Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Процесс выполнения лабораторных работ включает теоретическую подготовку, знакомство с приборами и материалами, проведение опыта и измерений, числовую обработку результатов лабораторного эксперимента и написание отчета по выполненной работе.
Теоретически подготовиться к выполнению эксперимента студент должен самостоятельно. Необходимо внимательно проработать указания к данной лабораторной работе, а для более глубокого изучения рассматриваемого явления следует обратиться к литературным источникам, перечень которых помещен в конце указаний.
Опыты и измерения выполняют в аудитории после краткого собеседования с преподавателем по контрольным вопросам, которые приводятся в конце каждой лабораторной работы.
Теоретическая подготовка завершается составлением отчета в тетради для лабораторных работ по следующему плану:
а) название работы;
б) цель ее;
в) явления, положенные в основу этой работы;
г) терминология: модели, физические понятия, физические величины (определения, определяющие уравнения); принципы и законы, формулы связи;
д) принципиальная и рабочая схемы установки;
е) расчетная формула;
ж) таблицы измеряемых и расчетных величин;
з) оценка результатов измерений (сравнить с табличными значениями, объяснить вид графика);
и) источник ошибок и погрешностей (при выполнении лабораторной работы, при изготовлении установки).
КЛАССИФИКАЦИЯ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЯ
Любая физическая величина может быть измерена путем сравнения её с однородной величиной, принятой за единицу (эталоном).
Измерения бывают прямые и косвенные. В результате прямых измерений определяемая физическая величина получается сразу, непосредственно. Примерами прямых измерений служат определения длины (линейкой, штангенциркулем), силы электрического тока (амперметром). При косвенных измерениях искомая величина вычисляется по результатам прямых измерений других величин, связанных с искомой некоторой формулой.
Любое измерение не может быть абсолютно точным. Между истинным ХИСТ и измеренным значением физической величины Х существует некоторая разность
ΔХ = Х – ХИСТ, (1.1)
которая называется абсолютной ошибкой результата измерения.
Чтобы охарактеризовать качество измерения и иметь возможность сравнить результаты измерений различных физических величин, вводится понятие относительной погрешности, под которым подразумевают отношение абсолютной ошибки измерения к истинному значению измеряемой величины.
. (1.2)
Чем меньше относительная погрешность, тем выше точность измерения. Погрешности, или ошибки измерения, можно разделить на три класса: грубые ошибки, или промахи; систематические ошибки; случайные ошибки.
Грубые ошибки появляются в результате небрежности, невнимательности экспериментатора (неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись результата и т.п.). В большинстве случаев промахи хорошо заметны, так как резко отличаются от результатов других измерений.
Систематические ошибки могут быть вызваны методикой постановки эксперимента, ограниченной точностью измерительных приборов, дефектами самого объекта исследования и т.д. Величина и знак систематической погрешности могут оставаться неизменными при многократном повторении одних и тех же измерений. В некоторых случаях влияние систематических погрешностей на результат измерения можно учесть, если ввести соответствующие поправки.
Случайные ошибки обусловлены действием самых разнообразных и неконтролируемых причин. Поэтому результаты повторных измерений одной и той же физической величины могут не совпадать даже при том, что они проводятся в неизменных условиях одним и тем же методом (такие измерения называют равноточными).
Случайные ошибки могут иметь любую величину, положительный или отрицательный знак. Ошибки, противоположные по знаку, но равные по абсолютной величине, встречаются в среднем одинаково часто. Закономерности, которым подчиняются случайные ошибки, и способы их оценки изучают в разделе математики «Теория ошибок», основанном на законах теории вероятности и математической статистики.
Методика расчета случайных ошибок прямых измерений
Пусть измеряется n раз некоторая физическая величина Х. Из-за случайных погрешностей, возникающих в процессе измерения, мы получаем набор значений Х1, Х2, Х3, ..., Хn. Наиболее близким к истинному значению ХИСТ будет среднее арифметическое
. (1.3)
Чем больше измерений, тем ближе < X > и ХИСТ, а при
.
