Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ИД. Задания по лабораторным работам 5
Задания по лабораторным работам по курсу
Автоматизация инженерной деятельности
|
[0.1] 1.1. Прямоугольный импульс и его спектр. [0.2] 1.2. Прямоугольный радиоимпульс и его спектр. [0.3] 1.3. Прямоугольный видеоимпульс с экспоненциальными фронтами и его спектр. [0.4] 1.4. Сравнение спектров прямоугольного и колоколообразного (гауссового) импульсов. [0.5] 1.5. Особенности применения БПФ (FFT) для гармонических сигналов. [0.6] 1.6. Спектр амплитудно-модулированных сигналов. [0.7] 1.7. Спектр частотно-модулированного сигнала. |
Тема 1. Формирование элементарных сигналов и вычисление их спектров.
По текстовым файлам «Формирование сигналов в среде MathCAD» и «Спектральный анализ сигналов» ознакомиться со способами формирования сигналов и особенностях вычисления их спектров встроенными функциями.
Ознакомиться также с файлом MathCAD «Формирование элементарных сигналов».
Тем или иным способом сформировать прямоугольный видеоимпульс и, используя встроенную функцию БПФ (FFT), построить его амплитудный спектр.
Рис.1. Амплитудный спектр прямоугольного импульса.
Длительность сигнала выбрать из соображений наглядности представления спектра.
1.1.1. Определить уровни 2-ого, 3-его, 4-ого лепестков спектра по отношению к главному (отношение уровня лепестков спектра к постоянной составляющей).
1.1.2. Определить изменение амплитудного спектра при изменении длительности импульса.
1.1.3. Определить влияние смещения начала импульса на его спектр.
1.1.4. Определить спектр сигнала типа «меандр» (длительность импульса = T/2).
Здесь и далее в качестве отчета по выполняемым заданиям представить файлы MathCAD, содержащие необходимые пояснения по результатам выполняемых заданий.
Рекомендуется каждое задание оформлять отдельным файлом.
Для иллюстрации различных операций, требующих сравнения результатов (например, как по данному заданию для определения влияния на вид спектра длительности импульса) следует в файле одновременно представить несколько вариантов.
Сформировать прямоугольный радиоимпульс и, используя БПФ (FFT), построить его амплитудный спектр.
Рис.2. Амплитудный спектр радиоимпульса.
Сформировать прямоугольный видеоимпульс с экспоненциальными фронтами (см. «Формирование сигналов в среде MathCAD») и, используя БПФ (FFT), построить его амплитудный спектр.
Определить влияние на вид амплитудного спектра «завала» фронтов прямоугольного импульса (постоянной времени формирования фронтов). Для этого сформировать 2-3 сигнала с различной постоянной времени фронта и построить их спектры, позволяющие качественно сравнить изменение уровней лепестков спектра.
Колоколообразный (гауссов) видеоимпульс описывается выражением:
- описание формы гауссового видеоимпульса,
центрированного относительно
середины интервала формирования T.
- параметр гауссового импульса, определяющий его
длительность на относительном уровне U_o
Сформировать прямоугольный импульс длительностью τ_i (в пределах T/10…T/15) и гауссов импульс такой же длительности по уровню 0.1.
Рис.3. Прямоугольный и гауссов импульсы.
Вычислить по FFT спектры импульсов.
Рис.4. Амплитудные спектры прямоугольного и гаусового импульсов.
Определить соотношение ширины спектров импульсов, в пределах которой сосредоточено 99% мощности сигналов. Для этого вычислить отношение мощности (суммы квадратов) гармоник в диапазоне, ограниченном значениями m и n, к полной мощности сигналов (т.е. подобрать значения m и n, обеспечивающие значение отношений ~ 0.99):
Отношение ширины спектров, занимаемых такими сигналами, определить как отношение значений m и n.
На интервале моделирования T:=1024
сформировать несколько (четыре) непрерывных гармонических сигнала в виде векторов u с циклическими частотами:
F1:=3*1/T, и F2:=3.5*1/T
F3:=100*1/T, и F4:=100.5*1/T
и, выполнив прямое преобразование Фурье (FFT), построить графики амплитудных спектров сформированных сигналов.
Рис.5. Спектры гармонических сигналов в зависимости от соотношения между частотой гармонического сигнала и интервала моделирования.
Пояснить различия спектров сигналов с частотой, кратной интервалу моделирования T и некратной.
Смоделировать амплитудную модуляцию несущей частоты одной гармоникой низкой частоты.
Аналитическое выражение АМ-сигнала:
Модулирующее колебание (с амплитудой = 1):
Um – амплитуда несущей частоты колебания (без модуляция) – принять = 1;
m – коэффициент модуляции;
f0 – несущая частота;
F – частота модуляции.
