Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Н. М. Піндус, Т. З. Марчук
МЕТРОЛОГІЯ, ТЕХНОЛОГІЧНІ ВИМІРЮВАННЯ ТА ПРИЛАДИ
КУРСОВЕ ПРОЕКТУВАННЯ
2013
Івано-Франківський національний технічний університет нафти і газу
Кафедра інформаційно-вимірювальної техніки
Н.М. Піндус, Т.З. Марчук
МЕТРОЛОГІЯ, ТЕХНОЛОГІЧНІ ВИМІРЮВАННЯ ТА ПРИЛАДИ
КУРСОВЕ ПРОЕКТУВАННЯ
Для студентів спеціальності
"АКТ"
Рекомендовано методичною радою
університету
Івано-Франківськ
2013
МВ – –2013
Н.М. Піндус, Т.З.Марчук Метрологія, технологічні вимірювання та прилади. Курсове проектування – Івано-Франківськ: ІФНУНГ, 2013. ___с.
Методичні вказівки до курсового проектування містить теоретичні відомості та практичні завдання для проведення курсового проектування з дисципліни “Метрологія, технологічні вимірювання та прилади”. Розроблений відповідно до робочої програми навчальної дисципліни, чинного навчального плану підготовки фахівців за спеціальністю “АКТ”. Може бути використаний студентами денної та заочної форм навчання.
Рецензент: канд. техн. наук, професор С.А. Чеховський
©Піндус Н.М. Марчук Т.З., 2013
© ІФНТУНГ, 2013
Зміст
Вступ……………………………………………………………
1. Обробка результатів вимірювань……………….
1.1. Обробка прямих вимірювань з багаторазовими спостереженнями………………………………………………
1.2.
1.3. Приклад обробки результатів прямих вимірювань з багаторазовими спостереженнями…………………………..
2. РОЗРОБКА ФУНКЦІОНАЛЬНОЇ СТРУКТУРИ ІВК І ВИБІР ТЕХНІЧНИХ ЗАСОБІВ
3. МЕТРОЛОГІЧНИЙ АНАЛІЗ ІНФОРМАЦІЙНО-ВИМІРЮВАЛЬНИХ КАНАЛІВ
Перелік використаних джерел…………………………………
ДОДАТОК А…………………………………………………....
ДОДАТОК Б…………………………………………………….
Вступ
Головні відмінності теорії похибки і концепції невизначеності результату вимірювання наступні: відхід від поняття істинне значен ня вимірюваної величини як такого, що не піддається пізнанню; у зв'язку з останнім поняття похибки вимірювання як відхилення результату вимірювання від істинного значення вимірюваної величини втрачає сенс; невизначеність результату вимірювання характеризуються чи середнім квадратичним відхиленням (СКВ), чи симетрични ми границями, тому всі систематичні похибки підлягають корекції, а їх невилучені залишки входять до розсіювання результату вимірювання; у зв'язку з останнім недоцільним є сенс розподіл похибок результату вимірювання на систематичні і випадкові; залишається тільки розподіл компонентів невизначеності на компоненти категорії А і компоненти категорії В за способом їх оцінювання.
Між двома концепціями (невизначеності результату вимірювання і похибки результату вимірювання) є суттєві відмінності, які треба враховувати, складаючи методики обробки даних вимірювань і подаючи кінцевий результат. Але відкидати чи не помічати концеп цію невизначеності недоцільно. Це унеможливить гармонізацію вітчизняних і зарубіжних нормативно-технічних документів та уповіль нить роботу в нетрадиційних сферах вимірювань. Метою КП є формування спеціалістів, які працюють у сфері вимірювань, із застосуванням нового підходу до обробки даних і подання результату вимірювання.
1. Обробка результатів вимірювань
Найважливішою ознакою класифікації вимірювань є вид рівняння вимірювання, за якою їх поділяють на прямі, опосередковані, сумісні та сукупні. Розглянемо способи обробки їх результатів і обчислення невизначеностей для цих видів вимірювань, що є метою розробки даного курсового проекту, а саме обробка результатів одноразових т багаторазових прямих вимірювань, та обробка результатів декількох груп прямих вимірювань з багаторазовими спостереженнями, складання бюджету невизначеності для вимірювань конкретними ЗВТ.
1.1 Прямі вимірювання
Під прямими вимірюваннями розуміють вимірювання, при яких значення ФВ отримують безпосередньо [1].
Прямі вимірювання - найбільш поширений і простий вид вимірювань. Ці вимірювання є складовим елементом опсередкованих, сумісних і сукупних вимірювань. Прямі вимірювання можна здійснювати шляхом одноразових і багаторазових спостережень. Вибір кількості спостережень визначається вимогами до точності вимірювання та допустимої трудомісткістю обробки їх результатів.
Найбільш поширеними на практиці є вимірювання з одноразові спостереженнями (одноразові вимірювання), як найбільш прості, продуктивні і дешеві. Вимірювання за багаторазовими спостереженнями (багаторазові вимірювання) проводяться при підвищених вимогах до точності вимірювань. Такі вимірювання характерні для професійної метрологічної діяльності і виконуються в основному співробітниками метрологічних служб, а також при наукових експериментах. Це складні, трудомісткі і дорогі вимірювання, доцільність яких повинна бути завжди переконливо обгрунтована.
1.2. Обробка прямих вимірювань з багаторазовими спостереженнями
Мета обробки результатів вимірювань з багаторазовими спостереженнями полягає в зменшенні невизначеності результату вимірювань.
При обробці багаторазових вимірювань вирішують два завдання.
По-перше, визначають деяке наближене значення у вимірюваної величини Y, тобто оцінку що найкращим чином (з точки зору її ефективності) відповідає отриманим результатам.
По-друге, визначають (по типу А) експериментальну стандартну невизначеність результатів окремих спостережень ук (к = 1,2, .., n) та результату вимірювань у.
При статистичній обробці результатів спостережень слід виконати наступні операції.
1. Виключити з числа результатів спостереження результати, що містять грубі похибки (промахи).
2. Виключити відомі систематичні похибки з результатів спостережень.
3. Обчислити середнє арифметичне виправлених результатів спостережень, приймається за результат вимірювання:
(1.1)
4. Обчислити експериментальне стандартне відхилення результату спостереження:
(1.2)
5. Обчислити експериментальне стандартне відхилення результату вимірювання (середнього арифметичного):
(1.3)
6. Оцінити складові ui (Y) сумарної стандартної невизначеності за типом В невиключених залишків систематичної похибки результату вимірювання (аналогічно до прямих вимірювань з одноразовими спостереженнями).
7. Обчислити сумарну невизначеність типу В результату вимірювання:
(1.4)
8. Обчислити сумарну невизначеність результату вимірювання:
(1.5)
9. Визначити розширену невизначеність результату вимірювання як:
(1.6)
де к - коефіцієнт охоплення для нормального закону розподілу з рівнем довіри р.
10. Записати результат вимірювання у вигляді:
p (1.7)
p (1.8)
1.3. Приклад виконання обробки результатів прямих вимірювань з багаторазовими спостереженнями
При проведенні міжлабораторних випробувань виникає специфічна модель вимірювань, звана гніздовою структурою [3]. Особливістю цих вимірювань є те, що вони проводяться в різний час, різними засобами вимірювань, в різних умовах, різними методами, різними операторами. При цьому утворюється кілька груп прямих вимірювань з багаторазовими спостереженнями, які для зменшення невизначеності слід об'єднувати, отримуючи єдиний результат вимірювання. З огляду на те, що невизначеності (дисперсії) спостережень у кожній із груп мають різне значення, визначення сумарної невизначеності об'єднаного результату вимірювань необхідно проводити з урахуванням математичного апарату, званого дисперсійним аналізом.
Кількість факторів визначається числом рівнів «гніздування». Під фактором розуміють відмінність в умовах проведення груп спостережень. Ним може бути день, в який проводилися вимірювання, прилад або метод вимірювань, оператор, місце проведення вимірювань і т.д.
Розглянемо найпоширенішу на практиці найпростішу модель врівноваженої одноетапної гніздової структури.
Нехай є J груп прямих багаторазових спостережень величини Y з K спостережень у кожній групі. Алгоритм обробки результатів цих спостережень полягає в наступному.
1. Визначаються середні арифметичні кожної групи спостережень:
(1.9)
де yjk означає k - те спостереження величини Y (k = 1, 2 ,..., К) в j-й групі (j = 1, 2 ,...,J).
2. Визначається середнє арифметичне отриманих середніх арифметичних yj, приймається за найкращу оцінку вимірюваної величини Y:
(1.10)
3. Обчислюється оцінка внутрішньогрупової дисперсії в j-ій групі (число таких дисперсій дорівнює кількості груп J):
(1.11)
4. Знаходиться експериментальна дисперсія середніх арифметичних груп:
(1.12)
Така оцінка тільки одна.
5. Визначається, чи є міжгрупових складова дисперсії значною в порівнянні з внутрігруповою складовою. Для цього виконують такі операції.
5.1. Визначають дві незалежні оцінки усередненої внутрішньогрупових дисперсії спостережень.
Перша оцінка, позначена як s12, виходить із спостережуваних відхилень щоденних середніх арифметичних уj (1.9). Оскільки уj, є середнє арифметичне K спостережень, його оцінена дисперсія s2(уj) при допущенні, що міжгруповa дисперсія дорівнює нулю, оцінюється як s12/К. Тоді з рівняння (1.11) випливає
(1.13)
Ця оцінкою має (j-1) ступенів свободи.
Друга оцінка, позначена як s2II, є середньою оцінкою дисперсії, отриманої з J індивідуальних значень внутрішньогрупової дисперсії s2j(уjk):
(1.14)
Оскільки структура врівноважена і всі ступені свободи νj=К-1, то виходить що в результаті вираз для s2II є просто середнє арифметичне s2j (уjk):
(1.15)
Таким чином, з урахуванням виразу (1.11), отримують:
(1.16)
що є оцінкою, що має J(К-1) ступенів свободи.
Оскільки оцінка s12 грунтується на мінливості середніх арифметичних, в той час як оцінка sII2 грунтується на мінливості усередині групових спостережень, їх відмінність показує можливу присутність (міжгрупової) мінливості.
5.2. Порівнюють значення s12 і sII2. Для цього використовують F - тест.
Відомо, що F - розподіл складових є розподілом ймовірностей відношення:
(1.17)
двох незалежних оцінок s12(ν1) і sII2(νII) дисперсії нормально розподіленої випадкової змінної. Параметри v1 і vII являются відповідні ступені свободи двох оцінок, а 0≤F(v1, vII)<∞. Критичні значення F для різних ймовірностей (квантами F - розподілу) внесені в таблицю розподілу Фішера для різних значень v1 і vII (див. додаток Б).
