пособие по курсу Начертательной геометрии Г

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР

Горьковский инженерно-строительный институт

Имени В.П. Чехова

Н. И. Прахов

Элементарная теория теней

В ортогональных проекциях

Учебно-методическое пособие по курсу

Начертательной геометрии

Г. Горький, 1971

Предисловие

         Настоящая работа представляет собой учебно-методическое пособие по разделу курса начертательной геометрии «Тени в ортогональных проекциях» и предназначена для учащихся учебных заведений архитектурной специальности. Этим определяется ее объем и содержание. В работе в последовательном порядке рассматриваются способы построения теней в ортогональных проекциях, имеющие  преимущественное применение в практике архитектурного проектирования.

К таким способам отнесены:

1.  Способ следа луча.
2.  Способ лучевых сечений.
3.  Способ обратного луча.
4.  Способ касательных цилиндров и конусов.
5.  Способ вспомогательных экранов.
6.  Способ боковой проекции.
7.  Способ выноса.
8.  Способ дополнительной проекции луча.
9.  Способ горизонтальных рассечений.
10.   Способ вписанных сфер.

         Каждый способ иллюстрируется характерными для него примерами на элементах архитектурных форм или несложных фрагментах.

         Автор стремился расположить излагаемый материал по возрастающей степени сложности способов построения с учетом их большей или меньшей применимости. При этом некоторые архитектурные формы рассмотрены в применении к ним нескольких различных способов построения теней.

         Следует иметь ввиду, что для понимания и усвоения изложенного в работе материала необходимо предварительное изучение главы «Ортогональные проекции» общего курса начертательной геометрии в части разделов, относящихся к позиционным задачам, т.е. к задачам на определение взаимных инциденций геометрических образов. Последнее особенно важно, поскольку контуры собственной и падающей теней любого объекта в общем случае  определяются как линии, общие для него и соответствующей лучевой поверхности.

         Основными литературными источниками, использованными для составления пособия, послужили:

1.Рынин Н.А. Ортогональные проекции, 1918.

2. Добряков А.И., Князьков М.А., Коковин И.Н., тени классических фрагментов в ортогональных проекциях, 1938.

3. Добряков А.И. Сборник задач по курсу начертательной геометрии, 1941.

4. Добряков А.И. Курс начертательной геометрии, 1952.

5. Тимрот А.Г. Начертательная геометрия, 1962.

6. Климухин А.Г. Тени и перспектива, 1967.

1.  Способ следа луча

А. Принятое направление световых лучей.

         При построении теней в ортогональных проекциях источник света обычно отождествляется с солнцем. Его рассматривают как светящуюся точку, расположенную в бесконечности и, следовательно, световые лучи, исходящие из него, принимаются взаимно параллельными. Их направление определяется диагональю куба, рис.1, соединяющей его переднюю левую верхнюю вершину  А  с задней правой нижней  В. Сам куб считают при этом совмещенным  его двумя гранями с плоскостями проекций  П1 и П2.

Такое условно принятое положение источника света и такое направление световых лучей удобно тем, что отвечает азимуту и высоте светила в середине дня для местности средней географической широты и обеспечивает наиболее естественное освещение фронтально расположенных фасадов архитектурных объектов. Кроме того, оно удобно при графических решениях задач на построение теней, так как направление световых лучей образует, как это видно из рис.1 равные углы по 35° с плоскостями проекций, и, следовательно, его проекции, фронтальная и горизонтальная, пересекают ось проекций  X12 . также под равными углами по 45°, рис.2. Последние легко получить при помощи обычно применяемых чертёжных угольников с такими же углами.

                          Рис.1                                                                     Рис.2

Б. Тень точки.

         При приятом направлении световых лучей тень точки, расположенной в пространстве, строится на основании следующих соображений.

         Если точка лежит в пучке лучей света, тогда, очевидно, один из них встретит ее на своем пути и, если она не прозрачна, на ней прервется . Поэтому та точка на плоскости, в которую упал бы луч, если бы он не встретил точку в пространстве, окажется затененной, в то время как окружающие ее точки будут освещены.

         Таким образом, чтобы построить тень точки следует пропустить через нее луч заданного направления и найти его точку встречи с плоскостью, на которой тень строится.

Графически будет выражаться в проведении через проекции точки одноименных с ними проекций луча и отыскании следа построенного направления на плоскости  проекций. Последний и определит искомое положение тени заданной точки.

         На рис.3 показан пример такого построения. Здесь в соответствии с изложенным выше, через горизонтальную А1 и фронтальную А2 проекции точки А проведены одноименные с ними проекции S1 и S2 светового луча и отмечен его след А'2. Последний и рассматривается как тень точки А. В данном случае эта тень оказалась лежащей на горизонтальной плоскости проекций. Если бы этой плоскости не существовало или если бы она была прозрачной, тень точки упала бы  на фронтальную плоскость проекций в точку А'2  , как это видно из того же рисунка 3.

          В дальнейшем построенные изложенным способом тени точек будем называть их падающими тенями. При этом лежащую на первой по направлению луча плоскости проекций – действительной тенью, а точку, в которой луч встретит вторую плоскость проекций – мнимой тенью.

         На рис.4 показано аналогичное построение, но для случая, когда действительная тень  А'2 точки падает на фронтальную плоскость проекций, а мнимая А'1 - на горизонтальную.

                          Рис.3                                                                     Рис.4

В. Тень прямой линии.

         Отрезок прямой линии в пространстве определяется положением двух его концевых точек. Поэтому, чтобы построить его тень, достаточно построить тени этих точек и затем соединить их прямой линией.

         На рис.5 выполнено такое построение. Здесь действительные тени А'1  и В'1 концевых  точек отрезка АВ оказались обе на горизонтальной плоскости проекций. Прямая  А'1 В'1 ,  их соединяющая, есть действительная тень этого отрезка.

         На рис.6 приведен другой пример. Здесь точки А и В, определяющие отрезок, расположены в пространстве таким образом, что действительная тень  А'1 одной из них лежит на плоскости П2, вторая же - В'2, на плоскости П2. В этом случае искомая тень прямой  изобразится ломаной линией, соединяющей  точки  А'1  и В'1 с точкой перелома К на оси проекций. Последняя определяется, как видно из чертежа, при посредстве мнимой тени  В'1 точки В.

         На рис.7 и 8 показано построение теней для некоторых частных положений прямой линии. На первом из них изображена вертикальная прямая. Ее тень на горизонтальной плоскости совпадает с горизонтальной проекцией  светового луча, на фронтальной – она вертикальна.  На втором рисунке показана горизонтальная прямая, перпендекулярная фронтальной плоскости проекций. Тень такой прямой на фронтальной плоскости накладывается на фронтальную проекцию светового луча,  а на горизонтальной – перпендикулярна оси проекций.

         Из построений, приведенных на рисунках 5,6,7,8, легко увидеть, что тень прямой линии на плоскости проекций можно рассматривать как вертикальный или горизонтальный следы некоторой плоскости, образованной световыми лучами, проходящими через точки прямой, тень которой строится. Такая плоскость называется лучевой плоскостью.

                          Рис.5                                                                     Рис.6

                          Рис.7                                                                     Рис.8

         В общей тории проекций отмечаются некоторые свойства параллельного проецирования, называемые его инвариантными свойствами. Поскольку построение  теней излагаемым способом также может рассматриваться как параллельное проецирование, очевидно, что эти свойства сохраняются и для операции построения падающих теней. В приложении к ней они могут быть сформулированы в следующем виде:

1.  Тень точки есть точка.
2.  Тень прямой на плоскости есть прямая.
3.  Инцидентность точек и прямых на тенях сохраняется.
4.  Простое отношение  трех точек при построении теней на плоскости сохраняется.
5.  Параллельные отрезки прямых имеют параллельные тени.

         В дополнение к этому отметим, что проекция отрезка прямой, параллельного плоскости проекций, равна и параллельна отрезку-оригиналу. Но поскольку построение падающей тени отождествляется с операцией проецирования, очевидно, что тень отрезка равна  и параллельна  самому отрезку, если он параллелен плоскости, на которой строится его тень.

                     Использование перечисленных свойств  в  практических задачах построения теней                                       может значительно их упростить.

  

Г. Падающие и собственные тени плоских фигур, ограниченных прямыми. Тени гранных фигур.

         Чтобы  построить  тень плоскостей, ограниченной прямыми линиями фигуры или тень многогранника, достаточно построить тени всех вершин этих фигур, которые затем соединить прямыми линиями в порядке, в котором они соединены  на самой фигуре. Тогда общий внешний контур полученной таким образом фигуры очертит искомую тень.

         На рис.9 изображен некоторый треугольник АВС, сторона которого ВС совмещена с плоскостью проекций  П1 , фигура его падающей тени, очевидно, определится тенями вершин. Две из них, В и С лежат на плоскости  П2 , поэтому совпадают со своими тенями. Остается построить тень точки А, которая также оказывается лежащей на плоскости  П2 . Соединяя полученные тени точек прямыми линиями, будем иметь общий контур тени    А'1 В'1 С'1 . Часть ее оказывается закрытой горизонтальной проекцией заданного треугольника, поэтому не заштрихована.

         На рис.10 выполнено аналогичное построение, но вершина А треугольника расположена так, что ее тень оказалась лежащей на фронтальной плоскости проекций. В этом случае, естественно, тени сторон ВА и СА не могут быть получены непосредственным соединением точек  В'1  и  А'2 или  С'1  и  А'2 . Для определения действительного их положения как на фронтальной, так и на горизонтальной плоскостях проекций, использована мнимая тень  А'1 вершины  А на плоскости  П1 .

         Плоскости или поверхности, рассматриваемые в начертательной геометрии, могут считаться непрозрачными. Тогда при их освещении и возникают их падающие тени. Кроме того, на самих фигурах, расположенных в пучке световых лучей, будут неосвещенные участки.  Например,  одна из сторон непрозрачной освещенной пластинки (плоскости) будет затенена. Часть кривой или гранной поверхности, обращенная в сторону, противоположную источнику света, также будет находиться в тени. Такие, лежащие на самих освещенных фигурах тени, возникающие вследствие их непрозрачности, называются собственными тенями фигур.

         Отличить освещенную сторону плоской фигуры на ее проекции от неосвещенной можно по следующему признаку.

         Если прочитать обозначение фигуры  на ее проекции в направлении, например,  по часовой стрелке, а затем прочитать обозначение падающей тени этой фигуры на той же плоскости проекций в том же направлении и если при этом порядок знаков в том и другом случае окажется одинаковым, тогда видимая на проекции сторона фигуры освещена. Если же при таком чтении порядок знаков обозначений проекции и ее тени будут различными, видимая сторона фигуры на  рассматриваемой проекции находится в собственной тени.

                          Рис.9                                                                     Рис.10

         Для пояснения этого на рис.11 показаны проекции  треугольника АВС и его тени: действительная -  А'1 В'1 С'1 , лежащая на горизонтальной плоскости проекций (заштрихованная) и мнимая - А'2 В'2 С'2 , лежащая на фронтальной плоскости. Прочтем здесь обозначения горизонтальной проекции треугольника и его тени на плоскости  П2 , обоих, например, в направлении часовой стрелки. Тогда будем иметь:

         для проекции - А1 В1 С1

         для тени - А'1 В'1 С'1

         В полученной записи буквы В и С поменялись местами. Это является признаком того, что сторона треугольника, видимая на горизонтальной проекции, находится в собственной тени. Поэтому она здесь заштрихована.

         Прочтем теперь  таким же образом обозначения вершин фронтальной проекции фигуры и ее тени на плоскости  П2 , получим:

         для проекции – А2 В2 С2

         для тени - А'2 В'2 С'2

         В данном случае порядок знаков для обеих фигур оказался одинаковым. Это говорит о том, что на фронтальной проекции треугольника видима его освещенная сторона. Поэтому она заштрихована.

         Построение тени многогранника приведено на рис.12. В качестве примера здесь принят некоторый параллелепипед, поставленный его нижней гранью на горизонтальную плоскость проекций. Нижние вершины фигуры  K, L, M, N   совпадают с их горизонтальными проекциями, а, следовательно, и со своими тенями. Точки  А'1 В'1 С'1 Д'1 есть падающие тени вершин многогранника. Тени всех ребер получены соединением прямыми линиями теней их концевых точек. Общий контур падающей тени многогранника очерчивается внешними линиями полученной конфигурации. На рисунке он заштрихован.

Рис.11

         Рассматривая выполненное построение, можно заметить, что если использовать отмеченные выше инварианты операции построения теней как параллельного проецирования, тогда для получения теней всех ребер рассматриваемой фигуры отпадает необходимость построения теней всех вершин. В этом случае оказывается достаточным получить тень только какой-либо одной вершины. В самом деле, допустим, что при посредстве проекций лучей построена, например, тень вершины  С'1 вершины С и последовательно получена  тень  N1C'1 ребра NC. Тогда тени остальных трех вертикальных ребер фигуры могут быть построены как отрезки параллельные  и длиной равные тени ребра NC, поскольку все рассматриваемые ребра  взаимно равны и параллельны.

         Далее замечаем, что построив тени всех вертикальных ребер, мы тем самым получим и тени верхних горизонтальных ребер  А'1В'1,  В'1С'1,  С'1 Д'1 , Д'1А'1.

         Дополнительно отметим, что поскольку ребра АВ и ВС соответственно равны и параллельны ребрам ДС и АД, их тени будут также соответственно равны и параллельны им и что, так как все четыре верхних горизонтальных ребра параллельны плоскости  П1 , их тени на этой плоскости будут им соответственно равны и параллельны.

         На рис.13 приведен второй пример построения падающей тени многогранника. Здесь изображена трехгранная пирамида, поставленная ее гранью АВС на горизонтальную плоскость проекций. Вершины А, В, и С этой грани совпадают с их горизонтальными проекциями, а, следовательно, и со своими тенями. Точка  S'1, есть мнимая тень вершины S, падающая на плоскость проекций  П1 . В эту точку будут направлены тени всех боковых ребер пирамиды на этой плоскости. Точка  S'2, - действительная тень вершины S, лежащая на фронтальной плоскости. Сюда будут сходиться тени ребер на этой плоскости после этого, как они переломятся на оси проекций.

         Таким образом, контуром падающей тени пирамиды будут заштрихованный контур  А'1В'1S'2, лежащий частью на горизонтальной плоскости проекций, частью – на фронтальной. Часть его накладывается на горизонтальную проекцию пирамиды.

