ®r; 2) ~q \/ ~p; 3) r®p; 4) q \/ r, звівши формулу до ДНФ;
В. Визначте коректність (чи некоректність) доведення, звівши формулу, що його репрезентує, до ДКНФ:
(((p /\ q) ®r) /\ (~r \/ ~p) /\ (q \/ r) /\ (r®p)) ®r;
Г. Чи коректно спростована теза p за допомогою аргументів:
1) p®(q /\ r); 2) p \/ q; 3) ~r \/ ~p; 4) q®r, шляхом редукції формули, що його репрезентує, до ДДНФ;
Ґ. Обґрунтуйте методом таблиць істинності: чи можна використати дані вирази в якості правил логічного слідування у структурі доведення чи спростування:
1) p \/ p = p®q; 2) ((p®q) /\ p)®q; 3) p /\ (p \/ q)q;
Д. Перевірте вивідність тези q з аргументів:
1) p®(q \/ r); 2) r®s; 3) ~q®~p; 4) pq, за допомогою аналітичних таблиць логіки висловлень;
Е. Здійсніть пряме й непряме доведення тези r за допомогою аргументів:
1) (p \/ q) ®r; 2) ~q \/ ~p; 3) r®p; 4) q \/ r в системі натурального виводу логіки висловлень;
Є. За допомогою СКНФ обґрунтуйте вивідність тези r із аргументів:
1) p®r; 2) q \/ p; 3) ~s®~q; 4) ~p®~s;
Ж. Обґрунтуйте за допомогою СДНФ коректність доведення тези p за допомогою аргументів: 1) (q \/ r)®p; 2) ~r \/ ~s; 3) ~(q \/ s);
З. Чи можна довести тезу Т на підставі аргументів:
1) B®C; 2) (T®(B \/ D)); 3) A~C; 4) AD?
И. Побудуйте пряме спростування тези Т на підставі аргументів: 1) ~(T \/ C); 2) ~C®A;
3) A B; 4) B \/ C засобами логіки висловлень;
І. Чи достатні наведені аргументи для непрямого спростування тези Т: 1) T®(B /\ C);
2) B®D; 3) D \/ ~C?;
Ї. Спростуйте тезу С на підставі аргументів:
1) (A /\ B) ®C; 2) ~C \/ ~A; 3) B C; 4) C®A;
Й. Обґрунтуйте вивідність (невивідність) тези А з аргументів: 1) B \/ (C /\ D); 2) C®~E; 3) ~A®~B; 4) ED будь-якою розвязковою процедурою логіки висловлень;
К. Зясуйте вивідність тези $x(S(x) /\ ~P(x)) з аргументів "x(P(x)®~M(x)) та $x(M(x) /\ S(x)) за допомогою розвязкової процедури логіки предикатів;
Л. Обґрунтуйте коректність доведення в СНВ логіки предикатів:
"x(M(x)®P(x)), "x(M(x)®S(x))╞ $x(S(x) /\ P(x));
М. Здійсніть доведення тези $x(S(x) /\ ~P(x)), що випливає з аргументів "x(P(x)®~M(x)) та $x(S(x) /\ M(x)) за допомогою методу аналітичних таблиць;
Н. Застосовуючи метод інтерпретації формул логіки предикатів на двоелементній множині {a,b}, обґрунтуйте вивідність тези ~P(y) з аргументів: 1) "x(P(x)®Q(y)) і 2) ~Q(y);
О. Доведіть тезу „Дік не людина” на підставі аргументів: 1) "x(P(x)®P(y)), 2) P(y)® $xP(x), 3)"x(C(x)®(L(x) \/ T(x)), послуговуючись знанням законів і правил логіки висловлень та логіки предикатів.
6.5. ТЕСТ
А. Так.
Б. Ні.
а) доводжуване речення (формула) вводиться у формі припущення;
б) із припущення (формул) виводяться за правилами логічного слідування наслідки (формули);
в) доведення завершується доводжуваним реченням (формулою).
1а) записуємо припущення непрямого доведення (формулу, що суперечить консеквентну (~С);
(A \/ B \/ C \/ D); ~A; ~B; ~C
D
а) записати тезу;
б) припустити її істинність і вивести з неї логічні наслідки;
в) співставити наслідки з фактами;
г) записати схему міркування і визначити хибність наслідків;
д) на підставі хибності наслідків вивести висновок про хибність тези за правилом заперечного модусу умовно-категоричного умовиводу:
Т → (С1, С2, С3 ... Сn), ~С2, ~С3 ... Сn ?
~T
а) записують тезу;
б) висувають антитезу;
в) обґрунтовують істинність антитези;
г) записують залежність між тезою й аргументами за схемою міркування МТР?
а) записати тезу й аргументи;
б) встановити істинність чи хибність аргументів;
в) записати схему міркування і визначити правильність (неправильність) міркування.
а) записати завдання, віднайти тезу й аргументи, записати їх мовою відповідної логічної теорії;
б) виявити логічний звязок між тезою й аргументами;
в) записати схему міркування мовою символів;
г) виявити відсутність відношення логічного слідування на підставі недотримання правил міркування.
6.6. ЛІТЕРАТУРИ
7. ПІДСУМКОВИЙ ТЕСТ
А. Логіка це наука про міркування, форми, в яких воно постає, та правила і закони, яким підпорядковується.
Б. Логіка це наука про мислення людини.
В. Логіка це система знання про розсудковий потенціал людського розуму.
А. Традиційний і сучасний.
Б. Класичний і посткласичний.
В. Класичний і сучасний.
А. Як істинними, так і хибними висловленнями.
Б. Істинними висловленнями.
В. Хибними висловленнями.
А. Як істинними, так і хибними висловленнями.
Б. Хибними висловленнями.
В. Істинними висловленнями.
А. Як істинним, так і хибним висловленням.