Зазвичай критичні значення F задаються для ймовірностей 0,95, 0,975 або 0,99. Якщо розраховане значення F(v1, vII) більше, ніж критичний для заданої ймовірності (F0.95, F0.975 або F0.99), то це повинно тлумачитися як наявність міжгрупової дисперсії, оскільки s12(ν1) більше sII2(νII) на статистично значиму величину.
6. При F(v1, vII)<Fp коли існування міжгрупової похибки заперечується, тому що різниця між s12 і sII2 не розглядається як статистично значуща, оцінену дисперсію для y слід вирахувати із загального виразу:
(1.18)
Це співвідношення еквівалентно рівнянню:
(1.19)
Дійсно, можна переписати вираз (1.19) як:
В отриманому виразі:
З урахуванням цього отримуємо вираз (1.20).
Таким чином, якщо припустити, що всі поправки на систематичні ефекти враховані і всі інші складові невизначеності незначні, то результат вимірювання можна отримати як
із сумарною стандартною невизначеністю s(у) (4.26), що має JK-1 ступенів свободи.
Розширену невизначеність результату вимірювання можна розрахувати за формулою
де tp (ν) - коефіцієнт Стьюдента для числа ступенів свободи v=JK-1 та рівня довіри р. Для v> 30 замість коефіцієнта Стьюдента можна брати коефіцієнт охоплення для нормального закону розподілу.
7. При F(v1, vII)≥Fр існування міжгруповий дисперсії приймається (розумне рішення, оскільки воно дозволяє уникнути можливої недооцінки невизначеності) і передбачається, що вона випадкова. Тоді оцінена дисперсія у виходить з s2 (уj), так як вона належним чином відображає як внутрішньогрупову, так міжгрупову випадкові складові дисперсії. Таким чином,
і з урахуванням рівняння (4.19), отримуємо
Ця оцінка дисперсії має J - 1 ступенів свободи.
Розширену невизначеність результату вимірювання можна розрахувати за формулою
де tp – коефіцієнт Стюдента для числа степенів вільності ν=J-1 та рівня довіри p.
2. РОЗРОБКА ФУНКЦІОНАЛЬНОЇ СТРУКТУРИ ІВК І ВИБІР ТЕХНІЧНИХ ЗАСОБІВ
Функціональні схеми – основний технічний документ, який визначає функціонально-блочну структуру окремих вузлів автоматичного контролю за протіканням технологічного процесу, а також обладнання об’єкта приладами і засобами контролю та вимірювання. Об’єктом контролю є сукупність основного і додаткового обладнання, яке визначається особливостями технології об’єкта контролю.
При проектуванні функціональних схем технологічних процесів вирішуються наступні завдання:
- отримання первинної інформації про технологічний процес;
- безпосередня інформація про технологічний процес для контролю за його протіканням;
- стабілізація технологічних параметрів процесу;
- контроль і реєстрація технологічних параметрів процесів і стан технологічного обладнання;
Результатом проектування функціональної схеми є:
- вибір методів вимірювання технологічних параметрів;
- вибір основних технічних засобів, які найбільш повно відповідають вимогам і умовам роботи об’єкта;
- розміщення засобів і визначення способів представлення інформації про стан технологічного процесу і обладнання.
При розробці ІВК необхідно враховувати, що вони повинні виконувати одну або декілька з наступних функцій:
Для виконання цих функцій ІВК повинні забезпечувати:
Призначення ІВК – забезпечувати одержання дистиляту із заданим вмістом (концентрацією) в ньому корисного компонента.
Як приклад аналізу технологічного процесу для синтезу ІВК розглянемо процес ректифікації. На рисунку 6.1 подано схему такого технологічного процесу, яка визначається завданням до курсової роботи.
Рисунок 6.1 – Схема процесу ректифікації нафти
До складу ІВК входять наступні контури: контроль і регулювання температури, рівня і тиску.
Перший контур – регулятор температури (позиція 1).
Сигнал від датчика температури надходить на вхід перетворювача типу БУС-20, де сигнал від термоопору перетворюється в уніфікований сигнал і надходить на перший вхід регулюючого обчислюючого пристрою, на другий вхід надходить сигнал від датчика тиску. Керуючий сигнал регулюючого пристрою через БУМ-20 впливає на електричний виконавчий механізм, що через систему важелів зв'язаний з регулювальним клапаном, що керує регулюванням концентрації.
Другий контур – регулятор тиску у ректифікаційній колоні.
Сигналом, що задає, є сигнал від датчика тиску. Керуючий сигнал регулюючого пристрою також впливає на регулювання концентрації.
Третій контур – регулятор рівня.
Сигнал від датчика тиску надходить на БУМ-20, потім на вхід регулюючого пристрою рівня.
Керуючий сигнал регулюючого пристрою через безконтактний пускач впливає на електричний виконавчий механізм.
Обидва регулюючих пристрої, керуюча дія яких здійснюється на трубопроводі дистиляту, реалізовані на одному контролері Р-130. Регулююча модель мікропроцесорного контролера Реміконт Р-130 модифікації 20 (8 аналогових входів і 4 дискретних виходи).
Основні характеристики:
роздільна здатність АЦП 0,025%;
основна похибка АЦП 0,3%;
максимальний струм навантаження виходу 0,3А;
похибка цифрової обробки інформації:
- додавання, віднімання, множення, ділення 0%;
- корінь квадратний 0,1%;
об’єм пам’яті:
ПЗУ 32кбайт;
ОЗУ 8кбайт;
ППЗУ 8кбайт;
вихідний сигнал 0..20 мА;
параметри живлення:
напруга 24, 220, 240В; 50, 60Гц;
споживана потужність 9Вт, 15ВА;
габаритні розміри 80*160*300 мм.
Для забезпечення необхідної точності ІВК значну роль відіграє підбір первинних вимірювальних перетворювачів, так як похибка інформаційно-вимірювальних каналів у загальному залежить від похибки первинного перетворювача (давача). Другим фактором, що впливає на вибір первинних перетворювачів, є доступність їх в економічному відношенні.
У розробленій функціональній схемі процесу ректифікації нафти необхідно вимірювати: температуру (до 150С), тиск (до 0,2 МПа), рівень (до 0,5 м). Керуючись наведеними вимогами до давачів, автором даного проекту було вибрано:
1) Для вимірювання температури – термоперетворювач опору (ГОСТ 6651-78) з чутливим елементом з міді ТСМ-1187.
Деякі технічні характеристики:
межі вимірювання температури –50..+180 С;
номінальна статична характеристика 50М;
показник теплової інерції 20 с;
вихідний сигнал 0..20 мА;
основна допустима похибка 0,5%.
2) Вимірювання рівня – перетворювач вимірювальний рівня буйковий вибухозахищений типу “Сапфір – 22ДУ–Вн” модель 2620. Чутливий елемент – буйок. Зміна дії на буйок передається на тензоперетворювач і перетворюється в зміну опору. В електронному перетворювачі зміна опору перетворюється в струмовий вихідний сигнал.
Характеристики:
верхня межа вимірювання 0,6 м;
межа допустимої основної похибки 0,5%;
вихідний сигнал 0..20 мА.
3) Вимірювання тиску – “Сапфір” – 22ДА–Ех” модель 2040. Складається з датчика і блока перетворення сигналів БПС24.
Характеристики:
верхня межа вимірювання 0,4 МПа;
межа допустимої основної похибки 0,5%;
вихідний сигнал 0..20 мА.
Для здійснення безпосереднього регулювання необхідно вибрати виконавчі механізми. Використовуємо в якості виконавчого механізму електричний двигун МЕО-1600/63 у парі з пускачем ПБР2М.
Технічні характеристики МЕО-1600/63:
тип електродвигуна ДАУ-63П;
номінальний крутний момент на вихідному
валу 1600 Нм;
час повного ходу вихідного валу 15 с;
номінальний повний хід валу 0,25;
напруга живлення електродвигуна ~ 220 В.
Технічні дані ПБР2М:
напруга живлення 220В ( 10%), 50Гц;
максимальний струм, що комутується 4А;
споживана потужність 10 ВА;
керуюча напруга -24 В;
3. МЕТРОЛОГІЧНИЙ АНАЛІЗ ІНФОРМАЦІЙНО-ВИМІРЮВАЛЬНИХ КАНАЛІВ
ІВК є орієнтовані на конкретний об’єкт, тому при вирішенні завдань метрологічного аналізу необхідно розглядати і ІВК і об’єкт в сукупності тому, що ІВК сприймає і вимірює фізичні параметри полів, пов’язаних з об’єктом. Як правило, зростає роль вирішення зворотніх задач при оцінці параметрів об’єкта.
При розробці вимірювальних каналів необхідно враховувати похибки всіх його складових.
У склад ІВК входять: датчики, перетворювачі (АЦП), пристрій обробки і відображення інформації, наприклад, (Реміконт Р-130).
Найбільшу похибку у вимірювальний канал вносить первинний вимірювальний перетворювач, тому основна похибка ІВК буде визначатися в основному похибками датчиків.
Похибки складових вимірювальних каналів:
Наведемо приклад розрахунку результуючої похибки системи контролю з довільним значенням довірчої ймовірності за допомогою ентропійного коефіцієнта.
Перевагою такого методу розрахунку результуючих похибок вимірювальних каналів є те, що він дає уявлення про закон розподілу цих похибок і дозволяє визначити оцінку довірчої ймовірності, а відповідно і інтервал невизначеності.
Розрахунок похибки каналу для вимірювання температури.
Канал для вимірювання температури складається з трьох наступних вузлів – давача температури (термоперетворювача опору), контролера і ПЕОМ. При розрахунку результуючої похибки каналу перш за все кожній із складових похибки слід приписати відповідний закон розподілу, знайти середньоквадратичне відхилення (СКВ) і розділити похибки на адитивні і мультиплікативні.
Похибка термоперетворювача опору нормована по паспорту максимальним значенням t = 0,5%. Для того, щоб від цього значення перейти до СКВ, необхідно знати вид закону розподілу похибки.
