Лекция 2.1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ высших порядков.html
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Раздел 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Лекция 2.1.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ высших порядков. Понятие о краевых задачах. Некоторые приемы понижения порядка дифференциального уравнения.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения n-ого порядка.
Рассмотрим ДУ, разрешенное относительно старшей производной
y(n) = f(x, y, y', y'', …, y(n-1)) (1)
с начальными условиями
(2)
ТЕОРЕМА (существования и единственности решения задачи Коши). Если функция f(x, y, y', y'', …, y(n-1)) непрерывна в некоторой области GRn+1 и имеет в этой области непрерывные частные производные по переменным y, y', y'',…, y(n-1), то для любой точки (х0, у0, у'0, у0(n-1))G найдется , такое что на интервале (х0–, х0+) задача Коши (1)–(2) имеет, и притом единственное, решение.
Общим решением ДУ n-ого порядка называется множество решений, состоящее из всех без исключения его частных решений. Если выполнены условия теоремы существования и единственности решения, то общее решение уравнения зависит от n параметров, в качестве которых, например, могут быть выбраны начальные значения искомой функции и ее n –1 производных. В частности, общее решение ДУ второго порядка зависит от двух параметров, например, от у0 и у'0.
Геометрический смысл теоремы существования и единственности решения задачи Коши на примере ДУ 2-го порядка.
Задача Коши для ДУ второго порядка записывается следующим образом:
y''= f(x, y, y'),
y(х0) = у0,
y'(х0) = у'0.
При соблюдении условий теоремы через точку (х0, у0) плоскости проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения, угловой коэффициент касательной к которой в этой точке равен у'0.
Понятие о краевых задачах.
В рассматриваемой выше задаче Коши в качестве дополнительных условий задаются начальные условия, определяющие значения неизвестной функции и ее производных при фиксированном значении независимой переменной. Однако начальные условия не являются единственно возможной формой дополнительных условий, выделяющих определенное частное решение. Во многих случаях в качестве дополнительных условий задаются граничные условия, определяющие значения неизвестной функции и ее производных (или некоторых выражений от них) при нескольких фиксированных значениях независимой переменной. Задачу определения частного решения ДУ, удовлетворяющего заданным граничным условиям, будем называть краевой задачей.
К краевым задачам для ДУ сводятся многие физические задачи. Например, в задаче о движении материальной точки массы m под действием заданной силы F(t, r, r) часто требуется найти закон движения, если в начальный момент t = t0 точка находилась в положении, характеризуемом радиусом-вектором r0 , а в момент t = t1 должна попасть в точку r = r1.
Задача сводится к интегрированию ДУ движения
mr = F(t, r, r)
с краевыми условиями
r(t0) = ro , r(t1) = r1.
Заметим, что эта задача имеет, вообще говоря, не единственное решение: в одну и ту же точку тело может попасть по разным траекториям.
Простейшие случаи понижения порядка ДУ.
Рассмотрим простейшие случаи, в которых порядок ДУ может быть понижен. Ограничимся ДУ второго порядка.
- y'' = f(x)
Это простейший случай ДУ второго порядка. Интегрируя один раз, найдем
.
Интегрируя еще раз, найдем общее решение ДУ:
ПРИМЕР 1. Решить задачу Коши: y'' =sinx, y(0) = y'(0) = 0.
.
Из начального условия y'(0) = 0 С1=1.
.
Из начального условия y(0) = 0 С2=0.
Следовательно, решение задачи Коши таково: y = x – sinx.
- F(x, y', y'') = 0, то есть уравнение не содержит y.
Замена y' = z(х) сводит данное уравнение к ДУ первого порядка.
ПРИМЕР 2. Решить задачу Коши: y'' + (1/x)y' = 0, y(1) = 0, y'(1) = 1.
Сделаем замену неизвестной функции, полагая y' = z(х). Получим следующее ДУ первого порядка c разделяющимися переменными:
Проинтегрируем это уравнение:
.
Из начального условия y'(1) = z(1) =1 С1= 1. То есть y' = 1/х. Интегрируя еще раз, получим:
y = lnx + С2.
Из начального условия y(1) = 0 С2 = 0 и решение задачи Коши имеет вид:
y = lnx.
3) F(y, y', y'') = 0, то есть уравнение не содержит х.
В этом случае можно понизить порядок ДУ с помощью замены
y' = p(y).
