Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Раздел 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Лекция 2.1.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ высших порядков. Понятие о краевых задачах. Некоторые приемы понижения порядка дифференциального уравнения.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения n-ого порядка.
Рассмотрим ДУ, разрешенное относительно старшей производной
y(n) = f(x, y, y', y'', …, y(n-1)) (1)
с начальными условиями
(2)
ТЕОРЕМА (существования и единственности решения задачи Коши). Если функция f(x, y, y', y'', …, y(n-1)) непрерывна в некоторой области GRn+1 и имеет в этой области непрерывные частные производные по переменным y, y', y'',…, y(n-1), то для любой точки (х0, у0, у'0, у0(n-1))G найдется , такое что на интервале (х0–, х0+) задача Коши (1)–(2) имеет, и притом единственное, решение.
Общим решением ДУ n-ого порядка называется множество решений, состоящее из всех без исключения его частных решений. Если выполнены условия теоремы существования и единственности решения, то общее решение уравнения зависит от n параметров, в качестве которых, например, могут быть выбраны начальные значения искомой функции и ее n –1 производных. В частности, общее решение ДУ второго порядка зависит от двух параметров, например, от у0 и у'0.
Геометрический смысл теоремы существования и единственности решения задачи Коши на примере ДУ 2-го порядка.
Задача Коши для ДУ второго порядка записывается следующим образом:
y''= f(x, y, y'),
y(х0) = у0,
y'(х0) = у'0.
При соблюдении условий теоремы через точку (х0, у0) плоскости проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения, угловой коэффициент касательной к которой в этой точке равен у'0.
Понятие о краевых задачах.
В рассматриваемой выше задаче Коши в качестве дополнительных условий задаются начальные условия, определяющие значения неизвестной функции и ее производных при фиксированном значении независимой переменной. Однако начальные условия не являются единственно возможной формой дополнительных условий, выделяющих определенное частное решение. Во многих случаях в качестве дополнительных условий задаются граничные условия, определяющие значения неизвестной функции и ее производных (или некоторых выражений от них) при нескольких фиксированных значениях независимой переменной. Задачу определения частного решения ДУ, удовлетворяющего заданным граничным условиям, будем называть краевой задачей.
К краевым задачам для ДУ сводятся многие физические задачи. Например, в задаче о движении материальной точки массы m под действием заданной силы F(t, r, r) часто требуется найти закон движения, если в начальный момент t = t0 точка находилась в положении, характеризуемом радиусом-вектором r0 , а в момент t = t1 должна попасть в точку r = r1.
Задача сводится к интегрированию ДУ движения
mr = F(t, r, r)
с краевыми условиями
r(t0) = ro , r(t1) = r1.
Заметим, что эта задача имеет, вообще говоря, не единственное решение: в одну и ту же точку тело может попасть по разным траекториям.
Простейшие случаи понижения порядка ДУ.
Рассмотрим простейшие случаи, в которых порядок ДУ может быть понижен. Ограничимся ДУ второго порядка.
Это простейший случай ДУ второго порядка. Интегрируя один раз, найдем
.
Интегрируя еще раз, найдем общее решение ДУ:
ПРИМЕР 1. Решить задачу Коши: y'' =sinx, y(0) = y'(0) = 0.
.
Из начального условия y'(0) = 0 С1=1.
.
Из начального условия y(0) = 0 С2=0.
Следовательно, решение задачи Коши таково: y = x – sinx.
Замена y' = z(х) сводит данное уравнение к ДУ первого порядка.
ПРИМЕР 2. Решить задачу Коши: y'' + (1/x)y' = 0, y(1) = 0, y'(1) = 1.
Сделаем замену неизвестной функции, полагая y' = z(х). Получим следующее ДУ первого порядка c разделяющимися переменными:
Проинтегрируем это уравнение:
.
Из начального условия y'(1) = z(1) =1 С1= 1. То есть y' = 1/х. Интегрируя еще раз, получим:
y = lnx + С2.