                          Рис.12                                                                     Рис.13

         Кроме теней, падающих от рассмотренных фигур на плоскости проекций, на их поверхностях, естественно, возникнут и собственные тени. Последние могут быть определены способом, изложенным  выше для плоских фигур. Например, прочитав в соответствующем порядке обозначения контуров проекции грани  В S С пирамиды и ее собственной тени на горизонтальной плоскости проекций (рис.13), получим следующий из знаков: :

         для проекции – В1S1С1

         для тени - А1С1S'1

         Поскольку здесь места букв С и S оказались различными, горизонтальная проекция грани находится в собственной тени. Поэтому она заштрихована.

         Этим же приемом может быть определено состояние освещенности всех других граней фигуры на обеих проекциях.

         Однако собственная тень на поверхности гранной фигуры может быть определена более удобным способом, основанном на следующих соображениях.

         Обратимся вновь к рис.13. Заметим здесь, что внешний контур падающей тени пирамиды определяется тенями ее боковых ребер  AS и BS и нижнего ребра АВ. Вместе с тем эти же ребра на самой фигуре отделяют освещенную часть ее поверхности от неосвещенной, т.е. принадлежат контуру ее собственной тени. На основании этого сопоставления легко сделать вывод, что КОНТУР ПАДАЮЩЕЙ ТЕНИ ФИГУРЫ ЕСТЬ ПАДАЮЩАЯ ТЕНЬ КОНТУРА ЕЕ СОБСТВЕННОЙ ТЕНИ.

         Это очень важное свойство взаимности двух контуров теней оказывается справедливым для любой фигуры и может быть использовано для определения границы собственной тени поверхности в том случае, когда ее падающая тень  построена, и , наоборот, падающей тени, если собственная тень определена.

         Например, рассматривая на рис.12 падающую тень параллелепипеда, можно заметить, что ее контур определяется тенями ребер МД, ДС, СВ, BL, LK, КМ. Эти ребра, следовательно, определяют границу собственной тени на поверхности фигуры. Имея в виду при этом направление световых лучей, легко отметить ее затененные грани.

         С учетом этого на фронтальной проекции фигуры заштрихована ее грань ДСМN. Все остальные грани на обеих проекциях фигуры оказываются или неосвещенными, или невидимыми, или вырождаются в прямые линии, поэтому не могут быть заштрихованными.

         В случае, если граница собственной тени фигуры может быть предварительно определена, построение ее падающей тени значительно упрощается. Тогда исключается необходимость построения теней точек и линий, которые оказываются лежащими внутри контура падающей тени. Например, при построении на рис.12  нет необходимости строить тени точки А и ребер КА, NC, АВ, АД.

          В заключение раздела и для дальнейшего отметим следующее.

         Контур падающей тени фигуры можно рассматривать как след на плоскости, на которой тень строится, линейчатой поверхности, образованной световыми лучами и обертывающей фигуру по контуру ее собственной тени.

         Такая поверхность называется обертывающей лучевой поверхностью.

Д. Тень Окружности, цилиндра и конуса.

         Общий прием построения тени плоской или пространственной кривой линии заключается в построении теней отдельных, характерных для нее точек, которые затем в соответствующем порядке соединяются плавной кривой линией. Последняя и будет тенью заданной кривой.

         Если рассматриваемой кривой является окружность, для упрощения задачи около нее описывается квадрат, в котором проводятся диагонали и оси, параллельные сторонам. Отмечается восемь точек окружности, общие с элементами квадрата – четыре на его сторонах и четыре на диагоналях. Далее строится тень квадрата и на ней, используя свойства инцидентности и инвариантность отношения трех точек прямой при параллельном проецировании, отмечаются точки, соответственные восьми точкам окружности. Последние соединяются плавной кривой, которая и будет искомой тенью.

         Очевидно, что тень окружности как ее параллельная проекция в общем случае будет эллипсом.

        На рис.14 показан пример описанного построения. Здесь плоскость окружности вертикальна и параллельна фронтальной плоскости проекций. Сама окружность расположена в пространстве так, что ее тень полностью падает на горизонтальную плоскость проекций. Около окружности описан квадрат, две стороны которого для удобства построения приняты вертикальными. Тогда две другие стороны, естественно, оказываются параллельными плоскости П1. В квадрате проведены его диагонали и две оси, параллельные сторонам. Этим отмечены восемь точек окружности, общий для нее и для сторон и диагоналей квадрата. Четыре из них лежат на серединах сторон и четыре в пересечениях окружности с диагоналями.

         Для получения теней этих точек построена тень квадрата, которая изображается некоторым параллелограммом. В последнем проведены его оси и диагонали. В пересечениях осей и сторон лежат четыре точки – тени точек окружности, лежащих на сторонах описанного квадрата. Что касается точек на диагоналях, они, как указанно выше, получены из условия инвариантности отношения трех точек отрезка прямой при параллельном проецировании. Это отношение определено построением на половине стороны параллелограмма прямоугольного треугольника с углами по 45°, отложением на ней катета этого треугольника и проведением из полученной точки прямой, параллельной другой стороне до пересечения с диагональю. Полученная точка  и будет одной из четырех искомых. Остальные три, лежащие на диагоналях, легко строятся, как это видно из рисунка.

Рис.14

         В заключение остается через все восемь точек провести плавную кривую, которая и будет тенью заданной окружности.

         При этом следует иметь в виду, что свойство касания прямой и кривой линии является инвариантным при проецировании, а, следовательно, и при построении теней. Поэтому, если точки на серединах сторон квадрата, описанного около окружности, являются точками ее касания этих сторон, тогда и тени этих точек являются точками касания эллипса тени окружности теней сторон квадрата.

         На рис.15 изображено аналогичное построение, но для случая, когда плоскость окружности параллельна плоскости П1, а вся ее тень падает  на фронтальную плоскость проекций.

         В заключение отметим, что если плоскость окружности параллельна плоскости, на которую падает ее тень, тогда последняя будет конгруэнтной своему оригиналу.

Рис.15

         Таким образом, чтобы построить тень окружности на параллельной ей плоскости, достаточно построить на ней тень центра, из которого провести окружность радиусом, равным  радиусу заданной окружности.

         Окружность играет роль кривой направляющей при образовании поверхностей вращения, в том числе линейчатых простейших форм, таких, как круговые цилиндрические и конические. Поэтому задача построения теней таких поверхностей сводится к построению теней окружностей и проведению к ним касательных прямых линий. Построение упрощается, если окружности, определяющие поверхность, оказываются параллельными плоскости, на которой тень строится. Тогда, как это отмечено выше, эти тени представляют собой окружности же, конгруэнтные оригиналам.

         Примеры такого построения показаны на рис. 16 и 17. На первом из них изображен прямой круговой цилиндр, поставленный на горизонтальную плоскость. Чтобы получить его падающую тень, достаточно построить тени его верхнего и нижнего оснований. В данном случае тень нижнего совпадает с его горизонтальной проекцией. Тень верхнего – будет получена, если построить тень О'1 его центра и из полученной точки провести окружность радиусом, равным радиусу цилиндра. Для получения общего контура тени теперь достаточно провести общие касательные к двум окружностям, параллельные горизонтальной проекции светового луча.

         Собственная тень  на цилиндре определяется из условия взаимности ее контура и контура падающей тени. Очевидно, прямые касательные, ограничивающие падающую тень, являются тенями образующих, принадлежащих контуру собственной тени поверхности. Одна из них, видимая на фронтальной проекции, отделяет здесь видимый участок искомой тени.

         В дальнейшем нам придется определять положение этой образующей на фасаде цилиндра, не пользуясь его планом. Поэтому обратим внимание на то, что она может быть получена приемом, указанном на рисунке,  т.е. построением на правой половине диаметра цилиндра прямоугольного треугольника с углами по 45° и отложением его катета от оси фигуры. Справедливость этого легко установить из рассмотрения плана цилиндра и положения на нм точки касания тени образующей.

         Тень конуса, рис.17, строится проще. Здесь при условии, если основание фигуры совмещено с плоскостью, на которой тень строится, достаточно построить тень S'1 ее вершины на этой плоскости и из полученной точки провести две касательных прямых к окружности основания. Собственная тень на поверхности, как и в предыдущем случае, определится образующими, тени которых ограничивают контур падающей тени.

         Рассмотрим некоторые частные случаи собственных теней конических поверхностей, свойства которых нам придется использовать в последующих построениях.

         1-й случай. Прямой круговой конус с углом наклона образующей, равным 45°, обращенный вершиной вверх. Рис.18.

         Как видно из построения, собственная тень на боковой поверхности такого конуса покрывает ее  четвертую часть, ограниченную задней профильной и правой фронтальной образующими.  На фасаде первая из них изображается невидимой вертикалью, проходящей через проекцию вершины. Вторая – проецируется на плоскость П2 видимой прямой, совпадающей с правой очерковой линией проекции фигуры.

         Вся фронтальная проекция конуса оказывается освещенной.

Рис.18

         2-й случай. Тот же конус , что и в предыдущем примере, но поставленный вершиной вниз. Рис.19.

         В этом случае три четверти боковой поверхности фигуры находится в тени, ограниченной передней профильной и левой фронтальной образующими. Первая из них изображается на фасаде видимой вертикальной прямой линией, проходящей через проекцию вершины поверхности, вторая – накладывается на левую очерковую линию проекции фигуры.

         Здесь правая половина фронтальной проекции фигуры оказывается в тени.

Рис.19

         3-й случай. Прямой круговой конус с углом наклона образующей, равным 35°, обращенный вершиной вверх. Рис.20.

         Для этого  случая построением устанавливается, что тень вершины поверхности падает на окружность основания фигуры. Таким образом, вся боковая поверхность конуса освещена, кроме одной ее образующей, параллельной направлению светового луча. Фронтальная проекция этой прямой невидима и образует с вертикалью угол, равный 45°.

         Вся фронтальная проекция поверхности в данном случае оказывается освещенной.

Рис.20

         4й случай. Тот же конус, что и в предыдущем  случае, но обращенный вершиной вниз. Рис.21 .

         В этом случае вся боковая поверхность конуса оказывается в собственной тени, кроме единственной образующей, расположенной на левом переднем участке поверхности и параллельной направлению светового луча. Эта образующая может считаться освещенной. На фронтальной проекции фигуры она видима и изображается прямой, образующей с вертикалью угол, равный 45°.

         Все рассмотренные выше построения теней прямых линий, плоских и пространственных фигур, основаны на построении теней определяющих их точек. Тени этих последних во всех случаях были получены как следы на плоскостях проекций лучей, проходящих через них. На этом основании изложенный способ и носит название способа следа луча.    

Рис.21

         Ниже приведено несколько примеров построения этим способом теней на простейших фрагментах архитектурных объектов.

         На рис.22 изображен пилон некоторого здания с карнизом в виде горизонтальной плиты, выступающей из его плоскости, с прямоугольной оконной нишей и подоконным выступом под ней. На рисунке изображен фасад и план пилона. Тени строятся только на его фасаде.

         Рассматривая рисунок, можно заметить, что при принятом направлении световых лучей, карниз и подоконник отбрасывают свои падающие тени на плоскость пилона, а на внутренней плоскости возникает тень от верхней горизонтальной и левой вертикальной плоскостей, ограничивающих ее, т.е. от притолоки и левого косяка. Заметим также, что границами всех этих теней будут тени прямых линий, отделяющих освещенные от неосвещенных частей отбрасывающих тень элементов. Например, фронтальное нижнее ребро карниза, проходящее через отмеченную на рисунке точку А, принадлежит границе его собственной тени. Внешнее верхнее горизонтальное ребро притолоки и наружное левое вертикальное ребро косяка также являются границами их собственных теней и, наконец, нижнее фронтальное, правое вертикальное и правое верхнее, перпендикулярное плоскости пилона, ребра подоконника, отделяют освещенные  от затененных граней его поверхности.

         Если падающие тени всех перечисленных линий построить на плоскости пилона и на внутренней плоскости ниши, будет получена тень на фрагменте в целом. Это можно сделать приемом, изложенным выше, т.е. способом следа луча.

Рис.22

         Например, чтобы построить падающую тень ребра карниза, достаточно определить след на плоскости пилона светового луча, проходящего через точку А, отмеченную на рисунке. Этим следом будет точка А'2 ,  которая оказалась лежащей на левом вертикальном ребре пилона. Тень ребра пройдет через эту точку, а так как ребро параллельно плоскости, на которой тень строится, она будет параллельна ребру.

         Чтобы получить тень в нише, достаточно построить на ее внутренней плоскости след  В'2  луча, проходящего через точку В, пересечения отмеченных выше горизонтального и вертикального ребер притолоки и косяка. Их тени будут исходить из этой точки и расположатся параллельно соответственным ребрам.

         Для построения тени подоконника можно построить тень С'2 точки С, отмеченной на рисунке. Тогда, пользуясь этой точкой и имея ввиду свойства теней прямых, параллельных и перпендикулярных плоскости, на которую падают тени, легко получить общую падающую на плоскость пилона тень подоконника в целом.

         На рис.23 изображен пилон с треугольным фронтоном и нишей, перекрытой сводом полициркульного очертания.

         Здесь предварительно отметим, что нижние наклонные ребра арки фронтона, пересекающиеся в замеченной на рисунке точке А, ограничат падающую от нее тень на тимпан, т.е. на внутреннее треугольное поле фронтона, а нижнее горизонтальное ребро карниза (на левом конце которого отмечена точка В) бросает тень на переднюю плоскость пилона. Кроме того внешнее ребро свода ниши и наружное вертикальное ребро ее левого косяка дадут тень на ее внутренней плоскости.

         Тень ребер арки фронтона легко построить, используя след луча на плоскости тимпана, проходящего через точку А. Им будет точка А'2 . Из этой точки исходят тени рассматриваемых ребер и поскольку они лежат на плоскости, которой ребра параллельны, будут параллельны ребрам.

         Тень горизонтального ребра на плоскости пилона определена с помощью следа луча, проходящего через точку В, точно так, как это было сделано в предыдущем примере при построении тени ребра карниза.

         Что касается тени внутри ниши, она будет получена, если построить на ее плоскости тень О'2 центра О внешнего кругового ребра перекрытия и из него провести дугу радиусом, равным радиусу этого ребра. Справедливость этого построения проистекает из того, что тень окружности на параллельной ей плоскости конгруэнтна оригиналу.

Рис.23

В заключение остается отметить тень точки С, т.е. пяты свода и из полученной точки С'2 провести вертикальную прямую . Последняя будет изображать тень вертикального ребра левого косяка ниши. При этом следует иметь в виду, что точки  С2 и С'2 являются точками сопряжения соответственных им дуг окружностей и вертикальных прямых.

Рис.24

         На рис.24 показано построение теней на более сложном архитектурном фрагменте. Здесь число элементов, отбрасывающих тени, больше, чем в каждом из двух предыдущих примеров. Точно также больше и число плоскостей, на которые эти тени падают. В этом и заключается некоторое усложнение чертежа. Что касается приемов построения теней, они остаются такими же, как и на рисунках 22 и 23, поэтому не нуждаются в повторном изложении. Однако для большей ясности чертежа на нем отмечены некоторые точки и их тени, падающие на соответствующие плоскости.

