Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ФИЗИКА
Модуль 2.6
ГЛАВА 2 Проводники в электростатическом поле
1 Равновесие зарядов на проводнике
Тела, в которых электростатический заряд может свободно перемещаться по всему телу, называются проводниками. Тела, в которых электроны находятся в связанном состоянии, - диэлектрики.
Например, проводники – металлы, электролиты и ионизованные газы. Диэлектрики – слюда, стекло, эбонит, фосфор, чистая вода.
Для равновесия зарядов на проводнике необходимо выполнение двух условий:
1. Напряженность поля внутри проводника должна быть равна нулю:
(2.1)
2. Напряженность поля на поверхности заряженного проводника должна в данной точке быть направлена по нормали к поверхности:
(2.2)
Поместим металлический проводник во внешнее электростатическое поле (рис. 1).
Рис. 1
На каждый заряд действует электростатическое поле, в результате чего все отрицательные заряды (электроны) сместятся против поля. На другом конце проводника возникнет избыток положительного заряда. Такое перемещение зарядов будет продолжаться до тех пор, пока создаваемое этими зарядами внутреннее поле не скомпенсирует поле . В результате
Таким образом, электрическое поле внутри проводника всегда равно нулю.
Заряды на противоположных краях проводника называются индуцированными или наведенными.
Известно, что или . В нашем случае , это значит, что , т.е. потенциал в проводнике одинаков во всех его точках. Таким образом, любой проводник в электростатическом поле представляет собой эквипотенциальную область и его поверхность является эквипотенциальной. Линии напряженности электрического поля перпендикулярны в любой точке этой поверхности (рис. 1).
Рассмотрим второе условие. Рассчитаем напряженность электрического поля у поверхности проводника с помощью теоремы Гаусса. Пусть участок поверхности проводника граничит с вакуумом. Линии вектора перпендикулярны поверхности проводника, поэтому в качестве замкнутой поверхности возьмем небольшой цилиндр (рис. 2).
Рис. 2
Поток вектора через эту поверхность равен:
, где
- проекция вектора на внешнюю нормаль , - площадь сечения цилиндра, - локальная поверхностная плотность заряда на проводнике. Потоки через боковую поверхность и внутреннее основание цилиндра равны нулю. Сократив обе части этого равенства на , получим
(2.3)
Такова напряженность поля в непосредственной близости к поверхности заряженного проводника.
Индуцированные заряды располагаются на внешней поверхности проводника.
Если внутри проводника имеется полость, то поле внутри нее равно нулю . На этом основывается электростатическая защита. Прибор, защищаемый от внешнего электрического воздействия, можно разместить в полости внутри проводника (рис. 3).
Иногда достаточно замкнутых экранов из густой металлической сетки.
Рис. 3
2 Электроемкость уединенного проводника
Рассмотрим уединенный проводник, то есть проводник, удаленный от других проводников, тел и зарядов. Опыт показывает, что потенциал такого проводника пропорционален заряду , находящемуся на поверхности:
(2.4)
Коэффициент пропорциональности называется электроемкостью уединенного проводника. Согласно (2.4)
(2.5)
Электроемкость проводника численно равна заряду, сообщение которого повышает его потенциал на единицу. Электроемкость зависит от размеров и формы проводника, а также от диэлектрических свойств окружающей среды ().
Найдем электроемкость металлического шара радиуса , погруженного в диэлектрик с проницаемостью . Вычислим потенциал , который приобретает шар после сообщения ему заряда :
,
причем . Потенциал шара равен
Отсюда
(2.6)
Электроемкость шара пропорциональна его радиусу и диэлектрической проницаемости среды ().
За единицу емкости принимается ФАРАД (Ф). 1 фарад – это емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда в 1 Кл: 1Ф=1Кл/1В.
Так как фарад представляет собой крупную единицу, то на практике используют дольные единицы: 1 мФ = 10-3 Ф, 1 мкФ = 10-6 Ф, 1 нФ = 10-9 Ф, 1 пФ = 10-12 Ф.
Земной шар является уединенным сферическим проводником с 6400 км. Диэлектрическая проницаемость воздуха равна 1, тогда электроемкость земного шара равна
4·3,14·8,85·10-12·6,4·106 ≈ 700 мкФ.
Отсюда видно, что емкость уединенных проводников невелика.
