Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Фізичний практикум . Вступ
Лабораторний практикум із курсу загальної фізики передбачає виконання циклів лабораторних робіт із механіки (N 1, 2, 3, 4, 40, 41, 43), термодинаміки та статистичнї фізики (N 11, 12, 13, 14, 15 ), електроомагнетизму ( 21, 22, 23, 24, 25, 27 ), оптики (N 50, 51, 52, 53, 55, 56, 64), атомної фізики (N 70, 71, 72) та фізики твердого тіла (N 80, 81, 82, 83, 84). У лабораторній роботі N 96 вивчаються статистичні закономірності фізичних явищ на прикладі вивчення радіоактивного фону, створюваного вторинним космічним випромінюванням та іншими джерелами. Перш за все відзначимо, що цей практикум містить роботи, в яких визначаються і фундаментальні фізичні константи, такі як стала Планка (робота N 64), питомий заряд електрона (робота N 32 ), та інші.
Зрозуміло, що такі роботи на час відкриття фізичних законів були науково-дослідницькими, а сьогодні вони є складовою частиною навчально-дослідницьких робіт студентів. Як у будь-якому досліді, результати та висновки лабораторних робіт повинні мати певний рівень наукового обґрунтування. Інакше така робота не має практичної цінності. Такий підхід до лабораторного практикуму закладає в інтелект майбутнього інженера певні основи дослідника-експериментатора, творчої інженерної наснаги й допитливості.
Наявність багаточисельних похибок, що існують за межами нашого бажання та вміння, вимагає певних наукових підходів до обробки результатів вимірювань із метою отримання їх надійної оцінки. Завдання вступу до фізичного практикуму полягає в тому, щоб навчити студента передбачати та виключати певний клас похибок та обґрунтовувати отримані результати досліджень.
І.Фізичні вимірювання та похибки.
Фізичні вимірювання поділяються загалом на прямі та посередні (непрямі).
Прямі вимірювання вимірювання фізичних величин за допомогою приладів, що дозволяють безпосередньо знімати значення вимірюваної величини зі шкали приладу. Наприклад, масу вимірюють терезами, довжину - лінійкою, штангенциркулем, час - секундоміром та інше.
Посередні вимірювання - визначення значення фізичної величини через перерахунок значень відповідних величин, що допускають прямі вимірювання. Наприклад, вимірювання об'єму циліндра через значення діаметра основи d та висоту h, опору провідника через значення струму І і прикладеної напруги U та інше.
Якість будь-якого вимірювання визначається його точністю, що фактично задає межі оцінки. У прямих вимірюваннях похибка визначається через точність приладу, метод вимірювання, а також повторюваністю результатів вимірювання. У
посередніх вимірюваннях похибка визначається точністю результатів прямих вимірювань та структурою формул їх перерахунку у результат посереднього вимірювання. Похибки вимірювання поділяються на випадкові та систематичні.
Випадкові похибки - це похибки, що змінюють свою величину та знак від одного вимірювання до другого. Вони пов'язані із суб'єктом дослідника та властивостями об'єкта вимірювання. Наприклад, значення довжини предмета, що вимірюється, можна знімати, дивлячись на шкалу лінійки зліва чи праворуч від поділки, що співпадає з границею предмета. У всіх наведених прикладах результат вимірювання довжини предмету буде різний і величина похибки пропорційна товщині лінійки. Виключення випадкових похибок можливе, якщо у вимірюваннях є повторюваність - довжина вимірюється декілька разів. При цьому, якщо за результат вимірювання приймається середньоарифметичне значення, то в сумі значень повторюваних вимірювань випадкові похибки взаємно знищуються.
Систематичні похибки похибки, що зберігають в експерименті свою величину й знак. Вони пов'язані з похибками приладів та з методикою постановки експерименту, коли не враховуються певні характеристики досліджуваного явища. Наприклад, помилки при градуюванні шкали приладу, вимірювання приладами за граничними межами їх застосування та інше. Оцінюючи характер випадкових та систематичних похибок можна зробити такий висновок: при наявності випадкових похибок результати вимірювання коливаються біля істинного значення вимірюваної величини, а при наявності систематичних похибок - біля значення зміщеного на величину систематичної похибки. При обробці вимірювань у лабораторному практикумі систематичною похибкою є точність вимірювання приладом: це точність, що задається за документацією, або ми її визначаємо величиною ціни поділки. Наприклад, якщо на дискові надписом задана його маса: m=1650 г, то точність вимірювання становить 1 грам.
