Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Руководство к решению контрольной работы
№2 по теме «Интеграл»
Неопределенный интеграл.
При интегрировании функций наиболее часто используются следующие его свойства:
1) ;
2) ;
3) .
Пример 1. Найти .
Решение. Воспользуемся свойствами 1-3, а также таблицей интегралов:
=+3 = .
Ответ: .
Иногда при интегрировании удобно использовать свойство дифференциала:
. (2)
Пример 2. Найти .
Решение. Согласно формуле (2) можно записать:
.
Теперь воспользуемся свойством 2, а также таблицей интегралов:
Ответ: .
Инвариантность формул интегрирования позволяет применять при интегрировании подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции, основанное на следующей формуле:
. (3)
Пример 3. Найти .
Решение. Воспользуемся методом подведения под знак дифференциала, а также таблицей интегралов:
==.
Ответ: .
Формулой интегрирования по частям называют следующую формулу:
. (4)
Обычно за выбирают такое выражение, интегрирование которого не вызывало бы трудностей, а за u – функцию, дифференцирование которой приводит к ее упрощению.
Можно выделить два основных класса интегралов, берущихся по частям:
1) ; ; ;
– здесь за u принимают многочлен , за – оставшееся выражение, то есть, например .
2) ; ;
– здесь за u принимают обратную функцию, например, arcsinbx, за – оставшееся выражение, то есть .
Рациональной дробью называют отношение двух многочленов и , т.е. =. Для интегрирования рациональной дроби необходимо предварительно разложить , т.е. представить ее в виде суммы элементарных дробей видов:
,
где k, r – целые положительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней. Если дробь неправильная (), то необходимо предварительно выделить целую часть дроби.
5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
Для нахождения интегралов видов и используют тригонометрические формулы:
(5)
Для нахождения интегралов вида , где R – рациональная функция (не содержащая sinх и cosx под знаком корней), применяют универсальную подстановку: , которая сводит к интегралу от рациональной функции, т.к.
и (6)
Формула Ньютона–Лейбница
Формула Ньютона–Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид:
, (7)
если и непрерывна на .
Пример 4. Вычислить определенный интеграл.
Решение. Это определенный интеграл, берущийся по частям, поэтому, применяя формулу (4), а затем формулу Ньютона–Лейбница, получаем:
=.
Ответ: .
Несобственные интегралы первого и второго рода
Интеграл
(8)
называется несобственным интегралом первого рода.
Интеграл
, (9)
где a – точка бесконечного разрыва функции называется несобственным интегралом второго рода.
Если b – точка бесконечного разрыва функции , то
, (10)
– тоже несобственный интеграл второго рода.
Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенства. Если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.
Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл .
Решение. Это несобственный интеграл первого рода, поэтому
Следовательно, интеграл сходится и равен .
Ответ: интеграл сходится и равен .
Пример 6. Исследовать на сходимость интеграл .
Решение. Это несобственный интеграл второго рода, так как х = 1 – точка разрыва второго рода подинтегральной функции, поэтому
,
следовательно, интеграл расходится.
Ответ: интеграл расходится.
Вычисление площади в декартовой системе координат (ДСК)
Криволинейной трапецией в ДСК называется фигура, ограниченная прямыми x = a, x= b, y = 0 и кривой y = f(x), где для (рис. 1).
Формула для вычисления площади криволинейной трапеции:
. (11)
Если фигура Ф ограничена в ДСК линиями x = a, x= b, y = f1(x) и y = f2(x) где для (рис. 2), то площадь Ф можно вычислить по формуле:
. (12)
9. Вычисление площади в полярной системе координат (ПСК)
Криволинейным сектором в ПСК называется фигура, ограниченная лучами и кривой , где (рис. 3).
Формула для вычисления площади криволинейного сектора:
. (13)
Вычисление объема тела вращения
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a, x= b,
y = 0 и непрерывной кривой y = f(x), где для , вращается вокруг оси ОX. Объем полученного при этом тела вращения (рис. 4) вычисляется по формуле:
. (14)
Если криволинейная трапеция ограничена линиями x = a, x= b,
y1 = f1(x) и y2 = f2(x) где для , то объем полученного при ее вращении вокруг ОX тела (рис. 5) можно вычислить по формуле:
. (15)
Вычисление длины дуги плоской кривой
Пусть плоская кривая АВ задана уравнением y = f(x), где . Если функция f′(x) и ее производная f·′(x) непрерывны на промежутке [a; b], то длина кривой АВ вычисляется по формуле:
. (16)
Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы №2
Задача 1. Решение задачи 1.
а) Так как , то используя формулу (3), получим:
.
Проверим результат дифференцированием:
следовательно, выполнено условие (1).
Ответ: .
б) Интеграл относится к типу интегралов, берущихся по частям; это интеграл так называемого второго типа. Используя формулу (4), получим:
.
Проверим результат дифференцированием:
.
Ответ: .
Подинтегральная функция является правильной рациональной дробью, поэтому ее можно представить в виде суммы простейших дробей:
, отсюда
, или .
Неопределенные коэффициенты А, В, С найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества:
Коэффициенты А, В, С можно найти другим способом – подставляя в тождество «удобные» значения х (метод отдельных значений):
Из первого уравнения получим: . Почленно вычитая два последних равенства, получим: , и из последнего уравнения
.
Таким образом,
Переходим к интегрированию:
.
Здесь использовано: ,
.
Проверим результат дифференцированием:
.
Ответ: .
Применим универсальную тригонометрическую подстановку:
.
Возвращаясь к переменной х, получаем:
.
Ответ: .
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
а), б) .
Задача 2. Вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигуры:
а) ограниченной в ДСК линиями l1: и l2: .
б) ограниченной в ПСК линией l: .
Сделать чертежи.
Решение задачи 2.
а) Найдем точки пересечения кривых, для чего составим и решим систему . Приравнивая правые части, получаем уравнение , решив которое, найдем абсциссы точек пересечения: x = –1, x = 3.
Построим чертеж (рис. 6). На рисунке видно, что на промежутке [–1; 3].
Таким образом, используя формулу (12), вычислим площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
.
Ответ: единиц площади.
б) Для построения кривой в ПСК составим таблицу значений функции на промежутке .
|
0 |
π/4 |
2π/4 |
3π/4 |
π |
5π/4 |
6π/4 |
7π/4 |
2π |
|
|
13 |
12,7 |
12 |
11,3 |
11 |
11,3 |
12 |
12,7 |
13 |
Построим чертеж в ПСК (рис. 7).
Так как фигура ограничена кривой,
заданной в полярной системе координат, то
площадь фигуры, ограниченной заданной линией, вычислим по формуле (13):
.
Для получаем:
.
Ответ: единицы площади.
Задача 3. Вычислить с помощью определенного интеграла объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями
l1: и l2: y = 6x. Сделать чертеж.
Решение задачи 3.
Для построения фигуры Ф, ограниченной кривыми l1 и l2 нужно найти точки их пересечения, т.е. решить систему: . Приравнивая правые части равенств, получаем уравнение , решив которое, найдем абсциссы точек пересечения кривых: .
Объем тела вращения, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси OX (рис. 8) можно найти как разность объемов двух тел по формуле (15):
.
Ответ: единиц объема.
Задача 4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
а) Данный интеграл является несобственным интегралом первого рода, поэтому
,
следовательно, интеграл сходится и равен .
Здесь использовано: .
Ответ: .
б) Данный интеграл является несобственным интегралом второго рода, поэтому
,
следовательно, интеграл сходится и равен .
Ответ: .