Построить спектр АМ-сигнала с помощью FFT.
Напомним, что для получения «правильного» результата расчета спектра по FFT как f0, так и F должны быть кратны 1/T (целое число периодов на интервале моделирования), т.е. присвоить частотам значения:
f0 = n/T F = N/T
где n и N – число периодов колебаний частоты f0 и F на интервале T.
Рис.6. АМ сигнал и его спектр.
Определить соотношение между гармоникой несущей и гармониками боковых частот при различных коэффициентах амплитудной модуляции m = 1; 0.7; 0.5.
Выяснить форму АМ-сигнала при перемодуляции (m > 1).
Частотная модуляция аналитически описывается выражением:
где:
Um – амплитуда сигнала (при ЧМ амплитуда постоянна);
f0 – несущая частота;
Umod(t) – модулирующий сигнал;
m – индекс частотной модуляции.
При ЧМ модуляции одной частотой Ω (F):
индекс модуляции равен m= Δf/F (или Δω/Ω); здесь амплитуда модулирующего сигнала принята равной 1.
Δf (Δω) – девиация частоты – максимальное отклонение несущей частоты под воздействием модулирующего сигнала от средней – f0.
Опуская здесь математическое обоснование, отметим, что ЧМ сигнал теоретически может быть представлен бесконечным рядом гармоник, вычисляемых через функции Бесселя:
где Jk(m) – значение функции Бесселя первого рода порядка k (k – номер гармоники ряда Фурье) при значении аргумента m (значении индекса модуляции).
Используя файл «Частотная модуляция», определить изменение спектра ЧМ сигнала в зависимости от частоты модуляции F (от N – числа периодов модулирующего сигнала на интервале T) и от девиации частоты Δf (в % от несущей частоты).
N менять в пределах 1…5, девиацию в % - в пределах 5…15%
Рис.7. Спектр ЧМ сигнала.
Спектр ЧМ сигнала бесконечен (см. выше), но на практике полагают, что полоса частот, занимаемая ЧМ сигналом, примерно равна:
ΔF_чм ~ 2*(Δf+F)
(В пределах такой полосы сосредоточена основная мощность ЧМ сигнала).
Используя указанный выше файл, определить связь между девиацией частоты и шириной спектра ЧМ сигнала (т.е. убедиться в справедливости практических предположений о ширине спектра).
В вышеуказанном файле расчет гармоник спектра ЧМ сигнала выполнен методом быстрого преобразования Фурье (FFT).
Не безынтересно сравнить результаты расчета спектра ЧМ сигнала по FFT c теоретическими значениями.
В MathCAD имеются встроенные функции Бесселя Jn(j,x):
- где j - порядок функции, x – аргумент функции.
Применимо к ЧМ сигналу x – это значение индекса модуляции m;
j - номер гармоники боковой полосы спектра;
(гармоника несущей = Jn(0,m) или J0(m)).
Для сравнения результатов расчета спектра по FFT с теоретическими значениями вывести значения нескольких гармоник, рассчитанных разными способами и сравнить их:
Построить несколько функций Бесселя:
Рис.8. Функции Бесселя первого рода порядка 0…4.
Найти одно из значений индекса модуляции m (порядка 6-и), при котором гармоника несущей частоты будет равна нулю, т.е. будет подавлена (Jn(0,x)=0).
Естественно, для определения x (m), при котором Jn(0,x)=0, т.е. для определения численных значений функции и аргумента по построенным графикам можно воспользоваться режимом измерений MathCAD Trace. Однако при этом не всегда обеспечивается требуемая точность получения результатов, т.к. указатель для измерения устанавливается только на расчетные точки.
В таких случаях (а также и при других расчетах) удобно использовать встроенную функцию root для вычисления корня уравнения.
Вычисление корня уравнения f(x) в MathCAD реализовано в двух вариантах:
a) - root(f(x),x)
f(x) – уравнение, x – переменная уравнения, относительно которой вычисляется корень.
Вычисление корня уравнения выполняется численным методом Ньютона (методом касательной), поэтому перед заданием функции root(f(x),x) следует задать начальное значение (первое приближение к корню) x0.
б) - root(f(x),x,x_l,x_r)
Здесь вместо задания начального (первого) приближения к корню уравнения задается диапазон, в пределах которого и следует искать корень. (MathCAD первое приближение вычисляет как середину заданного в root диапазона).
Применимо к рассматриваемой задаче определения индекса частотной модуляции для подавления несущей частоты m_0 можно воспользоваться вычислением:
m_0:=root(Jn(0,x),x,x_min,x_max)
По найденному значению индекса модуляции задать выражение для вычисления девиации частоты f (уже не через %) и выполнить моделирование ЧМ сигнала, вычислить и построить его спектр (гармоника на несущей частоте должна быть = 0).