Из начального условия y(1) = 0 С2 = 0 и решение задачи Коши имеет вид:
y = lnx.
3) F(y, y', y'') = 0, то есть уравнение не содержит х.
В этом случае можно понизить порядок ДУ с помощью замены
y' = p(y).
Дифференцируя p(y) по правилам дифференцирования сложной функции, получим
.
ПРИМЕР 3. Решить задачу Коши: yy'' = 1 – (y')2, y(0) = 1, y'(0) = 2.
Пусть y' = p(y), тогда . Получим следующее ДУ первого порядка с разделяющимися переменными:
.
Если 1 – р2 0, то разделим переменные и проинтегрируем последнее уравнение:
, , , .
Воспользуемся начальными условиями
y(0) = 1, y'(0) = 2.
Тогда и .
Разделяя переменные в последнем ДУ, получим:
.
Далее из начальных условий найдем С2 = 2 и окончательное решение задачи Коши
.
4) F(х, y, y', y'') = 0, где .
В этом случае задача сводится к интегрированию ДУ первого порядка:
Ф(х, y, y') = С1.
ПРИМЕР 4. Решить задачу Коши: yy'' + (y')2 = x, y(0) = 1, y'(0) = 0.
Заметим, что уравнение можно переписать в виде:
.
Тогда
yy' = x2/2 + C1.
Интегрируя уравнение первого порядка, получим
y2 = x3/3 + 2C1x + C2.
Далее, используя начальные условия, получаем решение задачи Коши:
Лекция 2. 2.
Однородные и неоднородные линейные ДУ. Фундаментальная система решений линейного однородного ДУ и ее определитель Вронского. Теорема о структуре общего решения линейного однородного ДУ. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного ДУ. Метод вариаций произвольных постоянных (метод Лагранжа) для отыскания частного решения неоднородного ДУ.
Линейным ДУ n-ого порядка называется ДУ вида
y(n)+a1(x)y(n-1)+a2(x)y(n-2)+ ... +an(x)y = f(x). (1)
Будем предполагать, что ai(x) и f(x) определены и непрерывны на (,).
Если f(x) 0 на (, ), ДУ называется однородным, в противном случае – неоднородным.
Запишем уравнение в виде
y(n) = – a1(x)y(n-1) – a2(x)y(n-2) – ... – an(x)y + f(x) F(x, y, y', …, y(n – 1)).
Функция F(x, y, y', …, y(n – 1)) непрерывна вместе со своими ЧП по переменным y, y', …, y(n – 1) при х(, ) и любых y, y', …, y(n – 1). Для данного уравнения выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши, т.е. для любого хо(,) и любых начальных условий
y(хо) = уо, y'(хо) = у'о , y''(хо) = у''о …, y(n-1) (хо) = уо(n-1) (2)
решение задачи Коши существует и единственно на всем интервале (,).
Обозначим
Ly = f(x).
Принцип суперпозиции.
ТЕОРЕМА.
Пусть
f(x) = 1f1(x)+ 2 f2(x)+... + kfk(x).
Пусть уi – решение уравнения
Ly = fi(x) (i = 1, 2, ..., k ).
Тогда
у = 1у1+ 2у2+...+ kук –
решение уравнения
Ly = f(x).
Доказательство.
Воспользовавшись свойствами линейного оператора, получим
Ly = L(1у1+ 2у2+...+ kук) = 1Lу1+ 2Lу2+...+ kLук =
= 1f1(x)+ 2 f2(x)+... + kfk(x) = f(x).
СЛЕДСТВИЯ.
Доказательство.
Это частный случай, когда f(x) = f1(x) = f2(x) = … = fk(x) 0.
Доказательство.
Пусть у1(х) и у2(х) – решения ДУ
Ly = f(x),
т.е.
Ly1 f(x) и Ly2 f(x).
Тогда
L(y1– у2) = Ly1 – Ly2 f(x) – f(x) 0.