1.  Способ лучевых сечений.

         Способ следа луча, рассмотренный в предыдущем разделе, имеет в виду построение теней фигур, падающих на плоскости проекций. При этом тень точки определяется здесь как след на этих плоскостях луча, инцидентного точке.

         В практике архитектурного проектирования значительно чаще возникает необходимость построения теней, падающих на плоскости любого положения или на гранные и кривые поверхности. Такие задачи возникают при построении взаимных теней фигур, т.е. теней, падающих от одной фигуры на другую. В этих случаях построение тени точки основано на решении позиционных задач начертательной геометрии, связанных с определением пресечения прямой  линии с плоскостью общего положения или с поверхностью, гранной или кривой. Эти задачи, как известно, решаются при помощи плоскостей – посредников. Прием решения основан на том, что прямую, пересечение которой определяется, заключают в соответствующим образом выбранную вспомогательную плоскость. Далее строится линия пересечения этой плоскости с заданной плоскостью или поверхностью и тогда искомая точка определяется как пересечение заданной прямой с полученной линией.

         Так решается задача в общем случае. В частном случае, т.е при построении теней, в качестве посредника обычно принимают лучевую плоскость или кривую поверхность, в которую  заключают рассматриваемую точку. Строится лучевое сечение, т.е. линия сечения этой плоскости или поверхности с поверхностью, на которой должна лежать тень точки и тогда последняя определяется как пересечение луча, проходящего через рассматриваемую точку, с этой линией.

         Изложенное поясняется рисунками 25 и 26.

         На первом из них в аксонометрической проекции изображена некоторая прямая призма и точка А, основание В которой лежит на плоскости нижней грани призмы. Направление света заданно первичной АА'1  и вторичной ВА'1 проекциями луча, проходящего через точку. Требуется определить ее тень на поверхности заданной фигуры.

                          Рис.25                                                                     Рис.26

         Для решения задачи мысленно проведем лучевую плоскость через вертикаль АВ и отметим ломаную 1234, по которой она рассечет поверхность призмы. Пересечение А2 с этой ломаной первичной проекции АА'1 луча, проходящего через заданную точку, очевидно, и будет искомой тенью на поверхности фигуры.

         Заметим, что прямая АА'1 пересекает контур лучевого сечения в двух точках. Из них действительной тенью следует считать ту, которая лежит на освещенной грани призмы, т.е. на грани, обращенной в сторону источника света.

         На рис.26 повторено то же построение, но на ортогональных проекциях. При этом здесь отмечено только одно звено лучевого сечения призмы, именно то, которое лежит на грани, обращенной к свету. Искомая тень АА'2 определена как пересечение фронтальной проекции светового луча, инцидентного точке, с одноименной проекцией этого звена.

         Если на обоих рисунках считать заданной не только точку А, но и вертикальный отрезок АВ в качестве объекта, дающего тень, тогда последняя на рис.25 изобразится звеньями В'1 и 1А'2 ломанной В1А2 , а на рис.26 отрезками В111 и А'211. Первый из этих звеньев или отрезков лежит на плоскости основания (на земле), второй – на вертикальной грани призмы.

         Для построения тени мачты, падающей на фасад, она заключена в лучевую горизонтальную проецирующую плоскость. След последней на плане здания наложится на проекцию светового луча, пройдет через ее основание А1 и изобразится прямой, образующей с горизонтальной осью угол 45°. Далее на фасаде построена ломаная линия , по которой эта плоскость его рассекает. Для этого использованы точки пересечения следа плоскости с горизонтальными проекциями прямых, изображающих элементы фасада.

Рис.27

         Полученная линия и будет тенью мачты на фасаде здания. При этом тень А'2 ее вершины, как видно из построения, определена пересечением фронтальной проекции  луча, проходящего через нее, с линией лучевого сечения на рассматриваемой поверхности.

        Заметим, что тень вертикальной прямой на фасаде здания точно повторяет профиль его левого угла.

        На рис.28 в двух проекциях изображена  открытая полуцилиндрическая ниша, расположенная фронтально. При таком ее положении относительно направления световых лучей на ее внутренней поверхности возникнут два вида тени: собственная и падающая. Собственная будет ограничена левым ребром ниши и прямой, образующей поверхности, по которой вертикальная лучевая плоскость могла бы касаться поверхности ниши, если бы материал ее ограждения был прозрачным. Эта образующая определяется точкой В'1 касания к полуокружности плана ниши горизонтального следа касательной плоскости или, что то же самое, горизонтальной проекции светового луча. Верхний конец этой образующей обозначен точкой В. Сама образующая на рисунке не показана.

        Граница второй тени, падающей на внутреннюю поверхность ниши от ее части, расположенной левой отмеченной образующей, определится тенями отрезка верхнего кругового ребра, ограниченного точками А и В и левого вертикального ребра. Тень отрезка кругового ребра можно получить, если выбрать на нем достаточное число точек, тени которых построить на поверхности ниши и затем соединить их плавной кривой. Такое построение на рисунке выполнено для пяти точек. Его можно проследить, например, для точки А. Через нее проведена вертикальная лучевая плоскость, горизонтальным следом которой будет прямая А1А'1 . Эта плоскость пересечет поверхность ниши по вертикальной образующей, определяемой точкой А'1. Тень точки А будет лежать на этой образующей в пересечении с ней фронтальной проекции луча, проходящей через одноименную проекцию точки. Таким образом получена точка А'2 . Тень любой другой точки строится таким же образом.

Рис.28

         Заметим, что тень второй концевой точки, т.е. точки В отрезка рассматриваемого ребра, совпадает с самой точкой.

         Что касается тени вертикального ребра ниши, она наложится на образующую, по которой лучевая плоскость, использованная при построении тени точки А, пересекает поверхность ниши. Это утверждение основано на том, что рассматриваемое ребро определяет эту плоскость и , следовательно, лежит в ней. Точка А'2 будет верхней точкой тени этого ребра.

         Полученная полная тень в нише заштрихована. При этом собственная тень не отделена от падающей, поскольку при практических построениях этого также не делается.

         Ниша такой же формы, как на рис.28, т.е. полуцилиндрическая и также фронтально расположенная, но с плоским перекрытием, изображена на рис.29. Ее собственная тень расположится на левой части боковой поверхности и на перекрытии. На боковой поверхности тень определяется способом, изложенным в предыдущем случае. Тень н перекрытии не может быть показана, поскольку плоскость потолка ниши вырождается на фронтальной проекции в прямую.

         Нас будет интересовать граница падающей тени. Она, очевидно,  определится тенями двух линий: горизонтального ребра АВ перекрытия и вертикального левого бокового ребра, инцидентного точке А.

         Чтобы получить тени обоих этих ребер в данном случае достаточно построить падающую тень А'2 . Что касается горизонтального ребра, его тень изображается кривой, по которой лучевая плоскость, определяемая этим ребром, пресечет круговую цилиндрическую поверхность ниши. Такой кривой будет полуэллипс. Его малая ось равна диаметру цилиндра и на рисунке изобразится отрезком А2 В2 , а большая наклонена к фронтальной плоскости под углом 45°. Вследствие этого она при проецировании искажается таким образом, что ее проекция оказывается равной радиусу цилиндра и выражается отрезком А'2О2 , равным А2О2 . Таким образом, весь полуэллипс изобразится полуокружностью с центром в точке О2 . Первая часть дуги этой окружности между точками А'2 и В2 и будет падающей тенью рассматриваемого ребра. Таким образом, получена полная тень в нише.

         

Рис.29

         На рис.30 изображена круглая колонна, увенчанная квадратной плитой. Собственные тени на этих фигурах расположатся на нижней и правой вертикальных гранях плиты и на правой части цилиндрической поверхности колонны. На гранях плиты тень не будет видима, поскольку изображения самих граней здесь вырождаются в линии. На колонне она строится приемом, показанном на рис.16 предыдущего раздела. 

         

Рис.30

         Кроме собственной тени, на поверхности колонны возникает тень, падающая на нее от плиты. Граница ее определяется падающими тенями двух нижних, пересекающихся в точке А ребер – левого и переднего. Тень первого из них будет представлять собой эллиптическую линию, по которой лучевая плоскость, определяемая ребром, пересечет поверхность колонны. Но поскольку эта плоскость фронтально проецирующая, а эллипс тени лежит в ней, на рисунке он изобразится прямой, накладывающейся на след лучевой плоскости. Этот след изображается прямой, проходящей через точку А2  и совпадает с направлением фронтальной проекции светового луча. Тень А'2 передней концевой точки этого ребра определится, если через эту точку провести вертикальную лучевую плоскость и отметить ее линию пересечения с поверхностью колонны. Тогда пересечение полученной линии с фронтальной проекцией светового луча, проходящей через одноименную проекцию  А2 точки, и будет искомой тенью. Таким образом, тень левого нижнего ребра плиты на поверхности колонны изобразится прямым отрезком  Д'2 А'2 .

         Тень переднего нижнего ребра плиты можно рассматривать как результат сечения колонны лучевой плоскостью, определяемой этим ребром. Это сечение также будет эллипсом, но так как в этом случае его плоскость образует с фронтальной плоскостью угол, равный 45°, он, вследствие искажения, проецируется на нее в виде окружности, радиусом, равным радиусу поперечного сечения колонны. Центром этой окружности будет точка О, в которой проекция луча, проходящая через точку А2, пересекает проекцию оси колонны. Это объясняется тем, что левую часть фронтальной проекции колонны и лежащей на ней плиты можно рассматривать как их вид сбоку, справа. Тогда прямая А2А'2 будет изображать след лучевой плоскости, определяемой рассматриваемым ребром на профильной плоскости, определяемой рассматриваемым ребром на профильной плоскости проекций, а точка О – пресечение этой плоскости с осью колонны. Следовательно, эта точка будет проекцией центра эллипса сечения колонны или, что то же самое, центром окружности, в которую он проецируется на фронтальную плоскость.

         Таким образом, чтобы построить тень переднего нижнего ребра плиты ан поверхности колонны, на рисунке достаточно продолжить фронтальную проекцию луча, проходящую через точку А2 до пересечения с проекцией оси колонны и из полученной здесь точки О провести окружность радиусом, равным радиусу колонны. Дуга этой окружности, ограниченная точкой А'2, через которую она пройдет при построении, и точкой С'2 ее пересечения с границей собственной тени колонны, изображает искомую тень рассматриваемого ребра.

          Заметим, что тень горизонтального ребра плиты, как линия пересечения определяемой этим ребром лучевой плоскости с поверхностью колонны, может быть продолжена за точку С'2. Но, как это видно на рисунке, тень ребра за этой точкой накладывается на собственную тень колонны и поэтому здесь как бы исчезает. На этом основании точку С'2 , и  в дальнейшем аналогичные ей точки, будем называть точками исчезновения тени.

         Заметим также, что в точке исчезновения кривая тени всегда будет касаться проекции луча света, проходящего через эту точку.

         Общий контур тени, падающей на поверхность колонны, построен в данном случае использованием лучевых плоскостей, определяемых ребрами плиты. Но эту тень можно также получить с помощью лучевых плоскостей, проведенных через вертикали точек, произвольно выбранных на рассматриваемых ребрах. На рисунке это сделано для точек А, В, С и Д, определяющих экстремальные точки тени горизонтального ребра плиты.

         Заметим особенности этих точек: А'2 и С'2 - расположены симметрично относительно проекции оси колонны и лежат на одинаковой высоте. Точка В'2 - наивысшая точка, лежит на оси симметрии, точка Д'2 - расположена на одной высоте с точкой В'2 .

         Рисунок 31 представляет собой проекции круглой колонны, на которой лежит круглая же плита. Видимые части собственных теней на боковых  поверхностях этих фигур определяется приемом, изложенным ранее для цилиндров, каковыми они являются. Что касается тени, падающей от плиты на колонну, ее граница будет представлять собой кривую линию двоякой кривизны как результат взаимного пересечения двух линейчатых поверхностей – заданной круговой колонны и лучевого эллиптического цилиндра, определителями которого будут окружность нижней грани плиты и световой луч, проходящий через точки этой окружности. Поскольку обе названные поверхности имеют второй порядок, линия их пересечения будет четвертого порядка. Проекция такой кривой может быть построена только по ее отдельным точкам. Для этого на рисунке, на нижнем круговом ребре плиты, выбраны точки А, В, С и Д, тени которых являются экстремальными точками искомой кривой. Точка А определяет тень А'2 на левой очерковой линии фасада колонны, В – дает наивысшую точку В'2 , С – точку С'2 , лежащую на проекции оси колонны, Д – точку исчезновения Д2 . Каждая из этих теневых точек построена с помощью лучевой плоскости, проведенной через вертикаль соответствующей ей точки, лежащей на ребре плиты и получена как пересечение фронтальной проекции луча, проходящего через  одноименную проекцию этой точки, с линией пересечения введенной плоскости с поверхностью колонны. 

         

Рис.31

         Соображения, на основании которых сделан выбор точек на ребре плиты для получения экстремальных точек его тени, будут понятны, если обратить внимание на положение горизонтальных точек его тени, будут понятны, если обратить внимание на положение горизонтальных проекций этих точек и точек пересечения проекций луча, проходящих через них, с окружностью плана колонны. В частности следует обратить внимание на то, что точки А'2 и С'2 лежат на общей высоте.

         На рис.32 изображена круглая колонна с каннелюрами, с квадратной плитой на ней.

Собственная тень на фасаде плиты здесь отсутствует, так же как в аналогичном случае, описанном выше на рис.30. На боковой же поверхности колонны граница ее собственной тени определится иначе, нежели на гладкой. Здесь она совпадает с проекцией одного из ребер каннелюр, того, которого касается вертикальная лучевая плоскость. Это ребро определится на плане колонны горизонтальной проекцией светового луча, касательного к окружности плана цилиндра, обертывающего гребни каннелюр.

         Падающая тень от ребра плиты, перпендикулярного фронтальной плоскости, изображается отрезком прямой, так же как на гладкой поверхности колонны, поскольку она лежит во фронтально проецируемой плоскости, определяемой этим ребром. Что касается фронтального ребра плиты, его тень на каннелюрах не будет гладкой кривой, а составится из отдельных коротких участков, ограниченных их ребрами. Эти короткие кривые могут быть получены следующим приемом.