Похибка термоперетворювача опору є мультиплікативною і розподіленою за нормальним законом. Задаємо значення ймовірності рівне 0,98 і по таблиці нормального розподілу знаходимо, що ймовірності Р = 0,98 відповідають границі в 2,3. Звідси шукане t = 0,5/2,3 = 0,218%, а параметри закону розподілу (табл. 6.1) k = 2,066 = 3 = 0,577
Рисунок 6 .1 – Нормальний закон розподілу похибки термоперетворювача опору
Таблиця 6 .1 – Параметри розподілів
|
№ п/п |
Клас розподілу |
m/ |
|
|
k |
|
1 |
Нормаль-ний |
– |
3 |
0,577 |
2,066 |
|
2 |
Рівномір-ний |
3 1,73 |
1,8 |
0,745 |
1,73 |
|
3 |
Трапецеї-дальний |
4,15 2,04 |
1,9 |
0,745 |
1,83 |
|
4 |
4,8 2,19 |
2,016 |
0,745 |
1,94 |
|
|
5 |
5,2 2,32 |
2,184 |
0,745 |
2,00 |
|
|
6 |
Трикут-ний |
6 2,44 |
2,4 |
0,645 |
2,02 |
|
7 |
Арксину-соїдаль-ний |
2 1,41 |
1,5 |
0,816 |
1,11 |
|
8 |
4/ 5,2 1,79 |
1,72 |
0,752 |
1,76 |
|
|
9 |
2 |
2,25 |
0,667 |
1,88 |
Похибка контролера вказується в паспорті приладу і зумовлена в основному похибкою аналогово-цифрового перетворення. Дана похибка складає К = 0,3%, є адитивною і розподілена по рівномірному закону розподілу. Тому К = 0,3% можна вважати половиною ширини цього рівномірного розподілу і визначити СКВ як К = К/3 = 0,3/3 = 0,173%. Для рівномірного розподілу k = 1,73 = 1,8 і = 0,745.
Похибка шлюзу Ш – 0,05% є адитивною і розподілена за трикутним законом розподілу, оскільки не залежить від величини вимірюваного сигналу. Середнє квадратичне відхилення для трикутного розподілу = max/6, тому Ш = Ш/6 = 0,05/6 = 0,02%. Параметри трикутного розподілу (Сімпсона): k =2,02 = 2,4 = 0,65.
Рисунок 6.3 – Трикутний закон розподілу похибки шлюза.
Похибка ПЕОМ, як і похибка контролера (ПЕОМ), є адитивною, а закон розподілу будемо вважати рівномірним з шириною 10-6%. Тоді СКВ цієї похибки ПЕОМ = ПЕОМ/3 = 10-6/3 = 5,7810-6%. Параметри рівномірного розподілу: k = 1,73 = 1,8 і = 0,745.
Отже, визначено всі складові похибки (адитивні і мультиплікативні), їх закони розподілу, обчислено СКВ. Цей результат для наглядності представлений на рис.6.1 – 6.4, де буквами А і М відмічені відповідно адитивні і мультиплікативні складові похибки.
Рисунок 6.4 – Рівномірний закон розподілу похибки ПЕОМ
Сумування похибок. Визначення похибки в функції від зміни значення самої вимірюваної величини проводиться шляхом розподілу всіх складових похибки, які сумуються на адитивні і мультиплікативні. Далі отримуємо суму адитивних складових, яка дає значення адитивної частини результуючої похибки, а сума мультиплікативних складових – мультиплікативну складову.
Для усунення впливу деформації форми законів розподілу при сумуванні похибки всі складові, що сумуються, представляються своїми СКВ. У результаті сумування СКВ вихідних складових отримують СКВ, відповідно адитивної і мультиплікативної складових результуючої похибки.
Розрахунок результуючої похибки зводиться до обчислення похибки, яка включає в себе всі складові.
Вибір методу сумування (додавати алгебраїчно чи геометрично) залежить від того, чи є корельованими або незалежними похибки, які ми сумуємо. Доцільно одразу виділити корельовані похибки і виконати їх алгебраїчне сумування. Корельованими називають ті похибки, які викликані однією і тією ж спільною причиною, а тому мають однакову форму закону розподілу, яка залишається тією самою і для їх алгебраїчної суми.
Для алгебраїчного сумування корельованих похибок необхідно встановити їх знак. Після врахування кореляційних зв’язків всі отримані похибки можна сумувати як незалежні.
У вимірювальному каналі температури похибок, які б мали кореляційний зв’язок не має, тому результуючу похибку слід розраховувати як сумування під коренем квадратів всіх складових.
Похибка даного каналу включає в себе чотири складові: t=0,218%, К = 0,173%, Ш = 0,02%, ПЕОМ = 5,7810-6%. Проте Ш в 11 раз, а ПЕОМ – в 3,8104 рази менша ніж t. Оскільки сумування під коренем буде приводитися над квадратами цих величин, то їх вклад в результат буде відповідно в 112 = 121 і (3,8104)2 = 14,44108 рази менше. Звідси видно, що цими похибками можна знехтувати і виключити їх із подальшого розгляду (відповідно до правила знехтування малими складовими при сумуванні похибок).
Отже, СКВ похибки вимірювального каналу температури визначається:
Т = (t2 + К2)1/2 = (0,2182 + 0,1732)1/2 = 0,278 0,3%.
Одна з просумованих складових (t) похибки розподілена нормально, а інша (К) – рівномірно. Для визначення ексцеса і ентропійного коефіцієнта результуючого розподілу необхідно розрахувати вагу дисперсії рівномірної складової із сумованих в загальній дисперсії:
р = К2 / (t2 + К2) = К2 / Т2 = 0,1732 / 0,32 = 0,33
Т = Кр2 + 6р (1 - р) + t (1 - р2) =
= 1,80,332 + 60,33(1 - 0,33) + 3(1 - 0,332) = 4,19,
а контр ексцес:
Т = 1/Т = 1/(4,19)1/2 = 0,5
Ентропійний коефіцієнт композиції нормального і рівномірного розподілу визначається за кривою 5 (рисунок 6.5, б) при р=0,33: kТ = 2,066. Отримати ентропійний коефіцієнт можна також аналітичним способом по наближеній формулі, яка апроксимує дану криву:
k = kН – р1,4(5,7 - k) 0,14 + 0,4(kН – k)2,
де р – вага складової з ентропійним коефіцієнтом k, kН – ентропійний коефіцієнт нормального розподілу (kН = 2,066).
Отже, відповідно до даної формули значення kТ складатиме:
kТ = 2,066 - 0,331,4(5,7 - 1,8) (0,14 + 0,4(2,066 - 1,8)2) = 2,0656 2,066
Отримане аналітичне значення повністю співпадає зі значенням, отриманим за допомогою графічних даних (крива 5, рис.6.5, б). Значення kТ = 2,066 відповідає нормальному закону розподілу, отже результатом сумування нормального і рівномірного розподілу в нашому випадку буде значення похибки, розподілене за нормальним законом.
а) крива 1 – відповідає сумуванню двох складових розподілених нормально;
2 – рівномірна з нормальною; 3 – дві складові розподілені рівномірно;
4 – арксинусоїдальна і рівномірна; 5 – два арксинусоїдальних розподіла;
б) криві 1 – 3 відповідають сумуванню рівномірного, трикутного і нормального розподілу з дискретним двохзначним розподілом; 4 – 6 – сумування нормального розподілу відповідно з арксинусоїдальним, рівномірним і експоненціальним.
Рисунок 6.5 – Графіки залежності ентропійного коефіцієнта k від співвідношення сумованих складових і їх ентропійних коефіцієнтів
Звідси ентропійне значення похибки вимірювального каналу температури:
Т = kТ Т = 2,0660,3 = 0,619 0,62 %.
При необхідності представити отриману ентропійну оцінку похибки можна в формі довірчої похибки. Довірча ймовірність розраховується за наступним співвідношенням:
Рд = 0,899 + 0,1818/ 0,899 + 2/5,5.
Проте слід зауважити, що внаслідок неточності оцінки СКВ, яке ми використовуємо – або ентропійного коефіцієнта k і оцінка Рд довірчої ймовірності буде також мати відповідний інтервал невизначеності. Тому отримане значення Рд необхідно закругляти і виражати не більше ніж двома знаками (тобто в межах від 0,90 до 0,99 навіть в тому випадку, якщо за формулою воно дорівнюватиме, наприклад, Рд =1,02).
У результаті цього отримаємо Рд = 0,899 + 0,1818/4,19 = 0,95, тобто Т = 0,62% відповідає 0,95.
Аналогічно проводиться розрахунок похибки каналу для вимірювання рівня у ємності, тиску і результуючої похибки системи контролю, що складається із згаданих вимірних каналів.
Підхід до здійснення метрологічного аналізу з використанням ентропійного коефіцієнта дає можливість, по-перше, не встановлювати довільним рішенням значення ймовірності, по-друге, прийняття інтервалу величини довіри, а також визначити точність вимірювання за концепцією невизначеності вимірювань, оскільки ентропійний коефіцієнт, який використовується при розрахунках стандартної невизначеності кожної складової сумарної невизначеності, яка розраховується за типом В (коли відсутні результати багаторазових спостережень, що дають можливість визначити вплив даної складової).
перелік використаних джерел
12.Головко Д.Б., Рего К.Н., Скрипник Ю.О. Основи метрології та вимірювань.- К.: Либідь, 2001.- 408 с.