В реальном эксперименте число измерений всегда ограничено, поэтому истинное значение измеряемой величины остается неизвестным. Результаты отдельных измерений Хi и среднее арифметическое < X > всегда содержат ошибку, поэтому вместе с результатом измерений нужно указать возможную величину ошибки, т.е. представить результат в виде
.
Эта запись равнозначна неравенству
. (1.4)
Существует несколько способов оценки случайной ошибки Х. Мы рассмотрим один из них, наиболее часто используемый при обработке результатов эксперимента. По результатам измерений рассчитывают так называемую среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического:
. (1.5)
Так как результаты отдельных измерений Хi и среднее арифметическое – случайные величины, то и S< Х > тоже случайная величина. Поэтому мы не можем утверждать, например, что возможная ошибка Х не превышает величины S< Х >. Следовательно, нужно не только рассчитать возможную величину ошибки, но и указать вероятность того, что среднее арифметическое отличается от ХИСТ не более чем на величину Х, т.е. вероятность, с которой выполняется неравенство (1.4).
Область значений называется доверительным интервалом, а соответствующая вероятность – доверительной α. Доверительная вероятность является весьма важной характеристикой измерений, так как позволяет судить о надежности полученного результата.
Для нахождения доверительной вероятности необходимо знать закон распределения случайной величины (Хi; < Х >; S< Х >). Наиболее часто встречается на практике распределение Гаусса (нормальное распределение):
.
Здесь f(х) – функция распределения случайной величины Х. Произведение f(х) · dх равно вероятности того, что случайная величина примет значение, заключенное между Х и Х + Х.
Графически закон Гаусса представлен на рис. 1.5.
Рис. 1.5
Кривая Гаусса характеризуется двумя параметрами: ХИСТ и σ.
ХИСТ определяет положение вершины, а σ – ширину кривой (2 σ – расстояние между точками перегиба). Параметр σ называют стандартным отклонением или средним квадратическим. Он определяет разброс результатов измерений около ХИСТ, т.е. характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерений. На рис. 1.5 показаны две гауссовы кривые для разных значений стандартного отклонения (σ 1 и σ 2). В законе Гаусса σ 2 носит название дисперсии случайной величины (дисперсия – разброс).
Среднее арифметическое, как случайная величина, тоже описывается законом Гаусса с параметрами ,
.
Среднее значение является лучшей оценкой для ХИСТ, чем результат отдельного измерения, так как кривая f (< х >) в n раз уже.
При известном параметре σ < Х > доверительная вероятность:
.
Если задать доверительный интервал , то = 0,682; если , то , то.
Указанные значения доверительной вероятности относятся к бесконечно большому числу измерений. В практике физического эксперимента N часто не превышает 10, а параметр неизвестен. Если за принять , то доверительная вероятность, рассчитанная на основе закон Гаусса, оказывается завышенной.
Существует другой, более строгий метод определения доверительной вероятности, основанный на распределении Стьюдента, которое учитывает случайный характер величины . Распределение Стьюдента не содержит неизвестных параметров ХИСТ, и существенно отли чается от гауссового при малом числе измерений (N < 30). В физическом лабораторном практикуме обычно ставится такая задача: по заданной доверительной вероятности нужно оценить величину доверительного интервала. На основе распределения Стьюдента доверительный интервал
,
где – коэффициент Стьюдента.
Существуют таблицы, в которых даны значения коэффициента Стьюдента для разных значений доверительной вероятности и различного числа измерений (табл. 1.1).
Таблица 1.1
Коэффициент Стьюдента
|
n |
|||||||||
|
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,999 |
|
|
3 |
0,82 |
1,06 |
1,3 |
1,9 |
2,9 |
4,3 |
7,0 |
9,9 |
31,6 |
|
5 |
0,74 |
0,94 |
1,2 |
1,5 |
2,1 |
2,8 |
3,7 |
4,6 |
8,6 |
|
10 |
0,7 |
0,88 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,3 |
2,8 |
3,3 |
4,8 |
Таким образом, порядок расчета случайной ошибки измерения должен быть следующим:
а) производят n измерений искомой физической величины и вычисляют ее среднее значение
;
б) находят абсолютные погрешности отдельных измерений
;
в) рассчитывают среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического
;
г) по заданной доверительной вероятности и числу измерений n находят из табл. 1.1 коэффициент Стьюдента ;
д) рассчитывают доверительный интервал
;
е) окончательный результат записывают в виде
при .