Рис.32

         Представим себе две цилиндрические поверхности: одну – обертывающую гребни каннелюр и вторую – касательную к их внутренним точкам. Построим две тени фронтального ребра плиты на этих поверхностях. Тогда на фасаде колонны получим дуги двух окружностей с общим центром, лежащим на проекции оси колонны в точке пересечения с ней проекции луча, проходящего через левую концевую точку рассматриваемого ребра. Если теперь отметить точки пересечения окружности, лежащей на внешнем цилиндре, с проекциями ребер каннелюр и точки окружности, лежащей на внешнем цилиндре, с проекциями ребер каннелюр и точки окружности внутреннего цилиндра, лежащие на серединах расстояний между ребрами, и затем соединить их плавными кривыми в том порядке, как это сделано на рисунке, получим искомую линию тени ребра на сложной поверхности колонны.

         Построение  тени ребра круглой плиты на поверхности колонны с каннелюрами, рис.33, может быть выполнено таким же способом, т.е. использованием двух цилиндрических поверхностей – вписанной и описанной около каннелюр с применением вертикальных лучевых секущих плоскостей, как это сделано на рис.31. Но для упрощения задачи можно, имея ввиду особенности расположения опорных точек тени круглого ребра плиты на круглой колонне, применить построение, показанное на рис.33. Построив этим способом одну кривую, лежащую на внешней описанной цилиндрической поверхности, звенья действительной границы тени можно нарисовать на глаз с достаточным приближением к их действительному очертанию.

          В заключение раздела на рис.34 показано построение способом  лучевых сечений тени на колонне с ионической капителью.

         Здесь граница собственной тени колонны получена, как и в предыдущих случаях, построением равнобокого прямоугольного треугольника на правом радиусе колонны и отложением его катета то ее оси по радиусу. Падающая тень нижнего горизонтального, фронтально расположенного ребра капители изобразилась дугой окружности с центром О на проекции оси колонны в точке ее пересечения с фронтальной проекцией луча, проходящего через точку А. Последняя лежит на продолжении этого ребра и удалена от проекции оси колонны на расстояние l, равное  удалению ребра от этой оси, измеренному на плане колонны.

Рис.33

        Для построения тени, падающей на колонну от завитка капители, на нем выбраны точки, лежащие на ребрах, отделяющих освещенные от неосвещенных граней завитка. Через вертикали этих точек проведены лучевые плоскости, построены линии пересечения этих плоскостей с поверхностью колонны и затем на этих линиях отмечены тени выбранных точек как пересечения с ними фронтальных проекций световых лучей, проходящих через одноименные проекции точек. Общий контур тени на колонне заштрихован.

Рис. 34

1.  Способ обратного луча.

         Способ обратного луча так же, как и способ лучевых сечений, применяется при построении взаимных теней предметов, т.е. теней, падающих от одного предмета на другой. В основу его положен метод вспомогательного косоугольного проецирования, который находит применение при решении позиционных задач начертательной геометрии и отличается достаточно большой универсальностью. Способ обратного луча, как основанный на этом методе, может быть также применен для широкого круга задач. Сущность его заключается в следующем.

         Представим себе в пространстве две скрещивающихся прямых АВ и СД, рис.35. Заметим, что их падающие на горизонтальную плоскость тени А'1В'1 и  С'1Д'1 пересекаются в некоторой точке 1'12'1 . Очевидно, что эта точка будет двойной в этом смысле, что на ней оказываются тени двух точек, принадлежащих двум заданным прямым пространства и лежащим  на общем световом луче.   

              

         

 

Рис.35

         Положение этих точек на прямых можно определить, если из точки 1'12'1 провести горизонтальную проекцию светового луча в направлении, обратном направлению освещения до пересечения с горизонтальными же проекциями прямых. Тогда получим на них две точки 11 и  22. Это и будут горизонтальные проекции точек прямых АВ и СД, тени которых падают в общую точку 1'12'1 .

         Фронтальные проекции этих точек можно найти, как это видно из рисунка, если точки 1'12'1 опустить перпендикуляр на ось проекции и из полученной здесь точки провести фронтальную проекцию луча опять в направлении, обратном освещению. Тогда в его пересечениях с фронтальными проекциями прямых получим точки 11   и  21 ., которые и будут искомыми.  

         Естественно, что разноименные проекции точек должны лежать на общих линиях связи.

         В выполненном построении важно отметить, что если тени двух точек пространства накладываются друг на друга на плоскости, на которую они падают, это значит, что в пространстве тень одной точки падает на вторую точку и, следовательно, эта вторая находится в тени первой. В нашем случае, эта вторая находится в тени первой. В нашем случае тень точки 1 прямой СД падает в точку 2 прямой АВ.

          Таким образом, способ обратного луча позволяет определить точку на заданной прямой пространства, которая оказывается в тени некоторой другой заданной прямой.

         На рис.36 способ обратного луча поясняется на конкретном примере. Здесь изображена некоторая прямая АВ и треугольник СДЕ. При этом они расположены так, что тень прямой линии, при принятом направлении световых лучей, в потоке которых  она находится, падает на плоскость треугольника. Задача в данном случае заключается в том, чтобы построить эту тень.

         Для этого построим падающие тени треугольника и прямой на горизонтальную плоскость проекций. Рассматривая их, заметим, что тень прямой АВ пересекает тень стороны ДЕ треугольника в точке K'1L'1 . Эта точка оказывается, следовательно, двойной. В ней лежат тени двух точек: одной – лежащей на прямой АВ, и второй – инцидентной стороне ДЕ треугольника. Положение этих точек на соответствующих им прямых определяется по предыдущему, горизонтальной проекцией луча обратного направления, произведенной из точки K'1L'1 до пересечения с горизонтальными же проекциями этих прямых. Таким образом, получены их горизонтальные проекции  K'1  и  L'1 . Из рисунка видно, что тень точки  L  прямой АВ падает в точку К стороны ДЕ треугольника. Точка К1,

Следовательно, будет одной из точек на плоскости треугольника, определяющей на ней положение тени прямой АВ.

              

         

 

Рис.36

         Второй точкой, также принадлежащей в данном случае искомой тени, будет точка М1 , пересечения тени прямой АВ с проекцией С1 Е1 . второй стороны треугольника. В этой точке тень прямой переходит с плоскости П1 . на плоскость треугольника.

         Две точки - М1 и К1 определяют горизонтальную проекцию искомой тени. Если теперь воспользоваться линиями связи проекций точек, можно получить их фронтальные проекции М2 и  К2 и, следовательно, фронтальную проекцию искомой тени.

         Таким образом задача решена.

         На рис.37 приведен второй пример применения способа обратного луча. Здесь построена тень прямой АВ, падающая на поверхность трехгранной пирамиды SСДЕ.  Задача решена тем же приемом, что и в предыдущем примере. Для этого построены падающие на горизонтальную плоскость тени этих объектов, на которых отмечены пересечения L'1 и  К'1 тени прямой с тенями S'1E1 и  S'1Д1 ребер SE и SД пирамиды. Очевидно, это будут тени точек названных ребер, которые находятся в тени прямой АВ. Их положения L1 и  К1 на горизонтальных проекциях ребер получены обратными лучами, проведенными из отмеченных точек до пересечения с проекциями этих ребер. В дополнение к ним отмечена также точка М1, в которой тень прямой переходит с плоскости П1 на грань SCE пирамиды. Три точки  М1, L1  и  К1 . определяют горизонтальную проекцию тени прямой, падающую на поверхность пирамиды.

         Фронтальная проекция искомой тени определится фронтальными проекциями М2 и К2 точек М и К, которые на рисунке получены с помощью линий связи проекций точек.

         Способ обратного луча может быть применен для построения тени, падающей не только на гранную, но в некоторых случаях и на кривую поверхность. Примером этому служит рис.38, на котором тень прямой АВ, падающая на поверхность конуса с вершиной S.

                     Рис.37                                                              Рис.38

         Для решения задачи здесь так же, как и в предыдущих примерах , построены тени заданных фигур, падающие на горизонтальную плоскость проекций. Далее в рассматриваемом примере следует дополнительно отметить падающие на ту же плоскость тени нескольких образующих поверхности конуса, отметить точки их пересечения с тенью заданной прямой, перенести эти точки горизонтальными проекциями световых лучей обратного направления на проекции соответствующих им образующих и затем соединить полученные таким образом точки плавной кривой. Последняя и будет горизонтальной проекцией искомой тени. Вторая ее проекция определится одноименными проекциями отмеченных точек, которые строятся с помощью вторых проекций образующих и линий связи проекций точек.

         На рис.38 в качестве одной из образующих, использованных для построения тени прямой, принята образующая SC, падающая тень которой принадлежит контуру тени конуса. На этой образующей лежит точка К – исчезновения тени прямой АВ на конусе. Затем выбрана произвольная образующая Д, на которой получена точка L, и, наконец, дополнительно использована точка М – перехода тени заданной прямой с плоскости проекций на окружность основания кривой поверхности. Три полученных точки позволили с достаточным приближением провести горизонтальную проекцию искомой тени. Вторая ее проекция построена с помощью вторых проекций отмеченных точек, две из которых лежат на вторых проекциях выбранных образующих и третья – на проекции основания конуса.

         На рис.39 изображены две призматические фигуры, представляющие собой некоторые упрощенные строительные объекты. Их взаимное расположение, форма и размеры таковы, что от большего падает взаимная тень на меньший. Граница этой тени, видимая на фасаде, определяется тенями ребер большей фигуры: переднего правого вертикального, определяемого точкой А и исходящего из нее правого верхнего горизонтального.

Рис.39

         Для отыскания этой границы на рисунке построены падающие на землю тени ребер фигур, на которых отмечены двойные точки 2'1 и 3'1 , пересечения теней правого верхнего горизонтального ребра большей фигуры с тенями верхних горизонтальных ребер меньшего объекта. Эти точки перенесены обратными проекциями лучей на горизонтальные проекции соответствующих ребер, где получены точки 21 и 31 .

         Тень вершины А, падающая на наклонную плоскость, может быть определена следующим приемом: мысленно продолжим правое левое горизонтальное ребро, на котором лежит эта точка. Тогда его падающая на землю тень также удлинится и пересечет тень В'1С'1 ребра ВС наклонной плоскости в некоторой точке 1'1 . Обратным лучом  перенесем эту точку на проекцию ребра ВС и из полученной здесь точки 1'1 проведем прямую, параллельную удлиненному ребру до ее пересечения с проекцией луча, исходящего из точки А. Полученная точка А'1 и будет искомой тенью.

         Последняя, необходимая для построения взаимной тени фигур – точка 41 , фиксируется как пересечение горизонтального следа лучевой плоскости, определяемой вертикальным ребром, проходящим через точку А с нижним ребром передней вертикальной грани меньшей фигуры.

         Соединяя теперь полученные точки прямыми линиями получим границу взаимной тени фигур на плане, а перенося их на фронтальные проекции соответствующих линий и соединяя в том же порядке, будем иметь эту тень на фасаде.

         Что касается видимой части собственных теней объектов, их положение очевидно из рисунка.

         Падающие на землю тени фигур на чертеже не заштрихованы  для обеспечения большей ясности выполненного построения.

        В заключение раздела на рис.40 показано построение теней с использованием способа обратного луча на фасаде архитектурного сечения.

         На его поверхности видимая взаимная тень возникает на переднем скате крыши правой части здания. Ее границей будут служит падающие сюда тени правого переднего наклонного ребра АВ крыши высокой части сооружения, переднего горизонтального ребра ВЕ и вертикального правого переднего ребра этой части. На вертикальной плоскости граница взаимной тени будет тенью  того же вертикального ребра и горизонтальной линии свеса кровли, расположенного перед ней и проходящего через точку Д. На левой части здания граница взаимной тени на ее вертикальной плоскости определится падающей на нее тенью ребра ВЕ грани АВЕ кровли, расположенной выше.

Рис.40

Для  построения тени ребра АВ на скате кровли, ограниченном горизонтальными прямыми, на рисунке инцидентными точками С и Д построен падающие на землю тени этих линий. Они определяются тенями точек С и Д, исходят из них и направлены параллельно самим ребрам, поскольку последние параллельны плоскости, на которую падают их тени. Построена также на земле тень ребра АВ. Она определяется тенями его концевых точек. Далее отмечены пересечением 1'1 и  2'1 . этой тени с первыми двумя, причем точка 1'1 получена продолжением А'1В'1 за эту точку В'1 . Построенные точки обратными лучами перенесены на вертикальные проекции прямых, определяющих скат кровли, где отмечены точки 1'2 и  2'2 . Через эти точки пройдет тень прямой АВ на кровле здания, причем она будет здесь ограничена точкой 2'2 и точкой В'2 , в которую упадет тень точки В.

         Из точки В'2 будет исходить тень горизонтальной прямой ВЕ, причем поскольку эта прямая оказывается параллельной плоскости ската кровли, на которую падает ее тень, последняя будет параллельна самой прямой.

         Наконец, последний участок границы тени на рассматриваемой грани крыши будет накладываться на линию 3242 рассечения ее лучевой плоскостью, проходящей через правое вертикальное ребро высокой части сооружения. В конечном счете искомая граница определится ломаной, с вершинами 2'2В'23032.

         На вертикальной плоскости левой части здания тень от карнизного свеса получена с помощью точки Е, тень от которой построена на продолжении этой плоскости. Через  эту точку проведена прямая, параллельная линии свеса. Точно таким же приемом построена тень свеса карниза на вертикальной грани правой части сооружения. Здесь на продолжении этой грани построена тень концевой точки Д линии свеса.

         Последний участок границы тени на вертикальной грани павой части сооружения изображается вертикальной прямой, по которой лучевая плоскость, инцидентная правому вертикальному ребру левой части сооружения, пересекает рассматриваемую грань.

         Построение собственных теней в примере не рассмотрено, поскольку они определяются на основании ранее изложенных соображений.

1.  Способ касательных цилиндров и конусов

         Рассмотрим две пересекающиеся кривые поверхности, например, конус и цилиндр, рис.41. Заметим, что границы их собственных теней не имеют общей точки на линии их пересечения. Это объясняется тем, что каждая из этих поверхностей имеет свой закон формообразования, поэтому и положение тени на одной из них не связано с положением тени на другой.

         В некоторых случаях, при соответствующей форме и взаимном  расположении поверхностей, от одной из них может падать тень на другую, рис.42. Тогда граница падающей тени является как бы линией перехода, связывающей границы собственных теней поверхности.

         Если же кривые поверхности оказываются на некоторой линии взаимно касательными, тогда границы их собственных теней имеют на линии касания общие точки, рис.43 и 44.

         В доказательство этого можно выделить вдоль этой линии полоску бесконечно малой ширины α'ᵶ . Тогда определитель поверхности этой полоски можно считать общим для обеих соприкасающихся поверхностей, а, следовательно, будет общим для них и закон образования на ней собственной тени. Эта тень будет, таким образом, принадлежать одновременно обеим поверхностям, и, следовательно, в этом случае возникает общая точка границ двух теней на лини касания поверхностей.