Додаток А
Статистичні таблиці
Таблиця А.1
Коефіцієнт розподілу Стюдента для числа ступенів вільності ν
|
V |
Рівень довіри р |
||||||
|
0,6827 |
0,9 |
0,95 |
0,9545 |
0,99 |
0,9973 |
0.999 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
1 |
1,84 |
6,31 |
12,71 |
13,97 |
63,68 |
235,8 |
636,62 |
|
2 |
1,32 |
2,92 |
4,30 |
4,53 |
9,93 |
19,21 |
31,60 |
|
3 |
1,20 |
2,35 |
3,18 |
3,31 |
5,84 |
9,22 |
12,92 |
|
4 |
1,14 |
2,13 |
2,78 |
2.87 |
4.60 |
6,22 |
8,61 |
|
5 |
1,11 |
2,02 |
2,57 |
2,65 |
4,06 |
5,51 |
6,87 |
|
6 |
1,09 |
1,94 |
2.45 |
2,52 |
3,71 |
4,90 |
5,96 |
|
7 |
1,08 |
1,90 |
2,37 |
2,43 |
3,50 |
4,53 |
5,41 |
|
8 |
1,07 |
1,86 |
2,31 |
2,37 |
3,36 |
4,28 |
5,04 |
|
9 |
1,06 |
1,83 |
2,26 |
2,32 |
3,25 |
4,09 |
4,78 |
|
10 |
1,05 |
1,81 |
2,23 |
2,28 |
3,17 |
3,96 |
4,59 |
|
11 |
1,05 |
1,80 |
2,20 |
2,25 |
3,11 |
3,85 |
4,44 |
|
12 |
1,04 |
1,78 |
2,18 |
2,23 |
3,06 |
3,76 |
4,32 |
|
13 |
1,04 |
1,77 |
2,16 |
2,21 |
3,01 |
3,69 |
4,22 |
|
14 |
1,04 |
1,76 |
2,15 |
2,20 |
2,98 |
3,64 |
4,14 |
|
15 |
1,03 |
1,75 |
2,13 |
2,18 |
2,95 |
3,59 |
4,07 |
|
16 |
1,03 |
1,75 |
2,12 |
2,17 |
2,92 |
3,54 |
4,02 |
|
17 |
1,03 |
1,74 |
2,11 |
2,16 |
2,90 |
3,51 |
3,97 |
|
18 |
1,03 |
1,73 |
2,10 |
2,15 |
2,88 |
3,48 |
3,92 |
|
19 |
1,03 |
1,73 |
2,09 |
2,14 |
2,86 |
3,45 |
3,88 |
|
20 |
1,03 |
1,72 |
2,09 |
2,13 |
2,85 |
3,42 |
3,85 |
|
25 |
1,02 |
1,71 |
2,06 |
2,11 |
2,79 |
3,33 |
3,72 |
|
30 |
1,02 |
1,70 |
2,04 |
2,09 |
2,75 |
3,27 |
3,65 |
|
35 |
1,01 |
1,70 |
2,03 |
2,07 |
2,72 |
3,23 |
3,61 |
|
40 |
1,01 |
1,68 |
2,02 |
2,06 |
2,70 |
3,20 |
3,55 |
|
45 |
1,01 |
1,68 |
2,01 |
2,06 |
2,69 |
3,18 |
3,51 |
|
50 |
1,01 |
1,68 |
2,01 |
2,05 |
2,68 |
3,16 |
3,48 |
|
100 |
1,005 |
1,660 |
1,984 |
2,025 |
2,626 |
3,077 |
3,31 |
|
∞ |
1,000 |
1,645 |
1,960 |
2,000 |
2,576 |
3,000 |
3,29 |
Розподіл Стьюдента
|
a v |
0.4 |
0.25 |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.01 |
0.005 |
0.001 |
0.0005 |
|
1 |
0.325 |
1.000 |
3.078 |
6.314 |
12.706 |
31.821 |
63.657 |
318.31 |
636.6 |
|
2 |
0.289 |
0.816 |
1.886 |
2.920 |
4.303 |
6.965 |
9.925 |
22.327 |
31.6 |
|
3 |
0.277 |
0.765 |
1.638 |
2.353 |
3.182 |
4.541 |
5.841 |
10.214 |
12.94 |
|
4 |
0.271 |
0.741 |
1.533 |
2.132 |
2.776 |
3.747 |
4.604 |
7.173 |
8.610 |
|
5 |
0.267 |
0.727 |
1.476 |
2.015 |
2.571 |
3.365 |
4.032 |
5.893 |
6.859 |
|
6 |
0.265 |
0.718 |
1.440 |
1.943 |
2.447 |
3.143 |
3.707 |
5.208 |
5.959 |
|
7 |
0.263 |
0.711 |
1.415 |
1.895 |
2.365 |
2.998 |
3.499 |
4.785 |
5.405 |
|
8 |
0.262 |
0.706 |
1.397 |
1.860 |
2.306 |
2.896 |
3.355 |
4.501 |
5.041 |
|
9 |
0.261 |
0.703 |
1.383 |
1.833 |
2.262 |
2.821 |
3.250 |
4.297 |
4.781 |
|
10 |
0.260 |
0.700 |
1.372 |
1.812 |
2.228 |
2.764 |
3.169 |
4.144 |
4.587 |
|
11 |
0.260 |
0.697 |
1.363 |
1.796 |
2.201 |
2.718 |
3.106 |
4.025 |
4.437 |
|
12 |
0.259 |
0.695 |
1.356 |
1.782 |
2.179 |
2.681 |
3.055 |
3.930 |
4.318 |
|
13 |
0.259 |
0.694 |
1.350 |
1.771 |
2.160 |
2.650 |
3.012 |
3.852 |
4.221 |
|
14 |
0.258 |
0.692 |
1.345 |
1.761 |
2.145 |
2.624 |
2.977 |
3.787 |
4.140 |
|
15 |
0.258 |
0.691 |
1.341 |
1.753 |
2.131 |
2.602 |
2.947 |
3.733 |
4.073 |
|
16 |
0.258 |
0.690 |
1.137 |
1.746 |
2.120 |
2.583 |
2.921 |
3.686 |
4.015 |
|
17 |
0.257 |
0.689 |
1.333 |
1.740 |
2.110 |
2.567 |
2.898 |
3.646 |
3.965 |
|
18 |
0.257 |
0.688 |
1.330 |
1.734 |
2.101 |
2.552 |
2.878 |
3.610 |
3.922 |
|
19 |
0.257 |
0.688 |
1.328 |
1.729 |
2.093 |
2.539 |
2.861 |
3.579 |
3.883 |
|
20 |
0.257 |
0.687 |
1.325 |
1.725 |
2.086 |
2.528 |
2.845 |
3.552 |
3.850 |
|
21 |
0.257 |
0.686 |
1.323 |
1.721 |
2.080 |
2.518 |
2.831 |
3.527 |
3.819 |
|
22 |
0.256 |
0.686 |
1.321 |
1.717 |
2.074 |
2.508 |
2.819 |
3.505 |
3.792 |
|
23 |
0.256 |
0.685 |
1.319 |
1.714 |
2.069 |
2.500 |
2.807 |
3.485 |
3.767 |
|
24 |
0.256 |
0.685 |
1.318 |
1.711 |
2.064 |
2.492 |
2.797 |
3.467 |
3.745 |
|
25 |
0.256 |
0.684 |
1.316 |
1.708 |
2.060 |
2.485 |
2.787 |
3.450 |
3.725 |
|
26 |
0.256 |
0.684 |
1.315 |
1.706 |
2.056 |
2.479 |
2.779 |
3.435 |
3.707 |
|
27 |
0.256 |
0.684 |
1.314 |
1.703 |
2.050 |
2.473 |
2.771 |
3.421 |
3.690 |
|
28 |
0.256 |
0.683 |
1.313 |
1.701 |
2.080 |
2.467 |
2.763 |
3.408 |
3.674 |
|
29 |
0.256 |
0.683 |
1.311 |
1.699 |
2.450 |
2.462 |
2.756 |
3.396 |
3.659 |
|
30 |
0.256 |
0.683 |
1.310 |
1.697 |
2.042 |
2.457 |
2.750 |
3.385 |
2.646 |
|
40 |
0.255 |
0.681 |
1.303 |
1.684 |
2.021 |
2.423 |
2.704 |
3.307 |
3.551 |
|
50 |
0.255 |
0.680 |
1.296 |
1.676 |
2.009 |
2.403 |
2.678 |
3.262 |
3.495 |
|
60 |
0.255 |
0.679 |
1.296 |
1.671 |
2.000 |
2.390 |
2.660 |
3.232 |
3.460 |
|
80 |
0.254 |
0.679 |
1.292 |
1.664 |
1.990 |
2.374 |
2.639 |
3.195 |
3.415 |
|
100 |
0.254 |
0.678 |
1.290 |
1.660 |
1.984 |
2.365 |
2.626 |
3.174 |
3.389 |
|
120 |
0.254 |
0.677 |
1.289 |
1.658 |
1.980 |
2.358 |
2.467 |
3.160 |
3.366 |
|
200 |
0.254 |
0.676 |
1.286 |
1.653 |
1.972 |
2.345 |
2.601 |
3.131 |
3.339 |
|
500 |
0.253 |
0.675 |
1.283 |
1.648 |
1.965 |
2.334 |
2.586 |
3.106 |
3.310 |
|
0.253 |
0.674 |
1.282 |
1.645 |
1.960 |
2.326 |
2.576 |
3.090 |
3.291 |
Функція Лапласа
|
u |
.00 |
.01 |
.02 |
.03 |
.04 |
.05 |
.06 |
.07 |
.08 |
.09 |
|
0.0 |
.0000 |
.0040 |
.0080 |
.0120 |
.0160 |
.0199 |
.0239 |
.0279 |
.0319 |
.0359 |
|
0.1 |
.0398 |
.0438 |
.0478 |
.0517 |
.0557 |
.0596 |
.0636 |
.0675 |
.0714 |
.0753 |
|
0.2 |
.0793 |
.0832 |
.0871 |
.0910 |
.0948 |
.0987 |
.1026 |
.1064 |
.1103 |
.1141 |
