Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
6. Векторлар және оларға қолданылатын сызықтық амалдар. Екі вектордың скалярлық көбейтіндісі. Вектор және оған амалдар қолдану
Негізгі ұғымдар. Мектеп курсынан белгілі векторлар жөніндегі білімімізді жалпылайық.
Басы А, соңы В нүктесі болатын бағытталған кесінді вектор деп аталады. Оқулықтарда векторларды немесе , кейде тек қалың әріптермен АВ белгілеу түрлері кездеседі. Сол сияқты векторларды бір әріппен де белгілей береді (= , , а). векторының ұзындығы деп АВ кесіндісінің ұзындығын айтады және деп белгілейді. Басы мен соңы беттесетін вектор нолдік вектор деп аталады, = және ұзындығы нолге тең.Бір түзудің не өзара параллель түзулер бойында орналасқан векторлар коллениар векторлар деп аталады. және векторларының қосындысы «үшбұрыш» не «параллелограмм» ережесімен анықталады:
және векторларының - айырымы деп -ға қосқанда
векторы алынатын = - векторын айтады.
векторының санға көбейтіндісі деп ұзындығы болатын, бағыты >0 болғанда векторымен бағыттас, <0 болғанда векторымен қарама-қарсы бағытта болатын векторын айтады. Суретте, = 2, =2; = -1, =-.
2вектордың скаляр көбейтіндісі
Екі вектордың скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейтіндісіне тең шаманы айтады: .
Тік бұрышты декарт координаталар жүйесінде векторының басы мен соңының координаталары белгілі болсын және . Сонда векторын координаталары арқылы былай жазуға болады: = векторының басы координаталар басымен беттесетіндей етіп өз-өзіне параллель көшірсек, онда векторының координатасы вектордың соңының координаталарымен бірдей болатынын аңғару қиын емес. Жазықтықта вектордың координатасын екі сан анықтаса, айталық , кеңістікте үш сан анытайды, .
Вектордың ұзындығы оның координаталарының квадраттарының қосындысынан алынған квадрат түбірге тең: .және векторлары координаталарымен берілген болса олардың қосындысы мынадай түрде анықталады:.Ал векторын санға көбейту мынадай түрде анықталады: . және векторларының скаляр көбейтіндісі мынадай:
8. Функцияның нүктедегі шегі. Тамаша шектер Анықтама. Егер алдын ала берілген, мейілінше аз санына саны табылып, шартын қанағаттандыратын барлық х үшін теңсіздігі орындалса, онда А саны f(x) функциясының х аргумент х0-ге ұмтылғандағы шегі деп аталады да, былай жазылады: .Анықтамадағы теңсіздікті ашсақ, мынадай қос теңсіздік аламыз:. интервалды нүктесінің -маңайы дейді. Сол сияқты теңсіздікті ашсақ: . интервалды А нүктесінің -маңайы дейді.
1-ші тамаша шек
Теорема. функциясы x=0 нүктеде анықталмаған, бірақ жағдайда шегі бар және Осы шекті бірінші тамаша шек деп атайды.
Бірінші тамаша шек салдары:
1) ,
2), 3).
Мысал.
а).
б).
Екінші тамаша шек
Теорема. функциясының жағдайда шегі бар және
Осы шекті екінші тамаша шек деп атайды. Мұндағы иррационал саны Эйлер саны екені белгілі.
Екінші тамаша шек салдары:
1) , a=e болғанда ;
2) ,
a=e болғанда ;
3)
Мысал. а)екенін көрсет.
Шешуі. деген білгілеу енгізейік. Осыдан . Және де кезде . Енді шек есептесек .
б)
9.Туынды ұғымы, геометриялық және физикалық мағынасы. Функция туындысы
Көп жағдайда функция мәнін білумен қатар аргументтің өзгерісіне байланысты функцияның өзгеру жылдамдығын білу де маңызды болады.
y=f(x) функциясын қарастырайық (1-сурет). Осы функция кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болсын. Кез келген үшін айырма х аргументтің нүктесіндегі өсімшесі деп аталады да, деп белгіленеді. Сонымен, =x =+.Ал айырма f(x) функциясының нүктесіндегі өсімшесі деп аталады да, деп белгіленеді. Сонымен, = =.