3 Конденсаторы. Расчет электроемкостей конденсаторов
Конденсаторы – это приборы, обладающие большой электроемкостью, которые способны накапливать большие заряды. Простейший конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), расположенных на малом расстоянии друг от друга. Практически очень важно, чтобы электрическое поле было сосредоточено внутри конденсатора. Для этого заряды на обкладках должны быть одинаковы по модулю и противоположны по знаку ( и ).
Электроемкостью конденсатора называют величину , пропорциональную заряду конденсатора, и обратно пропорциональную разности потенциалов между обкладками:
(2.7)
Разность потенциалов называют напряжением и обозначают . Поэтому формулу (2.7) можно представить в виде:
(2.8)
Размерность емкости конденсатора = ФАРАД.
Емкость конденсатора зависит от размеров и формы обкладок, от расстояния между ними и от диэлектрика, заполняющего конденсатор.
Примеры вычисления электроемкостей различных конденсаторов
1 Электроемкость плоского конденсатора (рис. 4)
Рис. 4
Пусть - площадь обкладок, - расстояние между обкладками, зазор между обкладками заполнен диэлектриком с проницаемостью . Если линейных размеров обкладок, можно пренебречь краевыми эффектами и считать электрическое поле внутри конденсатора практически однородным, а заряд распределенным по пластинам равномерно с поверхностной плотностью .
Напряженность поля в конденсаторе:
Напряжение между обкладками:
.
Отсюда емкость плоского конденсатора равна:
(2.9)
Ф/м
2 Электроемкость цилиндрического конденсатора (рис. 5)
Рис. 5
Пусть , - радиусы внутренней и внешней цилиндрических обкладок, - длина конденсатора, - зазор между обкладками.
Если , то рассеянием поля вблизи краев обкладок можно пренебречь и вычислить поле в зазоре по формуле
.
(см. 1.24 и 1.13).
Напряжение между обкладками
.
Следовательно, емкость цилиндрического конденсатора равна
. (2.10)
Предположив, что , преобразуем по формуле , справедливой для :
Подставив в (2.10) и учтя, что - площадь обкладки, получим
,
Что совпадает с формулой (2.9) для емкости плоского конденсатора.
3 Электроемкость сферического конденсатора (рис. 6)
Рис. 6
Пусть , - радиусы внутренней и внешней сферических обкладок, - зазор между обкладками. Если заряд конденсатора , то напряженность поля между обкладками () определяется по теореме Гаусса:
Напряжение на конденсаторе
Отсюда следует, что емкость сферического конденсатора
(2.11)
Если , то
, совпадает с формулой (2.9)
Соединение конденсаторов
1 Параллельное соединение конденсаторов (рис. 7)
Напряжение на конденсаторах одинаково
,
заряд различен .
Общий заряд всей батареи равен
Емкость батареи
(2.12)
Рис. 7
Таким образом, при параллельном соединении конденсаторов емкости складываются.
2. Последовательное соединение (рис. 8)
Рис. 8
Напряжение на батарее
Заряд на конденсаторах одинаков
Поэтому напряжение на каждом из конденсаторов:
; ;….
Отсюда
, или
(2.13)
При последовательном соединении конденсаторов складываются величины, обратные емкости.
Задачи
1. На два последовательно соединенных конденсатора, имеющих емкости =100 пФ и =200 пФ, подано постоянное напряжение =300 В. Определить напряжения и на конденсаторах и заряд на их обкладках.
Решение:
,
Отсюда следует равенство
Кроме того,
Отсюда получим, что
В
В
Кл
ГЛАВА 3 Энергия электрического поля
1 Энергия системы точечных зарядов
Формулу можно рассматривать как взаимную потенциальную энергию зарядов и , находящихся на расстоянии (рис.1).
Рис.1
Если мы теперь в поле двух зарядов и внесем третий заряд , то благодаря свойству аддитивности энергии взаимодействий, получим:
.
Преобразуем эту сумму следующим образом. Представим каждое слагаемое в симметричном виде: , поскольку . Тогда
.
Сгруппируем члены с одинаковыми первыми индексами:
Каждая сумма в круглых скобках – это энергия взаимодействия -го заряда с остальными зарядами.
Поэтому можно последнее выражение переписать так:
Обобщим это выражение на систему, состоящую из точечных зарядов . Итак, энергия взаимодействия системы точечных зарядов
(3.1)
Имея в виду, что , где - i-ый заряд системы, - потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме , в той точке, где находится заряд , получим окончательное выражение:
(3.2)
Если заряды распределены непрерывно, то, разлагая систему зарядов на совокупность элементарных зарядов и переходя от суммирования в (3.2) к интегрированию, получаем
, (3.3)
где - потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом .
2 Энергия заряженных проводника и конденсатора
Энергия уединенного проводника. Пусть проводник имеет заряд и потенциал . Поскольку на поверхности проводника, получим
Учитывая, что
(3.4)
Любое из этих выражений определяет энергию заряженного проводника.
Энергия заряженного конденсатора. Предположим, что (+) и - заряд и потенциал положительно заряженной обкладки конденсатора, (-) и - отрицательно заряженной обкладки (рис. 2).
Рис. 2
Согласно формуле (3.3) интеграл можно разбить на две части – для одной и другой обкладок. Тогда
.
Приняв во внимание, что , получим для энергии заряженного конденсатора три выражения:
(3.5)
3 Энергия и плотность энергии электрического поля
Выразим энергию заряженного плоского конденсатора через напряженность электрического поля. Подставим в формулу
выражение , получим
.
Поскольку и (объем между обкладками конденсатора), то
.
Как будет показано в следующей главе, вспомогательной характеристикой поля в веществе является вектор электрического смещения , который связан с вектором напряженности электрического поля соотношением .
С учетом этого соотношения полученную формулу можно представить в виде:
(3.6)
Эти формулы справедливы для однородного поля, заполняющего объем .
Энергия распределена по объему конденсатора равномерно. Следовательно, в единице объема поля содержится энергия
(3.7)
Выражения (3.7) определяют плотность энергии электрического поля.
Формулы (3.7) справедливы для любого электрического поля. Если поле неоднородно, то плотность энергии в некоторой точке определяется по формулам (3.7) подстановкой значений (или ) и в этой точке.
Зная плотность энергии в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенную в любом объеме . Для этого нужно вычислить интеграл
(3.8)
Примеры решения задач
Задача 1 Четыре одинаковых точечных заряда находятся в вершинах тетраэдра с ребром . Найти энергию взаимодействия зарядов этой системы.
Решение:
.
Как видно из рисунка, всего таких взаимодействующих пар шесть, поэтому энергия взаимодействия всех точечных зарядов данной системы
.
2. способ. , где потенциал в месте нахождения одного из зарядов, равен .
Поэтому
.
Задача 2 (С.3.114) Точечный заряд = 1 мкКл помещается в центре шарового слоя из однородного и изотропного диэлектрика с = 3. Внутренний радиус слоя = 100 мм, внешний = 200 мм. Найти энергию , заключенную в пределах диэлектрика.
Решение:
Напряженность поля в диэлектрике
.
Разобьем диэлектрик на шаровые слои радиуса и толщины . Объем слоя .
Плотность энергии в слое
Энергия, заключенная в слое :
Проинтегрировав это выражение по в пределах от до , найдем энергию, заключенную в диэлектрике:
Дж.
Задача 3 Найдем работу, которую надо совершить против электрических сил, чтобы удалить диэлектрическую пластинку из плоского заряженного конденсатора. Предполагается, что заряд конденсатора остается постоянным. Емкость конденсатора без диэлектрика равна .
Решение:
Работа против электростатических сил в этой системе пойдет на приращение ее электрической энергии:
, где
- энергия поля между обкладками конденсатора при наличии диэлектрика, - при отсутствии диэлектрика. Отсюда
.
Задача 4 (С 3.111) Заряд распределен равномерно по объему шара радиусом . Полагая =1, найти электрическую энергию шара , а также отношение энергии , локализованной внутри шара, к энергии в окружающем пространстве.
Решение:
Прежде всего найдем с помощью теоремы Гаусса поле внутри и вне шара:
(); ().
Теперь вычислим электрическую энергию шара:
.
Отсюда следует:
; .
Тесты
1. Емкость плоского конденсатора пропорциональна:
1. расстоянию между его пластинами. 2. отношению площади его пластин к расстоянию между ними. 3. произведению площади его пластин на расстояние между ними. 4. заряду пластин. 5. потенциалу пластин.
2. Напряженность электрического поля внутри проводника:
1. определяется объемной плотностью заряда в проводнике. 2. равняется нулю. 3. определяется зарядом на поверхности проводника. 4. определяется потенциалом проводника. 5. зависит от напряженности электрического поля в пространстве, окружающем проводник.