Б. Істинним висловленням.
В. Хибним висловленням.
А. Як істинним, так і хибним висловленням.
Б. Істинним висловленням.
В. Хибним висловленням.
А. Порушуються правила і закони логіки.
Б. Порушуються правила і закони мислення.
В. Порушуються правила і закони комунікації.
А. Софізми і паралогізми.
Б. Софізми і парадокси.
В. Паралогізми і апорії.
А. Її структура та звязок елементів.
Б. Структура, отримана в результаті абстрагування від значень нелогічних термінів.
В. Структура, яка є результатом абстрагування.
А. Штучна знакова система, яка містить алфавіт, правила утворення і перетворення знаків та інтерпретацію.
Б. Абстрактна мова, яка оперує символами.
В. Штучна мова, яка є системою символів.
А. Семіотизацією.
Б. Символізацією.
В. Формалізацією.
А. Спеціальна знакова система, пристосована для позначення понять (імен) та логічних операцій над ними.
Б. Особлива мова для потреб практики логічного аналізу.
В. Специфічна система знаків.
А. Штучна мова, яка призначена для аналізу логічної форми складних висловлень (суджень), що входять у структуру міркування.
Б. Спеціальна мова, яка є аналогом природної мови.
В. Формалізована система знаків або символів.
А. Скінченна послідовність знаків алфавіту мови логіки висловлень, утворена за певними правилами.
Б. Строго визначена система знаків.
В. Впорядкована послідовність символів.
А. Побудований не за правилами утворення формул логіки висловлень.
Б. Неадекватно репрезентує структуру висловлення природної мови.
В. Утворений не за правилами граматики природної мови.
А. Виявити логічну форму думки, вираженої засобами природної мови.
Б. Замінити вирази природної мови на довільні формальні структури.
В. Збагатити природну мову символічною мовою.
А. Система знаків, яка призначена для розвязування внутрішніх проблем логіки предикатів.
Б. Формалізована мова, що замінює природну мову.
В. Штучна мова, призначена для аналізу логічної структури міркувань, до складу яких входять судження (висловлення) із субєкт-предикатною структурою.
А. Правила оперування символами.
Б. Алфавіт для репрезентації виразів природної мови.
В. Алфавіт і дефініція правильно побудованих виразів.
А. Смислове значення виразів.
Б. Семантичне значення виразів.
В. Предметне значення виразів.
А. Логіка предикатів є розширеною логікою висловлень.
Б. Логіка предикатів це кванторна логіка.
В. Логіка предикатів це логічна теорія, де описуються міркування із врахуванням внутрішньої структури простих висловлень, що їх складають.
А. Міркування.
Б. Речення.
В. Слово або словосполучення.
А. Будь-яка думка про предмет чи явище.
Б. Форма думки, що відображає (репрезентує) найбільш загальні та істотні ознаки предметів чи явищ обєктивної реальності.
В. Комплекс ознак про предмет думки.
А. Значення і обсяг.
Б. Зміст та обсяг.
В. Предметне та смислове значення.
А. Множина ознак, що мислиться в понятті.
Б. Сукупність істотних і відмітних ознак предмета думки.
В. Клас істотних ознак предмета мислення.
А. Довільний клас предметів.
Б. Множина або клас предметів, кожен з яких має ознаки, відображені в змісті поняття.
В. Сукупність однорідних і неоднорідних елементів.
А. Загальні, одиничні, порожні (нульові).
Б. Одиничні, часткові, загальні.
В. Спільні, часткові, порожні.
А. Збірні й незбірні.
Б. Відносні й співвідносні.
В. Конкретні й абстрактні.
А. Конкретні та абстрактні.
Б. Абстрактні та збірні.
В. Конкретні та загальні.
А. Відносні та безвідносні.
Б. Збірні й незбірні.
В. Конкретні та абстрактні.
А. Позитивні й негативні.
Б. Позитивні й неякісні.
В. Позитивні та неповні.
А. Одиничне поняття.
Б. Родове поняття.
В. Загальне поняття.
А. Категорія.
Б. Нульове поняття.
В. Видове поняття.
А. Логічна операція над обсягом поняття.
Б. Логічна дія над змістом поняття.
В. Логічна операція над поняттям.
А. Ділене поняття, підстава поділу, члени поділу.
Б. Ділене поняття, підстава поділу, компоненти поділу.
В. Ділене поняття, основа поділу, результат поділу.
А. Поділ це логічна дія, яка розкриває обсяг поняття.
Б. Поділ це логічна операція, в процесі якої здійснюють перехід від поняття з більшим обсягом, до поняття з меншим обсягом.
В. Поділ логічна дія, в процесі якої здійснюють перехід від видового поняття до родового.
А. Поділ за видозміною ознаки, поділ за наявністю ознаки.
Б. Поділ за видозміною ознаки, дихотомічний поділ, класифікація.
В. Поділ за видозміною ознаки, поділ через найближчий рід, поділ через групування предметів у класи.
А. Систематизація однорідних понять.
Б. Групування предметів чи явищ у певні класи на підставі істотних або неістотних ознак.
В. Ієрархізація множин і підмножин у типи.
А. Штучною і логічною.
Б. Науковою і ненауковою.
В. Природною і змістовною.
А. Обсяг поняття.
Б. Зміст поняття.
В. Зміст і обсяг поняття.
А. Дефінієндум і родове поняття.
Б. Дефінієндум і дефінієнс.
В. Дефінієндум і видові поняття.
А. Дефінієндум і дефінієнс перебувають у відношенні тотожності.
Б. Дефінієндум і дефінієнс перебувають у відношенні підпорядкування.
В. Дефінієндум і дефінієнс перебувають у відношенні перетину.
А. Визначення через рід та видову відмінність, генетичне визначення, номінальне визначення.
Б. Визначення через рід та видову відмінність, операційне визначення, контекстуальне.