Замечания. Так как при малом числе измерений является случайной величиной и определяется с большой погрешностью, то при записи числового значения доверительного интервала необходимо учитывать это обстоятельство. В теории ошибок доказано, что при числе измерений n 10 в числовом значении достаточно оставить одну значащую цифру, если она больше трех (), и две, если первая из них меньше четырех (). Затем числовое значение < X > округляют до разряда ошибки, например:
.
Точность вычислений при обработке результатов измерений нужно согласовать с точностью самих измерений, ошибка вычислений должна быть на порядок меньше ошибки измерений.
Систематические ошибки. Соотношение случайной
и систематической ошибок
Систематические ошибки могут существенно исказить результат измерения, поэтому перед началом измерений необходимо выявить систематические ошибки и, если возможно, исключить их. С этой целью проверяют исправность используемых приборов, правильность их установки, анализируют метод измерения и т. д. Чаще всего источником систематических погрешностей являются неточности, допущенные при изготовлении измерительных приборов, такие погрешности называют инструментальными, или приборными. Эти ошибки при изготовлении приборов не определяют, а лишь устанавливают, не превышают ли они допустимые пределы. Предельная погрешность обычно указывается в паспорте или обозначается соответствующим условным знаком на шкале прибора. Например, для микрометра предельная погрешность равна 0,004 мм, для штангенциркуля – 0,05 мм и т. д.
Таким образом, в результате обработки данных, полученных при измерении, мы находим случайную ошибку, величина которой определяется полушириной доверительного интервала , и ситематическую ошибку, равную предельной погрешности: Если предель ная допустимая погрешность измерительного прибора не указана, то ∆Хпр берут равной половине цены наименьшего деления шкалы прибора.
К какому же отношению между величинами случайной и систематической погрешностей следует стремиться при проведении измерений? По-видимому, определяющей должна быть систематическая ошибка, т.е., выбирая метод измерения и необходимое число измерений, нужно добиваться, чтобы была меньше . Если , то пренебрегают систематической ошибкой, при рассматривают только систематическую ошибку. Может оказаться, что случайная ошибка сравнима по величине с систематической, тогда находят суммарную ошибку
.
Методика расчета погрешностей косвенных измерений
Большинство измерений в лабораторном практикуме по физике являются косвенными. Ошибка результата косвенного измерения зависит от ошибок всех прямых измерений, а также от вида той математической формулы, которая связывает искомую с непосредственно измеряемыми величинами. Пусть искомая физическая величина γ связана с непосредственно измеряемыми величинами А, В, С, … какой-то функциональной зависимостью:
,
искомое значение ХХХ находят путем подстановки в формулу (1.3) средних значений А, В, С, т.е. Если искомая величина у является функцией многих переменных, то сначала удобно найти относительную погрешность результата, а затем, используя соотношение найти абсолютную погрешность . Рассмотрим, как находят выражение для расчета относительной погрешности косвенного результата. Воспользуемся для этого законами дифференциального исчисления, считая непосредственно измеряемые величины А, В, С,… аргументами, а косвенно измеряемую величину у – функцией этих переменных.
Искомую функцию (расчетную формулу) логарифмируют:
Находят полный дифференциал логарифма функции:
(1.6)
Здесь – частная производная от ln f (А, В, С…) по аргументу А и т.д. Частная производная находится обычным дифференцированием функции по аргументу А в предположении, что все другие аргументы В, С,…, кроме А, – константы.
Заменяют в полученном выражении (1.6) знак дифференциала d знаком абсолютной погрешности .
Каждое слагаемое выражения (1.6) возводят в квадрат и получают следующую формулу для расчета относительной ошибки косвенного результата:
. (1.7)
Подставляют значения абсолютных ошибок прямых измерений средние значения < A >,< B > и рассчитывают относительную ошибку ε, а затем – абсолютную .