2-суретте көрсетілген y=f1(x) және y=f2(x) функцияларды қарастырайық. Аргумент мәні шамаға өзгергенде бұл функциялардың мәндері де белгілі бір шамаға өзгереді. Суретте f2(x) функцияның мәні f1(x) функцияға қарағанда көп өзгереді (өседі).
|
Аргумент мәні бірдей шамаға өзгерген кездегі функциялардың өзгерістерін салыстыру үшін функцияның өзгеріс жылдамдығы ұғымын енгізеді. Оны орташа жылдамдық дейді де, функция өзгерісінің аргумент өзгерісіне қатынасымен анықтайды: Орташа жылдамдық |
Функция өзгерісі |
|||
|
Аргумент өзгерісі |
= |
Орташа жылдамдық х0 нүктесіне ғана қатысты қарастырылмай, аргумент өзгерісінен де байланысты болады. Функция жылдамдығын аргумент өзгерісінен байланыссыз қарастыру үшін функцияның нүктедегі жылдамдығын қарастырады. Функцияның нүктедегі жылдамдығын анықтау үшін х-ті х0 аргументке шексіз жақындатады, немесе . Осы кезде үзіліссіз функция өзгерісі нолге жақындайды, яғни . Нолге шексіз жақындайтын функция өзгерісінің нолге шексіз жақындайтын аргумент өзгерісіне қатынасы функцияның х0нүктедегі өзгеріс жылдамдығын береді. Функцияның х0нүктедегі осы өзгеріс жылдамдығын f(x) функциясының х0нүктедегі туындысы деп атайды:.
Анықтама.Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған кездегі шегі функция туындысы деп аталады. Әдетте оны немесе деп белгілейді:
10.Кері және күрделі функциясының туындысы. Мысалдар. Күрделі функция туындысы
f(u(x)) күрделі функция туындысы: .
u=g(x) дифференциалданатын функция болсын.
Мысалы, формуласын дәлелдейік.y=lnx функциясының өсімшесі
шаманы -ке бөліп туынды анықтамасын қолданайық:
,
мұнда екінші тамаша шектің салдарын қолдандық. Формуланы анықтама бойынша дәлелдедік.
Кері функцияның туындысы
y=f(x) функциясына кері функция
(x=f - 1(y)) туындысы: .
11. Функцияның дифференциалы және жуықтап есептеуге қолдану. Мысалдар. Функцияның дифференциалы. функциясының шектелген туындысы бар болсын, онда: , демек шексіз аз шама.
Онда функцияның өсімшесі былай жазылады: Осы теңдікте екінші қосылғыш , ке қарағанда жоғарғы ретті шексіз аз шама болғандықтан, бірінші қосылғыш ке эквивалентті шама болады.
Анықтама.Функцияның туындысының аргументтің өсімшесіне көбейтіндісін дифференциал деп атайды және мына түрде жазады: . Дербес жағдайда, егер болса, онда , осыдан және осыны пайдаланып дифференциалдың формуласын былай жазуға болады: . Осыдан , яғни туынды функцияның дифференциалының аргумент дифференциалына бөлінген мәніне тең.
Дифференциалды есептеу ережесі. Айталық және дифференциалданатын функциялар болсын,
1., мұндағыс –сан.
2.,
3., егер.
4. Егерфункциясы нүктесінде дифференциалданатын, ал нүктесінде дифференциалданатын болса, ондакүрделі функция үшін,. Бұл ережені бірінші дифференциал формасының инварианттығы деп атайды. Дифференциалды жуықтап есептеуге қолдануға болады. Айталық, функциясы дифференциалданатын болсын, онда оның өсімшесі:
, осыдан.
Егер нүктесінде функцияның мәні берілсе, онда: .
мысал.-ты жуықтап есепте.
.
12. Лопиталь ережесі арқылы анықталмағандықты ашу.Теорема (Лопиталь ережесі). f(x) және g(x) функциялары () жағдайда нолге немесе шексіздікке ұмтылсын. Егер олардың туындыларының қатынасының шегі (ақырлы не ақырсыз) бар болса, функциялар қатынасының да шегі бар болады және мына қатынас орындалады:. Лопиталь ережесін қолданып ектерді есмептейік.
1. .
2.
3. .
Үшінші мысалда Лопиталь ережесін бірден қолдануға келмейді. Сондықтан, алгебралық түрлендіру көмегімен түріндегі анықталмағандықты немесе түріндегі анықталмағандықтарға келтіреміз. Осы мақсатпен х2 бөлімнің бөліміне түсірілді.