В. Генетичне визначення, індуктивне визначення, операційне визначення.
А. Індуктивне, операційне, контекстуальне, остенсивне, аксіоматичне.
Б. Аксіоматичне, аналітичне, синтетичне, конвенціальне, остенсивне.
В. Операційне, проблематичне, ситуативне, дескриптивне, контекстуальне.
А. Характеристика, опис, порівняння, розрізнення.
Б. Характеристика, порівняння, пояснення, метонімія.
В. Характеристика, розрізнення, порівняння, метафора.
А. Висловлення, що описує дійсність.
Б. Висловлення, що описує дії людини.
В. Висловлення, що описує вчинки людини.
А. Прості та складні.
Б. Прості та впорядковані.
В. Прості та комбіновані.
А. Конюнкції, дизюнкції, імплікації, еквіваленції.
Б. Конюнкції, імплікації, еквіваленції.
В. Конюнкції, еквіваленції, дизюнкції.
А. Одного субєкта, одного предиката і звязки.
Б. Субєкта, обєкта і сполучення.
В. Субєкта і предиката.
А. Атрибутивні, реляційні та екзистенційні.
Б. Атрибутивні, реляційні та категоричні.
В. Атрибутивні, відносні та абсолютні.
А. Загальноствердні, загальнозаперечні, частковоствердні, частковозаперечні.
Б. Загальноствердні, загальнозаперечні, частковозагальні, одиничнозагальні.
В. Загальновідомі, загальнозаперечні, одиничнозаперечні, одиничноствердні.
А. Асерторичні та екзистенціальні.
Б. Аналітичні та синтетичні.
В. Аподиктичні та проблематичні.
А. Рівнозначності, підпорядкування, контрадикторності.
Б. Контрарності, тотожності, х-несумісні, підпорядкування.
В. Рівносильності, логічного слідування, логічної несумісності, х-несумісності, логічного підпорядкування.
А. Тотожності, суперечності, виключеного третього, комунікативності.
Б. Тотожності, суперечності, достатньої підстави, дистрибутивності.
В. Тотожності, суперечності, виключеного третього, достатньої підстави.
А. Форма і спосіб репрезентації розсудкової діяльності розуму.
Б. Ансамбль впорядкованих суджень.
В. Форма міркування, в якій з одного або кількох суджень-засновків виводиться судження-висновок, що містить у своєму змісті нове знання.
А. Від аналітичного до синтетичного, від парадигмального до невідомого, від відомого до можливого.
Б. Від загального до одиничного, від одиничного до часткового, від часткового до часткового.
В. Від загального до часткового, від часткового до загального, від часткового до часткового.
А. Вихідні й вивідні висловлення.
Б. Головні й похідні висловлення.
В. Засновки і висновки.
А. Необхідні та правдоподібні.
Б. Дедуктивні й правдоподібні.
В. Дедуктивні, індуктивні, за аналогією.
А. Висновок підтверджується засновками.
Б. Висновок залежить від засновків.
В. Істинний висновок безпосередньо випливає з істинних засновків.
А. Висновок випливає із засновків з доконечністю.
Б. Висновок підтверджується за допомоги додаткових міркувань.
В. Висновок не випливає строго логічно із засновків, а лише повною мірою підтверджується засновками.
А. А ® В, В ® С
А ® В
Б. А ® В, А ® С
В ® С
В. А ® В, В ® С
А ® С
А. А ® В, В
А
Б. А ® В, А
В
В. А ® В, ~А
~В
А. А ® В, ~В
А
Б. А ® В, ~В
~А
В. А ® В, А
В
А. А \/ В, ~В
~А
Б. А В, А
~В
В. А \/ В, ~А
В
А. А В, ~В
~А
Б. А В, ~А
В
В. А \/ В, ~А
~В
А. А ® C, В ® D, A \/ B
В
Б. A ® B, C ® B, A \/ C
В
В. A ® B, B ® C, A \/ B
А. А ® В, С ® D, A \/ С
B
Б. A ® B, C ® D, A \/ C
B \/ D
В. A ® B, C ® D, A \/ C
D
67. Схема простої деструктивної дилеми має вигляд:
А. А ® B, В ® C, ~B \/ ~C
~A
Б. A ® B, A ® C, ~B \/ ~C
~A
В. A ® B, C ® D, ~B \/ ~D
~C
68. Яка із наведених схем репрезентує складну деструктивну дилему?
А. А ® B, C ® D, ~B \/ ~D
~A \/ ~D
Б. A ® B, C ® D, ~B \/ ~D
~A \/ ~C
В. A ® B, C ® D, ~B \/ ~D
~B \/ ~A
69. Схема міркування reductio ad absurdum має вигляд:
А. ~А ® В, ~А ® ~В
~А
Б. А ® В, А ® ~В
~А
В. А ® В, ~А ® ~В
~А
70. Схема міркування “від супротивного” має такий вигляд:
А. ~А ® В, А ® ~В
А
Б. ~А ® В, ~А ® ~В
А
В. А ® В, ~А ® В
А
71. Яка із наведених схем міркування репрезентує перетворення категоричних суджень?
А. S a P
S e ~P
Б. S а P
S i ~P
В. S i P
S a ~P
72. Яка із схем міркування репрезентує чисте обернення?
А. S a P
P a S
Б. S e P
P i S
В. S o P
P o S
73. Яка із схем міркування демонструє “протиставлення предикатові”?
А. S a P
P е S
Б. S і P
P а S
В. S е P
P o S
74. Яка із наведених формул репрезентує другий модус першої фігури?