Сравнивают слагаемые в выражении (1.7), чтобы выяснить влияние ошибок различных аргументов (А, В,…) на окончательный результат. Делают заключение, какие физические величины необходимо измерить с большей точностью.
Лабораторная работа 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
РАЗМЕРОВ ТЕЛА (4 ч)
Цель – овладеть техникой физических измерений линейных размеров тел, освоить методику подбора и использования измерительных приборов в прямых измерениях.
Приборы и материалы: штангенциркуль, микрометр, исследуемое тело.
Теория линейного нониуса
Линейные размеры тела можно определить с точностью до 1 мм обычной масштабной линейкой. Для измерения с точностью до долей миллиметра применяется нониус – устройство, позволяющее повысить точность многих измерительных приборов.
Линейный нониус представляет собой небольшую линейку N, скользящую вдоль обычной линейки.
Пусть на нониусе m делений (рис. 1.1), которые наносят так, чтобы длина всех делений нониуса была равна длине (m – 1) наименьших делений масштабной линейки. Пусть b – длина деления масштабной линейки, а – цена деления нониуса. Тогда m ∙ a определяет длину всех делений нониуса, а (m – 1) ∙ в – длину делений масштабной линейки. Очевидно,
или
где – точность нониуса.
Рис. 1.1
Пример. Цена наименьшего деления шкалы масштабной линейки в = 1 мм, на нониусе m = 20 делений.
Точность нониуса:
.
Измерения с помощью линейного нониуса производят следующим образом: совмещают левый конец измеряемого тела с нулевым делением масштабной линейки, а к правому концу подводят нониус (рис. 1.2).
Рис. 1.2
Если правый конец тела оказался между К и К + 1 делениями масштабной линейки, то длина измеряемого тела L равна:
L = K · b +ΔL,
где ΔL – неизвестная пока еще доля (К + 1) деления масштабной линейки.
Обозначим через n деление нониуса, которое совпадает с каким-то делением масштабной линейки. Из рис. 1.2 видно, что номер этого деления К + n. Тогда
Следовательно, чтобы найти длину измеряемого тела с помощью нониуса, необходимо определить число целых наименьших делений масштабной линейки, укладывающихся по длине тела, и записать их длину, к ней прибавить неизвестную длину ΔL, определяемую произведением точности нониуса на номер деления нониуса, совпадающего с одним из делений масштабной линейки ().
Штангенциркуль состоит из шкалы прибора Д в миллиметровом масштабе, жестко связанной со щекой А (рис. 1.3).
Рис. 1.3
Вдоль шкалы масштаба может перемещаться нониус N, с которым жестко связана вторая щека В. Подвижная часть штангенциркуля снабжена зажимным винтом С. Когда между щеками А и В отсутствует зазор, нулевые метки нониуса и шкалы совпадают. Для промера наружных размеров измеряемый предмет вводят между щеками А и В, которые сдвигают до соприкосновения с предметом. Затем закрепляют подвижную щеку В зажимом С и производят отсчет. Число целых миллиметров отсчитывается непосредственно по шкале прибора до нулевой метки нониуса, число долей миллиметра – по нониусу. При внутренних промерах используют щеки А1 и В1. Штангенциркули изготовляют с нониусами, имеющими число делений, равное 10, 20, 50, 100.
Микрометр обычно представляет собой массивную металлическую скобу, на концах которой находятся друг против друга неподвижный упор А и микрометрический винт В, жестко связанный с барабаном С. Барабан делится на 100 или 50 делений. Поступательное перемещение винта измеряется по смещению среза барабана винта вдоль шкалы Д; шаг винта обычно равен 1 или 0,5 мм. Измеряемое тело зажимают между упорами А и В и производят отсчет его размера (рис. 1.4).
Для равномерного нажима микрометрического винта на поверхность измеряемых тел микрометр снабжается фрикционной головкой Е (трещоткой), вращение которой вызывает перемещение винта только до упора его в поверхность измеряемого тела с определенным нажимом, после чего фрикционная головка свободно прокручивается, издавая треск. Шкала имеет верхний и нижний пределы измерений. По нижней шкале необходимо отсчитывать целые миллиметры, по верхней – полумиллиметры, по круговому нониусу барабана – сотые доли миллиметра.