4. . Айталық деп белгілеп, теңдеудің екі жағын логарифмдейік. Теңдеудіңоңжағынесептейік:
13. Функцияның экстремумы. Экстремумның қажетті және жеткілікті шарттары.Функция экстремумы
х0 нүктесінің - маңайы табылып, (х0- х0+), осы маңайдағы барлық хх0 үшін f(x)>f(х0) теңсіздігі орындалса, х0 нүктесі f(x) функциясының минимум нүктесі деп, ал f(x)<f(х0) теңсіздік орындалса, х0 нүктесі f(x) функциясының максимум нүктесі деп аталады.
Функцияның минимум және максимум нүктелерін экстремум нүктелері деп атайды. Осы нүктелердегі функция мәндерін функция экстремумдары дейді.
2-суретте y=f(x) функциясының максимум нүктелері x1және x3, ал минимум нүктелері x2 және x4 . Суреттен x4 нүктедегі минимум x1 нүктедегі максимумнан үлкен. Бұл функцияның экстремум ұғымы нүктенің қандай да бір - маңайында ғана анықталатындығымен түсіндіріледі. Сондықтан да, функция экстремуы дегеннің орнына көбіне функцияның локальді экстремумы дейді.
|
н н=а(ч) ф ч1 ч2 ч3 ч4 и ч 2-сурет |
тама.х0 нүктесінің - маңайы табылып, (х0- х0+), осы маңайдағы барлық хх0 үшін f(x)>f(х0) теңсіздігі орындалсаЭкстремумның қажетті және жеткілікті шарты
Экстремумның бар болуының қажетті шартын Ферма теоремасы береді.
Ферма теоремасы. х0 нүктесі y=f(x) функциясының экстремум нүктесі болып және осы нүктедегі функция туындысы бар болса, онда =0. Бұл теореманың геометриялық мағнасы: теорема шартын қанағаттандыратын нүктеде функция графигіне жүргізілген жанама абсцисса осіне параллель болады.
Экстремумның бірінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х0 нүктесінде үзіліссіз және қандай да бір - маңайында функция туындысы бар болсын (х0 нүктесінде туынды болмауы мүмкін). Онда,
Жоғары кестеде қарастырылған функцияларды осы жеткілікті шарт бойынша зерттесек. х аргумент нүкте арқылы өткен кездегі таңбасын анықтасақ, мынадай толықтыру аламыз:
|
Туынды таңбасы |
|||
|
:“+” “-” х0=0 |
: “+” “+” х0=0 |
: “-” “+” х0=0 |
: “+” “+” х0=0 |
|
х0=0 - максимум нүктесі |
Экстремум жоқ |
х0=0 - минимум нүктесі |
Экстремум жоқ |
Экстремумның екінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х0 нүктесінде үзіліссіз және қандай да бір - маңайында екі рет дифференциалдансын. Сонымен қатар болса, онда
14. Функция графигінің дөңес және ойыстығы, иілу нүктелері. Асимптоталар.Қисықтың дөңестігі, ойыстығы, иілуі
Анықтама. y=f(x) функция графигі (а,в) интервалының кез келген нүктесінде жүргізілген жанамадан төмен жатса, онда функция дөңес (дөңестігі жоғары қараған) деп, ал жанамадан жоғары жатса, онда функция ойыс (дөңестігі төмен қараған) деп аталады. 3-суретте y=f(x) функциясының графигі аралығында дөңес болады да, ал аралығында ойыс болады.Анықтама. Функция графигінің дөңес және ойыс бөліктерін бөліп тұратын нүктені функцияның иілу нүктесі деп атайды. Суретте қисық бойында жатқан (x0, f(x0)) нүкте графиктің дөңес және ойыс бөліктерін бөліп тұр, яғни ол функцияның иілу нүктесі болады.
Енді иілу нүктесін табуға мүмкіндік беретін қажетті және жеткілікті шарттарды қарастырайық. Иілу нүктесі бар болуының қажетті шарты. (а,в) интервалында екі рет дифференциалданатын y=f(x) функциясының (x0, f(x0)) нүктесі иілу нүктесі болса, онда .Шынында да, (x0, f(x0))иілу нүктесі болғандықтан х0нүктесінің оң және солжағында таңбасы түрліше болады. Екінші туындының үзіліссіздігіне байланысты болатындығы шығады.