3. Если у(х) = u(x) + i v(x) – решение ДУ
Ly = f1(x) + i f2(x),
то u(x) = Rey и v(x) = Imy – решения соответственно уравнений
Ly = f1(x) и Ly = f2(x).
(В частности, если у(х) = u(x) + i v(x) – решение однородного ДУ, то его действительная и мнимая части также являются решениями однородного ДУ.)
Доказательство.
L(u+ i v) f1(x) + i f2(x), тогда и Lu+ i Lv f1(x) + i f2(x), откуда
Lu f1(x) , Lv f2(x).
ЗАМЕЧАНИЕ. Все перечисленные свойства характерны именно для линейного ДУ.
Однородное уравнение. Фундаментальная система решений.
Теперь мы займемся исследованием однородного уравнения
y(n)+a1(x)y(n-1)+a2(x)y(n-2)+ ... +an(x)y = 0. (3)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функции 1(х), 2(х), ... n(х) называются линейно зависимыми на некотором интервале (, ), если существуют числа с1, с2, ... , сn , хотя бы одно из которых отлично от нуля, такие что на (, )
с1 1(х) + с2 2(х)+ ... + сn n(х) 0 .
Если же последнее тождество возможно лишь при с1 = с2 = ... = сn = 0, то функции называются линейно независимыми на (, ).
ПРИМЕРЫ.
1 – sin2x – cos2x 0 на R
с1 sinx + с2 cosx 0
лишь при с1 = с2 = 0 (с1 tgx + с2 0 лишь при с1 = с2 = 0 ).
Рассмотрим функциональный определитель
Этот определитель называется определителем Вронского системы функций у1(х), у 2(х), ... у n(х).
ТЕОРЕМА 1. Если функции у1(х), у 2(х), ... у n(х) линейно зависимы на (, ), то W(x) 0 на (, ).
Доказательство. По определению линейной зависимости существуют числа с1, с2, ... , сn , хотя бы одно из которых отлично от нуля, такие что
с1 у 1(х)+ с2 у 2(х)+ ... + сn у n(х) 0 на (, ).
Дифференцируя n – 1 раз последнее тождество, получим систему n линейных алгебраических уравнений относительно с1, с2, …, сn
С1у1(x) + С2у2(x) +…+ Сnуn(x) 0
С1у1'(x) + С2у2'(x) +…+ Сnуn'(x) 0
……………………………………….
С1у1(n-1) (x) + С2у2(n-1) (x) +…+ Сnуn(n-1) (x) 0
Так как эта система имеет нетривиальное решение, то ее определитель W(x) 0 на (, ).
ТЕОРЕМА 2. Пусть функции у1(х), у 2(х), ... у n(х) – решения линейного однородного ДУ n-ого порядка (3). Если определитель Вронского этой совокупности функций W(x) = 0 хотя бы в одной точке на (, ), то функции линейно зависимы на (, ).
Доказательство. Пусть W(xо)=0. Составим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных с1, с2, ... , сn с определителем W(xо)
(4)
Так как W(xо) = 0, то эта система имеет нетривиальное решение с1, с2, ... , сn. Рассмотрим линейную комбинацию решений у1(х), у 2(х), ... у n(х) с этими числами
у (х) = с1у1(х) + с2у2(х) + … + сn уn(х).
Это решение ДУ (3), удовлетворяющее нулевым начальным условиям (4). Но нулевым начальным условиям удовлетворяет решение у*(х) 0. В силу теоремы единственности у (х) у*(х) 0 и
с1у1(х) + с2у2(х) + … + сn уn(х) 0,
где не все с1, с2, ... , сn равны нулю, т.е. функции линейно зависимы.
СЛЕДСТВИЕ ТЕОРЕМ 1, 2.
