Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТАНАЛИЗУ
2012-2013 (ИТ сокр.)
1 семестр
Введение в анализ.
Множества. Счетные и несчетные множества. Промежутки. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Определения верхней и нижней граней. Определяющие свойства граней. Аксиома о существовании верхней грани. Неравенства для модулей чисел (неравенство треугольника и следствие из него). Бином Ньютона (без доказательства).
Элементарные функции.
Основные элементарные функции, их графики. Выражение loga x через натуральный логарифм. Соотношения между функциями: arcsin x и arccos x; arctg x и arcctg x. Определение элементарной функции.
Числовые последовательности
Числовая последовательность. Определяющие свойства верхней и нижней граней для числовой последовательности. Определение предела числовой последовательности и его свойства. Бесконечно малые последовательности, их арифметические свойства. Арифметические свойства предела. Сравнение бесконечно малых. Бесконечно большие. Соотношения между бесконечно малыми и бесконечно большими. Теорема о сходимости монотонной последовательности.
Доказательство существования
Принцип вложенных промежутков.
Подпоследовательность, ее свойства. Теорема Больцано-Вейерштрасса о подпоследовательности. Определение конечных верхнего и нижнего пределов числовой последовательности, их свойства (без док-ва).
Определение и свойства сходящейся в себе (фундаментальной) последовательности. Критерий (необходимый и достаточный признак) Коши сходимости числовой последовательности.
Функции.
Понятие функции. Ограниченные и неограниченные, монотонные, четные и нечетные, периодические функции. Обратная функция.
Предел функции
Определения конечных и бесконечных пределов функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы функции: определение, примеры.
Неопределенности, их раскрытие (практ.). Теорема об эквивалентности определений Коши и Гейне конечного предела функции в точке
Бесконечно малые функции, их сравнение.
Локальная ограниченность функции. Свойства конечного предела функции в точке (без док-ва).
Замечательные пределы .
Асимптоты графика функции.
Определения функции, непрерывной в точке, и ее свойства. Теорема о нуле непрерывной функции. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции. Теорема о непрерывности обратной функции.
Непрерывность основных элементарных функций (док-во для xn только при . Непрерывность элементарных функций.
Вывод пределов , , .
Теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции. Понятия глобальных экстремумов. Теорема Вейерштрасса о существовании глобальных экстремумов непрерывной функции.
Условия непрерывности функции, заданной параметрически.
Точки разрыва 1 и 2 рода.
Производная функции.
Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Связь между условиями непрерывности и дифференцируемости. Арифметические свойства производной. Производная композиции. Дифференцирование обратной функции.
Производные основных элементарных функций. Таблица производных. Дифференцируемость элементарных функций. Дифференцирование степенно-показательной функции. Дифференцирование функции, заданной параметрически
Уравнения касательной и нормали к графику функции. Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной параметрически.
Дифференциал функции.
Первый дифференциал: определение, геометрический смысл, арифметические свойства, инвариантность формы. Приложение первого дифференциала к приближенному вычислению функции.
Старшие производные, старшие дифференциалы.
Определение старшей производной. Старшие производные степенной, логарифмической функций, экспоненты, синуса, косинуса. Старшие производные функций, заданных параметрически (практ.). Старшие дифференциалы
Теоремы Ферма и Ролля. Теорема Лагранжа о среднем. Формула конечных приращений, условия постоянства и монотонности функций. Теорема Коши о среднем.
Правило Лопиталя (доказательство случая для )
Примеры раскрытия неопределенностей вида
Обратите внимание! Относится ко ВСЕМ билетам (и с док-вом, и без него). Для успешной сдачи экзамена необходимо (но не достаточно): а) знание школьных формул сокращенного умножения, свойств тригонометрических, показательных, логарифмических функций. б) знание формулировок определений, лемм, теорем, признаков; в) умение привести пример, иллюстрирующий ту или иную формулировку, принцип; г) умение записать определения пределов как для последовательности, так и для функции; д) умение правильно дифференцировать сложные функции.