Анықтама. Екінші туындысы нолге айналатын не болмайтын нүктелер функцияның ІІ-текті күдікті нүктелері деп аталады.Иілу нүктесі бар болуының жеткілікті шарты. (а,в) интервалында екі рет дифференциалданатын y=f(x) функциясының екінші туындысы х аргумент х0 нүкте арқылы өткенде таңбасын өзгертсе, онда (x0, f(x0)) нүктесі функцияның иілу нүктесі болады. Мысал. (Гаусс қисығы) функциясының иілу нүктелері мен дөңестік аралықтарын тап. Шешуі. 1) Функция бүкіл сан осінде анықталған, яғни D(y)=.
.
ІІ-текті күдікті нүктелерін шартынан табамыз: . болғандықтан, . Осыдан және күдікті нүктелер табылады. Осы нүктелер анықталу облысын үш интервалға бөледі: , , .
Осы интервалдардағы екінші туынды таңбасын анықтаймыз (4-сурет):
|
у + - + х ойыс дөңес ойыс 0 4-сурет 5-сурет |
Сонымен функция графигі және аралықтарда ойыс, ал аралықта дөңес болады екен. Екінші ретті туынды нүктелерден өткенде таңбасын өзгертетіндіктен, бұл нүктелер функцияның иілу нүктелері болады. Функция графигі 5-суретте кескінделген.
Асимптота
Анықтама. Егер y=f(x) функциясы үшін және шектерінің ең болмағанда біреуі шексіздікке тең болса, онда функция графигінің тік асимптотасы деп аталады (6а-сурет). у=kx+b түзуі y=f(x) функция графигінің көлбеу асимптотасы деп аталады, егер функцияға тиісті қандай да бір М нүкте координат басынан алыстаған сайын түзуге шексіз жақындаса (6б-сурет).
Көлбеу асимптотаның дербес жағдайы (k=0) горизонталь асимптота болады: y=b
Көлбеу асимптотаны мынадай теорема көмегімен табуға болады.
Теорема. у=kx+b түзуі y=f(x) функция графигінің көлбеу асимптотасы болуы үшін мынадай шектердің бар болуы қажетті және жеткілікті:, .
15. Анықталмаған интеграл және оның қасиеттері.Анықталмаған интеграл. f(x) және F(x) функциялары ақырлы немесе ақырсыз Х аралықта анықталған функциялар болсын. Анықтама. Х аралығында дифференциалданатын функциясы= f(x)теңдігін қанағаттандырса F(x) функциясы f(х) функциясының алғашқы функциясы деп аталады.
Мысалы, F(x)=x3 функциясы f(x)=3x2 функциясының алғашқы функциясы болады себебі туындының геометриялық мағнасы y=F(x) функциясына х нүктеде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті. Сонда, функцияның алғашқы функциясын табу дегеніміз х нүктеде жүргізілген жанамасының бұрыштық коэффициенті сол нүктедегі функциясының мәніне тең болатын y=F(x) қисығын табу деген сөз, яғни . функцияның алғашқы функциясы бірмәнді анықталмаған. Шынында да, мысалдағы f(x)=3x2 функцияларының алғашқы функциялары ретінде мына функцияларды алуымызға болады: x3+1, x3-5, x3+C, мұндағы С-қандай да бір нақты сан (себебі, бұл функциялардың туындысы 3x2 болады). Жалпы жағдайда айтсақ, функцияның алғашқы функциясы y=F(x) табылса, онда F(x)+С функциясы да функцияның алғашқы функциясы болады, себебі . Геометриялық тұрғыдан қарастырсақ, шартын қанағаттандыратын бір y=F(x) функция табылса, онда функция графигін Оу осі бойымен С шамаға жылжыту арқылы осы шартты қанағаттандыратын қисықтарды аламыз (бұлай жылжыту бұрыштық коэффициентті өзгертпейді). Анықталмаған интеграл қасиеттері
Интеграл анықтамасынан мынадай қасиеттер шығады.
1..2. .3. =F(x)+C. 4. Берілген аралықта f(x) және g(x) функцияларының алғашқы функциялары бар болса, онда f(x)+g(x) функциясының да алғашқы функциясы бар болады және .
5. . 6. Егер= F(x)+C болса, онда = F(ax+b)+C.
7. Егер интеграл астындағы функцияның алымы бөлімнің туындысы болса, онда интеграл бөлімнің абсолют шамасының натурал логарифміне тең, яғни , мұндағы u=u(x).