Дифференцируя p(y) по правилам дифференцирования сложной функции, получим
.
ПРИМЕР 3. Решить задачу Коши: yy'' = 1 – (y')2, y(0) = 1, y'(0) = 2.
Пусть y' = p(y), тогда . Получим следующее ДУ первого порядка с разделяющимися переменными:
.
Если 1 – р2 0, то разделим переменные и проинтегрируем последнее уравнение:
, , , .
Воспользуемся начальными условиями
y(0) = 1, y'(0) = 2.
Тогда и .
Разделяя переменные в последнем ДУ, получим:
.
Далее из начальных условий найдем С2 = 2 и окончательное решение задачи Коши
.
4) F(х, y, y', y'') = 0, где .
В этом случае задача сводится к интегрированию ДУ первого порядка:
Ф(х, y, y') = С1.
ПРИМЕР 4. Решить задачу Коши: yy'' + (y')2 = x, y(0) = 1, y'(0) = 0.
Заметим, что уравнение можно переписать в виде:
.
Тогда
yy' = x2/2 + C1.
Интегрируя уравнение первого порядка, получим
y2 = x3/3 + 2C1x + C2.
Далее, используя начальные условия, получаем решение задачи Коши:
Лекция 2. 2.
Однородные и неоднородные линейные ДУ. Фундаментальная система решений линейного однородного ДУ и ее определитель Вронского. Теорема о структуре общего решения линейного однородного ДУ. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного ДУ. Метод вариаций произвольных постоянных (метод Лагранжа) для отыскания частного решения неоднородного ДУ.
Линейным ДУ n-ого порядка называется ДУ вида
y(n)+a1(x)y(n-1)+a2(x)y(n-2)+ ... +an(x)y = f(x). (1)
Будем предполагать, что ai(x) и f(x) определены и непрерывны на (,).
Если f(x) 0 на (, ), ДУ называется однородным, в противном случае – неоднородным.
Запишем уравнение в виде
y(n) = – a1(x)y(n-1) – a2(x)y(n-2) – ... – an(x)y + f(x) F(x, y, y', …, y(n – 1)).
Функция F(x, y, y', …, y(n – 1)) непрерывна вместе со своими ЧП по переменным y, y', …, y(n – 1) при х(, ) и любых y, y', …, y(n – 1). Для данного уравнения выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши, т.е. для любого хо(,) и любых начальных условий
y(хо) = уо, y'(хо) = у'о , y''(хо) = у''о …, y(n-1) (хо) = уо(n-1) (2)
решение задачи Коши существует и единственно на всем интервале (,).
Обозначим
- линейный дифференциальный оператор n–ого порядка. Тогда ДУ (1) можно записать в виде
Ly = f(x).
Принцип суперпозиции.
ТЕОРЕМА.
Пусть
f(x) = 1f1(x)+ 2 f2(x)+... + kfk(x).
Пусть уi – решение уравнения
Ly = fi(x) (i = 1, 2, ..., k ).
Тогда
у = 1у1+ 2у2+...+ kук –
решение уравнения
Ly = f(x).
Доказательство.
Воспользовавшись свойствами линейного оператора, получим
Ly = L(1у1+ 2у2+...+ kук) = 1Lу1+ 2Lу2+...+ kLук =
= 1f1(x)+ 2 f2(x)+... + kfk(x) = f(x).
СЛЕДСТВИЯ.
- Линейная комбинация решений однородного ДУ есть решение однородного ДУ.
Доказательство.
Это частный случай, когда f(x) = f1(x) = f2(x) = … = fk(x) 0.
- Разность двух решений неоднородного ДУ есть решение однородного ДУ.
Доказательство.
Пусть у1(х) и у2(х) – решения ДУ
Ly = f(x),
т.е.
Ly1 f(x) и Ly2 f(x).
Тогда
L(y1– у2) = Ly1 – Ly2 f(x) – f(x) 0.
3. Если у(х) = u(x) + i v(x) – решение ДУ
Ly = f1(x) + i f2(x),
то u(x) = Rey и v(x) = Imy – решения соответственно уравнений
Ly = f1(x) и Ly = f2(x).
(В частности, если у(х) = u(x) + i v(x) – решение однородного ДУ, то его действительная и мнимая части также являются решениями однородного ДУ.)
Доказательство.