А. "x (M(x) ® ~P(x)) /\ "x (S(x) ® M(x)) ® "x (S(x) ® ~P(x))
Б. "x (M(x) ® P(x)) /\ "x (S(x) ® M(x)) ® "x (S(x) ® P(x))
В. "x (M(x) ® P(x)) /\ $x (S(x) /\ M(x)) ® $x (S(x) /\ P(x))
Г. "x (M(x) ® ~P(x)) /\ $x (S(x) /\ M(x)) ® $x (S(x) /\ ~P(x))
75. Яке із формул репрезентує міркування за четвертим модусом другої фігури?
А. "x (Р(x) ® М(x)) /\ $x (S(x) /\ ~M(x)) ® $x (S(x) /\ ~P(x))
Б. "x (Р(x) ® ~М(x)) /\ "x (S(x) ® M(x)) ® "x (S(x) ® ~P(x))
В. "x (Р(x) ® М(x)) /\ "x (S(x) ® ~M(x)) ® "x (S(x) ® ~P(x))
Г. "x (Р(x) ® ~М(x)) /\ $x (S(x) /\ M(x)) ® $x (S(x) /\ ~P(x))
76. Яка із формул виражає міркування за шостим модусом третьої фігури?
А. "x (M(x) ® ~P(x)) /\ $x (M(x) /\ S(x)) ® $x (S(x) /\ ~P(x))
Б. $x (M(x) /\ ~P(x)) /\ "x (M(x) ® S(x)) ® $x (S(x) /\ ~P(x))
В. "x (M(x) ® P(x)) /\ $x (M(x) /\ S(x)) ® $x (S(x) /\ P(x))
Г. "x (M(x) ® ~P(x)) /\ "x (M(x) ® S(x)) ® "x (S(x) ® ~P(x))
Д. "x (M(x) ® P(x)) /\ "x (M(x) ® S(x)) ® $x (S(x) /\ P(x))
Е. $x (M(x) /\ P(x)) /\ "x (M(x) ® S(x)) ® $x (S(x) /\ P(x))
77. Яка із формул демонструє міркування за першим модусом четвертої фігури?
А. "x (P(x) ® M(x)) /\ "x (M(x) ® S(x)) ® $x (S(x) /\ P(x))
Б. "x (Р(x) ® М(x)) /\ "x (M(x) ® ~S(x)) ® "x (S(x) ® ~P(x))
В. $x (P(x) /\ M(x)) /\ "x (M(x) ® S(x)) ® $x (S(x) /\ P(x))
Г. "x (P(x) ® ~M(x)) /\ "x (M(x) ® S(x)) ® $x (S(x) /\ ~P(x))
Д. "x (P(x) ® ~M(x)) /\ $x (M(x) /\ S(x)) ® $x (S(x) /\ ~P(x)),
78. Правдоподібне (недедуктивне) міркування це:
А. Умовивід, в якому відношення логічного слідування між засновками і висновком має вірогідний характер.
Б. Умовивід, в якому ступінь достовірності висновку обмежений засновками.
В. Умовивід, в якому думка рухається від менш вірогідного до більш вірогідного.
79. Логічними формами правдоподібних міркувань є:
А. Неповна індукція та аналогія.
Б. Популярна індукція та аналогія властивостей.
В. Наукова індукція та аналогія відношень.
80. Поширеними формами міркування за аналогією є:
А. Аналогія властивостей і аналогія відношень.
Б. Повна аналогія і практична аналогія.
В. Наукова аналогія і неповна аналогія.
81. Доведення це:
А. Логічна дія, яка протилежна спростуванню.
Б. Логічна операція обґрунтування істинності певного судження (висловлення) іншими судженнями (висловленнями), істинність яких доведена практикою.
В. Форма і спосіб отримання істинного знання.
82. Логічна структура доведення:
А. Теза, аргументи, слідування.
Б. Теза, аргументи, демонстрація.
В. Теза, аргументи, відношення.
83. Аргументи це:
А. Система правильних суджень.
Б. Судження (висловлення), істинність яких доведена практикою.
В. Будь-які судження щодо тези.
84. Демонстрація це:
А. Спосіб висновування тези з аргументів.
Б. Форма і спосіб виведення тези з аргументів.
В. Форма фіксації відношення логічного слідування.
85. За формою умовиводів та їх правилами доведення поділяють на:
А. Дедуктивні й традуктивні.
Б. Дедуктивні та недедуктивні.
В. Демонстративні та приховані.
86. Дедуктивним називається доведення, в якому:
А. Загальні судження-засновки є підставою виведення менш загальних суджень-висновків.
Б. Загальні судження-засновки є аргументами для обґрунтування судження-висновку як тези.
В. Загальні судження-засновки породжують тезу.
87. Доведення, в якому істинність тези обґрунтовується у формі неповної індукції, називається:
А. За аналогією.
Б. Індуктивним.
В. Популярним.
88. Доведення, в якому ступінь вірогідності тези залежить від ступеня подібності чи відмінності порівнюваних предметів чи явищ називається:
А. Неповною індукцією.
Б. Доведенням за аналогією.
В. Популярною аналогією.
89. За способом(методом) визначення істинності, тези доведення поділяють на:
А. Прямі та опосередковані.
Б. Прямі й непрямі.
В. Непрямі та безпосередні.
90. Доведення, в якому істинність тези безпосередньо випливає із аргументів, називається:
А. Науковим.
Б. Прямим.
В. Безпосереднім.
91. Доведення, в якому істинність тез визначається через доведення хибності антитези, називається:
А. Ненауковим.
Б. Опосередкованим.
В. Непрямим.
92. Доведення, що здійснюється за схемою, згідно з якою доводжуване речення вводиться у вигляді припущення з якого виводять наслідки за правилами логічного слідування, і доведення завершують доводжуваним реченням, називається:
А. Науковим.
Б. Безпосереднім.
В. Прямим.
93. Доведення, що здійснюють за алгоритмом, згідно з яким доводжуване речення вводиться у вигляді припущення і припущення непрямого доведення, з яких виводять логічні наслідки за правилами логічного слідування, і, зрештою, виявляють суперечність у висновках, називається:
А. Прямим.