16. Айнымалы алмастыру әдісі. Бөліктеп интегралдау әдісі. Мысалдар. Айнымалыны алмастыру әдісі. I=интегралын қарастырайық. Айталық, x=g(t) дифференциалданатын функция болсын. Сонда dx=g’(t)dt және .
Бұләдіс айнымалыны ұтымды алмастыруға негізделген. Айнымалыны алмастыру арқылы интеграл бірден немесе бірнеше амалдардан кейін кестелік интегралға келтіріледі. Мысалдар қарастырайық.
а)+С
б)arctgt+C= =arctgx3+C
в)ln|t|+C=ln|1+lnx|+C
Бірден интегралдау. Белгілі формулалар көмегімен интегралды бір немесе бірнеше кестелік интегралға келтіруге болатын кезде қолданамыз. Мысалдар қарастырайық.
а) = =++x+C=++x+C
б) .
в)
(6-қасиет бойынша есептелді).
г)= +С.
Бөліктеп интегралдау әдісі. Бұл әдіс мынадай қатынасқа негізделген:
d(uv) = udv + vdu udv = d(uv) – vdu мұндағы u=f(x) және v=g(x) функциялары туындылары бар функциялар. Теңдіктің екі жағынан да интеграл алсақ,
, осыдан .
Бұл әдісті қолданғанда u және v функцияларын интеграл интегралға қарағанда оңай алынатындай етіп таңдайды. Мысалдар қарастырайық.
а)+С =+C.
б).
О= (cosx+sinx)-ОО=(сщыч+ыштч)+Сю
Төмендегі интегралдар тобы тек бөліктеп интегралдау әдісімен есептелінеді:
; ; ; .
17. Квадраттық үшмүшелік түріндегі өрнектерді интегралдау. Мына төмендегі интегралдарды табу әдісін қарастырайық және .
) квадрат үшмүшелігіндегі коэффициентін жақша алдына шығарып, одан толық квадратты бөліп аламыз;
) интегралға , алмастыруын енгіземіз;
) Оны екі интегралдың қосындысы етіп жазамыз. Сонда екі интегралымыз да кестелік интегралға келеді.
1- мысал.
18. Анықталған интеграл және оның қасиеттері. Ньютон-Лейбниц формуласы.Анықталған интеграл
Анықтама. y=f(x) функциясының интегралдық қосындысының жағдайдағы шегі функцияның [a;b] аралығындағы анықталған интегралы деп аталады және деп белгіленеді. Сонымен, , (2)мұндағы а және b сандары интегралдың сәйкес төменгі және жоғарғы шектері деп аталады.
Белгіленуі мен айтылуында ұқсастық болғанымен анықталған және анықталмаған интеграл екеуі түрлі ұғымды береді: - функциялар жиыны болса;- нақтылы сан болады.
Егер [a;b] кесіндіде f(x)>0 болса, онда анықталған интеграл анықтамасынан оның геометриялық мағнасы шығады: -үстіңгі жағынанy=f(x) қисығымен, бүйір жақтарынан x=a, x=b түзулерімен, астыңғы жағынан y=0 түзуімен шектелген қисық сызықты трапеция ауданы.
Анықталған интеграл қасиеттері.
1. Тұрақтыны шек таңбасы алдына шығаруға болады: .
3Интеграл шектерінің орындарын ауыстырғанда интеграл таңбасы қарама-қарсыға өзгереді: . Интеграл шектері бірдей болғанда интеграл мәні нолге тең: .
Tuth ,jkcf? jylf m(b-a)<<M(b-a)/ Егер с нүктесі [a;b] кесіндісінде жатқан нүкте болса, онда .
Орта мән туралы теорема. y=f(x) функциясы [a;b] кесіндісінде үзіліссіз функция болса, онда қандай да бір с[a;b] нүкте табылады да мына теңдік орындалады: (b-a)f(c).
Егер y=f(x) функциясы жұп болса, онда 2.
Егер y=f(x) функциясы тақ болса, онда 0.
Анықталған интегралдағы бөліктеп интегралдау: .
Анықталған интегралдағы айнымалыны алмастыру:
.
4.Меншіксіз интеграл. Егер y=f(x) функциясы аралығында үзіліссіз болса, онда мына шекті жоғары шегі шексіз меншіксіз интеграл дейді және былай жазады:
.