Рис. 1.4
Перед началом измерений микрометром необходимо:
а) определить число делений на барабане и шаг винта;
б) проверить нулевую точку.
Если при соприкосновении упоров А и В против нулевого деления шкалы Д стоит не нулевое деление барабана С, то систематическую ошибку прибора нужно учесть.
Задание 1. Предварительная оценка точности измерения
1. Определить линейные размеры тел с помощью различных измерительных приборов: линейки, штангенциркуля, микрометра.
2. Рассчитать относительные ошибки каждого прямого измерения. В качестве абсолютных погрешностей результатов прямых измерений следует взять приборные ошибки.
3. Сравнить относительные погрешности всех прямых измерений и выделить наименее точно измеренную величину. Для ее определения следует выбрать из имеющегося набора измерительных приборов наиболее точный. Приборы для определения остальных величин подбирают так, чтобы их относительная ошибка была на порядок меньше относительной ошибки наименее точно измеренной величины или того же порядка. Результаты предварительной оценки точности измерения представить в виде табл. 1.2 и сделать заключение.
Таблица 1.2
Предварительная оценка точности измерения
|
Измеряемая величина |
Выбранный измерительный прибор |
Результат однократного измерения |
Абсолютная погрешность |
Относительная погрешность |
|
1 |
||||
|
2 |
||||
|
3 |
Задание 2. Определение линейных размеров тел
правильной геометрической формы
1. Штангенциркулем не менее пяти раз измерить диаметр цилиндра.
2. Микрометром не менее пяти раз измерить диаметр цилиндра.
3. Рассчитать доверительный интервал и относительную погрешность измерений диаметра цилиндра с помощью штангенциркуля и микрометра при доверительной вероятности = 0,95. Данные занести в табл. 1.3.
Таблица 1.3
Измеряемые величины для определения размеров тела
правильной геометрической формы
|
№ п/п |
штангенциркуль |
микрометр |
||||
|
1 |
||||||
|
2 |
||||||
|
3 |
||||||
|
4 |
||||||
|
5 |
||||||
Окончательный результат записать в виде hшт. = < h > ± ∆h,
d = < d > ± ∆d, при = 0,95.
Контрольные вопросы
1. Выведите формулу для расчета точности нониуса.
2. Каким прибором следует воспользоваться, если один и тот же линейный размер тела можно измерить штангенциркулем и микрометром?
3. Как рассчитать доверительный интервал непосредственно измеряемой величины?
4. Из каких соображений выбирают число измерений? Как зависят точность результата отдельных измерений и точность среднего результата от числа измерений?
5. Каков смысл записи h = < h> ± ∆h, при α = 0,95?
6. Объясните, с чем связан разброс результатов отдельных измерений линейных размеров.
Литература [3, § 62, 66, 68, 75; 1, § 27, 30, 31].
Лабораторная работа 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ
ТЕЛА (4 ч)
Цель – определить момент инерции тела неправильной формы (крестообразного маятника).
Приборы и материалы: исследуемое тело (крестообразный маятник), груз, приводящий маятник в движение (300–700 г), нить, на которой подвешен груз, вертикальная шкала, секундомер, прямоугольный треугольник, штангенциркуль.
Описание установки и метода измерения
Крестообразный маятник представляет собой металлическую ступицу А, вращающуюся с помощью подшипника относительно вала Б, который расположен горизонтально и одним концом жестко вмонтирован в стену (рис. 7.1). На ступице укреплены радиально четыре спицы С, вдоль которых могут перемещаться массивные тела В, закрепленные на спицах с помощью винтов. К шкиву ступицы крепится нить, которая наматывается на него. К свободному концу нити подвешивается груз массой m, под действием которого нить испытывает натяжение F, благодаря чему действие груза передается на шкив. При падении груза крестовина начинает вращаться. Определение момента инерции F крестообразного маятника производят, пользуясь основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно закрепленной оси
. (7.1)
Рис. 7.1
Чтобы рассчитать момент инерции на основе уравнения (7.1), нужно знать момент силы относительно оси вращения М и угловое ускорение крестовины . Вращающий момент создается силой . Плечо этой силы относительно оси вращения равно радиусу шкива (рис. 7.1):
.