Б. Опосередкованим.
В. Аналогічним.
94. Спростування це:
А. Логічна дія, що нагадує фальсифікацією.
Б. Логічна дія, що протилежна доведенню.
В. Логічна дія, в процесі якої визначається хибність тези.
95. За способом ведення спростування поділяють на:
А. Наукове і ненаукове.
Б. Безпосереднє і опосередковане.
В. Пряме і непряме.
96. Спростування, що здійснюється за алгоритмом, згідно з яким, записавши тезу і припустивши її істинність, виводять з неї логічні наслідки, які співставляють з фактами і визначають хибність наслідків, на підставі чого роблять висновок про хибність тези, міркуючи за схемою заперечного модусу умовно-категоричного умовиводу, називають:
А. Непряме спростування тези.
Б. Заперечувальне спростування тези.
В. Пряме спростування тези.
97. Спростування, в якому використовують modus tollendo ponens, називають:
А. Розділовим.
Б. Опосередкованим.
В. Непрямим.
98. Логічна дія, що визначає неспроможність аргументів, називається:
А. Спростування демонстрації.
Б. Спростування тези.
В. Спростування аргументів.
99. Встановлення факту відсутності відношення логічного слідування між тезою і аргументами, називається:
А. Спростування аргументів.
Б. Спростування тези.
В. Спростування демонстрації.
100. Чи можливо зясувати коректність доведення чи спростування, звівши їх формальні еквіваленти до нормальних форм та їх модусів?
А. Так.
Б. Ні.
8. Додатки
8.1. МОВА ЛОГІКИ КЛАСІВ (МНОЖИН)
А, В, С, ... позначають класи (множини)
U універсальний клас
Ø порожній клас
перетин класів (логічний добуток)
обєднання класів (логічна сума)
= рівність класів
нерівність класів
() доповнення до класу
(...) дужки (знаки пунктуації)
належність елемента класу (множині)
заперечення належності елемента класу (множині)
включення підмножини в множину
включення множини в множину
заперечення включення
М клас (множина)
D область інтерпретації для класів
a, b, c… змінні для класів, визначені на М
x, y, z невизначені класи на М
{ } множина (клас)
{a, b, c, …d} конечна множина
{a, b, c, …} нескінченна множина
Мх множина всіх х
Df рівність за визначенням
2n формула, за якою визначають кількість підмножин (підкласів) певного класу, де n число елементів класу (множини)
Е2 множина, яка складається з двох елементів: 0 і 1
{a} клас, що складається з одного елемента
[ ] замикання множини (класу)
8.2. МОВА ЛОГІКИ ВИСЛОВЛЕНЬ
p, q, r, s, p1, q1, r1, s1… знаки змінних логіки висловлень;
~, /\, \/, (), ®, « - знаки логічних сполучників, де:
~ - знак заперечення (чит.: „не”, „невірно, що...”);
/\ - знак конюнкції (чит.: „...і...”);
\/ - знак дизюнкції (чит.: „...або...”);
(або: ) - знак сильної дизюнкції (чит.: „...або...,або...”);
® - знак імплікації (чит.: „якщо..., то...”, „тоді..., коли...”);
« - знак еквіваленції (чит.: „...тоді і тільки тоді, коли...”).
( ліва дужка;
) права дужка;
, кома
8.3. МОВА ЛОГІКИ ПРЕДИКАТІВ
a,b,c,d,a1,b1,c1,d1… знаки предметних (індивідних) констант;
x,y,z,x1,y1,z1… знаки предметних (індивідних) змінних;
Pn, Qn, Rn, Sn…,Pn1,Qn1,Rn1,Sn1… знаки предикатів;
~, /\, \/, (), ®, « - знаки логічних сполучників;
", $ знаки кванторів, де:
" знак квантора загальності (чит.: „усякий”, „усі”, „кожний”);
$ - знак квантора існування або екзистенційний квантор (чит.: „деякий”, „існує”).
( ліва дужка;
) права дужка;
, кома
8.4. ОСНОВНІ РІВНОСИЛЬНОСТІ ЛОГІКИ ВИСЛОВЛЕНЬ
1. ~~A = A закон подвійного заперечення
2. A /\ B = B /\ A комутативність конюнкції
3. A /\ (B /\ C) = (A /\ B) асоціативність конюнкції
4. A \/ B = B \/ A комутативність дизюнкції
5. A \/ (B \/ C) = (A \/ B) асоціативність дизюнкції
6. A \/ (B /\ C) = (A \/ B) /\ (А \/ С) 6′.(B /\ C) \/ A = (A \/ B) /\ (А \/ С) |
дистрибутивність дизюнкції стосовно конюнкції |
7. A /\ (B \/ C) = (A /\ B) \/ (А /\ С) 7′.(B \/ C) /\ A = (A /\ B) \/ (А /\ С) |
дистрибутивність конюнкції стосовно дизюнкції |
8. A /\ A = A ідемпотентність конюнкції.
9. A \/ A = A ідемпотентність дизюнкції.
10. ~(A /\ B) = ~A \/ ~B 11. ~(A \/ B) = ~A /\ ~B |
закони де Моргана |
12. A /\ B = ~(A ® ~B) 13. A ® B = (~A \/ B) 14. A /\ B = ~(~A /\ ~B) 15. A \/ B = ~(~A \/ ~B) 16. A « B = (~A \/ B) /\ (~B \/ A) 17. A B = (A \/ B) /\ (~A \/ ~B) |
закони вираження одних сполучників через інші |
18. (A\/B)/\(~A\/B)=B закон виключення.