|
0.3 |
.1179 |
.1217 |
.1255 |
.1293 |
.1331 |
.1368 |
.1406 |
.1443 |
.1480 |
.1517 |
|
0.4 |
.1554 |
.1591 |
.1698 |
.1664 |
.1700 |
.1736 |
.1772 |
.1808 |
.1844 |
.1879 |
|
0.5 |
.1915 |
.1950 |
.1985 |
.2019 |
.2054 |
.2088 |
.2123 |
.2157 |
.2190 |
.2224 |
|
0.6 |
.2257 |
.2291 |
.2324 |
.2357 |
.2389 |
.2422 |
.2454 |
.2486 |
.2517 |
.2549 |
|
0.7 |
.2580 |
.2611 |
.2642 |
.2673 |
.2704 |
.2734 |
.2764 |
.2794 |
.2823 |
.2852 |
|
0.8 |
.2881 |
.2910 |
.2939 |
.2967 |
.2995 |
.3023 |
.3051 |
.3078 |
.3106 |
.3133 |
|
0.9 |
.3159 |
.3186 |
.3212 |
.3238 |
.3264 |
.3289 |
.3315 |
.3340 |
.3365 |
.3389 |
|
1.0 |
.3413 |
.3438 |
.3461 |
.3485 |
.3508 |
.3531 |
.3554 |
.3577 |
.3599 |
.3621 |
|
1.1 |
.3643 |
.3665 |
.3686 |
.3708 |
.3729 |
.3749 |
.3770 |
.3790 |
.3810 |
.3830 |
|
1.2 |
.3849 |
.3869 |
.3888 |
.3907 |
.3925 |
.3944 |
.3962 |
.3980 |
.3997 |
.4015 |
|
1.3 |
.4032 |
.4049 |
.4066 |
.4082 |
.4099 |
.4115 |
.4131 |
.4147 |
.4162 |
.4177 |
|
1.4 |
.4192 |
.4207 |
.4222 |
.4236 |
.4251 |
.4265 |
.4279 |
.4292 |
.4306 |
.4319 |
|
1.5 |
.4332 |
.4345 |
.4357 |
.4370 |
.4382 |
.4394 |
.4406 |
.4418 |
.4429 |
.4441 |
|
1.6 |
.4452 |
.4463 |
.4474 |
.4484 |
.4495 |
.4505 |
.4515 |
.4525 |
.4535 |
4545 |
|
1.7 |
.4554 |
.4564 |
.4573 |
.4582 |
.4591 |
.4599 |
.4608 |
.4616 |
.4625 |
.4633 |
|
1.8 |
.4641 |
.4649 |
.4656 |
.4664 |
.4671 |
.4678 |
.4686 |
.4693 |
.4699 |
.4706 |
|
1.9 |
.4713 |
.4719 |
.4726 |
.4732 |
.4738 |
.4744 |
.4750 |
.4756 |
.4761 |
.4767 |
|
2.0 |
.4772 |
.4778 |
.4783 |
.4788 |
.4793 |
.4798 |
.4803 |
.4808 |
.4812 |
.4817 |
|
2.1 |
.4821 |
.4826 |
.4830 |
.4834 |
.4838 |
.4842 |
.4846 |
.4850 |
.4854 |
.4857 |
|
2.2 |
.4861 |
.4864 |
.4868 |
.4871 |
.4875 |
.4878 |
.4881 |
.4884 |
.4887 |
.4890 |
|
2.3 |
.4893 |
.4896 |
.4898 |
.4901 |
.4904 |
.4906 |
.4909 |
.4911 |
.4913 |
.4916 |
|
2.4 |
.4918 |
.4920 |
.4922 |
.4925 |
.4927 |
.4929 |
.4931 |
.4932 |
.4934 |
.4936 |
|
2.5 |
.4938 |
.4940 |
.4941 |
.4943 |
.4945 |
.4946 |
.4948 |
.4949 |
.4951 |
.4952 |
|
2.6 |
.4953 |
.4955 |
.4956 |
.4957 |
.4959 |
.4960 |
.4961 |
.4962 |
.4963 |
.4964 |
|
2.7 |
.4965 |
.4966 |
.4967 |
.4968 |
.4969 |
.4970 |
.4971 |
.4972 |
.4973 |
.4974 |
|
2.8 |
.4974 |
.4975 |
.4976 |
.4977 |
.4977 |
.4978 |
.4979 |
.4979 |
.4980 |
.4981 |
|
2.9 |
.4981 |
.4982 |
.4982 |
.4983 |
.4984 |
.4984 |
.4985 |
.4985 |
.4986 |
.4986 |
|
3.0 |
.4987 |
.4987 |
.4987 |
.4988 |
.4988 |
.4989 |
.4989 |
.4989 |
.4990 |
.4990 |
Розроділ Фішера
a
|
(Число степенів свободи) |
||||||||||||||
|
a |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
||
|
1 |
.10 |
39.9 |
49.5 |
53.6 |
55.8 |
57.2 |
58.2 |
58.9 |
59.4 |
59.9 |
60.2 |
60.5 |
60.7 |
|
|
.05 |
161 |
200 |
216 |
225 |
230 |
234 |
237 |
239 |
241 |
242 |
243 |
244 |
||
|
2 |
.10 |
8.53 |
9.00 |
9.16 |
9.24 |
9.29 |
9.33 |
9.35 |
9.37 |
9.38 |
9.39 |
9.40 |
9.41 |
|
|
.05 |
18.5 |
19.0 |
19.2 |
19.2 |
19.3 |
19.3 |
19.4 |
19.4 |
19.4 |
19.4 |
19.4 |
19.4 |
||
|
.01 |
98.5 |
99.2 |
99.2 |
99.2 |
99.3 |
99.3 |
99.4 |
99.4 |
99.4 |
99.4 |
99.4 |
99.4 |
||
|
3 |
.10 |
5.54 |
5.46 |
5.39 |
5.34 |
5.31 |
5.28 |
5.27 |
5.25 |
5.24 |
5.23 |
5.22 |
5.22 |
|
|
.05 |
10.1 |
9.55 |
9.28 |
9.12 |
9.01 |
8.94 |
8.89 |
8.85 |
8.81 |
8.79 |
8.76 |
8.74 |
||
|
.01 |
34.1 |
30.8 |
29.5 |
28.7 |
28.2 |
27.9 |
27.7 |
27.5 |
27.3 |
27.2 |
27.1 |
27.1 |
||
|
4 |
.10 |
4.54 |
4.32 |
4.19 |
4.11 |
4.05 |
4.01 |
3.98 |
3.95 |
3.94 |
3.92 |
3.91 |
3.90 |
|
|
.05 |
7.71 |
6.94 |
6.59 |
6.39 |
6.26 |
6.16 |
6.09 |
6.04 |
6.00 |
5.96 |
5.94 |
5.91 |
||
|
.01 |
21.2 |
18.0 |
16.7 |
16.0 |
15.5 |
15.2 |
15.0 |
14.8 |
14.7 |
14.5 |
14.4 |
14.4 |
||
|
5 |
.10 |
4.06 |
3.78 |
3.62 |
3.52 |
3.45 |
3.40 |
3.37 |
3.34 |
3.32 |
3.30 |
3.28 |
3.27 |
|
|
.05 |
6.61 |
5.79 |
5.41 |
5.19 |
5.05 |
4.95 |
4.88 |
4.82 |
4.77 |
4.74 |
4.71 |
4.68 |
||
|
.01 |
16.3 |
13.3 |
12.1 |
11.4 |
11.0 |
10.7 |
10.5 |
10.3 |
10.2 |
10.1 |
9.96 |
9.89 |
||
|
6 |
.10 |
3.78 |
3.46 |
3.29 |
3.18 |
3.11 |
3.05 |
3.01 |
2.98 |
2.96 |
2.94 |
2.92 |
2.90 |
|
|
.05 |
5.99 |
5.14 |
4.76 |
4.53 |
4.39 |
4.28 |
4.21 |
4.15 |
4.10 |
4.06 |
4.03 |
4.00 |
||
|
.01 |
13.7 |
10.9 |
9.78 |
9.15 |
8.75 |
8.47 |
8.26 |
8.10 |
7.98 |
7.87 |
7.79 |
7.72 |
||
|
7 |
.10 |
3.59 |
3.26 |
3.07 |
2.96 |
2.88 |
2.83 |
2.78 |
2.75 |
2.72 |
2.70 |
2.68 |
2.67 |
|
|
.05 |
5.59 |
4.74 |
4.35 |
4.12 |
3.97 |
3.87. |
3.79 |
3.73 |
3.68 |
3.64 |
3.60 |
3.57 |
||
|
.01 |
12.2 |
9.55 |
8.45 |
7.85 |
7.46 |
7.19 |
6.99 |
6.84 |
6.72 |
6.62 |
6.54 |
6.47 |
||
|
8 |
.10 |
3.46 |
3.11 |
2.92 |
2.81 |
2.73 |
2.67 |
2.62 |
2.59 |
2.56 |
2.54 |
2.52 |
2.50 |
|
|
.05 |
5.32 |
4.46 |
4.07 |
3.84 |
3.69 |
3.58 |
3.50 |
3.44 |
3.39 |
3.35 |
3.31 |
3.28 |
||
|
.01 |
11.3 |
8.65 |
7.59 |
7.01 |
6.63 |
6.37 |
6.18 |
6.03 |
5.91 |
5.81 |
5.73 |
5.67 |
||
|
9 |
.10 |
3.36 |
3.01 |
2.81 |
2.69 |
2.61 |
2.55 |
2.51 |
2.47 |
2.44 |
2.42 |
2.40 |
2.38 |
|
|
.05 |
5.12 |
4.26 |
3.86 |
3.63 |
3.48 |
3.37 |
3.29 |
3.23 |
3.18 |
3.14 |
3.10 |
3.07 |
||
|
.01 |
10.6 |
8.02 |
6.99 |
6.42 |
6.06 |
5.80 |
5.61 |
5.47 |
5.35 |
5.26 |
5.18 |
5.11 |
||
|
10 |
.10 |
3.29 |
2.92 |
2.73 |
2.61 |
2.52 |
2.46 |
2.41 |
2.38 |
2.35 |
2.32 |
2.30 |
2.28 |
|
|
.05 |
4.96 |
4.10 |
3.71 |
3.48 |
3.33 |
3.22 |
3.14 |
3.07 |
3.02 |
2.98 |
2.94 |
2.91 |
||
|
.01 |
10.0 |
7.56 |
6.55 |
5.99 |
5.64 |
5.39 |
5.20 |
5.06 |
4.94 |
4.85 |
4.77 |
4.71 |
||
|