На сьогоднішній день існують певні теоретичні підходи до статистичної обробки результатів вимірювань, за допомогою яких оцінка результатів вимірювання враховує відповідний баланс випадкових та систематичних похибок. Цей баланс визначає міру надійності отриманих результатів та висновків. В обробці результатів вимірювання у лабораторному практикумі застосовується статистична теорія Ст'юдента, що охоплює масиви вимірювань об'ємом до 15 повторювань. Згідно цієї теорії результат вимірювання подається у вигляді
А = А, при Р = 0.95. (1)
В (1) - середньоарифметичне значення шуканої величини, А границя довірчого інтервалу, Р імовірність того, що істинне значення величини А міститься у довірчому інтервалі (-А, +А). При записі виміряного значення А, останньою повинна записуватися цифра того десяткового розряду, який використано при записі границі довірчого інтервалу. Це правило слід застосовувати і в тому випадку коли деякі цифри є нулями. Наприклад, в результаті m= 0.900 0.004 в числі 0.900 потрібно писати нулі. Запис 0.9 означав би, що про наступні значущі цифри нічого невідомо, хоч вимірювання показали, що вони рівні нулю. Аналогічно, якщо m=5.3 кг (із точністю до десятих кг), то запис m=5300 г означає, що вимірювання проведені з точністю до грамів. Якщо ж потрібно записати масу в грамах, то це потрібно зробити так: m=5.3 103 г.
При записі границі довірчого інтервалу, її значення слід округляти до двох значущих, якщо перша з них одиниця, і до одної значущої цифри у всіх інших випадках. Так, правильно писати 3, 0.2, 0.08, 0.14 і не слід писати 3.2, 0.23, 0.084. Не слід округляти 0.14 до 0.1. Пояснимо це правило. Похибку експерименту рідко вдається визначити з точністю менше 20% . Якщо похибку визначено як 0.14, то округлення 0.14 до 0.1 змінює величину похибки на 40%, в той час як округлення чисел 0.26 і 3.4 до 0.3 змінює похибку менше ніж на 15%, що не дуже суттєво.
2. Зображення експериментальних значень
на графіках та проведення кривих через експериментальні точки.
a).Експериментальні точки у системі координат .
Графіки, звичайно, будують на міліметровому папері або папір спеціально для цього розграфлюють (наносять сітку) . Виставляючи осі координат, розраховують масштаб, вказують, які фізичні величини їм відповідають та визначають і проставляють ціну поділок. Масштаб повинен відповідати 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 5, 10 і т.п. одиницям вимірюваної величини. Початок відліку по осях координат повинен бути таким, щоб точки розмістились на всій координатній площині.
Точки, одержані в різних умовах, наприклад, при нагріванні і при охолодженні зразка потрібно позначати різними символами.
Якщо відомі випадкові похибки (границі довірчих інтервалів) виміряних величин по осях, то точку зображують у вигляді хреста, причому піврозмір хреста повинен у відповідному масштабі дорівнювати величині цієї похибки . Після нанесення експериментальних точок на координатну площину приступають до побудови графіка.
б).Проведення кривих через експериментальні точки.
Математичне правило проведення кривих через експериментальні точки полягає в наступному. Якщо тип кривої (пряма, коло, парабола та ін.) з тих чи інших міркувань (наприклад, теоретичних) вибрано, то параметри кривої повинні бути вибрані так, щоб сума квадратів відхилень від неї всіх експериментальних точок була найменшою (основа методу "найменших квадратів", який буде розглянуто нижче). Використання цього правила на практиці пов'язане з певними труднощами, але при певному досвіді, графічно проведені криві самі собою виявляються оптимальними.
Необхідно пам'ятати, що при проведенні кривих на "око" оптимальною є пряма лінія. Тому наявну залежність між виміряними величинами слід перетворити в лінійну, тобто провести лінеаризацію залежності. Наприклад, залежність опору напівпровідника від температури є експоненціальною: . Утворити з цієї залежності лінійну можна у такий спосіб. Якщо позначимо y=lnR, , то маємо у=а + b x, де а=lnA, . Тепер можна побудувати графік лінійної залежності.
Наведений приклад є логарифмічною ліанеризацією залежностей величин. Існують і інші методи. Наприклад, лінеаризацію квадратичної залежності довжини математичного маятника L та періоду коливань математичного маятника Т в лабораторній роботі № 40 можна провести у такий спосіб Y=42L, X=T2, b=g, де g - прискорення тяжіння Землі.
В інших випадках через точки завжди проводять найпростішу криву так, щоб експериментальні дані відступали від неї (в 2/3 випадків) не більше ніж на величину границі довірчого інтервалу. Якщо залежність є лінійною, то на графіку можна визначити похибки параметрів прямої а, b.
Щоб знайти похибку у визначенні параметру а потрібно перемістити пряму паралельно самій собі вниз поки вище від неї не виявиться вдвоє більше точок ніж знизу, а потім змістити її догори, доки знизу не виявиться вдвоє більше точок ніж зверху. Відстань у між цими положеннями прямої вздовж осі ОУ визначає похибку а:
,
де n- повне число точок на графіку.