         Наличие общих точек границ теней на линии касания двух кривых поверхностей может быть использовано для построения собственных теней на поверхностях сложных форм, если обратиться для этого к более простым касательным к ним поверхностям, положение собственных теней на которых известно или на которых они строятся просто. Например, пусть на поверхности шара, рис.43, на его экваторе, необходимо отметить точку А, принадлежащую границе его собственной тени. Для этого построим цилиндр, касательный  к шару по экватору и отметим на его поверхности границу собственной тени. Тогда искомая точка определится как пересечение этой границы с линией касания поверхностей.

         Рис.41                                                                       Рис.42

         Рис.43                                                                       Рис.44

         Допустим теперь, что необходимо построить теневую точку В на поверхности того же шара, но лежащую на одной из его параллелей, пусть расположенной ниже экватора, рис.44. Для этого построим круговой конус, касательный  к шару по этой параллели и границу собственной тени на нем. Пересечение этой границы с параллелью касания даст нужную нам точку В.

         Способ касательных цилиндров и конусов основан на изложенном и применяется для построения собственных теней на поверхностях вращения сложных форм. При этом он позволяет выполнить это построения на фронтальных проекциях поверхностей, не прибегая к их вторым проекциям. Это оказывается важным, поскольку в архитектурном проектировании построение теней, как правило, делается только на фасадах сооружения. Ниже приводится несколько примеров таких построений.

         На рис. 45 изображена фронтальная проекция шара.

Рис.45

         Отметим, что граница собственной тени этой поверхности будет представлять собой большую окружность, по которой ее касается обертывающий лучевой цилиндр. Поскольку ось этого цилиндра наклонна, плоскость окружности его касания, как ей перпендикулярная, будет не параллельна фронтальной плоскости , и, следовательно, граница собственной тени шара спроецируется на нее в виде некоторого эллипса.

         Построим экстремальные точки этой кривой. В данном случае ими будут: А и А1 – лежащие на экваторе, В и С – на очерковой линии поверхности,  В1 и  С1 – проекции которых накладываются на проекцию ее вертикальной оси, и Д и Д1 - из которых первая наивысшая и вторая наинизшая точки эллипса тени.

         Две первых будут определены, если построить цилиндр, касательный к шару по его экватору и отметить на его поверхности собственную тень. Тогда точки пересечения ее границ с экватором поверхности дадут искомые точки А и А1 .

         На рисунке эти точки получены построением на радиусе шара прямоугольного треугольника с острыми углами по 45° и отложением его катета по горизонтальному диаметру вправо и влево от центра О, см. рис.16.

         Положение точек В и В1 определено с помощью касательного конуса с углом наклона его образующих 45°, обращенного вершиной вверх, с осью, совмещенной с вертикальной осью шара. Собственная тень на поверхности такого конуса ограничивается его двумя образующими, фронтальные проекции которых накладываются: одна на правую очерковую линию, вторая на проекцию оси, см.рис.18. Пресечение этих образующих с линией ВВ1 касания конуса и шара дает искомые точки. Первая из них лежит на очерковой линии шара. В ней граница его тени переходит  с видимой стороны на невидимую. Вторая – невидимая, накладывается на проекцию вертикальной оси шара.

         При построении конуса, для определения точки В, касания его очерковой линии контурной окружности шара, на рисунке приведен диаметр ВС, образующий с горизонтальной прямой угол 45°. После этого линия касания проведена как горизонтальная прямая, проходящая через полученную точку. Ее пересечение с вертикальной осью шара определило положение точки В1 .

         Точки С и С1 найдены с помощью такого же конуса, как и точки В и В1 , но обращенного вершиной К1 вниз . Проекции его образующих, ограничивающих на нем собственную тень, накладываются: одна на его левую очерковую линию, вторая – на проекцию оси. Обе образующие видимы, см. рис.19. Пересечение этих линий с окружностью касания конуса определяют названные точки . В точке С граница конуса тени шара переходит с видимой его стороны на невидимую.

         На рис точка С касания очерковой образующей конуса контурной окружности шара отмечена так же, как и точка В, с помощью того же диаметра СВ, наклонного к горизонтальной оси под углом 45°. Точка С получена как пресечение с вертикальной осью шара горизонтальной прямой, проходящей через С.

         Точки Д и Д1 , наивысшая и наинизшая точки эллипса проекции тени шара, найдены при посредстве конусов с углом наклона их образующих, равным 35°. Первый из них, обращенный вершиной N вверх, имеет единственную теневую образующую, лежащую на невидимой стороне поверхности. Ее проекция образует с вертикалью угол 45°, см. рис.20. Своим пересечением с линией касания конуса и шара она определяет невидимую точку Д.

         Второй конус, обращенный вершиной N1 вниз, имеет единственную освещенную образующую, лежащую на его передней половине и также наклоненную под углом 45°, см. рис.21. Ее пересечение с окружностью касания конуса дает видимую точку Д1 .

         На рисунке точки Е и Е1 касания очерковых образующих обоих конусов контура шара найдены пересечением с ним диаметра, наклонного к вертикальной оси под углом 35°. Величина этого угла определена графически с помощью квадрата В1КLВ, в котором его диагональ ВВ1 отложена от  точки В1 по направлению стороны В1В. Полученная таким образом точка М затем соединена с вершиной К. Угол наклона построенной линии и будет равен искомой величине. Диаметр ЕЕ1 проведен как перпендикуляр к полученному направлению.

         Далее, для получения вершин N и N1, конусов, из точек Е и Е1 проведены параллельные КМ до пересечения с проекцией вертикальной оси шара. Наконец, прямые, проведенные из полученных точек и образующие с вертикалью углы по 45° своими пересечениями с горизонталями точек Е и Е1 дают искомые точки Д и Д1.

         Выполненным построением получены восемь точек, принадлежащих проекции контура собственной тени шара. Соединяя их плавной кривой, получим этот контур. Половина его, определяемая точками СД1С1АВ, лежит на видимой половине поверхности шара, поэтому сама видима. Остальная часть невидима. На проекции видимая часть тени шара заштрихована.

         В практических задачах собственная тень шара в ее видимой части часто строится от руки на глаз. В этом случае обычно пользуются тремя точками ее контура – С, F и В. Первые две, как видно из рисунка, лежат на очерковой линии шара, на концах большого диаметра эллипса тени, который наклонен к горизонтальной прямой под углом 45°. Третья – является концом малой полуоси, перпендикулярной первому диаметру. При этом величина отрезка ОF приближенно принимается равной О, 60 R, где R  - радиус шара.

         В заключение отметим, что в точках В и С перехода собственной тени шара с видимой его части на невидимую, как и в случае любой другой поверхности, кривая границы собственной тени будет иметь общие касательные к контуру проекции поверхности.

         Заметим также, что если поверхность, собственная тень которой строится, симметричная относительно лучевой плоскости, проходящей через ее ось, тогда контур тени  также симметричен относительно этой плоскости. Следствием этой симметрии является расположение пар точек А и А1, В и В1, С и С1, на общих горизонталях.

         На рис.46 изображена так называемая скоция – поверхность вращения, часто встречающаяся в классических архитектурных формах. Ее боковой криволинейный контур обычно составляется из трех взаимно сопряженных дуг окружностей, описанных радиусами различной величины из трех различных центров. Соотношения величин этих радиусов и положение центров дуг могут быть различными. Различными могут быть также соотношения высоты фигуры и ширины ее верхнего и нижнего оснований.

Рис.46

         Скоция имеет две тени: собственную и падающую. В настоящем разделе строится собственная тень фигуры. Точка Д как высшая этой линии, определена с помощью касательного конуса с углом наклона его образующих, равным 35°, с вершиной, обращенной вниз. Величина угла построена графически, как в предыдущем примере с помощью квадрата, изображенного на верхнем основании скоции. Точка 1 касания левой очерковой образующей этого конуса контурной линии фигуры определена как пересечение с ней радиуса, проведенного из центра О дуги этого участка контура. Направление этого радиуса принято перпендикулярным LM, т.е. прямой, образующей с горизонтальным направлением угол 35°. Положение N вершин конуса и искомая точка Д, определены аналогично тому, как это было сделано в предыдущем примере при построении тени шара для точки с тем же обозначением.

         Точки В и В1 , из которых левая лежит на очерковой линии скоции, вторая на проекции ее оси, найдены с помощью конуса с углом наклона образующих равным 45°, вершина его не показана. Первая из них получена как пересечение радиуса, проведенного из того же центра О под углом 45°. Вторая лежит на одном уровне с первой. Построение выполнено по аналогии с точками С и С1 поверхности шара.

         Точки А и А1, лежащие на экваторе поверхности, построены с помощью описанного около него цилиндра. Пересечение его теневых образующих с экватором дают отмеченные точки. На рисунке они получены приемом, использованным в предыдущем примере для одноименных точек.

         Нижние точки С и С1 получены построением касательного конуса с углом наклона образующих, равным 45°, обращенного вершиной вверх, которая так же, как и при построении точек В и В1 , на чертеже не показана. Точка С касания его правой контурной образующей очерковой линии скоции получена как пресечение с ней радиуса, проведенного под углом 45° к горизонтальной прямой. Точка С1 лежит с этой точкой на общей высоте.

         Наконец, последняя, низшая точка Д1 границы тени определена с помощью конуса с углом наклона его образующих равным 35°, обращенным вершиной К вверх. Точка 2 касания его правой очерковой образующей контурной линии скоции, получена как пересечение с последней радиуса, проведенного из центра О2 дуги, на которой лежит точка касания, под углом 35° к вертикали. Сама точка Д1 построена, как и верхняя точка Д, пересечением с горизонталью точки 2 образующей, проведенной из вершины К под углом 45°.

         Все полученные точки соединены в соответствующем порядке плавной кривой линией, которая и является границей собственной тени на рассматриваемой поверхности.

Из этих точек В и С являются точками перехода границы тени с видимой части поверхности на невидимую. В них кривая границы тени касается контурной линии скоции. Точки А1, С1 и Д1 , - невидимые, остальные видимые. Вся видимая часть тени поверхности заштрихована.

         На цилиндрических боковых поверхностях верхнего и нижнего оснований скоции показаны также их собственные тени.

         На рис.47 показано построение собственной тени круглого валика. Точки А и А1, ее границы, лежащие на экваторе, определены с помощью описанного около него цилиндра. Точки В и С получены посредством касательных конусов с углами при вершинах по 45°, из которых один обращен вершиной вверх, другой – вниз. При этом графически положение самих точек на рисунке зафиксировано пересечениями с контурными полуокружностями радиусов, проведенных из их центров и наклоненных под теми же углами. Точки В1 и С1 определены как симметричные точкам В и С и, наконец, точки Д и Д1 , как наивысшая и наинизшая, получены построением конусов с углами наклона их образующих по 35° и расположенных один вершиной вверх, другой – вниз. Точки касания их очерковых образующих получены также пересечениями с дугами полуокружностей их радиусов, проведенных под углами 35° к вертикали.

Рис.47

         Среди архитектурных деталей встречаются поверхности с осью вращения, расположенной горизонтально. Собственные тени на них строятся также способом касательных цилиндров и конусов, но поскольку их оси горизонтальны, вспомогательные поверхности должны иметь оси такого же положения.

         В связи с этим рассмотрим рисунки 48, 49, 50, 51 и 52.

         На первых двух из них изображены фронтальные проекции конусов с горизонтально расположенными осями, с углами между образующими и плоскостями оснований, равными 45° и 35°, обращенные вершинами влево.

         На конусе с углом 45° собственная тень покрывает одну четверть его поверхности и располагается на нижней половине его невидимой стороны. Проекции ограничивающих ее образующих накладываются: одна на проекцию оси фигуры, вторая – на нижнюю очерковую линию. Первая из них невидима, вторая – видима.

                        Рис.48                                              Рис.49

 

       Рис.50                                         Рис.51                                   Рис.52

         Поверхность конуса с углом 35° оказывается полностью освещенной за исключением одной ее образующей, параллельной световому лучу. Эта образующая лежит на нижней половине невидимой части поверхности, следовательно, сама невидима. Ее проекция образует с проекцией оси фигуры угол 45°.

         На рис.50 и 51 изображены такие же конусы, но обращенные вершинами вправо.

         В этом случае на конусе с углом 45° затененной оказывается три четверти ее поверхности, освещенной – лишь передняя верхняя четверть. Проекция одной из образующих, ограничивающих контур тени, накладывается на проекцию оси фигуры, проекция второй – на верхнюю очерковую линию. Обе образующие видимы.

         Поверхность конуса с углом 35° оказывается полностью затененной. Освещенной можно считать только одну ее образующую, именно ту, которая параллельна световому лучу. Эта образующая лежит на верхней половине видимой части фигуры, поэтому сама видима. С проекцией оси фигуры ее проекция образует угол 45°.

         На рис.52 показан цилиндр, также с горизонтальной осью. Собственная тень покрывает половину его поверхности и ограничивается образующими, положение которых определяется географически тем же приемом, который был ранее установлен для цилиндров с вертикальной осью. Видимая теневая образующая лежит на нем на его нижней половине, невидимая – на верхней.

         Доказательство изложенных положений можно получить, если построить тени изображенных на перечисленных рисунках фигур, падающие на одну из плоскостей проекций, как это было сделано ранее для таких же поверхностей, но с вертикально расположенными осями в разделе «Способ следа луча».

         Обратимся теперь к рис.53. На нем изображен круглый валик с горизонтальной осью.

        Точки А и А1, границы его собственной тени, лежащие на меридиане поверхности, построены с помощью описанного около нее касательного цилиндра с горизонтальной осью. Точки В, В1, и С, С1 получены построением касательных конусов с углами по 45°, из которых один обращен вершиной влево, второй – вправо. Точки Д и Д1 определены как лежащие на образующих касательных конусов с углами по 35° , также обращенных – один вершиной влево, второй – вправо.

Рис.53

        При построении искомых точек касания рассматриваемой поверхности образующих цилиндра и конусов использованы те же приемы, которые применялись в предыдущих примерах.

         Видимая часть тени поверхности на рисунке заштрихована.

         На рис.54 изображен завиток модульона. Фигура представляет собой группу поверхностей вращения с общей осью, расположенной горизонтально.

Рис.54

         На левом ее конце собственная тень поверхности будет перекрываться падающей тенью правого кругового ребра левого цилиндрического участка. Точки, принадлежащие границе этой тени, найдены следующим приемом: 1 и 4 получены как пересечения с очерковыми линиями поверхности тени рассматриваемого ребра на фронтальной стене, совпадающей с осью поверхности. Точка 2 на оси фигуры отмечена как симметричная точка 1. Что касается точки 3, она построена на основании следующих соображений.