Пусть функции у1(х), у 2(х), ... у n(х) – решения линейного однородного ДУ n-ого порядка (3). Следствием предыдущих теорем является следующая альтернатива:
либо W(x) 0 на (, ) у1(х), у 2(х), ... у n(х) линейно зависимы,
либо W(x) 0 х(, ) у1(х), у 2(х), ... у n(х) линейно независимы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность из n линейно независимых решений линейного однородного ДУ (3) называется его фундаментальной системой решений.
ТЕОРЕМА 3.
Если у1(х), у 2(х), ... у n(х) – фундаментальная система решений, то любое частное решение ДУ (3) можно представить в виде
у (х) = с1у1(х) + с2у2(х) + … + сn уn(х).
Доказательство. Пусть у(х) – решение ДУ с начальными условиями
у(хо) = уо, y'(хо) = у'о , y''(хо) = у''о …, y(n-1) (хо) = уо(n-1).
Рассмотрим решение
у*(х) = с1у1(х) + с2у2(х) + … + сn уn(х).
Определим постоянные в этом выражении из условий
Так как функции у1(х), у2(х), …, уn(х) линейно независимы, то W(xо) 0 и линейная алгебраическая система относительно с1, с2, ... , сn имеет единственное решение. В силу единственности решения задачи Коши у*(х) у(х).
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения.
ТЕОРЕМА 4.
Если у1(х), у2(х), …, уn(х) – фундаментальная система решений однородного ДУ (3), а у* – какое-либо частное решение соответствующего ему неоднородного ДУ (1), то любое решение неоднородного ДУ может быть представлено в виде
у = С1у1 + С2у2 +…+ Сnуn + у*.
Доказательство.
Если у и у* – решения ДУ (1), то разность у – у* удовлетворяет соответствующему однородному ДУ и может быть представлена в виде у – у* = С1у1 + С2у2 +…+ Сnуn, откуда следует утверждение теоремы.
Метод вариации произвольной постоянной.
Пусть у1(х), у2(х), …, уn(х) – ФСР уравнения (3). Решения соответствующего неоднородного уравнения (1) будем искать в виде
у(х) = с1(х) у1(х) + с2(х) у2(х) + ... + сn(х) уn(х) .
Для определения производных от неизвестных функций сi(х) получим следующую систему
Получим эту систему на примере ДУ второго порядка.
y + a1(x)y+ a2(x)y = f(x)
Будем искать решение в виде
у(х) = с1(х) у1+ с2(х) у2.
Тогда
y'(х) = (с1'(х) у1+ с2'(х) у2) + (с1(х) у1'+ с2(х) у2')
Положим
(с1'(х) у1+ с2'(х) у2) = 0.
Тогда
y''(х) = (с1'(х) у1'+ с2'(х) у2') + (с1(х) у1''+ с2(х) у2'')
Подставляя у(х), y'(х), y''(х) в уравнение, получим:
(с1'(х)у1'+ с2'(х) у2') + (с1(х) у1''+ с2(х) у2'')+a1(x)(с1(х) у1'+с2(х) у2')+ a2(x)( с1(х) у1+ с2(х) у2) = f(x)
или
с1(х)( у1''+ a1(x) у1'+ a2(x)у1)+ с2(х)( у2''+ a1(x)у2'+ a2(x) у2)+ (с1'(х)у1'+ с2'(х) у2') = f(x)
откуда получаем второе уравнение системы для с1'(х), с2'(х):
с1'(х)у1'+ с2'(х) у2' = f(x)
ПРИМЕР. Найдем общее решение дифференциального уравнения:
.
Замена y' = u приводит к уравнению с разделяющимися переменными
общее решение которого имеет вид u = сx, откуда у= с1+с2x2 – общее решение однородного уравнения.
Покажем, что {1, x2} – ФСР. Для этого вычислим соответствующий определитель Вронского
если x 0.
2)Ищем общее решение неоднородного уравнения в виде
у = с1(х)+с2(х) x2.
Система для определения производных от неизвестных функций в данном случае имеет вид
,
откуда
Интегрируя последние выражения, получим
Итак, общее решение исходного уравнения имеет вид
у = c1+ c2x2+ х3/3.