Теңдіктің оң жағындағы шек ақырлы болса меншіксіз интеграл жинақталады деп, ал шек ақырсыз немесе болмаса меншіксіз интеграл жинақталмайды дейді. Осыған ұқсас мынадай меншіксіз интегралдар анықталады:
, .
19. Анықталған интегралда айнымалыны алмастыру және бөліктеп интегралдау әдісі. Мысалдар..Айнымалыны алмастыру әдісі. I=интегралын қарастырайық. Айталық, x=g(t) дифференциалданатын функция болсын. Сонда dx=g’(t)dt және .
Бұләдіс айнымалыны ұтымды алмастыруға негізделген. Айнымалыны алмастыру арқылы интеграл бірден немесе бірнеше амалдардан кейін кестелік интегралға келтіріледі. Мысалдар қарастырайық.
а)+С
б)arctgt+C= =arctgx3+C
в)ln|t|+C=ln|1+lnx|+C
Бөліктеп интегралдау әдісі. Бұл әдіс мынадай қатынасқа негізделген:
d(uv) = udv + vdu udv = d(uv) – vdu мұндағы u=f(x) және v=g(x) функциялары туындылары бар функциялар. Теңдіктің екі жағынан да интеграл алсақ,
, осыдан .
Бұл әдісті қолданғанда u және v функцияларын интеграл интегралға қарағанда оңай алынатындай етіп таңдайды. Мысалдар қарастырайық.
а)+С =+C.
б).
О=(сщыч+ыштч)-О О=(сщыч+ыштч)+Сю
Төмендегі интегралдар тобы тек бөліктеп интегралдау әдісімен есептелінеді:
; ; ; .
20. Екі айнымалы функциялар, негізгі ұғымдар. Дербес туындылар және толық дифференциал. Дербес туындының толық диференциялы
Анықтама. z= f(x, y) функциясының дербес өсімшелерінің сәйкес аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған жағдайдағы шегі функцияның дербес туындысы деп аталады және былайша жазылады: (5)
Бұл анықтамадан zх’ туындыны табу үшін у айнымалыны тұрақты деп, ал zy’ туындыны табу үшін х айнымалыны тұрақты деп қарастыру керек. Және де бір айнымалы функция дифференциалынан белгілі дифференциалдаудың барлық ережелері сақталады.
Мысал. функциясының дербес туындыларын табу керек.
Шешуі. x бойынша дербес туындыны табу үшін у айнымалыны тұрақты деп аламыз, сонда
. у бойынша дербес туындыны табу үшін х айнымалыны тұрақты деп аламыз, сонда .
Анықтама.z= f(x, y) функцияның толық дифференциалы деп осы функцияның дербес туындыларының сәйкес аргумент өсімшелеріне көбейтіндісінің қосындысын айтамыз,
(*). Егер f(x,y) = x, g(x,y) = y функциялары үшін (*) қатынас бойынша толық дифференциалдарын тапсақ, df = dx=x, dg = dy=y болатындығы шығады. Олай болса функцияның толық дифференциалын мына түрде жазуға болады:.
21. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулердің негізгі түрлері және оларды шығару тәсілдері. Мысал. 1-ші ретті сызықты біртекті диф.
Бiрiншi реттi дифференциалды теңдеу сызықты деп аталады, егер ол мынадай түрде жазылатын болса: y'+P(x)y=Q(x) 5
Егер (5) теңдеудегі Q(x)=0 болса сызықты теңдеу біртекті деп аталады
y'+P(x)y=0.(Сызықты біртекті дифференциалды теңдеу шешімін бірден алуға болады:
Сонымен, сызықты бiртектi дифференциалды теңдеудiң жалпы шешiмi мынадай: .
Енді (5) теңдеуді шешумен айналысайық. Лагранж әдісі: Бұл әдіс (5) теңдеу шешімін сәйкес біртекті теңдеуінің шешімінен алады. Біртекті теңдеуінің шешіміндегі С шаманы х-тен тәуелді функция деп қарастырамыз: (*).
С(х) функциясын табу үшін у және мәндерін (5) теңдеуге қоямыз. тауып алайық:
.Енді у және мәндерін (5) теңдеуге қоямыз:
; екенін ескеріп, мынаны аламыз:
. Мүшелеп интегралдап, белгісіз С(х) функцияны табамыз:
С(х) функция мәнін (*) теңдеуге қойып (5) сызықты дифференциалды теңдеу шешімін аламыз:
(7)
Мысал. дифференциалды теңдеуді шешу керек.