19. A /\ (A \/ B) 20. A \/ (A /\ B) |
закони поглинання |
21.(A\/C)/\(B\/~C)=(A\/C)/\(B\/~C)/\(A\/B) 22.(A/\C)\/(B/\~C)=(A/\C)\/(B/\~C)\/(A/\B) |
закони виявлення |
23. A®B=~B®~A 24. A«B=~A«~B 25. AB=~(A«B) 26. A«B=(A®B)/\(B®A) 27. A«B=(A/\B)\/(~A/\~B) 28. A\/B=~A®B 29. A®B=~(A/\~B) 30. ~(A®B)=(A/\~B) 31. A«B=~(~A~B) 32. AB=~(~A«~B) 33. ~(A«B)=(~A~B) 34. ~(AB)=(~A«~B) |
закони вираження одних сполучників через інші із запереченням і без нього |
35. AB=~B \/ A зворотна імплікація
36. AB=~A \/~B антиімплікація
37. AB=~(~B \/ A) зворотна антиімплікація
38. AB=~(~A \/ B) антиімплікація
39 AB=~(A \/ B) антидизюнкція
40. ~A=AA заперечення рівносильне антиконюнкції
41.A \/ B = (AA)(BB) дизюнкція, рівносильна антиконюнкції
42. ABC = (A \/ ~B) /\ (B \/ C) умовна дизюнкція
43. ~і=х заперечення тавтології
44. ~х=і заперечення суперечності
45. А«і=А закон усунення тавтології із еквіваленції
46. А«х=~А закон усунення суперечності із еквіваленції
47. А /\ і =А 47′. і /\ А =А |
закон усунення тавтології із конюнкції |
48. А /\ х = х 48′.х /\ А = х |
закон перетворення конюнкції в суперечність |
49. А \/ і = і 49′.і \/ А = і |
закон перетворення дизюнкції в тавтологію |
50. А \/ х = А 50′. х \/ А =А |
закон усунення суперечності із дизюнкції |
8.5. ОСНОВНІ РІВНОСИЛЬНОСТІ ЛОГІКИ ПРЕДИКАТІВ
1. xP(x) P(y) усунення квантора загальності.
2. P(y) $xP(x) введення квантора існування
3. ~"xP(x) « $x~P(x) 4. ~$xP(x) «"x~P(x) |
закони А. де Моргана для кванторів |
5."x (P(x) /\ Q(x)) "x P(x) /\ "xQ(x) дистрибутивність квантора загальності стосовно конюнкції
6. $x(P (x) \/ Q(x)) $xP(x) \/ $xQ(x) дистрибутивність квантора існування стосовно дизюнкції
7."xP(x) \/ "x Q(x) « "x (P(x) \/ Q(x)) дистрибутивність квантора загальності стосовно дизюнкції
8. $x P(x) /\ $x Q(x) $x (P(x) /\ Q(x)) дистрибутивність квантора існування стосовно конюнкції
9."x (P(x) ® Q(x)) « "x P(x) ® "x Q(x) дистрибутивність квантора загальності стосовно імплікації
10.$x P(x) ® $x Q(x) « $x (P(x) ® Q(x)) дистрибутивність квантора існування стосовно імплікації
11."x(P(x)«Q(x))«"x P(x)«"x Q(x) дистрибутивність квантора загальності стосовно еквіваленції
12.$x (P(x) « Q(x)) « $x P(x) « $x Q(x) дистрибутивність квантора існування стосовно еквіваленції
13. "x(A(x) /\ B(x))«"xA(x) /\ B 14. "x(A(x) \/ B(x))«"xA(x) \/ B 15. $x(A(x) /\ B(x))« $xA(x) /\ B 16. $x(A(x) \/ B(x))« $xA(x) \/ B 17. "x(A(x)®B)« $xA(x)®B 18. $x(A(x)®B)«"xA(x)®B |
закони пронесення кванторів за умови, що формула В не містить вільних входжень х |
19."x"yA1(x,y) «"y"xA1(x,y) 20.$x$yA1(x,y) «$y$xA1(x,y) |
закони перестановки однойменних кванторів |
21.$y"xP(x,y)«"x$yP(x,y) |
закон перестановки різнойменних кванторів |
8.6. ОСНОВНІ ПРАВИЛА І ЗАКОНИ ЧИСЛЕННЯ ВИСЛОВЛЕНЬ
ВК (введення конюнкції): А,В
А/\В
ВЗК (введення заперечення конюнкції): ~А; В___
~(А /\ В) ~(А /\ В)
УЗК (усунення заперечення конюнкції): ~(А /\ В);
~А \/ ~В
~(А /\ В), В; ~(А /\ В), A
~А ~В
ВД (введення дизюнкції): _А__; __В__
А \/ В А \/ В
УД (усунення дизюнкції): А В, А ; А В; В
~В ~А
ВЗД (введення заперечення дизюнкції): ~А, ~В
~(А\/В)
УЗД (усунення заперечення дизюнкції): ~(А\/В) ; ~(А\/В);
~А/\~В ~А
~(А\/В)
~В
УД/З (усунення дизюнкції запереченням):
А\/В, ~А ; А\/В, ~В ; ~А\/В, А ; А\/~В, В
В А В А
ВІ (введення імплікації): Г, А╞ В
Г╞ А®В
УІ (усунення імплікації) або ПВ (правило відділення) або МР (modus ponens):