         Эта точка, как принадлежащая тени кругового ребра, падающей на поверхность вращения, принадлежит лучу, лежащему в лучевой плоскости, включающей ось рассматриваемой поверхности. Если эту плоскость вместе с отмеченной на круговом ребре точкой повернуть вокруг оси поверхности во фронтальное положение, тогда проекция точки на рисунке займет положение 32, а линия взаимного пересечения лучевой плоскости и поверхности совпадает с очерковой линией поверхности. При этом проекция светового луча, проходящая через точку 32, образует с вертикальной прямой угол 35° и своим пересечением с контуром поверхности определит совмещенное положение 31 искомой точки. Ее первоначальное положение 3 будет получено, если из точки пересечения луча, проходящего через 32, с осью поверхности провести прямую под углом 45° до пересечения с вертикалью точки 31.

         В дальнейшем изложенный прием будем называть вращением лучевой плоскости.

         На нижней части левого участка завитка граница падающей тени исчезает в точке К, лежащей на границе собственной тени. Последняя определяется точками 5 и 6.

Эти точки получены с помощью двух цилиндров с горизонтальными осями, касательных к поверхности по окружностям, определяемым точками L и М, в которых касательные прямые к очерковой линии фигуры параллельны проекции ее оси вращения.

         Далее, на левом участке фигуры, в примыкании ее к средней части, возникает собственная тень. Ее построение выполнено как на круглом валике, рис.53. Здесь точки 7 и 9 получены с помощью касательного конуса с горизонтальной осью и углом наклона его образующих 45°, обращенного вершиной вправо. Точка 8 найдена использованием собственной тени конуса с углом 35°, также обращенного вершиной вправо. Что касается точки 6, она была найдена ранее при построении касательного цилиндра.

         Точно также найдены точки 70, 80, 90, 60 и 40 границы собственной тени средней части фигуры, представляющей собой круглый валик.

         На правой части завитка точки 10 и 11 границы собственной тени определены тем же приемом, что и точки 5 и 6 на его левой части, т.е. с помощью описанных цилиндров. Наконец, точка 12 получена построением касательного конуса с горизонтальной осью, с углом наклона его образующих, равным 45°, расположенного вершиной влево (на рисунке не показан).

         На концевых цилиндрических участках завитка собственные тени построены в соответствии с рис.52.

         Что касается границ теней, падающий от левой части фигуры на ее среднее звено и от последнего на правую примыкающую к нему часть, они не могут быть построены без помощи второй проекции фигуры, поэтому прорисованы на глаз.

1.  Способ вспомогательных экранов

         Способ вспомогательных экранов применяется при построении теней, падающих на поверхности вращения. Экраны представляют собой плоскости или цилиндрические поверхности, рассекающие поверхности, на которых строится тень, и играют роль посредников: падающая от заданной поверхности тень строится на них и затем используются точки этих теней, общие для экранов и линии их пересечения с поверхностью, на которой должна быть построена тень.

         Различают экраны плоские  и круговые цилиндрические. Первые делятся на три вида по их положению относительно плоскостей проекций – горизонтальные, фронтальные и бисссекторные. Вторые, цилиндрические – располагаются так, что их оси проходят через центр поверхности, на которой строится тень, или совпадают с ее осью. В применении к обычно встречающимся архитектурным формам оси таких экранов чаще всего располагаются вертикально.

         Ниже рассматриваются примеры использования перечисленных экранов.

А. Плоские горизонтальные экраны

         Рассмотрим рис.55. Здесь изображена полусфера с центром О, поставленная на горизонтальную плоскость, и наклонная мачта, в виде отрезка прямой АВ, расположенная так, что ее тень падает частью на землю и частью на поверхность сферы. Задача заключается в том, чтобы построить эту тень.

         Для построения тени прямой на земле в данном случае достаточно построить здесь тень ее верхней точки В. Что касается точки А, она лежит на земле, поэтому ее тень совпадает с ее горизонтальной проекцией. Таким образом, падающая тень мачты на земле изображается отрезком А1В'1.

         Заметим, что две точки 1 и 2 пересечения этой тени с окружностью основания заданной полусферы являются одновременно точками тени прямой АВ, падающей на эту поверхность.

Рис.55

         Для получения дополнительных точек тени прямой на полусфере рассечем последнюю произвольной горизонтальной плоскостью, например, с фронтальным следом α2, отметим окружность их взаимного пересечения и точку С, в которой введенная плоскость пресекает прямую АВ. Далее, считая эту плоскость землей, а точку С основанием на ней прямой АВ, построим тень, падающую от прямой на эту плоскость.

Тогда получим прямую, исходящую их точки С1 и параллельную тени прямой А1В'1. Эта прямая пересечет окружность рассечения в некоторых точках 3 и 4. Последние так же, как и точки 1 и 2, окажутся принадлежащими тени прямой АВ, падающей на сферу.

         Можно рассечь такими плоскостями заданную поверхность сколько угодно раз, для каждой плоскости повторить перечисленные выше операции построения и тогда будет получено соответствующее число пар точек. На рисунке сфера дополнительно рассечена плоскостью со следом β2, на которой отмечены проекции полученных точек плавными кривыми линиями, будем иметь две проекции тени прямой АВ на заданной поверхности.

         Чтобы не загромождать чертежа, на рисунке не показана падающая на землю тень кривой поверхности, но изображена ее собственная тень. Последнее сделано, чтобы отметить точку исчезновения Е тени прямой.

         На рис.56 изображена полусфера, поставленная на горизонтальную плоскость и мачта, тень которой падает на нее. При этом кривая поверхность усечена четырьмя вертикальными плоскостями, симметрично расположенными относительно ее центра, а мачта образована тремя плоскими гранями, пересекающимися по общей вертикальной прямой.

         Для построения тени, падающей от мачты на сферу, предварительно построена ее тень на земле. После этого, также на земле, построены тени произвольно выбранных параллелей сферы, полученных ее рассечением горизонтальными плоскостями со следами α2, β2, и γ2. На земле отмечены точки пресечения этих ребер мачты с тенями дуг параллелей, которые затем обратными лучами перенесены на фронтальные проекции параллелей или, что то же самое, на следы секущих плоскостей. На рисунке эти операции показаны только для одной рассекающей плоскости со следом β2.

         Полученные выполненным построением точки позволили очертить тень мачты на фронтальной проекции сферы.

         В решении изложенной задачи в качестве вспомогательного экрана использована земля, т.е. горизонтальная плоскость проекций. При этом на горизонтальной проекции объекта тень не построена, чтобы сохранить ясность построения на плане. Кроме того, этого не сделано из тех соображений, что при архитектурном проектировании тени на планах сооружений, как правило, не строятся.

Рис.56

          Что касается собственной тени на видимой плоской грани сферы и теней на плоскостях пирамиды, их построение ясно из чертежа.

Б. Плоские фронтальные экраны

         На рис.57 изображена фронтально расположенная ниша в виде полусферы. Граница падающей тени этой поверхности определяется линией тени части ее наружного кругового ребра, ограниченного на фронтальной проекции точками О-О касания к нему проекций светового луча. Эти точки полуокружности совпадают со своими тенями.

Рис.57

         Точки, лежащие внутри ниши, можно получить, если рассечь форму фронтально расположенной плоскостью, построить окружность ее пересечения с поверхностью ниши и тень, падающую на нее от ребра, и затем отметить пересечения этой тени с окружностью рассечения. Эти точки будут общими для введенной плоскости и для поверхности сферы. Они, следовательно, будут точками, принадлежащими искомой линии.

         Для получения достаточного числа точек следует рассечь поверхность сферы фронтальными плоскостями необходимое число раз и выполнить перечисленные выше операции для каждой из введенных плоскостей.

         На рисунке рассечение сделано тремя плоскостями с горизонтальными следами α1, β1 и γ1. Окружности рассечения сферы этими плоскостями имеют общую фронтальную проекцию их центров О2, радиусы их соответственно равны R1, R2 и R3, тени центр ребра ниши на этих плоскостях падают в точки с фронтальными проекциями , , О . Из этих центров радиусом, равным радиусу R ребра ниши, проведены дуги, изображающие его тени, падающие на соответственные плоскости. Пересечения их с окружностями рассечения дают пары точек 1-1, 2-2, 3-3, которые и будут принадлежать границе падающей тени.

         На рис.58 рассмотрен пример построения тени в цилиндрической нише со сферическим верхом.

         Здесь на сферической части поверхности ниши падающая на нее тень от части кругового ребра построена так же, как и предыдущем примере, способом фронтальных экранов. Для этого ниша рассечена двумя фронтальными плоскостями с горизонтальными следами α1 и β1. В сечениях этих плоскостей с цилиндрической частью ниши будут получены вертикальные прямые (на рисунке не показаны), на сферической – полуокружности, радиусом R1 и R2 c общей фронтальной проекцией их центров О2, совпадающей с проекцией центра сферы, на которой они лежат. Тени центра наружного кругового ребра ниши на этих плоскостях падают в точки  и  . Тени самого ребра изобразятся на них окружностями радиусом, равным радиусу R ребра, проведенными из этих центров. В пресечениях теневых окружностей с соответствующими окружностями рассечений получены точки 2 и 3, которые и принадлежат границе тени круговой части ребра ниши, падающей на ее внутреннюю поверхность. Дополнительной точкой этой границы будет точка 1 – касания фронтальной проекции светового луча к проекции ребра ниши. Эта точка совпадает со своей тенью.

Рис.58

         На цилиндрический участок поверхности ниши будет падать тень от части кругового ребра и кроме того от ее левого вертикального ребра. Точки, принадлежащие этой части тени на рисунке построены способом лучевых сечений с помощью точек 4 и 5, лежащих на соответствующих участках ребра. Первая из них выбрана произвольно, вторая лежит в точке сопряжения круговой части ребра с его вертикальным участком. Тень этой точки на цилиндрической части поверхности ниши будет отделять криволинейный участок границы падающей тени от ее прямолинейного вертикального участка.

         Рис.59 изображает каннелюру, т.е. нишу с цилиндрической средней частью, переходящей вверху и внизу в сферические поверхности. Каннелюрами в классических архитектурных формах украшаются поверхности колонн и пилястр.

         Тень, падающая на внутреннюю поверхность такой ниши в ее верхней сферической и в средней цилиндрической частях строится приемами, изложенными выше и в предыдущем примере для цилиндрической ниши со сферическим верхом, рис.58. Что касается нижней сферической части, при построении тени на ней следует иметь ввиду, что ее граница здесь определяется на большей ее части падающей тенью левого прямолинейного вертикального ребра ниши. Поэтому, чтобы получить границу тени на этой части поверхности, на фронтальных экранах α, β и γ, использованных для построения верхней части тени, строятся падающие тени этого ребра, в пересечении которых с линиями сечений экранов и поверхности ниши и отмечаются точки искомой кривой.

         На рисунке тени ребра на экранах получены способом лучевых сечений, с помощью светового луча, проходящего через его точку А. Их положение определяется пересечениями горизонтальной проекции луча со следами α1, β1 и γ1 плоскостей экранов. Через полученные здесь точки проведены вертикали до пересечения с фронтальными проекциями линий взаимного пересечения экранов и поверхности ниши. Таким образом получены точки 7, 8 и 9. Последняя точка,10, искомой линии определяется аналогично точке 1, т.е. как точка касания фронтальной проекции луча к очерковой кривой нижней сферической части ниши. Эта точка, также как и точка 1, совпадает со своей тенью.

Рис.59

         На рис.60 построена тень, падающая на бревенчатый фронтон от дощатых свесов двухскатной кровли. Задача решена при помощи двух фронтальных экранов. Один из них касается бревен по их наружным горизонтальным образующим, второй проходит через оси бревен. Толщина швов между венцами при этом, ради упрощения задачи, не учтена.

         Тени ребер  свесов на экранах получены при посредстве вспомогательной горизонтальной проекции, расположенной в нижней части рисунка. Здесь изображены принятые экраны 1 и 2 и положение А1 коньковой точки относительно их. Точки А'2  и А'2 на фасаде фронтона будут тенями точки А, падающими на экраны. Тени ребер свесов пройдут через эти точки и расположатся параллельно самим ребрам, поскольку последние параллельны плоскости, на которую их тени падают.

         Пересечение полученных линий с соответствующими образующими венцов дают точки, через которые проведены кривые границы искомой тени.

         Тени в пазах стены получены с помощью ее профильного сечения, совмещенного с фасадом. Эта часть построения ясна из рисунка.

         В некоторых задачах на построение теней могут быть одновременно использованы экраны двух положений – горизонтальные и фронтальные. Примером может служить рис.61. Здесь этим способом построена тень круглой плиты, падающая на поверхности вращения, в качестве которой принята сфера.

Рис.60

         В данном случае граница падающей тени определяется тенью нижнего кругового ребра плиты. Две точки этой границы 1 и 2 получены с помощью горизонтальных экранов с фронтальными следами α2 и β2. Положение первого из них выбрано произвольно. Второй, с целью некоторого упрощения чертежа, совмещен с плоскостью экватора поверхности. Отмеченные точки построены на плоскости П1 как пересечения теней ребра плиты на этих экранах с окружностями, по которым экраны пересекают поверхность, на которой тень строится.

Рис.61

         Далее в построение введен фронтальный экран с горизонтальным следом α1. Его плоскость принята идентичной центру шара и, следовательно, рассекает его поверхность по меридиональной окружности, фронтальная проекция которой накладывается на очерковую линию сферы. На этом экране построена падающая на него тень нижнего ребра плиты. На рисунке точки А'2, С и Д определяют часть эллипса, которым эта тень изображается. Пересечение полученной кривой с очерковой линией шара – точка 3, также принадлежит искомой границе тени. На одной горизонтали с ней, на проекции вертикальной оси сферы, лежит точка 3.

         Что касается точки 5, высшей точки границы падающей тени, ее положение определено приемом вращения лучевой плоскости, изложенным в предыдущем разделе при построении тени на завитке модульона.

         Эта точка, как принадлежащая тени круговой линии, падающей на рассматриваемую поверхность вращения, определяется точкой этой линии, лежащей в лучевой плоскости, включающей ось поверхности (на плане плиты это будет точка А1). Если эту плоскость вместе с отмеченной точкой повернуть вокруг вертикальной оси сферы во фронтальное положение, тогда две проекции точки займут положение А'1 и А'2, а линия взаимного пересечения лучевой плоскости и поверхности совпадет на фронтальной проекции с очерковой линией поверхности.  При этом проекция светового луча, проходящая через точку А'2, образует с горизонталью угол 35° и своим пересечением с контуром поверхности определит совмещенное положение 5' искомой точки. Ее первоначальное, т.е. искомое положение 5 будет получено, если из точки пересечения луча, проходящего через А'2, с осью поверхности провести прямую под углом 45° до пересечения с горизонталью точки 5'.

