Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Контрольная работа №2
Задание №1
Комитетом по физической культуре и спорту были проведены исследования спортсменов, занимающихся стрельбой. Было отобрано 200 стрелков из 4000 для определения среднего количества патронов, необходимых одному спортсмену для одной тренировки. Результаты обследования представлены в таблице:
|
Число Патронов (шт.) |
Менее 200 |
200-300 |
300-400 |
400-500 |
500-600 |
600-700 |
Более 700 |
Итого |
|
Число спортсменов |
4 |
20 |
57 |
65 |
31 |
15 |
8 |
200 |
|
Х |
150 |
250 |
350 |
450 |
550 |
650 |
750 |
Найти: а) границы, в которых с вероятность 0,95 заключено среднее число патронов, необходимых для тренировки одного спортсмена;
б) вероятность того, что доля спортсменов, расходующих более 500 патронов за тренировку, отличается от доли таких спортсменов в выборке не более чем на 5% (по абсолютной величине);
в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего числа патронов можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
Решение:
В крайних интервалах примем ширину интервалов равной 100, как и у внутренних интервалов. Обозначим признак «число спортсменов» через Х. За значения признака примем середины интервалов, значения признака приведены в третьей строке. Объем вариационного ряда равен n=200, и полный объем данных N=4000.
Вычислим выборочную среднюю и исправленную выборочную дисперсию для распределения величины Х.
Так как выборка бесповторная, то среднее квадратическое отклонение генеральной средней вычисляется по формуле:
Получим . Отсюда
И получим неравенство для среднего числа патронов
420,52M(X) 455.48
2) Выборочная доля спортсменов, у которых число патронов более 500 по таблице равна (31+15+8)/200=0.27. Найдем вероятность того, что доля таких спортсменов отличается не более чем на 5% (0,05).
Тогда t=1,61
По таблице функции Лапласа находим , что при t=1,61 P=0,8923.
Таким образом, вероятность равна 989,23%.
При бесповторной выборке для определения необходимого объема выборки, при которой с вероятностью Р=0,9876 можно утверждать, что средняя отличается от математического ожидания по абсолютной величине меньше чем на =17,48 используется формула:
По таблице функции Лапласа находим, что при Р =0,9876 t=2,5 и, следовательно вычисляем необходимый объем выборки по приведенной формуле: n341.
Задание №2
По данным задачи 1, используя критерий - Пирсона, при уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х –число патронов – распределена нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Решение:
Критерий Пирсона есть критерий проверки гипотезы о предлагаемом законе неизвестного распределения. В последующей таблице приводятся эмпирические частоты, рассчитываются теоретические вероятности, исходя из предположения о нормальности распределения с параметрами, рассчитанными в задаче 1.
В третьем столбце приводятся теоретические частоты, для чего вероятность попадания в данный интервал для величин, имеющих нормальное распределение, умножаются на количество данных. В последних столбцах рассчитаны вспомогательные величины.
Для расчета вероятностей используем таблицы функции Лапласа.
Например,
|
Интервал |
|||
|
100-200 |
4 |
5,63 |
0,67 |
|
200-300 |
20 |
21,98 |
0,20 |
|
300-400 |
57 |
48,35 |
1,31 |
|
400-500 |
65 |
60,06 |
0,37 |
|
500-600 |
31 |
42,16 |
4,01 |
|
600-700 |
15 |
16,70 |
0,19 |
|
700-800 |
8 |
3,73 |
2,28 |
|
9,04 |
|||
|
Теория |
9,49 |
Вычисляем величину
В рассматриваемом случае статистика
=9,81.
Так как число интервалов равно 7, то число степеней свободы в данном случае равно 7-2-1=4. Соответствующее критическое значение статистики на уровне значимости 0,05 равно 9,49. Так как <9,49, то гипотеза о нормальности данного распределения не отвергается. Таким образом, случайная величина – число спортсменов может быть распределена по нормальному закону.
Для наглядности построим гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Так как длинна интервала равна 100, эмпирические частоты умножаем на 100, график нормальной кривой строим по точкам.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
─ Гистограмма |
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Норм.распр. |
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
800 |
|
|
|
Задание №3
В таблице приведено распределение 200 драгоценных изделий по количеству примесей в них Х(%) и стоимости Y(тыс.руб.):
|
Y X |
3-9 |
9-15 |
15-21 |
21-27 |
27-33 |
Более 33 |
Итого |
|
20-30 |
2 |
5 |
2 |
9 |
|||
|
30-40 |
4 |
8 |
4 |
3 |
19 |
||
|
40-50 |
4 |
10 |
20 |
10 |
44 |
||
|
50-60 |
5 |
36 |
23 |
6 |
70 |
||
|
60-70 |
12 |
11 |
11 |
34 |
|||
|
70-80 |
6 |
10 |
16 |
||||
|
80-90 |
8 |
8 |
|||||
|
Итого |
14 |
27 |
55 |
54 |
35 |
15 |
200 |
Необходимо:
Решение:
Составим таблицу для расчета вспомогательных величин, через которое выражается средние и дисперсии случайных величин Х и Y.
Вычислим групповые средние.
В 8 и 9 колонках приведены следующие величины:
В 10 и 11 строках приведены следующие величины:
Для средних величин получаем значения по формулам:
=54,05
=21,42
Выборочная дисперсия переменной Х вычисляется по формуле:
=184,6. Выборочная дисперсия переменнойY вычисляется по формуле:
=62,46. В ячейке (11 строка, 9 колонка) вычислено значение =1077,90.
Выборочный корреляционный момент вычисляется по формуле:
=-79,85.
Приведем всю построенную таблицу:
|
Y |
3-9 |
9-15 |
15-21 |
21-27 |
27-33 |
33-39 |
Сумма |
Групповая средняя |
|
X |
||||||||
|
6 |
12 |
18 |
24 |
30 |
36 |
|||
|
25 |
2 |
5 |
2 |
9 |
30 |
|||
|
35 |
4 |
8 |
4 |
3 |
19 |
25,89 |
||
|
45 |
4 |
10 |
20 |
10 |
44 |
28,91 |
||
|
55 |
5 |
36 |
23 |
6 |
70 |
20,57 |
||
|
65 |
12 |
11 |
11 |
34 |
17,82 |
|||
|
75 |
6 |
10 |
16 |
9,75 |
||||
|
85 |
8 |
8 |
6 |
|||||
|
Сумма |
14 |
27 |
55 |
54 |
35 |
15 |
200 |
|
|
средняя |
80,71 |
66,85 |
54,82 |
51,11 |
42,71 |
40,33 |
1077,9 |
|
|
54,05 |
184,6 |
µ= |
-79,85 |
|||||
|
21,42 |
62,46 |
|||||||
|
Yx=ByxX+D1 |
Xy=BxyY+D2 |
|||||||
|
Byx |
D1 |
Bxy |
D2 |
Xsr |
Ysr |
r |
t |
|
|
-0,43 |
44,8 |
-1,28 |
81,43 |
54,05 |
21,42 |
-0,74 |
15,65 |
Уравнения регрессий имеют вид:
5
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3