Лекция 2.3.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение фундаментальной системы решений линейного однородного ДУ. Линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами. Метод подбора его частного решения.
Системы обыкновенных линейных ДУ с постоянными коэффициентами представляют собой большой и важный класс обыкновенных ДУ, решающихся до конца при помощи элементарных функций. Линейные ДУ с постоянными коэффициентами имеют многочисленные технические приложения, например, при расчете электрических цепей.
Построение фундаментальной системы решений однородного уравнения.
Рассмотрим уравнение
Ly y(n) + a1y(n-1) + ... +an-1y(1) + an y = 0 (1)
где у(х) – неизвестная функция независимой переменной х , а коэффициенты а1, а2, ... аn – действительные числа.
Будем искать решение уравнения (1) в виде:
(2)
где - параметр, тогда
(k =1, 2, ... , n). (3)
Подставляя (2) , (3) в уравнение (1), получим:
Сокращая на не обращающийся в нуль множитель получим так называемое характеристическое уравнение
n + а1 n -1 + ... + аn-1 + аn = 0. (4)
Это алгебраическое уравнение n-ой степени определяет те значения , при которых является решением исходного линейного ДУ с постоянными коэффициентами (1).Если все корни 1, 2, ... , n характеристического уравнения различны, то, тем самым, найдено n различных решений ДУ (1)
... , (5)
Покажем, что решения (5) образуют ФСР. Для этого вычислим соответствующий системе функций (5) определитель Вронского
так как определитель Вандермонда
Таким образом, функции (5) образуют ФСР и общее решение исходного уравнения (1) имеет вид
(6)
Так как коэффициенты характеристического уравнения предполагаются действительными, то его комплексные корни могут появляться лишь сопряженными парами. Комплексные решения
и ,
соответствующие паре комплексных сопряженных корней
1 = + i и 2 = – i, (7)
можно заменить двумя действительными решениями – действительной и мнимой частями одного из решений
или .
Таким образом, паре комплексно-сопряженных корней (7) соответствуют два действительных линейно-независимых решения
и
ПРИМЕРЫ.
Характеристическое уравнение
3 - =0
имеет корни 1 = 0, 2 = 1, 3 = –1. Им соответствует фундаментальная система решений:
1, ех, е –х.
Общее решение рассматриваемого уравнения имеет вид:
у = с1 + с2ех +с3е-х.
Характеристическое уравнение
2 + 4+5 =0
имеет пару комплексно-сопряженных корней –2 i. В качестве фундаментальной системы решений в этом случае можно взять функции
e–2xcosx, e–2xsinx.
Общее решение ДУ запишем в виде:
y = e–2x(c1cosx + c2sinx).
Случай кратных корней характеристического уравнения.
Если характеристическое уравнение (4) имеет кратные корни, то среди функций вида нельзя найти n различных решений уравнения (1). Для нахождения в этом случае решений другого вида можно воспользоваться следующими наводящими соображениями. Пусть 1 и 2 – два различных действительных корня характеристического уравнения (4), тогда линейная комбинация функций и
(8)
является решением уравнения (1).
Если теперь предположить, что при изменении коэффициентов многочлена (4) число 1 стремится к 2 , то это решение переходит в пределе в функцию , о которой естественно предположить, что она является решением уравнения (1) в случае, если 1 – двукратный корень уравнения (4). Аналогично мы приходим к догадке, что если – к-кратный корень уравнения (4) , то линейно-независимыми решениями уравнения (4) являются все функции
…, (9)
Если 1= +i и 2= – i – пара комплексно-сопряженных корней кратности k, то линейно-независимыми решениями уравнения (1) являются функции
,
ПРИМЕР. у(4)+2y+y=0.
Характеристическое уравнение
4 + 22 +1 =0
имеет двукратную пару комплексно-сопряженных корней i. ФСР в этом случае состоит из функций
cosx, xcosx, sinx, xsinx.