А®В, А ; А®~В, А ; ~А®В, ~А ; ~А®~В; ~А
В ~В В ~В
УІ (усунення імплікації) або МТ (modus tollens):
А®В, ~В ; А®~В, В ; ~А®В, ~В ; ~А®~В, В
~А ~А А А
ЗІ (заперечення імплікації): ~(А®В)
А/\~В
Пр.Сил. (правило силогізму): А®В, В®С
А®С
ВЕ (введення еквівалентності): А®В, В®А
АВ
УЕ (усунення еквівалентності): А«В ; А«В
А®В В®А
ВЗ (введення заперечення): А
~~А
УЗ (усунення заперечення): ~~А
А
ВЗ (введення заперечення) А®В, А®~В ; або: А®В, ~В
або ЗА (зведення до абсурду) ~А ~А
reductio ad absurdum:
ДВС (доведення від супротивного) або ДВП (доведення від протилежного):
~А®В, ~А®~В ; або: ~А®В, ~В
А А
Пр.Ім. (правило імпортації): А®(В®С)
(А/\В)®С
Пр.Екс. (правило експортації): (А/\В) ®С
А®(В®С)
ЗКо1 (закон простої контрапозиції):
(1) А®В ; (2) ~В®~А ; (3) А®~В ; (4) ~А®В
~В®~А А®В В®~А ~В®А
ЗКо2 (закон складної контрапозиції):
(1) (А/\В)®С ; (2) А®(В\/С)
(А/\~С)®~В ~В®(~А\/С)
8.7. ОСНОВНІ ПРАВИЛА І ЗАКОНИ ЧИСЛЕННЯ ПРЕДИКАТІВ
(а) Правила першого роду:
ВК А ; УК А/\В ; УК А/\В ; ЗК ~(А/\В) ;
А/\В А В ~А\/~В
ВД А ; В ; УД А\/В, ~А ;
А\/В А\/В В
УД А\/В, ~В ; УД А\/В, А®С, В®С ;
А С
ЗД ~(А\/В) ; УІ А®В, А ; УІ А®В, ~В ; ЗІ ~(А®В) ;
~А/\~В В ~А А/\~В
ВЕ А®В, В®А ; УЕ А«В ; УЕ А«В ;
А«В А®В В®А
З" ~"хА(х) ; З$ ~$хА(х) ; В" Ах ; У" "хА(х) ;
$х~А(х) "х~А(х) "уА(у) А(t)
В$ А(t) ; У$ $уА(у) ; У" "хF(х) ; У$ ~$х~F(х) ;
$хА(х) А(х) ~$хF(х) "хF(х)
б) Правила другого роду:
ПД (правило дедукції): Г, А ╞ В ;
Г ╞ А®В
ЗА (зведення до абсурду): Г, А ╞ В, ~В ;
Г ╞ ~А
ДВС (доведення від супротивного): Г, ~А ╞ В, ~В ;
Г ╞ А
8.8. ТАБЛИЦІ ІСТИННОСТІ ВИСЛОВЛЕНЬ, ЗЄДНАНИХ СПОЛУЧНИКАМИ
/\, \/, ,®, « та ~
Конюнкція Дизюнкція
А |
В |
А/\В |
А |
В |
А\/В |
|
і |
і |
і |
і |
і |
і |
|
і |
х |
х |
і |
х |
і |
|
х |
і |
х |
х |
і |
і |
|
х |
х |
х |
х |
х |
х |
Строга дизюнкція Імплікація
А |
В |
А В |
А |
В |
А®В |
|
І |
і |
х |
І |
і |
і |
|
І |
х |
і |
І |
х |
х |
|
х |
і |
і |
Х |
і |
і |
|
х |
х |
х |
Х |
х |
і |
Еквіваленція Заперечення
A |
B |
AB |
A |
A |
|
і |
і |
і |
і |
х |
|
і |
х |
х |
х |
І |
|
х |
і |
х |
|||
х |
х |
і |
8.9. Аналітичні правила логіки висловлень
T A /\ B |
T /\; |
F A /\ B |
F/\; |
T A \/ B |
T\/; |
F A \/ B |
F\/; |
T A, T B |
F A | F B |
T A | T B |
F A, F B |
T A B |
T ; |
F A B |
F ; |
T A, F B| F A, T B |
T A, T B| F A, F B |
T A®B |
T® |
F A®B |
F® |
T~A |
T~; |
F ~A |
F~; |
F A | T B |
T A, F B |
F A |
T A |
||||
T A«B |
T«; |
F A«B |
F«. |
||||
T A, T B| F A, F B |
T A, F B| F A, T B |
8.10. АНАЛІТИЧНІ ПРАВИЛА ЛОГІКИ ПРЕДИКАТІВ
T "xP(x) |
T"; |
F "xP(x) |
F"; |
T $xP(x) |
T$; |
F $x P(x) |
F$. |
T P(a) |
F P(b) |
T P(b) |
F P(a) |
КЛЮЧІ ДО ТЕСТІВ
1.1.3 МОВА ЛОГІКИ КЛАСІВ
1. А 7. А 13. А 19. А 25. А
2. А 8. А 14. А 20. А 26. А
3. А 9. А 15. А 21. А 27. А
4. А 10. А 16. А 22. А 28. А
5. А 11. А 17. А 23. А 29. А
6. А 12. А 18. А 24. А 30. А
1.2.3.МОВІА ЛОГІКИ ВИСЛОВЛЕНЬ
1. А 7. А 13. А 19. А 25. А
2. А 8. А 14. А 20. А 26. А
3. А 9. А 15. А 21. А 27. А
4. А 10. А 16. А 22. А 28. А
5. А 11. А 17. А 23. А 29. А
6. А 12. А 18. А 24. А 30. А
1.3.3 МОВА ЛОГІКИ ПРЕДИКАТІВ
1. А 7. А 13. А 19. А 25. А
2. А 8. А 14. А 20. А 26. А
3. А 9. А 15. А 21. А 27. А
4. А 10. А 16. А 22. А 28. Б
5. А 11. А 17. А 23. А 29. А
6. А 12. А 18. А 24. А 30. А
2.5.6. ЛОГІЧНИЙ АНАЛІЗ ПОНЯТЬ
1. Б 11. А 21. А 31. А 41. А
2. А 12. А 22. А 32. Б 42. А
3. А 13. А 23. А 33. А 43. Б
4. А 14. А 24. А 34. Б 44. А