Силу F/ непосредственно мы найти не можем, но согласно третьему закону Ньютона она численно равна силе F, действующей со стороны нити на падающий груз. Груз движется поступательно под действием двух сил: силы тяжести и силы реакции нити F, равнодействующая этих сил сообщает грузу ускорение a. Запишем второй закон Ньютона для падающего тела:
,
откуда .
Неизвестным остается ускорение груза. Так как груз движется равноускоренно без начальной скорости, то высота падения груза
,
где t – время падения.
Величины h и t можно определить экспериментально и рассчитать ускорение .
Таким образом, вращающий момент равен
. (7.2)
Теперь нужно найти угловое ускорение крестовины. Груз, падая с ускорением a, увлекает за собой нить, намотанную на шкив, поэтому точки обода шкива будут иметь такое же линейное ускорение, как и падающий груз.
Используя связь линейного ускорения с угловым, находим
. (7.3)
Выражаем момент инерции из уравнений (7.1), (7.2), (7.3):
.
Диаметр шкива можно измерить штангенциркулем и выразить радиус как .
Итак, расчетная формула для момента инерции крестообразного маятника следующая:
. (7.4)
Данный метод действие сил трения не учитывает.
Задание 1. Определение момента инерции крестообразного маятника при двух положениях грузов (на концах спиц, сдвинуты к ступице)
1. Измерить штангенциркулем диаметр шкива.
2. Намотать на шкив нить. Пользуясь прямоугольным треугольником и шкалой, укрепленной на стене, задать высоту падения груза.
3. Измерить время падения груза, для чего одновременно отпустить груз и включить секундомер. В момент удара о пол секундомер выключить.
4. Повторить опыт пять раз для случаев 1.2. и 1.3.
5. Результаты измерений занести в табл. 7.1. и рассчитать моменты инерции, сравнить их, сделать вывод.
Таблица 7.1
Измеряемые и расчетные величины для определения момента инерции
тела неправильной формы
|
№ п/п |
D |
m |
h |
Грузы сдвинуты к ступице |
Грузы на концах спиц |
||||
|
t1 |
J1 |
< J1 > |
t2 |
J2 |
< J2 > |
||||
|
1 |
|||||||||
|
2 |
|||||||||
|
3 |
|||||||||
|
4 |
|||||||||
|
5 |
Задание 2. Расчет относительных и абсолютных погрешностей
Так как косвенные измерения в данной работе производятся в невоспроизводимых условиях, то значение искомой величины вычисляют для каждого отдельного измерения, погрешность же рассчитывают так же, как и в случае прямых измерений.
Результаты расчета ошибок занести в табл. 7.2.
Таблица 7.2
Расчет ошибок
|
j |
|Ji – < J >| |
|Ji – < J >|2 |
|Ji – < J >|2 |
S< J > |
t, n |
J |
|
|
1 |
|||||||
|
2 |
|||||||
|
3 |
|||||||
|
4 |
|||||||
|
5 |
Окончательный результат записывают в виде
при = 0,95.
Контрольные вопросы
1. Что называется абсолютно твердым телом? Дайте определение вращательного движения.
2. Что называется угловой скоростью, угловым ускорением? Какова связь между линейными и угловыми кинематическими величинами?
3. Что называется моментом инерции материальной точки, моментом инерции тела? Физический смысл момента инерции.
4. Как зависит момент инерции тела от положения оси вращения?
5. Сколько значений момента инерции может иметь данное тело?
6. Что называется моментом силы, плечом силы относительно оси вращения?
7. Какую роль играет маховое колесо, насаженное на вале двигателя трактора?
8. Проанализируйте возможные источники ошибок эксперимента.
9. Оцените погрешности однократных измерений диаметра шкива, высоты падения h, массы падающего груза m.
Литература [1, ч. 1, § 4, 5, 6, 21, 22, 23].
18
PAGE 18