Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Задачи по комбинаторике
Решение задачи:
В современном латинском алфавите 26 букв. На первом месте всегда должна стоять одна буква, следовательно, существует только один способ занять первое место.
1) На оставшиеся два места может претендовать любая из 26-ти букв, т.к. буквы в позывных могут повторяться. Используя принцип умножения, получаем произведение: 1= 262 = 676.
2) На второе место можно поставить любую из 25 букв, т.к. в позывных буквы не должны повторяться. На третье место – 24 буквы, на четвертое место – 23 буквы. Используя принцип умножения, получаем произведение: 1.
Ответ: 1) 262; 2) =13 800.
Решение задачи:
Действие, которое должно быть выполнено особым способом, необходимо выполнять первым. Итак, на место водителя можно посадить только одного из трех человек (умеющего водить машину), т.е. существуют 3 способа занять первое место. Второе место может занять любой из 6 человек, оставшихся после того, как место водителя будет занято. И т.д. Используя принцип умножения, получаем произведение: 3 = 36! = 3P6.
Ответ: 3P6 = 36!.
Решение задачи:
Необходимо посчитать, сколько существует трехзначных, четырехзначных и пятизначных чисел, составленных из этих пяти цифр. Трехзначных чисел – 543 = А , четырехзначных – 5432 = А, пятизначных – 54321 = А.
Используем принцип сложения: А+ А + А = 60 + 120 + 120 = 300.
Ответ: 300.
Решение задачи:
Первое письмо имеет n1=2 альтернативы – либо его относит к адресату первый почтальон, либо второй. Для второго письма также есть n2=2 альтернативы и т.д., т.е. n1=n2=…=n10=2. Следовательно, в силу правила умножения общее число способов распределений писем между двумя почтальонами равно
.
Ответ: 1024.
Решение задачи:
Деталь 1-го сорта может быть извлечена n1=30 способами, 2-го сорта – n2=50 способами. По правилу суммы существует n = n1+n2=30+50=80 способов извлечения одной детали 1-го или 2-го сорта.
Ответ: 80.
II. Использование формул для перестановок и размещений
а) из восьми букв, б) из семи букв, в) из трех букв?
Решение задачи:
В слове фрагмент 8 букв алфавита.
а) Всевозможные перестановки 8 букв по восьми местам:
А = =P8.
б) Размещения 8 букв по 7 местам: А.
в) Размещения 8 букв по 3 местам: А.
Ответ: P8, А, А.
Решение задачи:
а) Всего существует 10 цифр. На первом месте не может быть цифры 0, поэтому способов поставить цифру на первое место существует 9. На втором месте может стоять любая из 10-ти цифр (цифры могут повторяться), т.е. способов поставить цифру на второе место существует 10, и т.д. Используя принцип умножения, получаем: 910101010 = 9104.
б) На первом месте может стоять любая из 26 букв. На остальных местах - любые из девяти цифр, причем они могут повторяться. Используя принцип умножения, получаем: 269999=2694.
Ответ: 9104, 2694.
Решение задачи:
Решение задачи:
(а) Книги, которые должны стоять рядом, считаем за одну книгу. Тогда нужно расставить 6 книг по шести местам. Применяя формулу перестановок, получаем: P6 = 6!. Мы учли перестановки шести книг, не учитывая порядок внутри тех книг, которые мы посчитали за одну. А так как две книги по двум местам можно разместить только двумя способами (P2), то получаем окончательно следующее произведение: P2P6 =2 6! = 1440.
(б) Способов переставить 7 книг существует P7= 7!. Из них 26! способов поставить определенные книги вместе. Следовательно, способов поставить книги так, чтобы 2 заданные книги не стояли вместе существует: 7! – 26!.
Ответ: 1440; 7! – 26!
Решение задачи:
Старостой может быть выбран любой из 30 студентов, заместителем – любой из оставшихся 29, а профоргом – любой из оставшихся 28 студентов, т.е. n1=30, n2=29, n3=28. По правилу умножения общее число способов выбора старосты, его заместителя и профорга равно n = n1n2n3=302928=24360.
Второй способ – найти число размещений из 30 элементов по 3.
Ответ: 24360.
III. Использование формул для сочетаний
Решение задачи:
Для решения задачи необходимо использовать формулу для сочетания элементов, т.к. здесь не имеет значения порядок элементов в выборке. Запишем формулу для сочетаний и произведем вычисления:
С = .
Ответ: 56.
Решение задачи:
Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других только составом пар участников, т.е. представляет собой сочетания из 16 элементов по 2. Их число равно
Ответ: 120.
Решение задачи:
Из 20-ти элементов необходимо сделать три выборки, причем порядок внутри выборок значения не имеет. Поэтому используем формулу для сочетаний. Чтобы выбрать из 20-ти элементов 3, существует С способов. Остается 17 элементов, из которых выбирается 5 элементов - С способами. Остается 12 элементов, из которых выбирается 12 элементов. Это можно сделать С= 1, т.е. одним способом. Используя принцип произведения, получаем: С С С.
Ответ: С С С.
Решение задачи:
Ответ: 105.
IV. Использование формул для перестановок, сочетаний и размещений
Решение задачи:
А.
А.
3. На первое место поставить букву с можно только одним способом. На последнее место поставить букву р можно тоже только одним способом. Остаются 4 буквы, которые необходимо разместить по двум местам:
А.
Ответ: 360, 120, 12.
Решение задачи:
В слове уравнение 3 согласных и 4 гласных буквы русского алфавита. Чтобы посчитать количество требуемых пятибуквенных слов, необходимо посчитать количество сочетаний 3 согласных из 3-х заданных и двух гласных из четырех заданных: С и С. После того, как 5 букв выбраны, необходимо посчитать все возможные перестановки этих букв: ССP5.
Ответ: ССP5.
V. На использование формул для перестановок и сочетаний с повторениям
Решение задачи:
В слове перестановка 12 букв, из них повторяются 2 буквы е и две буквы а. Число перестановок из 12 элементов вычисляется с помощью формулы P12. Но среди этих перестановок будут повторяющиеся, в которых буквы е или а меняются местами. Чтобы не считать такие перестановки, используется формула для перестановок с повторениями: = .
Чтобы посчитать количество перестановок, начинающихся на букву п и оканчивающихся на букву а, необходимо исключить эти элементы и места, на которых они стоят из рассмотрения. Остается 10 букв и десять мест, причем остается только одна повторяющаяся буква е. Применяем формулу для перестановок с повторениями:
= .
Ответ: , .
Решение задачи:
Существует шесть мест, на которые нужно разместить 30 букв.
1. Буквы не должны повторяться. Используя принцип умножения, получаем произведение: . Такое произведение достаточно сложно использовать в дальнейшем, и информация задачи представлена в ней в скрытой форме. В комбинаторике используют для таких произведений формулу размещений. Чтобы получить формулу размещений, умножим это произведение на единицу, которую представим следующим образом: 1 = = = = = А формула для размещений.
2. Буквы повторяются. Используя принцип умножения, получаем: 303030303030 = 306 = Ã – формула для размещений с повторениями.
Ответ: 1) А; 2) Ã.