L(u+ i v) f1(x) + i f2(x), тогда и Lu+ i Lv f1(x) + i f2(x), откуда
Lu f1(x) , Lv f2(x).
ЗАМЕЧАНИЕ. Все перечисленные свойства характерны именно для линейного ДУ.
Однородное уравнение. Фундаментальная система решений.
Теперь мы займемся исследованием однородного уравнения
y(n)+a1(x)y(n-1)+a2(x)y(n-2)+ ... +an(x)y = 0. (3)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функции 1(х), 2(х), ... n(х) называются линейно зависимыми на некотором интервале (, ), если существуют числа с1, с2, ... , сn , хотя бы одно из которых отлично от нуля, такие что на (, )
с1 1(х) + с2 2(х)+ ... + сn n(х) 0 .
Если же последнее тождество возможно лишь при с1 = с2 = ... = сn = 0, то функции называются линейно независимыми на (, ).
ПРИМЕРЫ.
- 1(х) 1, 2(х) = sin2x, 3(х) = cos2x – линейно зависимы на R, так как
1 – sin2x – cos2x 0 на R
- 1(х) = sinx, 2(х) = cosx – линейно независимы на R, так как
с1 sinx + с2 cosx 0
лишь при с1 = с2 = 0 (с1 tgx + с2 0 лишь при с1 = с2 = 0 ).
- 1(х) = ex, 2(х) = e2x – линейно независимы на R.
Рассмотрим функциональный определитель
Этот определитель называется определителем Вронского системы функций у1(х), у 2(х), ... у n(х).
ТЕОРЕМА 1. Если функции у1(х), у 2(х), ... у n(х) линейно зависимы на (, ), то W(x) 0 на (, ).
Доказательство. По определению линейной зависимости существуют числа с1, с2, ... , сn , хотя бы одно из которых отлично от нуля, такие что
с1 у 1(х)+ с2 у 2(х)+ ... + сn у n(х) 0 на (, ).
Дифференцируя n – 1 раз последнее тождество, получим систему n линейных алгебраических уравнений относительно с1, с2, …, сn
С1у1(x) + С2у2(x) +…+ Сnуn(x) 0
С1у1'(x) + С2у2'(x) +…+ Сnуn'(x) 0
……………………………………….
С1у1(n-1) (x) + С2у2(n-1) (x) +…+ Сnуn(n-1) (x) 0
Так как эта система имеет нетривиальное решение, то ее определитель W(x) 0 на (, ).
ТЕОРЕМА 2. Пусть функции у1(х), у 2(х), ... у n(х) – решения линейного однородного ДУ n-ого порядка (3). Если определитель Вронского этой совокупности функций W(x) = 0 хотя бы в одной точке на (, ), то функции линейно зависимы на (, ).
Доказательство. Пусть W(xо)=0. Составим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных с1, с2, ... , сn с определителем W(xо)
(4)
Так как W(xо) = 0, то эта система имеет нетривиальное решение с1, с2, ... , сn. Рассмотрим линейную комбинацию решений у1(х), у 2(х), ... у n(х) с этими числами
у (х) = с1у1(х) + с2у2(х) + … + сn уn(х).
Это решение ДУ (3), удовлетворяющее нулевым начальным условиям (4). Но нулевым начальным условиям удовлетворяет решение у*(х) 0. В силу теоремы единственности у (х) у*(х) 0 и
с1у1(х) + с2у2(х) + … + сn уn(х) 0,
где не все с1, с2, ... , сn равны нулю, т.е. функции линейно зависимы.
СЛЕДСТВИЕ ТЕОРЕМ 1, 2.
Пусть функции у1(х), у 2(х), ... у n(х) – решения линейного однородного ДУ n-ого порядка (3). Следствием предыдущих теорем является следующая альтернатива:
либо W(x) 0 на (, ) у1(х), у 2(х), ... у n(х) линейно зависимы,
либо W(x) 0 х(, ) у1(х), у 2(х), ... у n(х) линейно независимы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность из n линейно независимых решений линейного однородного ДУ (3) называется его фундаментальной системой решений.
ТЕОРЕМА 3.
Если у1(х), у 2(х), ... у n(х) – фундаментальная система решений, то любое частное решение ДУ (3) можно представить в виде
у (х) = с1у1(х) + с2у2(х) + … + сn уn(х).
