Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГОРИТМОВ
Первым дошедшим до нас алгоритмом в его интуитивном понимании –конечной последовательности элементарных действий, решающих поставлен-ную задачу, считается предложенный Евклидом в III веке до нашей эры алгоритм нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (алгоритм Евклида). Отметим, что в течение длительного времени, вплоть до начала XX века само слово «алгоритм» употреблялось в устойчивом сочетании «алгоритм Евклида». Для описания пошагового решения других математических задач использовалось слово «метод».
Начальной точкой отсчета современной теории алгоритмов можно считать работу немецкого математика Курта Гёделя (1931 год - теорема о неполноте символических логик), в которой было показано, что некоторые математические проблемы не могут быть решены алгоритмами из некоторого класса. Общность результата Геделя связана с тем, совпадает ли использованный им класс алгоритмов с классом всех (в интуитивном смысле) алгоритмов. Эта работа дала толчок к поиску и анализу различных формализаций алгоритма.
Первые фундаментальные работы по теории алгоритмов были опубликованы независимо в 1936 году годы Аланом Тьюрингом, Алоизом Черчем и Эмилем Постом. Предложенные ими машина Тьюринга, машина Поста и лямбда-исчисление Черча были эквивалентными формализмами алгоритма. Сформулированные ими тезисы (Поста и Черча-Тьюринга) постулировали эквивалентность предложенных ими формальных систем и интуитивного понятия алгоритма. Важным развитием этих работ стала формулировка и доказательство алгоритмически неразрешимых проблем.
В 1950-е годы существенный вклад в теорию алгоритмов внесли работы Колмогорова и Маркова.
К 1960-70-ым годам оформились следующие направления в теории алго-ритмов:
Обобщая результаты различных разделов теории алгоритмов можно выделить следующие цели и соотнесенные с ними задачи, решаемые в теории алгоритмов:
Полученные в теории алгоритмов теоретические результаты находят достаточно широкое практическое применение, при этом можно выделить следующие два аспекта:
Теоретический аспект: при исследовании некоторой задачи результаты теории алгоритмов позволяют ответить на вопрос –является ли эта задача в принципе алгоритмически разрешимой –для алгоритмически неразрешимых задач возможно их сведение к задаче останова машины Тьюринга. В случае алгоритмической разрешимости задачи –следующий важный теоретический вопрос –это вопрос о принадлежности этой задачи к классу NP–полных задач, при утвердительном ответе на который, можно говорить о существенных временных затратах для получения точного решения для больших размерностей исходных данных.
Практический аспект: методы и методики теории алгоритмов (в основ-ном разделов асимптотического и практического анализа) позволяют осуществить:
Во всех сферах своей деятельности, и частности в сфере обработки информации, человек сталкивается с различными способами или методиками решения задач. Они определяют порядок выполнения действий для получения желаемого результата –мы можем трактовать это как первоначальное или интуитивное определение алгоритма. Некоторые дополнительные требования приводят к неформальному определению алгоритма:
Определение 1.1 Алгоритм - это заданное на некотором языке конечное предписание, задающее конечную последовательность выполнимых элементарных операций для решения задачи, общее для класса возможных исходных данных.
Пусть D –область (множество) исходных данных задачи, а R –множест-во возможных результатов, тогда мы можем говорить, что алгоритм осуществ-ляет отображение D --> R. Поскольку такое отображение может быть не полным, то вводятся следующие понятия:
Алгоритм называется частичным алгоритмом, если мы получаем результат только для некоторых d є D и полным алгоритмом, если алгоритм получает правильный результат для всех d є D.
Несмотря на усилия исследователей отсутствует одно исчерпывающе строгое определение понятия алгоритм, в теории алгоритмов были введены различные формальные определения алгоритма и удивительным научным результатом является доказательство эквивалентности этих формальных определений в смысле их равномощности.
Варианты словесного определения алгоритма принадлежат российским ученым А.Н. Колмогорову и А.А. Маркову
Определение 1.2 (Колмогоров): Алгоритм –это всякая система вычис-лений, выполняемых по строго определенным правилам, которая после какого-либо числа шагов заведомо приводит к решению поставленной задачи.
Определение 1.3 (Марков): Алгоритм –это точное предписание, определяющее вычислительный процесс, идущий от варьируемых исходных данных к искомому результату.
Отметим, что различные определения алгоритма, в явной или неявной форме, постулируют следующий ряд требований:
Другие формальные определения понятия алгоритма связаны с введением специальных математических конструкций (машина Поста, машина Тьюринга, рекурсивно-вычислимые функции Черча) и постулированием тезиса об эквивалентности такого формализма и понятия «алгоритм».