11 |
.10 |
3.23 |
2.86 |
2.66 |
2.54 |
2.45 |
2.39 |
2.34 |
2.30 |
2.27 |
2.25 |
2.23 |
2.21 |
|
|
.05 |
4.84 |
3.98 |
3.59 |
3.36 |
3.20 |
3.09 |
3.01 |
2.95 |
2.90 |
2.85 |
2.82 |
2.79 |
||
|
.01 |
9.65 |
7.21 |
6.22 |
5.67 |
5.32 |
5.07 |
4.89 |
4.74 |
4.63 |
4.54 |
4.46 |
4.40 |
Б
|
(Число степенів свободи) |
||||||||||||||
|
15 |
20 |
24 |
30 |
40 |
50 |
60 |
100 |
120 |
200 |
500 |
a |
|||
|
61.2 |
61.7 |
62.0 |
62.3 |
62.5 |
62.7 |
62.8 |
63.0 |
63.1 |
63.2 |
63.3 |
63.3 |
.10 |
1 |
|
|
246 |
248 |
249 |
250 |
251 |
252 |
252 |
253 |
253 |
254 |
254 |
254 |
.05 |
||
|
9.42 |
9.44 |
9.45 |
9.46 |
9.47 |
9.47 |
9.47 |
9.48 |
9.48 |
9.49 |
9.49 |
9.49 |
.10 |
2 |
|
|
19.4 |
19.4 |
19.5 |
19.5 |
19.5 |
19.5 |
19.5 |
19.5 |
19.5 |
19.5 |
19.5 |
19.5 |
.05 |
||
|
99.4 |
99.4 |
99.5 |
99.5 |
99.5 |
99.5 |
99.5 |
99.5 |
99.5 |
99.5. |
99.5 |
995 |
.01 |
||
|
5.20 |
5.18 |
5.18 |
5.17 |
5.16 |
5.15 |
5.15 |
5.14 |
5.14 |
5.14 |
5.14 |
5.13 |
.10 |
3 |
|
|
8.70 |
8.66 |
8.64 |
8.62 |
8.59 |
8.58 |
8.57 |
8.55 |
8.55 |
8.54 |
8.53 |
8.53 |
.05 |
||
|
26.9 |
26.7 |
26.6 |
26.5 |
26.4 |
26.4 |
26.3 |
26.2 |
26.2 |
26:2 |
26.1 |
26.1 |
.01 |
||
|
3.87 |
3.84 |
3.83 |
3.82 |
3.80 |
3.80 |
3.79 |
3.78 |
3.78 |
3.77 |
3.76 |
3.76 |
.10 |
4 |
|
|
5.86 |
5.80 |
5.77 |
5.75 |
5.72 |
5.70 |
5.69 |
5.66 |
5.66 |
5.65 |
5.64 |
5.63 |
.05 |
||
|
14.2 |
14.0 |
13.9 |
13.8 |
13.7 |
13.7 |
13.7 |
13.6 |
13.6 |
13.5 |
13.5 |
13.5 |
.01 |
||
|
3.24 |
3.21 |
3.19 |
3.17 |
3.16 |
3.15 |
3.14 |
3.13 |
3.12 |
3.12 |
3.11 |
3.10 |
.10 |
5 |
|
|
4.62 |
4.56 |
4.53 |
4.50 |
4.46 |
4.44 |
4.43 |
4.41 |
4.40 |
4.39 |
4.37 |
4.36 |
.05 |
||
|
9.72 |
9.55 |
9.47 |
9.38 |
9.29 |
9.24 |
9.20 |
9.13 |
9.11 |
9.08 |
9.04. |
9.02 |
.01 |
||
|
2.87 |
2.84 |
2.82 |
2.80 |
2.7S |
2.77 |
2.76 |
2.75 |
2.74 |
2.73 |
2.73 |
2.72 |
.10 |
6 |
|
|
3.94 |
3.87 |
3.84 |
3.81 |
3.77 |
3.75 |
3.74 |
3.71 |
3.70 |
3.69 |
3.68 |
3.67 |
.05 |
||
|
7.56 |
7.40 |
7.31 |
7.23 |
7.14 |
7.09 |
7.06 |
6.99 |
6.97 |
6.93 |
6.90 |
6.88 |
.01 |
||
|
2.63 |
2.59 |
2.58 |
2.56 |
2.54 |
2.52 |
2.51 |
2.50 |
2.49 |
2.48 |
2.48 |
2.47 |
.10 |
7 |
|
|
3.51 |
3.44 |
3.41 |
3.38 |
3.34 |
3.32 |
3.30 |
3.27 |
3.27 |
3.25 |
3.24 |
3.23 |
.05 |
||
|
6.31 |
6.16 |
6.07 |
5.99 |
5.91 |
5.86 |
5.82 |
5.75 |
5.74 |
5.70 |
5.67 |
5.65 |
.01 |
||
|
2.46 |
2.42 |
2.40 |
2.38 |
2.36 |
2.35 |
2.34 |
2.32 |
2.32 |
2.31 |
2.30 |
2.29 |
.10 |
8 |
|
|
3.22 |
3.15 |
3.12 |
3.08 |
3.04 |
2.02 |
3.01 |
2.97 |
2.97 |
2.95 |
2.94 |
2.93 |
.05 |
||
|
5.52 |
5.36 |
5.28 |
5.20 |
5.12 |
5.07 |
5.03 |
4.96 |
4.95 |
4.91 |
4.88 |
4.86 |
.01 |
||
|
2.34 |
2.30 |
2.28 |
2.25 |
2.23 |
2 22 |
2.21 |
2.19 |
2.18 |
2.17 |
2.17 |
2.16 |
.10 |
9 |
|
|
3.01 |
2.94 |
2.90 |
2.86 |
2.83 |
2.80 |
2.79 |
2.76 |
2.75 |
2.73 |
2.72 |
2.71 |
.05 |
||
|
4.96 |
4.81 |
4.73 |
4.65 |
4.57 |
4.52 |
4.48 |
4.42 |
4.40 |
4.36 |
4.33 |
4.31 |
.01 |
||
|
2.24 |
2.20 |
2.18 |
2.16 |
2.13 |
2.12 |
2.11 |
2.09 |
2.08 |
2.07 |
2.06 |
2.06 |
.10 |
10 |
|
|
2.85 |
2.77 |
2.74 |
2.70 |
2.66 |
2.64 |
2.62 |
2.59 |
2.58 |
2.56 |
2.55 |
2.54 |
.05 |
||
|
4.56 |
4.41 |
4.33 |
4.25 |
4.17 |
4.12 |
4.08 |
4.01 |
4.00 |
3.96 |
3.93 |
3.91 |
.01 |
||
|
2.17 |
2.12 |
2.10 |
2.08 |
2.05 |
2.04 |
2.03 |
2.00 |
2.00 |
1.99 |
1.98 |
1.97 |
.10 |
11 |
|
|
2.72 |
2.65 |
2.61 |
2.57 |
2.53 |
2.51 |
2.49 |
2.46 |
2.45 |
2.43 |
2.42 |
2.40 |
.05 |
||
|
4.25 |
4.10 |
4.02 |
3.94 |
3.86 |
3.81 |
3.78 |
3.71 |
3.69 |
3.66 |
3.62 |
3.60 |
.01 |
В
|
(Число степенів свободи) |
||||||||||||||
|
a |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
||
|
12 |
.10 |
3.18 |
2.81 |
2.61 |
2.48 |
2.39 |
2.33 |
2.28 |
2.24 |
2.21 |
2.19 |
2.17 |
2.15 |
|
|
.05 |
4.75 |
3.89 |
3.49 |
3.26 |
3.11 |
3.00 |
2.91 |
2.85 |
2.80 |
2.75 |
2.72 |
2.69 |
||
|
.01 |
9.33 |
6.93 |
5.95 |
5.41 |
5.06 |
4.82 |
4.64 |
4.50 |
4.39 |
4.30 |
4.22 |
4.16 |
||
|
13 |
.10 |
3.14 |
2.76 |
2.56 |
2.43 |
2.35 |
2.28 |
2.23 |
2.20 |
2.16 |
2.14 |
2.12 |
2.10 |
|
|
.05 |
4.67 |
3.81 |
3.41 |
3.18 |
3.03 |
2.92 |
2.83 |
2.77 |
2.71 |
2.67 |
2.63 |
2.60 |
||
|
.01 |
9.07 |
6.70 |
5.74 |
5.21 |
4.86 |
4.62 |
4.44 |
4.30 |
4.19 |
4.10 |
4.02 |
3.96 |
||
|
14 |
.10 |
3.10 |
2.73 |
2.52 |
239 |
2.31 |
2.24 |
2.19 |
2.15 |
2.12 |
2.10 |
2.08 |
2.05 |
|
|
.05 |
4.60 |
3.74 |
3.34 |
3.11 |
2.96 |
2.85 |
2.76 |
2.70 |
2.65 |
2.60 |
2.57 |
2.53 |
||
|
.01 |
8.86 |
6.51 |
5.56 |
5.04 |
4.69 |
4.46 |
4.28 |
4.14 |
4.03 |
3.94 |
3.86 |
3.80 |
||
|
15 |
.10 |
3.07 |
2.70 |
2.49 |
2.36 |
2.27 |
2.21 |
2.16 |
2.12 |
2.09 |
2.06 |
2.04 |
2.02 |
|
|
.05 |
4.54 |
3.68 |
3.29 |
3.06 |
2.90 |
2.79 |
2.71 |
2.64 |
2.59 |
2.54 |
2.51 |
2.48 |
||
|
.01 |
8.68 |
6.36 |
5.42 |
4.89 |
4.56 |
4.32 |
4.14 |
4.00 |
3.89 |
3.80 |
3.73 |
3.67 |
||
|
16 |
.10 |
3.05 |
2.67 |
2.46 |
2.33 |
2.24 |
2.18 |
2.13 |
2.09 |
2.06 |
2.03 |
2.01 |
1.99 |
|
|
.05 |
4.49 |
3.63 |
3.24 |
3.01 |
2.85 |
2.74 |
2.66 |
2.59 |
2.54 |
2.49 |
2.46 |
2.42 |
||
|
.01 |
8.53 |
6.23 |
5.29 |
4.77 |
4.44 |
4.20 |
4.03 |
3.89 |
3.78 |
3.69 |
3.62 |
3.55 |
||
|
17 |
.10 |
3.03 |
2.64 |
2.44 |
2.31 |
2.22 |
2.15 |
2.10 |
2.06 |
2.03 |
2.00 |
1.98 |
1.96 |
|
|
.05 |
4.45 |
3.59 |
3.20 |
2.96 |
2.81 |
2.70 |
2.61 |
2.55 |
2.49 |
2.45 |
2.41 |
2.38 |
||
|
.01 |
8.40 |
6.11 |
5.18 |
4.67 |
4.34 |
4.10 |
3.93 |
3.79 |
3.68 |
3.59 |
3.52 |
3.46 |
||
|
18 |
.10 |
3.01 |
2.62 |
2.42 |
2.29 |
2.20 |
2.13 |
2.08 |
2.04 |
2.00 |
1.98 |
1.96 |
1.93 |
|
|
.05 |
4.41 |
3.55 |
3.16 |
2.93 |
2.77 |
2.66 |
2.58 |
2.51 |
2.46 |
2.41 |
2.37 |
2.34 |
||
|
.01 |
8.29 |
6.01 |
5.09 |
4.58 |
4.25 |
4.01 |
3.84 |
3.71 |
3.60 |
3.51 |
3.43 |
3.37 |
||
|
19 |
.10 |
2.99 |
2.61 |
2.40 |
2.27 |
2.18 |
2.1 1 |
2.06 |
2.02 |
1.98 |
1.96 |
1.94 |
1.91 |
|
|
.05 |
4.38 |
3.52 |
3.13 |
2.90 |
2.74 |
2.63 |
2.54 |
2.48 |
2.42 |
2.38 |
2.34 |
2.31 |
||
|
.01 |
8.18 |
5.93 |
5.01 |
4.50 |
4.17 |
3.94 |
3.77 |
3.63 |
3.52 |
3.43 |
3.36 |
3.30 |
||
|
20 |
.10 |
2.97 |
2.59 |
2.38 |
2.25 |
2.16 |
2.09 |
2.04 |
2.00 |
1.96 |
1.94 |
1.92 |
1.89 |
|
|
.05 |
4.35 |
3.49 |
3.10 |
2.87 |
2.71 |
2.60 |
2.51 |
2.45 |
2.39 |
2.35 |
2.31 |
2.28 |
||
|
.01 |
8.10 |
5.85 |
4.94 |
4.43 |
4.10 |
3.87 |
3.70 |
3.56 |
3.46 |
3.37 |
3.29 |
3.23 |
||
|
22 |
.10 |
2.95 |
2.56 |
2.35 |
2.22 |
2.13 |
2.06 |
2.01 |
1.97 |
1.93 |
1.90 |
1.88 |
1.86 |
|
|
.05 |
4.30 |
3.44 |
3.05 |
2.82 |
2.66 |
2.55 |
2.46 |
2.40 |
2.34 |
2.30 |
2.26 |
2.23 |
||
|
.01 |
7.95 |
5.72 |
4.82 |
4.31 |
3.99 |
3.76 |
3.59 |
3.45 |
3.35 |
3.26 |
3.18 |
3.12 |
||
|
24 |
.10 |
2.93 |
2.54 |
2.33 |
2.19 |
2.10 |
2.04 |
1.98 |
1.94 |
1.91 |
1.88 |
1.85 |
1.83 |
|
|
.05 |
4.26 |
3.40 |
3.01 |
2.78 |
2.62 |
2.51 |
2.42 |
2.36 |
2.30 |
2.25 |
2.21 |
2.18 |
||
|
.01 |
7.82 |
5.61 |
4.72 |
4.22 |
3.90 |
3.67 |
3.50 |
3.36 |
3.26 |
3.17 |
3.09 |
3.03 |
||
|
26 |
.10 |
2.91 |
2.52 |
2.31 |
2.17 |
2.08 |
2.01 |
1.96 |
1.92 |
1.88 |
1.86 |
1.84 |
1.81 |
|
|
.05 |
4.23 |
3.37 |
2.98 |
2.74 |
2.59 |
2.47 |
2.39 |
2.32 |
2.27 |
2.22 |
2.18 |
2.15 |
||
|
.01 |
7.72 |
5.53 |
4.64 |
4.14 |
3.82 |
3.59 |
3.42 |
3.29 |
3.18 |
3.09 |
3.02 |
2.96 |
||
|
28 |
.10 |
2.89 |
2.50 |
2.29 |
2.16 |
2.06 |
2.00 |
1.94 |
1.90 |
1.87 |
1.84 |
1.81 |
1.79 |
|
|
.05 |
4.20 |
3.34 |
2.95 |
2.71 |
2.56 |
2.45 |
2.36 |
2.29 |
2.24 |
2.19 |
2.15 |
2.12 |
||
|
.01 |
7.64 |
5.45 |
4.57 |
4.07 |
3.75 |
3.53 |
3.36 |
3.23 |
3.12 |
3.03 |
2.96 |
2.90 |
||
|
30 |
.10 |
2.88 |
2.49 |
2.28 |
2.14 |
2.05 |
1.98 |
1.93 |
1.88 |
1.85 |
1.82 |
1.79 |
1.77 |
|
|
.05 |
4.17 |
3.32 |
2.92 |
2.69 |
2.53 |
2.42 |
2.33 |
2.27 |
2.21 |
2.16 |
2.13 |
2.09 |
||
|
.01 |
7.56 |
5.39 |
4.51 |
4.02 |
3.70 |
3.47 |
3.30 |
3.17 |
3.07 |
2.98 |
2.91 |
2.84 |
Г
|
(Число степенів свободи) |
|||||||||||||
|
15 |
20 |
24 |
30 |
40 |
50 |
60 |
100 |
120 |
200 |
500 |
a |
||
|
2.10 |
2.06 |
2.04 |
2.01 |
1.99 |
1.97 |
1.96 |
1.94 |
1.93 |
1.92 |
1.91 |
1.90 |
.10 |
12 |
|
2.62 |
2.54 |
2.51 |
2.47 |
2.43 |
2.40 |
2.38 |
2.35 |
2.34 |
2.32 |
2.31 |
2.30 |
.05 |
|
|
4.01 |
3.86 |
3.78 |
3.70 |
3.62 |
3.57 |
3.54 |
3.47 |
3.45 |
3.41 |
3.38 |
3.36 |
.01 |
|
|
2.05 |
2.01 |
1.98 |
1.96 |
1.93 |
1.92 |
1.90 |
1.88 |
1.88 |
1.86 |
1.85 |
1.85 |
.10 |
13 |
|
2.53 |
2.46 |
2.42 |
2.38 |
2.34 |
2.31 |
2.30 |
2.26 |
2.25 |
2.23 |
2.22 |
2.21 |
.05 |
|
|
3.82 |
3.66 |
3.59 |
3.51 |
3.43 |
3.38 |
3.34 |
3.27 |
3.25 |
3.22 |
3.19 |
3.17 |
.01 |
|
|
2.01 |
1.96 |
1.94 |
1.91 |
1.89 |
1.87 |
1.86 |
1.83 |
1.83 |
1.82 |
1.80 |
1.80 |
.10 |
14 |
|
2.46 |
2.39 |
2.35 |
2.31 |
2.27 |
2.24 |
2.22 |
2.19 |
2.18 |
2.16 |
2.14 |
2.13 |
.05 |
|
|
3.66 |
3.51 |
3.43 |
3.35 |
3.27 |
3.22 |
3.18 |
3.1 1 |
3.09 |
3.06 |
3.03 |
3.00 |
.01 |
|
|
1.97 |
1.92 |
1.90 |
1.87 |
1.85 |
1.83 |
1.82 |
1.79 |
1.79 |
1.77 |
1.76 |
1.76 |
.10 |
15 |
|
2.40 |
2.33 |
2.29 |
2.25 |
2.20 |
2.18 |
2.16 |
2.12 |
2.11 |
2.10 |
2.08 |
2.07 |
.05 |
|
|
3.52 |
3.37 |
3.29 |
3.21 |
3.13 |
3.08 |
3.05 |
2.98 |
2.96 |
2.92 |
2.89 |
2.87 |
.01 |
|
|
1.94 |
1.89 |
1.87 |
1.84 |
1.81 |
1.79 |
1.78 |
1.76 |
1.75 |
1.74 |
1.73 |
1.72 |
.10 |
16 |
|
2.35 |
2.28 |
2.24 |
2.19 |
2.15 |
2.12 |
2.1 1 |
2.07 |
2.06 |
2.04 |
2.02 |
2.01 |
.05 |
|
|
3.41 |
3.26 |
3.18 |
3.10 |
3.02 |
2.97 |
2.93 |
2.86 |
2.84 |
2.81 |
2.78 |
2.75 |
.01 |
|
|
1.91 |
1.86 |
1.84 |
1.81 |
1.78 |
1.76 |
1.75 |
1.73 |
1.72 |
1.71 |
1.69 |
1.69 |
.10 |
17 |
|
2.31 |
2.23 |
2.19 |
2.15 |
2.10 |
2.08 |
2.06 |
2.02 |
2.01 |
1.99 |
1.97 |
1.96 |
.05 |
|
|
3.31 |
3.16 |
3.08 |
3.00 |
2.92 |
2.87 |
2.83 |
2.76 |
2.75 |
2.71 |
2.68 |
2.65 |
.01 |
|
|
1.89 |
1.84 |
1.81 |
1.78 |
1.75 |
1.74 |
1.72 |
1.70 |
1.69 |
1.68 |
1.67 |
1.66 |
.10 |
18 |
|
2.27 |
2.19 |
2.15 |
2.11 |
2.06 |
2.04 |
2.02 |
1.98 |
1.97 |
1.95 |
1.93 |
1.92 |
.05 |
|
|
3.23 |
3.08 |
3.00 |
2.92 |
2.84 |
2.78 |
2.75 |
2.68 |
2.66 |
2.62 |
2.59 |
2.57 |
.01 |
|
|
1.86 |
1.81 |
1.79 |
1.76 |
1.73 |
1.71 |
1.70 |
1.67 |
1.67 |
1.65 |
1.64 |
1.63 |
.10 |
19 |
|
2.23 |
2.16 |
2.11 |
2.07 |
2.03 |
2.00 |
1.98 |
1.94 |
1.93 |
1.91 |
1.89 |
1.88 |
.05 |
|
|
3.15 |
3.00 |
2.92 |
2.84 |
2.76 |
2.71 |
2.67 |
2.60 |
2.58 |
2.55 |
2.51 |
2.49 |
.01 |
|
|
1.84 |
1.79 |
1.77 |
1.74 |
1.71 |
1.69 |
1.68 |
1.65 |
1.64 |
1.63 |
1.62 |
1.61 |
.10 |
20 |
|
2.20 |
2.12 |
2.08 |
2.04 |
1.99 |
1.97 |
1.95 |
1.91 |
1.90 |
1.88 |
1.86 |
1.84 |
.05 |
|
|
3.09 |
2.94 |
2.86 |
2.78 |
2.69 |
2.64 |
2.61 |
2.54 |
2.52 |
2.48 |
2.44 |
2.42 |
.01 |
|
|
1.81 |
1.76 |
1.73 |
1.70 |
1.67 |
1.65 |
1.64 |
1.61 |
1.60 |
1.39 |
1.58 |
1.37 |
.10 |
22 |
|
2.15 |
2.07 |
2.03 |
1.98 |
1.94 |
1.91 |
1.89 |
1.85 |
1.84 |
1.82 |
1.80 |
1.78 |
.05 |
|
|
2.98 |
2.83 |
2.75 |
2.67 |
2.58 |
2.53 |
2.50 |
2.42 |
2.40 |
2.36 |
2.33 |
2.31 |
.01 |
|
|
1.78 |
1.73 |
1.70 |
1.67 |
1.64 |
1.62 |
1.61 |
1.58 |
1.57 |
1.56 |
1.54 |
1.53 |
.10 |
24 |
|
2.1 1 |
2.03 |
1.98 |
1.94 |
1.89 |
1.86 |
1.84 |
1.80 |