Доказательство. Пусть у(х) – решение ДУ с начальными условиями
у(хо) = уо, y'(хо) = у'о , y''(хо) = у''о …, y(n-1) (хо) = уо(n-1).
Рассмотрим решение
у*(х) = с1у1(х) + с2у2(х) + … + сn уn(х).
Определим постоянные в этом выражении из условий
Так как функции у1(х), у2(х), …, уn(х) линейно независимы, то W(xо) 0 и линейная алгебраическая система относительно с1, с2, ... , сn имеет единственное решение. В силу единственности решения задачи Коши у*(х) у(х).
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения.
ТЕОРЕМА 4.
Если у1(х), у2(х), …, уn(х) – фундаментальная система решений однородного ДУ (3), а у* – какое-либо частное решение соответствующего ему неоднородного ДУ (1), то любое решение неоднородного ДУ может быть представлено в виде
у = С1у1 + С2у2 +…+ Сnуn + у*.
Доказательство.
Если у и у* – решения ДУ (1), то разность у – у* удовлетворяет соответствующему однородному ДУ и может быть представлена в виде у – у* = С1у1 + С2у2 +…+ Сnуn, откуда следует утверждение теоремы.
Метод вариации произвольной постоянной.
Пусть у1(х), у2(х), …, уn(х) – ФСР уравнения (3). Решения соответствующего неоднородного уравнения (1) будем искать в виде
у(х) = с1(х) у1(х) + с2(х) у2(х) + ... + сn(х) уn(х) .
Для определения производных от неизвестных функций сi(х) получим следующую систему
Получим эту систему на примере ДУ второго порядка.
y + a1(x)y+ a2(x)y = f(x)
Будем искать решение в виде
у(х) = с1(х) у1+ с2(х) у2.
Тогда
y'(х) = (с1'(х) у1+ с2'(х) у2) + (с1(х) у1'+ с2(х) у2')
Положим
(с1'(х) у1+ с2'(х) у2) = 0.
Тогда
y''(х) = (с1'(х) у1'+ с2'(х) у2') + (с1(х) у1''+ с2(х) у2'')
Подставляя у(х), y'(х), y''(х) в уравнение, получим:
(с1'(х)у1'+ с2'(х) у2') + (с1(х) у1''+ с2(х) у2'')+a1(x)(с1(х) у1'+с2(х) у2')+ a2(x)( с1(х) у1+ с2(х) у2) = f(x)
или
с1(х)( у1''+ a1(x) у1'+ a2(x)у1)+ с2(х)( у2''+ a1(x)у2'+ a2(x) у2)+ (с1'(х)у1'+ с2'(х) у2') = f(x)
откуда получаем второе уравнение системы для с1'(х), с2'(х):
с1'(х)у1'+ с2'(х) у2' = f(x)
ПРИМЕР. Найдем общее решение дифференциального уравнения:
- Найдем фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения
.
Замена y' = u приводит к уравнению с разделяющимися переменными
общее решение которого имеет вид u = сx, откуда у= с1+с2x2 – общее решение однородного уравнения.
Покажем, что {1, x2} – ФСР. Для этого вычислим соответствующий определитель Вронского
если x 0.
2)Ищем общее решение неоднородного уравнения в виде
у = с1(х)+с2(х) x2.
Система для определения производных от неизвестных функций в данном случае имеет вид
,
откуда
Интегрируя последние выражения, получим
Итак, общее решение исходного уравнения имеет вид
у = c1+ c2x2+ х3/3.
Лекция 2.3.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение фундаментальной системы решений линейного однородного ДУ. Линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами. Метод подбора его частного решения.
Системы обыкновенных линейных ДУ с постоянными коэффициентами представляют собой большой и важный класс обыкновенных ДУ, решающихся до конца при помощи элементарных функций. Линейные ДУ с постоянными коэффициентами имеют многочисленные технические приложения, например, при расчете электрических цепей.
Построение фундаментальной системы решений однородного уравнения.
Рассмотрим уравнение
Ly y(n) + a1y(n-1) + ... +an-1y(1) + an y = 0 (1)
где у(х) – неизвестная функция независимой переменной х , а коэффициенты а1, а2, ... аn – действительные числа.