         В дополнение к падающей тени на рисунке показаны также собственные тени плиты и шара.

В. Плоские биссекторные экраны

         Биссекторным экраном называют вертикальную плоскость, образующую с фронтальной плоскостью угол 45°, измеряемый от правого направления оси проекции Х12 по направлению часовой стрелки. Такая плоскость обладает тем свойством, что падающая на нее тень окружности, лежащей в горизонтальной плоскости, проецируется на фронтальную плоскость также окружностью, но радиусом R1, отношение величины которого к величине радиуса R окружности-оригинала равно 1: , т.е. R1=0,7R. В геометрической интерпретации это значит, что радиус окружности проекции тени равен катету равнобедренного прямоугольного треугольника, построенного на радиусе заданной окружности как на гипотенузе.

         На рис.62 в системе плоскостей П1П2 показан горизонтальный след α1 биссекторнго экрана. Окружность, тень которой строится, расположена в плоскости, параллельной П2 и, следовательно, перпендикулярной одновременно плоскости П2. Центр ее, для удобства построения, совпадает с экраном. Проекция на фронтальную плоскость тени окружности, полученной на экране, построена с помощью описанного около нее квадрата.

         На рис.63 та же тень построена на основании отмеченного выше соотношения радиусов окружности-оригинала и проекция ее тени, пользуясь только фронтальной проекцией заданной окружности. Здесь отрезок R1, R1, - ее фронтальная проекция. На половине его, как на радиусе, построен равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен радиусу окружности искомой тени.

         Биссекторные экраны используются при построении теней окружности, падающих на поверхности вращения. Ниже приведены решения таких задач.

                    Рис.62                                                  Рис.63

         На рис.64 изображена круглая колонна с лежащей на ней круглой плитой. Падающая в этом случае тень плиты на колонну была ранее построена на рис.31 способом лучевых сечений. В рассматриваемом разделе эта задача решается использованием биссекторного экрана.

         Для этого на рисунке введена биссекторная плоскость с горизонтальным следом α1. На этой плоскости построены тени образующих 1, 2, 3, 4 цилиндрической поверхности колонны. Проекциями на фронтальной плоскости этих теней будут вертикали 1'1, 2'1, 3'1, 4'1.

         Далее, на той же биссекторной плоскости построена падающая на нее тень нижнего кругового ребра плиты. Проекция этой тени на фронтальной плоскости изобразится, в соответствии с изложенным выше, окружностью, радиус R1 которой равен 0,7 радиуса R окружности оригинала.

         Полученная теневая окружность пересекает тени образующих поверхности колонны в точках, которые обратным направлением световых лучей перенесены на фронтальные проекции тех же образующих. Отмеченные таким образом точки и опеделят искомую границу тени на колонне.

         Заметим, что образующие поверхности колонны в выполненном построении выбраны, как и на рисунке 31, так, чтобы получить экстремальные точки границы тени: крайнюю левую, наивысшую, лежащую на проекции оси колонны и точку исчезновения.

         На рис.65 построена тень круговой плиты, падающая на поверхность сферы. Ранее, на рис.61 было изложено решение этой задачи использованием горизонтальных и фронтального экранов. Рассмотрим возможное ее решение с помощью биссекторной плоскости. Преимущество этого способа будет заключаться в отсутствии необходимости обращаться к горизонтальной проекции фигуры.

         Предположим, что биссекторная плоскость введена, причем она , как и в предыдущем случае, включает в себя вертикальную ось фигуры, т.е. проходит через центр шара. Тогда отметим на его поверхности несколько горизонтальных окружностей, например,  экватор с центром О и произвольную параллель с центром О1. Приемом, использованным ранее, построим тени этих  окружностей, падающие на экран, а также тень нижней окружности плиты. Радиусы окружностей этих теней на рисунке обозначены соответственно R,  и . Далее отметим точки пересечения тени окружности плиты с тенями параллелей поверхности и обратным направлением световых лучей перенесем их на ортогональные проекции параллелей. Таким путем на рисунке получены точки 1 и 2.

   

Рис.64

Рис.65

         Что касается точек 3, 4 и 5, они построены приемом, изложенном при описании рисунка 61.

         На рис.66 выполнено построение тени, падающей от эхина на круглую колонну. Очевидно, границей этой тени будет являться тень границы собственной тени эхина.

Последняя, следовательно, должна быть предварительно построена.

         Наиболее простая форма эхина представляет собой поверхность вращения, образующей которой служит четверть окружности, отнесенная на некоторое расстояние от поверхности колонны. Его можно рассматривать так же, как нижнюю половину круглого валика с вертикальной осью вращения, рассеченного экваториальной плоскостью. Таким образом, собственная тень на эхине может быть построена как на нижней половине круглого валика в соответствии с рис.47 способом описанных цилиндров и конусов.

         Общий способ решения задачи использованием биссекторного экрана в данном случае будет заключаться в следующем.

         На границе собственной тени эхина следует отметить ряд точек, через каждую их которых провести горизонтальное сечение поверхности. Далее построить тени, падающие от полученных таким образом окружностей на биссекторный экран. После этого отмеченные на эхине точки фронтальными проекциями световых лучей перенести на соответствующие им теневые окружности. Тогда получим ряд точек, которые будут определять границу тени, падающей на экран от эхина.

         

Рис.66

         Далее построим на том же экране падающие на него тени образующих цилиндрической поверхности колонны и, наконец, точки пересечения этих теней с границей падающей тени эхина обратными направлениями лучей перенесем на ортогональные проекции соответствующих образующий. В результате получим ряд точек, которые определяют искомую границу тени, падающей от эхина на колонну.

         Как видно из описания, путь построения довольно громоздкий. Однако он может быть значительно упрощен, если учесть, что тень границы собственной тени эхина на биссекторной плоскости будет практически мало отличаться от тени, падающей на ту же плоскость от окружности горизонтального сечения эхина, совпадающей с точкой касания фронтальной проекции луча очерковой линии эхина (на рисунке точка А).

         Тогда, построив эту тень и тени вертикальных образующих поверхности колонны на биссекторной плоскости и перенеся обратными лучами точки их взаимного пересечения на фронтальные проекции образующих, получим ряд точек, которые с достаточной точностью определят искомую линию.

         Такое построение и выполнено на рис.66. как видно, оно мало отличается от построения, изложенного на рис.64.

         Способ биссекторных экранов может быть использован в сочетании с другими ранее изложенными способами. Примером служит построение падающей тени скоции, для которой ранее, в разделе «Способ касательных цилиндров и конусов» на рис.46 была построена ее собственная тень. На рис.67 показано такое построение.

         Границей падающей тени на скоции будет на ней тень, отбрасываемая нижним круговым ребром ее верхнего основания. Экстремальными точками этой кривой являются: А и Д – лежащие на очерковых линиях, наивысшая точка В, точка А1 – на проекции вертикальной оси поверхности и точка С – на экваторе ее шейки.

Рис.67

         Первые две их этих точек определяются с помощью фронтального экрана, включающего ось поверхности. Пересечение тени, падающей от теневого ребра на этот экран с очерковыми линиями поверхности дает эти точки.

         А1 на проекции оси фигуры лежит на горизонтали точки А и определяется как симметричная ей вследствие симметрии рассматриваемой поверхности и теневого ребра относительно лучевой плоскости, проходящей через их общую вертикальную ось.

         Точка С на экваторе фигуры найдена с помощью рассматриваемого  в настоящем разделе способа биссекторного экрана. На таком экране построены падающие тени окружности самого экватора и теневого ребра верхнего основания скоции. Взаимное пересечение этих теней перенесено этим обратным лучом на фронтальную проекцию экватора.

         Наконец точка В, как наивысшая, построена приемом вращения лучевой плоскости. В соответствии с этим здесь из крайней левой точки проекции теневого ребра верхнего основания проведена прямая под углом 35° к горизонту до пересечения с осью поверхности и в полученной точке построена прямая, образующая с той же осью угол 45°. Пересечение этой линии с горизонталью точки, в которой первая прямая пересекает левый очерк поверхности, и дает искомую точку.

         В дополнение к изложенному на рис.68 показана полная тень скоции, т.е. совмещены ее собственная и падающая тени, построенные соответственно на рис.46 и 67. На полученном таким образом изображении можно отметить точку 1 – исчезновения падающей тени. Эта точка имеет место, когда скоция достаточно высока по сравнению с диаметром ее верхнего основания. На низких фигурах она отсутствует. В этом случае падающая тень фигуры может полностью перекрыть ее собственную тень.

Рис. 68

Г. Цилиндрические экраны

         С помощью цилиндрических экранов строятся тени, падающие от фронтально расположенных горизонтальных прямых на поверхности вращения. Сами экранов представляют собой круговые цилиндрические поверхности с вертикальной осью. Последняя может быть совмещена  с такой же осью поверхности, на которой тень строится.

         Использование цилиндрических экранов основано на следующих соображениях.

         Лучевая плоскость, определяемая горизонтальной, фронтально расположенной прямой, пересекает круговую цилиндрическую поверхность по эллиптической кривой, фронтальная проекция которой изображается окружностью с радиусом, равным радиусу сечения цилиндра. Центр этой окружности лежит на проекции оси центра в точке пересечения с ней фронтальной проекции светового луча, проходящего через точку, лежащую на рассматриваемой прямой и удаленную от проекции оси на расстояние, равное выносу прямой по отношению к самой оси.

         Изложенное установлено ранее в разделе «Способ лучевых сечений» при построении тени внутри ниши с плоским верхом, рис.29 и тени квадратной плиты, падающей на круглую колонну, рис.30.

         Рассмотрим теперь рис.69, на котором изображен шар с лежащей на нем квадратной плитой.

         Тень плиты, падающая на поверхность шара, определяется ее нижним фронтальным ребром. Для построения точек, принадлежащих тени этого ребра, представим себе, что в рисунок введен некоторый круглый  цилиндр с осью, проходящей через центр шара О. Пусть этот цилиндр пересекается с его поверхностью по окружности, которая изображается на рисунке горизонтальным отрезком m-m. Тогда тень отмеченного ребра плиты на этом цилиндре изобразится другой окружности, радиус R которой равен половине этого отрезка, т.е. О'm. Центр дуги лежит на проекции оси цилиндра в точку О1 пересечения с ней фронтальной проекции светового луча, проходящего через угол плиты А.

    

Рис.69

         Если теперь отметим две точки В пересечения полученной тени с прямой m-m пересечения цилиндра и шара, будем иметь точки тени ребра, общие для первой и второй поверхностей, т.е. принадлежащие искомой тени ребра на поверхности шара.

         Повторяя такие построения несколько раз для цилиндров разных диаметров, можно получить достаточное число точек, определяющих тень ребра. На рисунке дополнительно использованы цилиндры, рассекающие поверхность шара по линии n-n и l-l. На первой из них получена одна точка Д. на второй две точки С.

         Все вместе взятые точки, построенные изложенным способом, определяют линию тени фронтального ребра, которая будет эллиптической кривой. Что касается прямолинейного участка, исходящего из точки С, он является тенью левого нижнего бокового ребра плиты. Лучевая плоскость, определяемая им, - фронтально проецирующая, поэтому кривая, по которой она пересекает поверхность шара, проецируется на фронтальную плоскость в виде прямой линии.

          На рисунке дополнительно построена также собственная тень шара, проецируется на фронтальную плоскость в виде прямой линии.

         На рисунке дополнительно построена также собственная тень шара.

         На рис.70 изображена квадратная плита, так называемая абака, лежащая на эхине. Обе фигуры являются частью круглой колонны.

Рис.70

         Граница тени, падающей от абака на эхин, как и в предыдущем случае, определяется тенью ее переднего нижнего фронтального ребра. Точки В, С, С этой границы на рисунке построены с помощью трех цилиндрических экранов, пересекающих поверхность эхина по линиям n-n, m-m, l-l. Точка О – общий центр окружностей, изображающих тени ребра на этих цилиндрах. Радиусы окружностей равны половинам соответствующих горизонтальных отрезков, измеренных от проекции оси колонны до точек наружного контура.

         Общий контур тени, падающей от фронтального ребра абаки на эхин, очерчивается кривой линией. Прямой участок на его левой части – падающая тень левого нижнего ребра плиты, определяемого точкой А. Что касается кривой линии КМ, она очерчивает границы собственной тени эхина, построенной способом касательных цилиндров и конусов.

         На рис.71 показана архитектурная деталь, так называемая «капелька». Она представляет собой круговую коническую поверхность, рассеченную фронтальной плоскостью, проходящей через ее ось. Капелька прикреплена на углу фронтальной стены над карнизным выступом.

Рис.71

         Криволинейная граница тени карнизного ребра на поверхности капли построена с помощью цилиндрических экранов, пересекающих конус по окружностям, определяемым горизонтальными прямыми n и m и l. На первой из них получена одна точка, на второй и третьей – по две. Левый прямолинейный участок границы тени – тень левого ребра карниза, проходящего через точку А. На рисунке отмечена также собственная тень поверхности конуса и тени ее карниза, падающие на стену.

         На рис.72 изображена поверхность вращения в виде вазы. Ее очерковый профиль представляет собой кривую, сопряженную из двух четвертей окружностей равных диаметров.

Рис. 72

         На этой поверхности возникнут две тени – собственная и падающая. Граница первой из них определяется точками Е, Д, Е1 и F. Построение этих точек выполнено с помощью двух касательных конусов с углами наклона образующих 35° и 45°, обращенных вершинами вниз, и цилиндра, касающегося поверхности вазы по окружности, определяемой точками сопряжения дуг, составляющих очерковый профиль поверхности. Аналогичное построение было выполнено на рисунке 47 при построении собственной тени круглого валика для определения ее точек С, Д1, С1 и А.

         Что касается падающей тени, ее граница определяется тенью нижнего ребра бортика вазы. Принадлежащие этой границе точки найдены  приемами, использованными при построении падающей тени скоции на рис.67. Здесь точка А получена как пересечение тени ребра бортика на фронтальном экране, включающем вертикальную ось поверхности с ее очерковой кривой. Точка А1 определена как симметричная точке А. Точка С получена с помощью биссекторного экрана, на котором построены тени ребра бортика и произвольно выбранной параллели поверхности вазы с последующим перенесением пересечения С1 двух полученных теневых окружностей на выбранную параллель обратным световым лучом. Точка В, как наивысшая, построена приемом вращения лучевой плоскости.

         Отметим, что построение границы собственной тени на рассматриваемой поверхности можно было бы продолжить за точку F. Однако в этом нет смысла, так как она перекрывается падающей тенью уже в точке С, которая оказывается точкой исчезновения этой тени.