1.79 |
1.77 |
1.75 |
1.73 |
.05 |
|
|
2.89 |
2.74 |
2.66 |
2.58 |
2.49 |
2.44 |
2.40 |
2.33 |
2.31 |
2.27 |
2.24 |
2.21 |
.01 |
|
|
1.76 |
1.71 |
1.68 |
1.65 |
1.61 |
1.59 |
1.58 |
1.35 |
1.54 |
1.53 |
1.51 |
1.50 |
.10 |
26 |
|
2.07 |
1.99 |
1.95 |
1.90 |
1.85 |
1.82 |
1.80 |
1.76 |
1.75 |
1.73 |
1.71 |
1.69 |
.05 |
|
|
2.81 |
2.66 |
2.58 |
2.50 |
2.42 |
2.36 |
2.33 |
2.25 |
2.23 |
2.19 |
2.16 |
2.13 |
.01 |
|
|
1.74 |
1.69 |
1.66 |
1.63 |
1.59 |
1.57 |
1.56 |
1.53 |
1.52 |
1.50 |
1.49 |
1.48 |
.10 |
28 |
|
2.04 |
1.96 |
1.91 |
1.87 |
1.82 |
1.79 |
1.77 |
1.73 |
1.71 |
1.69 |
1.67 |
1.65 |
.05 |
|
|
2.75 |
2.60 |
2.52 |
2.44 |
2.35 |
2.30 |
2.26 |
2.19 |
2.17 |
2.13 |
2.09 |
2.06 |
.01 |
|
|
1.72 |
1.67 |
1.64 |
1.61 |
1.57 |
1.55 |
1.54 |
1.51 |
1.50 |
1.48 |
1.47 |
1.46 |
.10 |
30 |
|
2.01 |
1.93 |
1.89 |
1.84 |
1.79 |
1.76 |
1.74 |
1.70 |
1.68 |
1.66 |
1.64 |
1.62 |
.05 |
|
|
2.70 |
2.55 |
2.47 |
2.39 |
2.30 |
2.25 |
2.21 |
2.13 |
2.1 1 |
2.07 |
2.03 |
2.01 |
.01 |
Д
|
(Число степенів свободи) |
|||||||||||||
|
a |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
40 |
.10 |
2.84 |
2.44 |
2.23 |
2.09 |
2.00 |
1.93 |
1.87 |
1.83 |
1.79 |
1.76 |
1.73 |
1.71 |
|
.05 |
4.08 |
3.23 |
2.84 |
2.61 |
2.45 |
2.34 |
2.25 |
2.18 |
2.12 |
2.08 |
2.04 |
2.00 |
|
|
.01 |
7.31 |
5.18 |
4.31 |
3.83 |
3.51 |
3.29 |
3.12 |
2.99 |
2.89 |
2.80 |
2.73 |
2.66 |
|
|
60 |
.10 |
2.79 |
2.39 |
2.18 |
2.04 |
1.95 |
1.87 |
1.82 |
1.77 |
1.74 |
1.71 |
1.68 |
1.66 |
|
.05 |
4.00 |
3.15 |
2.76 |
2.53 |
2.37 |
2.25 |
2.17 |
2.10 |
2.04 |
1.99 |
1.95 |
1.92 |
|
|
.01 |
7.08 |
4.98 |
4.13 |
3.65 |
3.34 |
3.12 |
2.95 |
2.82 |
2.72 |
2.63 |
2.56 |
2.50 |
|
|
80 |
.01 |
2.77 |
2.37 |
2.16 |
2.02 |
1.93 |
1.85 |
1.80 |
1.75 |
1.72 |
1.69 |
1.65 |
1.63 |
|
.05 |
3.96 |
3.1 1 |
2.72 |
2.48 |
2.33 |
2.21 |
2.12 |
2.05 |
1.99 |
1.95 |
1.91 |
1.88 |
|
|
.01 |
6.96 |
4.88 |
4.04 |
3.56 |
3.25 |
3.04 |
2.87 |
2.74 |
2.64 |
2.55 |
2.48 |
2.41 |
|
|
100 |
.10 |
2.76 |
2.36 |
2.14 |
2.00 |
1.91 |
1.83 |
1.78 |
1.73 |
1.70 |
1.67 |
1.63 |
1.61 |
|
.05 |
3.94 |
3.09 |
2.70 |
2.46 |
2.30 |
2.19 |
2.10 |
2.03 |
1.97 |
1.92 |
1.88 |
1.85 |
|
|
.01 |
6.90 |
4.82 |
3.98 |
3.51 |
3.20 |
2.99 |
2.82 |
2.69 |
2.59 |
2.51 |
2.43 |
2.36 |
|
|
120 |
.10 |
2.75 |
2.35 |
2.13 |
1.99 |
1.90 |
1.82 |
1.77 |
1.72 |
1.68 |
1.65 |
1.62 |
1.60 |
|
.05 |
3.92 |
3.07 |
2.68 |
2.45 |
2.29 |
2.17 |
2.09 |
2.02 |
1.96 |
1.91 |
1.87 |
1.83 |
|
|
.01 |
6.85 |
4.79 |
3.95 |
3.48 |
3.17 |
2.96 |
2.79 |
2.66 |
2.56 |
2.47 |
2.40 |
2.34 |
|
|
200 |
.10 |
2.73 |
2.33 |
2.1 1 |
1.97 |
1.88 |
1.80 |
1.75 |
1.70 |
1.66 |
1.63 |
1.60 |
1.57 |
|
.05 |
3.89 |
3.04 |
2.65 |
2.42 |
2.26 |
2.14 |
2.06 |
1.98 |
1.93 |
1.88 |
1.84 |
1.80 |
|
|
.01 |
6.76 |
4.71 |
3.88 |
3.41 |
3.1 1 |
2.89 |
2.73 |
2.60 |
2.50 |
2.41 |
2.34 |
2.27 |
|
|
.10 |
2.71 |
2.30 |
2.08 |
1.94 |
1.85 |
1.77 |
1.72 |
1.67 |
1.63 |
1.60 |
1.57 |
1.55 |
|
|
.05 |
3.84 |
3.00 |
2.60 |
2.37 |
2.21 |
2.10 |
2.01 |
1.94 |
1.88 |
1.83 |
1.79 |
1.75 |
|
|
.01 |
6.63 |
4.61 |
3.78 |
3.32 |
3.02 |
2.80 |
2.64 |
2.51 |
2.41 |
2.32 |
2.25 |
2.18 |
Е
|
(Число степенів свободи) |
||||||||||||||||
|
15 |
20 |
24 |
30 |
40 |
50 |
60 |
100 |
120 |
200 |
500 |
a |
|||||
|
1.66 |
1.61 |
1.57 |
1.54 |
1.51 |
1.48 |
1.47 |
1.43 |
1.42 |
1.41 |
1.39 |
1.38 |
.10 |
40 |
|||
|
1.92 |
1.84 |
1.79 |
1.74 |
1.69 |
1.66 |
1.64 |
1.59 |
1.58 |
1.55 |
1.53 |
1.51 |
.05 |
||||
|
2.52 |
2.37 |
2.29 |
2.20 |
2.11 |
2.06 |
2.02 |
1.94 |
1.92 |
1.87 |
1.83 |
1.80 |
.01 |
||||
|
1.60 |
1.54 |
1.51 |
1.48 |
1.44 |
1.41 |
1.40 |
1.36 |
1.35 |
1.33 |
1.31 |
1.29 |
.10 |
60 |
|||
|
1.84 |
1.75 |
1.70 |
1.65 |
1.59 |
1.56 |
1.53 |
1.48 |
1.47 |
1.44 |
1.41 |
1.39 |
.05 |
||||
|
2.35 |
2.20 |
2.12 |
2.03 |
1.94 |
1.88 |
1.84 |
1.75 |
1.73 |
1.68 |
1.63 |
1.60 |
.01 |
||||
|
1.58 |
1.52 |
1.49 |
1.45 |
1.41 |
1.38 |
1.36 |
1.31 |
1.31 |
1.29 |
1.27 |
1.25 |
.10 |
80 |
|||
|
1.77 |
1.70 |
1.65 |
1.60 |
1.54 |
1.51 |
1.47 |
1.42 |
1.40 |
1.38 |
1.34 |
1.32 |
.05 |
||||
|
2.24 |
2.11 |
2.03 |
1.94 |
1.84 |
1.78 |
1.76 |
1.65 |
1.63 |
1.57 |
1.52 |
1.49 |
.01 |
||||
|
1.56 |
1.50 |
1.47 |
1.43 |
1.39 |
1.36 |
1.34 |
1.29 |
1.28 |
1.26 |
1.24 |
1.22 |
.10 |
100 |
|||
|
1.75 |
1.68 |
1.63 |
1.57 |
1.51 |
1.48 |
1.45 |
1.39 |
1.38 |
1.34 |
1.30 |
1.28 |
.05 |
||||
|
2.19 |
2.06 |
1.98 |
1.89 |
1.79 |
1.73 |
1.70 |
1.59 |
1.57 |
1.51 |
1.46 |
1.43 |
.01 |
||||
|
1.55 |
1.48 |
1.45 |
1.41 |
1.37 |
1.34 |
1.32 |
1.27 |
1.26 |
1.24 |
1.21 |
1.19 |
.10 |
120 |
|||
|
1.75 |
1.66 |
1.61 |
1.55 |
1.50 |
1.46 |
1.43 |
1.37 |
1.35 |
1.32 |
1.28 |
1.25 |
.05 |
||||
|
2.19 |
2.03 |
1.95 |
1.86 |
1.76 |
1.70 |
1.66 |
1.56 |
1.53 |
1.48 |
1.42 |
1.38 |
.01 |
||||
|
1.52 |
1.46 |
1.42 |
1.38 |
1.34 |
1.31 |
1.28 |
1.24 |
1.22 |
1.20 |
1.17 |
1.14 |
.10 |
200 |
|||
|
1.72 |
1.62 |
1.57 |
1.52 |
1.46 |
1.41 |
1.39 |
1.32 |
1.29 |
1.26 |
1.22 |
1.19 |
.05 |
||||
|
2.13 |
1.97 |
1.89 |
1.79 |
1.69 |
1.63 |
1.58 |
1.48 |
1.44 |
1.39 |
1.33 |
1.28 |
.01 |
||||
|
1.49 |
1.42 |
1.38 |
1.34 |
1.30 |
1.26 |
1.24 |
1.18 |
1.17 |
1.13 |
1.08 |
1.00 |
.10 |
||||
|
1.67 |
1.57 |
1.52 |
1.46 |
1.39 |
1.35 |
1.32 |
1.24 |
1.22 |
1.17 |
l.ll |
1.00 |
.05 |
||||
|
2.04 |
1.88 |
1.79 |
1.70 |
1.59 |
1.52 |
1.47 |
1.36 |
1.32 |
1.25 |
1.15 |
1.00 |
.01 |
52
k = 2,066
t = 0,218%
0,5 %
0
-0,5
-0,3
0,3 %
К = 0,173%
0
-0,05
0,05 %
Ш = 0,02%
0
-0,3
0,3 %
К = 0,173%