Будем искать решение уравнения (1) в виде:
(2)
где - параметр, тогда
(k =1, 2, ... , n). (3)
Подставляя (2) , (3) в уравнение (1), получим:
Сокращая на не обращающийся в нуль множитель получим так называемое характеристическое уравнение
n + а1 n -1 + ... + аn-1 + аn = 0. (4)
Это алгебраическое уравнение n-ой степени определяет те значения , при которых является решением исходного линейного ДУ с постоянными коэффициентами (1).Если все корни 1, 2, ... , n характеристического уравнения различны, то, тем самым, найдено n различных решений ДУ (1)
... , (5)
Покажем, что решения (5) образуют ФСР. Для этого вычислим соответствующий системе функций (5) определитель Вронского
так как определитель Вандермонда
Таким образом, функции (5) образуют ФСР и общее решение исходного уравнения (1) имеет вид
(6)
Так как коэффициенты характеристического уравнения предполагаются действительными, то его комплексные корни могут появляться лишь сопряженными парами. Комплексные решения
и ,
соответствующие паре комплексных сопряженных корней
1 = + i и 2 = – i, (7)
можно заменить двумя действительными решениями – действительной и мнимой частями одного из решений
или .
Таким образом, паре комплексно-сопряженных корней (7) соответствуют два действительных линейно-независимых решения
и
ПРИМЕРЫ.
- у- y = 0 .
Характеристическое уравнение
3 - =0
имеет корни 1 = 0, 2 = 1, 3 = –1. Им соответствует фундаментальная система решений:
1, ех, е –х.
Общее решение рассматриваемого уравнения имеет вид:
у = с1 + с2ех +с3е-х.
- y + 4y +5y =0.
Характеристическое уравнение
2 + 4+5 =0
имеет пару комплексно-сопряженных корней –2 i. В качестве фундаментальной системы решений в этом случае можно взять функции
e–2xcosx, e–2xsinx.
Общее решение ДУ запишем в виде:
y = e–2x(c1cosx + c2sinx).
Случай кратных корней характеристического уравнения.
Если характеристическое уравнение (4) имеет кратные корни, то среди функций вида нельзя найти n различных решений уравнения (1). Для нахождения в этом случае решений другого вида можно воспользоваться следующими наводящими соображениями. Пусть 1 и 2 – два различных действительных корня характеристического уравнения (4), тогда линейная комбинация функций и
(8)
является решением уравнения (1).
Если теперь предположить, что при изменении коэффициентов многочлена (4) число 1 стремится к 2 , то это решение переходит в пределе в функцию , о которой естественно предположить, что она является решением уравнения (1) в случае, если 1 – двукратный корень уравнения (4). Аналогично мы приходим к догадке, что если – к-кратный корень уравнения (4) , то линейно-независимыми решениями уравнения (4) являются все функции
…, (9)
Если 1= +i и 2= – i – пара комплексно-сопряженных корней кратности k, то линейно-независимыми решениями уравнения (1) являются функции
,
ПРИМЕР. у(4)+2y+y=0.
Характеристическое уравнение
4 + 22 +1 =0
имеет двукратную пару комплексно-сопряженных корней i. ФСР в этом случае состоит из функций
cosx, xcosx, sinx, xsinx.
Неоднородное ДУ. Метод вариации произвольной постоянной.
Пусть построена ФСР однородного уравнения у1, у2, …, уn . Решения соответствующего неоднородного уравнения будем искать в виде
у(х) = с1(х) у1+ с2(х) у2+ ... + сn(х) уn .
Для определения производных от неизвестных функций сi(х) получим следующую систему
с1'(х) у1+ с2'(х) у2+ ... + сn' (х) уn = 0
с1'(х) у1'+ с2'(х) у2'+ ... + сn' (х) уn' = 0
……………………………………….
с1'(х) у1(n-1)+ с2'(х) у2 (n-1)+ ... + сn' (х) уn(n-1) = f(x).
ПРИМЕР.
Решить задачу Коши:
Характеристическое уравнение
2 +1 = 0
имеет чисто мнимые корни i. Фундаментальная система решений в этом случае
y1 = sinx, y2 = cosx.
Решение неоднородного уравнения ищем в виде
y = с1(х) sinx+ с2(х) cosx.
Для определения производных от неизвестных функций получим следующую систему алгебраических уравнений:
с1(х) sinx + с2(х) cosx = 0
с1(х) cosx - с2(х) sinx =1/cosx.