Для визначення похибки b параметру b робочу ділянку осі ОХ (де розташовані експериментальні точки) ділимо на три рівні частини. Середня частина з роботи виключається. Для визначення b пряма повертається так, щоб на лівій ділянці вище неї стало вдвоє більше точок ніж під нею, а на лівій ділянці - навпаки. За цим пряма повертається так, щоб на лівій ділянці 2/3 точок лежали нижче прямої, а на правій - вище неї. У цих двох випадках визначаємо відповідні кутові величини b1, b2 та їх різницю =b1- b2. Тепер .
2. Статистична обробка масиву результатів N прямих вимірювань.
1. За істинне значення фізичної величини X приймається середньоарифметичне значення N вимірювань
(2)
2. Визначається дисперсія величини Х:
(3)
3. Визначається середньоквадратичне відхилення результатів вимірювання від середнього значення :
(4)
4. Визначається границя довірчого інтервалу X без врахування систематичної похибки (точніcть приладу, яким вимірюється Х)
, (5)
де ZN,Р - табличний коефіцієнт Сть'юдента, для числа вимірювання N та ймовірності P.
5. Визначається границя довірчого інтервалу X при заданій систематичній похибці Х (точність приладу, яким вимірюється Х):
Коефіцієнт Ст'юдента визначається з Tаблиці 1 за заданими значеннями N та P:
Таблиця І.Коефіцієнт Ст'юдента для ймовірності
Р = 0.9; 0.95; 0.99
|
N |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
ZN,0.9 |
2.92 |
2.35 |
2.13 |
2.02 |
1.94 |
1.90 |
1.86 |
1.83 |
1.81 |
1.80 |
|
ZN,0.95 |
4.3 |
3.18 |
2.78 |
2.57 |
2.45 |
2.36 |
2.31 |
2.26 |
2.23 |
2.2 |
|
ZN,0.99 |
9.93 |
5.84 |
4.06 |
4.03 |
7.71 |
3.50 |
3.36 |
3.25 |
3.17 |
3.11 |
Х= Х, P=0,95.
3. Обробка результатів експерименту при посередніх вимірюваннях.
Нехай шукана фізична величина А визначається функціональною залежністю від k параметрів Хі
А = f(X1,X2,...,Xk). (7)
Спрощена методика статистичної обробки експерименту при визначенні фізичної величини А, що є функцією k величин Хі, які допускають прямі вимірювання й обробляються за методикою п.ІІ, для однакового значення ймовірності Р, полягає у наступному.
1. За істинне значення величини А приймається "середньоарифметичне"
(8)
2. Границя довірчого інтервалу визначається так:
(9)
У цьому виразі частинна похідна, обчислена для середніх значень параметрів , помножена на границю хі довірчого інтервалу величини Xі. Остаточно результат вимірювання записується, як і для прямих вимірювань, у вигляді
A= A, P=0,95. (10)
Метод найменших квадратів
Нехай ми маємо масив N виміряних у досліді значень величин X,Y. Покладемо, що зв'язок X та Y описується у теорії лінійною залежністю
Y=f(X,а,b), (11)
де а та b параметри зв'язку.
Метод найменших квадратів виходить із того, що знайдені середні значення параметрів у (11) повинні забезпечити мінімум відхилення теоретичного значення Y(Xі) від експериментального значення Yі по всіх N точках Xі одночасно, тобто функціонал
. (12)
повинен мати мінімум по параметрах а та b.
Це означає, що величини можна визначити із системи рівнянь
. (13)
Вираз (13) у явному вигляді представляє систему двох рівнянь для визначення двох невідомих . Якщо б залежність (10) містила не два, а К параметрів, то у виразі (13) ми мали б відповідно систему К рівнянь для визначення К невідомих.
Нехай залежність (10) задається лінійною функцією Y=a+bX. Диференціювання Q по а та b дає
. (14)
Якщо в (14) розкрити дужки, то одержимо
. (15).
Якщо в (15) ліві частини поділити на число вимірювань N і ввести середні значення, то одержимо два лінійних рівняння для :
(16).
, , .
Розв'язок цих рівнянь дає:
, (17).
де
(18)
- коефіцієнт кореляції,
(19)
- дисперсії величин X та Y, а середні значення квадратів величин Х та Y визначаються так
, (20)
За величиною r 1. Якщо r>0, то Y зростаюча, а при r<0 - спадна функція X. Можна показати, що у (11) величина і при r=1 маємо Q=0, тобто експериментальні значення Yі співпадають із теорією. На практиці для встановлення лінійної залежності між відповідними величинами необхідно, щоб значення коефіцієнта r було більше 0.98.
. (21)
Остаточно результат вимірювання запишеться у вигляді
. (22)