3. Три конденсатора одинаковой емкости соединены параллельно. Результирующая емкость получается
1. равной емкости каждого из конденсаторов. 2. в три раза меньше емкости каждого из конденсаторов. 3. в три раза больше емкости каждого из конденсаторов.
4. Электроемкость проводника зависит от:
1. формы и размеров, 2. площади поверхности, 3. массы и рода вещества, 4. заряда и напряжения, 5. свойств окружающей среды.
1.1., 2., 3. 2. 3., 4., 5. 3. 1., 2., 5. 4. 2., 3., 5.
5. Емкость батареи состоящей из пяти одинаковых конденсаторов емкостью 1 мкФ, изображенной на рисунке равна:
1. 3,5 мкФ 2. 0,286 мкФ 3. 5 мкФ 4. 0,2 мкФ
6. Взаимной электроемкостью тел называют:
7. Плоский воздушный конденсатор подключили к источнику тока, а затем не отключая от источника, погрузили в керосин с диэлектрической проницаемостью, равной 2. Найти отношение заряда, первоначально находившегося на обкладках конденсатора, к конечному заряду.
1. 0,5 2. 1 3. 2 4. 4.
8. Разность потенциалов между обкладками конденсаторов емкостью мкФ изменилась на 175 В. Определите изменение заряда конденсатора.
1. Кл 2. Кл 3. Кл 4.0.
9. Указать неправильную формулу для электроемкости плоского конденсатора .
1. 2. 3. 4. ;
10. Конденсатор имеет емкость пФ. Какой заряд находится на каждой из его обкладок, если разность потенциалов между ними В?
1. Кл 2. Кл 3. Кл 4. эВ.
11. Потенциал φ, заряд q и емкость уединенного проводника связаны соотношением:
1. 2. 3. 4. .
12. Изменится ли заряд конденсатора, подключенного к источнику напряжения, если раздвинуть его пластины?
1. заряд конденсатора увеличится 2. заряд конденсатора не изменится 3. заряд конденсатора уменьшится 4. заряд конденсатора не зависит от его емкости 5. заряд конденсатора не зависит от расстояния между пластинами.
13. Вектор напряженности электростатического поля:
1. ортогонален эквипотенциальной поверхности 2. направлен по касательной к эквипотенциальной поверхности 3. направлен под углом π./4 к эквипотенциальной поверхности, 4. может иметь любое направление.
14. Внутри полой проводящей сферы помещен электрический заряд. Электрическое поле будет существовать:
1. и вне и внутри сферы 2. только вне сферы 3. только внутри сферы 4. ни там, ни там.
15. Электроемкость С уединенной сферы радиуcа R в среде равна:
1. 2. 3. 4.
16. Между обкладками конденсатора, на концах которого поддерживается постоянная разность потенциалов, поместили слой диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε. Напряженность поля в диэлектрике по отношению к напряженности поля вне его:
1.увеличилась в ε раз 2. уменьшилась в ε раз 3.обратилась в нуль 4. не изменилась.
17. Для проводника, помещенного в электростатическое поле, характерно:
1. отсутствие поля внутри проводника 2. усиление поля внутри проводника 3. ослабление поля вблизи острия проводника 4. силовые линии поля направлены по касательной к поверхности проводника 5. потенциал проводника максимален на его поверхности.
18. Изменится ли энергия заряженного воздушного конденсатора, если, при отключенном источнике, раздвинуть его пластины?
1. Изменится за счет энергии внешних сил, совершающих работу по раздвижению пластин. 2.Не изменится, так как заряд на конденсаторе не изменяется 3.Нельзя дать однозначный ответ, так как не известны численные значения исходных данных 4.Энергия уменьшится.
19. Потенциальная энергия взаимодействия пластин заряженного плоского конденсатора (указать неверный ответ):
1. 2. 3. 4. ,
где и – заряд и потенциал первой пластины, и – заряд и потенциал второй пластины; 5. все перечисленные варианты правильные.
20. Как изменится энергия заряженного конденсатора, не отключенного от источника, если уменьшить расстояние между обкладками в два раза? .
1. уменьшится в 2 раза 2. увеличится в 2 раза 3. не изменится 4. увеличится в 4 раза 5. уменьшится в 4 раза.
21. Плотность энергии w электростатического поля с напряженностью E в среде с диэлектрической проницаемостью ε равна:
1. 2. 3. 4. .
22. Какую из формул нельзя использовать для расчета энергии заряженного конденсатора?
1. 2. 3. 4.
PAGE 14