Ее решение: с1(х) =1, с2(х) = - ctgx. Интегрируя последние выражения, получим
с1(х) = х + с3, с2(х) = ln|cosx| + с4.
Общее решение уравнения имеет вид:
y = с3sinx + с4cosx + xsinx + ln|cosx|cosx.
Далее, используя начальные условия, находим решение задачи Коши:
y = (1 + ln|cosx|) cosx+xsinx.
Отыскание частного решения неоднородного ДУ методом подбора в случае специальной правой части уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
Ly = f(x).
Пусть где Pm(x) - многочлен степени m , 0 - комплексное число. Возможны два случая.
1) 0 не является корнем характеристического уравнения. В этом случае частное решение будем искать в виде
где Qm(x) – многочлен степени m с неопределенными коэффициентами.
2) 0 является корнем характеристического уравнения кратности r 1. В этом случае частное решение будем искать в виде
ПРИМЕР. y– 2y+y = 2ex – 5 + 3sinx
1) сначала построим фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения
y–2y+ y = 0.
2 – 2 + 1= 0 1=2=1, {ex, xex}– ФСР.
2)При подборе частного решения применим принцип суперпозиции.
- y–2y+y = 2ex , здесь 0=1 является корнем характеристического уравнения кратности r = 2, поэтому решение ищем в виде у1 = х2Аex , подставляя у1 в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, находим А = 1.
- y– 2y + y = –5 , здесь –5 = –5е0х, 0 = 0 не является корнем характеристического уравнения, находим у2 = А = – 5.
- y– 2y + y = 3sinx, здесь 3sinx=Im(3cosx + i3sinx)=Im(3eix). Поэтому перейдем в комплексную область и рассмотрим уравнение
z– 2z + z =3eix ,
мнимая часть решения которого будет решением нашего уравнения. Здесь 0 = i не является корнем характеристического уравнения, поэтому решение ищем в виде z =Аeix, находим А = 3/2i, следовательно
z = 3/2ieix= –3/2 sinx + i3/2 cosx,
откуда у3 = Imz =3/2 cosx
3)Общее решение исходного уравнения имеет вид
у = С1 ex + С2 xex + х2ex – 5+3/2 cosx.
ЗАМЕЧАНИЕ. Если, то можно не переходить в комплексную область.
Если iβ не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде
,
где Ms(x), Ns(x) – многочлены степени s = max{m, k} с неопределенными коэффициентами.
Если iβ – корни характеристического уравнения кратности r, то частное решение будем искать в виде
,
где Ms(x), Ns(x) – многочлены степени s = max{m,k} с неопределенными коэффициентами
ПРИМЕРЫ .
1. y– 2y+y = 3sinx
Решение ищем в виде y = Asinx + Bcosx
2. y+ y = sinx
Решение ищем в виде y = x(Asinx + Bcosx)
3. y+ y = xsin2x
Решение ищем в виде y = (Ax+B)sin2x + (Cx+D)cos2x
4. y+ y = ex sinx
Решение ищем в виде y = ex (Asinx + Bcosx)
x
y
M1
M0
r1
r0
y2(x0) = tgα2
y1(x0) = tgα1
y = y2(x)
y = y1(x)
α1
α1
0
y0
x0–
x0+
x0
y
x
2. Страхование как элемент финансовой системы
3. Счастливчик Адам
4. контрольная работа по правоведению.
5. Work on the mountin Over 400 men ssisted him
6. Не погас ли сегодня огонь Прометея, или актуален ли альтруизм
7. Ярослав Владимиркович
8. Знающий человек дурно не поступает а сами знания постигаются через дачу определений
9. графічного завдання з дисципліни ldquo;Правова статистикаrdquo; Розрахунковографічне завдання ’ 1 На тери.html
10. Знаете ли вы что следуя законам изложенным в данной книге вы сможете не только экономить причем экономи
11. то время ~ точнее 37 дней ~ с тех пор как я начал этот дневник
12. Курсовая работа- Документ как материальный носитель информации
13. Полезные игры Дошкольное детство ~ это период игры.1
14. Съёмка художественного фотопортрета
15. Как проходит дистанционное обучение Обучение проходит дистанционно
16. темами организациями
17. способов имяобразования
18. Курсовая работа- Концепція морального виховання в початковій школі
19. Тобольская государственная социальнопедагогическая академия им
20. Личная жизнь, творчество и гибель Сергея Есенина