Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
21. Метод Эйлера.
Простейшим ЧМ решения задачи Коши для обыкновенного ДУ является метод Эйлера. Он основан на разложении искомой ф-ии в ряд тейлора в окрестностях узлов в котором отбрасываются все члены, содержащие производные 2 и более высоких порядков. Запишем это разложение в виде:
Заменяем значения ф-ии в узлах значениями сеточной ф-ии Кроме того, используя уравнение полагаем
Для простоты будем считать узлы равностоящими, т.е.
Учитывая введенные обозначения и пренебрегая членами порядка из (16) получаем
Полагая i=0 с помощью соотношения находим значение сеточной ф-ии при
Требуемое здесь значение задано начальным условием . Т.е. .
Аналогично могут быть найдены значения сеточной ф-ии в других узлах:
…………
Построенный алгоритм называется методом Эйлера. Разностная схема этого метода представлена соотношениями (17). Они имеют вид рекуррентных формул, с помощью которых значение сеточной ф-ии в любом узле вычисляется по ее значению в предыдущем узле . В связи с этим, этот метод относится к одношаговым.
Задаются начальные значения а также величина шага и количество расчетных точек . Решение получается в узлах Вывод результатов предусмотрен на каждом шаге. Если найденные значения необходимо хранить в памяти машины, то следует ввести массив значений .
Здесь изображены первые 2 шага, т.е. показано вычисление сеточной ф-ии в точках Интегральные кривые 0,1,2 описывают точные решения ур-ния (9). При этом кривая 0 соответствует точному решению задачи коши (9), (10), т.к. она проходит ч/з начальную точку Точки получены в результате численного решения задачи коши этим методом. Их отклонения от кривой 0 характеризуют погрешность метода. Фактически, при выполнении каждого шага, мы попадаем на другую интегральную кривую.
Погрешность метода. Погрешность в точке равна разности м/у значением сеточной ф-ии и точным значением искомой ф-ии Эта погрешность состоит из 2х частей:
. -определяется погрешностью начального значения и тогда и следовательно равна 0 та часть погрешности решения, которая связана с . Погрешность обусловлена отброшенными членами в разложении в ряд тейлора (16). На каждом шаге эта погрешность имеет порядок т.к. именно члены такого порядка отброшены в (16). При нахождении решения в точке отстоящей на конечном расстоянии от точки погрешность суммируется. И равна Учтем что то выражение для суммарной погрешности:
Т.о. мы показали что метод Эйлера имеет 1й порядок точности.