Шешуі. Теңдеудің екі жағын х-ке бөлсек, сызықты теңдеу аламыз: , мұнда P(x)= , Q(x)=2x3 . Теңдеудің шешімін табу үшін (7) формуланы қолданамыз.
Сонымен, берілген сызықты теңдеу шешімі: .
22.Анықталған интеграл көмегімен жазық фигураның ауданын, доғаның ұзындығын, айналу денесінің көлемін есептеу Жазық фигураның ауданын табу.
а) функциясы кесіндісінде теріс емес және үзіліссіз болсын. Онда жоғарыдан функциясының графигімен, төменнен өсімен, ал бүйір жақтарынан түзулерімен қоршалған қисық сызықты трапецияның ауданы интегралына тең болады, яғни Егер кесіндісінде болса, онда қисық сызықты трапеция өсінің төменгі жағына орналасқан және болады.
1-мысал. синусоидасымен және осімен шектелген фигураның ауданын табу керек ().
аралығында , ал аралығында болғандықтан, берілген облыстың ауданын табайық
.
б) түзулерімен және аралығында үзіліссіз (мұндағы ) функциялардың графиктерімен шектелген фигураның ауданы мына формуламен табылады.
в) Егер кесіндісінде функциясының графигі параметрлік функция түрінде берілсін мұндағы үзіліссіз, ал функциясы кесіндісінде бір сарынды, үзіліссіз дифференциалданатын функция, ал , болса, онда қисық сызықты трапецияның ауданы мына формуламен табылады .
2−мысал. Жарты өстері және болатын эллипстің жоғарғы жағындағы жарты бөлігінің параметрлік теңдеуі былай беріледі: . Егер десек, онда , ал десек тең болады. Сонда эллипстің ауданы былай табылады
.
Поляр координаттарындағы аудан. Координат төбесінен шығатын сәулелермен және (мұндағы ) және теріс емес функциясының кесіндідегі үзіліссіз графигімен шектелген қисықсызықты үшбұрыштың ауданы мына формуламен есептелінеді:
3-мысал. қисығымен шенелген облыстың ауданын табамыз. Бұл қисық Бернулли лемнискатасы деп аталады.
шартынан интегралдау облысы табылады. Осыдан үшін бүкіл облыстың -ін құрайды.
.
3. Қисық доғасының ұзындығы
а) Егер қисық декарт координаттар жүйесінде , теңдеуімен берілсе, онда қисықтың доғасының ұзындығы мына формуламен есептелінеді: .
б) Егер қисық параметрлік түрде берілсе, онда қисықтың доғасының ұзындығы мына формуламен есептелінеді: .
в) Егер қисық сызық полярлық координаталар арқылы берілсе, яғни (), онда .
Айналу денесінің көлемі. Үзіліссіз сызығымен және түзулерімен шектелген қисық сызықты трапеция өсінен айналуынан пайда болған айналу денесінің көлемі мына формуламен есептелінеді: .
4-мысал. , функциясының графигімен берілген қисық сызықты трапецияның өсінен айналуынан пайда болған дененің көлемін табу керек. Жоғарыдағы формуланы қолданамыз.
Айналу бетінің ауданын табу. Айталық, үзіліссіз дифференциалданатын , ( және ) функциясының графигі өсінен айналсын. Пайда болған айналу бетінің ауданы:
23.Жоғарғы ретті туындылар және дифференциалдар. берілген функциясының бірінші немесе бірінші ретті туындысы, ал функцияның өзі нөлінші ретті туынды деп аталады.
Анықтама. Функцияның –ші ретті туындысы деп оның (-1)-ші туындысының туындысын айтады , =1,2,3,…, егер олар бар болса, онда функциясы -рет дифференциалданатын функция деп аталады.
Мысал. функциясы берілген. Бірінші туындысы , екінші туындысы , үшінші туындысы . Демек, , . Егер және функциялары –рет дифференциалданатын болса, онда (), мына ережелер орынды: , .
2. Лейбниц формуласы:
.
Айталық функциясы –рет дифференциалданатын болсын.
Анықтама. Функцияның –ші дифференциалы деп оның ()–ші ретті дифференциалының дифференциалын айтады: Дифференциалды есептеу формулаларын келтірейік:
,
,
. –шы ретті дифференциалдар үшін мына ережелер орынды:
1) , .
2) , .
Ескерту: Жоғарғы ретті дифференциал формасы инвариантты емес.
y