5. А 15. А 25. А 35. А 45. А
6. В 16. А 26. А 36. А 46. В
7. В 17. А 27. А 37. А 47. А
8. В 18. А 28. В 38. В 48. А
9. А 19. А 29. Б 39. А 49. А
10. А 20. А 30. А 40. А 50. А
3.5. ЛОГІЧНИЙ АНАЛІЗ СУДЖЕНЬ
1. А 11 .А 21. А 31. А 41. А
2. А 12. А 22. А 32. А 42. А
3. А 13. А 23. А 33. А 43. А
4. А 14. А 24. А 34. А 44. А
5. А 15. А 25. А 35. А 45. А
6. А 16. А 26. А 36. А 46. А
7. А 17. А 27. А 37. А 47. А
8. А 18. А 28. А 38. А 48. А
9. А 19. А 29. А 39. А 49. А
10.А 20. А 30. А 40. А 50 .А
4.5. ЗАКОНИ ЛОГІКИ
1. А 11. Д 21. Б 31. Б 41. Г
2. А 12. Г 22. А 32. В 42. А
3. Д 13. Г 23. Д 33. А 43. Б
4. Д 14. А 24. А 34. А 44. Д
5. В 15. А 25. Д 35. Д 45. А
6. А 16. А 26. Б 36. А 46. Б
7. Б 17. Г 27. А 37. В 47. Д
8. Б 18. Д 28. Д 38. Б 48. А,Б
9. Б 19.А,Б 29. А 39. А 49. А
10.А 20. А 30. Д 40. А 50. А
4.6. ЛОГІЧНИЙ АНАЛІЗ УМОВИВОДІВ
1. А 14. А 27. А 40. А 53. А
2. А 15. А 28. А 41. А 54. А
3. А 16. А 29. А 42. А 55. Б
4. А 17. А 30. А 43. А 56. А
5. А 18. А 31. А 44. А 57. Б
6. А 19. А 32. А 45. А 58. А
7. А 20. А 33. А 46. Б 59. А
8. А 21. А 34. А 47. В 60. А
9. А 22. А 35. А 48. Г 61. А
10.А 23. А 36. А 49. А 62. А
11.А 24. А 37 А 50. А 63. А
12.А 25. А 38. А 51. А 64. А
13.А 26. А 39. А 52. А 65. Б
6.5. ЛОГІЧНІ ОСНОВИ ТЕОРІЇ АРГУМЕНТАЦІЇ
1. А 11. А 21. А 31. А 41. А
2. А 12. А 22. А 32. А 42. А
3. А 13. А 23. А 33. А 43. А
4. А 14. А 24. А 34. А 44. А
5. А 15. А 25. А 35. А 45. А
6. А 16. А 26. А 36. А 46. А
7. А 17. А 27. А 37. А 47. А
8. А 18. А 28. А 38. А 48. А
9. А 19. А 29. А 39. А 49. А
10.А 20. А 30. А 40. А 50. А
7. ПІДСУМКОВИЙ ТЕСТ
1. А 21. В 41. А 61. Б 81. Б
2. А 22. Б 42. А 62. Б 82. Б
3. А 23. Б 43. А 63. Б 83. Б
4. А 24. Б 44. А 64. Б 84. Б
5. А 25. Б 45. А 65. Б 85. Б
6. А 26. А 46. А 66. Б 86. Б
7. А 27. А 47. А 67. Б 87. Б
8. А 28. А 48. А 68. Б 88. Б
9. А 29. А 49. А 69. Б 89. Б
10.А 30. А 50. А 70. Б 90. Б
11.В 31. А 51. В 71. А 91. В
12.А 32. А 52. В 72. А 92. В
13.А 33. А 53. В 73. А 93. В
14.А 34. А 54. В 74. А 94. В
15.А 35. А 55. В 75. А 95. В
16.А 36. Б 56. В 76. А 96. В
17.В 37. Б 57. В 77. А 97. В
18.В 38. Б 58. В 78. А 98. В
19.В 39. Б 59. В 79. А 99. В
20.В 40. Б 60. В 80. А 100.А
Відповіді.
|
|
|
100. А. |
Навчальне видання
Гасяк Орест Сильвестрович
ПРАКТИЧНА ЛОГІКА
Навчальний посібник
Відповідальний за випуск
проф. Марчук М.Г.
Літературний редактор
Лупул О.В.
Друкарня видавництва “Рута”
Чернівецького національного університету
58012, Чернівці, вул. Коцюбинського, 2
* Тут і далі ми вживатимемо слова клас і множина як синоніми з чисто методичних міркувань.
*Під «обєктом» у даному випадку будемо розуміти символи або метасимволи, що позначають висловлення та їх сполучення, тобто формули.
3 лат. Cwantum - кількість
* Див. рекомендовану літературу.
* Див. Кольман Е., Зих. Занимательная логика.-М.:Наука,1968.
*. Шевченко В.Ε Некоторые способи решения логических задач. К., 1979. 80 с; Хромой Я.В Збірник вправ і задач математичної логіки. К., 1978 160 с. та ін.
*Замкненість таблиць прийнято позначати зірочкою *
*Від лат. trado передавати
*νομος гр. закон, постанова (ухвала)
* вихідна формула.
** ПП правила підстановки.
EMBED PBrush
EMBED PBrush
P¯
P¯
S+
S+
Р¯
S+
S+
P¯
М+ P- - більший засновок
S+ М+ - менший засновок
S+ Р+ - висновок
D
A B
C
C
A B
D
A B
C
A B
A 2 B
5 6
3 1 4
7 C
B
A
C
А В
В
А
D
С
C
A B
C A
B
D
A B C
C
A B
A C B
D
A C B
1)
P+
S+
+
P-
S+
P+
S+
S- P-
S- P+
S+
P+
S+
P-