         На рис.73 изображена так называемая балясина, архитектурная деталь, образованная вращением вокруг вертикальной оси совокупности кривых и прямых линий, ограниченная сверху и снизу квадратными плитами.

         Построение теней на рассматриваемой детали начнем с ее верхней части.

         Верхняя плита, венчающая балясину, передней гранью расположена фронтально. Следовательно, на ее проекции видимых теней не будет.

         На расположенном под плитой эхине общий контур тени образуется наложением двух теней – собственной и падающей на него от нижнего левого и переднего ребер плиты. Первая из них строится способом цилиндров и конусов, см. рис.47. Вторая – способом цилиндрических экранов, см. рис.70.

Рис. 73

         Поясок, расположенный под эхином, оказывается весь в тени, за исключением его нижнего левого угла. Освещенное пятно на нем ограничивается падающей на него тенью левого ребра плиты.

         На шейке балясины, между пояском и расположенным ниже валиком, граница тени определится падающей на нее тенью участка границы собственной тени эхина и границей собственной тени шейки как цилиндрической поверхности.

         Тени ребер плиты на шейке могут быть построены способом лучевых сечений, см. рис. 30. Тень границы собственной тени эхина строится приемом, показанным на рис.66, т.е. способом биссекторного экрана и, наконец, собственной тени шейки строится как на цилиндрической поверхности, см.рис.16.

         На валике , ограничивающем шейку балясины снизу, собственная тень строится способом цилиндров и конусов, см. рис.47. тень, падающая на него от цилиндрической поверхности шейки, прорисовывается в виду ее малости на глаз. Точное ее построение возможно только при использовании горизонтальной проекции обеих поверхностей, т.е. шейки и валика.

         Тень, падающая от валика на ниже расположенную часть поверхности стержня балясины, можно построить способом, показанным на рис.66, как тень, падающую от эхина на круглую колонну.

         Часть балясины, заключенная между верхним и нижним валиками, имеет сложную форму. Верхнюю ее часть условно назовем исторической. Она ограничивается верхним валиком и уровнем точки О. Последняя является центром, из которого описана нижняя часть, сферическая.

         Собственная тень на конической части стержня может быть определена по точкам, каждая из которых определяется с помощью описанного для соответствующего горизонтального сечения фигуры касательного конуса. На рисунке пример такого построения показан для сечения 1-1, в котором определена точка А, одна из точек, принадлежащих искомой границе.

         На нижней части сферической поверхности стержня собственная тень построена изложенным выше способом построена способом цилиндров и конусов, см. рис.45.

         Далее, на нижнем валике собственная тень строится также способом цилиндров и конусов. Что касается падающей на него тени от лежащей выше сферической части, она не может быть построена изложенными выше способами без использования горизонтальной проекции фигуры. Поэтому построена приближенно, что допустимо, в виду малости ее размеров.

         Под нижним валиком расположена скоция. Тень на ее верхнем пояске построена таже способом, показанным на рис.66, как тень, падающая на него от границы собственной тени валика, которую можно принять за окружность. На самой скоции ее тень, состоящая из собственной и падающей теней, построена изложенными ранее приемами, см. рис.46 и 47.

         На нижней опорной квадратной плите балясины видимых теневых граней не будет, поскольку она так же, как и верхняя плита, расположена своей передней гранью фронтально.

         На рис. 74 построена тень на поверхности тосканской колонны.

         Здесь на венчающей ее квадратной плите, абаке, падающая тень от ее верхней выступающей части, полочки, построена способом следа луча, как это сделано на рис.22.

         Общая тень на эхине, несущем на себе абаку, складывается из двух теней – его собственной и тени, падающей на него от переднего и левого нижних ребер абаки.

         Первая из них строится способом описанных цилиндров и конусов, см. рис.47, вторая – способом вспомогательных цилиндрических экранов, см. рис.70.

         Далее, полочка, расположенная под эхином, оказывается вся в тени, падающей на нее от выше расположенной выступающей части.

Рис.74

         На шейке колонны граница тени определяется частью падающей на нее тенью нижнего переднего прямолинейного ребра абаки, которая строится способом лучевых сечений как тень квадратной плиты на круглой колонне, см. рис.30, затем тенью участка границы собственной тени эхина. Эта часть может быть приближенно построена тем же способом как тень, падающая от круглой плиты на круглую колонну, см. рис.66. Наконец, граница собственной тени шейки построена как на цилиндрической поверхности, см. рис.16.

         На валике, отделяющем шейку колонны от нижерасположенного ствола, собственная тень может быть построена способом цилиндров и конусов. Тень, падающая на валик от вышерасположенной цилиндрической поверхности, ввиду ее малости прорисована приближенно.

         Полочка под валиком вся оказывается в тени, падающей на нее от вышерасположенного валика.

         Ниже, на стволе колонн, построена ее собственная тень как на цилиндрической поверхности и падающая на нее от границы собственной тени валика. Этот участок может быть получен с достаточным приближением как тень окружности, за которую можно принять границу собственной тени валика, падающую на круглую колонну, т.е. аналогично тому, как построена тень на рис.66.

         Наконец, на валу, распложенном в основании колонны, собственная тень строится способом цилиндров и конусов.

         Плинт представляет собой квадратную плиту, передняя грань которой расположена фронтально. Поэтому видимые тени на нем отсутствуют.

1.  Способ боковой проекции

         Способ боковой проекции применяется в тех случаях, когда нельзя построить тень объекта, пользуясь только одной его фронтальной проекцией. При этом в качестве второй, вспомогательной проекции не может быть использован его план, так как последний для некоторых геометрических форм оказывается невыраженным.

         Примером является рис.75. Здесь в двух проекциях изображена некоторая призма и примыкающая к ней цилиндрическая поверхность с горизонтальной осью. В данном случае тень призмы, падающая на последний, не может быть построена при помощи горизонтальной проекции фигур, если бы она на рисунке и была изображена. Поэтому здесь в качестве вспомогательной проекции используется вид сбоку.

         

Рис.75

         Построение основано на следующем.

         Граница контура собственной тени на поверхности призмы являются два ее ребра, исходящие из точки А: одно – горизонтально, перпендикулярное фронтальной плоскости, второе – переднее фронтально расположенное, наклонное. Граница тени, падающей на цилиндрическую поверхность, будут тени на ней от этих ребер.

         Построим тень вершины А, из которой исходят ребра. Для этого через ее проекции А2 и А3 проведем проекции S2 и S3 светового луча. Его боковая проекция своим пересечением с очерковой линией цилиндра определяет образующую, на которую падает тень точки А. Поэтому, проведя эту образующую на фронтальной проекции поверхности и отмечая здесь пересечение с ней фронтальной проекции луча, получим искомую точку А'.

         Из этой точки и будут исходить тени отмеченных ребер. При этом тень горизонтального ребра изобразится прямой, накладывающейся на проекцию светового луча S2, поскольку это ребро перпендикулярно фронтальной плоскости. Тень же наклонного ребра будет представлять собой эллиптическую кривую, которую придется строить по ее точкам.

         Для этого отметим на нем произвольную точку В. Ее тень В', падающая на цилиндрическую поверхность, легко строится тем же приемом, который использован для построения тени точки А. Если выберем достаточное количество точек на рассматриваемом ребре, получим соответственное число теневых точек и, следовательно, сумеем провести искомую кривую граница тени на поверхности цилиндра.

          Заметим, что положение точки С на рассматриваемом ребре, определяющей нижнюю концевую точку границы тени, лежащую на уровне земли, может быть определено с помощью обратного луча, как это показано на рисунке.

         На рис.76 изображена кровля здания сложной формы, одна ее часть треугольная, вторая – кривая линейчатая бочкообразная. В данном случае задача заключается в том, чтобы построить тень, падающую от треугольной части на кривую поверхность. Как и в предыдущем примере, решение может быть получено только с использованием боковой проекции сооружения.

         Заметим, что граница тени, падающей на кривую поверхность кровли, определяется тенями ребер ее треугольной части, исходящими из отмеченной на рисунке точки А – горизонтальным коньковым и наклонным фронтальным. Поэтому, как и в предыдущем случае, с помощью боковой проекции построим тень А' точки А. Из этой точки будут исходить тени рассматриваемых ребер. Тень первого изобразится прямой, накладывающейся на проекцию светового луча, проведенного через фронтальную проекцию А2 точки. Тень  второго будет кривой линией, которая определена п ее отдельным точкам. Последние выбирались из следующих соображений: точка В – выбрана произвольно, точка С – принята таким образом, чтобы получить крайнюю левую теневую точку С' на границе тени и одновременно точку С0, лежащую на линии перехода криволинейной части кровли в плоскую часть карнизного свеса, точка Д – определяет теневую точку Д', лежащую на обрезе карнизного свеса и тем самым позволяет провести прямой участок тени Д'С0. Наконец, точка Е дает тень Е' концевой точки рассматриваемого ребра н вертикальной плоскости стены здания. Из этой точки исходят две теневых прямых линии: одна параллельна ребру АЕ, тенью которой она является, вторая накладывается на фронтальную проекцию луча; проходящего через точку Е2 и будет тенью горизонтального ребра, перпендикулярного фронтальной плоскости, определяемого этой точкой.

Рис.76

         Кроме этих теней на фасаде здания построены также с помощью боковой проекции тень в пазухе кровли, в месте сопряжения ее криволинейного и плоского участков, тень левого наклонного ребра на фронтоне, тень горизонтального ребра карнизного свеса на стен здания, а также тень правого вертикального ребра выступающей части здания.                                     Построение этих теней ясно из рисунка.

         На рис.77 способом боковой проекции построена тень карниза, падающая на стену, а также тень на его поверхности.

Рис.77

         Здесь важно отметить порядок построения. Он заключается в том, что предварительно на боковом изображении выбран ряд характерных для профиля карниза точек с 13 по 73, для которых отмечены соответствующие им фронтальные проекции 12 – 72. Далее, при помощи боковой проекции построения тени этих точек, падающие на стену. В результате получен теневой профиль, определяемый точками 1' - 7'.

         Этот профиль являлся бы контуром падающей на стену тени карниз, если бы в его образовании участвовали только линии боковой проекции. Но через каждую из отмеченных точек, кроме профильной линии, проходят также фронтально расположенные горизонтальные прямые поверхности карниза, которые в свою очередь участвуют в образовании общего контура падающей тени. Таким образом их тени, падающие на стену, также должны быть построены. Поэтому из всех теневых точек с 1' по 7' проведены тени горизонтальных прямых. С учетом последних и получен общий контур тени профиля на стене.

         Что касается теневых полос на самой поверхности карниза, они могут быть получены способом обратного луча на основании тени, падающей на стену. На рисунке стрелки, направленные справа вверх налево, относятся к этому построению.

         С помощью боковой проекции могут быть построены тени и более сложных поверхностей. Примером служит рис.78, на котором изображен боковой вид капители колонны ионического ордера.

Рис.78

         Здесь на ствол колонны падает тень завитка капители. Для ее построения на ребрах завитка, на их участках, принадлежащих контуру его собственной тени, отмечен ряд точек, каждая из которых рассматривается как лежащая на горизонтальной, фронтально расположенной прямой. Строится тень этой прямой на поверхности колонны и затем отмечается пресечение с ней фронтальной проекции луча, проведенного через одноименную проекцию принадлежащей ей точки.

         Способ построения тени горизонтальной прямой, падающей на круглую колонну, был изложен ранее в разделе «Способ лучевых сечений», рис.30. В соответствии с этим на боковой проекции, рис.78, с помощью профильных проекций световых лучей определены пересечения с осью колонны лучевых плоскостей, определяемых прямыми, на которых лежат точки. Эти пересечения позволяют отметить на фронтальной проекции оси положение центров круговых кривых, изображающих тени рассматриваемых линий.

         Кроме тени, падающей на ствол колонны, на рисунке отмечена также тень между точками 9' и 10' на валике волюты. Ее построение ясно из чертежа.

         Для некоторых архитектурных деталей их фронтальный и боковой профили могут оказаться одинаковыми. Тогда для построения их теней отпадает необходимость построения бокового вида. Вид спереди может рассматриваться одновременно и как левая или правая проекция детали.

         Примером служит рис.79. Здесь изображена часть стены, выступающая из общей фронтальной плоскости здания. Верх ее увенчан карнизом, расположенным на передней и боковой плоскостях. Вид этого карниза спереди и проекция его на правую профильную плоскость оказываются идентичными и могут быть всеми точками наложены друг на друга.

         Учитывая это, и при условии, если известна величина а выступа стены, изображенная на рисунке фронтальная проекция может быть использована для построения тени карниза, падающей на стену, способом боковой проекции.

Рис.79

         Для этого достаточно отметить на рисунке вертикальную прямую в, изображающую плоскость стены, к которой примыкает выступающая часть, если рассматривать проекцию как вид слева. Далее, проекциями лучей, направленными в данном случае справа вниз налево, отмечаем на этой линии точки, определяющие горизонтальнее прямые, на которых лежат на стене тени выбранных на профиле точек. Пересечения с этими прямыми фронтальных проекций лучей, проведенных через те же точки, определяют искомые точки, принадлежащие границе падающей на стену тени карниза.

         Тень, лежащая на поверхности самого карниза, построена так же, как и на рис.77, на основании его падающей на стену тени способом обратного луча.

         На рис.80 приведен второй пример использования фронтальной проекции детали одновременно в качестве ее бокового вида.

 

         

          

         

         

 

1. Дисциплина труда служащих
2. Тема- Современность научных идей М
3. Реферат- Компютерна обробка внутрішньобанківської інформації
4. Риски в сельском хозяйстве и их нейтрализация
5. россиян Это не только дети олигархов и крупных чиновников ни в чем не нуждающиеся но и самые обыкновенные р
6. Тема 11 Система здравоохранения в РФ
7. Сохранение самовольных переустройств и перепланировок
8. модуль Напрям підготовки 6
9. земные приливы на Луне
10. на тему- Спортивная журналистика на примере спортивного комментария как самостоятельного жанра.
11. простых атомов в
12. Кооператор
13. Методы привлечения инвестиций в РФ
14. Символизм как художественное направление в изобразительном искусстве Европы рубежа веков
15. Контрольная работа- Расчет параметров постоянно-поточной линии
16. Архипелаг ГУЛАГ энциклопедия лагерной жизни энциклопедия советской каторги История создания
17. 20в XIX в стал переломным в истории СО
18. МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ПСИХИАТРИИ И МЕДИЦИНСКОЙ ПСИХОЛОГИИ.
19. РЕФЕРАТ ДИСЕРТАЦІЇ на здобуття наукового ступеня кандидата юридичних наук КИЇВ ~
20. НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Гуманитарный факультет Ка

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе