Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц. Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов. Матрицы обозначают прописными (заглавными) буквами A, B, C, …, элементы матрицы – строчными буквами с двойной индексацией aij, где i - номер строки, j - номер столбца: Виды матриц:1) Матрица-строка 2) Матрица-столбец: 3) Нулевая матрица 4) Квадратная матрица 5) Диагональная матрица 6) Единичная матрица Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A на числоназывается матрица , все элементы которой перемножаются на это число Сложение матриц. Суммой матриц и одинакового размера называется матрица , элементы которой Умножение матриц. Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй (условие согласованности). Транспонирование матриц. Транспонирование матрицы есть переход матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. 2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца. Определители и их свойства. Понятие определителя - число, характеризующее квадратную матрицу, необходимо для решения систем линейных алгебраических уравнений., , .1) Определителем матицы 1-го порядка , называется элемент : ;2)Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:. 3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле: . Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием -й строки и -го столбца. Определение. Алгебраическим дополнением элемента матрицы -го порядка называется минор, взятый со знаком :. Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения( формула разлож опр по строкам и столбцам) Свойства определителей
3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления. Обратная матрица ( только для квадратных)Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: . Формула обратной матрицы , где - присоединенная матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов транспонированной |
матрицы, т.е. . .Алгоритм вычисления обратной матрицы.
4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример. Ранг матрицы. Линейная независимость строк матрицыОпределение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Элементарные преобразования матрицы: Отбрасывание нулевой строки (столбца).Умножение всех элементов строки (столбца) на число .Изменение порядка строк (столбцов) матрицы. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число. Транспонирование матрицы. Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы. 5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы. Линейная независимость строк матрицы Определение. Строка называется линейной комбинацией строк матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа (любые числа): . Определение. Строки матрицы называются линейно зависимыми, если существует такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: , где . (1.1) Линейная зависимость строк матрицы обозначает, что хотя бы 1 строка матрицы является линейной комбинацией остальных. Определение. Если линейная комбинация строк (1.1) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты , то строки называются линейно независимыми. Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные строки (столбцы). Теорема играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности, при исследовании систем линейных уравнений. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), n-мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе. Вектором назевается направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе). Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка АВ. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными. Если начало и конец вектора совпадают (), то такой вектор называется нулевым и обозначается = . Произведением вектора на число : Будет вектор, имеющий длину Противоположным вектором - называется произведение вектора - на число (-1), т.е. -=. Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора , при условии, что начало совпадает с концом . (правило треугольников). Разностью двух векторов и называется сумма вектора и Определение: Скалярным произведение двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: |
Размеренность и базис векторного пространства Определение. размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы. Определитель = 0 - ФормулаФробениуса Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений (например, одно решение). На основании определения равенства матриц начальную систему можно записать в виде: . Теорема Крамера. если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: , - формула Крамера. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса. Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных. Системы линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы: . Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:Теорема 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. , то система имеет единственное решение.Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. , то система является неопределенной и имеет бесконечное множество решений. Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х=А-1В. Рассм систему линейных ур-ний состоящую из п-ур-ний и п неизвестных. Если матрица системы невырожденная (detA ≠0), то систему можно решить. система в матричной форме имеет вид Ах=В, где А- матрица системы. Х-матрица неизвестных, В-матрица-столбец свободных членов. Т к detA ≠0, то сущ. обратная матрица А-1: А-1(АХ)=А-1В; А-1(АХ)=(А-1А)Х=ЕХ=Х;Х=А-1В Теорема 6.3 о законе инерции квадратичных форм. Ранг, положительный и отрицательный индексы, а также сигнатура вещественной квадратичной формы не зависят от действительной невырожденной линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду. Количество положительных (отрицательных) коэффициентов в каноническом виде (6.18) называется положительным (отрицательным) индексом квадратичной формы, а разность положительного и отрицательного индексов называется сигнатурой квадратичной формы. Знакоопределенность вещественных квадратичных формВещественная квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если для любых . Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы называются определенными (знакоопределенными). Если неравенство выполняется для любых значений , то квадратичная форма называетсянеотрицательно (неположительно) определенной. В этом случае говорят, что квадратичная форма полуопределенная. Если же квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то она называется неопределенной (знакопеременной). Определенность, полуопределенность и неопределенность квадратичных форм обозначается неравенствами соотв. Поскольку каждой вещественной квадратичной форме соответствует ее матрица, то эта терминология переносится на действительные симметрические матрицы. Например, симметрическая матрица называется положительно определенной, если такой является квадратичная форма . Определенность, полуопределенность и неопределенность симметрической матрицы обозначаются неравенствами соответственно. |