Неоднородное ДУ. Метод вариации произвольной постоянной.
Пусть построена ФСР однородного уравнения у1, у2, …, уn . Решения соответствующего неоднородного уравнения будем искать в виде
у(х) = с1(х) у1+ с2(х) у2+ ... + сn(х) уn .
Для определения производных от неизвестных функций сi(х) получим следующую систему
с1'(х) у1+ с2'(х) у2+ ... + сn' (х) уn = 0
с1'(х) у1'+ с2'(х) у2'+ ... + сn' (х) уn' = 0
……………………………………….
с1'(х) у1(n-1)+ с2'(х) у2 (n-1)+ ... + сn' (х) уn(n-1) = f(x).
ПРИМЕР.
Решить задачу Коши:
Характеристическое уравнение
2 +1 = 0
имеет чисто мнимые корни i. Фундаментальная система решений в этом случае
y1 = sinx, y2 = cosx.
Решение неоднородного уравнения ищем в виде
y = с1(х) sinx+ с2(х) cosx.
Для определения производных от неизвестных функций получим следующую систему алгебраических уравнений:
с1(х) sinx + с2(х) cosx = 0
с1(х) cosx - с2(х) sinx =1/cosx.
Ее решение: с1(х) =1, с2(х) = - ctgx. Интегрируя последние выражения, получим
с1(х) = х + с3, с2(х) = ln|cosx| + с4.
Общее решение уравнения имеет вид:
y = с3sinx + с4cosx + xsinx + ln|cosx|cosx.
Далее, используя начальные условия, находим решение задачи Коши:
y = (1 + ln|cosx|) cosx+xsinx.
Отыскание частного решения неоднородного ДУ методом подбора в случае специальной правой части уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
Ly = f(x).
Пусть где Pm(x) - многочлен степени m , 0 - комплексное число. Возможны два случая.
1) 0 не является корнем характеристического уравнения. В этом случае частное решение будем искать в виде
где Qm(x) – многочлен степени m с неопределенными коэффициентами.
2) 0 является корнем характеристического уравнения кратности r 1. В этом случае частное решение будем искать в виде
ПРИМЕР. y– 2y+y = 2ex – 5 + 3sinx
1) сначала построим фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения
y–2y+ y = 0.
2 – 2 + 1= 0 1=2=1, {ex, xex}– ФСР.
2)При подборе частного решения применим принцип суперпозиции.
z– 2z + z =3eix ,
мнимая часть решения которого будет решением нашего уравнения. Здесь 0 = i не является корнем характеристического уравнения, поэтому решение ищем в виде z =Аeix, находим А = 3/2i, следовательно
z = 3/2ieix= –3/2 sinx + i3/2 cosx,
откуда у3 = Imz =3/2 cosx
3)Общее решение исходного уравнения имеет вид
у = С1 ex + С2 xex + х2ex – 5+3/2 cosx.
ЗАМЕЧАНИЕ. Если, то можно не переходить в комплексную область.
Если iβ не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде
,
где Ms(x), Ns(x) – многочлены степени s = max{m, k} с неопределенными коэффициентами.
Если iβ – корни характеристического уравнения кратности r, то частное решение будем искать в виде
,
где Ms(x), Ns(x) – многочлены степени s = max{m,k} с неопределенными коэффициентами
ПРИМЕРЫ .
1. y– 2y+y = 3sinx
Решение ищем в виде y = Asinx + Bcosx
2. y+ y = sinx
Решение ищем в виде y = x(Asinx + Bcosx)
3. y+ y = xsin2x
Решение ищем в виде y = (Ax+B)sin2x + (Cx+D)cos2x
4. y+ y = ex sinx
Решение ищем в виде y = ex (Asinx + Bcosx)
x
y
M1
M0
r1
r0
y2(x0) = tgα2
y1(x0) = tgα1
y = y2(x)
y = y1(x)
α1
α1
0
y0
x0–
x0+
x0
y
x